数字信号处理dsp教程 答案 吴镇扬dsp_ch

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3 共轭对称性
复序列 ~x(n)
D[F ~ x(n)S ]X ~(k)
D[~ x F * (n )S ]X ~ * ( k)
D[~ x F * ( n S ) ]X ~ * (k)
D[F R ~ x (n S )e} { X ~ e ](k ) D[jF Im ~ x ( S n ){ } X ~ o ] (k )
m N 0 1x~(m)N 1N k01Y ~(k)W N (nm)k
N1~
~
x(m)y(nm)
m0
.
14
例 ~ x ( n ) { , 2 , 2 , 2 , 2 , 0 , 0 , 0 , }
~ y ( n ) { , 0 , 0 , 2 , 2 , 1 , 0 , 0 , }
N=7,计算
第 2 章 离散变换及其快速算法
本章内容:
离散傅里叶级数(DFS) 离散傅立叶变换(DFT) 基2快速傅立叶变换(FFT) 利用DFT做连续信号的频谱分析 FFT在分段卷积等中的应用
.
1
2.1 DFT
• 对于有限长序列,可以用离散傅里叶变 换(Discrete Fourier Transform,DFT) 来分析,DFT能反映信号的频域特征且 更便于用计算机处理。
时间函数 连续和非周期
连续和周期 离散和非周期
离散和周期
频率函数 非周期和连续 非周期和离散
周期和连续 周期和离散
一个域的离散对应另一个域的周期延拓,
一个域的连续必定对应另一.个域的非周期。
4
2.1.1 周期序列的离散傅里叶级数(DFS)
设 ~x(n) 是一个周期为N的周期序列, 即
~ x(n)~ x(nrN ) 周期序列 基频(2π/N)
n0
n0
~ x(n)IDF [X ~S(k)]1N1X ~(k)ej2N n Nk0
kN 1N k01X ~(k)WNn
k
只要知道周期序列一个周期的内容,其他的内容也都知道了。
所以,这种无限长序列实际上只有一个周期中的N个序列值
有信息。 因而周期序列和有限长序列有着本质的联系。
.
7

x~(n){,1,1,0,0, }
x~(n)N 1N k01Ckej(2/N)kn
N n 0 1x ~ (n )e j(2 /N )rn N n 0 1N 1N k 0 1 C kej(2 /N )k ( r)n
N n 0 1x ~(n )ej(2 /N )rn N k 0 1C k N 1N n 0 1ej(2 /N )k ( r)n
求所示周期序列的离散傅里叶级数表示式。
解:
~
~
3~
j nk
X(k)DF [x(n S)] x(n)e 2
n0
~
~
~
X (0) 2 X(1) 1 j X (2) 0
~
X(3) 1 j
~
x(n)
1[2(1
jn
j)e 2
(1
j3n
j)e 2 ]
4
11cos(n)1sin( n)
22 2 2 2
.
8
离散傅里叶级数(DFS)的性质
k次谐波
ek(n)ej2N k
n
ekrN(n)
离散傅里叶级数
~x(n)1N1X~(k)ej2Nkn
Nk0
谐波系数是以N为 周期的周期序列
ຫໍສະໝຸດ Baidu
取k=0 到N-1的N个独立谐波分量
X~(k)N1~x(n)ej2Nkn
. n0
5
推导
1N1
Nn 0
ej(2/N)rn10, ,rr为 m其 N ,m为 他任 值意整数
4 周期卷积 ~ x(n)和 ~ y(n)周期均 N 为
N 1 ~ x (m )~ y (n m ) N 1 ~ y (m )~ x (n m ) X ~ (k )Y ~ (k )
m 0
m 0
~ x (n )~ y (n ) 1N 1 X ~ (l)Y ~ (k l) 1N 1 Y ~ (l)X ~ (k l)
.
11
D[F R x ~ S (n e )} { 1 2 ]D[x F ~(n )S x ~ *(n )]12[X ~(k)X ~*(Nk)]
X ~e(k)1 2[X ~(k)X ~*(Nk)] X ~0(k)1 2[X ~(k)X ~*(Nk)]
共轭偶对称分量 共轭奇对称分量
.
12
离散傅里叶级数(DFS)的性质
.
2
傅里叶变换的几种可能形式
x a(t )

o
t
(a )
x p (t )
o Tp
x(n T)
(b ) t
To N点
xp(n )
nT
(c )
o
(d ) n
N点
.
|X a( j )| 1
- 0
o
0
| X p ( jk )|
o
k
|X ( ej)|
1/T

o
| X ( e jk s)|

o
s
3
N点
四种傅里叶变换形式的归纳
~
N1~
~
f(n)x(m)y(nm)
m0
解:两个周期序列的周期N=7,周期卷积过程用图示。
N1x~(n)ej(2/N)rnCr

n0
N1~
x(n)ej(2/N)nkCk
n0
~
Ck
呈周期性,其周期为N,
X(k)
.
Ck
X~(k)N1x~(n)ej(2/N)n k
n0
6
离散傅里叶级数(DFS)
j 2
WN e N
X ~(k)DF[~ xS(n)]N1~ x(n)ej2N nkN1~ x(n)WNnk
N m 0
N m 0
.
13

~
~
f(n)IDF[FS(k)]
~
~
IDF[XS(k)Y(k)]
N 1 N k01X~ (k)Y~(k)WNk n
N 1N k 0 1[m N 0 1x ~(m)W N m]kY ~(k)W N k n
N 1N k 0 1[m N 0 1x ~(m)Y ~(k)W N (nm)k]
1 线性
D [ a ~ x ( n F ) b ~ y ( n S ) a ] X ~ ( k ) b Y ~ ( k )
2 序列的移位
DF [~ x(Snm)]WN mX k~(k)ej2N mX k~(k) DF [W S N n~ xl (n)X ~(kl)
.
9
证:
~
N1~
DF [x(n Sm )] x(nm )W N nk
n0
N 1m~
N 1m~
x(i)W N kW iN m kW N mk x(i)W N ki
im
im
由于
~
x(i)及WNki
都是以N为周期的,即
N1m~
N1~
~
x(i)W N ki x(i)W N kiX(k)
im
i0
~
~
因此 DF [x(n Sm )]W N mX k(k)
.
10
离散傅里叶级数(DFS)的性质
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