巧用几何画板解决初中数学中考压轴题
运用几何画板对一道中考题进行探究与推广
△Ｄ ０ Ｃ为等 腰 三 角 形 ， 则有：
图３
平行线 的性质等． 它既考查 了学 生对知识 的综合 运用能 力， 也考查 了学生对 问题 的分 析 、 转化 和推理 能力 ． 借助 几何 画板对这道题进行深入 的探究 ， 能进 一步挖 掘题 目 的内在本 质 ， 从 中发现极 富趣 味的规 律 ， 再进 一步 进行 推广 ， 则能达到“ 举一反三” 的效果．
②如 图 ３ ， 连接 ｏ Ｅ 、 Ａ Ｅ由
题意得 ： 当 四边 形 Ａ Ｏ Ｄ Ｅ 为 梯
查． 纵 观 中考 数学试 题 中的后几 道大题 ， 很 多时候都 需
要综合运用各种知识 ， 有时甚至还 要用 到一 些特别 的技 巧， 才能把题 目解答 出来． 而 ２ ０ １ ３年广东省 广州市 中考
４ ＝ － ９ ０ 。 ， 则 Ｅ Ｄ Ｃ为直角． 由勾股定理得 ： 在 Ｒ ｔ △ｏ Ｅ Ｃ
Ｆ ｎ ｎ Ｆ
、
原 题 及 其解 答 思 路
似， 即△０ Ｅ Ｄ ∽ＡＣ Ｅ Ｏ， 则有 Ｌ ￣ Ｊ ＿ Ｊ ＝ ， 化 简得 到 ： Ｅ Ｄ・
Ｅ Ｃ ＝０ Ｅ ２ －４ ． 之 前 已经推 出 Ａ一 ５ ， 所 以ＡＥ ＡＣ是
等腰 三 角 形 ， 则 ＡＥ—Ｃ Ｅ ． 故得 Ｅ Ｄ・ Ａ Ｅ— Ｅ Ｄ ・Ｅ Ｃ＝ ＝ ＝
等， 即Ｃ Ｄ的长度一直保持 不变 ， 那 么在 几何 画板 中 ， 可
以画出以 Ｃ点为圆心 、 Ｃ Ｄ为半 径的圆 ， 而 Ｄ点则是 圆 Ｃ
与 圆 ０的 交 点 ； 此时 ， Ｄ 点 的 运 动 随 Ｃ 点 的 运 动 的 变 化
借“画板”之手,破中考压轴——对一道中考填空压轴题的思考
２ ０ １ ３ 年４ 月
借“ 画板 ” 之手 ． 破中考压轴
— —
对一道 中考填 空压轴题 的思考
邓继 雄
⑩ 广 东 省 佛 山市 顺 德 区龙 江 龙 山初 级 中学
以 函数 图像 为背景 ， 根 据 函数 图像 的性 质 ， 结合 几
何 图形 的基本性 质进行相关 的计算或证 明 ， 是 中考数学 的热 门题 目． 现提供 一 道 中考填 空 压轴 题 ， 并 提 出个 人 的见解 ， 与 同行 交 流探讨 ， 以期在今 后 的解题 教学 中有
围是一
，
过点Ｐ， 且 与 轴所成 的角等 于６ ０ 。 ， 于是设 直线０ Ｂ 的解 析式 是ｙ ＝ 一 ＼ ／ ｘ ＋ ｂ ， 把点 Ｐ 的坐标 （ ， ０ ） 代 入 求 出直 线 ０～ Ｂ的解析式 是’ ， ＝ 一 、 ／ 了 ＋ ＼ ／ 了 ｔ②．如果仅考 虑 直线
惯’ ． ” 弗赖 登塔尔指 出 ： “ 反 思 是 数 学 思 维 活 动 的 核 心 和 动力． 在数学 活动 中引导学生及 时 、 多角度地 反思 ． 能 促
（ ２ ） 如 图２ ， 在 直 角 梯 形Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
中， Ａ Ｄ／ ／ Ｂ Ｃ （ Ｂ Ｃ ＞ Ａ Ｄ） ， ／Ｂ ＝ ９ ０ 。 ，
、 ‘； 。
＼
／
由轴对称变换可知 ：
０ Ｐ Ｍ＝ ０腓 ３ ０
０
Ｂ 日Ｐ ＼
代人 双曲线 的解 析式 得方 程 、 ／ 了ａ （ ａ ＋ ２ ） ＝ ４ 、 ／ 了， 解 得 ０ ＝ 一 １ ± 、 ／ 了， 这里取 一 １ ＋ 、 ／ 了， 负值舍去 ， 所 以Ｂ Ｐ ＝ ２ Ｂ Ｈ＝
过点 ， 可以求出反比例函数的解析式为ｙ ： ！
几何画板初中题讲解
几何画板初中题讲解摘要：1.介绍几何画板的作用和应用场景2.分析几何画板在初中数学教学中的重要性3.讲解如何使用几何画板解决初中数学题目4.列举了几何画板初中题讲解的实例5.总结使用几何画板进行初中题讲解的注意事项正文：几何画板是一种非常实用的数学教学工具，它可以帮助教师和学生们更好地理解和掌握几何知识。
在初中数学教学中，几何画板的应用尤为重要，因为它可以直观地展示几何图形的性质和关系，使得学生们更容易理解抽象的数学概念。
几何画板在初中数学教学中的重要性不言而喻。
首先，它能帮助教师更好地进行课堂教学。
例如，在讲解几何图形的性质时，教师可以利用几何画板现场绘制图形，并动态展示图形的变换过程，使得学生们能直观地感受到几何图形的特点。
其次，几何画板还能激发学生的学习兴趣。
通过亲手操作几何画板，学生们可以亲自实践几何知识，从而提高学习兴趣和积极性。
那么，如何使用几何画板解决初中数学题目呢？以下是一些具体的实例：1.利用几何画板绘制几何图形，如直线、圆、三角形等，并测量图形的边长、角度等。
2.通过几何画板的几何变换功能，分析图形的平移、旋转、翻转等变换过程，从而理解图形的性质和关系。
3.在几何画板上进行几何图形的构造，如根据已知条件构造全等三角形、相似三角形等。
4.利用几何画板进行几何题目的求解，如求解直角三角形的高度、求解圆的面积和周长等。
5.通过几何画板分析几何图形的稳定性，如判断四边形的稳定性、分析三角形的稳定性等。
在使用几何画板进行初中题讲解时，还需要注意以下几点：1.合理选择题目，突出几何画板的优势。
并非所有题目都适合使用几何画板讲解，教师应根据教学内容和学生的实际需求，选择合适的题目进行讲解。
2.注重几何画板的操作技巧，提高讲解效率。
教师应熟练掌握几何画板的操作方法，以便在课堂上迅速绘制和调整图形。
3.结合实际教学需求，灵活运用几何画板的功能。
几何画板不仅具有绘图功能，还具有动画、测量等丰富功能，教师应根据教学需求，灵活运用这些功能，提高教学质量。
几何画板探究中考例题
几何画板探究中考例题
几何画板是一个强大的数学软件，可以用来探究和解决各种几何问题，包括中考的几何题目。
以下是一个几何画板探究中考例题的过程：
题目：在Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 3，BC = 4，点 P 是边 AC、AB
上的动点，则 CP + BP 的最小值为 _______．
首先，在几何画板上绘制出直角三角形 ABC，并标记 AC = 3，BC = 4。
然后，我们注意到当点 P 是 AC、AB 上的动点时，CP + BP 的最小值实际
上是点 B 关于 AC 的对称点 B' 到点 C 的距离。
这是因为当点 P 移动到使得CP + BP 取最小值的点时，△CPB' 会是一个等腰三角形。
接下来，我们需要找到这个最小值。
首先，找到点B 关于AC 的对称点B'。
我们可以使用几何画板的“标记向量”和“平移”工具来完成这一步。
然后，使用线段工具连接点 B' 和 C。
使用“测量”工具测量 B'C 的长度，
这就是 CP + BP 的最小值。
最后，我们注意到 B'C 的长度实际上就是 BC 的长度，因为 B 和 B' 是关于AC 对称的。
所以，CP + BP 的最小值就是 BC 的长度，也就是 4。
通过几何画板的帮助，我们可以直观地理解这个问题，并准确地找到 CP + BP 的最小值。
这不仅帮助我们解决了这个问题，也提高了我们的几何直觉和问题解决能力。
几何画板实现了初中几何、函数教学难点的有效突破
几何画板实现了初中几何、函数教学难点的有效突破[摘要]初中几何、函数问题中的动态变化是传统数学教具较难演绎的，数的连续变化与点的运动之间的对应关系难于言表。
本文阐述了在初中几何、函数教学中如何运用几何画板解决教学难点的做法：利用几何画板帮助学生理解基本概念；使抽象的数学教学变得形象、直观；利用几何画板验证问题和揭示问题本质；给学生提供猜想和探索的技术环境。
几何画板引入初中数学课堂，它使初中几何、函数的教学出现质的飞跃。
学生动手操作，激发兴趣，体验数学过程，发现数学结论。
几何画板将传统数学教具表现的离散变成动态、连续，有效体现数形结合思想。
[关键词] 几何画板 难点突破一、初中几何、函数教学中的困惑及分析长期从事初中数学教学，一直困扰的问题有：[1]某些几何概念的给出及相应定理的推导都是静止、片面的，尤其是几何问题中的动态与变化是传统数学教具无法演绎的。
[2]函数教学（主要是一次函数、反比例函数和二次函数）一直是初中教学的难点，数的连续变化与点的运动之间的对应关系难于用语言表述清楚。
产生上述困惑的主要原因是：传统数学教具只能表述静止、离散的图形概念。
例如：三角形三边的中垂线必交于一点。
教师用尺规在黑板上画一个三角形，并作出各边的中垂线，由此知晓这些直线是否交于一点，但这样只能看到一个三角形的情况，无法更好地理解每个三角形都具有这个性质。
又如：研究一次函数b kx y +=（k ≠0,k 是常数）图象位置与k,b 的取值有关，尽管作一次函数的图象也比较简单，但每条直线只是独立的个体，不能看到它的连续变化。
二、几何画板（.GSP ）的优势分析初中数学课上一般用PPt 代替数学教师的板书，讲课的效率虽然提高，但表演成分居多，教学效果却不如传统的板书。
而几何画板的功能优势表现在：1）学习容易。
不需要编程，如果您已经有了Windows 的操作基础，能够经过一周的培训就可以比较熟练地掌握它，这对于不太熟悉计算机程序语言的数学教师无疑是“福音”。
几何画板背景下的2019年河南省中考数学压轴题
几何画板背景下的2019年河南省中考数学压轴题资料编号:2020020815522019年河南省中考数学第23题 23. 如图,抛物线c x ax y ++=212交x 轴于A 、B 两点,交y 轴于点C .直线221--=x y 经过点A 、C .（1）求抛物线的解析式;（2）点P 是抛物线上一动点,过点P 作x 轴的垂线,交直线AC 于点M ,设点P 的横坐标为m . ①当△PCM 是直角三角形时,求点P 的坐标;②作点B 关于点C 的对称点'B ,则平面内存在直线l ,使点M 、B 、'B 到该直线的距离都相等.当点P 在y 轴右侧的抛物线上,且与点B 不重合时,请直接写出直线b kx y l +=:的解析式.（b k ,可用含m 的式子表示）备用图几何画板动态体验打开几何画板文件名“19河南23”,用鼠标拖动点P ,观察△PCM 的形状,发现△PCM 可以两次成为直角三角形,如下页图所示;在拖动点P 的过程中,PMC ∠不可能成为直角. 满足条件的直线l 即△'MBB 的三条中位线所在的直线.①︒=∠90CPM ②︒=∠90PCM解题过程及评分标准 解:（1）令0221=--x ,解之得:4-=x ;令0=x ,则2-=y ∴()0,4-A ,()2,0-B把()0,4-A ,()2,0-B 分别代入c x ax y ++=212得: ⎩⎨⎧-==+-20216c c a ,解之得:⎪⎩⎪⎨⎧-==241c a ∴抛物线的解析式为221412-+=x x y ;……………………………………………………3分（2）∵点P 的横坐标为m ,∴⎪⎭⎫⎝⎛-+22141,2m m m P .①当△PCM 是直角三角形时,分为两种情况: 当︒=∠90CPM 时,x PC //轴,∴C P y y =. ∴2221412-=-+m m ,解之得:01=m （不符合题意,舍去）,22-=m ∴()2,2--P ;……………………………………………………………………………………5分 当︒=∠90PCM 时,过点P 作y PN ⊥轴于点N . ∴()m m m m y y y y CN m PN C P C N 2141222141,22+=---+=-=-==. 易证:△PCN ∽△CAO .∴421412,2mm m AO CN CO PN +==∴m m m 221412=+,解之得:01=m （不符合题意,舍去）,62=m . 当6=m 时,=-+221412m m 1026216412=-⨯+⨯∴()10,6P .综上所述,点P 的坐标为()2,2--或()10,6;……………………………………………………8分 ②243--=m x y 或2244--+=x m m y 或2424-+-=m m y .…………………………………11分提示:由题意可知,满足条件的直线l 即△'MBB 的三条中位线所在的直线.∵y PM //轴,∴⎪⎭⎫⎝⎛--221,m m M根据中点坐标公式,BM 边的中点为⎪⎭⎫⎝⎛--+141,22m m .点C 为'BB 边的中点. 把()2,0-C ,⎪⎭⎫⎝⎛--+141,22m m 分别代入b kx y +=得: ⎪⎩⎪⎨⎧--=++-=141222m b k m b ,解之得:⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=2424b m m k . ∴直线l 的解析式为2424-+-=m my .其它结果按照相同的方法求得.。
几何画板中考压轴题确定点
R 综合题测验（一）利用等腰三角形确定点如图，直线MN与x轴，y轴分别相较于A,C两点，分别过A,C两点作x轴,y轴的垂线相较于点B，且OA,OC(OA>OC)的长分别是一元二次方程214480-+=的两根。
x x（1）求点C的坐标。
（2）求直线MN的解析式。
（3）在直线MN上存在点P，使P,B,C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点P的坐标。
分析：（1）点C 的坐标为（0,6）分析：（2）直线MN 的解析式为：643+-=x y 。
分析：（3）1(,)2525p -第二种情况：以点C 为顶点。
233263254(,),(,).5555p p第三种情况；以点P 为顶点。
4(4,3).p综合题测验（二）利用等腰三角形确定点如图，直线y=kx-3与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，且12OB OC . （1）求B 点坐标和k 值；（2）若点A （x ，y ）是直线y=kx-3上在第一象限内的一个动点，当点A 在运动过程中，试写出△AOB 的面积S 与x 的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） （3）探究：①当A 点运动到什么位置时，△AOB 的面积为94，并说明理由； ②在①成立的情况下，x 轴上是否存在一点P ，使△AOP 是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有P 点坐标；若不存在，请说明理由．分析（1）133,.22OC OB OC =∴== 点B 的坐标为3,02⎛⎫⎪⎝⎭3,03 2.2y kx k ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭把点B 代入中，解得（2）设点A 的坐标为(),23x x -,()1133923.22224S OB AD x x =⨯=⨯⨯-=-（3）①根据题意得399244x -=，解得x=3，则A 的坐标为（3,3）。
②：分析第一种情况：以点A 为顶点。
作AD x ⊥轴，垂足为点D.则点D 为1OP 所以点1(60)P ，第二种情况：一点O 为顶点。
中考数学复习指导：利用几何画板解决动态几何问题.doc
利用几何画板解决动态几何问题本文从三个方面谈谈动态几何问题的解题思路.一、动点问题动点问题是探索某个儿何图形上，一个或儿个点在运动变化过程中形成的数量关系、图形状态、图形之间的特殊关系等.解决此类问题，须关注点的运动方向、范围和速度，以便确定是否需要分类讨论.例1 已知直角坐标系中，菱形ABCD的位置如图1, C、D两点的坐标分别为(4,0), (0, 3),线段BE是菱形的高.现在有两个动点P, Q分别从A, C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为t秒.(1)求菱形ABCD的边长和它的而积及BE的长；(2)探究下列问题：①若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒2个单位.当点Q在线段BA 上时，求AAPQ的面积S关于t的函数关系式，以及S的最大值；②若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒k个单位.在运动过程中，任何时刻都有相应的聶值，使得AAPQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形.探究(=4秒的情形，并求出k的值.解析问题(1)比较简单，利用勾股定理就能求出菱形的边长和面积及BE的长；问题(2)的第①小题中，由于点P、Q都在运动，AAQP的大小在变化，点P、Q的运动吋间范围都不知道，因此求AAQP的血积的函数关系式及血积的最大值感觉无从下手，那么，如何才能解决问题呢？利用儿何画板作图1观察：①点击鼠标使点P、Q同时运动，观察点P、Q停止运动的时刻，找出运动时间范围；②观察AAQP大小随时间变化而变化，并在不同时刻作出它的高，找出AAQP的面积最大时刻；③观察这些三角形的高有什么位置关系？它们与线段BE有什么关系？④利用三角形相似，可以求出厶AQP的高.这样，它的面积为：242 24- ------- 1 + —t25 524/= -25('-y) +&0 < t < 5,・•・当“•时,S = 6.问题(2)的第②小题中，由于等腰三角形AQP并没有指定它的两腰，所以结论必须分情况讨论.利用几何画板作图2观察：点击鼠标使点P、Q同时运动，观察点Q的位置随着时间变化而变化，当点Q分别在边AB或边BC±时，来讨论AQAP三边之间的关系.图2（i ） 当点Q 在边BC 上时,PQNBE>PA, 只存在点Q,使QA = QP.•・• ACQM s MFM,・些二坐co _丝…CQ _ AF 1 V — 5，妣 22 i 114k = = 10；（ii ） 当点Q 在AB 上时，存在两点分别使 AP = AQ.AP = PQ.若AP = AQ （如图3）,则必=10 - 4 = 6,jt = y;若PA = PQ （如图4）,通过点P 作PF 丄 AQ,垂足为F ・由空—陛田 AP 一 AS'综合上所述，当t=4秒，以所得的等腰三角形APQ 沿底边翻折，翻折后得到菱形的k 值为耳，或丄，或2Z.10 2 50点评此题是以点的运动为背景，难度较大的一道综合题.抓住动点Q 与定点A,与得P ，譽二% AF = - P 尸25 9偿） AQ = 2AF = g. 于是，必=10 -誇 19425，97502825 9P构成等腰三角形是关键，再分类讨论，综合分析得出结论.二、动线问题动线问题是探索某个几何图形上，某线段在运动变化过程中形成的数量关系、图形的状态、图形之间的特殊关系等.例2 已知如图5,等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段““在厶ABC的边上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动(运动开始时，点M与点A重合, 点IV到达B 点时运动终止).过点M、N分别作AB的垂线，与AABC的其它边交于P、Q两点，线段MN 运动的时间为t秒.(1)线段MN在运动的过程中，t为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积;(2)线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S,运动的时间为t,求四边形MNQP的面积S随运动时间t的变化的函数关系式，并写出自变量t的取值.图5 图6解析在题(1)中，可利用几何画板作图6,点击鼠标使线段MN运动，观察四边形MPQN 的形状，当四边形MPQN为矩形时使运动停止，分析可知此时AACB的高是线段MN的垂直平分线，问题也就迎刃而解了.题(2)中的关键问题是，随着时间变化，四边形MPQN不但形状变化而旦大小也在变化.对此，可利用儿何画板作图7、图8、图9,用鼠标点击，使线段肘IV运动，观察四边形MPQN 的形状可以知道，在不同的时间段，四边形MPQN的形状大小都在变化，须分别讨论.⑴线段MN在点D的左侧，四边形MNQP是梯形，如图7. t的取值范围是OWtWl.(ii) 线段MN 在D 点的两侧，四边形MNQP 是梯形，如图8. t 的取值范围是 lWtv2・ (iii) 线段MN 在点D 的右侧，四边形MNQP 是梯形，如图9. t 的取值范圉是253.四边形PMNQ 的面积点评 线段MN 在AB 上运动，本质是相距1厘米的两动点M 、N 在线段AB 上运动, 将线段化为两端点的运动，抓住动点或动线的特点与规律，注意变化中图形的性质和特征, 进而求解.三、动面问题动面问题是探索在某个几何图形上，面在运动变化过程中形成的数量关系、图形的特 殊状态、图形Z 间的特殊关系等.A MN DB 图7A M "幵B 图8 • A D M N B图9-^31 + •事(2 < t < 3).2例3 如图10,在AABC 屮，ZC=45° , BC=10，高AD = 8.矩形EFPQ 的一边QP在BC边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H.(1)求证:(2)设EF=x,当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求其最大值;(3)当矩形EFPQ的而积最人时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿着射线QC匀速运动(当点Q与点G重合时停止运动).设运动时间为t秒，矩形EFPQ与AABC重壳部分的面积为S,求S与t的两数关系式.图10解析问题⑴⑵根据三角形相似就能解决；对问题(3),难度在于矩形QEFP随着时间的变化与AABC重叠部分的形状不断变化, 可利用几何画板作图，点击鼠标使矩形QEFP运动，观察可以知道在不同的时间段，矩形QEFP与AABC重叠部分的形状大小都在变化，须分吋间段讨论.(i)当0Wl<4时，矩形与ZXABC重程的部分为五边形EQ】PNM(如图11)；(ii)当4^1<5时，矩形与AABC重輕部分而积为直角梯形(如图12)；(iii)当5WtW9时，矩形与AABC重叠部分面积是等腰直角三角形(如图13).A图13则S与t的函数关系式为:-斗2 +20(0 W £ < 4),S =--4r +28(4 w t < 5),*(9 7)2(5 WtW9)・・点评本题第(3)问的难点是：由t的变化，矩形EFPQ被线段AB所截与AABC重叠部分将依次为五边形、四边形、三角形，最后消失.它蕴含着分类讨论的思想方法，须先确定t 的变化范围，再求面积S.。
《几何画板》助力初中数学教学
《几何画板》助力初中数学教学一、利用几何画板能使抽象数学的概念直观化如，几何画板在“变化”菜单中提供平移、旋转、对称等命令，使复杂的变化过程通过输入简单的指令即可操作完成。
几何画板也通过数形结合的方式，形象直观地展现数形之间的关系。
既能吸引学生的注意力，使概念直观化，知识明了，又能使学生了解到解题的关键点。
例1、某小区计划在长为a米，宽为b米的矩形场地上，修建同样宽为c米的两条小路，其余部分种草。
依照图中标注的数据，请你计算草坪的的面积.解：如图，将如图(1)四块草地向中间拼拢(即平移)得如图(2)，这样就形成了一个长为(a—c)米，宽为(b —c)米的矩形..•.S 空白=(a—c) X ( b — c) =ab - ac - bc + c2例2、画出将△ ABC绕点C逆时针旋转60°，得到B‘ C，并指出△ ACA' 的形状。
解：△ACA是等边三角形例3、如图（1），已知△ ABC和直线L,作出与△ ABC关于直线L对称的图形.二、利用几何画板能使复杂的问题简单化。
教学中若使用常规工具（如纸、笔、圆规和直尺）画图，画出的图形体现不出重要的几何规律。
而使用几何画板,可以在变化的图形中发现恒定不变的几何规律。
比如用画点、画线工具画出一个三角形后，作出它的三条角平分线、中线、中垂线，可以用鼠标任意拖动三角形的顶点和边，就可以得到各种形状的三角形，这个动态的演示，也可以用于验证“无论三角形如何变化，其三条角平分线线总是交于一点”。
例、作^ABC三个内角的平分线。
观察这一点到三条边的距离有何关系？分析：此例比较复杂，利用几何画板软件画图，并用文字语言阐述得到的性质.l CA解：点P是AABC的三条角平分线的交点，且PE丄BC, PF丄AC, PD±AB PD = PE= PF （角的平分线上的点到角两边的距离相等）三、利用几何画板能使不会动的图形，动起来，增强了学生识图和想象能力。
利用几何画板分析河南中考中的折叠问题
利用几何画板分析河南中考中的折叠问题河南省罗山县教学研究室姜国策河南省罗山县朱堂初级中学罗光尚为了考查学生数形结合的思想方法和空间想象能力，近年来，折叠问题成为河南中考高频考点之一，2013-2017年河南中考选填压轴题第15题无一年不涉及折叠问题，而且以两解甚至多解情况出现，有一定的难度。
在平面中实现这种折叠效果很困难，解这类题必须要有缜密的思维，扎实的基础和丰富的空间想象能力，讲授过程学生也不易理解，而在几何画板可以动态地展示这种折叠效果，很直观的观察出不同的位置状态，从而有效的进行分类讨论。
下面就来介绍如何利用几何画板来分析近年的几道河南中考中的折叠问题。
【例1】（2013•河南）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为．【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4﹣x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形．【解答】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∴AC=2243=5，∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，∴∠AB′E=∠B=90°，当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，∴EB=EB′，AB=AB′=3，∴CB′=5﹣3=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4﹣x，在Rt△CEB′中，∵EB′2+CB′2=CE2，∴x2+22=（4﹣x）2，解得x=32，∴BE=32；②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．t 2 = 4厘米t 1 = 3厘米动画点B'D C A t 2 = 4厘米t 1 = 3厘米动画点B'D CA 此时ABEB′为正方形，∴BE=AB=3．综上所述，BE 的长为32或3． 【画板绘图】1.利用变换菜单中的平移功能绘制长为AB=3，BC=4的矩形ABCD.2.在线段BC 上绘制点E---构造线段BE.3.选中线段AB 、BE 、点B---双击AE---变换---反射---得到△A EB′.4.构造线段B′C.5.选择E 点---编辑---操作类按钮---动画---OK.【动画演示】鼠标点击动画按钮或拖动点E ，即可很清晰的观察出∠EB′C=90°与∠C EB′=90°两种不同的位置状态.【例2】（2014•河南）如图矩形ABCD 中，AD=5，AB=7，点E 为DC 上一个动点，把△ADE 沿AE 折叠，当点D 的对应点D′落在∠ABC 的角平分线上时，DE 的长为_________．【分析】连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB 于点M ，CD 于点N ，作D′P⊥BC 交BC 于点P ，先利用勾股定理求出MD′，再分两种情况利用勾股定理求出DE ．【解答】如图，连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB 于点M ，CD 于点N ，作D′P⊥BC 交BC 于点P∵点D 的对应点D′落在∠ABC 的角平分线上，∴MD′=PD′， 设MD′=x，则PD′=BM=x，∴AM=AB﹣BM=7﹣x ，又折叠图形可得AD=AD′=5， ∴x 2+（7﹣x ）2=25，解得x=3或4，即MD′=3或4．在Rt△END′中，设ED′=a，①当MD′=3时，AM=7﹣3=4，D′N=5﹣3=2，EN=4﹣a ，∴a 2=22+（4﹣a ）2，解得a=52，即DE=52， ②当MD′=4时，AM=7﹣4=3，D′N=5﹣4=1，EN=3﹣a ， ∴a 2=12+（3﹣a ）2，解得a=53，即DE=53．故答案为：52或53．【画板绘图】1.利用变换菜单中的平移功能绘制长为AD=5cm，AB=7cm的矩形ABCD.2.在线段DC上绘制点E---构造线段DE、AE.3.选中线段AD、DE、点D—双击AE—变换—反射—得到△AED′.4.选择线段AB、BC，构造∠ABC角平分线..5.选择E点—编辑—操作类按钮—动画—OK.【动画演示】鼠标点击动画按钮或拖动点E，即可很直观的看出在D点运动过程中AD′与∠ABC 角平分线相交的两种情况，易于用勾股定理求解.【例3】（2015•河南）如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为．【分析】根据翻折的性质，可得B′E的长，根据勾股定理，可得CE的长，根据等腰三角形的判定，可得答案．【解答】（i）当B′D=B′C时，过B′点作GH∥AD，则∠B′GE=90°，当B′C=B′D时，AG=DH=12DC=8，由AE=3，AB=16，得BE=13．由翻折的性质，得B′E=BE=13．∴EG=AG﹣AE=8﹣3=5，2222B13512E EG'--=，∴B′H=GH﹣B′G=16﹣12=4，2222B4845H DH'+=+=（ii）当DB′=CD时，则DB′=16（易知点F在BC上且不与点C、B重合）．（iii）当CB′=CD时，∵EB=EB′，CB=CB′，∴点E、C在BB′的垂直平分线上，∴EC垂直平分BB′，由折叠可知点F与点C重合，不符合题意，舍去．综上所述，DB′的长为16或4516或5【画板绘图】1.自定义工具---四边形---正方形，绘制正方形ABCD.2.在AB 上绘制点E （AE 约为AB 的316），在BC 上绘制点F. 3.构造线段EF 、BE 、BF.4.选中线段BE 、BF 、点F---双击线段EF---变换---反射，得△E B′F.5.构造线段B′C 、B′D.6.选中点F---编辑---操作类按钮—动画—OK.【动画演示】鼠标点击动画按钮或拖动点F ，即可很直观的看出在F 点运动过程中DB ′=DC, DB ′= B ′C,B′C=DC 三种情况，然后对三种情况进行分类讨论.【例4】(2016•河南)如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB=3，点E 为射线BC 上一个动点，连接AE ，将△ABE 沿AE 折叠，点B 落在点B′处，过点B′作AD 的垂线，分别交AD ，BC于点M ，N ．当点B′为线段MN 的三等分点时，BE 的长为 ．【分析】根据勾股定理，可得EB′，根据相似三角形的性质，可得EN 的长，根据勾股定理，可得答案．【解答】由翻折的性质，得AB=AB′，BE=B′E．①当MB′=2，B′N=1时，设EN=x ，得21x +，△B′EN∽△AB′M，'''EN B E B M AB =，即2123x x +=x 2=4543515+= ②当MB′=1，B′N=2时，设EN=x ，得222x +△B′EN∽△AB′M，'''EN B E B M AB =，即241x x +=， B'D C BE B'D C B E B'D C B E （i ）B′D=B′C （ii ）DB′=CD （iii ）CB′=CD（2）解得x 2=12，BE=B′E=142+=322，故答案为：322或355． 【画板绘图】1. 绘制直线AD ，过A 绘制AB ⊥AD ， 过B 绘制直线BC.2. 在射线BC 上绘制任意点E ，构造线段AE 、AB 、BE.3.选中线段AB 、BE 、点B---双击线段AE---变换---反射，得△A B′E.4.过B′绘制直线MN ⊥AD ，绘制MN 的三等分点.5.选中点E---拖动点E 使点B′落在MN 上的不同位置—动画—OK.【动画演示】拖动点F ，即可很直观的看出在E 点运动过程中图形的改变，然后点B′落在MN 上的不同位置的数值进行计算.【例5】(2016•河南)如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BC=+1，点M ，N 分别是边BC ，AB 上的动点，沿MN 所在的直线折叠∠B ，使点B 的对应点B′始终落在边AC 上，若△MB′C 为直角三角形，则BM 的长为____________ ．【分析】①如图1，当∠B′MC=90°，B′与A 重合，M 是BC 的中点，于是得到结论；②如图2，当∠MB′C=90°，推出△CMB′是等腰直角三角形，得到CM=MB′，列方程即可得到结论． 【解答】①如图1，当∠B′MC=90°，B′与A 重合，M 是BC 的中点，∴BM=12BC=12(2+1)； ②如图2，当∠MB′C=90°，∵∠A=90°，AB=AC ，∴∠C=45°，∴△CMB′是等腰直角三角形，∴CM=2MB′，（1）∵BM=B′M，∴CM=2BM，∴CM+BM=2BM+BM=2+1，∴BM=1，故答案为：122+12或1．【画板绘图】1.自定义工具---三角形---含45°角的直角三角形--等腰Rt△ABC.2.在AC上绘制点B′，绘制线段B B′.3.选中B B′--构造—中点--选中线段BB′及中点—构造垂线，交AB与N，交BC与M.4.选中点B′--拖动--使∠MB′C=90°或∠B′MC=90°--OK.【动画演示】鼠标拖动点B′，即可很直观的看出在B′运动过程中∠MB′C=90°或∠B′MC=90°的两种情形，然后对两种情况进行分类计算.随着科技的进步，课堂教学也与现代科技紧密结合，利用几何画板动态演示折叠与运动变化过程，易于展示抽象的内容，学生通过直观观察，可使折叠与动点运动展示得更加清晰明了，突破教学难点，从而降低了试题的难度,更益于学生的理解和接受。
利用几何画板解中考压轴的动态几何题
利用几何画板解中考压轴的动态几何题作者：季先武
来源：《中学课程辅导·教育科研》2019年第14期
【摘要】 ;动态几何问题通常是数形结合的综合性问题，题目灵活多变，此类问题通常是中考数学的“压轴题”，也是中考命题的热点题型。
几何画板以形象直观、动态展现来解决数学难题，收到很好的效果。
本文以2019年广东中考数学第25题为例，让动态问题所描述的运动过程真正实现，探究动态问题的解决思路和方法，以有效地理解问题、探索问题和解决问题，帮助读者形成一定的数学经验和积累。
【关键词】 ;几何画板动态几何中考数学
【中图分类号】 ;G633.6 ; ; ; ; ; ; ; ; 【文献标識码】 ;A 【文章编号】 ;1992-7711（2019）14-095-01。
利用《几何画板》的辅助教学提升九年级学生复习课效率的探究
利用《几何画板》的辅助教学提升九年级学生复习课效率的探究【摘要】中考数学复习是初中学生进行系统学习的最后阶段，所要复习的内容多而杂，复习的时间短而紧。
复习的压力对于师生来说都很大。
因此每年都会引起广大师生的高度重视.如何在漫长的复习阶段，既不让学生产生厌学的情绪，又可将学生的知识结构进行优化，提高他们的思维水平和认知能力，是我们面临的一个重要课题。
纵观当下初中数学复习课的教学，貌似落实了双基，实则是低层次的“一法一题、一点一题”的框式训练，一旦抛开既定的知识背景即无所适从，能力的培养严重滞后，使学生陷于题海中不能自拔，老师也累得唉声叹气。
因此改进我们的教学策略，优化课堂教学效率尤为关键。
运用几何画板辅助教学，能提高学生感性认识的效果，更好地体悟到数学知识的本质，提高学生思维水平。
【关键词】几何画板；复习课；思维水平；效率；梳理；沟通著名数学家、数学教育家G·波利亚曾精辟地指出：“数学有两个侧面，一方面它是欧几里德式的严谨科学，从这个方面看，数学像一门系统的演绎科学；但另一方面，创造过程中的数学，看起来却像一门实验性的归纳科学。
”《几何画板》在复习课中的应用，既可培养学生的严谨性，又可激发学生的创造性。
九年级的复习时间紧，任务重。
一般学校都要进行三轮复习，第一轮是章节复习，要涵盖三年共二十九章的内容。
第二轮是专题复习，第三轮是模拟试卷的训练。
几何画板在这三轮复习中都起到很重要的用处，在章节复习中我利用它来复习每章的知识点和串联各知识点。
让学生再次体会知识的由来，使各知识之间系统化，条理化。
我记得我的师傅告诉过我，每个数学知识点就像一颗颗散落的珍珠，要想让它们成为美丽的项链，就得靠一条链子将它们一颗一颗串起来，而这条链子就是知识的内在联系。
我利用几何画板这一手段将珍珠串成了项链。
在专题复习和模拟训练中，我利用几何画板的动态效果培养学生的分类，数形结合等良好的数学思想。
为学生解题能力的提高开辟一条新途径。
几何画板在初三专题复习课中的应用——以“二次函数图象”为例
2021 年第1 期中学数学月刊・ 51 ・几何画板在初三专题复习课中的应用——以“二次函数图象”为例**本文为江苏省教育科学“十三五”规划2020年度重点资助课题“条理与想象:几何画板提升数学思维能力的实践研究”（编号:Ba/ 2020/02/38）及苏州市教育科学“十三五”规划2019年度立项课题“妙用几何画板,提升学生思维品质途径研究”（编号：192011372）的 研究成果.冯伟（江苏省苏州市景范中学校215000）张 骅（江苏省苏州市第一初级中学校215000）《义务教育数学课程标准（011年版）》指 出：信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及教学方式产生了很大的影响.数学课程的 设计与实施应根据实际情况合理地运用现代信息技术,要注意信息技术与课程内容的整合,注重实 效•要充分考虑信息技术对数学学习内容和方式的影响，开发并向学生提供丰富的学习资源—巴现 代信息技术作为学习数学和解决问题的有力工具9有效地改进教与学的方式9使学生乐意并有可 能投入到现实的、探索性的数学活动中去• ”1如 何在数学教学中应用信息技术？经过多年的探索和实践，我们认为几何画板是一个很好的平台.本文以一节关于含参二次函数的区级公开课为例,谈谈在教学中如何通过合理运用几何画板 提升学生的数学思维能力1教学片断题目 已知二次函数—=mX 2 — 6x +8） ）m 为大于0的常数）.师:请同学们仔细研究二次函数的解析式,思 考这个函数的图象有什么特点生1我发现二次项系数大于0,所以抛物线的开口向上.师:很好，还能发现什么？生2：我把括号里面的式子进行因式分解，得到—=mX — 2） （x —4）,当—=0 时x =2 或4,所以这条抛物线与x 轴的交点为（2,） , （4,）.生3：根据这条抛物线与x 轴的交点为（2,0）,4,）,我们可以知道抛物线的对称轴是直线x = 3.师:大家回答得非常好，现在我们借助于几何 画板把这条抛物线画出来操作作直线犾卄—轴，点M 为直线2上且 在x 轴上方的任意一点,度量点M 的纵坐标m ,利 用m 的值作出函数—=mX 2—6x +8）的图象，交x 轴于点A 、点B ,交—轴于点C ,拖动点M 的时候,函数图象也随之变化，可以发现，抛物线在运动的过程中经过定点A , B （图1）图1 图2问题1以AC 为对称轴,将原点O 反射得到点。
2022河北省中考数学压轴题精讲,几何画板动画演绎
2022河北省中考数学压轴题精讲，几何画板动画演绎
2022河北省中考数学压轴题精讲，几何画板动画演绎临近2022年，每年都有许多小朋友为拿到理想的学校而努力。
2022年的河北省中考数学压轴题可谓极具挑战性，但小朋友们不要气馁，本文将介绍几何画板动画演绎，帮助大家学习准备河北省中考数学压轴题。
几何画板是一种深受教师和学生们喜爱的数学辅助教学设备，可以帮助学生更好地理解数学原理，从而更好地掌握和掌握考试知识。
几何画板可以帮助我们制作动画，用几何画板演示数学压轴题，更加形象地向学生们展示几何知识，让学生们理解和掌握的更加紧密，考试的可能性也更高。
首先，教师要充分了解几何画板操作，以便他们可以用几何画板来帮助学生们学习河北省中考数学压轴题，而不需要学生花费大量的精力去理解知识点。
掌握几何画板操作的基本知识后，就可以开始进行动画演示，教师可以将自己的展示在几何画板上，学生只需要根据老师的演示，理解几何知识，掌握压轴题的关键知识点。
接下来，教师用几何画板明确的图形，将河北省中考数学压轴题的步骤一步步分解展示出来，从而让学生理解压轴题的解题思路以及解题技巧，他们可以细致地观察几何图形，让压轴题变得更容易理解。
最后，教师可以借助几何画板演示，通过指导学生完成考试习题帮助学生练习，学习的过程中，学生可以针对压轴题的一些关键知识点，提出自己的问题，借助教师的画板演示以及讲解，让学生最终了
解几何及考试压轴题，为考试做好充分的准备。
以上就是本文介绍的河北省中考数学压轴题精讲，几何画板动画演绎，如果小朋友们想在中考中取得更好的成绩，那么就可以尝试使用几何画板来深入了解压轴题，提升学习效率。
虽然河北省中考数学压轴题极具挑战性，但只要努力，取得优异的成绩也是有可能的。
中考压轴题与几何画板
（2009年北京市）25.如图如图,,在平面直角坐标系xOy 中,△ABC 三个顶点的坐标分别为A (－6,0),B (6,0),C (0,43 )延长AC 到点D ,使CD ＝12AC ,过点D 作DE ∥AB 交BC的延长线于点E . （1）求D 点的坐标；（2）作C 点关于直线DE 的对称点F ,分别连结DF 、EF ,若过B 点的直线y ＝kx ＋b 将四边形CDFE 分成周长相等的两个四边形分成周长相等的两个四边形,,确定此直线的解析式；（3）设G 为y 轴上一点轴上一点,,点P 从直线y ＝kx ＋b 与y 轴的交点出发轴的交点出发,,先沿y 轴到达G 点,再沿GA 到达A 点,若P 点在y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2倍,试确定G 点的位置点的位置,,使P 点按照上述要求到达A 点所用的时间最短（要求：（要求：简述确定简述确定G 点位置的方法,但不要求证明）答案2009年北京市(2009年山西省)26.如图如图,,已知直线l 1:y ＝23x ＋83与直线l 2:y ＝－2x ＋16相交于点C ,l 1、l 2分别交x 轴于A 、B 两点两点..矩形DEFG 的顶点D 、E 分别在直线l 1、l 2上,顶点F 、G 都在x 轴上轴上,,且点G 与点B 重合重合. . （1）求△ABC 的面积；（2）求矩形DEFG 的边DE 与EF 的长；（3）若矩形DEFG 从原点出发从原点出发,,沿x 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移个单位长度的速度平移,,设移动时间为t (0≤t ≤12)秒,矩形DEFG 与△ABC 重叠部分的面积为S ,求S 关于的t 函数关系式,并写出相应的t 的取值范围的取值范围. .答案2009年山西省（2009年河北省）26如图如图,,在Rt △ABC 中,∠C ＝90°,AC ＝3,AB ＝5点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动匀速运动,,到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动匀速运动..伴随着P 、Q 的运动,DE 保持垂直平分PQ ,且交PQ 于点D ,交折线QB -BC -CP 于点E .点P 、Q 同时出发同时出发,,当点Q 到达点B 时停止运动时停止运动,,点P 也随之停止也随之停止..设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）. （1）当t ＝2时,AP ＝ , ,点点Q 到AC 的距离是的距离是 ；； （2）在点P 从C 向A 运动的过程中运动的过程中,,求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的过程中运动的过程中,,四边形QBED 能否成为直角梯形？若能能否成为直角梯形？若能,,求t 的值的值..若不能若不能,,请说明理由；请说明理由； （4）当DE 经过点C 时,请直接．．写出t 的值的值. .答案2009年河北省（2009年山西省太原市）29. . 如左图如左图如左图,,将正方形纸片ABCD 折叠折叠,,使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ,D 重合）重合）,,压平后得到折痕MN .当CE CD ＝12 时,求AMBN的值的值. . 方法指导：为了求得AMBN的值的值,,可先求BN 、AM 的长的长,,不妨设：AB ＝2. 类比归纳：在左图中在左图中,,若CE CD ＝13 则AM BN 的值等于的值等于 ；若；若CE CD ＝14 则AMBN 的值等于 ；若；若CE CD ＝1n (n 为整数为整数),),),则则AMBN的值等于的值等于 .( .( .(用含用含n 的式子表示）联系拓广：如右图将矩形纸片ABCD 折叠折叠,,使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ,D 重合）,压平后得到折痕MN ,设 AB BC ＝1m (m ＞1) CE CD ＝1n , ,则则AMBN 的值等于的值等于 . . .（用含（用含m ,n 的式子表示）的式子表示）答案2009年山西省太原市（2009年江西省）25.如图1,在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC ,E 是AB 的中点的中点,,过点E 作 EF ∥BC 交CD 于点F .AB ＝4,BC ＝6,∠B ＝60°. （1）求点E 到BC 的距离；的距离； （2）点P 为线段EF 上的一个动点上的一个动点,,过P 作PM ⊥EF 交BC 于点M ,过M 作MN ∥AB 交折线ADC 于点N ,连结PN ,设EP ＝x .①当点N 在线段AD 上时（如图2）,△PMN 的形状是否发生改变？若不变的形状是否发生改变？若不变,,求出△PMN的周长；若改变的周长；若改变,,请说明理由；请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3）,是否存在点P ,使△PMN 为等腰三角形？若存在为等腰三角形？若存在,,请求出所有满足要求的x 的值；若不存在的值；若不存在,,请说明理由请说明理由. .答案2009年江西省（2009年哈尔滨市）28.如图如图,,在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,,点O 是坐标原点是坐标原点,,四边形ABCO 是菱形,点A 的坐标为（－3,4）, 点C 在x 轴的正半轴上轴的正半轴上,,直线AC 交y 轴于点M ,AB 边交y 轴于点H . （1）求直线AC 的解析式；的解析式； （2）连接BM ,动点P 从点A 出发出发,,沿折线ABC 方向以2个单位／秒的速度向终点C 匀速运动运动,,设△PMB 的面积为S （S ≠0）,点P 的运动时间为t 秒,求S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）； （3）在（2）的条件下的条件下,,当 t 为何值时为何值时,,∠MPB 与∠BCO 互为余角互为余角,,并求此时直线OP 与直线AC 所夹锐角的正切值所夹锐角的正切值. .答案2009年哈尔滨市(2009山东省泰安市)26如图所示如图所示,,在直角梯形ABCD 中,∠ABC ＝90°,AD ∥BC ,AB ＝BC ,E 是AB 的中点的中点,,CE ⊥BD . （1）求证：BE ＝AD ；（2）求证：AC 是线段ED 的垂直平分线；的垂直平分线； （3）△DBC 是等腰三角形吗？并说明理由是等腰三角形吗？并说明理由. .答案2009山东省泰安市（2009年山东省日照）24.已知正方形ABCD 中,E 为对角线BD 上一点上一点,,过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ,连接DF ,G 为DF 中点中点,,连接EG ,CG . （1）求证：EG ＝CG ；（2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45°,如图②所示如图②所示,,取DF 中点G ,连接EG ,CG .问（1）中的结论是否仍然成立？若成立）中的结论是否仍然成立？若成立,,请给出证明；若不成立请给出证明；若不成立,,请说明理由请说明理由. . （3）将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度点旋转任意角度,,如图③所示如图③所示,,再连接相应的线段再连接相应的线段,,问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）答案2009年山东省日照（2009年湖北省黄石市）24、如图甲、如图甲,,在△ABC 中,∠ACB 为锐角为锐角,,点D 为射线BC 上一动点动点,,连结AD ,以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF .（1）如果AB ＝AC ,∠BAC ＝90°,①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合）不重合）,,如图乙如图乙,,线段CF 、BD 之间的位置关系为之间的位置关系为 , , ,数量关系为数量关系为数量关系为 . . ②当点D 在线段BC 的延长线上时的延长线上时,,如图丙如图丙,,①中的结论是否仍然成立①中的结论是否仍然成立,,为什么？为什么？ （2）如果AB ≠AC ,∠BAC ≠90°点D 在线段BC 上运动上运动. . 试探究：当△ABC 满足一个什么条件时满足一个什么条件时,,CF ⊥BC （点C 、F 重合除外）？画出相应图形重合除外）？画出相应图形,,并说明理由（画图不写作法）（画图不写作法）（3）若AC ＝42 ,BC ＝3,在（2）的条件下）的条件下,,设正方形ADEF 的边DE 与线段CF 相交于点P ,求线段CP 长的最大值长的最大值. .答案2009年湖北省黄石市(2009年山东省济宁市)26.在平面直角坐标中在平面直角坐标中,,边长为2的正方形OABC 的两顶点A 、C分别在y 轴、x 轴的正半轴上轴的正半轴上,,点O 在原点在原点..现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转点顺时针旋转,,当A 点第一次落在直线y ＝x 上时停止旋转上时停止旋转,,旋转过程中旋转过程中,,AB 边交直线y ＝x 于点M ,BC 边交x 轴于点N （如图）（如图）. .（1）求边OA 在旋转过程中所扫过的面积；在旋转过程中所扫过的面积； （2）旋转过程中）旋转过程中,,当MN 和AC 平行时平行时,,求正方形OABC 旋转的度数；旋转的度数； （3）设△MBN 的周长为p ,在旋转正方形OABC 的过程中的过程中,,p 值是否有变化？请证明你的结论结论. .答案2009年山东省济宁市（2009年襄樊市）26.如图如图,,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AD ＝2,BC ＝4点M 是AD 的中点,△MBC 是等边三角形是等边三角形. .（1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形；（2）动点P 、Q 分别在线段BC 和MC 上运动上运动,,且∠MPQ ＝60°保持不变°保持不变..设PC ＝x ,MQ＝y ,求y 与x 的函数关系式；的函数关系式； （3）在（2）中：①当动点P 、Q 运动到何处时运动到何处时,,以点P 、M 和点A 、B 、C 、D 中的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数；点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数； ②当y 取最小值时取最小值时,,判断△PQC 的形状的形状,,并说明理由并说明理由..答案2009年襄樊市（2009年衡阳市）26.如图如图,,直线y ＝－x ＋4与两坐标轴分别相交于A 、B 点,点M 是线段AB 上任意一点（A 、B 两点除外）两点除外）,,过M 分别作MC ⊥OA 于点C ,MD ⊥OB 于D .（1）当点M 在AB 上运动时上运动时,,你认为四边形OCMD 的周长是否发生变化？并说明理由；的周长是否发生变化？并说明理由； （2）当点M 运动到什么位置时运动到什么位置时,,四边形OCMD 的面积有最大值？最大值是多少？的面积有最大值？最大值是多少？ （3）当四边形OCMD 为正方形时为正方形时,,将四边形OCMD 沿着x 轴的正方向移动轴的正方向移动,,设平移的距离为a (0＜a ＜4),),正方形正方形OCMD 与△AOB 重叠部分的面积为S .试求S 与a 的函数关系式并画出该函数的图象并画出该函数的图象. .答案2009年衡阳市（2009年湖南娄底市）25.如图在△ABC 中,∠C ＝90°,BC ＝8,AC ＝6,另有一直角梯形DEFH （HF ∥DE ,∠HDE ＝90°）的底边DE 落在CB 上,腰DH 落在CA 上,且DE ＝4,∠DEF ＝∠CBA ,AH :AC ＝2:3.（1）延长HF 交AB 于G ,求△AHG 的面积的面积. .（2）操作：固定△ABC ,将直角梯形DEFH 以每秒1个单位的速度沿CB 方向向右移动方向向右移动,,直到点D 与点B 重合时停止重合时停止,,设运动的时间为t 秒,运动后的直角梯形为DEFH ¢（如图2）.探究1:在运动中在运动中,,四边形CDH ¢H 能否为正方形？若能能否为正方形？若能,,请求出此时t 的值；若不能若不能,,请说明理由理由..探究2:在运动过程中在运动过程中,,△ABC 与直角梯形DEFH ¢重叠部分的面积为y ,求y 与t 的函数关系的函数关系. .答案2009年湖南娄底市（2009年江苏省）28.如图如图,,已知射线DE 与x 轴和y 轴分别交于点D (3,0)和点E (0,4).动点C 从点M (5,0)出发出发,,以1个单位长度个单位长度//秒的速度沿x 轴向左作匀速运动轴向左作匀速运动,,与此同时与此同时,,动点P 从点D 出发出发,,也以1个单位长度个单位长度//秒的速度沿射线DE 的方向作匀速运动的方向作匀速运动..设运动时间为t 秒.（1）请用含t 的代数式分别表示出点C 与点P 的坐标；的坐标；（2）以点C 为圆心、12t 个单位长度为半径的⊙C 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）左侧）,,连接P A 、PB .①当⊙C 与射线DE 有公共点时有公共点时,,求t 的取值范围；的取值范围； ②当△P AB 为等腰三角形时为等腰三角形时,,求t 的值的值. .答案2009年江苏省（2009年浙江丽水市）24. 已知直角坐标系中菱形ABCD 的位置如图的位置如图,,C ,D 两点的坐标分别为分别为((4,0),(0,3).).现有两动点现有两动点P ,Q 分别从A ,C 同时出发同时出发,,点P 沿线段AD 向终点D 运动,点Q 沿折线CBA 向终点A 运动运动,,设运动时间为t 秒.(1)填空：菱形ABCD 的边长是的边长是 ▲▲ 、面积是、面积是、面积是 ▲▲ 、高、高BE 的长是的长是 ▲▲ ；； (2)探究下列问题：探究下列问题：①若点P 的速度为每秒1个单位个单位,,点Q 的速度为每秒2个单位个单位..当点Q 在线段BA 上时上时,,求△APQ 的面积S 关于t 的函数关系式的函数关系式,,以及S 的最大值；的最大值； ②若点P 的速度为每秒1个单位个单位,,点Q 的速度变为每秒k 个单位个单位,,在运动过程中在运动过程中,,任何时刻都有相应的k 值,使得△APQ 沿它的一边翻折沿它的一边翻折,,翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形.请探究当t ＝4秒时的情形秒时的情形,,并求出k 的值的值. .答案2009年浙江丽水市（2009年浙江省湖州市自选题）25.若P 为△ABC 所在平面上一点所在平面上一点,,且∠APB ＝∠BPC ＝∠CP A ＝120°,则点P 叫做△ABC 的费马点的费马点.. (1)若点P 为锐角△ABC 的费马点的费马点,,且∠ABC ＝60°,P A ＝3,PC ＝4,则PB 的值为的值为_______________；； (2)如图如图,,在锐角△ABC 外侧作等边△ACB ¢连结BB ¢.求证：BB ¢过△ABC 的费马点P ,且BB ¢＝P A ＋PB ＋PC .答案2009年浙江省湖州市自选题B'AB C(2009年甘肃省兰州市)29.（本题满分9分）如左图分）如左图,,正方形正方形 ABCD 中,点A 、B 的坐标分别为（0,10）,（8,4）,点C 在第一象限在第一象限..动点P 在正方形在正方形 ABCD 的边上的边上,,从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动匀速运动,,同时动点Q 以相同速度在x 轴正半轴上运动轴正半轴上运动,,当P 点到达D 点时,两点同时停止运动两点同时停止运动,,设运动的时间为t 秒. (1)当P 点在边AB 上运动时上运动时,,点Q 的横坐标x （长度单位）（长度单位）关于运动时间关于运动时间t （秒）（秒）的函数图的函数图象如右图所示象如右图所示,,请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度；运动速度； (2)求正方形边长及顶点C 的坐标；的坐标； (3)在（1）中当t 为何值时为何值时,,△OPQ 的面积最大的面积最大,,并求此时P 点的坐标； (4)如果点P 、Q 保持原速度不变保持原速度不变,,当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时匀速运动时,,OP 与PQ 能否相等,若能若能,,写出所有符合条件的t 的值；若不能的值；若不能,,请说明理由请说明理由..P CDB AOxyQ10111Otx答案2009年甘肃省兰州市(2009年浙江省嘉兴市)24.如图如图,,已知A 、B 是线段MN 上的两点上的两点,,MN ＝4,MA ＝1,MB ＞1.以A 为中心顺时针旋转点M ,以B 为中心逆时针旋转点N ,使M 、N 两点重合成一点C ,构成△ABC ,设AB ＝x .（1）求x 的取值范围；的取值范围；（2）若△ABC 为直角三角形为直角三角形,,求x 的值；的值； （3）探究：△ABC 的最大面积？的最大面积？答案2009年浙江省嘉兴市。
用几何画板巧解一道中考题
用几何画板巧解一道中考题
王娟恒;杨绍国
【期刊名称】《中学数学研究（下半月）》
【年(卷),期】2014(000)006
【摘要】原由笔者在一次教研活动中看到几个同行在热烈讨论一道填空题的答案,经过一节课的辩论大家得出了得到结果的条件,一致认为特殊值应该在特殊位置,但不知所以然.笔者后来上网发现该题是2008年义乌市中考试卷第16题,网上给出的解答比较牵强,而且不便于学生掌握,于是借助几何画板对该题作了探讨,第二天上课发现这样不仅易于学生理解,而且激发了学生的学习兴趣.现将分析过程整理如下，从解题角度对其作解析，体现几何画板在解题中巧妙运用．
【总页数】1页(P35-35)
【作者】王娟恒;杨绍国
【作者单位】江苏省盐城市初级中学教育集团盐阜校区,224001
【正文语种】中文
【中图分类】O18
【相关文献】
1.利用几何画板讨论一道杠杆中考题的几种变化 [J], 朱红伟
2.基于几何画板对一道中考题的探究 [J], 卢汝金
3.运用几何画板对一道中考题进行探究与推广 [J], 吴舒昊
4.用几何画板探结论、寻解法——对一道中考题的解法探究 [J], 周继承
5.用几何画板探结论、寻解法——对一道中考题的解法探究 [J], 周继承;
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几何画板 (The Geometer’s Sketchpad) 是美国一款优
秀的教育软件，最新版为 5.03，在许多方面都加以了改进，
使得新版的功能更加强大。人民教育出版社 1995 开始引入并
画板体验：先按题目要求作出几何画板课件，然后让点 P
在 x 轴正半轴上运动，可以发现，⊿ MON 与⊿ QOP 保持相似，
OP=2OQ 恒不变；还可以感觉到 M、P 关于 y 轴对称；还能感觉
到 PQ 的垂直平分线与 MN 平行，不过点 M，所以不存在 MP ＝
MQ 的情况。通过几何画板的探索，找出内在的规律，我们就
二、以教学诊断为核心，引导青年语文教师关注自己的 课堂教学
教学思想的管理是教学管理的核心。著名语文教育家钱 梦龙说，“教学方法是雕虫小技，教学观念好比是空气—— 看不见、摸不着，但无处不在。”青年语文教师在教学中容易 出现不符合语文教学规律，不切合语文学科特点，丧失语文味， 甚至不自觉地违背课改精神的思想和行为等问题。为了使青 年语文教师得到更权威的指导、更专业的引领，很有必要定期 邀请当地教研室语文专家到校督导，重点对他们的课堂教学 进行诊断。要通过随堂听课，重点诊断他们是否把握了语文 特质，课堂教学是否具有语文味：在课堂里，教师是否引导 学生诵读、感悟、体味语言文字，借助各种语文知识深入文本， 充分发觉和发扬课文的特点，是否文字技巧和思想情趣双管 齐下。要诊断他们是否转换了教师角色，是否朝学生学习的“积 极推进者、平等对话者”的方向努力；是否关注了学生的学， 是否体现情感、态度、价值观的统一；是否善于引导学生解
可以大胆地猜想并解题了。
解： ⑴ 因 为 y=kx+k 过 (1,4), 所 以 k+k=4,k=2,y=2x+2，
所以 M(-1,0)，N(0,2)，过 M、N 画直线就是一次函数的图像。
⑵ 由 ∠ MNO+ ∠ NMO=90o， ∠ P+ ∠ NMO=90o， 得
∠ MNO= ∠ P，
又 ∠ MON= ∠ POQ=90o 所 以 ⊿ MON ∽ ⊿ QOP.
学段学生要完成 40--60 万字的阅读量。 （2）网络文本材料 网络材料的内容无所不包，同时它还具有新鲜、快速的
特点。在开发单元话题中，网络文本材料尤其大有用武之地。 近期的报纸、报刊可能会没有合适的材料，但网络材料绝对 不会出现这种情况。只要输入关键词，铺天盖地的信息只会 让你应接不暇。网络带给我们一个无限发挥的空间。
留心发现、挖掘，每一个单元都能延伸出无限的话题。一旦 找到了同学们共同感兴趣的话题，就可以设计形式多种多样 的活动。
3、阅读教学的延伸 《新课标》指出，高中英语教学目的是“在义务教育初 中英语教学的基础上，巩固、扩大学生的基础知识，发展听、 说、读、写的基本技能，培养在口头上和书面上初步运用英 语进行交际的能力，侧重培养阅读能力，因为阅读是理解和 吸收书面信息的手段，它有助于扩大词汇量、丰富语言知识， 了解英语国家的社会和文化。 那么新教材《牛津高中英语》给我们提供的了多少可理 解的阅读输入呢？该系列的必修模块，即模块一到模块五， 每个模块有三个单元，每单元有 4 篇阅读材料，阅读量约为 3000 字（Reading 部 分 一 篇，Project 部 分 一 篇，Workbook 部分两篇）。按这个标准，我们不难算出《牛津高中英语》 必修系列的五个模块总阅读量约为 4.5 万字。 （1）《21 世纪英文报》和《学生双语报》 我校高中学生人手一份《21 世纪英文报》。高一上学期， 我们为学生选用的材料是《21 世纪英文报》的中学生版，下 学期开始换成《21 世纪英文报》大学生版。高一学段学生的 阅读量应在 30--40 万字。高二除了继续沿用《21 世纪英文报》 大学生版外，还有选择地补充《China Daily》的文章。这一
应分三种情况来考虑，①以 M 为圆心，MN 为半径作圆，交 x
轴于 P1,P2 点；②以 N 为圆心，MN 为半径交 x 轴于 P3 点；③
最关键的，也是同学们最容易忽略的是作 MN 的垂直平分线交
x 轴于 P4 点，所以总共有四个点，下面作图加以说明。
答案：本题的图案就是用几何画板作出来的，清晰、明了，
介绍这款软件，并在新版的人教版初中数学教材中广泛地介
绍它的运用，引起了一线教师的重视，并在教学实践中积极
地使用。
教师在教学中使用几何画板，可使枯燥的内容变得非常
有趣，抽象的一些数学知识变得形象，静态的几何变成动态
的几何，使整个数学课堂变得生动起来，让学生对数学感兴
趣，从而激发他们的求知欲望。让学生去探索、发现数学结论，
第2期 2011 年 2 月
现代阅读
MODERN READING
巧用几何画板解决初中数学中考压轴题
程先贵 （重庆綦江打通中学）
NO.2 February.2011
【摘要】几何画板被誉为“二十一世纪的几何点金石”，它以直观、简洁、动态表现来解决几何和函数中的难题，收到很 好的效果。在初中的数学教学中，处理一些难题的灵魂是数形结合，数形结合的精髓是函数，函数的核心是运动变化，本文就 是力争让大家体验图形的运动变化，把握、认知数学的美和实质，巧妙运用几何画板解决初中数学中考中的压轴题。
4、写作教学的延伸 我们对学生在不同学段的写作能力也有相应的要求：高 一学段，我们要求学生能够写出语意连贯且结构完整的叙述 文和议论文，并做到文体规范、语句通顺。高二学段，学生 能够用英文书写摘要、报告、通知和信函，能比较生动地用 英语描述情景、态度或感情。到了高三学段，学生的词汇量 应该达到 8000 以上，运用词汇 2500 以上。学生能写出 250— 350 字的读书报告、书评、影评等文章 . 在培养学生的写作技能方面，最基本的方法是完成《牛 津高中英语》每单元任务栏中的写作练习。除此之外，我们 还让学生就所观看的影片等写观后感、就所阅读的文章写读 后感、让学生写新闻标题和新闻导语等。
现代阅读
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NO.2 February.2011
好风凭借力，送我上青云
——论青年语文教师的专业引领
刘再彪 （广东省东莞市东城高级中学）
【摘要】助力青年语文教师的成长、成材，是语文教研组建设的重点。青年语文教师的快速成长，迫切需要专业引领。一 是以转变学习观念为前提，引导他们在教中学、在合作中学；二是以教学诊断为核心，通过专家引领，引导他们关注自己的课 堂教学；三是以校本教研为支撑点，使教研组成为引领他们专业成长的乐园；四是引导他们自我反思，增强自主发展的内动力。
如因动点产生的相似三角形问题，因动点产生的平行四边形
的问题，因动点产生的函数关系问题等，太多了，本文也不 可能一一列举。但是我们应该把以前的中考压轴题拿来用动
态研究的观点大胆地探索、猜想，并加以论证，借用几何画
板这个工具把我们的智慧挖掘出来，长期锻炼下去，我们的 数学思维能力就会提高，就会在真正中考时爆发出最眩目的
【关键词】青年教师成长 专业引领 学习 教学诊断 反思 【中图分类号】G633.3 【文献标识码】A 【文章编号】1673—8497（2011）02—0120-02
青年教师是学校发展的希望，助力青年教师的成长、成材， 关系到学校可持续发展。青年教师思想活跃，上进心强，可 塑性大。他们初出茅庐，有热情，有干劲，急切渴望能教好 书育好人，但由于缺乏实际工作经验，教育教学中会面临不 少的问题和挑战。因此，在语文教研组建设中，要整合全组 力量，把重点放在引领青年语文教师的专业成长上，正所谓“好 风凭借力，送我上青云”。
一、以转变学习观念为前提，引导青年语文教师在教中学、 在合作中学
“活到老，学到老”，教师要充当终身学习者。教师的 职业特点决定，其学习应是持续不断的。青年语文教师学习 的顺利开展首先需要解决学习观念上的问题，要避免步入以 下误区：
一是先教后学，将学习与工作相分离。有些青年语文教 师认为，自己最缺的就是教学实践，认为全身心上好课才是 最紧要的。加之语文老师备课量大，作业批改量也大，根本没 时间看书，学习便只局限于进修或培训等常规形式，没有很 好地与教学工作结合起来。不少青年语文教师在大学毕业工 作几年甚至十几年之后很少看书，几乎缺失了文学感受力和 鉴赏力，有的已明显有了一种职业枯竭感。要避免“职业枯竭”， 就应该充分认识到教与学是紧密联系的，正如孔子所说的“教 学相长”一样，在教的过程中教师也是在学习，而不是教与 学相分离。青年教师要快速成为学生的引路人、同伴和合作者， 实现新课程改革中所要求的教师角色的转变，就必须做一名 忠实的学习者，就必须在“教”的实践中“学”。
,即
，得 a=2b. ⑶① PM=PQ 时，PM2=PQ2，即（1+2b）2=b2+(2b)2，解得
, 所以
.
②当 QM=QP 时，由对称可知，P 坐标为 (1,0), 因此
所以
.
③ 当 MP=MQ 时，MP2=MQ2, 即 (1+2b)2=12+b2， 解 得 b=0
或 , 都不合题意 . 当然，中考中能用几何画板探索的题型远不止这些，比
光彩，拿到数学满分。几何画板是一个非常不错的数学教学
工具，希望广大教师在平时的教学中能重视它，运用好它， 这样你的数学教学会更加丰富多彩。
网络出版时间：2011-5-4 10:35:43
DOI:CNKI:11-5566/G2.20110504.1035.179
- 120 - 网络出版地址：/kcms/detail/11.5566.G2.20110504.1035.179.html
层次分明。P 点坐标可为：(-4,0)，(9,0)，(-1,0)， 最后 一个点的坐标应先求出直线 MN 的解析式，然后利用两直线垂 直，x 的系数相乘为 -1，求出 MN 的垂直平分线的斜率 k, 再 代线段 MN 中点坐标求出垂直平分线的解析式，然后让 y 值为 0， 即可求出 P4 的坐标。