高考数学矩阵与变换

点评
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变式训练 2
(2015· 福建)已知矩阵
2 A＝ 4
1 1 ， B ＝ 0 3
1 . －1
(1)求 A 的逆矩阵 A－1；
解 因为|A|＝2×3－1×4＝2，
3 －1 3 1 2 － 2 1 2 . ＝2 所以 A－ ＝ －4 2 －2 1 2 2
2 1 － 2 － 1 3 1 3 所以 A＝ ＝ . 3－1 2 1 2 － 3 3
解析答案
1
2
3
4
5
6
7
8
(2)求矩阵A－1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.
解
λ－2 －1 2 －1 矩阵 A 的特征多项式为 f(λ)＝ ＝ λ －4λ＋3＝(λ－1)(λ－3)， －1 λ－2
＝(λ－1)(λ－2)－30＝λ2－3λ－28＝(λ－7)(λ＋4)， ∴A的特征值为λ1＝7，λ2＝－4. 故A的特征值为7和－4.
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高考题型精练
2 A－1＝ 1
1
2
3
4
5
6
7
8
1.已知矩阵 A 的逆矩阵 (1)求矩阵 A；
1 . 2
解 因为矩阵A是矩阵A－1的逆矩阵，且|A－1|＝2×2－1×1＝3≠0，
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(2)求矩阵C，使得AC＝B.
解 由AC＝B得(A－1A)C＝A－1B，故
1 0 3 1 ＝2 －1 －2 2 . －3
3 1 － 1 2 C＝A－ B＝2 －2 1
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题型三
例3
求矩阵的特征值与特征向量
－1 ，其中 a∈R，若点 P(1,1)在矩阵 A 的变换下 1
解析答案
1
2
2.(2016· 江苏)已知矩阵 矩阵 AB.
1 A＝0
2 ，矩阵 －2
1 B 的逆矩阵 B－1＝ 0
1 －2 ，求 2
解
2 B＝(B－1)－1＝2 0 2
1 1 2 1 4 2＝ . 1 1 0 2 2
1 x－1 －2 1 ＝ ， ＝ 0－1 y 2
－1 x－1＝－2， x＝－1， 则 即 所以矩阵 A＝ 2 y＝2， y＝2，
1 . 0
从而矩阵A的特征多项式f(λ)＝(λ＋2)(λ－1)， 所以矩阵A的另一个特征值为1.
2 对应的变换作用下 1
变为直线 l′：x＋by＝1.
(1)求实数a，b的值；
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(2)若百度文库 P(x0，y0)在直线 l 上，且
解 由
x x 0 0 A ＝ ，求点 y0 y0
P 的坐标.
x x x0＝x0＋2y0， 0 0 A ＝ ，得 y0 y0 y0＝y0，
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体验高考
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体验高考
x 1 是矩阵 A＝ 1.(2015· 江苏)已知 x， y∈R， 向量 α＝ － 1 y
1
2
1 的属于特征值 0
－2 的一个特征向量，求矩阵 A 以及它的另一个特征值.
解
x 即 y
由已知，得Aα＝－2α，
1 已知矩阵 A＝ a
得到点 P′(0，－3).
(1)求实数a的值；
解
1 由题意得 a
0 －1 1 ＝ ， 1 1 －3
所以a＋1＝－3，所以a＝－4.
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(2)求矩阵A的特征值及特征向量.
λ－1 －1 1 2 解 ， 令 f ( λ ) ＝ ＝ ( λ － 1) －4＝0. 1 4 λ－ 1 解得A的特征值为λ＝－1或3. －2x＋y＝0 当 λ＝－1 时，由 得矩阵 A 的属于特征值－1 的一个特征向 4x－2y＝0 1 由(1)知 A＝ －4
1 量为 ； 2
2x＋y＝0 当 λ＝3 时，由 得矩阵 A 的属于特征值 3 的一个特征向量为 4x＋2y＝0 1 . －2
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变式训练 3
解
已知
1 A＝ 6
5 ，求 A 的特征值. 2
λ－2 －5
λ－1 A 的特征多项式 f(λ)＝ －6
解析答案
(2)求曲线C的焦点坐标和渐近线方程.
解 曲线C′的焦点坐标为F1(0，－2)，F2(0,2)，渐近线方程为y＝±x. 再顺时针旋转45°后，
即可得到曲线 C 的焦点坐标为(－ 2，－ 2)和( 2， 2)，渐近线方程为 x ＝0，y＝0.
点评
解析答案
变式训练 1
1 已知直线 l：ax＋y＝1 在矩阵 A＝ 0
专题9 系列4选讲
第 40 练 矩阵与变换
题型分析 高考展望
本讲从内容上看，主要考查二阶矩阵的基本运算，考查矩阵的逆运算
及利用系数矩阵的逆矩阵求点的坐标或曲线方程等，一般以基础题目
为主，难度不大 . 又经常与其他知识结合，在考查基础知识的同时，
考查转化与化归等数学思想，以及分析问题、解决问题的能力.
1 ∴AB＝ 0
1 2 · －2 0
1 5 4 1 4 . ＝ 1 0 －1 2
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高考必会题型
题型一
常见矩阵变换的应用
例1 已知曲线C：xy＝1. (1)将曲线C绕坐标原点逆时针旋转45°后，求得到的曲线C′的方程；
解得 y0＝0.
又点P(x0，y0)在直线l上，所以x0＝1.
故点P的坐标为(1,0).
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题型二
例2
二阶矩阵的逆矩阵
a M＝ 0
设矩阵
0 (其中 a>0，b>0). b
(1)若 a＝2，b＝3，求矩阵 M 的逆矩阵 M－1；
解析答案
(2)若曲线 C： x2＋y2＝1 在矩阵 M 所对应的线性变换作用下得到曲线 C′： x2 2 4 ＋y ＝1，求 a，b 的值.