瞬时变化率

f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1
x
y f ( x2 ) f ( x1 ) x x2 x1
瞬时速度
什么是物体运动的瞬时速度？
例1、一个小球从高空自由下落，其走过的路 程s（单位：m)与时间t(单位：s)的函数关系 为： s ( t ) 1 2 1
t1/s 5.1 5.01 时间的改变量 路程的改变量 平均速度(
(t ) / s (s) / m
t0/s 5 5 5 5
s ) /(m / s) t
0.1 0.01 0.001 0.0001
4.95 0.49 0.049 0.0049
49.5 49.049 49.0049 49.00049
5.001 5.0001
…
…
…
…
…
当时间t1趋于t0=5s时，平均速度趋于49m/s， 因此，可以认为t0=5s时的瞬时速度为49m/s。 物理意义：如果小球保持这一时刻的速度进行
运动的话，每秒将要运动49m。
例2、如图所示，一根质量分布不均匀
的合金棒，长为10m， （单位：m） 表示OX这段棒的长， （单位：kg） 表示OX这段棒的质量，它们满足下列 函数关系：
瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢。
x 从 x0变到 x1时，这段合金棒的平均线密度为
1 解：我们将长度每次都缩小为前面的 10
x0 / m x1 / m
长度 x 的改变量 质量 y的改变量 平均线密度
(x) / m (y ) / kg
y ( ) /(kg / m) x
2 2 2 2
2.1 2.01 2.001 2.0001
5s到6s这段时间内小球的平均速度为
s(6) s(5) 176.4 122.5 53.9(m / s) 65 1
5s到5.1s这段时间内小球的平均速度为
1 解：我们将时间每次缩短为前面的 10
s(5.1) s(5) 127.45 122.5 49.5(m / s) 5.1 5 0.1
2.001
2.0001
2
…
…
…
…
…
小结：
对于一般的函数 y f ( x) ，在自变量 x 从 x0变到 x1的过程中，若设 x x1 x0， y f ( x1) f ( x0 ) , 则函数的平均变化率为：
瞬时变化率。
y f ( x1) f ( x0 ) f ( x0 x0 ) f ( x0 ) x x1 x0 x 当 x 趋于0时，平均变化率就趋于函数在 x0点的
的合金棒，其质量为0.71kg.
结论：
对于一般的函数 y f ( x) ，在自变量 x 从 x0变到 x1的过程中，若设 x x1 x0， y f ( x1) f ( x0 ) , 则函数的平均变化率为：
瞬时变化率。
y f ( x1) f ( x0 ) f ( x0 x ) f ( x0 ) x x1 x0 x 当 x 趋于0时，平均变化率就趋于函数在 x0点的
复习回顾：
对于一般的函数y=f(x)来说，什么是函数的平均变化率？
对一般的函数y=f(x)来说，当自变量x从x1变为x2 时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它的平均变化率为
通常我们把自变量的变化x2 -x1 称为自变量的改变 量，记作 ，函数值的变化f(x2)- f(x1)称为函数值的 改变量，记作 y ， 这样，函数的平均变化率就可以 表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即
s (t )
其中 g 为重力加速度（g =9.8m/s），试估计小 球在t=5s这个时刻的瞬时速度。 当时间t从t0变到t1时，这段时间的平均速度为 分析：
2
gt

s(t0 )
t0 时位置
t1时位置
1 2 1 2 gt1 gt0 s s (t1 ) s (t0 ) 2 2 t t1 t0 t1 t0
瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢。
1 练习1：已知函数 y x ，求自变量在下列的 变化过程中，函数值的平均变化率： 自变量 x 从1变到1.1 自变量 x 从1变到1.01 自变量 x 从1变到1.001 估计当 x =1时，函数值的瞬时变化率是多少？ 1 解：由 y ，按照下表求出相应的平均变化率： x
0.1 0.01 0.001 0.0001
0.070 0.0071 0.00071 0.000071
0.70 0.71 0.71 0.71
…
…
…
…
…
当长度 x1趋于 x0 =2m时，平均线密度趋于 0.71kg/m，因此，可以认为 x0 =2m处线密度 为0.71kg/m。
物理意义：如果有1m长的这种线密度
x y
O
X
y f ( x) 2 x
x
估计该合金棒在
x =2m处的线密度。 密度就是这段合金棒的质量
与这段合金棒长度的比值。
注： 一段合金棒的平均线
分析：考虑一段合金棒的平均线密度 当长度
y f ( x1) f ( x0 ) 2 x1 2 x0 x x1 x0 x1 x0 x0 2m到x1 3m这段合金棒的平均线密 度为 f (3) f (2) 3.464 2.828 0.636(kg / m) 3 2 3 2
x0 x1
1 1.1 1 1.01
自变量改变量 函数值改变量 函数值的平均变 y 化率 y x
x
0.1 0.01 0.001
-0.0909 -0.00990 -0.000999
-0.909 -0.990 -0.999
1 1.001
练习2：某个物体走过的路程s（单位：m）是时间
t（单位:s）的函数： s t 2 1，通过平均速度估 计物体在t=2时刻的瞬时速度。 s t 2 1
我们按照下表计算出相应的平均速度
解：由 t0/s t1/s 2 2 2
s 时间的改变量 路程的改变量 平均速度( ) /(m / s) t (t ) / s (s) / m
2.1 2.01
0.1 0.01 0.001 0.0001
0.41
ห้องสมุดไป่ตู้
4.1
4.01 4.001 4.0001
0.0401
0.004001 0.00040001