(完整版)三角函数资料总结(详细版)

三角函数

1.任意角的三角函数

在角的终边上任取一点，记：

α),(y x P ，如图1-8所示

r OP ==正弦： sin ,y

x R r

α=

∈余弦：cos ,x

x R r

α=∈正切： tan ,,2y x k k Z x π

απ=≠+∈余切： 图1-8

cot ,,x

x k k Z y

απ=≠∈正割： 余割：

sec ,,2

r x k k Z x π

απ=

≠+∈csc ,,r x k k Z y απ=≠∈以上六种函数都称为三角函数，其中正弦、余弦、正切、余切曲线如图1-9所示：

图1-9

显然正弦、余弦函数的最小正周期是， 正切、余切函数的最小正周期是。

2ππ2同角三角函数的基本关系式

倒数关系：，，。

1csc sin =⋅αα1sec cos =⋅αα1cot tan =⋅αα

商数关系：，。αααcos sin tan =α

α

αsin cos cot =平方关系：，，。

1cos sin 22

=+αααα22sec tan 1=+αα22csc cot 1=+3、诱导公式

⑴、、、、的三角函数值，等于的同名παk 2+)(Z k ∈α-απ+απ-απ-2α函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号。

α⑵

、

、

、的三角函数值，等于的异名函数值，前面加απ+2

απ

-2

απ+23απ-2

3α上一个把看成锐角时原函数值的符号。α4、和角公式和差角公式

βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅-⋅=-βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+β

αβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=-

β

αβ

αβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+β

αβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=

-5、二倍角公式

α

ααcos sin 22sin =…ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=)

(*α

αα2tan 1tan 22tan -=

6、万能公式

，，。

ααα2tan 1tan 22sin +=ααα22tan 1tan 12cos +-=α

αα2tan 1tan 22tan -=万能公式告诉我们，单角的三角函数都可以用半角的正切来表示。7、和差化积公式

2

cos 2

sin

2sin sin β

αβ

αβα-+=+ 2sin

2cos

2sin sin β

αβ

αβα-+=-

2

cos

2cos

2cos cos β

αβ

αβα-+=+2

sin

2

sin

2cos cos β

αβ

αβα-+-=-

8、积化和差公式

[])sin()sin(2

1

cos sin βαβαβα-++=⋅[])sin()sin(2

1

sin cos βαβαβα--+=⋅[])cos()cos(2

1

cos cos βαβαβα-++=

⋅[])cos()cos(2

1

sin sin βαβαβα--+-

=⋅我们可以把积化和差公式看成是和差化积公式的逆应用。

9、辅助角公式

)

sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a 其中：角的终边所在的象限与点所在的象限相同，

ϕ),(b a ，，。2

2sin b a b

+=

ϕ2

2cos b a a +=

ϕa

b =

ϕtan 反三角函数

，存在唯一确定，使得，这时的反函数记为[1,1]y ∀∈-[,]22

x ππ

∈-

sin y x =sin ,[,]22

y arc x x ππ

=∈-

类似可定义其他三角函数的反函数，各种反三角函数见下表1-1：

名称反正弦函数反余弦函数反正切函数反余切函数

定义

y=sinx(x∈〔-

,

〕的反函

2

π2

π

数，叫做反正弦函数，记作

y=cosx(x∈〔0,π〕)的反函数，叫做反余弦函数，记作x=arccosy

y=tgx(x∈(-

,

2

π

)的反函数，叫

2

π

做反正切函数，记

y=ctgx(x∈(0,π))的反函数，叫做反余切函数，记作x=arcctgy

表1-1

注记：根据原函数和反函数的图形关于直线对称，自己画出反三角函

y x =数的大致的图形。

x=arsiny

作x=arctgy

理解

arcsinx 表示属

于［-

,

］

2

π2

π

且正弦值等于x 的角

arccosx 表示属于［0，π］，且余弦值等于x 的角

arctgx 表示属于(-

,

)，且正切值

2

π2

π

等于x 的角

arcctgx 表示属于(0，π)且余切值等于x 的角

定义域［-1，1］［-1，1］(-∞，+∞)(-∞，+∞)值域［-

，

］

2π

2π

［0，π］(-

，

)

2π

2

π

(0，π)

单调性在〔-1，1〕上是增函数在［-1，1］上是减函数

在(-∞，+∞)上是增数

在(-∞，+∞)上是减函数奇偶性arcsin(-x)=-arcsinx

arccos(-x)=π-arccosx

arctg(-x)=-arctgx

arcctg(-x)=π-arcctgx

性质

周期性

都不是同期函数

恒等式

sin(arcsinx)=x(x∈［-1，1］)arcsin(sinx)=x(x∈［-

,

］)

2

π2

π

cos(arccosx)=x(x ∈［-1,1］)

arccos(cosx)=x(x ∈［0,π］)

tg(arctgx)=x(x∈R )arctg(tgx)

=x （x∈(-,)）

2π2πctg(arcctg x)=x(x∈R)

arcctg(ctgx)=x

(x∈(0,π))

互余恒等式arcsinx+arccosx=

(x∈［-1,1］)2

π

arctgx+arcctgx=

(X∈R)

2

π