七年级下册数学三角形全等动点问题

， ，

初一数学

全等三角形之动点问题专题（B 类）

一、考点、热点回顾

动点型问题是近年来中考的一个热点问题。动态几何问题就是以几何知识和

具体的几何图形为背景，渗透运动变化的观点，通过点、线、形的运动，图形的

平移、翻折、旋转等，对运动变化过程伴随的数量关系和图形的位置关系等进行

探究。动点型问题集几何与代数知识于一体,数形结合,有较强的综合性,题目灵

活多变,动中有静,动静结合,能够在运动变化中发展学生空间想象能力 ,综合分

析能力。

《等边三角形中的动点问题》是首先从三角形一边上的单动点运动，引起三

角形的边与角的变化，判断三角形的形状变化；其次探讨三角形两边上的双动点

运动，引起三角形的角与边的变化，再从在三角边上运动到三角形的边的延长线

上运动，由三角形的形状探究到三角形的面积的探究等。本设计是以等边三角形 为主线，点的运动引起边、角的变化，三角形的形状的判断及三角形面积的大小，

抓住图形中“变”和“不变” 以“不变的”来解决“变” 以达到“以静制动”，

变“动态问题”为“静态问题”来解。对学生分析问题的能力，对图形的想象能

力，动态思维能力的培养和提高有着积极的促进作用。

本节课的教学设计，注意到了问题的层次性，由浅入深，由简单到复杂，从

给定结论到结论开放，以等边三角形为载体，动点在三角形的边、延长线上运动 等问题串的形式，层层递进，环环相扣，让不同的学生都有收收获，有所成功，

还体现出了分类讨论、等积变换、三角函数等思想方法。

二、典型例题

1、单动点问题A

引例：已知，如图△ABC是边长3cm的等边三角形.

P

动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动.

设点P的运动时间为（s），那么t=____时，△PBC是直角

B C 三角形？

2、双动点问题

引例：已知，如图△ABC是边长3cm的等边三角形.动点P从点A出发，

沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动，如果动点P、Q都以

1cm/s的速度同时出发.设运动时间为t（s），那么t为何值时，△PBQ是直角

三角形?

A

P

B

Q C

巩固练习，拓展思维

已知，如图△ABC是边长3cm的等边三角形.动点P从点A出发，沿AB向点B

运动，动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动.连接PQ交AC于D.如果动点P、

Q都以1cm/s的速度同时出发.设运动时间为t（s），那么当t为何值时，△DCQ

是等腰三角形?A

P

D

B

C Q

B

M

B F

变式练习：1、已知，如图△ABC 是边长 3cm 的等边三角形.动点 P 从点 A 出发，

沿 AB 向点 B 运动，动点 Q 从点 C 出发，沿射线 BC 方向运动. 连接 PQ 交 AC 于

D. 如果动点 P 、Q 都以 1cm/s 的速度同时出发. 设运动时间为 t （s ），连接 PC.

请探究：在点 P 、Q 的运动过程中△PCD 和△QCD 的面积是否相等？

A

P

D

B

C Q

变式练习：△2、已知等边三角形 ABC ，

（1）动点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 向

点 B 运动，动点 Q 从点 B 出发，沿线段 BC 向点 C 运动，连接 CP 、AQ 交于 M ，

如果动点 P 、Q 都以相同的速度同时出发，则∠AMP=___度。

(2)若动点 P 、Q 继续运动，分别沿射线 AB 、BC 方向运动，.∠AMP=60°的结

论还成立吗？

A

A

P

M

C

Q

B

Q

C

P

二、实战训练

△1、如图，在等腰 ACB 中，AC ＝BC ＝5，AB ＝8，D 为底边 AB 上一动点（不

与点 A ， 重合），DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为 E ， ，则 DE ＋DF ＝

．

C

E

F

A

D B

2、如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持AD=CE．连接DE、DF、EF．（△1）求证：ADF≌△CEF

（△2）试证明DFE是等腰直角三角形

3、如图，在等边∆ABC的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1各单位的速度油A向B和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D,E处，请问

（1）在爬行过程中，CD和BE始终相等吗？

（2）若蜗牛沿着AB和CA的延长线爬行，EB与CD交于点Q，其他条件不变，如图（2）所示，蜗牛爬行过程中∠CQE的大小条件不变，求证：∠CQE=60︒

（3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行，连接DE 交AC于F”，其他条件不变，则爬行过程中，DF始终等于EF是否正确

，若ABC△和ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：4、如图1△

CD=BE△，AMN是等边三角形．

（1）当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；

）当ADE绕A点旋转到图3的位置时，△AMN是否还是等边三角形？

（2△

与ABC△

及AMN的面积之若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE△

比；若不是，请说明理由．

图1图2图3