高一数学必修一集合与函数的概念

高一数学必修一集合与函数的概念
第一章集合与函数概念
一：集合的含义与表示
1、集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们
能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。

把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称为集。

2、集合的中元素的三个特性：
(1)元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确
定的：属于或不属于。

(2)元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。

(3)元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合
3、集合的表示：{…}
(1)用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
(2)集合的表示方法：列举法与描述法。

a、列举法：将集合中的元素一一列举出来{a,b,c……}
b、描述法：
①区间法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。

{xR|x-3>2},{x|x-3>2}
②语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
③Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。

4、集合的分类：
(1)有限集：含有有限个元素的集合
(2)无限集：含有无限个元素的集合
(3)空集：不含任何元素的集合
5、元素与集合的关系：
(1)元素在集合里，则元素属于集合，即：aA
(2)元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a￠A
注意：常用数集及其记法：
非负整数集(即自然数集)记作：N
正整数集N*或N+
整数集Z
有理数集Q
实数集R
6、集合间的基本关系
(1).“包含”关系(1)—子集
定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。

记作：(或BA)
注意：有两种可能(1)A是B的一部分;
(2)A与B是同一集合。

反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA
(2).“包含”关系(2)—真子集
如果集合，但存在元素xB且x￠A，则集合A是集合B的真子集
如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)读作A真含与B
(3).“相等”关系：A=B“元素相同则两集合相等”
如果AB同时BA那么A=B
(4).不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

(5)集合的性质
①任何一个集合是它本身的子集。

AA
②如果AB,BC,那么AC
③如果AB且BC，那么AC
④有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集
7、集合的运算
运算类型交集并集补集
定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作AB(读作‘A交B’)，即AB={x|xA，且xB｝.由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集.记作：AB(读作‘A并B’)，即AB={x|xA，或xB}).全集：一般，若一个集合汉语我们所研究问题中这几道的所有元素，我们就称这个集合为全集，记作：U
设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集(或余集)记作，
CSA=
韦恩图示
性质A∩A=A
A∩Φ=Φ
A∩B=BA
A∩BA
A∩BBAUA=A
AUΦ=A
AUB=BUA
AUBA
AUBB(CuA)∩(CuB)=Cu(AUB)
(CuA)U(CuB)=Cu(A∩B)
AU(CuA)=U
A∩(CuA)=Φ.
二、函数的概念
1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，x∈A.
(1)其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;
(2)与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合
{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
2.函数的三要素：定义域、值域、对应法则
3.函数的表示方法：
(1)解析法：明确函数的定义域
(2)图想像：确定函数图像是否连线，函数的图像可以是连续的曲线、直线、折线、离散的点等等。

(3)列表法：选取的自变量要有代表性，可以反应定义域的特征。

4、函数图象知识归纳
(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x∈A)中的x
为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数
y=f(x),(x∈A)的图象.C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系
y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标
的点(x，y)，均在C上.
(2)画法
A、描点法：
B、图象变换法：平移变换;伸缩变换;对称变换，即平移。

(3)函数图像平移变换的特点：
1)加左减右——————只对x
2)上减下加——————只对y
3)函数y=f(x)关于X轴对称得函数y=-f(x)
4)函数y=f(x)关于Y轴对称得函数y=f(-x)
5)函数y=f(x)关于原点对称得函数y=-f(-x)
6)函数y=f(x)将x轴下面图像翻到x轴上面去，x轴上面图像不动得
函数y=|f(x)|
7)函数y=f(x)先作x≥0的图像，然后作关于y轴对称的图像得
函数f(|x|)
三、函数的基本性质
1、函数解析式子的求法
(1)、函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间
的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数
的定义域.
(2)、求函数的解析式的主要方法有：
1)代入法：
2)待定系数法：
3)换元法：
4)拼凑法：
2.定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零;
(3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意的x的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零，
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
3、相同函数的判断方法：①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);
②定义域一致(两点必须同时具备)
4、区间的概念：
(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间
(2)无穷区间
(3)区间的数轴表示
5、值域(先考虑其定义域)
(1)观察法：直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域;
(2)反表示法：针对分式的类型，把Y关于X的函数关系式化成X关于Y的函数关系式，
由X的范围类似求Y的范围。

(3)配方法：针对二次函数的类型，根据二次函数图像的性质来确定函数的值域，
注意定义域的范围。

(4)代换法(换元法)：作变量代换，针对根式的题型，转化成二次函数的类型。

6.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

(2)各部分的自变量的取值情况.
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集.
(4)常用的分段函数有取整函数、符号函数、含绝对值的函数
7.映射
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。

记作“f(对应关系)：A(原象)B(象)”
对于映射f：A→B来说，则应满足：
(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的;
(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个;
(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

注意：映射是针对自然界中的所有事物而言的，而函数仅仅是针对数字来说的。

所以函数是映射，而映射不一定的函数
8、函数的单调性(局部性质)及最值
(1)、增减函数
1)设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间
D内的任意两个自变量x1，x2，当x1
2)如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，
那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.
注意：函数的单调性是函数的局部性质;函数的单调性还有单调
不增，和单调不减两种
(2)、图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数
y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的
图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.
(3)、函数单调区间与单调性的判定方法。