流体力学与传热：12边界层理论
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（3）根据边界层厚度极薄的基本假设，可将N-S 方程化简，获得边界层的基本微分方程。
边界层内的流动状态：
层流边界层，湍流边界层均存在粘性底层 （层流底层） ，其厚度与Re有关。
层流边界层转变为湍流边界层的判别准则： 雷诺数 Re Ux ｘ为离平板前缘点的距离
对于平板，层流转变为湍流的临界雷诺数为：
离，近似认为ｙ＝δ，Vｘ＝U。
具有Blasius相似解:
vx f ' () df / d
U
y U x
(12-18)
将上式代入边界层方程，有
2 f ''' ff '' 0
(12-20)
f满足的是三阶非线性常微分方程
边界条件为：
η＝０， f＝０， f′＝０ η→∞， f′＝1
非线性的微分方程，得不到解析解。
上式为边界层基本微分方程（Prandtl方程）。
讨论： Prandtl边界层方程中第二个方程： 说明了什么？
p 0 y
p0 p1
p1= p2 = p3 = p0
p2
p3
Prandtl边界层方程的求解
Blasius解----顺流放置无限长平板上的层流 边界层流动。
均匀来流平行于平板，ｘ轴平行于板面， 原点在平板前缘，
可将ｘ及ｙ的值代入
y
U
x
中得出η值，由
此值从上表中找出相应的 f ' ( )
则 vx (x, y) U f '()
设 U=25 km/h，ν=0.15cm2/s, x=3m,ｙ=5mm， 求：Vx＝？
解：U=25×1000/3600=6.95m/s, ν=0.0015m2/s, x=3m, y=0.005m,
)
vx y
二、边界层外部区域
边界层外部粘性影响很小，μ可以忽略不计， 可认为边界层外部的流动是 理想流体无旋势流。
重要推论：
（1）边界层内各 截面上压力等于 同一截面上边界 层外边界上的压 力：
即：P1=P2=P
P P1
P2
x
（2）势流的近似计算中，可略去边界层的厚度， 解出沿物体表面的流速和压力分布，并认为就 是边界层边界上的速度和压力分布，据此来计 算边界层。
N-S方程理论上完备但求解困难。解决(求解) 工程实际问题大多局限于小雷诺数流动问题。
高Re时(量级在10６～10９的范围),粘性力与惯 性力相比是很小的。
1904年，L.Prandtl指出，对于粘性很小的流 体(如空气、水），粘性对流动的影响仅限于贴 近固体表面的一个薄层内，这一薄层以外，粘性 完全可以忽略。
vx vy 0 x y
( '2 ) '
1
'
1
1
1
因为 L ～ Re ，所以Re ～δ′2
(a)
(b) (c)
因因为为0y≤’=x≤Ly L,0，≤所y≤以δx’，=所Lx以～y’1～
L
=δ’
因为0≤vx≤U
，所以v’x=
VX U
～1
所以 所以
vx vx , y x
vx ~ 1, x
vy ~ 1, y
平板极薄且无曲度， 边界层外缘处速度 为来流速度Ｕ。沿 边界层外缘上各点 上压力相同，即 dp 0
dx
上述边界层方程简化为：
vx
vx x
vy
vx y
2vx y 2
vx vy 0 x y
边界条件：
（12-5）
ｙ＝０，Vｘ＝０，Vy＝０； ｙ→∞，Vｘ＝Ｕ。 严格上，速度从零增至Ｕ须经过无限远距
边界层内粘性 这一薄层内速度
平板上u=0 力不可忽略
梯度 vx 很大 y
边界层外边界 U99％
边界层名义厚度 外边界上流速达到U99％的 点到物面的法向距离。
根据速度分布的特点，可将流场分为两个区域：
一、边界层
这一薄层内速度梯度 vx 很大。 y
边界层内的流动是有旋流动
z
1 2
( v y x
vx y
边界层： 在固体壁面附近，显著地受到粘性 影响的这一薄层。
从边界层厚度很小这个前提出发，Prandtl率先 建立了边界层内粘性流体运动的简化方程，开创 了近代流体力学的一个分支——边界层理论。
均匀来流绕一薄平板流动，微型批托管测得 沿平板垂直方向的速度分布如下图：
与来流速度相同的量级,U99％ 均 匀 来 流 速 度
vy ~
2vx x2
~ 1，
vy ~ 1 ,
y
vx ~ 1
y
vy ~ ,
x
2vy x2
~
2 vx y2
~
1
2
化简后为
vx
vx x
vy
vx y
1
p
x
2vx y 2
p 0 y vx vy 0 x y
（12-4）
边界条件： ｙ＝０，Vｘ＝Vｙ＝０； ｙ＝δ，Vｘ＝Ｕ（ｘ）。
x x , L
y y , L
vx
vx U
,
vy
vy U
,
p
p
U 2
将其代入N-S方程，整理后得：
vx
vx x
vy
vx y
p x
1 Re
(
2 vx x2
2 vx y2
)
11
'2
1
'
( '2 )
1
1
'2
vx
vy x
vy
vy y
ห้องสมุดไป่ตู้
p y
1 Re
(
2 vy x2
2vy y2
)
1 ' ' 1
采用级数展开办法，或者直接进行数值积分。
由于f和η均为无量纲量，且在方程及边界 条件中不显含ν及Ｕ，故所得结果可以一劳永逸 地应用。
表12-1给出问题的数值解，其中 f '() vx 就
U
是边界层内无量纲的速度分布。
例7.1 本例说明上表12-1的用法。 (1) 欲求边界层内点（x,y）的速度Vx（x,y）
第十二章 边界层理论
本章内容：
1.边界层基本概念 2.边界层基本微分方程 3.边界层动量方程 4.边界层排挤厚度和动量损失厚度 5.平板层流边界层
6.平板湍流边界层 7.平板混合边界层 8. 船体摩擦阻力计算 9.曲面边界层分离现象 形状阻力
10. 绕流物体的阻力 11.减少粘性阻力的方法
§12-1 边界层的概念
1
L
2)边界层内粘性力和惯性力具有相同的数量级
以此作为基本假定，将N-S方程（二维）化简：
vx
vx x
vy
vx y
1 p ( 2 vx
x
x 2
2 vx ) y 2
vx
vy x
vy
vy y
1 p ( 2 vy
y
x 2
2vy ) y 2
vx vy 0 x y
连续性方程
引进特征长度Ｌ、特征速度Ｕ，将方程中 的各物理量无量纲化：
Rekp
(Ux
)kp
Uxkp
5 105
层流边界层转为湍流边界层转捩点的位置坐标
xkp
5105
U
（12-1）
§12-2 边界层基本微分方程
粘性不可压缩流体,不计质量力，定常流过 小曲率物体，物体表面可近似当作平面。
取物面法线为ｙ轴。在大Re数情况下的边界 层流动有下面两个主要性质：
1) 边界层厚度较物体特征长度小得多，即
边界层内的流动状态：
层流边界层，湍流边界层均存在粘性底层 （层流底层） ，其厚度与Re有关。
层流边界层转变为湍流边界层的判别准则： 雷诺数 Re Ux ｘ为离平板前缘点的距离
对于平板，层流转变为湍流的临界雷诺数为：
离，近似认为ｙ＝δ，Vｘ＝U。
具有Blasius相似解:
vx f ' () df / d
U
y U x
(12-18)
将上式代入边界层方程，有
2 f ''' ff '' 0
(12-20)
f满足的是三阶非线性常微分方程
边界条件为：
η＝０， f＝０， f′＝０ η→∞， f′＝1
非线性的微分方程，得不到解析解。
上式为边界层基本微分方程（Prandtl方程）。
讨论： Prandtl边界层方程中第二个方程： 说明了什么？
p 0 y
p0 p1
p1= p2 = p3 = p0
p2
p3
Prandtl边界层方程的求解
Blasius解----顺流放置无限长平板上的层流 边界层流动。
均匀来流平行于平板，ｘ轴平行于板面， 原点在平板前缘，
可将ｘ及ｙ的值代入
y
U
x
中得出η值，由
此值从上表中找出相应的 f ' ( )
则 vx (x, y) U f '()
设 U=25 km/h，ν=0.15cm2/s, x=3m,ｙ=5mm， 求：Vx＝？
解：U=25×1000/3600=6.95m/s, ν=0.0015m2/s, x=3m, y=0.005m,
)
vx y
二、边界层外部区域
边界层外部粘性影响很小，μ可以忽略不计， 可认为边界层外部的流动是 理想流体无旋势流。
重要推论：
（1）边界层内各 截面上压力等于 同一截面上边界 层外边界上的压 力：
即：P1=P2=P
P P1
P2
x
（2）势流的近似计算中，可略去边界层的厚度， 解出沿物体表面的流速和压力分布，并认为就 是边界层边界上的速度和压力分布，据此来计 算边界层。
N-S方程理论上完备但求解困难。解决(求解) 工程实际问题大多局限于小雷诺数流动问题。
高Re时(量级在10６～10９的范围),粘性力与惯 性力相比是很小的。
1904年，L.Prandtl指出，对于粘性很小的流 体(如空气、水），粘性对流动的影响仅限于贴 近固体表面的一个薄层内，这一薄层以外，粘性 完全可以忽略。
vx vy 0 x y
( '2 ) '
1
'
1
1
1
因为 L ～ Re ，所以Re ～δ′2
(a)
(b) (c)
因因为为0y≤’=x≤Ly L,0，≤所y≤以δx’，=所Lx以～y’1～
L
=δ’
因为0≤vx≤U
，所以v’x=
VX U
～1
所以 所以
vx vx , y x
vx ~ 1, x
vy ~ 1, y
平板极薄且无曲度， 边界层外缘处速度 为来流速度Ｕ。沿 边界层外缘上各点 上压力相同，即 dp 0
dx
上述边界层方程简化为：
vx
vx x
vy
vx y
2vx y 2
vx vy 0 x y
边界条件：
（12-5）
ｙ＝０，Vｘ＝０，Vy＝０； ｙ→∞，Vｘ＝Ｕ。 严格上，速度从零增至Ｕ须经过无限远距
边界层内粘性 这一薄层内速度
平板上u=0 力不可忽略
梯度 vx 很大 y
边界层外边界 U99％
边界层名义厚度 外边界上流速达到U99％的 点到物面的法向距离。
根据速度分布的特点，可将流场分为两个区域：
一、边界层
这一薄层内速度梯度 vx 很大。 y
边界层内的流动是有旋流动
z
1 2
( v y x
vx y
边界层： 在固体壁面附近，显著地受到粘性 影响的这一薄层。
从边界层厚度很小这个前提出发，Prandtl率先 建立了边界层内粘性流体运动的简化方程，开创 了近代流体力学的一个分支——边界层理论。
均匀来流绕一薄平板流动，微型批托管测得 沿平板垂直方向的速度分布如下图：
与来流速度相同的量级,U99％ 均 匀 来 流 速 度
vy ~
2vx x2
~ 1，
vy ~ 1 ,
y
vx ~ 1
y
vy ~ ,
x
2vy x2
~
2 vx y2
~
1
2
化简后为
vx
vx x
vy
vx y
1
p
x
2vx y 2
p 0 y vx vy 0 x y
（12-4）
边界条件： ｙ＝０，Vｘ＝Vｙ＝０； ｙ＝δ，Vｘ＝Ｕ（ｘ）。
x x , L
y y , L
vx
vx U
,
vy
vy U
,
p
p
U 2
将其代入N-S方程，整理后得：
vx
vx x
vy
vx y
p x
1 Re
(
2 vx x2
2 vx y2
)
11
'2
1
'
( '2 )
1
1
'2
vx
vy x
vy
vy y
ห้องสมุดไป่ตู้
p y
1 Re
(
2 vy x2
2vy y2
)
1 ' ' 1
采用级数展开办法，或者直接进行数值积分。
由于f和η均为无量纲量，且在方程及边界 条件中不显含ν及Ｕ，故所得结果可以一劳永逸 地应用。
表12-1给出问题的数值解，其中 f '() vx 就
U
是边界层内无量纲的速度分布。
例7.1 本例说明上表12-1的用法。 (1) 欲求边界层内点（x,y）的速度Vx（x,y）
第十二章 边界层理论
本章内容：
1.边界层基本概念 2.边界层基本微分方程 3.边界层动量方程 4.边界层排挤厚度和动量损失厚度 5.平板层流边界层
6.平板湍流边界层 7.平板混合边界层 8. 船体摩擦阻力计算 9.曲面边界层分离现象 形状阻力
10. 绕流物体的阻力 11.减少粘性阻力的方法
§12-1 边界层的概念
1
L
2)边界层内粘性力和惯性力具有相同的数量级
以此作为基本假定，将N-S方程（二维）化简：
vx
vx x
vy
vx y
1 p ( 2 vx
x
x 2
2 vx ) y 2
vx
vy x
vy
vy y
1 p ( 2 vy
y
x 2
2vy ) y 2
vx vy 0 x y
连续性方程
引进特征长度Ｌ、特征速度Ｕ，将方程中 的各物理量无量纲化：
Rekp
(Ux
)kp
Uxkp
5 105
层流边界层转为湍流边界层转捩点的位置坐标
xkp
5105
U
（12-1）
§12-2 边界层基本微分方程
粘性不可压缩流体,不计质量力，定常流过 小曲率物体，物体表面可近似当作平面。
取物面法线为ｙ轴。在大Re数情况下的边界 层流动有下面两个主要性质：
1) 边界层厚度较物体特征长度小得多，即