江苏省常州市2019届高三数学期中试卷(理)

常州市2019届第一学期期中考试

高三理科数学试题

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写

在答题卡相应的位置上） 1．设集合}{2A x x =≤，2{1}y y B x ==-，则A B ⋂= ▲ ． 2．已知向量(),1a x =，()1,2b =-，若a b ⊥，则实数x 的值为 ▲ ． 3．设x ∈R ，则38x >是2x >的 ▲ 条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）．

4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23108a a a ++=，则9S = ▲ ． 5．已知()f x '是函数()sin cos f x x x =-的导函数，实数α满足()()3f f αα'= ，则tan 2α的值为 ▲ ．

6．已知(1,)a λ=，(2,1)b =，若向量2a b +与(8,6)c =共线，则实数λ的值为 ▲ ．

7．已知函数()(1)()f x x px q =-+为偶函数，且在(0,)+∞单调递减，则(3)0f x -<的解集为 ▲ ．

8．在平面直角坐标系中，AB ，CD ，EF ，GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段弧上，角α以Ox 为始边，OP 为终边．若

tan cos sin ααα<<，

则P 所在的圆弧是 ▲ ．

9．函数()log 31a y x =+-(0a >且1a ≠)的图象恒过定点A ，若点A 在直线

10mx ny ++=上，其中0mn >，则

11

m n

+的最小值为 ▲ ．

10．已知λ∈R ，函数

()245,1,x

x x x f x e x λ

λ⎧--<=⎨-≥⎩

，若函数()f x 恰有2个零点，则实数λ的取值范围是 ▲ ．

11．在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，2AB =，1AD =，

60DAB ∠=︒，若3BC CE =，AF AB λ=，且1AE DF ⋅=-，则实数λ的值为 ▲ ．

12．已知不等边ABC ∆（三条边都不相等的三角形）的内角A B C 、、的

对边分别为

a b c 、、，若()()22

1cos cos 2

a b B c C b c -=

-，则A ∠的弧度数为 ▲ ．

13．已知定义在R 上的函数()x

f x =若存在实数a ，使得对任意实

数x 都有()f x a k -<成立，则实数k 的最小值为 ▲ ．

14．若正实数x 、y 满足229x xy y -+=，且229x y -<，则xy 的取值范围

为 ▲ ．

二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、

证明过程或演算步骤） 15．（本题满分14分）

ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知

()

sin A B C +=

8

sin sin sin 7

B C A +=，7=a .

⑴ 求角A 的值； ⑵ 求ABC ∆的面积．

16．（本题满分14分）

已知

O 为坐标原点，()cos ,1OA x =，()2cos 2OB x x

=，R x ∈，

若()f x OA OB =⋅.

⑴ 求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；

⑵ 将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移4

π个单位，得到函数()y g x =的

图象，求函数()y g x =在5,

1212π

π⎡⎤

-⎢

⎥⎣⎦

上的最小值．

17．（本题满分14分）

常州地铁项目正在紧张建设中，通车后将给市民出行带来便利.已知

某条线路通车后，地铁的发车时间间隔 t （单位：分钟）满足220t ≤≤，

N t ∈．经测算，地铁载客量与发车时间间隔t 相关，当1020t ≤≤时地铁为满载状态，载客量为1200人，当210t ≤<时，载客量会减少，减少的人数与(10)t -的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为560人，记地铁载客量为()p t .

⑴ 求()p t 的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量； ⑵ 若该线路每分钟的净收益为6()3360360p t Q t

-=-（元），问当发车时

间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大

18．（本题满分16分）

已知函数22()ln f x x ax a x =--． ⑴ 讨论()f x 的单调性；

⑵ 若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．

19．（本题满分16分）

设函数()()()3f x x t m x t =---，其中t ，R m ∈．

⑴ 若1t =，0m =，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； ⑵ 若9m =，求()f x 的极值； ⑶ 若曲线()

y f x =与直线()y x t =---求实数

m 的取值范围．

20．（本题满分16分）

设数列{}n a 的前n 项和为

n

S ．已知

()()

*623N n n S n a n n =++∈，设

()()41

2121n n a c n n -=

-+.

⑴ 求证：当2n ≥时，1n n c c --为常数； ⑵ 求数列{}n a 的通项公式；

⑶ 设数列{}n b 是正项等比数列，满足：11b a =，32b a =，求数列{}n n a b 的前n 项的和n T ．