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南京市鼓楼区中考一模数学试卷及答案

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2024届江苏省南京市鼓楼区鼓楼实验中学中考数学全真模拟试题含解析

2024届江苏省南京市鼓楼区鼓楼实验中学中考数学全真模拟试题含解析

2024届江苏省南京市鼓楼区鼓楼实验中学中考数学全真模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．等腰三角形两边长分别是2 cm 和5 cm ，则这个三角形周长是（ ）A ．9 cmB ．12 cmC ．9 cm 或12 cmD ．14 cm2．如果数据x 1，x 2，…，x n 的方差是3，则另一组数据2x 1，2x 2，…，2x n 的方差是（ ）A ．3B ．6C ．12D ．53．某青年排球队12名队员年龄情况如下： 年龄18 19 20 21 22 人数 1 4 3 2 2则这12名队员年龄的众数、中位数分别是（ ）A ．20，19B ．19，19C ．19，20.5D ．19，204．下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．下列四个图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如果关于x 的方程220x x c ++=没有实数根，那么c 在2、1、0、3-中取值是（ ）A ．2；B ．1；C ．0；D ．3-．7．下列运算中，计算结果正确的是（ ）A ．a 2•a 3=a 6B ．a 2+a 3=a 5C ．（a 2）3=a 6D ．a 12÷a 6=a 2 8．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，若BC=2，则EF 的长度为（ ）A．B．1 C．D．9．用配方法解方程x2﹣4x+1＝0，配方后所得的方程是（）A．（x﹣2）2＝3 B．（x+2）2＝3 C．（x﹣2）2＝﹣3 D．（x+2）2＝﹣310．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D 为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（）A．312B．36C．33D．3211．某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x件衬衫，则所列方程为（）A．10000x﹣10=14700(140)0x+B．10000x+10=14700(140)0x+C．10000(140)0x-﹣10=14700xD．10000(140)0x-+10=14700x12．如图，已知△ABC，△DCE，△FEG，△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG，GI在同一直线上，且AB=2，BC=1．连接AI，交FG于点Q，则QI=（）A．1 B 61C66D．43二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东方向60°，距离灯塔为4海里的点A 处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置，海轮航行的距离AB 长_____海里．14．为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3000元．若每个篮球80元，每个足球50元，则篮球最多可购买_____个．15．分解因式2242xy xy x ++=___________16．如图是由两个长方体组合而成的一个立体图形的三视图，根据图中所示尺寸（单位：mm ），计算出这个立体图形的表面积．17．已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，且半径OC ⊥AB ，点D 在半径OB 的延长线上，且∠A=∠BCD=30°，AC=2，则由BC ，线段CD 和线段BD 所围成图形的阴影部分的面积为__．18．在ABC 中，A ∠：B ∠：C ∠=1：2：3，CD AB ⊥于点D ，若AB 10=，则BD =______三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和直线m ，给出如下定义：若存在一点P ，使得点P 到直线m 的距离等于1，则称P 为直线m 的平行点．（1）当直线m 的表达式为y ＝x 时，①在点()11,1P ，(22P ，322P ⎛ ⎝⎭中，直线m 的平行点是______； ②⊙O 10，点Q 在⊙O 上，若点Q 为直线m 的平行点，求点Q 的坐标．（2）点A 的坐标为（n ，0），⊙A 半径等于1，若⊙A 上存在直线3y x =的平行点，直接写出n 的取值范围．20．（6分）如图所示，点C为线段OB的中点，D为线段OA上一点．连结AC、BD交于点P．（问题引入）（1）如图1，若点P为AC的中点，求ADDO的值．温馨提示：过点C作CE∥AO交BD于点E．（探索研究）（2）如图2，点D为OA上的任意一点（不与点A、O重合），求证：PD AD PB AO=．（问题解决）（3）如图2，若AO=BO，AO⊥BO，14ADAO=，求tan∠BPC的值．21．（6分）西安汇聚了很多人们耳熟能详的陕西美食．李华和王涛同时去选美食，李华准备在“肉夹馍（A）、羊肉泡馍（B）、麻酱凉皮（C）、（biang）面（D）”这四种美食中选择一种，王涛准备在“秘制凉皮（E）、肉丸胡辣汤（F）、葫芦鸡（G）、水晶凉皮（H）”这四种美食中选择一种．（1）求李华选择的美食是羊肉泡馍的概率；（2）请用画树状图或列表的方法，求李华和王涛选择的美食都是凉皮的概率．22．（8分）已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．（I）如图①，若BC为⊙O的直径，求BD、CD的长；（II）如图②，若∠CAB=60°，求BD、BC的长．23．（8分）如图，∠A＝∠D，∠B＝∠E，AF＝DC．求证：BC＝EF．24．（10分）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．求证：△ABM ∽△EFA ；若AB=12，BM=5，求DE 的长．25．（10分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB 的两个端点均在小正方形的顶点上．在图中画出以线段AB 为一边的矩形ABCD （不是正方形），且点C 和点D 均在小正方形的顶点上；在图中画出以线段AB 为一腰，底边长为22的等腰三角形ABE ，点E 在小正方形的顶点上，连接CE ，请直接写出线段CE 的长．26．（12分）如图，在△ABC 中，∠C=90°．作∠BAC 的平分线AD ，交BC 于D ；若AB=10cm ，CD=4cm ，求△ABD 的面积．27．（12分）先化简，再求值：222221412()x x x x x x x x-+-+÷-+，且x 为满足﹣3＜x ＜2的整数．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、B【解题分析】当腰长是2 cm 时，因为2+2<5，不符合三角形的三边关系，排除；当腰长是5 cm 时，因为5+5>2，符合三角形三边关系，此时周长是12 cm ．故选B ．2、C【解题分析】【分析】根据题意，数据x 1，x 2，…，x n 的平均数设为a ，则数据2x 1，2x 2，…，2x n 的平均数为2a ，再根据方差公式进行计算：()()()()222221231n S x x x x x x x x n ⎡⎤=-+-+-++-⎣⎦即可得到答案． 【题目详解】根据题意，数据x 1，x 2，…，x n 的平均数设为a ，则数据2x 1，2x 2，…，2x n 的平均数为2a ， 根据方差公式：()()()()222221231n S x a x a x a x a n ⎡⎤=-+-+-++-⎣⎦=3， 则()()()()22222123122222222n S x a x a x a x a n ⎡⎤=-+-+-++-⎣⎦ =()()()()222212314444n x a x a x a x a n ⎡⎤-+-+-++-⎣⎦ =4×()()()()22221231n x a x a x a x a n ⎡⎤-+-+-++-⎣⎦ =4×3=12，故选C ．【题目点拨】本题主要考查了方差公式的运用，关键是根据题意得到平均数的变化，再正确运用方差公式进行计算即可．3、D【解题分析】先计算出这个队共有1+4+3+2+2=12人，然后根据众数与中位数的定义求解．【题目详解】这个队共有1+4+3+2+2=12人，这个队队员年龄的众数为19，中位数为20202+=1． 故选D ．【题目点拨】本题考查了众数：在一组数据中出现次数最多的数叫这组数据的众数．也考查了中位数的定义．4、D【解题分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【题目详解】解：A 、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；B 、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；C 、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，符合题意．故选D．【题目点拨】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，解答时要注意：判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部沿对称轴叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图重合．5、D【解题分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．【题目详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形；B、是轴对称图形，不是中心对称图形；C、是轴对称图形，不是中心对称图形；D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故选D．【题目点拨】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．6、A【解题分析】分析：由方程根的情况，根据根的判别式可求得c的取值范围，则可求得答案．详解：∵关于x的方程x1+1x+c=0没有实数根，∴△＜0，即11﹣4c＜0，解得：c＞1，∴c在1、1、0、﹣3中取值是1．故选A．点睛：本题主要考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．7、C【解题分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相减；同底数幂相除，底数不变指数相减对各选项分析判断即可得解．【题目详解】A、a2•a3=a2+3=a5，故本选项错误；B、a2+a3不能进行运算，故本选项错误；C 、（a 2）3=a 2×3=a 6，故本选项正确；D 、a 12÷a 6=a 12﹣6=a 6，故本选项错误．故选：C ．【题目点拨】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．8、B【解题分析】根据题意求出AB 的值，由D 是AB 中点求出CD 的值，再由题意可得出EF 是△ACD 的中位线即可求出.【题目详解】∠ACB=90°，∠A=30°，BC=AB.BC=2, AB=2BC=22=4,D 是AB 的中点, CD=AB= 4=2.E,F 分别为AC,AD 的中点,EF 是△ACD 的中位线. EF=CD= 2=1.故答案选B.【题目点拨】本题考查的知识点是三角形中位线定理，解题的关键是熟练的掌握三角形中位线定理.9、A【解题分析】方程变形后，配方得到结果，即可做出判断．【题目详解】方程2410x x +=﹣，变形得：241x x =﹣﹣，配方得：24414x x +=+﹣﹣，即223x =（﹣），故选A ．本题考查的知识点是了解一元二次方程﹣配方法，解题关键是熟练掌握完全平方公式．10、B【解题分析】试题解析：如图所示：设BC=x，∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，∴AC=2BC=2x，AB33，根据题意得：AD=BC=x，AE=3，作EM⊥AD于M，则AM=12AD=12x，在Rt△AEM中，cos∠EAD=13263xAMAE x==；故选B．【题目点拨】本题考查了解直角三角形、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角函数等，通过作辅助线求出AM是解决问题的关键.11、B【解题分析】根据题意表示出衬衫的价格，利用进价的变化得出等式即可．【题目详解】解：设第一批购进x件衬衫，则所列方程为：10000x +10=()147001400x+．故选B．此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确找出等量关系是解题关键．12、D【解题分析】解：∵△ABC 、△DCE 、△FEG 是三个全等的等腰三角形，∴HI =AB =2，GI =BC =1，BI =2BC =2，∴AB BI =24=12BC AB ，=12，∴AB BI =BC AB ．∵∠ABI =∠ABC ，∴△ABI ∽△CBA ，∴AC AI =AB BI．∵AB =AC ，∴AI =BI =2．∵∠ACB =∠FGE ，∴AC ∥FG ，∴QI AI =GI CI =13，∴QI =13AI =43．故选D ． 点睛：本题主要考查了平行线分线段定理，以及三角形相似的判定，正确理解AB ∥CD ∥EF ，AC ∥DE ∥FG 是解题的关键．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、1【解题分析】分析：首先由方向角的定义及已知条件得出∠NPA=60°，AP=4海里，∠ABP=90°，再由AB ∥NP ，根据平行线的性质得出∠A=∠NPA=60°．然后解Rt △ABP ，得出AB=AP•cos ∠A=1海里．详解：如图，由题意可知∠NPA=60°，AP=4海里，∠ABP=90°．∵AB ∥NP ，∴∠A=∠NPA=60°．在Rt △ABP 中，∵∠ABP=90°，∠A=60°，AP=4海里，∴AB=AP•cos ∠A=4×cos60°=4×12=1海里．故答案为1．点睛：本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，平行线的性质，三角函数的定义，正确理解方向角的定义是解题的关键．14、1【解题分析】设购买篮球x 个，则购买足球()50x -个，根据总价=单价⨯购买数量结合购买资金不超过3000元，即可得出关于x 的一元一次不等式，解之取其中的最大整数即可．【题目详解】设购买篮球x 个，则购买足球()50x -个，根据题意得：()80x 5050x 3000+-≤， 解得：50x 3≤． x 为整数， x ∴最大值为1．故答案为1． 【题目点拨】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．15、22(1)x y +【解题分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【题目详解】原式＝2x （y 2＋2y ＋1）＝2x （y ＋1）2， 故答案为2x （y ＋1）2 【题目点拨】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 16、100 mm 1 【解题分析】首先根据三视图得到两个长方体的长，宽，高，在分别表示出每个长方体的表面积，最后减去上面的长方体与下面的长方体的接触面积即可． 【题目详解】根据三视图可得：上面的长方体长4mm ，高4mm ，宽1mm ， 下面的长方体长8mm ，宽6mm ，高1mm ，∴立体图形的表面积是：4×4×1+4×1×1+4×1+6×1×1+8×1×1+6×8×1-4×1=100（mm 1）． 故答案为100 mm 1． 【题目点拨】此题主要考查了由三视图判断几何体以及求几何体的表面积，根据图形看出长方体的长，宽，高是解题的关键．17、﹣23π． 【解题分析】试题分析：根据题意可得：∠O=2∠A=60°，则△OBC 为等边三角形，根据∠BCD=30°可得：∠OCD=90°，OC=AC=2，则CD=OCD122S =⨯=OBC 60423603S ππ⨯==扇形，则23S π=阴影． 18、2.1 【解题分析】先求出△ABC 是∠A 等于30°的直角三角形，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求解． 【题目详解】解：根据题意，设∠A 、∠B 、∠C 为k 、2k 、3k ， 则k+2k+3k=180°， 解得k=30°， 2k=60°， 3k=90°， ∵AB=10， ∴BC=12AB=1， ∵CD ⊥AB ， ∴∠BCD=∠A=30°， ∴BD=12BC=2.1． 故答案为2.1． 【题目点拨】本题主要考查含30度角的直角三角形的性质和三角形内角和定理，掌握30°角所对的直角边等于斜边的一半、求出△ABC 是直角三角形是解本题的关键．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、（1）①2P ，3P ;②，(-，(，(-;（2）33n -≤≤．【解题分析】(1)①根据平行点的定义即可判断；②分两种情形：如图1，当点B 在原点上方时，作OH ⊥AB 于点H ，可知OH=1.如图2，当点B 在原点下方时，同法可求；(2)如图，直线OE 的解析式为y =，设直线BC//OE 交x 轴于C ，作CD ⊥OE 于D. 设⊙A 与直线BC 相切于点F ，想办法求出点A 的坐标，再根据对称性求出左侧点A 的坐标即可解决问题；【题目详解】解：（1）①因为P 2、P 3到直线y ＝x 的距离为1，所以根据平行点的定义可知，直线m 的平行点是2P ，3P ， 故答案为2P ，3P ．②解：由题意可知，直线m 的所有平行点组成平行于直线m ，且到直线m 的距离为1的直线． 设该直线与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．如图1，当点B 在原点上方时，作OH ⊥AB 于点H ，可知OH ＝1．由直线m 的表达式为y ＝x ，可知∠OAB ＝∠OBA ＝45°． 所以2OB =．直线AB 与⊙O 的交点即为满足条件的点Q ． 连接1OQ ，作1Q N y ⊥轴于点N ，可知110OQ = 在1Rt OHQ ∆中，可求13HQ =． 所以12BQ =．在1Rt BHQ ∆中，可求12NQ NB = 所以22ON =． 所以点1Q 的坐标为2,22．同理可求点2Q 的坐标为(22,2--．如图2，当点B 在原点下方时，可求点3Q 的坐标为()22,2点4Q 的坐标为()2,22--， 综上所述，点Q 的坐标为()2,22，()22,2--，()22,2，()2,22--．（2）如图，直线OE 的解析式为3y x =，设直线BC ∥OE 交x 轴于C ，作CD ⊥OE 于D ．当CD ＝1时，在Rt △COD 中，∠COD ＝60°， ∴23sin 60CD OC ==︒， 设⊙A 与直线BC 相切于点F ， 在Rt △ACE 中，同法可得23AC =∴33OA =， ∴433n =根据对称性可知，当⊙A 在y 轴左侧时，43n =，观察图象可知满足条件的N的值为：434333n-≤≤．【题目点拨】此题考查一次函数综合题、直线与圆的位置关系、锐角三角函数、解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．20、（1）12；(2) 见解析；(3)12【解题分析】（1）过点C作CE∥OA交BD于点E，即可得△BCE∽△BOD，根据相似三角形的性质可得CE BCOD BO=，再证明△ECP≌△DAP，由此即可求得ADDO的值；（2）过点D作DF∥BO交AC于点F，即可得PD DFPB BC=，AD DFAO OC=，由点C为OB的中点可得BC=OC，即可证得PD ADPB AO=；（3）由（2）可知PD ADPB AO==14，设AD=t，则BO=AO=4t，OD=3t，根据勾股定理求得BD=5t，即可得PD=t，PB=4t，所以PD=AD，从而得∠A=∠APD=∠BPC，所以tan∠BPC=tan∠A=12 OCOA=．【题目详解】（1）如图1，过点C作CE∥OA交BD于点E，∴△BCE∽△BOD，∴=，又BC=BO，∴CE=DO．∵CE∥OA，∴∠ECP=∠DAP，又∠EPC=∠DPA，PA=PC，∴△ECP≌△DAP，∴AD=CE=DO，即=；（2）如图2，过点D作DF∥BO交AC于点F，则=，=．∵点C为OB的中点，∴BC=OC，∴=；（3）如图2，∵=，由（2）可知==．设AD=t，则BO=AO=4t，OD=3t，∵AO⊥BO，即∠AOB=90°，∴BD==5t，∴PD=t，PB=4t，∴PD=AD，∴∠A=∠APD=∠BPC，则tan∠BPC=tan∠A==．【题目点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，准确作出辅助线，构造相似三角形是解决本题的关键，也是求解的难点．21、（1）14；（2）见解析.【解题分析】（1）直接根据概率的意义求解即可；（2）列出表格，再找到李华和王涛同时选择的美食都是凉皮的情况数，利用概率公式即可求得答案．【题目详解】解：（1）李华选择的美食是羊肉泡馍的概率为；（2）列表得：E F G HA AE AF AG AHB BE BF BG BHC CE CF CG CHD DE DF DG DH由列表可知共有16种情况，其中李华和王涛选择的美食都是凉皮的结果数为2，所以李华和王涛选择的美食都是凉皮的概率为=．【题目点拨】本题涉及树状图或列表法的相关知识，难度中等，考查了学生的分析能力．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22、（1）2（2）BD=5，3【解题分析】（1）利用圆周角定理可以判定△DCB是等腰直角三角形，利用勾股定理即可解决问题；（2）如图②，连接OB，OD．由圆周角定理、角平分线的性质以及等边三角形的判定推知△OBD是等边三角形，则BD=OB=OD=5，再根据垂径定理求出BE即可解决问题.【题目详解】（1）∵BC是⊙O的直径，∴∠CAB=∠BDC=90°．∵AD平分∠CAB，∴DC BD，∴CD=BD．在直角△BDC中，BC=10，CD2+BD2=BC2，∴2，（2）如图②，连接OB，OD，OC，∵AD平分∠CAB，且∠CAB=60°，∴∠DAB=12∠CAB=30°，∴∠DOB=2∠DAB=60°．又∵OB=OD，∴△OBD是等边三角形，∴BD=OB=OD．∵⊙O的直径为10，则OB=5，∴BD=5，∵AD平分∠CAB，∴DC BD，∴OD⊥BC，设垂足为E，∴53，∴3．【题目点拨】本题考查圆周角定理，垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．23、证明见解析.【解题分析】想证明BC=EF，可利用AAS证明△ABC≌△DEF即可．【题目详解】解：∵AF＝DC，∴AF+FC＝FC+CD，∴AC＝FD，在△ABC 和△DEF 中，A DB E AC DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△DEF （AAS ） ∴BC ＝EF ． 【题目点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 24、（1）见解析；（2）4.1 【解题分析】试题分析：（1）由正方形的性质得出AB=AD ，∠B=10°，AD ∥BC ，得出∠AMB=∠EAF ，再由∠B=∠AFE ，即可得出结论；（2）由勾股定理求出AM ，得出AF ，由△ABM ∽△EFA 得出比例式，求出AE ，即可得出DE 的长． 试题解析：（1）∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB=AD ，∠B=10°，AD ∥BC ， ∴∠AMB=∠EAF ， 又∵EF ⊥AM ， ∴∠AFE=10°， ∴∠B=∠AFE ， ∴△ABM ∽△EFA ；（2）∵∠B=10°，AB=12，BM=5， ∴，AD=12， ∵F 是AM 的中点， ∴AF=12AM=6.5， ∵△ABM ∽△EFA ， ∴BM AMAF AE =， 即5136.5AE=， ∴AE=16.1， ∴DE=AE-AD=4.1．考点：1.相似三角形的判定与性质；2.正方形的性质．25、作图见解析；CE=4.【解题分析】分析：利用数形结合的思想解决问题即可.详解：如图所示，矩形ABCD和△ABE即为所求；CE=4.点睛：本题考查作图-应用与设计、等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用思想结合的思想解决问题．26、（1）答案见解析；（2）220cm【解题分析】(1)根据三角形角平分线的定义,即可得到AD;(2)过D作于DE⊥ABE,根据角平分线的性质得到DE=CD=4,由三角形的面积公式即可得到结论.【题目详解】解:(1)如图所示,AD即为所求;(2)如图,过D作DE⊥AB于E,∵AD平分∠BAC,∴DE=CD=4,∴S△ABD=12AB·DE=20cm2.【题目点拨】掌握画角平分线的方法和角平分线的相关定义知识是解答本题的关键.27、-5【解题分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【题目详解】原式=[2(1)(1)xx x--+(2)(2)(2)x xx x-++]÷1x=（1xx-+2xx-）•x=x﹣1+x﹣2=2x﹣3由于x≠0且x≠1且x≠﹣2，所以x=﹣1，原式=﹣2﹣3=﹣5【题目点拨】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．。

2023年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷及答案解析

2023年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷及答案解析

2023年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）的值为（）A．6B．﹣6C．±6D．362．（2分）在过去10年里，我国国土绿化工程取得重大进展，新增森林面积超过22000000公顷．用科学记数法表示22000000是（）A．22×106B．2.2×106C．22×107D．2.2×107 3．（2分）下列计算正确的是（）A．a•a•a＝3a B．5+x＝5x C．y+y+y+y＝4y D．2x﹣x＝2 4．（2分）用一个平面去截正方体（如图），剩余几何体的主视图不可能是（）A．B．C．D．5．（2分）将半径为5的⊙O如图折叠，折痕AB长为8，C为折叠后的中点，则OC长为（）A．2B．C．1D．6．（2分）如图，O为△ABC的外心，四边形OCDE为正方形．以下结论：①O是△ABE 的外心；②O是△ACD的外心；③直线DE与△ABC的外接圆相切．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置）7．（2分）计算：|﹣2|＝；（﹣2）0＝．8．（2分）若式子有意义，则x的取值范围是．9．（2分）计算的结果是．10．（2分）已知扇形的半径为4，弧长为π，则该扇形的面积为．11．（2分）设x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+4＝0的两个实数根，则的值为．12．（2分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A（1，2），B（﹣1，﹣2），C（5，﹣2），AC交x轴于点D，则OD的长为．13．（2分）如图，在▱ABCD中，点E在AD上，AE＝2ED，射线BE交CD的延长线于点F，若S△DEF＝1，则S△BCF的值为．14．（2分）如图，点I是△ABC的内心．若∠IAB＝34°，∠IBC＝36°，则∠ICA的度数是°．15．（2分）某同学的眼睛到黑板的距离是6m，课本上的文字大小为0.4cm×0.35cm．要使这名同学看黑板上的字时，与他看相距30cm的课本上的字的感觉相同，老师在黑板上写的文字大小应约为（答案请按同一形式书写）．16．（2分）要使反比例函数y＝的图象经过点（3，4），以下对该图象进行变化的方案中可行的是（只填序号）．①向上平移3个单位长度；②先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度；③沿直线y＝3轴对称；④先沿直线x＝2轴对称，再向右平移1个单位长度．三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）解不等式组，并写出该不等式组的整数解．18．（8分）计算：．19．（8分）某车间加工1500个零件后，由于技术革新，工作效率提高到原来的2.5倍，当再加工同样多的零件时，用时比以前少18h．该车间技术革新前每小时加工多少个零件？20．（8分）如图，O为矩形ABCD的对角线AC的中点，过O作EF⊥AC分别交AD，BC 于点E，F．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AB＝6，BC＝12，求菱形AFCE的面积．21．（8分）4张卡片上分别写有数字1，2，﹣3，4，除标记数字外它们完全相同．从这4张卡片中随机抽取2张．（1）求“抽取两张卡片的数字都是正数”的概率；（2）下列事件中，概率小于的是（填写正确说法的序号）．①抽取的两个数乘积为负数；②抽取的两个数乘积为正数；③抽取的两个数之和为负数；④抽取的两个数之和为正数．22．（8分）某水果店过去20天苹果的日销售量（单位：kg）从小到大记录如下：40，42，44，45，46，48，52，52，53，54，55，56，57，58，59，61，63，64，65，66．（1）估计该水果店本月（按30天计算）的销售总量；（2）一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求，店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能在进货量上75%地满足顾客需求（即将100天的销售量从小到大排序后，进货量不小于第75个数据），则苹果的日进货量应为多少千克？23．（8分）已知二次函数y＝x2+（a﹣2）x+3的图象经过点（2，3）．（1）求该二次函数的表达式；（2）当0＜x＜3时，y的取值范围为；（3）已知点P（m﹣1，y1），点Q（m，y2）在该二次函数的图象上若y1＞y2，直接写出m的取值范围．24．（8分）为测量建筑物DE的高度，小明从建筑物AB的A处测得E处的仰角为37°，C 处的俯角为22°，从C处测得E处的仰角为58°．已知B，C，D在同一直线上，AB 高为6.8m．求建筑物DE的高度．（参考数据：tan37°≈，tan22°≈，tan58°≈）25．（8分）如图，一次函数y＝kx+b的图象分别与x轴、y轴交于点A，B．（1）用“＞、＝、＜”号填空：k0，b0；（2）用直尺和圆规作出下列函数的图象（保留作图痕迹）①y＝kx﹣b；②y＝2kx+2b；③y＝﹣kx+2b．26．（8分）过⊙O上一点A，可以用尺规按以下方法作出⊙O的切线：①另取⊙O上一点B，以B为圆心，AB为半径作圆，将⊙B与⊙O的另一个交点记为点C；②以A为圆心，AC为半径作弧，将⊙A与⊙B的另一个交点记为点D，作直线AD．直线AD即为⊙O的切线．如图，小明已经完成了作图步骤①．（1）用尺规完成作图步骤②；（2）连接AC，AB，BC，BD，求证：AB平分∠CAD；（3）求证：直线AD为⊙O的切线．27．（8分）已知函数y＝ax3+bx2+cx（a，b，c为常数，且a≠0）的图象是中心对称图形．用数学软件在相同的坐标系中得到以下函数的图象（图①～④），观察并思考…（1）函数y＝ax3+bx2+cx的图象如图⑤所示，指出常数a，b，c的正负．（2）你同意“函数y＝﹣x3+2x2的图象的对称中心的横坐标为1”吗？判断并说明理由．（3）已知ac＜0，直接写出关于x的不等式ax3+x2+cx＞0的解集（用含a，c的式子表示）．2023年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．【分析】根据算术平方根的定义进行化简即可．【解答】解：＝6．故选：A．【点评】本题考查了算术平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．2．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．【解答】解：22000000＝2.2×107．故选：D．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．3．【分析】将四个选项分别进行分析．【解答】解：A、aaa＝a3，故本选项错误；B、5和x不是同类项，不能合并，故本选项错误；C、y+y+y+y＝4y，故本选项正确；D、2x﹣x＝x，故本选项错误．故选：C．【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，熟悉运算法则是解题的关键．4．【分析】根据几何体的主视图是从正面所看到的图形进行判断即可得出答案．【解答】解：观察图形可知，用一个平面去截正方体（如图），剩余几何体的主视图不可能是．故选：D．【点评】本题主要考查截一个几何体，几何体的主视图，理解主视图的概念是解答的关键．5．【分析】延长OC交⊙O于D点，交AB于E点，连接OA、OB、AC、BC，如图根据圆心角、弧、弦的关系由＝得到CA＝CB，则可判断OC垂直平分AB，则AE＝BE＝4，再利用勾股定理计算出OE＝3，所以DE＝2，然后利用C点和D点关于AB对称得到CE＝2，最后计算OE﹣CE即可．【解答】解：延长OC交⊙O于D点，交AB于E点，连接OA、OB、AC、BC，如图，∵C为折叠后的中点，∴＝，∴CA＝CB，∵OA＝OB，∴OC垂直平分AB，∴AE＝BE＝AB＝4，在Rt△AOE中，OE＝＝＝3，∴DE＝OD﹣OE＝5﹣3＝2，∵沿AB折叠得到，CD垂直AB，∴C点和D点关于AB对称，∴CE＝DE＝2，∴OC＝OE﹣CE＝3﹣2＝1．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆心角、弧、弦的关系和解直角三角形．6．【分析】根据三角形的外心得出OA＝OC＝OA，根据正方形的性质得出OA＝OC＜OD，求出OA＝OB＝OC＝OE≠OD，再逐个判断即可．【解答】解：连接OB、OD、OA，∵O为锐角三角形ABC的外心，∴OA＝OC＝OB，∵四边形OCDE为正方形，∴OA＝OC＜OD，∴OA＝OB＝OC＝OE≠OD，①OA＝OE＝OB，O是△ABE的外心，故本选项符合题意；②OA＝OC≠OD，即O不是△ACD的外心，故本选项不符合题意；③∵OE＝OA，OE⊥DE，∴直线DE与△ABC的外接圆相切．故本选项符合题意；故选：B．【点评】本题考查了切线的判定，正方形的性质和三角形的外心与外接圆，能熟记知识点的内容是解此题的关键，注意：三角形的外心到三个顶点的距离相等，正方形的四边都相等．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置）7．【分析】根据绝对值的性质和零指数幂的定义解答．【解答】解：|﹣2|＝2，（﹣2）0＝1．故答案为：2，1．【点评】本题考查了零指数幂、绝对值，熟悉绝对值的性质和零指数幂的定义是解题的关键．8．【分析】根据分式有意义的条件可得x﹣2≠0，再解即可．【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2；故答案为：x≠2．【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．9．【分析】根据二次根式乘法法则计算．【解答】解：＝＝＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了二次根式的乘法法则，灵活转化是解题的关键．10．【分析】扇形面积计算公式：扇形的半径为R，扇形的弧长是l，S扇形＝lR，由此即可计算．【解答】解：扇形面积＝lR＝×π×4＝2π．故答案为：2π．【点评】本题考查扇形面积的计算，关键是掌握扇形面积的计算公式．11．【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系确定出x1与x2的两根之积与两根之和的值，再代入变形后的代数式即可解答．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+4＝0的两个实数根，∴x1+x2＝5，x1•x2＝4，∴＝＝．故答案为：．【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．12．【分析】根据BC∥x轴，得＝，所以＝，即可求出OD＝3．【解答】解：∵A（1，2），B（﹣1，﹣2），∴OA＝OB，∵B（﹣1，﹣2），C（5，﹣2），∴BC∥x轴，∴＝，∴＝，∴OD＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了坐标与图形性质，平行线分线段成比例的应用，熟练掌握坐标与图形性质，得出BC∥x轴是解决问题的关键．13．【分析】由平行四边形的性质可得AB∥CD，AD∥BC，则可判定△DEF∽△AEB，△DEF ∽△CBF，有＝，从而得到，利用相似三角形的性质即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠FDE＝∠BAE，∠DFE＝∠ABE，∠FDE＝∠C，∠FED＝∠FBC，∴△DEF∽△AEB，△DEF∽△CBF，∴，，∵AE＝2ED，∴，∴，＝1，∵S△DEF∴，＝9．解得：S△CBF故答案为：9．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解答的关键是求得．14．【分析】根据点I是△ABC的内心．∠IAB＝34°，∠IBC＝36°，推出∠ABC＝2∠IBC ＝2×36°＝72°，∠BAC＝2∠IAB＝2×34°＝68°，所以∠ACB＝180°﹣72°﹣68°＝40°，推出∠ICA＝∠ACB＝＝20°．【解答】解：∵点I是△ABC的内心．∠IAB＝34°，∠IBC＝36°，∴∠ABC＝2∠IBC＝2×36°＝72°，∠BAC＝2∠IAB＝2×34°＝68°，∴∠ACB＝180°﹣72°﹣68°＝40°，∴∠ICA＝∠ACB＝＝20°．故答案为：20．【点评】本题考查了三角形的内切圆和内心，正确利用角平分线的性质和三角形内角和定理是解题的关键．15．【分析】先设设老师在黑板上写的文字大小应约为acm×bcm，然后根据题意和相似三角形的性质，可得，从而可以得到a、b的值．【解答】解：设老师在黑板上写的文字大小应约为acm×bcm，由题意可得：，解得a＝8，b＝7，即老师在黑板上写的文字大小应约为8cm×7cm，故答案为：8cm×7cm．【点评】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．16．【分析】①根据平移规律得到平移后的函数表达式，把（3，4）代入即可判断；②根据平移规律得到平移后的函数表达式，把（3，4）代入即可判断；③求得x＝3时的函数值，根据平移的性质得出点（3，2）关于直线y＝3的对应点为（3，4），即可判断；④求得x＝3时的函数值，根据平移的性质得出点（3，2）关于直线x＝2的对应点为（1，2），再向右平移1个单位长度得到（2，2），把x＝2代入y＝得y＝3，即可判断．【解答】解：①反比例函数y＝的图象向上平移3个单位长度得到y＝+3，∵x＝3时，则y＝＝5，∴方案①不可行；②反比例函数y＝的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到y＝，∵x＝3时，y＝﹣2＝4，∴方案②可行；③把x＝3代入y＝得，y＝2，∴点（3，2）在反比例函数的图象上，∵点（3，2）关于直线y＝3的对应点为（3，4），∴反比例函数y＝的图象沿直线y＝3轴对称得到的图象经过点（3，4），∴方案③可行；④把x＝3代入y＝得，y＝2，∴点（3，2）在反比例函数的图象上，∵点（3，2）关于直线x＝2的对应点为（1，2），再向右平移1个单位长度得到（2，2），把x＝2代入y＝得y＝3，∴反比例函数y＝的图象先沿直线x＝2轴对称，再向右平移1个单位长度得到的图象不经过点（3，4），∴方案④不可行；故答案为：②③．【点评】本题考查了反比例函数图象与几何变换，反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形的变化﹣平移，坐标与图形的变化﹣对称，熟练掌握平移的规律是解题的关键．三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，然后确定整数解即可．【解答】解：，解①得x＞2，解②得x≤4．则不等式组的解集是：2＜x≤4．则整数解是：3，4．【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．18．【分析】先通分括号内的式子，再算括号外的除法即可．【解答】解：＝•＝＝＝x﹣3．【点评】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．19．【分析】设车间技术革新前每小时加工x个零件，则技术革新后每小时加工2.5x个零件，由题意：当再加工同样多的1500个零件时，用时比以前少18h．列出分式方程，解方程即可．【解答】解：设车间技术革新前每小时加工x个零件，则技术革新后每小时加工2.5x个零件，由题意得：﹣＝18，解得：x＝50，经检验：x＝50是原分式方程的解，且符合题意，答：该车间技术革新前每小时加工50个零件．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．20．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，可得AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC，然后由四边形ABCD是矩形，根据菱形的判定定理即可得到结论；（2）由勾股定理可求BE，AC的长，由直角三角形的性质可求解．【解答】（1）证明：∵点O是AC的中点，EF⊥AC，∴EF是AC的垂直平分线，∴FA＝FC，EA＝EC，OA＝OC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EAO＝∠ECO．在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA）；∴AE＝CF，∴AE＝CE＝CF＝AF，∴四边形AECF为菱形．（2）解：设AE＝CE＝x，则BF＝12﹣x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°．在Rt△ABE中，由勾股定理得，AB2+BE2＝AE2，即62+（12﹣x）2＝x2，解得，x＝7.5，即AE＝7.5，∴DE＝BF＝4.5，∴菱形AFCE的面积＝矩形ABCD的面积﹣△ABF的面积﹣△CDE的面积＝6×12﹣2×＝45．【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，证得△AOF ≌△COE是关键．21．【分析】（1）画树状图得出所有等可能的结果数以及抽取两张卡片的数字都是正数的结果数，再利用概率公式可得出答案．（2）根据树状图分别求出满足①②③④的结果数，再根据概率公式求出相应的概率，即可得出答案．【解答】解：（1）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中抽取两张卡片的数字都是正数的结果有：（1，2），（1，4），（2，1），（2，4），（4，1），（4，2），共6种，∴抽取两张卡片的数字都是正数的概率为＝．（2）∵由树状图可知，抽取的两个数乘积为负数的结果有：（1，﹣3），（2，﹣3），（﹣3，1），（﹣3，2），（﹣3，4），（4，﹣3），共6种，∴抽取的两个数乘积为负数的概率为＝，故①不符合题意；∵由树状图可知，抽取的两个数乘积为正数的结果有：（1，2），（1，4），（2，1），（2，4），（4，1），（4，2），共6种，∴抽取的两个数乘积为正数的概率为＝，故②不符合题意；∵由树状图可知，抽取的两个数之和为负数的结果有：（1，﹣3），（2，﹣3），（﹣3，1），（﹣3，2），共4种，∴抽取的两个数之和为负数的概率为，故③符合题意；∵由树状图可知，抽取的两个数之和为正数的结果有：（1，2），（1，4），（2，1），（2，4），（﹣3，4），（4，1），（4，2），（4，﹣3），共8种，∴抽取的两个数之和为正数的概率为，故④不符合题意．故答案为：③．【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．22．【分析】（1）用这20天苹果的日平均销售量乘30即可；（2）根据百分数的定义求出第75%位数，即可得出答案．【解答】解：（1）（40+42+44+45+46+48+52+52+53+54+55+56+57+58+59+61+63+64+65+66）×30＝1080×30＝1620（kg），答：估计该水果店本月（按30天计算）的销售总量约1620kg；（2）∵20×75%＝15，样本中的数从小到大排列，排在第15个数是59，∴苹果的日进货量应为59千克．【点评】本题考查了用样本估计总体，解决本题的关键是掌握用样本估计总体的方法．23．【分析】（1）把（2，3）代入解析式求出a即可；（2）根据二次函数的性质求解即可；（3）根据已知条件结合二次函数的性质求解即可．【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+（a﹣2）x+3的图象经过点（2，3），∴4+2（a﹣2）+3＝3，解得a＝0，∴该二次函数的表达式为y＝x2﹣2x+3；（2）∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∴当x＝1时，y的最小值为2，当x＝0时，y＝3，当x＝3时，y＝（3﹣1）2+2＝6，∴0＜x＜3时，y的取值范围为2≤y＜6，故答案为：2≤y＜6；（3）∵点P（m﹣1，y1），点Q（m，y2）且y1＞y2，对称轴为直线x＝1，∴＜1，解得m＜，∴m的取值范围为m．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．24．【分析】过点A作AF⊥ED，垂足为F，根据题意可得：ED⊥BD，AB＝FD＝6.8m，AF ＝BD，AF∥BD，从而可得∠FAC＝∠ACB＝22°，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，设CD＝xm，则AF＝BD＝（x+17）m，再在Rt△ECD中，利用锐角三角函数的定义求出ED的长，最后在Rt△AEF中，利用锐角三角函数的定义求出EF的长，从而根据EF+DF＝ED，列出关于x的方程，进行计算即可解答．【解答】解：过点A作AF⊥ED，垂足为F，由题意得：ED⊥BD，AB＝FD＝6.8m，AF＝BD，AF∥BD，∴∠FAC＝∠ACB＝22°，在Rt△ABC中，BC＝≈＝17（m），设CD＝xm，∴AF＝BD＝BC+CD＝（x+17）m，在Rt△ECD中，∠ECD＝58°，∴ED＝CD•tan58°≈x（m），在Rt△EAF中，∠EAF＝37°，∴EF＝AF•tan37°≈（x+17）m，∵EF+DF＝ED，∴（x+17）+6.8＝x，解得：x＝23，∴DE＝x＝36.8（m），∴建筑物DE的高度约为36.8m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．25．【分析】（1）根据一次函数y＝kx+b的图象即可确定答案；（2）①在y轴正半轴上截取OC＝OB，过点C作直线l∥AB，则直线l即为所求；②在点B下方的y轴上，截取BD＝OB，连接AD，则直线AD即为所求；③在x轴负半轴上，截取OE＝2OA，在点B下方的y轴上截取BF＝OB，连接EF，则直线EF即为所求．【解答】解：（1）由函数图象可知，k＞0，b＜0，故答案为：＞，＜；（2）①在y轴正半轴上截取OC＝OB，过点C作直线l∥AB，则直线l即为所求，如图所示：②在点B下方的y轴上，截取BD＝OB，连接AD，则直线AD即为所求，如图所示：③在x轴负半轴上，截取OE＝2OA，在点B下方的y轴上截取BF＝OB，连接EF，则直线EF即为所求，如图所示：【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，尺规作图等，熟练掌握这些知识是解题的关键．26．【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；（2）证明△ABC≌△ABD得到∠BAC＝∠BAD，从而得到结论；（2）连接OB交AC于E点，如图，先根据两圆相交的性质得到OB垂直平分AC，则∠AEB＝90°，再利用等角代换得到∠BAO+∠BAD＝90°，即OA⊥AD，然后根据切线的判定定理得到AD为⊙O的切线．【解答】（1）解：如图，直线AD为所作；（2）证明：在△ABC和△ABD中，，∴△ABC≌△ABD（SSS），∴∠BAC＝∠BAD，∴AB平分∠CAD；（2）证明：连接OB交AC于E点，如图，∵AC为⊙O和⊙B的公共弦，∴OB垂直平分AC，∴∠AEB＝90°，∴∠ABE+∠BAE＝90°，∵OB＝OA，∴∠ABE＝∠BAO，而∠BAE＝∠BAD，∴∠BAO+∠BAD＝90°，即∠OAD＝90°，∴OA⊥AD，∵OA为⊙O的半径，∴AD为⊙O的切线．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质、圆周角定理、切线的判定与性质和相交两圆的性质．27．【分析】（1）观察已知函数图象可得答案；（2）当x＝1+m时，y1＝﹣（1+m）3+2（1+m）2＝﹣m3﹣m2+m+1，当m＝1﹣m时，y2＝﹣（1﹣m）3+2（1﹣m）2＝m3﹣m2﹣m+1，可得y1+y2＝﹣2m2+2，故y1+y2的值与m 有关，即可得到答案；（3）令ax3+x2+cx＝0，则x（ax2+x+c）＝0，可得y＝ax3+x2+cx与x轴交点横坐标分别是，0和，分当a＞0和a＜0，写出ax3+x2+cx＞0的解集即可．【解答】解：（1）通过观察图象可得，y＝ax3+bx2+cx的图象如图⑤，则a＜0，b＞0，c ＞0；（2）不同意“函数y＝﹣x3+2x2的图象的对称中心的横坐标为1”，理由如下：对任意实数m（m＞0），当x＝1+m时，y1＝﹣（1+m）3+2（1+m）2＝﹣m3﹣m2+m+1，当x＝1﹣m时，y2＝﹣（1﹣m）3+2（1﹣m）2＝m3﹣m2﹣m+1，∴y1+y2＝﹣2m2+2，若函数y＝﹣x3+2x2图象的对称中心的横坐标为1，则y1+y2的值与m无关，而﹣2m2+2的值与m有关，∴函数y＝﹣x3+2x2的图象的对称中心的横坐标不是1；（3）令ax3+x2+cx＝0，则x（ax2+x+c）＝0，∴x＝0或ax2+x+c＝0，∵ac＜0，∴ax2+x+c＝0的解为x1＝，x2＝，∴y＝ax3+x2+cx与x轴交点横坐标分别是，0和，当a＞0时，ax3+x2+cx＞0（即y＞0）的解集为＜x＜0或x＞；当a＜0时，ax3+x2+cx＞0（即y＞0）的解集为x＜或0＜x＜．【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题的关键是读懂题意，观察已知函数的图象特征，类比解决问题。

2020年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷 (含解析)

2020年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷 (含解析)

2020年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，共12.0分）1.海南省2014年用于教育的支出约为175********亿元，其中数据175********用科学记数法表示为1.75×10n，其中n的值是()A. 9B. 10C. 11D. 122.已知√a=a，那么a=()A. 0B. 0或1C. 0或−1D. 0，−1或13.如图，在数轴上，点A，B表示的数分别是−2和10，则线段AB的中点M表示的数为()A. 4B. 6C. 8D. 104.若k<√90<k+1(k是整数)，则k等于()．A. 6B. 7C. 8D. 95.以下是某校九年级10名同学参加学校演讲比赛的统计表：成绩/分80859095人数/人1252则这组数据的中位数和平均数分别为()A. 90，90B. 90，89C. 85，89D. 85，906.如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于A，点C是EB⏜的中点，则下列结论不成立的是()A. OC//AEB. AC⊥OEC. ∠DAE=∠ABED. EC=BC二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）7.−3的倒数是______．8.若√3−a在实数范围内有意义，则a的取值范围是______．9.计算或化简：√2×√12=________;√512=________．10.方程xx−1−2x=1的解是______．11.若方程x2+2x−3=0的两根分别为m，n，则m+n=______．12.数据3、3、4、5、5的方差是______．13.如图，反比例函数y1=k1x和正比例函数y2=k2x的图象交于A(−1,−3)、B(1,3)两点，若k1x>k2x，则x的取值范围是______．14.如图，在正六边形ABCDEF中，连接AD，AE，则∠DAE=______．15.如图，PA与⊙O相切于点A，弦AB⊥OP，垂足为C，OP与⊙O相交于点D，已知OA=2，OP=4，则弦AB的长______ ．16.长方体的主视图与俯视图如图所示，则这个长方体的表面积是．三、解答题（本大题共11小题，共88.0分）17.化简：6x2−9+13−x．18.解不等式x−52+1>x−3，并把它的解集表示在数轴上．19.①如图1，O是直线AB上一点，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，求证：OE⊥OF.②如图2，AB//CD，∠1=∠B，∠2=∠D.求证：BE⊥DE。

2020年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷 (解析版)

2020年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷 (解析版)

2020年南京市鼓楼区中考数学一模试卷一、选择题（共6小题）.1．“鼓楼e学校一停课不停学在线课堂”在此次疫情期间为全国师生提供鼓楼教育的“云服务”，课程日均访问量达1200000，用科学记数法表示1200000是（）A．0.12×106B．1.2×107C．1.2×106D．12×1052．表示4的（）A．平方B．平方根C．算术平方根D．立方根3．数轴上，点A、B分别表示﹣1、7，则线段AB的中点C表示的数是（）A．2B．3C．4D．54．已知5≤≤7，4≤≤6，则的整数部分可以是（）A．9B．10C．11D．125．某班37名同学中只有1位同学身高是165cm．若除甲、乙外其余35名同学身高的平均数和中位数都是165cm，则该班37名同学身高的平均数a和中位数b（单位：cm），不可能是（）A．a＞165，b＝165B．a＜165，b＝165C．a＜165，b＝164D．a＝165，b＝1666．如图，A、B两地相距am，它们之间有一半径为r的圆形绿地（r＜），绿地圆心位于AB连线的中点O处，分别过A、B作⊙O的切线相交于C，切点分别为D、E．现规划两条驾车路径：①B→E→C→D→A；②B→E→（沿）→D→A，则下列说法正确的是（）A．①较长B．②较长C．①②一样长D．以上皆有可能二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答趣卡相应位置上）7．写出一个数，使这个数等于它的倒数：．8．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是．9．计算的结果是．10．解方程＝得．11．已知方程2x2+4x﹣3＝0的两根分别为x1、x2，则x1+x2＝，x1x2＝．12．一组数据2，3，2，3，5的方差是．13．若正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数y＝的图象都经过点（2，3），则k1x＝的解是．14．如图，点O是正五边形ABCDE的中心，连接BD、OD，则∠BDO＝°．15．如图，BC是⊙O的切线，D是切点．连接BO并延长，交⊙O于点E、A，过A作AC ⊥BC，垂足为C．若BD＝8，BE＝4，则AC＝．16．用若干个相同的小正方体搭一个几何体，该几何体的主视图、俯视图如图所示．若小正方体的棱长为1，则搭成的几何体的表面积是．三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算．18．（1）解不等式5x+2≥3（x﹣1），并把它的解集在数轴上表示出来．（2）写出一个实数k，使得不等式x＜k和（1）中的不等式组成的不等式组恰有3个整数解．19．如图，已知AB∥CD，直线EF分别交直线AB、CD于点G、H，GI、HI分别平分∠BGH、∠GHD．（1）求证GI⊥HI．（2）请用文字概括（1）所证明的命题：．20．如图是某区1500名小学生和初中生的视力情况和他们每节课课间户外活动平均时长的统计图．（1）根据图1，计算该区1500名学生的近视率；（2）根据图2，从两个不同的角度描述该区1500名学生各年级近视率的变化趋势；（3）根据图1、图2、图3，描述该区1500名学生近视率和所在学段（小学、初中）、每节课课间户外活动平均时长的关系．21．（1）不透明的袋子A中装有红球1个、白球1个，不透明的袋子B中装有红球1个、白球2个，这些球除颜色外无其他差别．分别从两个袋子中随机摸出一个球，求摸出的两个球颜色不同的概率；（2）甲、乙两人解同一道数学题，甲正确的概率为，乙正确的概率为，则甲乙恰有一人正确的概率是．22．点E、F分别是菱形ABCD边BC、CD上的点．（1）如图，若CE＝CF，求证AE＝AF；（2）判断命题“若AE＝AF，则CE＝CF”的真假．若真，请证明；若假，请在备用图上画出反例．23．某工厂生产A、B、C三种产品，这三种产品的生产数量均为x件．它们的单件成本和固定成本如表：产品单件成本（元/件）固定成本（元）A0.11100B0.8aC b（b＞0）200（注：总成本＝单件成本×生产数量+固定成本）（1）若产品A的总成本为y A，则y A关于x的函数表达式为．（2）当x＝1000时，产品A、B的总成本相同．①求a；②当x≤2000时，产品C的总成本最低，求b的取值范围．24．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝45°，AD⊥BC，垂足为D，BD＝6，DC＝4．（1）求⊙O的半径；（2）求AD的长．25．如图，用一个平面去截正方体ABCDEFGH，得到了三棱锥S﹣DPQ．若∠SPD＝45°，∠SQD＝37°，PQ＝1，求SD的长．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75．）26．已知y是x的二次函数，该函数的图象经过点A（0，5）、B（1，2）、C（3，2）．（1）求该二次函数的表达式，画出它的大致图象并标注顶点及其坐标；（2）结合图象，回答下列问题：①当1≤x≤4时，y的取值范围是；②当m≤x≤m+3时，求y的最大值（用含m的代数式表示）；③是否存在实数m、n（m≠n），使得当m≤x≤n时，m≤y≤n？若存在，请求出m、n；若不存在，请说明理由．27．如图，已知矩形纸片ABCD，怎样折叠，能使边AB被三等分？以下是小红的研究过程．思考过程要使边AB被三等分，若从边DC上考虑，就是要折出DM＝DC，也就是要折出DM＝AB，当DB、AM相交于F时，即要折出对角线上的DF＝DB．那么…折叠方法和示意图①折出DB；对折纸片，使D、B重合，得到的折痕与DB相交于点E；继续折叠纸片，使D、B与E重合，得到的折痕与DB分别相交于点F、G；②折出AF、CG，分别交边CD、AB于M、Q；③过M折纸片，使D落在MC上，得到折痕MN，则边AB被N、Q 三等分．（1）整理小红的研究过程，说明AN＝NQ＝QB；（2）用一种与小红不同的方法折叠，使边AB被三等分．（需简述折叠方法并画出示意图）参考答案一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．“鼓楼e学校一停课不停学在线课堂”在此次疫情期间为全国师生提供鼓楼教育的“云服务”，课程日均访问量达1200000，用科学记数法表示1200000是（）A．0.12×106B．1.2×107C．1.2×106D．12×105【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．解：1200000＝1.2×106．故选：C．2．表示4的（）A．平方B．平方根C．算术平方根D．立方根【分析】根据算术平方根的定义计算可得．解：表示4的的算术平方根，故选：C．3．数轴上，点A、B分别表示﹣1、7，则线段AB的中点C表示的数是（）A．2B．3C．4D．5【分析】数轴上点A所表示的数为a，点B所表示的数为b，则AB的中点所表示的数为．解：线段AB的中点C表示的数为：＝3，故选：B．4．已知5≤≤7，4≤≤6，则的整数部分可以是（）A．9B．10C．11D．12【分析】根据估算无理数的大小的方法即可得的整数部分．解：∵5≤≤7，4≤≤6，∴25≤a≤49，16≤b≤36，∴41≤a+b≤85，则的整数部分可以是6，7，8，9．故选：A．5．某班37名同学中只有1位同学身高是165cm．若除甲、乙外其余35名同学身高的平均数和中位数都是165cm，则该班37名同学身高的平均数a和中位数b（单位：cm），不可能是（）A．a＞165，b＝165B．a＜165，b＝165C．a＜165，b＝164D．a＝165，b＝166【分析】根据中位数和平均数的定义分别进行解答即可．解：因为35名同学身高的平均数和中位数都是165cm，且只有1位同学身高是165cm，所以该班37名同学身高的平均数a＝165，中位数b＝166，故选：D．6．如图，A、B两地相距am，它们之间有一半径为r的圆形绿地（r＜），绿地圆心位于AB连线的中点O处，分别过A、B作⊙O的切线相交于C，切点分别为D、E．现规划两条驾车路径：①B→E→C→D→A；②B→E→（沿）→D→A，则下列说法正确的是（）A．①较长B．②较长C．①②一样长D．以上皆有可能【分析】分别写出①和②的路线组成，只需比较不同的部分，即EC+CD与的大小即可．解：如图，①B→E→C→D→A，所走的路程为：BE+EC+CD+DA；②B→E→（沿）→D→A，所走的路程为：BE++DA；∵EC+CD＞，∴BE+EC+CD+DA＞BE++DA，即①＞②．故选：A．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答趣卡相应位置上）7．写出一个数，使这个数等于它的倒数：1．【分析】根据倒数的定义可知如果一个数等于它的倒数，则这个数是±1．解：如果一个数等于它的倒数，则这个数是±1．故答案为：1．8．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥1．【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案．解：若在实数范围内有意义，则x﹣1≥0，解得：x≥1．故答案为：x≥1．9．计算的结果是2．【分析】直接化简二次根式进而合并得出答案．解：原式＝+＝2．故答案为：2．10．解方程＝得x＝9．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解：去分母得：2x＝3x﹣9，解得：x＝9，经检验x＝9是分式方程的解．故答案为：x＝9．11．已知方程2x2+4x﹣3＝0的两根分别为x1、x2，则x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣．【分析】根据方程的系数结合根与系数的关系，即可得出x1+x2和x1x2的值．解：∵x1、x2是方程2x2+4x﹣3＝0的两根，∴x1+x2＝﹣＝﹣2，x1x2＝＝﹣．故答案为：﹣2；﹣．12．一组数据2，3，2，3，5的方差是 1.2．【分析】先求出平均数，再根据方差公式计算即可．S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]．解：＝（2+3+3+3+5）÷5＝3，S2＝[（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+（2﹣3）2+（5﹣3）2]＝1.2．故填答案为1.2．13．若正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数y＝的图象都经过点（2，3），则k1x＝的解是2或﹣2．【分析】两个函数的图象都经过点（2，3），即k1x＝的一个解为x＝2，根据正比例函数点的对称性，则另外一个解为x＝﹣2，即可求解．解：两个函数的图象都经过点（2，3），即k1x＝的一个解为x＝2，根据正比例函数点的对称性，则另外一个解为x＝﹣2，故答案为2或﹣2．14．如图，点O是正五边形ABCDE的中心，连接BD、OD，则∠BDO＝18°．【分析】连接OB，OC，可求出∠BOC和∠COD的度数，则∠BOD的度数可知，因为OB＝OD，进而可求出∠BDO的度数．解：连接OB，OC，∵点O是正五边形ABCDE的中心，∴∠BOC＝∠COD＝＝72°，∴∠BOD＝2×72°＝144°，∵OB＝OC，∴∠BDO＝∠OBD＝＝18°，故答案为：18．15．如图，BC是⊙O的切线，D是切点．连接BO并延长，交⊙O于点E、A，过A作AC ⊥BC，垂足为C．若BD＝8，BE＝4，则AC＝9.6．【分析】连接OD、AD、ED，根据切线的性质得到∠ODB＝90°，根据圆周角定理得到∠ADE＝90°，证明△BDE∽△BAD，根据相似三角形的性质求出AE，证明△BDO∽△BCA，求出AC．解：连接OD、AD、ED，∵BC是⊙O的切线，∴∠ODB＝90°，∴∠ODE+∠BDE＝90°，∵AE为⊙O的直径，∴∠ADE＝90°，∴∠DAE+∠AED＝90°，∵OD＝OE∴∠ODE＝∠OED，∴∠BDE＝∠BAD，∵∠B＝∠B，∴△BDE∽△BAD，∴＝，即＝，解得，AE＝12，∵∠BDO＝∠BCA，∠B＝∠B，∴△BDO∽△BCA，∴＝，即＝，解得，AC＝9.6，故答案为：9.6．16．用若干个相同的小正方体搭一个几何体，该几何体的主视图、俯视图如图所示．若小正方体的棱长为1，则搭成的几何体的表面积是28或30．【分析】由俯视图可得第一层正方体的个数，由主视图可得第二层和第三层最少或最多的正方体的个数，相加解答即可．解：搭这样的几何体最少需要4+1+2＝7个小正方体，最多需要4+2+2＝8个小正方体，所以搭成的几何体的表面积是4×7＝28或4×8﹣2＝30，故答案为：28或30．三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算．【分析】根据异分母分式相加减，先通分，再根据同分母分式相加减的法则计算即可．解：原式＝＝＝＝．18．（1）解不等式5x+2≥3（x﹣1），并把它的解集在数轴上表示出来．（2）写出一个实数k，使得不等式x＜k和（1）中的不等式组成的不等式组恰有3个整数解．【分析】（1）先去括号，再移项得到5x﹣3x≥﹣3﹣2，然后合并后系数化为1即可，再用数轴表示解集即可求解．（2）根据题意可得0＜k≤1满足条件，依此写出即可求解．解：（1）5x+2≥3（x﹣1），去括号得5x+2≥3x﹣3，移项得5x﹣3x≥﹣3﹣2，合并得2x≥﹣5，系数化为1得x≥﹣2.5，用数轴表示为：（2）∵一个实数k，使得不等式x＜k和（1）中的不等式组成的不等式组恰有3个整数解，∴0＜k≤1，∴k＝1满足条件．19．如图，已知AB∥CD，直线EF分别交直线AB、CD于点G、H，GI、HI分别平分∠BGH、∠GHD．（1）求证GI⊥HI．（2）请用文字概括（1）所证明的命题：两直线平行，同旁内角的角平分线互相垂直．【分析】利用角平分线、平行线的性质及三角形的内角和定理，先求出∠I的度数，再说明两直线的关系．【解答】证明：（1）∵AB∥CD，∴∠BGH+∠GHD＝180°．∵∠HGI＝HGB，∠GHI＝GHD，∴∠HGI+∠GHI＝∠HGB+GHD＝（∠HGB+∠GHD）＝90°．∵∠HGI+∠KHI+∠I＝180°，∴∠I＝90°．∴GI⊥HI．（2）文字可概况为：两直线平行，同旁内角的角平分线互相垂直．故答案为：两直线平行，同旁内角的角平分线互相垂直．20．如图是某区1500名小学生和初中生的视力情况和他们每节课课间户外活动平均时长的统计图．（1）根据图1，计算该区1500名学生的近视率；（2）根据图2，从两个不同的角度描述该区1500名学生各年级近视率的变化趋势；（3）根据图1、图2、图3，描述该区1500名学生近视率和所在学段（小学、初中）、每节课课间户外活动平均时长的关系．【分析】（1）根据近视率＝计算即可．（2）利用图2中的信息解决问题即可．（3）根据图3解决问题即可．解：（1）该区1500名学生的近视率＝＝52%．（2）①近视率随年级的增高而增高．②在四到六年级期间，近视率的增长幅度比较大．（3）近视率会随着学段的升高而增加，学段提高后，学生的课简的活动时间普遍减少，近视率也随之上升．21．（1）不透明的袋子A中装有红球1个、白球1个，不透明的袋子B中装有红球1个、白球2个，这些球除颜色外无其他差别．分别从两个袋子中随机摸出一个球，求摸出的两个球颜色不同的概率；（2）甲、乙两人解同一道数学题，甲正确的概率为，乙正确的概率为，则甲乙恰有一人正确的概率是．【分析】（1）根据题意画出树状图得出所有等情况数和摸出的两个球颜色不同的情况数，然后根据概率公式即可得出答案；（2）根据题意得到甲正确乙不正确的概率，甲不正确乙正确的概率，两者相加即可得到结论．解：（1）画树状图如下：共有6种等情况数，其中摸出的两个球颜色不同的有3种，则摸出的两个球颜色不同的概率是＝；（2）甲正确乙不正确的概率为（1﹣）＝，甲不正确乙正确的概率为（1﹣）×＝，∴甲乙恰有一人正确的概率是+＝，故答案为：．22．点E、F分别是菱形ABCD边BC、CD上的点．（1）如图，若CE＝CF，求证AE＝AF；（2）判断命题“若AE＝AF，则CE＝CF”的真假．若真，请证明；若假，请在备用图上画出反例．【分析】（1）连接AC，利用菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；（2）举出反例解答即可．解：（1）连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ACE＝∠ACF，在△ACE与△ACF中，∴△ACE≌△ACF（SAS），∴AE＝AF，（2）当AE＝AF＝AF'时，CE≠CF'，如备用图，所以命题“若AE＝AF，则CE＝CF”是假命题．23．某工厂生产A、B、C三种产品，这三种产品的生产数量均为x件．它们的单件成本和固定成本如表：产品单件成本（元/件）固定成本（元）A0.11100B0.8aC b（b＞0）200（注：总成本＝单件成本×生产数量+固定成本）（1）若产品A的总成本为y A，则y A关于x的函数表达式为y＝0.1x+1100．（2）当x＝1000时，产品A、B的总成本相同．①求a；②当x≤2000时，产品C的总成本最低，求b的取值范围．【分析】（1）根据“总成本＝单件成本×生产数量+固定成本”即可得出产品A的总成本为y A，则y A关于x的函数表达式；（2）①根据题意列方程解答即可；②取x＝2000时，即可得出b的取值范围．解：（1）根据题意得：y＝0.1x+1100；故答案为：y＝0.1x+1100．（2）①由题意得0.8×1000+a＝0.1×1000+1100，解得a＝400；②当x＝2000时，y C≤y A且y C≤y B，即2000b+200≤2000×0.8+400；2000b+200≤2000×0.1+1100，解得：0＜b≤0.55．24．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝45°，AD⊥BC，垂足为D，BD＝6，DC＝4．（1）求⊙O的半径；（2）求AD的长．【分析】（1）根据圆周角定理得到∠BOC＝90°，根据等腰直角三角形的性质计算，求出OB；（2）连接OA，过点O作OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，根据垂径定理求出DF，根据等腰直角三角形的性质求出OF，根据勾股定理求出AE，结合图形计算得到答案．解：（1）如图1，连接OB、OC，∵BD＝6，DC＝4，∴BC＝10，由圆周角定理得，∠BOC＝2∠BAC＝90°，∴OB＝BC＝5；（2）如图2，连接OA，过点O作OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，∴BF＝FC＝5，∴DF＝1，∵∠BOC＝90°，BF＝FC，∴OF＝BC＝5，∵AD⊥BC，OE⊥AD，OF⊥BC，∴四边形OFDE为矩形，∴OE＝DF＝1，DE＝OF＝5，在Rt△AOE中，AE＝＝7，∴AD＝AE+DE＝12．25．如图，用一个平面去截正方体ABCDEFGH，得到了三棱锥S﹣DPQ．若∠SPD＝45°，∠SQD＝37°，PQ＝1，求SD的长．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75．）【分析】在直角三角形SDP中，根据∠SPD＝45°，得到三角形为等腰直角三角形，即SD＝PD，在Rt三角形SDQ中，利用锐角三角函数定义表示出DQ，在直角三角形PDQ 中，利用勾股定理求出所求即可．解：在Rt△SPD中，∠SPD＝45°，∴SD＝PD，在Rt△SDQ中，∠SDQ＝37°，∴tan37°＝＝0.75，∴DQ＝SD＝PD，在Rt△PDQ中，PQ＝＝SD＝1，∴SD＝．26．已知y是x的二次函数，该函数的图象经过点A（0，5）、B（1，2）、C（3，2）．（1）求该二次函数的表达式，画出它的大致图象并标注顶点及其坐标；（2）结合图象，回答下列问题：①当1≤x≤4时，y的取值范围是1≤y≤5；②当m≤x≤m+3时，求y的最大值（用含m的代数式表示）；③是否存在实数m、n（m≠n），使得当m≤x≤n时，m≤y≤n？若存在，请求出m、n；若不存在，请说明理由．【分析】（1）用待定系数法求出解析式，用描点法画出函数图象；（2）①根据函数图象找出横坐标由1到4的点的纵坐标的最大值与最小值，便可写出y 的取值范围；②先求出对称轴x＝﹣，分两种情况：﹣﹣m≥m+3﹣（﹣）或﹣﹣m＜m+3﹣（﹣），根据二次函数的性质求y的最大值便可；③利用已知可得图象过（a，a）点，进而得出a的值，即可得出m，n的值．解：（1）设二次函数的解析式为：y＝ax2+bx+c（a≠0），则，解得，，∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣4x+5，列表如下：x…01234…y…52125…描点、连线，（2）①由函数图象可知，当1≤x≤4时，1≤y≤5，故答案为：1≤y≤5；②∵二次函数的解析式为：y＝x2﹣4x+5，∴对称轴为x＝2，当2﹣m≤m+3﹣2，即m≥时，则在m≤x≤m+3内，当x＝m+3时，y有最大值为y ＝x2﹣4x+5＝（m+3）2﹣4（m+3）+5＝m2﹣+2m+2；当2﹣m＞m+3﹣2，即m＜时，则在m≤x≤m+3内，当x＝m时，y有最大值为y＝x2﹣4x+5＝m2﹣4m+5；③由已知可得图象过（a，a）点，∴a＝a2﹣4a+5，解得，a ＝，∵当m≤x≤n时，m≤y≤n，∴可以取m ＝，n ＝．27．如图，已知矩形纸片ABCD，怎样折叠，能使边AB被三等分？以下是小红的研究过程．思考过程要使边AB被三等分，若从边DC上考虑，就是要折出DM ＝DC，也就是要折出DM ＝AB，当DB、AM相交于F时，即要折出对角线上的DF ＝DB．那么…折叠方法和示意图①折出DB；对折纸片，使D、B重合，得到的折痕与DB相交于点E；继续折叠纸片，使D、B与E重合，得到的折痕与DB分别相交于点F、G；②折出AF、CG，分别交边CD、AB于M、Q；③过M折纸片，使D落在MC上，得到折痕MN，则边AB被N、Q 三等分．（1）整理小红的研究过程，说明AN＝NQ＝QB；（2）用一种与小红不同的方法折叠，使边AB被三等分．（需简述折叠方法并画出示意图）【分析】（1）由折叠的性质可得DF＝DB，DM＝AN，通过证明△DFM∽△BAF，可得DM＝AB，可得AN＝AB，同理可求QB＝AB，可得结论；（2）所求图形，如图所示，由折叠的性质可得AF＝BF＝DE＝EC＝CD，AN＝DM＝NQ，通过证明△AGF∽△CGD，可得，由平行线分线段成比例可得AN＝MC＝DM，即可证AN＝NQ＝QB．解：（1）由折叠的性质可得，DF＝DB，四边形ADMN是矩形，∴DM＝AN，∵CD∥AB，∴△DFM∽△BAF，∴＝，∴DM＝AB，∴AN＝AB，同理可求QB＝AB，∴AN＝NQ＝QB；（2）如图，①将矩形ABCD对折，使AD与BC重合，折痕为EF；②连接AC，DF，交点为G，③过点G折叠矩形ABCD，使点D落在CE上，对应点为E，使点A落在BF上，对应点为Q，折痕为MN；∴点N，点Q为AB的三等分点．理由如下：由折叠的性质可得：AF＝BF＝DE＝EC＝CD，AN＝DM＝NQ，∵AB∥CD，∴△AGF∽△CGD，∴，∵AB∥CD，∴，∴AN＝MC＝DM，∴AN＝DM＝CD＝AB，∴NQ＝AB，∴AN＝NQ＝QB．。

2024届江苏省南京鼓楼区金陵汇文重点中学中考数学全真模拟试卷含解析

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2024届江苏省南京鼓楼区金陵汇文重点中学中考数学全真模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．下列计算正确的是（）A．x2+x3=x5B．x2•x3=x5C．（﹣x2）3=x8D．x6÷x2=x32．如图，在ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，DE：EC=2:3，则S △DEF:S△ABF=（）A．2：3 B．4：9 C．2：5 D．4：253．安徽省在一次精准扶贫工作中，共投入资金4670000元，将4670000用科学记数法表示为（）A．4.67×107B．4.67×106C．46.7×105D．0.467×1074．如果关于x的一元二次方程k2x2-(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k>－14B．k>－14且0k≠C．k<－14D．k≥－14且0k≠5．如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥CD，下列说法错误的是（）A．∠AOD＝∠BOC B．∠AOE＋∠BOD＝90°C．∠AOC＝∠AOE D．∠AOD＋∠BOD＝180°6．如图，∠ACB=90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE=13CD，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F，若AB=6，则BF的长为（）A．6 B．7 C．8 D．107．人的头发直径约为0.00007m，这个数据用科学记数法表示（）A．0.7×10﹣4B．7×10﹣5C．0.7×104D．7×1058．如图，点E是矩形ABCD的边AD的中点，且BE⊥AC于点F，则下列结论中错误的是（）A．AF=12CF B．∠DCF=∠DFCC．图中与△AEF相似的三角形共有5个D．tan∠CAD=29．如图所示是由相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，那么该几何体的主视图是( )A．B．C．D．10．一组数据：3，2，5，3，7，5，x，它们的众数为5，则这组数据的中位数是（）A．2 B．3 C．5 D．7二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（﹣4，0），将△ABC沿x轴向左平移，当点C落在直线y=﹣2x﹣6上时，则点C沿x轴向左平移了_____个单位长度．12．在一个不透明的袋子里装有一个黑球和两个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球，两次都摸到黑球的概率是__________. 13．假期里小菲和小琳结伴去超市买水果，三次购买的草莓价格和数量如下表： 价格/（元/kg ）12 10 8 合计/kg 小菲购买的数量/kg2 2 2 6 小琳购买的数量/kg1236从平均价格看，谁买得比较划算？（ ）A ．一样划算B ．小菲划算C ．小琳划算D ．无法比较14．如果关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是__________. 15．如图，AC 是以AB 为直径的⊙O 的弦，点D 是⊙O 上的一点，过点D 作⊙O 的切线交直线AC 于点E ，AD 平分∠BAE ，若AB=10，DE=3，则AE 的长为_____．16．函数123y x x =--中自变量x 的取值范围是___________． 17．如图，直线y 1＝kx +n （k ≠0）与抛物线y 2＝ax 2+bx +c （a ≠0）分别交于A （﹣1，0），B （2，﹣3）两点，那么当y 1＞y 2时，x 的取值范围是_____．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．如图，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．（1）求证：OC OP PD AP；（2）若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长．19．（5分）（问题发现）（1）如图（1）四边形ABCD中，若AB=AD，CB=CD，则线段BD，AC的位置关系为；（拓展探究）（2）如图（2）在Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，分别以AB，AC为底边，在Rt△ABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，连接FD，FE，分别交AB，AC于点M，N．试猜想四边形FMAN的形状，并说明理由；（解决问题）（3）如图（3）在正方形ABCD中，AB=22，以点A为旋转中心将正方形ABCD旋转60°，得到正方形AB'C'D'，请直接写出BD'平方的值．20．（8分）在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．（1）如图1，当点E在边DC上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）；连接AC，请你直接写出△ACE为等腰三角形时CE：CD的值；（3）如图3，当E，F分别在直线DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD＝2，试求出线段CP的最大值．21．（10分）某射击队教练为了了解队员训练情况，从队员中选取甲、乙两名队员进行射击测试，相同条件下各射靶5次，成绩统计如下：命中环数 6 7 8 9 10甲命中相应环数的次数0 1 3 1 0乙命中相应环数的次数 2 0 0 2 1（1）根据上述信息可知：甲命中环数的中位数是_____环，乙命中环数的众数是______环；（2）试通过计算说明甲、乙两人的成绩谁比较稳定？（3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙射击成绩的方差会变小．（填“变大”、“变小”或“不变”）22．（10分）如图，△ABC与△A1B1C1是位似图形．(1)在网格上建立平面直角坐标系，使得点A的坐标为(－6，－1)，点C1的坐标为(－3，2)，则点B的坐标为____________；(2)以点A为位似中心，在网格图中作△AB2C2，使△AB2C2和△ABC位似，且位似比为1∶2；(3)在图上标出△ABC与△A1B1C1的位似中心P，并写出点P的坐标为________，计算四边形ABCP的周长为_______．23．（12分）如图所示，平行四边形形ABCD中，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）请添加一个条件使四边形BEDF为菱形．24．（14分）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m +3）x +m 2+2＝1． （1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x 1、x 2，且满足x 12+x 22＝31+|x 1x 2|，求实数m 的值．参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分） 1、B 【解题分析】分析：直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则和积的乘方运算法则分别计算得出答案． 详解：A 、不是同类项，无法计算，故此选项错误； B 、235x x x ⋅=， 正确； C 、()326x x -=-，故此选项错误； D 、624x x x ÷=， 故此选项错误； 故选：B ．点睛：此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算和积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键． 2、D 【解题分析】试题分析：先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF ∽△BAF ，从而DE ：AB=DE ：DC=2：5，所以S △DEF :S △ABF =4：25试题解析:∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，BA=DC∴∠EAB=∠DEF ，∠AFB=∠DFE ， ∴△DEF ∽△BAF ，∴DE：AB=DE：DC=2：5，∴S△DEF：S△ABF=4：25，考点：1.相似三角形的判定与性质；2.三角形的面积；3.平行四边形的性质．3、B【解题分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．【题目详解】将4670000用科学记数法表示为4.67×106，故选B.【题目点拨】本题考查了科学记数法—表示较大的数，解题的关键是掌握科学记数法的概念进行解答.4、B【解题分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有两个实数根下必须满足△=b2-4ac≥1．【题目详解】由题意知，k≠1，方程有两个不相等的实数根，所以△＞1，△=b2-4ac=（2k+1）2-4k2=4k+1＞1．因此可求得k＞14且k≠1．故选B．【题目点拨】本题考查根据根的情况求参数，熟记判别式与根的关系是解题的关键.5、C【解题分析】根据对顶角性质、邻补角定义及垂线的定义逐一判断可得．【题目详解】A、∠AOD与∠BOC是对顶角，所以∠AOD=∠BOC，此选项正确；B、由EO⊥CD知∠DOE=90°，所以∠AOE+∠BOD=90°，此选项正确；C、∠AOC与∠BOD是对顶角，所以∠AOC=∠BOD，此选项错误；D、∠AOD与∠BOD是邻补角，所以∠AOD+∠BOD=180°，此选项正确；故选C．【题目点拨】本题主要考查垂线、对顶角与邻补角，解题的关键是掌握对顶角性质、邻补角定义及垂线的定义．6、C【解题分析】∵∠ACB=90°，D为AB的中点，AB=6，∴CD=12AB=1．又CE=13 CD，∴CE=1，∴ED=CE+CD=2．又∵BF∥DE，点D是AB的中点，∴ED是△AFB的中位线，∴BF=2ED=3．故选C．7、B【解题分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【题目详解】解：0.00007m，这个数据用科学记数法表示7×10﹣1．故选：B．【题目点拨】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．8、D【解题分析】由1122AE AD BC==，又AD∥BC，所以12AE AFBC FC==，故A正确，不符合题意；过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=12BC，得到CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故B正确，不符合题意；根据相似三角形的判定即可求解，故C正确，不符合题意；由△BAE ∽△ADC ，得到CD 与AD 的大小关系，根据正切函数可求tan ∠CAD 的值，故D 错误，符合题意． 【题目详解】 A.∵AD ∥BC ，∴△AEF ∽△CBF ，∴12AE AF BC FC ==， ∵1122AE AD BC ==，∴12AF FC =，故A 正确，不符合题意； B. 过D 作DM ∥BE 交AC 于N ， ∵DE ∥BM ,BE ∥DM ，∴四边形BMDE 是平行四边形， ∴12BM DE BC ==， ∴BM =CM ， ∴CN =NF ，∵BE ⊥AC 于点F ,DM ∥BE ， ∴DN ⊥CF ， ∴DF =DC ，∴∠DCF =∠DFC ，故B 正确，不符合题意；C. 图中与△AEF 相似的三角形有△ACD ，△BAF ，△CBF ，△CAB ，△ABE 共有5个，故C 正确，不符合题意;D. 设AD =a ,AB =b ,由△BAE ∽△ADC ,有2.ab a b=∵tan ∠CAD 2,2CD b AD a === 故D 错误，符合题意. 故选：D. 【题目点拨】考查相似三角形的判定，矩形的性质，解直角三角形，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键. 9、C【解题分析】A、B、D不是该几何体的视图，C是主视图，故选C.【题目点拨】主视图是由前面看到的图形，俯视图是由上面看到的图形，左视图是由左面看到的图形，能看到的线画实线，看不到的线画虚线.10、C【解题分析】分析：众数是指一组数据中出现次数最多的那个数据，一组数据可以有多个众数，也可以没有众数；中位数是指将数据按大小顺序排列起来形成一个数列，居于数列中间位置的那个数据．根据定义即可求出答案．详解：∵众数为5，∴x=5，∴这组数据为：2,3,3,5,5,5,7，∴中位数为5，故选C．点睛：本题主要考查的是众数和中位数的定义，属于基础题型．理解他们的定义是解题的关键．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、1【解题分析】先根据勾股定理求得AC的长，从而得到C点坐标，然后根据平移的性质，将C点纵轴代入直线解析式求解即可得到答案.【题目详解】解：在Rt△ABC中，AB=﹣1﹣（﹣1）=3，BC=5，∴AC=22=1，BC AB∴点C的坐标为（﹣1，1）．当y=﹣2x﹣6=1时，x=﹣5，∵﹣1﹣（﹣5）=1，∴点C沿x轴向左平移1个单位长度才能落在直线y=﹣2x﹣6上．故答案为1．【题目点拨】本题主要考查平移的性质，解此题的关键在于先利用勾股定理求得相关点的坐标，然后根据平移的性质将其纵坐标代入直线函数式求解即可.12、【解题分析】首先根据题意列表，由列表求得所有等可能的结果与两次都摸到黑球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．注意此题属于放回实验．【题目详解】列表得：第一次第二次黑白白黑黑，黑白，黑白，黑白黑，白白，白白，白白黑，白白，白白，白∵共有9种等可能的结果，两次都摸到黑球的只有1种情况，∴两次都摸到黑球的概率是.故答案为：.【题目点拨】考查概率的计算，掌握概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键.13、C【解题分析】试题分析：根据题意分别求出两人的平均价格，然后进行比较．小菲：（24+20+16）÷6=10；小琳：（12+20+24）÷6≈1．3，则小琳划算．考点：平均数的计算．14、k＞－14且k≠1【解题分析】由题意知，k≠1，方程有两个不相等的实数根，所以△＞1，△=b2-4ac=（2k+1）2-4k2=4k+1＞1．又∵方程是一元二次方程，∴k≠1，∴k＞-1/4 且k≠1．15、1或9【解题分析】(1)点E在AC的延长线上时，过点O作OF AC交AC于点F，如图所示∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAE，∴∠OAD＝∠ODA＝∠DAC，∴OD//AE,∵DE是圆的切线，∴DE⊥OD,∴∠ODE=∠E=90o,∴四边形ODEF是矩形，∴OF＝DE，EF＝OD＝5，又∵OF⊥AC，∴AF＝2222534-=-=，OA OF∴AE＝AF+EF＝5+4＝9.（2）当点E在CA的线上时，过点O作OF⊥AC交AC于点F，如图所示同（1）可得：EF＝OD＝5，OF＝DE＝3，在直角三角形AOF中，AF＝224-=，OA OF∴AE＝EF－AF＝5－4＝1.16、x≤2【解题分析】试题解析：根据题意得：20 {x30x-≥-≠解得：2x≤.17、﹣1＜x＜2【解题分析】根据图象得出取值范围即可．【题目详解】解：因为直线y1＝kx+n（k≠0）与抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）分别交于A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点，所以当y1＞y2时，﹣1＜x＜2，故答案为﹣1＜x＜2【题目点拨】此题考查二次函数与不等式，关键是根据图象得出取值范围．三、解答题（共7小题，满分69分）18、(1)详见解析；（2）10.【解题分析】①只需证明两对对应角分别相等可得两个三角形相似；故OC OP PD AP=.②根据相似三角形的性质求出PC长以及AP与OP的关系，然后在Rt△PCO中运用勾股定理求出OP长，从而求出AB长．【题目详解】①∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC,DC=AB,∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°.由折叠可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO，∠APO=∠B.∴∠APO=90°.∴∠APD=90°−∠CPO=∠POC.∵∠D=∠C，∠APD=∠POC.∴△OCP∽△PDA.∴OC OP PD AP=.②∵△OCP与△PDA的面积比为1:4，∴OCPD=OPPA=CPDA=14−−√=12.∴PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP.∵AD=8，∴CP=4，BC=8.设OP=x，则OB=x，CO=8−x.在△PCO中，∵∠C=90∘，CP=4，OP=x，CO=8−x，∴x2=(8−x)2+42.解得：x=5.∴AB=AP=2OP=10.∴边AB的长为10.【题目点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质以及翻转变换，解题的关键是熟练的掌握相似三角形与翻转变换的相关知识. 19、（1）AC垂直平分BD；（2）四边形FMAN是矩形，理由见解析；（3）16+83或16﹣83【解题分析】（1）依据点A在线段BD的垂直平分线上，点C在线段BD的垂直平分线上，即可得出AC垂直平分BD；（2）根据Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，可得AF=CF=BF，再根据等腰三角形ABD 和等腰三角形ACE，即可得到AD=DB，AE=CE，进而得出∠AMF=∠MAN=∠ANF=90°，即可判定四边形AMFN是矩形；（3）分两种情况：①以点A为旋转中心将正方形ABCD逆时针旋转60°，②以点A为旋转中心将正方形ABCD顺时针旋转60°，分别依据旋转的性质以及勾股定理，即可得到结论．【题目详解】（1）∵AB=AD，CB=CD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，点C在线段BD的垂直平分线上，∴AC垂直平分BD，故答案为AC垂直平分BD；（2）四边形FMAN是矩形．理由：如图2，连接AF，∵Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，∴AF=CF=BF，又∵等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，∴AD=DB，AE=CE，∴由（1）可得，DF⊥AB，EF⊥AC，又∵∠BAC=90°，∴∠AMF=∠MAN=∠ANF=90°，∴四边形AMFN是矩形；（3）BD′的平方为16+83或16﹣83．分两种情况：①以点A为旋转中心将正方形ABCD逆时针旋转60°，如图所示：过D'作D'E⊥AB，交BA的延长线于E，由旋转可得，∠DAD'=60°，∴∠EAD'=30°，∵AB2=AD'，∴D'E=12AD2，AE6，∴BE26，∴Rt△BD'E中，BD'2=D'E2+BE2=2）2+（26）23②以点A为旋转中心将正方形ABCD顺时针旋转60°，如图所示：过B作BF⊥AD'于F，旋转可得，∠DAD'=60°，∴∠BAD'=30°，∵AB=22=AD'，∴BF=12AB=2，AF6，∴D'F26，∴Rt△BD'F中，BD'2=BF2+D'F2=2）2+（26）2=16﹣3综上所述，BD′平方的长度为316﹣3【题目点拨】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的判定，旋转的性质，线段垂直平分线的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，依据勾股定理进行计算求解．解题时注意：有三个角是直角的四边形是矩形．20、（1）AE=DF，AE⊥DF，理由见解析；（2）成立，2或2；（3）51【解题分析】试题分析：（1）根据正方形的性质，由SAS先证得△ADE≌△DCF．由全等三角形的性质得AE=DF，∠DAE=∠CDF，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；（2）有两种情况：①当AC=CE时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理求出2a即可；②当AE=AC 时，设正方形的边长为a，由勾股定理求出2a，根据正方形的性质知∠ADC=90°，然后根据等腰三角形的性质得出DE=CD=a即可；（3）由（1）（2）知：点P的路径是一段以AD为直径的圆，设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度最大，再由勾股定理可得QC的长，再求CP即可．试题解析：（1）AE=DF，AE⊥DF，理由是：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，∴DE=CF ，在△ADE 和△DCF 中AD DC ADE DCF DE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADE DCF ∆≅∆，∴AE=DF ，∠DAE=∠FDC ，∵∠ADE=90°，∴∠ADP+∠CDF=90°，∴∠ADP+∠DAE=90°，∴∠APD=180°-90°=90°，∴AE ⊥DF ；（2）（1）中的结论还成立，有两种情况：①如图1，当AC=CE 时，设正方形ABCD 的边长为a ，由勾股定理得， 222AC CE a a a ==+=， 则:2:2CE CD a a ==；②如图2，当AE=AC 时，设正方形ABCD 的边长为a ，由勾股定理得：222AC AE a a a =+=，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ADC=90°，即AD ⊥CE ，∴DE=CD=a ，∴CE:CD=2a:a=2；即2或2；（3）∵点P 在运动中保持∠APD=90°，∴点P 的路径是以AD 为直径的圆，如图3，设AD 的中点为Q ，连接CQ 并延长交圆弧于点P ，此时CP 的长度最大，∵在Rt △QDC 中，2222215QC CD QD =+=+=∴51CP QC QP =+=，即线段CP 51.点睛：此题主要考查了正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，能综合运用性质进行推挤是解此题的关键，用了分类讨论思想，难度偏大.21、（1）8， 6和9；（2）甲的成绩比较稳定；（3）变小【解题分析】（1）根据众数、中位数的定义求解即可；（2）根据平均数的定义先求出甲和乙的平均数，再根据方差公式求出甲和乙的方差，然后进行比较，即可得出答案；（3）根据方差公式进行求解即可．【题目详解】解：（1）把甲命中环数从小到大排列为7，8，8，8，9，最中间的数是8，则中位数是8；在乙命中环数中，6和9都出现了2次，出现的次数最多，则乙命中环数的众数是6和9；故答案为8，6和9；（2）甲的平均数是：（7+8+8+8+9）÷5=8，则甲的方差是：15[（7-8）2+3（8-8）2+（9-8）2]=0.4，乙的平均数是：（6+6+9+9+10）÷5=8，则甲的方差是：15[2（6-8）2+2（9-8）2+（10-8）2]=2.8，所以甲的成绩比较稳定；（3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差变小．故答案为变小．【题目点拨】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差通常用s2来表示，计算公式是：s2=1n[（x1-x）2+（x2-x）2+…+（x n-x）2]；方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了算术平均数、中位数和众数．22、（1）作图见解析；点B的坐标为：（﹣2，﹣5）；（2）作图见解析；（3）【解题分析】分析：（1）直接利用已知点位置得出B点坐标即可；（2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；（3）直接利用位似图形的性质得出对应点交点即可位似中心，再利用勾股定理得出四边形ABCP的周长．详解：（1）如图所示：点B的坐标为：（﹣2，﹣5）；故答案为（﹣2，﹣5）；（2）如图所示：△AB2C2，即为所求；（3）如图所示：P点即为所求，P点坐标为：（﹣2，1），四边形ABCP的周长为：故答案为点睛：本题主要考查了位似变换以及勾股定理，正确利用位似图形的性质分析是解题的关键．23、见解析【解题分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB∥DC，OB=OD，由平行线的性质可得∠OBE=∠ODF，利用ASA判定△BOE≌△DOF，由全等三角形的性质可得EO=FO，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判定四边形BEDF是平行四边形；（2）添加EF⊥BD（本题添加的条件不唯一），根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形即可判定平行四边形BEDF为菱形．【题目详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，O是BD的中点，∴AB∥DC，OB=OD，∴∠OBE=∠ODF，又∵∠BOE=∠DOF，∴△BOE≌△DOF（ASA），∴EO=FO，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）EF⊥BD．∵四边形BEDF是平行四边形，∵EF⊥BD，∴平行四边形BEDF是菱形．【题目点拨】本题考查了平行四边形的性质与判定、菱形的判定，熟知平行四边形的性质与判定及菱形的判定方法是解决问题的关键.24、（1）m ≥﹣112；（2）m ＝2． 【解题分析】 （1）利用判别式的意义得到（2m +3）2﹣4（m 2+2）≥1，然后解不等式即可；（2）根据题意x 1+x 2＝2m +3，x 1x 2＝m 2+2，由条件得x 12+x 22＝31+x 1x 2，再利用完全平方公式得（x 1+x 2）2﹣3x 1x 2﹣31＝1，所以2m +3）2﹣3（m 2+2）﹣31＝1，然后解关于m 的方程，最后利用m 的范围确定满足条件的m 的值．【题目详解】（1）根据题意得（2m +3）2﹣4（m 2+2）≥1，解得m ≥﹣112； （2）根据题意x 1+x 2＝2m +3，x 1x 2＝m 2+2，因为x 1x 2＝m 2+2＞1，所以x 12+x 22＝31+x 1x 2，即（x 1+x 2）2﹣3x 1x 2﹣31＝1，所以（2m +3）2﹣3（m 2+2）﹣31＝1，整理得m 2+12m ﹣28＝1，解得m 1＝﹣14，m 2＝2，而m ≥﹣112； 所以m ＝2．【题目点拨】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝1（a ≠1）的两根时，1212,b c x x x x a a +=-=．灵活应用整体代入的方法计算．。

南京鼓楼区数学第一次模拟测试(答案+free)

南京鼓楼区数学第一次模拟测试(答案+free)

鼓楼区2009— 2010第二学期初三调研测试卷数学注意事项：1 •本试卷共6页•全卷满分120分•考试时间为120分钟•考生答题全部答在答题卡上， 答在本试卷上无效.一、选择题(本大题共8小题，每小题2分，共计16分•在每小题所给出的四个选项中， 恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填在答卷纸上 )1 • 2的绝对值等于1 1A • 2B • — 2C • 2D • — 22.世博网3月19日消息：截至目前，上海世博会特许产品的销售额已达 8 000 000 000元, 将8 000 000 000用科学记数法表示应为8899A • 80X 10B • 8 X 10C • 80 X 10D • 8X 103 •右边的几何体是由五个大小相同的正方体组成的，它的主视图为(A •B •C •D •4 • 4的平方根是A • 2B • — 2C • ± 2D • 土，25 •下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A •等边三角形B •菱形C •平行四边形D •等腰梯形6 •下列运算正确的是A • x 3 + x 2= x 5B • x 3— x 2= x C •x 3 十 x 2= x D • x 3 • x 2= x 67 •小许在班级内提议收集废弃的饮料瓶，变卖所得作为班级的活动经费•他注意观察了一 周，5天里每天收集的废弃饮料瓶(单位：个)分别是： 40, 40, 35, 30, 35,根据这些数 据，他估计一个月(以20天计算)可以收集到的饮料瓶个数约是A • 800B • 720C • 700D • 600&将点A (2 3, 0)绕着原点顺时针方向旋转 60。

得到点B ,则点B 的坐标是A • ( .3,— 3)B • ( .3, 3)C • ( 3,— 3)D • (3, . 3)、填空题(本2分，共计20分（第 3 题）接填写在答题卡相应位置上)39 .分解因式ab - ab = ▲.10.如图，直线 AB 、CD 相交于点 E , DF // AB .若/ AEC = 100°则.D 等于 ▲°.11 .若 a — b = — 1, ab = 2,则(a + 1)(b — 1) = ▲ .112. 解方程匸；=2得亠 13.在一个不透明的袋子中有 2个黑球、1个白球，它们除颜色外其他均相同 •充分摇匀后, 先摸出1个球不放回，再摸出 1个球，那么两个球都是黑球的概率为 ▲.14.如图，直角△ ABC 中，/ C = 90°, AB = 13, BC = 5,那么 sin B =▲.215.小许踢足球，经过 x 秒后足球的高度为 y 米，且时间与高度关系为 y = ax 十bx .若此足 球在5秒后落地，那么足球在飞行过程中，当x =▲ 秒时，高度最高. 16.用正三角形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从 第二个图案开始，每个图案都比上一个图案多一个正六 边形和两个正三角形，则第 n 个图案中正三角形的个数为 ▲（用含n 的代数式表示）.17 .菱形边长为 6，一个内角为 60 °，顺次连接这个菱形各边中点所得的四边形周长为 ▲.2 218.函数 y 1 = — ax + ax + 1, y 2= ax + ax 且a >0）的图像如图所示，请写出一条 有关的不同类型的结论 ▲.第一个图案 第二个图案 第三个图案（第16题）20. （8分）已知：如图，口 ABCD 的对角线 AC 、BD 相交于点 0, △ 0AB 是等边三角形， DE // AC , AE // BD . 求证：（1）四边形ABCD 是矩形；（2）四边形A0DE 是菱形.21. （6分）表①是2005年日本爱知世博会和 2007年西班牙萨拉戈萨世博会文化演艺活动 基本数据统计表，图①是爱知世博会各类活动场次统计，图②是萨拉戈萨世博会各类活动场次统计.（数据来自于世博会官网）会期（天）活动数（千场）日均活动（场）2005年爱知 18511592007年萨拉戈萨935▲（表①）三、解答题 字说明、 19. （8 分） （本大题共10小题，共计 证明过程或演算步骤） 84分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文(1) (4分)x+ K 2x ;解不等式组钻—x并写出它的所有整数解. (2) (4 分)2x x1 「X 1 2—!.爱知世博会各类活动场次统计 学术教育萨拉戈萨世博会各类活动场次统计k22. (8分)如图，反比例函数y i= - (x>0)与正比例函数y2= mx和*= nx分别交于A, BX(1 )当y2> %时，x的取值范围是▲两点.已知A、B两点的横坐标分别为1和2 .过点B作BC垂直x轴于点C ,△ OBC的面积为2.(2)求出y1和y3的关系式;kmx > x；(3)直接写出不等式组的解集▲k > nx. x23. (8分)将水平相当的A、B、C、D四人随机平均分成甲、乙两组进行乒乓球单打比赛, 每组的胜者进入下一轮决赛.(1)A、B被分在同一组的概率是多少？(2)A、B在下一轮决赛中相遇的概率是多少？24. ( 8分)如图，是设计师为小许家厨房的装修给出的俯视图，尺寸如图所示，DF边上有一个80 cm宽的门，留下墙DE长为200cm .冰箱摆放在图纸中的位置，冰箱的俯视图是一个边长为60 cm的正方形，为了利于冰箱的散热，厂家建议冰箱的后面和侧面都至少留有10 cm的空隙，为了方便使用，建议冰箱的门至少要能打开到120° (图中/ ABC =120°).(1)为了满足厂家的建议，图纸中的冰箱离墙DE 至少多少厘米？(2)为了满足厂家建议的散热留空的最小值，小许想拆掉部分墙DE,将门扩大，同时又满足厂家建议的开门角度，那么至少拆掉多少厘米的墙，才能满足上述要求？(结果精确到0.1cm)(参考数据：^2〜1.41 {3~ 1.73.25. (10分)如图，AB是O O的直径，AB = 10,以B为圆心画圆.(1 )若0 B和O O相交，设交点为C、D;①试判断直线AC与O B的关系，并说明理由；②若O B的半径是6,连接CO、OD、DB、BC,求四边形CODB的面积;(2)若0 B与O O相切，则O B的半径= ▲.26. (10分)小许在动手操作时，发现直角边长分别为6, 8和直角边长分别为2, 14的两个直角三角形中(如图①)，/ 1和/ 2可以拼成一个45°的角(如图②)，但他不会说理，于是找来几个同学一起研究这个问题.(1) 甲同学发现，只要在图③中连接C6,过C作CD丄B1C1，交C1B1的延长线于点D并能计算出CC1的长度，就可以说明△ ACC1是等腰直角三角形，从而说明/ 1 + Z 2 = 45°,请写出甲同学的说理过程；(2) 乙同学发现，只要两个直角三角形的直角边长分别为a, b和直角边长分别为a+ b, a —b (a > b),利用两个直角三角形构造出的矩形(如图④) ，同样可以说明/ 1 + Z 2 = 45° 请写出乙同学的说理过程；27. （10分）某季节性农产品从上市到下市共销售 90天的时间，其售价 y （元/千克）和上 市后天数x （天）的关系可以近似地用图中的一条折线表示，其中当 0< x w 60时，满足函数y =— 0.1x + 10.销售量w （千克）和售价 y （元/千克）的关系可以表示为： w =— 10y + 200. （1）请解释图中点 A 的实际意义；（2） 直接写出图中当60 v x w 90时售价y （元/千克）和上市后天数 x （天）的函数关系式； （3） 求出每日销售收入 Q （元）与上市后天数 x （天）的函数关系式，并求出上市后日销 售收入最高为多少？（第 27 题）28. （10分）如图，射线 AM 平行于射线 BN , AB 丄BN 且AB = 3, C 是射线BN 上的一个动1点，连接AC ,作CD 丄AC 且CD =尹6 过C 作CE 丄BN 交AD 于点E ，设BC 长为t . （1） AC 长为 ▲ , △ ACD 的面积为 ▲ （用含有t 的代数式表示）; （2）求点D 到射线BN 的距离（用含有t 的代数式表示）;（3） 是否存在点。

2019-2020学年05月27日南京鼓楼区中考一模数学试卷+解析

2019-2020学年05月27日南京鼓楼区中考一模数学试卷+解析

数 学注意事项：•1 •本试卷共6 页•全卷满分1 2〇分•考试时间为1 2 6 分钟丨考生答题全部答在答题卡上，答在未试卷上无效•.2.请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号否与本人相符合,再将自己的姓名、准考证号用〇• 5 毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上^一、选择题(本大题共6 :小I S ，％ 小题2 分，共 1 2 分.在每小题所给出的四个选项丰，^有一项是符合」 •.题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在夸亭卞串寧年葶上>: …“1，鼓楼e 学校了停课不停学在线课堂，，在此次疫褕•期丨司•为•全•国•师生提供鼓楼教言沾“云 服 务 • 课程日均尚量达 1 200 000•用科学记数法表示1 200 000 是 > . A .0.12X 106 ' r B .1.2X 107C .1.2X 106D .12X 105 2 .〜^" 表示4的-A •平方B • 平 方 根 .C •算术平方根 'D .立方根'•丨3•数轴上，点丄刀分别表示一 1、7,则线段A B 的中点C 表 示 的 数 是 ‘ +Y :A .2B . 3C .4D .5•一，4 . 已 知5 < ^ < 7 , 4 < ~ ^ " <6 , 则 ^ / $ 的 整 数 部 分 可 以 是 _， -：A . 9 ■B .10'C . l lD . 12 ， -• 5•某班3 7 名同学中只有1 位同学身高是165 bm .若除甲、乙外其+ 3 5 名同学身高的平均数和中 . 位. 数都是 1. 65 cm ,则该班3 7 名同学身高. 的. 平均数a 和中位数《单位.• :cm ),不可能是... •• . A .a > 1 6 5 , 6 = 1 6 5 B .a < l 65,6=165 .C ,«< 165 , 6 = 164D .a = 165 , 6 = 166i6• 如 图 两 地 相 距 《m ，它们之间有^半径为r … •的圆形琴地(r < f ),绿地圆心位于儿& 1 线的 _中点0 处 , 分 别 过 作 © 〇 的切线相交于C ,^切点分别为Z )、五 • 现 规 划 两 条 驾 车 路 径 a ’- (:OJB—C — (沿 S )—JD -M ,则下列J 说法正确的是(第6 题)•A .①较长B .②较长C .①②一样长D . 以上皆有可能二、填空题(本大题共10 小题,每小题2 分，共20 分•不需写出解答过程,请把答案直接填写在f 寧卞竽毕筚写上）7.写出一i 数，使这个数等于它的倒数:_J k8. 若式子 " 7 —1在实数范围内有意义，则：的取值范围是-a9•计算的结果是_ ▲v y10.方程的x解是_11•已知方程訌2+ 仁一3 = 〇的两根分别为心、於，则幻+ ^ = __ ▲，工1工产----- 表—12•数据苍，3,2,3,5的方差是▲•I3•若正比例函数：y=々i z的图像与反比例函数的图像都经过点( 2 ,3),则々1<r s=^ 的解是14.如图，点〇是正五边形A沉刀五的中心,连接丑P 、〇D,则Z ：B I)〇= A_i 5•如图，沉1是© O 的切线是切点 .连接丑(9并延长，交©〇于点五、儿过Z 作A C JJ 5C ,垂足为C•若B D= 8 ，J3E=4 ,则A\主视图B俯视图(第M 题）. ( 第16 题）16.用^ 干个相同的小正方体搭一个几何体，该几何体的主视图、俯视图如图所示•若小正方体的棱长为1,则搭成的几何体的表面积是▲三、解答题(本大题共11 小题，共的分• 请在寧字E 亨内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. ( 7 分)计算a 1 , 3 ^ - 11 —a1一丁18. ( 7 分)( 1 ) 解不等式5 $ + 2 > 3 0 ^ 1 ) , 并把它的解集在数铀上表示出来. ：，、u1一—3^ —2 —1 ； 0 :：i f , 2 3 ^( 第 18 题〉<(2)写出一个实数々，使得不等式々和⑴中的不等式组成的不等式组恰有3 个整数解.19. ( 7 分) 如图，已知直线瓦p 分别交直线仙、C£)于点G //, G J H J 分别平分/.BGH ^ GHD .(1)求证G7 丄HA⑵请用文字概括⑴所证明的命题：▲.AC_ (第丨9 题）•20. (8 分)下面是某区1 5 0 0 名小学生和初中生的视力情况和他们每节课墀间户外活动平均时: 长的统计图•，，..；: ）：'V / 、•S .1某区1 500名小学生和初中生图2 某区1500名小学生和初中生近视情况条職计图各年级近视率折线统计图图3 某区1 500名小学生和初中生每节课课间户外活动平均时长分布统计图人数百分比(％)1?_ 小学囹初中0-2分钟 2 4 分钟 4 4 分知W 分^ 分钟以上时长•- ••.(1)根据图1 ，计算该区1 5 0 0 名学生的近视卓;(2)根据图2,从两个不同的角度描述该区1 5 0 0 名学生各年级近视率的变化趋势；⑶根据图1、图2 、图3,描述该区1 5 0 0 名学生逬视率和所在学段(小学、初中)、每节课课间户外活动平均时长的关系，21. (8 分） ^ \ ! J '、' 址 9(1) 不透明的袋子A 中装有红球1 个、白球1 个，不透明的袋子B 中装有红球1 个、• 每’这些球除颜色外无其他差别•分别从两个袋子中随机摸出一个球，求摸出的两斤球颜色不同的概率； (2) 甲、乙两人解同一道数学题，甲正确的概率为"I •，乙正确的概率为^■，则甲乙恰有一人正确的概率是 ▲ • 、 - ,22. ( 8 分 ) 点 分 别 是 菱 形 ABCZ )边议：、Ci ) 上的点. (1)如图，若 C E = C F ,求证 A £ = i 4F ; ⑵ 判断命题“若 则 C £ = CT ”的真假.若真，请证明;若假，请在备用图上画出反例.23. ( 8 分)某工厂生产A 、B 、C 三种产品，这三种产品的生产数量均为x 件•它们的单件成本和固定成本如下表：产品单件成本(元/件）固定成本(元）A 0.1 1 100B 〇 .8 r - …aCb (b > 0 )\200(注:总成本= 单件成本X 生产数量+ 固定成本）(1) 若产品A 的总成本为v A ，则 v a 关于:r 的函数表达式为 ▲ ；-—(2) 当x = l 0 0 0 时，产品A 、B 的总成本相同•* , A // v >^① 求W ...................................................................... N. ‘ 、it ** "• "' 1 二 3^ ' • J ^ ^ :.V '.② 当^ < 2 0 0 0 时，产品C 的总成本最低，求 6 的取值范围.(1) 求©〇的半径; A(2 )求的长 .(第24 题)25. ( 8 分)如图，用一屯平面去截正方体邱CDEFG^ , 得到了写棱锥s - d p Q•若Z S P i^ 451^ 5 〇 0 = 3 7 。

2020年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷含解析

2020年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷含解析

2020年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）“鼓楼e学校一停课不停学在线课堂”在此次疫情期间为全国师生提供鼓楼教育的“云服务”，课程日均访问量达1200000，用科学记数法表示1200000是（）A．0.12×106B．1.2×107C．1.2×106D．12×1052．（2分）表示4的（）A．平方B．平方根C．算术平方根D．立方根3．（2分）数轴上，点A、B分别表示﹣1、7，则线段AB的中点C表示的数是（）A．2B．3C．4D．54．（2分）已知5≤≤7，4≤≤6，则的整数部分可以是（）A．9B．10C．11D．125．（2分）某班37名同学中只有1位同学身高是165cm．若除甲、乙外其余35名同学身高的平均数和中位数都是165cm，则该班37名同学身高的平均数a和中位数b（单位：cm），不可能是（）A．a＞165，b＝165B．a＜165，b＝165C．a＜165，b＝164D．a＝165，b＝1666．（2分）如图，A、B两地相距am，它们之间有一半径为r的圆形绿地（r＜），绿地圆心位于AB连线的中点O处，分别过A、B作⊙O的切线相交于C，切点分别为D、E．现规划两条驾车路径：①B→E→C→D→A；②B→E→（沿）→D→A，则下列说法正确的是（）A．①较长B．②较长C．①②一样长D．以上皆有可能二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答趣卡相应位置上）7．（2分）写出一个数，使这个数等于它的倒数：．8．（2分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是．9．（2分）计算的结果是．10．（2分）解方程＝得．11．（2分）已知方程2x2+4x﹣3＝0的两根分别为x1、x2，则x1+x2＝，x1x2＝．12．（2分）一组数据2，3，2，3，5的方差是．13．（2分）若正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数y＝的图象都经过点（2，3），则k1x＝的解是．14．（2分）如图，点O是正五边形ABCDE的中心，连接BD、OD，则∠BDO＝°．15．（2分）如图，BC是⊙O的切线，D是切点．连接BO并延长，交⊙O于点E、A，过A 作AC⊥BC，垂足为C．若BD＝8，BE＝4，则AC＝．16．（2分）用若干个相同的小正方体搭一个几何体，该几何体的主视图、俯视图如图所示．若小正方体的棱长为1，则搭成的几何体的表面积是．三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（7分）计算．18．（7分）（1）解不等式5x+2≥3（x﹣1），并把它的解集在数轴上表示出来．（2）写出一个实数k，使得不等式x＜k和（1）中的不等式组成的不等式组恰有3个整数解．19．（7分）如图，已知AB∥CD，直线EF分别交直线AB、CD于点G、H，GI、HI分别平分∠BGH、∠GHD．（1）求证GI⊥HI．（2）请用文字概括（1）所证明的命题：．20．（8分）如图是某区1500名小学生和初中生的视力情况和他们每节课课间户外活动平均时长的统计图．（1）根据图1，计算该区1500名学生的近视率；（2）根据图2，从两个不同的角度描述该区1500名学生各年级近视率的变化趋势；（3）根据图1、图2、图3，描述该区1500名学生近视率和所在学段（小学、初中）、每节课课间户外活动平均时长的关系．21．（8分）（1）不透明的袋子A中装有红球1个、白球1个，不透明的袋子B中装有红球1个、白球2个，这些球除颜色外无其他差别．分别从两个袋子中随机摸出一个球，求摸出的两个球颜色不同的概率；（2）甲、乙两人解同一道数学题，甲正确的概率为，乙正确的概率为，则甲乙恰有一人正确的概率是．22．（8分）点E、F分别是菱形ABCD边BC、CD上的点．（1）如图，若CE＝CF，求证AE＝AF；（2）判断命题“若AE＝AF，则CE＝CF”的真假．若真，请证明；若假，请在备用图上画出反例．23．（8分）某工厂生产A、B、C三种产品，这三种产品的生产数量均为x件．它们的单件成本和固定成本如表：产品单件成本（元/件）固定成本（元）A0.11100B0.8aC b（b＞0）200（注：总成本＝单件成本×生产数量+固定成本）（1）若产品A的总成本为y A，则y A关于x的函数表达式为．（2）当x＝1000时，产品A、B的总成本相同．①求a；②当x≤2000时，产品C的总成本最低，求b的取值范围．24．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝45°，AD⊥BC，垂足为D，BD＝6，DC＝4．（1）求⊙O的半径；（2）求AD的长．25．（8分）如图，用一个平面去截正方体ABCDEFGH，得到了三棱锥S﹣DPQ．若∠SPD ＝45°，∠SQD＝37°，PQ＝1，求SD的长．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75．）26．（10分）已知y是x的二次函数，该函数的图象经过点A（0，5）、B（1，2）、C（3，2）．（1）求该二次函数的表达式，画出它的大致图象并标注顶点及其坐标；（2）结合图象，回答下列问题：①当1≤x≤4时，y 的取值范围是；②当m≤x≤m +3时，求y的最大值（用含m的代数式表示）；③是否存在实数m、n（m≠n），使得当m ≤x≤n时，m≤y≤n？若存在，请求出m、n；若不存在，请说明理由．27．（9分）如图，已知矩形纸片ABCD，怎样折叠，能使边AB被三等分？以下是小红的研究过程．思考过程要使边AB被三等分，若从边DC上考虑，就是要折出DM＝DC，也就是要折出DM＝AB，当DB、AM相交于F时，即要折出对角线上的DF＝DB．那么…折叠方法和示意图①折出DB；对折纸片，使D、B重合，得到的折痕与DB相交于点E；继续折叠纸片，使D、B与E重合，得到的折痕与DB分别相交于点F、G；②折出AF、CG，分别交边CD、AB于M、Q；③过M折纸片，使D落在MC上，得到折痕MN，则边AB被N、Q三等分．（1）整理小红的研究过程，说明AN＝NQ＝QB；（2）用一种与小红不同的方法折叠，使边AB被三等分．（需简述折叠方法并画出示意图）2020年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）“鼓楼e学校一停课不停学在线课堂”在此次疫情期间为全国师生提供鼓楼教育的“云服务”，课程日均访问量达1200000，用科学记数法表示1200000是（）A．0.12×106B．1.2×107C．1.2×106D．12×105【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．【解答】解：1200000＝1.2×106．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．（2分）表示4的（）A．平方B．平方根C．算术平方根D．立方根【分析】根据算术平方根的定义计算可得．【解答】解：表示4的的算术平方根，故选：C．【点评】本题主要考查算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．3．（2分）数轴上，点A、B分别表示﹣1、7，则线段AB的中点C表示的数是（）A．2B．3C．4D．5【分析】数轴上点A所表示的数为a，点B所表示的数为b，则AB的中点所表示的数为．【解答】解：线段AB的中点C表示的数为：＝3，故选：B．【点评】考查数轴表示数的意义和方法，掌握中点所表示的数的计算方法是得出正确答案的前提．4．（2分）已知5≤≤7，4≤≤6，则的整数部分可以是（）A．9B．10C．11D．12【分析】根据估算无理数的大小的方法即可得的整数部分．【解答】解：∵5≤≤7，4≤≤6，∴25≤a≤49，16≤b≤36，∴41≤a+b≤85，则的整数部分可以是6，7，8，9．故选：A．【点评】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是掌握估算的方法．5．（2分）某班37名同学中只有1位同学身高是165cm．若除甲、乙外其余35名同学身高的平均数和中位数都是165cm，则该班37名同学身高的平均数a和中位数b（单位：cm），不可能是（）A．a＞165，b＝165B．a＜165，b＝165C．a＜165，b＝164D．a＝165，b＝166【分析】根据中位数和平均数的定义分别进行解答即可．【解答】解：因为35名同学身高的平均数和中位数都是165cm，且只有1位同学身高是165cm，如果甲乙两同学身高都大于165，中位数可能是166，但平均数大于165；如果甲乙两同学身高都小于165，中位数小于165，平均数小于165；如果甲乙两同学身高一个大于165，一个小于165，则平均数可能是165，但中位数只能是165，故选：D．【点评】本题考查平均数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数．6．（2分）如图，A、B两地相距am，它们之间有一半径为r的圆形绿地（r＜），绿地圆心位于AB连线的中点O处，分别过A、B作⊙O的切线相交于C，切点分别为D、E．现规划两条驾车路径：①B→E→C→D→A；②B→E→（沿）→D→A，则下列说法正确的是（）A．①较长B．②较长C．①②一样长D．以上皆有可能【分析】分别写出①和②的路线组成，只需比较不同的部分，即EC+CD与的大小即可．【解答】解：如图，①B→E→C→D→A，所走的路程为：BE+EC+CD+DA；②B→E→（沿）→D→A，所走的路程为：BE++DA；∵EC+CD＞，∴BE+EC+CD+DA＞BE++DA，即①＞②．故选：A．【点评】本题考查了圆的相关性质，数形结合是解题的关键．本题作为选择题，无需复杂计算，充分利用几何直观是快速解题的根本．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答趣卡相应位置上）7．（2分）写出一个数，使这个数等于它的倒数：1．【分析】根据倒数的定义可知如果一个数等于它的倒数，则这个数是±1．【解答】解：如果一个数等于它的倒数，则这个数是±1．故答案为：1．【点评】本题考查了倒数的定义．解题的关键是掌握倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．要求掌握并熟练运用．尤其是±1这两个特殊的数字．8．（2分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥1．【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案．【解答】解：若在实数范围内有意义，则x﹣1≥0，解得：x≥1．故答案为：x≥1．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．9．（2分）计算的结果是2．【分析】直接化简二次根式进而合并得出答案．【解答】解：原式＝+＝2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确化简二次根式是解题关键．10．（2分）解方程＝得x＝9．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：2x＝3x﹣9，解得：x＝9，经检验x＝9是分式方程的解．故答案为：x＝9．【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．11．（2分）已知方程2x2+4x﹣3＝0的两根分别为x1、x2，则x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣．【分析】根据方程的系数结合根与系数的关系，即可得出x1+x2和x1x2的值．【解答】解：∵x1、x2是方程2x2+4x﹣3＝0的两根，∴x1+x2＝﹣＝﹣2，x1x2＝＝﹣．故答案为：﹣2；﹣．【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．12．（2分）一组数据2，3，2，3，5的方差是 1.2．【分析】先求出平均数，再根据方差公式计算即可．S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]．【解答】解：＝（2+3+3+3+5）÷5＝3，S2＝[（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+（2﹣3）2+（5﹣3）2]＝1.2．故填答案为1.2．【点评】本题考查方差的定义．一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．13．（2分）若正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数y＝的图象都经过点（2，3），则k1x＝的解是2或﹣2．【分析】两个函数的图象都经过点（2，3），即k1x＝的一个解为x＝2，根据正比例函数点的对称性，则另外一个解为x＝﹣2，即可求解．【解答】解：两个函数的图象都经过点（2，3），即k1x＝的一个解为x1＝2，根据正比例函数点的对称性，则另外一个解为x2＝﹣2，故答案为2或﹣2．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，运用正比例函数点的对称性是解题的关键．14．（2分）如图，点O是正五边形ABCDE的中心，连接BD、OD，则∠BDO＝18°．【分析】连接OB，OC，可求出∠BOC和∠COD的度数，则∠BOD的度数可知，因为OB＝OD，进而可求出∠BDO的度数．【解答】解：连接OB，OC，∵点O是正五边形ABCDE的中心，∴∠BOC＝∠COD＝＝72°，∴∠BOD＝2×72°＝144°，∵OB＝OC，∴∠BDO＝∠OBD＝＝18°，故答案为：18．【点评】本题考查了正多边形和圆的位置关系，正确的添加辅助线以及记熟正多边形的有关性质是解题关键．15．（2分）如图，BC是⊙O的切线，D是切点．连接BO并延长，交⊙O于点E、A，过A 作AC⊥BC，垂足为C．若BD＝8，BE＝4，则AC＝9.6．【分析】连接OD、AD、ED，根据切线的性质得到∠ODB＝90°，根据圆周角定理得到∠ADE＝90°，证明△BDE∽△BAD，根据相似三角形的性质求出AE，证明△BDO∽△BCA，求出AC．【解答】解：连接OD、AD、ED，∵BC是⊙O的切线，∴∠ODB＝90°，∴∠ODE+∠BDE＝90°，∵AE为⊙O的直径，∴∠ADE＝90°，∴∠DAE+∠AED＝90°，∵OD＝OE∴∠ODE＝∠OED，∴∠BDE＝∠BAD，∵∠B＝∠B，∴△BDE∽△BAD，∴＝，即＝，解得，AE＝12，∵∠BDO＝∠BCA，∠B＝∠B，∴△BDO∽△BCA，∴＝，即＝，解得，AC＝9.6，故答案为：9.6．【点评】本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．16．（2分）用若干个相同的小正方体搭一个几何体，该几何体的主视图、俯视图如图所示．若小正方体的棱长为1，则搭成的几何体的表面积是28或30．【分析】由俯视图可得第一层正方体的个数，由主视图可得第二层和第三层最少或最多的正方体的个数，相加解答即可．【解答】解：搭这样的几何体最少需要4+1+2＝7个小正方体，最多需要4+2+2＝8个小正方体，所以搭成的几何体的表面积是4×7＝28或4×8﹣2＝30，故答案为：28或30．【点评】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（7分）计算．【分析】根据异分母分式相加减，先通分，再根据同分母分式相加减的法则计算即可．【解答】解：原式＝＝＝＝．【点评】本题主要考查了分式的加减，熟练掌握分式的通分是解答本题的关键．18．（7分）（1）解不等式5x+2≥3（x﹣1），并把它的解集在数轴上表示出来．（2）写出一个实数k，使得不等式x＜k和（1）中的不等式组成的不等式组恰有3个整数解．【分析】（1）先去括号，再移项得到5x﹣3x≥﹣3﹣2，然后合并后系数化为1即可，再用数轴表示解集即可求解．（2）根据题意可得0＜k≤1满足条件，依此写出即可求解．【解答】解：（1）5x+2≥3（x﹣1），去括号得5x+2≥3x﹣3，移项得5x﹣3x≥﹣3﹣2，合并得2x≥﹣5，系数化为1得x≥﹣2.5，用数轴表示为：（2）∵一个实数k，使得不等式x＜k和（1）中的不等式组成的不等式组恰有3个整数解，∴0＜k≤1，∴k＝1满足条件．【点评】本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．也考查了在数轴上表示不等式的解集．19．（7分）如图，已知AB∥CD，直线EF分别交直线AB、CD于点G、H，GI、HI分别平分∠BGH、∠GHD．（1）求证GI⊥HI．（2）请用文字概括（1）所证明的命题：两直线平行，同旁内角的角平分线互相垂直．【分析】利用角平分线、平行线的性质及三角形的内角和定理，先求出∠I的度数，再说明两直线的关系．【解答】证明：（1）∵AB∥CD，∴∠BGH+∠GHD＝180°．∵∠HGI＝HGB，∠GHI＝GHD，∴∠HGI+∠GHI＝∠HGB+GHD＝（∠HGB+∠GHD）＝90°．∵∠HGI+∠KHI+∠I＝180°，∴∠I＝90°．∴GI⊥HI．（2）文字可概况为：两直线平行，同旁内角的角平分线互相垂直．故答案为：两直线平行，同旁内角的角平分线互相垂直．【点评】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、三角形的内角和定理及垂直的定义．利用角平分线、平行线的性质及三角形的内角和定理，说明∠I＝90°是解决本题的关键．20．（8分）如图是某区1500名小学生和初中生的视力情况和他们每节课课间户外活动平均时长的统计图．（1）根据图1，计算该区1500名学生的近视率；（2）根据图2，从两个不同的角度描述该区1500名学生各年级近视率的变化趋势；（3）根据图1、图2、图3，描述该区1500名学生近视率和所在学段（小学、初中）、每节课课间户外活动平均时长的关系．【分析】（1）根据近视率＝计算即可．（2）利用图2中的信息解决问题即可．（3）根据图3解决问题即可．【解答】解：（1）该区1500名学生的近视率＝＝52%．（2）①近视率随年级的增高而增高．②在四到六年级期间，近视率的增长幅度比较大．（3）近视率会随着学段的升高而增加，学段提高后，学生的课简的活动时间普遍减少，近视率也随之上升．【点评】本题考查条形统计图，扇形统计图，样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．（8分）（1）不透明的袋子A中装有红球1个、白球1个，不透明的袋子B中装有红球1个、白球2个，这些球除颜色外无其他差别．分别从两个袋子中随机摸出一个球，求摸出的两个球颜色不同的概率；（2）甲、乙两人解同一道数学题，甲正确的概率为，乙正确的概率为，则甲乙恰有一人正确的概率是．【分析】（1）根据题意画出树状图得出所有等情况数和摸出的两个球颜色不同的情况数，然后根据概率公式即可得出答案；（2）根据题意得到甲正确乙不正确的概率，甲不正确乙正确的概率，两者相加即可得到结论．【解答】解：（1）画树状图如下：共有6种等情况数，其中摸出的两个球颜色不同的有3种，则摸出的两个球颜色不同的概率是＝；（2）甲正确乙不正确的概率为（1﹣）＝，甲不正确乙正确的概率为（1﹣）×＝，∴甲乙恰有一人正确的概率是+＝，故答案为：．【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B 的概率．22．（8分）点E、F分别是菱形ABCD边BC、CD上的点．（1）如图，若CE＝CF，求证AE＝AF；（2）判断命题“若AE＝AF，则CE＝CF”的真假．若真，请证明；若假，请在备用图上画出反例．【分析】（1）连接AC，利用菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；（2）举出反例解答即可．【解答】解：（1）连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ACE＝∠ACF，在△ACE与△ACF中，∴△ACE≌△ACF（SAS），∴AE＝AF，（2）当AE＝AF＝AF'时，CE≠CF'，如备用图，所以命题“若AE＝AF，则CE＝CF”是假命题．【点评】此题考查命题与定理，关键是根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答．23．（8分）某工厂生产A、B、C三种产品，这三种产品的生产数量均为x件．它们的单件成本和固定成本如表：产品单件成本（元/件）固定成本（元）A0.11100B0.8aC b（b＞0）200（注：总成本＝单件成本×生产数量+固定成本）（1）若产品A的总成本为y A，则y A关于x的函数表达式为y＝0.1x+1100．（2）当x＝1000时，产品A、B的总成本相同．①求a；②当x≤2000时，产品C的总成本最低，求b的取值范围．【分析】（1）根据“总成本＝单件成本×生产数量+固定成本”即可得出产品A的总成本为y A，则y A关于x的函数表达式；（2）①根据题意列方程解答即可；②取x＝2000时，即可得出b的取值范围．【解答】解：（1）根据题意得：y＝0.1x+1100；故答案为：y＝0.1x+1100．（2）①由题意得0.8×1000+a＝0.1×1000+1100，解得a＝400；②当x＝2000时，y C≤y A且y C≤y B，即2000b+200≤2000×0.8+400；2000b+200≤2000×0.1+1100，解得：0＜b≤0.55．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．24．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝45°，AD⊥BC，垂足为D，BD＝6，DC＝4．（1）求⊙O的半径；（2）求AD的长．【分析】（1）根据圆周角定理得到∠BOC＝90°，根据等腰直角三角形的性质计算，求出OB；（2）连接OA，过点O作OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，根据垂径定理求出DF，根据等腰直角三角形的性质求出OF，根据勾股定理求出AE，结合图形计算得到答案．【解答】解：（1）如图1，连接OB、OC，∵BD＝6，DC＝4，∴BC＝10，由圆周角定理得，∠BOC＝2∠BAC＝90°，∴OB＝BC＝5；（2）如图2，连接OA，过点O作OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，∴BF＝FC＝5，∴DF＝1，∵∠BOC＝90°，BF＝FC，∴OF＝BC＝5，∵AD⊥BC，OE⊥AD，OF⊥BC，∴四边形OFDE为矩形，∴OE＝DF＝1，DE＝OF＝5，在Rt△AOE中，AE＝＝7，∴AD＝AE+DE＝12．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、垂径定理、等腰直角三角形的性质是解题的关键．25．（8分）如图，用一个平面去截正方体ABCDEFGH，得到了三棱锥S﹣DPQ．若∠SPD ＝45°，∠SQD＝37°，PQ＝1，求SD的长．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75．）【分析】在直角三角形SDP中，根据∠SPD＝45°，得到三角形为等腰直角三角形，即SD＝PD，在Rt三角形SDQ中，利用锐角三角函数定义表示出DQ，在直角三角形PDQ 中，利用勾股定理求出所求即可．【解答】解：在Rt△SPD中，∠SPD＝45°，∴SD＝PD，在Rt△SDQ中，∠SDQ＝37°，∴tan37°＝＝0.75，∴DQ＝SD＝PD，在Rt△PDQ中，PQ＝＝SD＝1，∴SD＝．【点评】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：等腰直角三角形的判定，锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．26．（10分）已知y是x的二次函数，该函数的图象经过点A（0，5）、B（1，2）、C（3，2）．（1）求该二次函数的表达式，画出它的大致图象并标注顶点及其坐标；（2）结合图象，回答下列问题：①当1≤x≤4时，y的取值范围是1≤y≤5；②当m≤x≤m+3时，求y的最大值（用含m的代数式表示）；③是否存在实数m、n（m≠n），使得当m≤x≤n时，m≤y≤n？若存在，请求出m、n；若不存在，请说明理由．【分析】（1）用待定系数法求出解析式，用描点法画出函数图象；（2）①根据函数图象找出横坐标由1到4的点的纵坐标的最大值与最小值，便可写出y 的取值范围；②先求出对称轴x＝﹣，分两种情况：﹣﹣m≥m+3﹣（﹣）或﹣﹣m＜m+3﹣（﹣），根据二次函数的性质求y的最大值便可；③分三种情况：i若n≤2，有：m2﹣4m+5＝n①，n2﹣4n+5＝m②，m＜n③，由此求出m、n的值；ii若m≥2，有：m2﹣4m+5＝m①，n2﹣4n+5＝n②，m＜n③，由此确定m、n的值；iii若m＜2，n＞2，此时y min＝1，得出m＝1，再由y max＝n确定n＞3，且n2﹣4n+5＝n，解得符合条件的n的值，便可得出结果．【解答】解：（1）设二次函数的解析式为：y＝ax2+bx+c（a≠0），则，解得，，∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣4x+5，列表如下：x…01234…y…52125…描点、连线，（2）①由函数图象可知，当1≤x≤4时，1≤y≤5，故答案为：1≤y≤5；②∵二次函数的解析式为：y＝x2﹣4x+5，∴对称轴为x＝2，当2﹣m≤m+3﹣2，即m≥时，则在m≤x≤m+3内，当x＝m+3时，y有最大值为y＝x2﹣4x+5＝（m+3）2﹣4（m+3）+5＝m2﹣+2m+2；当2﹣m＞m+3﹣2，即m＜时，则在m≤x≤m+3内，当x＝m时，y有最大值为y＝x2﹣4x+5＝m2﹣4m+5；③分三种情况：i若n≤2，有：m2﹣4m+5＝n①，n2﹣4n+5＝m②，m＜n③①﹣②得：（n﹣m）（4﹣m﹣n）＝n﹣m，n﹣m＞0，∴m+n＝3，代入①解得：m＝1，n＝2；ii若m≥2，有：m2﹣4m+5＝m①，n2﹣4n+5＝n②，m＜n③，①﹣②得：（n﹣m）（4﹣m﹣n）＝n﹣m，n﹣m＞0，∴m+n＝3，在范围内无解；iii若m＜2，n＞2，∵此时y min＝1，∴必有m＝1，当m＝1时，若x＝1，则y＝y＝x2﹣4x+5＝2，又若x＝3，则y＝x2﹣4x+5＝2，∵n＞2，y max＝n＞2，∴n＞3，且n2﹣4n+5＝n，解得，n ＝，综上所述：m＝1，n＝2或m＝1，n ＝．【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，画二次函数图象，由函数图象解决问题，后两问难度较大，关键是分情况讨论和根据特征点解题．27．（9分）如图，已知矩形纸片ABCD，怎样折叠，能使边AB被三等分？以下是小红的研究过程．思考过程要使边AB被三等分，若从边DC上考虑，就是要折出DM ＝DC，也就是要折出DM ＝AB，当DB、AM相交于F时，即要折出对角线上的DF ＝DB．那么…折叠方法和示意①折出DB；对折纸片，使D、B重合，得到的折痕与DB相交于点E；继续折叠纸片，使D、B与E重合，得到的折痕与DB分别相交于点F、G；②折出AF、CG，分别交边CD、AB于M、Q；③过M折纸片，使D落在MC上，得到折痕MN，则边AB被N、Q三等分．图（1）整理小红的研究过程，说明AN＝NQ＝QB；（2）用一种与小红不同的方法折叠，使边AB被三等分．（需简述折叠方法并画出示意图）【分析】（1）由折叠的性质可得DF＝DB，DM＝AN，通过证明△DFM∽△BAF，可得DM＝AB，可得AN＝AB，同理可求QB＝AB，可得结论；（2）所求图形，如图所示，由折叠的性质可得AF＝BF＝DE＝EC＝CD，AN＝DM＝NQ，通过证明△AGF∽△CGD，可得，由平行线分线段成比例可得AN＝MC ＝DM，即可证AN＝NQ＝QB．【解答】解：（1）由折叠的性质可得，DF＝DB，四边形ADMN是矩形，∴DM＝AN，∵CD∥AB，∴△DFM∽△BAF，∴＝，∴DM＝AB，∴AN＝AB，同理可求QB＝AB，∴AN＝NQ＝QB；（2）如图，①将矩形ABCD对折，使AD与BC重合，折痕为EF；②连接AC，DF，交点为G，③过点G折叠矩形ABCD，使点D落在CE上，对应点为E，使点A落在BF上，对应点为Q，折痕为MN；∴点N，点Q为AB的三等分点．理由如下：由折叠的性质可得：AF＝BF＝DE＝EC＝CD，AN＝DM＝NQ，∵AB∥CD，∴△AGF∽△CGD，∴，∵AB∥CD，∴，∴AN＝MC＝DM，∴AN＝DM＝CD＝AB，∴NQ＝AB，∴AN＝NQ＝QB．【点评】本题是几何变换综合题，考查矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．。

2024年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷(含解析)

2024年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷(含解析)

2024年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.能与−2相加得0的数是( )A. 2B. −2C. 12D. −122.下列正确的是( )A. 4+9=2+3B. 4×9=2×3C. 94=32D. 4.9=0.73.整数372310…0用科学记数法表示为3.7231×1011，则原数中0的个数为( )A. 5B. 6C. 7D. 84.下列图形是三棱柱展开图的( )A. B.C. D.5.若m≠n，则下列化简一定正确的是( )A. m+3n+3=mnB. m−3n−3=mnC. m3n3=mnD. 3m3n=mn6.如图为某射击场35名成员射击成绩的条形统计图(成绩均为整数)，其中部分已破损.若他们射击成绩的中位数是5环，则下列数据中无法确定的是( )A. 3环以下(含3环)的人数B. 4环以下(含4环)的人数C. 5环以下(含5环)的人数D. 6环以下(含6环)的人数二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。

7.若x+2y=5，则3x+6y−1的值是______．8.若分式xx−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．9.计算3+12的结果是______．10.若圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1，则它的侧面积是______．11.若a n+a n⋯+a na个a n=a4(a为大于1的整数)，则n的值是______．12.一组数据x，2，3的平均数是3，这组数据的方差是______．13.如图，四边形ABCD是矩形，根据尺规作图痕迹，计算∠1的大小为______．14.如图，正八边形ABCDEFGH的半径为4，则它的面积是______．15.关于x的方程(x−n)2+2(x−n)+2=m(m>1)的两根之和是______．16.如图，已知点A(1,0)、B(5,0)，点C在y轴上运动.将AC绕A顺时针旋转60°得到AD，则BD的最小值为______．三、解答题：本题共11小题，共88分。

江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷(含解析版答案)

江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷(含解析版答案)

江苏省南京市鼓楼区中考一模试卷数学一、选择题1．4的算术平方根是（）A．±2 B．2 C．﹣2 D．±162．鼓楼区公益项目“在线伴读”平台开通以来，累计为学生在线答疑15000次．用科学记数法表示15000是（）A．0.15×106B．1.5×105C．1.5×104D．15×1053．计算（﹣a）2•（a2）3（）A．a8B．﹣a8C．a7D．﹣a74．若顺次连接四边形ABCD各边中点所得的四边形是菱形，则下列结论中正确的是（）A．AB∥CD B．AB⊥BC C．AC⊥BD D．AC＝BD5．如图是某家庭2018年每月交通费支出的条形统计图，若该家庭2018年月交通费平均支出为a元，则下列结论中正确的是（）A．200≤a≤220 B．220≤a≤240 C．240≤a≤260 D．260≤a≤280 6．A、B两地相距900km，一列快车以200km/h的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路返回A地，一列慢车以75km/h的速度从B地匀速驶往A地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时，两车恰好相距200km的次数是（）A．5 B．4 C．3 D．2二、填空题7．﹣3的绝对值是．8．若式子√x+1在实数范围内有意义，则x的取值范围是．9．计算√27√62的结果是 ．10．方程1x+2=2x的解是 ．11．正五边形每个外角的大小是 度．12．已知关于x 的方程x 2+mx ﹣2＝0有一根是2，则另一根是 ，m ＝ ． 13．如图，AB ∥EG ∥CD ，EF 平分∠BED ，若∠D ＝69°，∠GEF ＝21°，则∠B ＝ °．14．如图，圆锥底面圆心为O ，半径OA ＝1，顶点为P ，将圆锥置于平面上，若保持顶点P 位置不变，将圆锥顺时针滚动三周后点A 恰好回到原处，则圆锥的高OP ＝ ．15．如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，B 是AĈ的中点，过C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ．若∠AEC ＝84°，则∠ADC ＝ °．16．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝4，BC ＝3．若点P 在△ABC 内部（含边界）且满足PC ≤PA ≤PB ，则所有点P 组成的区域的面积为 ．三、解答题17．解不等式组{3x ＞2x −2x −3(x −2)≥4．18．计算a−2a−1÷(a +1−3a−1)19．（1）解方程x 2﹣x ﹣1＝0．（2）在实数范围内分解因式x 2﹣x ﹣1的结果为 ． 20．如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，BC ＝DE ，点E 在BC 上．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）求证：∠EAC＝∠DEB．21．（1）两只不透明的袋子中均有红球、黄球、白球各1个，这些球除颜色外无其他差别．分别从每个袋子中随机摸出一个球，求摸出两个球都是红球的概率．（2）鼓楼区实施全面均衡分班，某校为七年级各班随机分配任课教师．已知该校七年级共有10个班，语文洪老师、数学胡老师都执教该年级，则他俩都任教七（1）班的概率为．22．妈妈准备用5万元投资金融产品，她查询到有A、B两款“利滚利”产品，即上一周产生的收益将计入本金以计算下一周的收益．例如：投资100元，第一周的周收益率为5%，则第一周的收益为100×5%＝5元，第二周投资的本金将变为100+5＝105元．如图是这两款产品过去5周的周收益率公告信息．（第一周：3月1日～3月7日）（1）若妈妈3月1日投资产品B，到第二周结束时会不赚不赔，这种说法对吗？请判断并说明理由．（2）请运用学过的统计知识，为妈妈此次投资金融产品提出建议并简要说明理由．23．已知点A（1，1），B（2，3），C（4，7），请用两种不同的方法判断这三点是否在一条直线上．（写出必要的推理过程）24．已知：如图，在▱ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）已知AB＝5，AD＝8．求四边形GEHF是矩形时BD的长．25．某商品的进价是每件40元，原售价每件60元．进行不同程度的涨价后，统计了商品调价当天的售价和利润情况，以下是部分数据：售价（元/件）60 61 62 63 …利润（元）6000 6090 6160 6210 …（1）当售价为每件60元时，当天售出件；（2）若对该商品原售价每件涨价x元（x为正整数）时当天售出该商品的利润为y元．①用所学过的函数知识直接写出y与x之间满足的函数表达式：．②如何定价才能使当天的销售利润不等于6200元？26．如图①，一座石拱桥坐落在秦淮河上，它的主桥拱为圆弧形．如图②，乔宽AB为8米，̂表示的是主桥拱在水面以上的部分，点P表示主桥拱拱顶．小明乘水面BC宽16米，BC坐游船，沿主桥拱的中轴线向主桥拱行驶．（1）图③是主桥拱在水面以上部分的主视图，请用直尺和圆规作出主桥拱在静水中的倒影．（保留作图痕迹，不写作法）．（2）已知小明眼睛距离水平1.6米，游船的速度为0.2米/秒．某一时刻，小明看拱顶P 的仰角为37°，4秒后，小明看拱顶P的仰角为45°．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）①求桥拱P到水面的距离；②船上的旗杆高1米，某时刻游船背对阳光形式，小明发现旗杆在阳光下的投影所在直线与航线平行且长为2米．请估计此刻桥的正下方被阳光照射到的部分的面积（需画出示意图并标注必要数据）．27．把一个函数图象上每个点的纵坐标变为原来的倒数（原函数图象上纵坐标为0的点除外）、横坐标不变，可以得到另一个函数的图象，我们称这个过程为倒数变换．例如：如图，将y＝x的图象经过倒数变换后可得到y=1x的图象．特别地，因为y＝x图象上纵坐标为0的点是原点，所以该点不作变换，因此y=1x的图象上也没有纵坐标为0的点．（1）请在下面的平面直角坐标系中画出y＝﹣x+1的图象和它经过倒数变换后的图象．（2）观察上述图象，结合学过的关于函数图象与性质的知识，①猜想：倒数变换得到的图象和原函数的图象之间可能有怎样的联系？写出两个即可．②说理：请简要解释你其中一个猜想．（3）请画出函数y=1x2+c（c为常数）的大致图象．江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题1．4的算术平方根是（）A．±2 B．2 C．﹣2 D．±16【解答】解：∵22＝4，∴4的算术平方根是2．故选：B．2．鼓楼区公益项目“在线伴读”平台开通以来，累计为学生在线答疑15000次．用科学记数法表示15000是（）A．0.15×106B．1.5×105C．1.5×104D．15×105【解答】解：用科学记数法表示15000是：1.5×104．故选：C．3．计算（﹣a）2•（a2）3（）A．a8B．﹣a8C．a7D．﹣a7【解答】解：（﹣a）2•（a2）3＝a2•a6＝a8，故选：A．4．若顺次连接四边形ABCD各边中点所得的四边形是菱形，则下列结论中正确的是（）A．AB∥CD B．AB⊥BC C．AC⊥BD D．AC＝BD【解答】解：如图，连接AC，BD，点E、F、G、H分别为四边形ABCD各边中点，∴EH=12AC，EH∥AC，FG=12AC，FG∥AC，∴四边形EFGH为平行四边形，当EH＝EF时，四边形EFGH为菱形，又∵EF=12BD，若EH＝EF，则AC＝BD．故选：D．5．如图是某家庭2018年每月交通费支出的条形统计图，若该家庭2018年月交通费平均支出为a 元，则下列结论中正确的是（ ）A ．200≤a ≤220B ．220≤a ≤240C ．240≤a ≤260D ．260≤a ≤280【解答】解：设i 月份的交通费为x i （1≤i ≤12，且i 为整数）．由图可知，240＜x 1≤250，260＜x 2＜270，280＜x 3＜300，280＜x 4＜290，260＜x 5＜280，240＜x 6＜250，240＜x 7＜260，230＜x 8＜240，180＜x 9＜190，200＜x 10＜210，240＜x 11＜250，270＜x 12＜280， 则112（240+260+280+280+260+240+240+230+180+200+240+270）＜a ＜112（250+270+300+290+280+250+260+240+190+210+250+280）， 解得24313＜a ＜25556，综观各选项，只有C 符合． 故选：C ．6．A 、B 两地相距900km ，一列快车以200km /h 的速度从A 地匀速驶往B 地，到达B 地后立刻原路返回A 地，一列慢车以75km /h 的速度从B 地匀速驶往A 地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时，两车恰好相距200km 的次数是（ ） A ．5B ．4C ．3D ．2【解答】解：设两车相距200km时，行驶的时间为t小时，依题意得：①当快车从A地开往B地，慢车从B地开往A地，相距200km时，则有：200t+75t+200＝900，解得：t=28 11；②当快车继续开往B地，慢车继续开往A地，相遇后背离而行，相距200km时，200t+75t﹣200＝900，解得：t＝4；③快车从A地到B地全程需要4.5小时，此时慢车从B地到A地行驶4.5×75＝337.5km，∵337.5＞200∴快车又从B地返回A地是追慢车，追上前相距200km，则有：75t＝200+200（t﹣4.5），解得：t=28 5；④快车追上慢车后并超过慢车相距200km，则有：200（t﹣4.5）﹣75t＝200解得：t＝8.8⑤快车返回A地终点所需时间是9小时，此刻慢车行驶了9×75＝675km，距终点还需行驶25km，则有：75t＝900﹣200解得：t=28 3．综合所述两车恰好相距200km的次数为5次．故选：A．二、填空题7．﹣3的绝对值是 3 ．【解答】解：﹣3的绝对值是3．8．若式子√x+1在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥﹣1 ．【解答】解：根据题意得：x+1≥0，解得x≥﹣1，故答案为：x≥﹣1．9．计算√27√62的结果是2√3．【解答】解：原式＝3√3−√6 2＝3√3−√3＝2√3．故答案为2√3．10．方程1x+2=2x的解是x＝﹣4 ．【解答】解：去分母得：x＝2x+4，解得：x＝﹣4，经检验x＝﹣4是分式方程的解，故答案为：x＝﹣411．正五边形每个外角的大小是72 度．【解答】解：∵360÷5＝72（度），∴正五边形每个外角的大小是72度．故答案为：72．12．已知关于x的方程x2+mx﹣2＝0有一根是2，则另一根是x＝﹣1 ，m＝﹣1 ．【解答】解：把x＝2代入，得22+2m﹣2＝0．解得m＝﹣1．设方程的另一根为x，则2x＝﹣2．所以x＝﹣1．故答案是：x＝﹣1；﹣1．13．如图，AB∥EG∥CD，EF平分∠BED，若∠D＝69°，∠GEF＝21°，则∠B＝27 °．【解答】解：∵AB∥EG∥CD，∠D＝69°，∴∠GED＝∠D＝69°，∵∠GEF＝21°，∴∠DEF＝∠GED﹣∠GEF＝48°，∵EF平分∠BED，∴∠BEF＝∠DEF＝48°，∴∠BEG＝∠BEF﹣∠GEF＝48°﹣21°＝27°，∵ABB∥EG，∴∠B＝∠BEG＝27°，故答案为：27．14．如图，圆锥底面圆心为O，半径OA＝1，顶点为P，将圆锥置于平面上，若保持顶点P 位置不变，将圆锥顺时针滚动三周后点A恰好回到原处，则圆锥的高OP＝2√2．【解答】解：根据题意得2π×PA＝3×2π×1，所以PA＝3，所以圆锥的高OP=√PA2−OA2=√32−12=2√2．故答案为2√2．15．如图，点A、B、C、D在⊙O上，B是AĈ的中点，过C作⊙O的切线交AB的延长线于点E．若∠AEC＝84°，则∠ADC＝64 °．【解答】解：连接BD、BC，∵B是AĈ的中点，∴AB̂=BĈ，∴∠BDC=∠ADB=12∠ADC，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠EBC＝∠ADC，∵EC是⊙O的切线，切点为C，∴∠BCE＝∠BDC=12∠ADC，∵∠AEC ＝84°，∠AEC +∠BCE +∠EBC ＝180°， ∴84°+12∠ADC +∠ADC ＝180°， ∴∠ADC ＝64°． 故答案为64．16．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝4，BC ＝3．若点P 在△ABC 内部（含边界）且满足PC ≤PA ≤PB ，则所有点P 组成的区域的面积为2732．【解答】解：分别作AB ，AC 的垂直平分线，交AB 于点E ，交AC 于点F ，交AC 于点D ， ∵若点P 在△ABC 内部（含边界）且满足PC ≤PA ≤PB ， ∴点P 在△DEF 内部（含边界）， ∵DE ⊥AC ，EF ⊥AB ，∴△DEF 是直角三角形，△AEF 是直角三角形， ∵AB ＝5，AC ＝4，BC ＝3， ∴AD ＝2，AE ＝2.5，DE ＝1.5， ∵AE 2＝AD •AF ， ∴AF =258， ∴DF =98，∴△DEF 的面积为12×32×98=2732；三、解答题17．解不等式组{3x ＞2x −2x −3(x −2)≥4．【解答】解：{3x ＞2x −2①x −3(x −2)≥4②，由①得，x ＞﹣2， 由②得，x ≤1，所以不等式组的解集为﹣2＜x ≤1． 18．计算a−2a−1÷(a +1−3a−1)【解答】解：原式=a−2a−1÷(a+1)(a−1)−3a−1=a−2a−1•a−1(a+2)(a−2)=1a+2． 19．（1）解方程x 2﹣x ﹣1＝0．（2）在实数范围内分解因式x 2﹣x ﹣1的结果为 ＝（x −1+√52）（x −1−√52） ． 【解答】解：（1）x 2﹣x ﹣1＝0，b 2﹣4ac ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5， x =1±√52， x 1=1+√52，x 2=1−√52；（2）∵方程x 2﹣x ﹣1＝0的解x 1=1+√52，x 2=1−√52； ∴x 2﹣x ﹣1＝（x −1+√52）（x −1−√52）， 故答案为：（x −1+√52）（x −1−√52）． 20．如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，BC ＝DE ，点E 在BC 上． （1）求证：△ABC ≌△ADE ； （2）求证：∠EAC ＝∠DEB ．【解答】解：（1）∵AB ＝AD ，AC ＝AE ，BC ＝DE ，∴△ABC ≌△ADE （SSS ）； （2）由△ABC ≌△ADE ， 则∠D ＝∠B ，∠DAE ＝∠BAC ．∴∠DAE ﹣∠ABE ＝∠BAC ﹣∠BAE ，即∠DAB ＝∠EAC ． 设AB 和DE 交于点O ，∵∠DOA ＝BOE ，∠D ＝∠B ， ∴∠DEB ＝∠DAB ． ∴∠EAC ＝∠DEB ．21．（1）两只不透明的袋子中均有红球、黄球、白球各1个，这些球除颜色外无其他差别．分别从每个袋子中随机摸出一个球，求摸出两个球都是红球的概率．（2）鼓楼区实施全面均衡分班，某校为七年级各班随机分配任课教师．已知该校七年级共有10个班，语文洪老师、数学胡老师都执教该年级，则他俩都任教七（1）班的概率为1100．【解答】解：（1）摸出两个球都是红球的概率=13×13=19； 答：摸出两个球都是红球的概率为19；（2）他俩都任教七（1）班的概率=110×110=1100， 答：他俩都任教七（1）班的概率为1100．故答案为：1100．22．妈妈准备用5万元投资金融产品，她查询到有A 、B 两款“利滚利”产品，即上一周产生的收益将计入本金以计算下一周的收益．例如：投资100元，第一周的周收益率为5%，则第一周的收益为100×5%＝5元，第二周投资的本金将变为100+5＝105元．如图是这两款产品过去5周的周收益率公告信息．（第一周：3月1日～3月7日）（1）若妈妈3月1日投资产品B ，到第二周结束时会不赚不赔，这种说法对吗？请判断并说明理由．（2）请运用学过的统计知识，为妈妈此次投资金融产品提出建议并简要说明理由． 【解答】解：（1）这种说法不对， 理由：设开始投资x 元，则两周结束时的总资产为：x （1+2%）（1﹣2%）＝0.9996x ≠x ， 故到第二周结束时会不赚不赔，这种说法不对；（2）选择A 产品，理由：由图可以看出两个产品平均收益率相近，但A 产品波动较小，方差较小，且一直是正收益，说明收益比较稳定，故选择A 产品．23．已知点A （1，1），B （2，3），C （4，7），请用两种不同的方法判断这三点是否在一条直线上．（写出必要的推理过程）【解答】解：A 、B 、C 三点在一条直线上． 方法一：设AB 两点所在直线的解析式为y ＝kx +b ， 将A （1，1），B （2，3）代入可得， {1=k +b 3=2k +b ，解得{k =2b =−1， ∴y ＝2x ﹣1， 当x ＝4时，y ＝7，∴点C 也在直线AB 上，即A 、B 、C 三点在一条直线上． 方法二：∵A （1，1），B （2，3），C （4，7），∴AB =√(2−1)2+(3−1)2=√5，AC =√(4−1)2+(7−1)2=3√5，BC =√(4−2)2+(7−3)2=2√5， ∴AB +BC ＝AC ，∴A 、B 、C 三点在一条直线上．24．已知：如图，在▱ABCD 中，G 、H 分别是AD 、BC 的中点，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为E 、F ．（1）求证：四边形GEHF 是平行四边形；（2）已知AB ＝5，AD ＝8．求四边形GEHF 是矩形时BD 的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∴∠GDE ＝∠FBH ，∵G 、H 分别是AD 、BC 的中点，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，∴在Rt △AED 和Rt △CFB 中，EG =12AD ＝GD ，FH =12BC ＝HB ， ∴EG ＝FH ，∠GED ＝∠GDE ，∠FBH ＝∠BFH ， ∴∠GED ＝∠BFH ， ∴EG ∥FH ，∴四边形GEHF 是平行四边形；（2）解：连接GH ，当四边形GEHF 是矩形时，∠EHF ＝∠BFC ＝90°， ∵∠FBH ＝∠BFH ， ∴△EFH ∽△CBF ， ∴EF CB=FH BF，由（1）可得：GA ∥HB ，GA ＝HB ， ∴四边形GABH 是平行四边形， ∴GH ＝AB ＝5，∵在矩形GEHF 中，EF ＝GH ，且AB ＝5，AD ＝8，∴58=4BF，解得：BF =325， ∴BE ＝BF ﹣EF =325−5=75， 在△ABE 和△CDF 中 {∠AEB =∠CFD∠ABE =∠CDF AB =CD∴△ABE ≌△CDF （AAS ）， ∴BE ＝DF =75，∴BD ＝BF +DF =325+75=395．25．某商品的进价是每件40元，原售价每件60元．进行不同程度的涨价后，统计了商品调价当天的售价和利润情况，以下是部分数据： 售价（元/件） 60 61 62 63 … 利润（元）6000609061606210…（1）当售价为每件60元时，当天售出 300 件；（2）若对该商品原售价每件涨价x 元（x 为正整数）时当天售出该商品的利润为y 元． ①用所学过的函数知识直接写出y 与x 之间满足的函数表达式： y ＝10x 2﹣500x +6000 ． ②如何定价才能使当天的销售利润不等于6200元？ 【解答】解：（1）6000÷（60﹣40）＝300件； 故答案为：300（2）①当每件收件61元，销售件数：6090÷（61﹣40）＝290件；当每件收件62元，销售件数：6160÷（62﹣40）＝280件；当每件收件63元，销售件数：62100÷（63﹣40）＝270件； 可以看出，售价每增加1元，销售减少10件，y ＝（60+x ﹣40）（300﹣10x ）＝10x 2+100x +6000．故答案为：y ＝10x 2+100x +6000．②10x 2+100x +6000≠6200，x 无整数解，故无论如何定价，都能使天的销售利润不等于6200元26．如图①，一座石拱桥坐落在秦淮河上，它的主桥拱为圆弧形．如图②，乔宽AB 为8米，̂表示的是主桥拱在水面以上的部分，点P表示主桥拱拱顶．小明乘水面BC宽16米，BC坐游船，沿主桥拱的中轴线向主桥拱行驶．（1）图③是主桥拱在水面以上部分的主视图，请用直尺和圆规作出主桥拱在静水中的倒影．（保留作图痕迹，不写作法）．（2）已知小明眼睛距离水平1.6米，游船的速度为0.2米/秒．某一时刻，小明看拱顶P的仰角为37°，4秒后，小明看拱顶P的仰角为45°．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）①求桥拱P到水面的距离；②船上的旗杆高1米，某时刻游船背对阳光形式，小明发现旗杆在阳光下的投影所在直线与航线平行且长为2米．请估计此刻桥的正下方被阳光照射到的部分的面积（需画出示意图并标注必要数据）．【解答】解：（1）如图所示：（2）①如图2中，当小明刚到拱顶正下方时，设拱顶P到小明的眼睛距离即PC为x米．∵tan37°=PCAC=34，∴AC=43x，∵tan45°=PCBC=1，∴BC＝PC＝x，∴AB＝AC﹣BC=43x﹣x＝0.2×4，解得x＝2.4，∴PE＝2.4+1.6＝4（米）．②如图红色曲线与BC构成的图形即可所求的区域（面积为S），与阴影部分弓形相比，水平长度相同，竖着高度变为其两倍，所以可以认为S为弓形面积的两倍．由①可知：OB＝10，∠BOC＝106°，∴S弓形=106⋅π⋅102360−12×16×=265π9−48，∴S＝2S弓形=530π9−96．27．把一个函数图象上每个点的纵坐标变为原来的倒数（原函数图象上纵坐标为0的点除外）、横坐标不变，可以得到另一个函数的图象，我们称这个过程为倒数变换．例如：如图，将y＝x的图象经过倒数变换后可得到y=1x的图象．特别地，因为y＝x图象上纵坐标为0的点是原点，所以该点不作变换，因此y=1x的图象上也没有纵坐标为0的点．（1）请在下面的平面直角坐标系中画出y＝﹣x+1的图象和它经过倒数变换后的图象．（2）观察上述图象，结合学过的关于函数图象与性质的知识，①猜想：倒数变换得到的图象和原函数的图象之间可能有怎样的联系？写出两个即可．②说理：请简要解释你其中一个猜想．（3）请画出函数y=1x2+c（c为常数）的大致图象．【解答】解：（1）在平面直角坐标系中画出y＝﹣x+1的图象和它经过倒数变换后的图象如图：图中去掉（1，0）的点（2）①猜想一：倒数变换得到的图象和原函数的图象之间如果存在交点，则其纵坐标为1或﹣1；猜想二：倒数变换得到的图象和原函数的图象的对称性相同，比如原函数是轴对称图形，则倒数变换的图象也是轴对称图象；②猜想一：因为只有1和﹣1的倒数是其本身，所以如果原函数存在一个点的纵坐标为1或﹣1，那么倒数变换得到的图象上必然也存在这样对应的纵坐标为1或﹣1，即两个函数图象的交点．（3）当c＝0时，当c＞0时，当c＜0时，21。

南京市鼓楼区中考一模数学试卷及答案

南京市鼓楼区中考一模数学试卷及答案

南京市鼓楼区2014年中考一模数学试卷注意事项:1 •本试卷共8页•全卷满分120分•考试时间为120分钟•考生答题全部答在答题卡上，答 在本试卷上无效.2 •请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合， 再将自己的姓名、准考证号用 0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上. 3•答选择题必须用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑. 如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案•答非选择题必须用 0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效.4•作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚.一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分•在每小题所给出的四个选项中，恰有 一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填在答题 卡相应位置 上） x= - 5 1 .下列方程组中，解是—，的是y-ix+y=6,x+y=6,c x+y=-4,x+y=-4AB . -C • cD .x-y=4. x- y=- 6.x- y=- 6. x- y=-4.2 •计算2X (— 9) —18X1 1（6 —刁的结果是A . —24B . — 12C . — 9D . 64.把边长相等的正五边形 ABGHI 和正六边形 ABCDEF 的 AB 边重合，按照如图的方式叠合在一起，连接EB ,交HI 于点K ,则/ BKI 的大小为A 90 °B . 84 C72 °D .88k5.反比例函数y = -和正比例函数y = mx 的部分图象如图所示.X 由此可以得到方程k = mx 的实数根为x A . x = 1B . x = 2C . X 1= 1 , x 2=— 1D . X 1= 1, X 2=— 23 •利用表格中的数据，可求出 的近似值是（结果保留整数.3.24 + (4.123)2— 190)•a a 2£17 289 4.123 13.038 18324 4.243 13.416 19361 4.359 13.784（第 4题）6•如图，QQ 软件里的“礼盒”图标是一个表面印有黑色实线，顶端有图示箭头的正方体. 下列图形中，是该几何体的表面展开图的是（第 6 题）10小题，每小题2分，共20分•不需写出解答过程，请把答案直接 填写在答题卡相应位置上）10. （2 X 103）. （3 X 10- 3）= ______ ▲ ______ •（结果用科学计数法表示）11. 已知O O i , O O 2没有公共点.若O O i 的半径为4,两圆圆心距为 5,则O 02的半径可以是_________ .（写出一个符合条件的值即可）12. 如图，在梯形 ABCD 中，AB // CD ，/ B = 90。

初中数学江苏省南京市鼓楼区中考模拟数学一模考试卷考试卷及答案

初中数学江苏省南京市鼓楼区中考模拟数学一模考试卷考试卷及答案

xx学校xx学年xx学期xx试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题评卷人得分（每空xx 分，共xx分）试题1:反比例函数y＝ (k为常数,k≠0)的图象是双曲线.当k＞0时，双曲线两个分支分别在一、三象限,在每一个象限内,y随x的增大而减小（简称增减性）；反比例函数的图象关于原点对称（简称对称性）．这些我们熟悉的性质，可以通过说理得到吗？【尝试说理】我们首先对反比例函数y＝（k＞0）的增减性来进行说理．如图，当x＞0时．在函数图象上任意取两点A、B，设A(x1，)，B(x2，)，且0＜x1＜ x2．下面只需要比较和的大小．—＝．∵0＜x1＜ x2，∴x1－x2＜0，x1 x2＞0，且 k＞0．∴＜0．即．这说明：x1＜ x2时，．也就是：自变量值增大了，对应的函数值反而变小了．即：当x＞0时，y随x的增大而减小．同理，当x＜0时，y随x的增大而减小．（1）试说明：反比例函数y＝（k＞0）的图象关于原点对称．【运用推广】（2）分别写出二次函数y＝ax2(a＞0，a为常数)的对称性和增减性，并进行说理．对称性：；增减性：．说理：（3）对于二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0，a，b，c为常数)，请你从增减性的角度，简要解释为何当x＝—时函数取得最小值．试题2:问题提出平面内不在同一条直线上的三点确定一个圆．那么平面内的四点(任意三点均不在同一直线上），能否在同一个圆呢？初步思考设不在同一条直线上的三点A、B、C确定的圆为⊙O．⑴当C、D在线段AB的同侧时，如图①，若点D在⊙O上，此时有∠ACB＝∠ADB，理由是；如图②，若点D在⊙O内，此时有∠ACB∠ADB；如图③，若点D在⊙O外，此时有∠ACB∠ADB．（填“＝”、“＞”或“＜”）；由上面的探究，请直接写出A、B、C、D四点在同一个圆上的条件：．类比学习（2）仿照上面的探究思路，请探究：当C、D在线段AB的异侧时的情形．此时有，此时有，此时有．由上面的探究，请用文字语言直接写出A、B、C、D四点在同一个圆上的条件：．拓展延伸（3）如何过圆上一点，仅用没有刻度的直尺，作出已知直径的垂线？已知：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上．求作：CN⊥AB．作法：①连接CA，CB；②在上任取异于B、C的一点D，连接DA，DB；③DA与CB相交于E点，延长AC、BD，交于F点；④连接F、E并延长，交直径AB于M；⑤连接D、M并延长，交⊙O于N．连接CN．则CN⊥AB．请按上述作法在图④中作图，并说明CN⊥AB的理由．（提示：可以利用（2）中的结论）试题3:25．如图,在□ABCD中,过A、B、D三点的⊙O交BC于点E,连接DE,∠CDE＝∠DAE．（1）判断四边形ABED的形状，并说明理由；（2）判断直线DC与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）若AB＝3，AE＝6，求CE的长．试题4:2014年2月，纯电动出租车在南京正式上路运行，下表是普通燃油出租车和纯电动出租车的运价．车型起步公里数起步价格超出起步公里数后的单价普通燃油型 3 9元＋2元（燃油附加费）2.4元/公里纯电动型 2.5 9元 2.9元/公里设乘客打车的路程为x公里,乘坐普通燃油出租车及纯电动出租车所需费用分别为y1、y2元．（1）直接写出y1、y2关于x的函数关系式，并注明对应的x的取值范围；（2）在如下的同一个平面直角坐标系中，画出y1、y2关于x的函数图象；（3）结合图象，求出当乘客打车的路程在什么范围内时，乘坐纯电动出租车更合算．试题5:23．如图，把长为40cm，宽为30cm的长方形硬纸板，剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉的部分），将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为x cm．（纸板的厚度忽略不计）（1）长方体盒子的长、宽、高分别为（单位：cm）；（2）若折成的一个长方体盒子的表面积为950cm2，求此时长方体盒子的体积．试题6:（1）如图①，若BC＝6，AC＝4，∠C ＝60°，求△ABC的面积S△ABC ；（2）如图②，若BC＝a，AC＝b，∠C＝α，求△ABC的面积S△ABC ；（3）如图③，四边形ABCD，若AC＝m，BD＝n，对角线AC、BD交于O点，它们所成的锐角为β．求四边形ABCD的面积S四边形ABCD ．试题7:21．为了解南京市2012年市城镇非私营单位员工每月的收入状况，统计局对市城镇非私营单位随机抽取了1000人进行抽样调查．整理样本数据，得到下列图表：市城镇非私营单位1000人月收入频数分布表月工资x （元）频数（人）x<20006020 00≤x< 40 00 61 040 00≤x< 60 00 18 06000≤x<800050x ≥80 00 10 0合计10 00（1）如果1000人全部在金融行业抽取，这样的抽样是否合理？请说明理由；（2）根据这样的调查结果，绘制条形统计图；（3）2012年南京市城镇非私营单位月平均工资为5034元，请你结合上述统计的数据，谈一谈用平均数反映月收入情况是否合理？试题8:甲、乙、丙三位歌手进入“我是歌手”的冠、亚、季军的决赛，他们通过抽签来决定演唱顺序．（1）求甲第一位出场的概率；（2）求甲比乙先出场的概率．试题9:已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F在对角线BD 上，且BF＝DE．（1）求证：四边形AECF是菱形．（2）若AB＝2，BF＝1，求四边形AECF的面积．试题10:解不等式组并写出不等式组的整数解．试题11:计算：试题12:将一张长方形纸片按照图示的方式进行折叠：①翻折纸片，使A与DC边的中点M重合，折痕为EF；②翻折纸片，使C落在ME上，点C的对应点为H，折痕为MG；③翻折纸片，使B落在ME上，点B的对应点恰与H重合，折痕为GE．根据上述过程，长方形纸片的长宽之比＝．试题13:如图，⊙O的半径是5，△ABC是⊙O的内接三角形，过圆心O分别作AB、BC、AC的垂线，垂足为E、F、G，连接EF．若OG＝2，则EF为．试题14:某科研机构对我区400户有两个孩子的家庭进行了调查，得到了表格中的数据，其中(男，女)代表第一个孩子是男孩，第二个孩子是女孩，其余类推．由数据，请估计我区两个孩子家庭中男孩与女孩的人数比为：．类别数量（户）(男，男)101 (男，女)99 (女，男)116 (女，女)84 合计400 试题15:如图，在□ABCD中，∠A ＝70°，将□ABCD绕顶点B顺时针旋转到□A1BC1D1，当C1D1首次经过顶点C时，旋转角∠ABA1＝°．试题16:如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，连接AC，∠DAC＝∠BAC．若BC＝4cm，AD＝5cm，则梯形ABCD的周长为 cm．试题17:已知⊙O1，⊙O2没有公共点．若⊙O1的半径为4，两圆圆心距为5，则⊙O2的半径可以是．（写出一个符合条件的值即可）试题18:(2×103)2×(3×10－3) ＝．（结果用科学计数法表示）试题19:使有意义的x的取值范围是．试题20:＝．试题21:－3的绝对值等于．试题22:如图， QQ软件里的“礼盒”图标是一个表面印有黑色实线，顶端有图示箭头的正方体．下列图形中，是该几何体的表面展开图的是A．B．C．D．试题23:反比例函数y＝和正比例函数y＝mx的部分图象如图所示．由此可以得到方程＝mx的实数根为A．x＝1 B．x＝2C．x1＝1，x2＝－1 D．x1＝1，x2＝－2试题24:把边长相等的正五边形ABGHI和正六边形ABCDEF的AB边重合，按照如图的方式叠合在一起，连接EB，交HI于点K，则∠BKI的大小为A．90°B．84°C．72°D．88°试题25:利用表格中的数据，可求出＋(4.123)2－的近似值是(结果保留整数)．A．3 B．4C．5 D．6a a217 289 4.123 13.03818 324 4.243 13.41619 361 4.359 13.784试题26:计算2×(－9)－18×(－)的结果是A．－24 B．－12 C．－9 D．6试题27:下列方程组中，解是的是试题1答案:（1）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上任取一点P(m，n)，于是：mn＝k．那么点P关于原点的对称点为P1(－m，－n)．而(－m)(－n)＝mn＝k，这说明点P1也必在这个反比例函数y＝的图象上．所以反比例函数y＝（k＞0）的图象关于原点对称．（2）对称性：二次函数y＝ax2 (a＞0，a为常数)的图象关于y轴成轴对称．增减性：当x＞0时，y随x增大而增大；当x＜0时，y随x增大而减小．理由如下：①在二次函数y＝ax2 (a＞0，a为常数) 的图象上任取一点Q(m，n)，于是n＝am2．那么点Q关于y轴的对称点Q1(－m，n)．而n＝a(－m)2，即n＝am2．这说明点Q1也必在在二次函数y＝ax2 (a＞0，a为常数) 的图象上．∴二次函数y＝ax2 (a＞0，a为常数)的图象关于y轴成轴对称，②在二次函数y＝ax2 (a＞0,a为常数)的图象上任取两点A、B,设A(m，am2),B(n，an2) ，且0＜m＜n．则an2－am2＝a(n＋m)(n－m)∵n＞m＞0，∴n＋m＞0，n－m＞0；∵a＞0，∴an2－am2＝a(n＋m)(n－m)＞0．即an2＞am2．而当m＜n＜0时，n＋m＜0，n－m＞0；∵a＞0，∴an2－am2＝a(n＋m)(n－m)＜0．即an2＜am2．这说明，当x＞0时，y随x增大而增大；当x＜0时，y随x增大而减小．（3）二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0，a，b，c为常数) 的图象可以由y＝ax2的图象通过平移得到，关于直线x＝—对称，当x＝—时，y＝．由（2），当x≥—时，y随x增大而增大；也就是说，只要自变量x≥—，其对应的函数值y≥；而当x≤—时，y随x增大而减小，也就是说，只要自变量x≤—，其对应的函数值y≥．综上，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0，a，b，c为常数)，当x＝—时取得最小值．试题2答案:（1）同弧所对的圆周角相等．∠ACB＜∠ADB，∠ACB＞∠ADB．答案不惟一，如：∠ACB＝∠ADB．················· 4分（2）如图：此时∠ACB＋∠ADB＝180°, 此时∠ACB＋∠ADB＞180°, 此时∠ACB＋∠ADB＜180若四点组成的四边形对角互补，则这四点在同一个圆上．（3）作图正确．∵AB是⊙O的直径，C、D在⊙O上，∴∠ACB＝90°，∠ADB＝90°．∴点E是△ABF三条高的交点．∴FM⊥AB．∴∠EMB＝90°．∠EMB＋∠EDB＝180°，∴点E，M，B，D在同一个圆上．∴∠EMD＝∠DBE．又∵点N，C，B，D在⊙O上，∴∠DBE＝∠CND，∠EMD＝∠CND．∴FM∥CN．∴∠CPB＝∠EMB＝90°．∴CN⊥AB．（注：其他正确的说理方法参照给分．）试题3答案:（1）四边形ABED是等腰梯形．理由如下：在□ABCD中，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB．∴，DE＝AB．∵AB∥CD，∴AB与DE不平行．∴四边形ABDE是等腰梯形．（2）直线DC与⊙O相切．如图，作直径DF，连接AF．于是，∠EAF＝∠EDF．∵∠DAE＝∠CDE，∴∠EAF＋∠DAE＝∠EDF＋∠CDE，即∠DAF＝∠CDF．∵DF是⊙O的直径，点A在⊙O上，∴∠DAF＝90°，∴∠CDF＝90°．∴OD⊥CD．直线DC经过⊙O半径OD外端D，且与半径垂直，直线DC与⊙O相切．（3）由（1），∠EDA＝∠DAB．在□ABCD中，∠DAB＝∠DCB，∴∠EDA＝∠DCB．又∵∠DAE＝∠CDE，∴△ADE∽△DCE．∴＝，∵AB＝3，由（1）得，AB＝DE＝DC＝3．即＝．解得，CE＝．试题4答案:（1）（2）画图正确．3）由2.4x＋3.8＝2.9x＋1.75，解得，x＝4.1．∴结合图象可知，当乘客打车的路程不超过4.1公里时，乘坐纯电动出租车合算．试题5答案:解：（1）30－2x、20－x 、x； (3)分（2）根据图示，可得2(x2＋20x)＝30×40－950解得x1＝5，x2＝－25（不合题意，舍去）长方体盒子的体积V＝(30－2×5)×5×(20－5)＝20×5×15＝1500（cm3）．答：此时长方体盒子的体积为1500 cm3．············ 8分试题6答案:（1）如图①，过点A作AH⊥BC，垂足为H．在Rt△AHC中，＝sin60°，∴AH＝AC·sin60°＝4×＝2．∴S△ABC＝×BC×AH＝×6×2＝6．…………………………………………3分（2）如图②，过点A作AH⊥BC，垂足为H．在Rt△AHC中，＝sinα，∴AH＝AC·sinα＝b sinα．∴S△ABC＝×BC×AH＝ab sinα．……………………………………………………5分（3）如图③，分别过点A，C作AH⊥BD，CG⊥BD，垂足为H，G．在Rt△AHO与Rt△CGO中，AH＝OA sinβ，CG＝OC sinβ；于是，S△ABD＝×BD×AH＝n×OA sinβ；S△BCD＝×BD×CG＝n×OC sinβ；∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝n×OA sinβ＋n×OC sinβ＝n×(OA＋OC)sinβ＝mn sin β．……………………………………………………………………8分试题7答案:解：（1）不合理．因为如果1000人全部在金融行业抽取，那么全市城镇非私营单位员工被抽到的机会不相等，样本不具有代表性和广泛性． (2)分（2）······························ 6分（3）本题答案不惟一，下列解法供参考．用平均数反映月收入情况不合理.由数据可以看出1000名被调查者中有670人的月收入不超过4000元，月收入的平均数受高收入者和低收入者收入变化的影响较大，月收入的中位数几乎不受高低两端收入变化的影响，因此，用月收入的中位数反映月收入水平更合理．················ 8分（注：对于（1）（3）两问，学生回答只要合理，应酌情给分．）试题8答案:解：所有可能出现的结果如下：第一位出场第二位出场第三位出场结果甲乙丙（甲，乙，丙）甲丙乙（甲，丙，乙）乙甲丙（乙，甲，丙）乙丙甲（乙，丙，甲）丙甲乙（丙，甲，乙）丙乙甲（丙，乙，甲）·································· 5分以上共有6种等可能的结果．其中甲第一位出场的结果有2种,甲比乙先出场的结果有3种．所以P（甲第一位出场）＝＝．·················· 7分P（甲比乙先出场）＝＝．·················· 8分（注：用树状图列举所有结果参照以上相应步骤给分．）试题9答案:（1）连接AC，AC交BD于点O．在正方形ABCD中，OB＝OD，OA＝OC，AC⊥BD．∵BF＝DE，∴OB－BF＝OD－DE，即OF＝OE．∴四边形AECF是平行四边形．又∵AC⊥EF，∴□AECF是菱形．（2）∵AB＝2，∴AC＝BD＝＝2．∴OA＝OB＝＝．∵BF＝1，∴OF＝OB－BF＝－1．∴S四边形AECF＝AC·EF＝×2×2(－1)＝4－2．试题10答案:解：解不等式①，得x＞；解不等式②，得x≤6．所以原不等式组的解集为＜x≤6．它的整数解为5，6．试题11答案:解：原式＝试题12答案:试题13答案:试题14答案:417︰383试题15答案:40试题16答案:22试题17答案:答案不唯一,如0.5（满足0＜r＜1或r＞9即可）试题18答案:1.2×104试题19答案:x≠－2试题20答案:5试题21答案:3试题22答案:A试题23答案:C试题24答案: B试题25答案: C试题26答案: B试题27答案: A。

南京市鼓楼区2020年中考数学一模试题有答案精析

南京市鼓楼区2020年中考数学一模试题有答案精析

江苏省南京市鼓楼区2020年中考数学一模试卷（解析版）一、选择题（本大题共6小题，每小题2分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填在答题卡相应位置上）1．比﹣1大的无理数是（）A．3.14 B． C． D．2．一组数据4，5，3，4，4的中位数、众数和方差分别是（）A．3，4，0.4 B．4，0.4，4 C．4，4，0.4 D．4，3，0.43．计算x2•x3÷x的结果是（）A．x4B．x5C．x6D．x74．如图，菱形ABCD中，AB=5，BD=6，则菱形的高为（）A． B． C．12 D．245．用一张半径为20的扇形纸片制成一个圆锥（接缝忽略不计），如果圆锥底面的半径为10，那么扇形的圆心角为（）A．60°B．90°C．135°D．180°6．等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，BC=8，⊙O过点B，C，点O在△ABC的外部，且OA=1，则⊙O的半径为（）A．4 B．5 C． D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．16的平方根是，9的立方根是．8．2020年3月，鼓楼区的二手房均价约为25000元/平方米，若以均价购买一套100平方米的二手房，该套房屋的总价用科学记数法表示为元．9．因式分解：3a3﹣12a=．10．为了估计鱼塘青鱼的数量（鱼塘只有青鱼），将200条鲤鱼放进鱼塘，随机捕捞出一条鱼，记下品种后放回，稍后再随机捕捞出一条鱼记下品种，多次重复后发现鲤鱼出现的频率为0.2，那么可以估计鱼塘里青鱼的数量为条．11．计算（a≥0）的结果是．12．点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=﹣图象上的两点，若x1＞x2＞0，则y1 y2（填“＞”“＜”“=”）．13．如图，将一张矩形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在点D′，C′的位置，若∠1=40°，则∠D′EF=．14．若△ABC的三边长分别为6、8、10，则△ABC的内切圆半径为．15．已知y是x的二次函数，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x …﹣2 ﹣1 0 1 2 …y …0 4 6 4 k …观察表中数据，则k的值为．16．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（0，1）和，若在第四象限存在点C，使△OBC和△OAB相似，则点C的坐标是．三、解答题（本大题共11题，共88分，请在答题卡指定区域作答，解答题时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．计算：（x﹣3）（3+x）﹣（x2+x﹣1）18．（1）解不等式3（2x+5）＞2（4x+3）并将其解集在数轴上表示出来．（2）写出一个一元一次不等式，使它和（1）中的不等式组的解集为x≤2，这个不等式可以是．19．（1）解方程：（2）方程的解为．20．为了了解学生关注热点新闻的情况，“两会”期间，小明对班级同学一周内收看“两会”新闻的次数情况作了调查，调查结果统计如图所示（其中男生收看3次的人数没有标出）．根据上述信息，解答下列各题：（1）该班级女生人数是；女生收看“两会”新闻次数的众数是；中位数是．（2）求女生收看次数的平均数．（3）为进一步分析该班级男、女生收看“两会”新闻次数的特点，小明计算出女生收看“两会”新闻次数的方差为，男生收看“两会”新闻次数的方差为2，请比较该班级男、女生收看“两会”新闻次数的波动大小．（4）对于某个群体，我们把一周内收看某热点新闻次数不低于3次的人数占其所在群体总人数的百分比叫做该群体对某热点新闻的“关注指数”，如果该班级男生对“两会”新闻的“关注指数”比女生低5%，试求该班级男生人数．21．如图，在平行四边形ABCD中，E、F为AD上两点，AE=EF=FD，连接BE、CF并延长，交于点G，GB=GC．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若△GEF的面积为2．①求四边形BCFE的面积；②四边形ABCD的面积为．22．一只不透明的袋子中装有6个小球，分别标有1，2，3，4，5，6这6个号码，这些球除号码外都相同．（1）直接写出事件“从袋中任意摸出一个球，号码为3的整数倍”的概率P1；（2）用画树状图或列表格等方法，求事件“从袋中同时摸出两个球，号码之和为6”的概率P2．23．为了测量校园内旗杆AB的高度，小明和小丽同学分别采用了如下方案：（1）小明的方案：如图1，小明在地面上点C处观测旗杆顶部，测得仰角，∠ACB=45°然后他向旗杆反方向前进20米，此时在点D处观测旗杆顶部，测得仰角∠ADB=26.6°．根据小明的方案求旗杆AB的高度．（2）小丽的方案：如图2，小丽在地面上点C处观测旗杆顶部，测得仰角∠ACB=45°，然后从点C爬到10米高的楼上的点E处（CE⊥BC），观测旗杆顶部，测得仰角∠AEF=α．根据小丽的方案所求旗杆AB的高度为米．（用含α的式子表示）（参考数据：sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50）24．大客车和小轿车同时从甲地出发，沿笔直的公路以各自的速度匀速驶往异地，轿车到达乙地后，立即以相同的速度沿原路返回甲地，已知甲、乙两地相距180千米，大客车的速度为60千米/小时，轿车的速度为90千米/小时．设大客车和轿车出发x小时后，两车离乙地的距离分别为y1和y2千米．（1）分别求出y1和y2与x之间的函数关系式．（2）在同一平面直角坐标系中画出y1和y2的函数图象，并标上必要的数据．25．某公司批发一种服装，进价120元/件，批发价200元/件，公司对大量购买有优惠政策，凡是一次性购买20件以上的，每多买一件，批发价降低1元．设顾客购买x（件）时公司的利润为y（元）．（1）当一次性购买x件（x＞20）时，①批发价为元/件；②求y（元）与x（件）之间的函数表达式．（2）设批发价为a元/件，求a在什么范围内才能保证公司每次卖的越多，利润也越多．26．（11分）（2020•南京一模）如图，已知⊙O的半径是4cm，弦AB=4cm，AC是⊙O 的切线，切AC=4cm，连接BC．（1）证明：BC时⊙O的切线；（2）把△ABC沿射线CO方向平移d（3）cm（d（4）＞0），使△ABC的边所在的直线与⊙O相切，求d（5）的值．27．（10分）（2020•南京一模）如图，正方形ABCD、BGFE边长分别为2、1，正方形BGFE绕点B旋转，直线AE、GC相交于点H．（1）在正方形BGFE绕点B旋转过程中，∠AHC的大小是否始终为90°，请说明理由；（2）连接DH、BH，在正方形BGFE绕点B旋转过程中，①求DH的最大值；②直接写出DH的最小值．2020年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填在答题卡相应位置上）1．比﹣1大的无理数是（）A．3.14 B． C． D．【考点】实数大小比较．【分析】根据这个数既要比﹣1大又是无理数，解答出即可【解答】解：A、3.14是有理数，故本选项错误；B、﹣＜﹣1，故本选项错误；C、是有理数，故本选项错误；D、﹣是比﹣1大的无理数，故本选项正确；故选：D．【点评】本题考查了实数大小的比较及无理数的定义，任意两个实数都可以比较大小，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．2．一组数据4，5，3，4，4的中位数、众数和方差分别是（）A．3，4，0.4 B．4，0.4，4 C．4，4，0.4 D．4，3，0.4【考点】方差；中位数；众数．【分析】根据中位数、众数和方差的概念求解．排序后的第3个数是中位数；出现次数最多的数据是众数；方差公式为：S2= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]．【解答】解：把这组数据从小到大排列：3，4，4，4，5，最中间的数是4，则这组数据的中位数是4；4出现了2次，出现的次数最多，则众数是4；平均数是（4+5+3+4+4）÷5=4，所以方差为S2=[[（4﹣4）2+（5﹣4）2+（3﹣4）2+（4﹣4）2+（4﹣4）2]=0.4．故选C．【点评】此题考查了中位数、众数和方差，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数；方差公式为：S2= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]．3．计算x2•x3÷x的结果是（）A．x4B．x5C．x6D．x7【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法．【分析】首先依据同底数幂的乘法法则进行计算，然后再依据同底数幂的除法法则计算即可．【解答】解：原式=x5÷x=x4．故选：A．【点评】本题主要考查的是同底数幂的除法和同底数幂的乘法，掌握运算顺序是解题的关键．4．如图，菱形ABCD中，AB=5，BD=6，则菱形的高为（）A． B． C．12 D．24【考点】菱形的性质．【分析】直接利用菱形的性质得出AC的长，进而利用菱形的面积求出答案．【解答】解：∵菱形ABCD中，BD=6，∴BO=3，∠AOB=90°，∴AO=CO===4，∴AC=8，∴设菱形的高为x，则5x=×6×8，解得：x=．故选：B．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，正确得出AC的长是解题关键．5．用一张半径为20的扇形纸片制成一个圆锥（接缝忽略不计），如果圆锥底面的半径为10，那么扇形的圆心角为（）A．60°B．90°C．135°D．180°【考点】圆锥的计算．【分析】先求出圆锥底面圆的周长，即为扇形的弧长，再根据弧长公式即可求出扇形的圆心角．【解答】解：∵圆锥底面的半径为10，∴圆锥底面圆的周长为20π，即扇形的弧长=20π，设扇形的圆心角为n°，则=20π，解得n=180，故选D．【点评】本题考查了圆锥的计算及弧长的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长．6．等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，BC=8，⊙O过点B，C，点O在△ABC的外部，且OA=1，则⊙O的半径为（）A．4 B．5 C． D．【考点】等腰直角三角形．【分析】根据题意首先作图并连接OC、OB，延长OA交BC于点D，交⊙O于点E，然后证明△OBD为直角三角形，利用已知条件及勾股定理即可求解【解答】解：如下图所示：连接OC、OB，延长OA交BC于点D，交⊙O于点E∵在△OAB与△OAC中，∴△OAB≌△OAC，∴∠OAB=∠OAC，∴∠BAD=∠CAD又∵AB=AC，∴∠ADB=∠ADC=90°，BD=DC=AD=4∴在Rt△ODB中，OB2=OD2+BD2，∴OB2=52+42=41，∴OB=即：⊙O的半径是【点评】本题考查了圆与等腰直角三角形综合的有关问题，解题的关键是正确作图，并构建含半径及已知条件的直角三角形．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．16的平方根是±4，9的立方根是．【考点】立方根；平方根．【分析】依据平方根、立方根的定义和性质求解即可．【解答】解∵（±4）2=16，∴16的平方根是±4．9的立方根是．故答案为：±4；．【点评】本题主要考查的是平方根、立方根的性质和定义，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．8．2020年3月，鼓楼区的二手房均价约为25000元/平方米，若以均价购买一套100平方米的二手房，该套房屋的总价用科学记数法表示为 2.5×106元．【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：该套房屋的总价用科学记数法表示为2.5×106元，故答案为：2.5×106．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．9．因式分解：3a3﹣12a=3a（a+2）（a﹣2）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因式3a，再根据平方差公式进行二次分解．【解答】解：3a3﹣12a=3a（a2﹣4）（提取公因式）=3a（a+2）（a﹣2）．故答案为：3a（a+2）（a﹣2）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．10．为了估计鱼塘青鱼的数量（鱼塘只有青鱼），将200条鲤鱼放进鱼塘，随机捕捞出一条鱼，记下品种后放回，稍后再随机捕捞出一条鱼记下品种，多次重复后发现鲤鱼出现的频率为0.2，那么可以估计鱼塘里青鱼的数量为800条．【考点】用样本估计总体．【分析】根据放入鲤鱼后鲤鱼出现的频率可以估计出放入鲤鱼后鱼塘中鱼的总数量，从而可以得到原来鱼塘中青鱼的数量．【解答】解：由题意可得，鱼塘里的青鱼的数量为：200÷0.2﹣200=1000﹣200=800（条），故答案为：800．【点评】本题考查用样本估计总体，解题的关键是明确题意，由鲤鱼的数量和出现的频率可以计算出青鱼的数量．11．计算（a≥0）的结果是2a．【考点】二次根式的加减法．【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类项即可．【解答】解：原式=3a﹣a=2a．故答案为：2a．【点评】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．12．点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=﹣图象上的两点，若x1＞x2＞0，则y1＞y2（填“＞”“＜”“=”）．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＞x2＞0即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数y=﹣中，k=﹣2＜0，∴函数图象的两个分支分别位于二四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，∵x1＞x2＞0，∴y1＞y2．故答案为：＞．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．13．如图，将一张矩形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在点D′，C′的位置，若∠1=40°，则∠D′EF=70°．【考点】平行线的性质．【分析】由折叠的性质得∠DEF=∠D′EF，然后根据平角的定义即可得到结论．【解答】解：由折叠的性质得∠DEF=∠D′EF，∵∠1=40°，∴∠D′EF=（180°﹣40°）=70°，故答案为：70°．【点评】本题考查了折叠的性质，平角的定义，熟记折叠的性质是解题的关键．14．若△ABC的三边长分别为6、8、10，则△ABC的内切圆半径为2．【考点】三角形的内切圆与内心．【分析】先根据勾股定理的逆定理求出△ABC是直角三角形，然后利用直角边为a、b，斜边为c的三角形的内切圆半径为进行计算即可．【解答】解：∵△ABC的三边长分别为6、8、10，∴62+82=102，∴△ABC是直角三角形，∴△ABC的内切圆半径r==2．故答案是：2．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．记住直角边为a、b，斜边为c的三角形的内切圆半径为．15．已知y是x的二次函数，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x …﹣2 ﹣1 0 1 2 …y …0 4 6 4 k …观察表中数据，则k的值为0．【考点】二次函数的性质．【分析】根据题目提供的满足二次函数解析式的x、y的值，确定二次函数的对称轴，利用对称轴找到一个点的对称点的纵坐标即可．【解答】解：由上表可知函数图象经过点（﹣1，4）和点（1，4），∴对称轴为x==0，即y轴∴当x=2时的函数值等于当x=﹣2时的函数值，∵当x=﹣2时，y=0，∴当x=2时，k=0．故答案为：0．【点评】本题考查了二次函数的图象的性质，利用表格找到二次函数的对称点是解决此题的关键，另外本题还可以先求出函数的解析式，然后代入求值．16．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（0，1）和，若在第四象限存在点C，使△OBC和△OAB相似，则点C的坐标是（，﹣1），或（，3）或（，﹣）或（，﹣）．【考点】相似三角形的判定；坐标与图形性质．【分析】先根据题意得出OA，OB的长，再分△BOC∽△OBA，△BCO∽△OAB，△CBO ∽△OBA，△CBO∽△OAB四种情况进行分类讨论，由直角三角形的性质即可得出结果．【解答】解：∵A（0，1）、B（，0），∴OA=1，OB=，∴AB==2，∠ABO=30°．当∠OBC=90°时，如图1，①若△BOC∽△OBA，则∠C=∠ABO=30°，BC=OA=1，OB=，∴C（，﹣1）；②若△BCO∽△OAB，则∠BOC=∠BAO=30°，BC=OB=3，OB=，∴C（，﹣3）当∠OCB=90°时，如图2，过点C作CP⊥OB于点P，①当△CBO∽△OBA时，∠OBC=∠ABO=30°，∴OC=OB=，同理：OP=OC=，∴PC=OP=，∴C（，﹣）；②当△CBO∽△OAB时，∠BIC=∠ABO=30°，∴BC=OB=，同理：BP=BC=，∴PC=BP=，OP=OB﹣BP=，∴C（，﹣）；综上所述：点C的坐标为（，﹣1），或（，﹣3）或（，﹣）或（，﹣）；故答案为：（，﹣1），或（，3）或（，﹣）或（，﹣）．【点评】本题考查的是相似三角形的判定定理、坐标与图形性质、勾股定理、直角三角形的性质；在解答此题时要进行分类讨论，不要漏解．三、解答题（本大题共11题，共88分，请在答题卡指定区域作答，解答题时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．计算：（x﹣3）（3+x）﹣（x2+x﹣1）【考点】平方差公式．【分析】先用平方差公式和去括号法则展开，再合并同类项即可．【解答】解：原式=x2﹣9﹣x2﹣x+1=﹣x﹣8．【点评】本题主要考查整式的混合运算和平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．18．（1）解不等式3（2x+5）＞2（4x+3）并将其解集在数轴上表示出来．（2）写出一个一元一次不等式，使它和（1）中的不等式组的解集为x≤2，这个不等式可以是x﹣1≤1（答案不唯一）．【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．【分析】（1）先去括号，再移项，合并同类项，把x的系数化为1即可；（2）根据（1）中不等式的解集可直接得出结论．【解答】解：（1）去括号得，6x+15＞8x+6，移项得，6x﹣8x＞6﹣15，合并同类项得，﹣2x＞﹣9，把x的系数化为1得，x＜4.5；（2）x﹣1≤1．故答案为：x﹣1≤1（答案不唯一）．【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．19．（1）解方程：（2）方程的解为x1=x2=．【考点】解分式方程；解一元二次方程-配方法．【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）方程去分母整理后，利用配方法求出解即可．【解答】解：（1）去分母得：4x+2=4，解得：x=，经检验x=是增根，分式方程无解；（2）去分母得：4x﹣2=4x2﹣1，即4x2﹣4x+1=0，分解因式得：（2x﹣1）2=0，解得：x1=x2=，故答案为：x1=x2=【点评】此题考查了解分式方程，以及解一元二次方程﹣配方法，解分式方程利用了转化的思想，求出解后别忘了验根．20．为了了解学生关注热点新闻的情况，“两会”期间，小明对班级同学一周内收看“两会”新闻的次数情况作了调查，调查结果统计如图所示（其中男生收看3次的人数没有标出）．根据上述信息，解答下列各题：（1）该班级女生人数是20；女生收看“两会”新闻次数的众数是3；中位数是3．（2）求女生收看次数的平均数．（3）为进一步分析该班级男、女生收看“两会”新闻次数的特点，小明计算出女生收看“两会”新闻次数的方差为，男生收看“两会”新闻次数的方差为2，请比较该班级男、女生收看“两会”新闻次数的波动大小．（4）对于某个群体，我们把一周内收看某热点新闻次数不低于3次的人数占其所在群体总人数的百分比叫做该群体对某热点新闻的“关注指数”，如果该班级男生对“两会”新闻的“关注指数”比女生低5%，试求该班级男生人数．【考点】条形统计图；解分式方程；加权平均数；中位数；众数；方差．【分析】（1）将各观看次数的人数相加得到女生总数，观看次数最多的为众数，从小到大排列后，最中间或中间两数的平均为中位数；（2）根据加权平均数的算法，列式计算即可；（3）由方差可判断，方差小说明波动小；（4）根据题意，求出女生的关注指数，进而得到男生的关注指数，设男生人数为x，列出方程，解之可得．【解答】解：（1）该班级女生人数为：2+5+6+5+2=20（人），其中收看3次的人数最多，达6次，故众数为3；该班级女生收看次数的中位数是从小到大排列的第10、11个数的平均数，均为3，故中位数是3；（2）女生收看次数的平均数是：×（1×2+2×5+3×6+4×5+5×2）==30；（3）∵2＞，∴所以男生比女生的波动幅度大；（4）由题意：该班女生对“两会”新闻的“关注指数”为×100%=65%，所以，男生对“两会”新闻的“关注指数”为60%设该班的男生有x人则，解得：x=25，答：该班级男生有25人．【点评】本题主考考查从统计表中获取有用数据的能力，并用获取的数据进行计算、解决问题的能力，获取有用数据时解题关键．21．如图，在平行四边形ABCD中，E、F为AD上两点，AE=EF=FD，连接BE、CF并延长，交于点G，GB=GC．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若△GEF的面积为2．①求四边形BCFE的面积；②四边形ABCD的面积为24．【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AB=DC，AB∥CD于是得到BE=CF，根据全等三角形的性质得到∠A=∠D，根据平行线的性质得到∠A+∠D=180°，由矩形的判定定理即可得到结论；（2）①根据相似三角形的性质得到=（）2=，求得△GBC的面积为18，于是得到四边形BCFE的面积为16；②根据四边形BCFE的面积为16，列方程得到BC•AB=24，即可得到结论．【解答】（1）证明：∵GB=GC，∴∠GBC=∠GCB，在平行四边形ABCD中，∵AD∥BC，AB=DC，AB∥CD，∴GB﹣GE=GC﹣GF，∴BE=CF，在△ABE与△DCF中，，∴△ABE≌△DCF，∴∠A=∠D，∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°，∴∠A=∠D=90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）①∵EF∥BC，∴△GFE∽△GBC，∵EF=AD，∴EF=BC，∴=（）2=，∵△GEF的面积为2，∴△GBC的面积为18，∴四边形BCFE的面积为16，；②∵四边形BCFE的面积为16，∴（EF+BC）•AB=×BC•AB=16，∴BC•AB=24，∴四边形ABCD的面积为24，故答案为：24．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，图形面积的计算，全等三角形的判定和性质，证得△GFE∽△GBC是解题的关键．22．一只不透明的袋子中装有6个小球，分别标有1，2，3，4，5，6这6个号码，这些球除号码外都相同．（1）直接写出事件“从袋中任意摸出一个球，号码为3的整数倍”的概率P1；（2）用画树状图或列表格等方法，求事件“从袋中同时摸出两个球，号码之和为6”的概率P2．【考点】概率公式．【分析】列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可．【解答】解：（1）∵3和6都是3的整数倍，∴P1==；（3分）（2）列表得：6 7 8 9 10 115 6 7 8 9 114 5 6 7 9 103 4 5 7 8 92 3 5 6 7 81 3 4 5 6 71 2 3 4 5 6从袋中同时摸出两个球的可能性有（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、（3，4）、（3，5）、（3，6）、（4，5）、（4，6）、（5，6），共十五种，号码之和为6的有（1，5）、（2，4），所以P2=．（8分）【点评】如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．23．为了测量校园内旗杆AB的高度，小明和小丽同学分别采用了如下方案：（1）小明的方案：如图1，小明在地面上点C处观测旗杆顶部，测得仰角，∠ACB=45°然后他向旗杆反方向前进20米，此时在点D处观测旗杆顶部，测得仰角∠ADB=26.6°．根据小明的方案求旗杆AB的高度．（2）小丽的方案：如图2，小丽在地面上点C处观测旗杆顶部，测得仰角∠ACB=45°，然后从点C爬到10米高的楼上的点E处（CE⊥BC），观测旗杆顶部，测得仰角∠AEF=α．根据小丽的方案所求旗杆AB的高度为米．（用含α的式子表示）（参考数据：sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】（1）在Rt△ABC中，∠ACB=45°，得到AB=BC，在Rt△ABD中，∠ADB=26.6°，得到tan26.6°=，即可得到结论；（2）延长EF交AB于D，根据矩形的性质得到BD=CE=10，DE=BC，然后根据三角函数的定义列方程即可得到结论．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∴AB=BC，在Rt△ABD中，∠ADB=26.6°，∴tan26.6°=，∴AB=≈20m，答：旗杆AB的高度为20m；（2）延长EF交AB于D，∴BD=CE=10，DE=BC，∵∠ACB=45°，∴AB=BC，∴DE=AB，∵∠AEF=α，∴tanα==，∴AB=，答：旗杆AB的高度为米．【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，本题要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．24．大客车和小轿车同时从甲地出发，沿笔直的公路以各自的速度匀速驶往异地，轿车到达乙地后，立即以相同的速度沿原路返回甲地，已知甲、乙两地相距180千米，大客车的速度为60千米/小时，轿车的速度为90千米/小时．设大客车和轿车出发x小时后，两车离乙地的距离分别为y1和y2千米．（1）分别求出y1和y2与x之间的函数关系式．（2）在同一平面直角坐标系中画出y1和y2的函数图象，并标上必要的数据．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）根据大客车离乙地的路程=180﹣速度×时间，小轿车离乙地的路程分①0≤x ≤2，②2≤x≤4分别计算即可．（2）利用描点法画出图象即可．【解答】解：（1）y1=180﹣60x，当0≤x≤2时，y2=180﹣90x，当2≤x≤4时，y2=90x﹣180．（2）y1和y2的函数图象，如图所示．【点评】本题考查一次函数的应用，路程、速度、时间之间的关系，等知识，解题的关键是理解题意，利用路程=速度×时间解决问题，属于中考常考题型．25．某公司批发一种服装，进价120元/件，批发价200元/件，公司对大量购买有优惠政策，凡是一次性购买20件以上的，每多买一件，批发价降低1元．设顾客购买x（件）时公司的利润为y（元）．（1）当一次性购买x件（x＞20）时，①批发价为220﹣x元/件；②求y（元）与x（件）之间的函数表达式．（2）设批发价为a元/件，求a在什么范围内才能保证公司每次卖的越多，利润也越多．【考点】二次函数的应用．【分析】（1）①根据题意列出代数式即可；②根据题意即可的结论；（3）根据y=﹣x2+100x=﹣（x﹣50）2+2500，于是得到抛物线的开口向下，x=50时，y有最大值，在对称轴x=50的左侧，y随x的增大而增大，于是得到结论．【解答】解：（1）①根据题意得：批发价为[200﹣（x﹣20）]=（220﹣x）元/件；故答案为：220﹣x；②y=（220﹣x﹣120）x=﹣x2+100x，（3）∵y=﹣x2+100x=﹣（x﹣50）2+2500，∵抛物线的开口向下，∴x=50时，y有最大值，在对称轴x=50的左侧，y随x的增大而增大，∴200﹣（50﹣20）]=170，∴170≤a≤200时，每次卖的越多，利润也越多．【点评】本题考查了二次函数的应用，销售问题的数量关系的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．26．（11分）（2020•南京一模）如图，已知⊙O的半径是4cm，弦AB=4cm，AC是⊙O 的切线，切AC=4cm，连接BC．（1）证明：BC时⊙O的切线；（2）把△ABC沿射线CO方向平移d（3）cm（d（4）＞0），使△ABC的边所在的直线与⊙O相切，求d（5）的值．【考点】切线的判定与性质；平移的性质．【分析】（1）连接OA、OB．作OD⊥AB于点D，由切线的性质得出∠OAC=90°，由垂径定理得出AD=AB=2，在Rt△OAD中，求出∠AOD=45°，同理∠BOD=45°，证出AC∥OB，得出四边形OABC为平行四边形，证出四边形OABC是矩形，得出OB⊥BC，即可得出结论；（2）延长DO交⊙O于E，把△ABC沿射线CO方向平移，使AB边与⊙O相切，则平移的距离为DE的长，由等腰直角三角形的性质得出OD=AD=2，求出DE的长即可．【解答】（1）证明：连接OA、OB．作OD⊥AB于点D，如图1所示：∵AC是⊙O的切线，∴OA⊥AC，即∠OAC=90°，∵OD⊥AB，AD=AB=×4=2，在Rt△OAD中，==，∴∠AOD=45°，同理∠BOD=45°，∴∠BOA=90°，∴∠OAC+∠BOA=180°，∴AC∥OB，∵AC=OB=4，∴四边形OABC为平行四边形，∵∠OAC=90°，∴四边形OABC是矩形，∴∠OBC=90°，即OB⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（2）解：延长DO交⊙O于E，如图2所示：∵OD⊥AB，把△ABC沿射线CO方向平移，使AB边与⊙O相切，则平移的距离为DE的长，∵在Rt△OAD中，∠AOD=45°，∴OD=AD=2，。

2022年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试题及答案解析

2022年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试题及答案解析

2022年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 2022年3月25日，我国核电企业研发设计的具有完全自主知识产权的“华龙一号”示范工程全面建成投运，每年减少二氧化碳排放约1632万吨．用科学记数法表示1632万是( )A. 1.632×103B. 1.632×107C. 1.632×104D. 1.632×1082. 最接近−π的整数是( ) A. 3B. 4C. −3D. −43. 要判断一个四边形的窗框是否为矩形，可行的测量方案是( ) A. 测量两组对边是否相等 B. 测量对角线是否相等 C. 测量对角线是否互相平分D. 测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等 4. 下列说法正确的是( ) A. 212是414的平方根 B. 0.2是0.4的平方根 C. −2是−4的平方根D. √2是√4的平方根5. 一组不完全相同的数据a 1，a 2，a 3，…，a n 的平均数为m ，把m 加入这组数据，得到一组新的数据a 1，a 2，a 3，…，a n ，m ，把新、旧数据的平均数、中位数，众数、方差这四个统计量分别进行比较，一定发生变化的统计量的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 46. 甲乙两地相距8km ，如图表示往返于两地的公交车离甲地的距离y(单位：km)与从早晨7：00开始经过的时间x(单位：min)之间的关系．小明早晨7点从甲地出发，匀速跑步去乙地，若他在中途与迎面而来的公交车相遇3次，被同向行驶的公交车超越2次，则小明的速度可能是( )A. 0.2km/minB. 0.15km/minC. 0.12km/minD. 0.1km/min二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）7. 计算：−12=；2−1=．8. 若式子1在实数范围内有意义，则x的取值范围是．|x|−29. 计算(√12−√1)×√6的结果是．310. 已知关于x的方程2x2+mx+n=0的根是−1和3，则m+n=．11. 在同一直角坐标系中，若正比例函数y=x的图象与反比例函数y=k的图象有公共点，x则对于反比例函数y=k，当x>0时，y随x增大而.(填“增大”或“减小”)x12. 如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E是CD的中点，连接OE.若OE=5，BD=12，则AC=．13. 如图，五边形ABCDE是正五边形，l1//l2，若∠1=20°，则∠2=．14. 若用平面分别截下列几何体：①三棱柱；②三棱锥；③正方体；④圆锥；⑤球，得到的截面可以是三角形的是 .(填写正确的几何体前的序号)15. 在△ABC 中，AB =3，AC =4，BC =5.若点P 在△ABC 内部(含边界)且满足∠PBC ≤∠PCB ，则所有点P 组成的区域的面积为 ．16. 若二次函数y =ax 2−bx +2有最大值6，则y =−a(x +1)2+b(x +1)+2的最小值为 ．三、计算题（本大题共1小题，共7.0分）17. 计算：x x−1−3x−1x 2−1．四、解答题（本大题共10小题，共81.0分。

2021南京市鼓楼区九年级中考一模数学试卷及答案

2021南京市鼓楼区九年级中考一模数学试卷及答案

【鼓楼区数学】2021一模考试一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．计算|240.25|-⨯⨯的结果是（ ） A ．4- B ．2- C ．2 D ．4 2．计算()23ab的结果是（ ）A ．5ab B ．6ab C ．25a b D ．26a b3．根据国家电影局发布的数据显示，2021年2月11日（除夕）至17日（正月初六），全国电影票房达7822000000元，刷新了春节档全国电影票房纪录，用科学记数法表示7822000000是（ ） A ．878.2210⨯ B ．97.82210⨯ C ．107.82210⨯ D ．100.782210⨯4．已知2,2A x a B x =+=，若对于所有的实数x ，A 的值始终比B 的值大，则a 的值可能（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．25．数轴上A 、B 、C 三点分别对应实数a 、b 、c ，点A 、C 关于点B 对称，若4a b ==，则下列各数中，与c 最接近的数是（ ）A ．4B ．4.5C ．5D ．5.56．如图，把直径为60cm 的圆形车轮（O ）在水平地面上沿直线l 无滑动地滚动一周，设初始位置的最低点为P ，则下列说法错误的是（ ）A ．当点P 离地面最高时，圆心O 运动的路径的长为30cm πB ．当点P 再次回到最低点时，圆心O 运动的路径的长为60cm πC ．当点P 第一次到达距离地面15cm 的高度时，圆心O 运动的路径的长为7.5cm πD ．当点P 第二次到达距离地面30cm 的高度时，圆心O 运动的路径的长为45cm π二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．） 7．4的平方根是___________，27的立方根是__________． 8．若分式11x x -+的值为0，则x 的值是__________． 9．方程23x x =的解是__________． 10．已知反比例函数ky x=的图像经过点(1,4)-，则k =___________．11．计算236-的结果是___________． 12．某校国旗护卫队有5名学生，身高（单位：cm ）分别为173、174、174、174、175，则这5名学生身高的方差为________2cm ．13．如图，五边形ABCDE 是正五边形，过点B 作AB 的垂线交CD 于点F ，则1C ∠-∠=________．14．如图，点O 是ABC 的外心，,OD AB OE AC ⊥⊥，垂足分别为D 、E ，点M 、N 分别是OD 、OE 的中点，连接MN ，若2MN =，则BC =_______︒．15．如图，在平面直角坐标系中，直线l 经过点(1,3)，且与x 轴的夹角为30︒，则直线l 与坐标轴所围成的三角形的周长是_________．16．已知二次函数2()1y x m =--（m 为常数），如果当自变量x 分别取3-，1-，1时，所对应的y 值只有一个小于0，那么m 的取值范围是________．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（7分）解不等式1123x x+-<．18．（7分）计算：22222a b a ab b a b a b a b a--+--÷+-．19．（7分）某车间生产一种零件，该零件由甲乙两种配件组成，现有7名工人，每人每天可制作甲配件900个或者乙配件1200个．应怎样安排人力，才能使每天制作的甲乙配件的个数相等？ 20．（7分）下表是某地某个月中午12时的气温（单位：℃）的统计数据． 组别 气温分组频数 1 1216x ≤< 1 2 1620x ≤< 5 3 2024x ≤< 6 4 2428x ≤< 8．根据频数分布表求加权平均数时，统计中常用各组的组中值代表各组的实际数据，（1）该地该月中午12时的气温的中位数落在第_________组内； （2）求该地该月中午12时的平均气温． 21．（7分）一只不透明的袋子中装有1个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，摇匀后从中任意摸出2个球．（1）若这个袋子中共有4个球，求摸出红球的概率；（2）若这个袋子中共有n （1n >且n 为正整数）个球，则摸出红球的概率是__________（用含n 的代数式表示）．22．（8分）已知关于x 的方程2(1)10mx m x +--=（m 为常数）． （1）求证：不论m 为何值，该方程总有实数根；（2）若该方程有两个实数根1x 、2x ，求1212x x x x ++的值．23．（8分）如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 与点O 关于CD 对称．（1）连接CE 、DE ，求证：四边形CEDO 是菱形； （2）若2,60AB AOB =∠=︒．求点E 、O 之间的距离．24．（8分）如图，为测量直立在建筑物AB 上的广告牌AC 的高度，小莉在地面上D 的处测得A 的仰角为31︒，然后她沿正对建筑物方向前进了10m 到达E 处，此时测试A 、C 的仰角分别为45︒、52︒，求广告牌AC 的高度．（参考数据：sin310.52︒≈，cos310.86︒≈，tan310.60︒≈，sin520.79︒≈，cos520.62︒≈，tan52 1.28︒≈．）25．（8分）某宾馆有8位旅客要在当日上午10点前到达火车站，他们上午9点出发，唯一可以利用的交通工具只有一辆汽车，但这辆汽车连同司机在内最多能乘坐5人，司机需要分两批接送旅客，接送第一批旅客的同时，让其余旅客步行前往，汽车到达火车站后，立即返回接送第二批步行的旅客．在整个过程中，汽车行驶的速度始终不变，旅客上下车的时间忽略不计．设汽车从宾馆出发h x 后，汽车和第二批旅客分别到达离宾馆12km,km y y 的地方，图中的折线OABC 表示1y 与x 之间的函数关系，折线OBC 表示2y 与x 之间的函数关系．（1）宾馆与火车站相距________km ，第二批旅客的步行速度是_______km/h ； （2）解释图中点B 的实际意义；（3）第二批旅客能否在上午10点前到达火车站？如果能，请说明理由；如果不能，汽车在接到第二批旅客后至少提速多少，才能保证不晚于10点到达？26．（9分）如图①，ABC的内切圆O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，DO、EO、FO 的延长线分别交O于点G、H、I，过点G、H、I分别作AB、BC、AC的平行线，从ABC上截得六边形JKMNPQ．通常，在六边形中，我们把相间两个内角的内角称为六边形的对角，把相邻两角的夹边和它们的对角的夹边称为六边形的对边．（1）求证：六边形JKMNPQ的对角相等；≌、（2）小明在完成（1）的证明后继续探索，如图②，连接OJ、OM、ON、OQ，他发现DOM GOQ ≌，于是猜想六边形JKMNPQ的对边也相等．请你证明他的发现与猜想．DON GOJ27．（12分）【问题提出】为了保持室内空气的清新，某仓库的自动换气窗采用了以下设计：如图①，窗子的形状是一个五边形，它可看作是由一个矩形ABCD 和一个△CDE 组成，该窗子关闭时可以完全密封，根据室内的温度和湿度也可以自动打开窗子上的通风口换气．通风口是一个矩形形状的联动装置，顶点P 、Q 只能在边框AB 上滑动，顶点M 、N 可在其它边框上滑动，联动装置的四边都是长度可自动伸缩的金属杆，当金属杆MN 上下移动时，其他金属杆也随之移动，图①、图②是通风口打开时的两种不同情况．试确定金属杆MN 的位置，使通风口（矩形PQNM ）面积最大．设窗子的边框AB 、AD 分别为m a ，m b ，窗子的高度（窗子的最高点到边框AB 的距离）为m c ． 【初步探究】（1）若2,1,2a b c ===（即点E 到AB 的距离为2），MN 与AB 之间的距离为m x ，通风口的面积为2m y ． ①分别求出当01x ≤≤和12x ≤≤时y 与x 之间的函数表达式；②金属杆MN 移动到什么位置时，通风口面积最大，最大面积是多少？【深入探究】（2）若金属杆MN 移动到高于CD 所在位置的某一处时通风口面积达到最大值．①c 需要满足的条件是_______________，通风口的最大面积是_______________2m （用含a 、b 、c 的代数式表示）．②用直尺和圆规在图③中作出通风口面积最大时金属杆MN 所在的位置（保留作图痕迹，不写作法）． （3）若将窗子的上部分边框改为以AB 的中点O 为圆心的圆弧（CD ）形状（如图④所示），其他条件不变，金属杆MN 移动到什么位置时，通风口面积最大（直接写出答案，不必说明理由）．【鼓楼区数学】2021一模考试参考答案一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）第6题解析：圆心运动的路径即为圆滚动的距离．当点P 离地面最高时，圆滚动半圈，圆心O 运动的路径的长为30cm π，故A 正确． 当点P 再次回到最低点时，圆滚动一圈，圆心O 运动的路径的长为60cm π，故B 正确．当点P 第一次到达距离地面15cm 的高度时，圆滚动16圈，圆心O 运动的路径的长为10cm π，故C 错误．当点P 第二次到达距离地面30cm 的高度时，圆滚动34圈，圆心O 运动的路径的长为45cm π，故D 正确． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．）第16题解析：二次函数2()1y x m =--对称轴为x m =． ①0m >时，1x =时取最小值，∴222(1)10(1)10(3)10m m m ⎧--<⎪--->⎨⎪--->⎩解得02m <<； ②20m -<<时，1x =-时取最小值，∴222(1)10(1)10(3)10m m m ⎧---<⎪-->⎨⎪--->⎩解得20m -<<； ③2m <-时，3x =-时取最小值，∴222(3)10(1)10(1)10m m m ⎧---<⎪--->⎨⎪-->⎩解得42m -<<-．综上所述42m -<<且2,0m m ≠-≠． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题7分）解：3x < 18．（本题7分）解：原式ba b=-+ 19．（本题7分）解：设该车间安排x 名工人制作甲零件，安排(7)x -名工人制作乙零件．9001200(7)x x =- 解得4x =答：可安排4名工人制作甲零件，3名工人制作乙零件． 20．（本题7分）（1）4（2）分别计算出各组数据的组中值， 第一组组中值1216142+=，第二组组中值1620182+=，第三组组中值2024222+= 第四组组中值2428262+=，第五组组中值2832302+= ∴156810141822263024.83030303030x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（℃） 因此，该地该月中午12时的平均气温为24.8℃ 21．（本题7分）解：（1）记袋中的3个白球分别为白1、白2、白3．从袋中随机摸出2个球，共有6种等可能的情况，分别是（红，白1）、（红，白2）、（红，白3）、（白1，白2）、（白1，白3）、（白2，白3），满足摸出红球的结果有3种，因此摸出红球的概率为12． （2）2n22．（本题8分）解：（1）当0m =时，原方程化为10x --=， ∴1x =-∴该方程有实数根．当0m ≠，由题可得,1,1a m b m c ==-=- ∴222Δ4(1)4(1)(1)0b ac m m m =-=--⨯-=+≥ ∴方程总有两个实数根因此，不论m 为何值，该方程总有实数根． （2）∵121211,m x x x x m m -+=-=- ∴1212111m x x x x m m-++=---=- 23．（本题8分） （1）证明：连接OE∵四边形ABCD 是矩形，∴AC BD =且11,22OC AC OD BD ==，∴OC OD = 又∵点E 与点O 关于CD 对称，∴CD 垂直平分OE ，∴,DO DE CO CE == ∴DO DE CO CE ===，∴四边形CEDO 是菱形．（2）∵四边形ABCD 是矩形，∴2AB CD ==， ∵OD OC =，∴ODC 为等腰三角形∵60AOB COD ∠=∠=︒，∴ODC 为等边三角形，∴60,2ODC OD DC ∠=︒==∵CD 垂直平分OE ，∴2sin 60OE OD =︒=E 、O 之间的距离为24．（本题8分）解：在Rt ABD 中，tan tan31AB D BD∠=︒=∴50.63AB BD AB ==在Rt ABE 中，tan tan 45AB AEB BE ∠=︒=∴BE AB =∵10m BD BE -= ∴510m 3AB AB -= ∴15m AB =在Rt CBE 中，tan tan52BC CEB BE∠=︒=∴19.2m BC =∴ 4.2m AC BC BA =-=因此，广告牌的高度是4.2m ．25．（本题8分）解：（1）20，5；（2）汽车从宾馆出发0.8h 后到达距离旅店4km 处与第二批旅客相遇．（3）第二批旅客不能在上午10点前到达火车站． ∵3645km /h 0.8= 1680km /h 0.2= ∴804535km /h -=∴至少提速35km/h26．（本题9分）证明：（1）∵//JQ AB ，∵//NP AC ，∴180A ANP ∠+∠=︒．∴AJQ ANP ∠=∠同理,BMK BQJ CKM CPN ∠=∠∠=∠．即六边形JKMNPQ 的对角相等．（2）∵O 与AB 切于点D ，∴OD AB ⊥∴90ADO ∠=︒．∵//AB JQ ，∴90ADO OGO ∠=∠=︒ O 与BC 切于点E ，∴OE BC ⊥．∴90QEO ∠=︒．∴90OEO OGO ∠=∠=︒．又,OQ OQ OE OG ==，∴Rt EQO Rt GQO ≌． ∴12EOQ GOQ EOG ∠=∠=∠． 同理12DOM HOM DOH ∠=∠=∠． ∵DOH EOG ∠=∠，∵,OD OG ODM OGQ =∠=∠．∴DOM GOO ≌．同理DON GOJ ≌．∴,DM GO DN GJ ==．∴DM DN GQ GJ +=+．即MN JQ =．同理,JK NP KM PQ ==．即六边形JKMNPQ 的对边相等．27．（本题12分）解：（1）①如图1，过E 作EF AB ⊥，垂足为F ，EF 分别与CD 、MN 相交于点G 、H ．当01x ≤≤时，2y x =．当12x ≤≤时，∵四边形ABCD 是矩形，∴2,90AB CD A ADC ==∠=∠=︒．∵EF AB ⊥，∴90AFG ∠=︒．∴四边形ADGF 是矩形．∴1,90AD GF DGF ==∠=︒．∵四边形PQNM 是矩形，∴//MN PQ ．∴90EFA EHM ∠=∠=︒由题意可知，2,EF HF x == ，∴1,2EG EH x ==-，∵////MN PQ CD ，∴EMN EDC ∽．又EH 、EG 分别是EMN 、EDC 的对应高， ∴EH MN EG CD =，即212x MN -=，化简，得42MN x =-． ∴2(42)24y x x x x =-=-+．②当01x ≤≤时，2y x =．因此，当1x =时，y 最大，最大值是2．当12x ≤≤时，22242(1)2y x x x =-+=--+，因此，当1x =时，y 最大，最大值是2．综上所述，当1x =时，y 最大，最大值是2．因此，金属杆MN 移动到CD 所在的位置时，通风口面积最大，最大面积是22m ． （2）①2c b >；24()ac c b -． 【解析】已知在ABC 中有内接矩形，其中M 、N 在AB 、AC 边上，P 、Q 在BC 边上，易证当MN 为中位线时，矩形PQMM 的面积最大，且最大面积为ABC 面积的一半，即14⋅⋅底高．在图②中，延长ED 、EG 交直线AB 于F 、G ，则MN 为EFG 的中位线时，矩形PQNM 的面积最大，所以要想金属杆MN 移动到高于CD 所在位置的某一处时通风口面积达到最大值，只需EFG 与FG 边平行的中位线在CD 上方即可，即2c b >．此时的最大面积为EFG 的面积的一半．作ES FG ⊥于S 交CD 于J ，因为//CD FG ，所以EDC EFG ∽，所以DC EJ FG ES =，即a c b FG c-=，∴ac FG c b=-．所以矩形PQNM 面积的最大值EFG =面积的一半2144()ac FG ES c b ⋅⋅=-=．②如图，线段MN 即为所求．（3）当02a b <≤（等同于b c <≤）时，金属杆MN 移动到CD 所在位置时，通风口面积最大；当2a b >（等同于c >）时，金属杆MN 移动到与AB 相距m 2时，通风口面积最大． 【解析】易知当M 在AD 上时，y 随x 增大而增大当M 在CD 上时，如图，OP ==222y MP OP =⋅===，则当2212x c <即2b x c ≤<时，y 随x 增大而增大，当x ≥时，y 随x 增大而减小．b ≤，即bc <≤时：当0x b <≤时，y 随x 增大而增大；当x b >时，x >，所以y 随x 增大而减小，所以在0x c <<中，当x b =时，y 最大．当2c b >，即c >时：当0x b <≤时，y 随x 增大而增大；当2b xc <<时，y 随x 增大而增大；当2x c ≤<时，y 随x 增大而减小，所以在0x c <<中，当2x =时，y 最大．因为90A ∠=︒，所以222AD AO DO +=，所以2222a b c ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以b c <≤等同于02a b <≤，c >等同于2a b >．。

南京市鼓楼区中考数学一模试题有精析

南京市鼓楼区中考数学一模试题有精析

江苏省南京市鼓楼区2020 年中考数学一模试卷 （解析版）一、选择题（本大题共 6 小题，每题 2 分 .在每题所给出的四个选项中，恰有一项为哪一项符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填在答题卡相应地址上）1．比﹣ 1 大的无理数是（）A ．B ．C ．D ．2．一组数据 4， 5， 3，4 ， 4 的中位数、众数和方差分别是（ ）A ． 3， 4， 0.4B ． 4，， 4C ． 4， 4，0.4D ．4， 3，3．计算 x 2?x 3÷ x 的结果是（ ）A ． x 4B ． x 5C ． x6D ． x 74．如图，菱形 ABCD 中， AB=5 ， BD=6 ，则菱形的高为（ ）A ．B ．C ．12D ．245．用一张半径为 20 的扇形纸片制成一个圆锥（接缝忽略不计），若是圆锥底面的半径为10，那么扇形的圆心角为（）A ． 60°B ． 90°C ． 135°D ． 180°6．等腰直角△ABC中，∠BAC=90 °， BC=8 ，⊙ O 过点B ，C ，点O 在△ ABC 的外面，且OA=1 ，则⊙ O 的半径为（）A ． 4B ． 5C ．D ．二、填空题（本大题共 10 小题，每题 2 分，共 20 分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应地址上）7．16 的平方根是， 9 的立方根是8．2020 年 3 月，鼓楼区的二手房均价约为25000米的二手房，该套房屋的总价用科学记数法表示为．元/ 平方米，若以均价购买一套元．100 平方9．因式分解：3a 3﹣ 12a=．10．为了估计鱼塘青鱼的数量（鱼塘只有青鱼），将 200 条鲤鱼放进鱼塘，随机捕捞出一条鱼，记下品种后放回， 稍后再随机捕捞出一条鱼记下品种， 多次重复后发现鲤鱼出现的频率为，那么可以估计鱼塘里青鱼的数量为条．11． 算（a ≥0）的 果是．12．点 A （ x 1， y 1）， B （x 2， y 2）是反比率函数y 2（填 “＞ ”“＜”“=”）．y= 象上的两点，若x 1＞x 2＞ 0，y 113．如 ，将一 矩形 片沿∠ D ′EF=．EF折叠后，点D 、 C 分 落在点D ′， C ′的地址，若∠1=40°，14 ．若△ ABC 的三 分6、 8、 10， △ ABC 的内切 半径．15 ．已知 y 是 x 的二次函数，函数 y 与自 量 x 的部分 以下表：x ⋯ 2 1 0 1 2 ⋯ y⋯464k⋯察表中数据， k 的．16．如 ，在平面直角坐 系中，点 A ，B 的坐 分 （ 0，1）和，若在第四象限存在点 C ，使△ OBC 和△ OAB 相似， 点C 的坐 是．三、解答 （本大 共 11 ，共 88 分， 在答 卡指定地域作答，解答 写出文字 明， 明 程或演算步 ）17． 算：（ x3）（ 3+x ） （ x 2+x1）18．（ 1）解不等式3（2x+5）＞ 2（ 4x +3）并将其解集在数 上表示出来．（ 2）写出一个一元一次不等式，使它和（1）中的不等式 的解集 x ≤ 2， 个不等式可以是．19．（ 1）解方程：（ 2）方程的解．20． 了认识学生关注 点新 的情况，“两会 ”期 ，小明 班 同学一周内收看“两会 ”新的次数情况作了 ， 果 如 所示（其中男生收看 3 次的人数没有 出） ．根据上述信息，解答以下各 ：（ 1） 班 女生人数是；女生收看 “两会 ”新 次数的众数是；中位数是．（ 2）求女生收看次数的平均数．（3）为进一步解析该班级男、女生收看“两会”新闻次数的特点，小明计算出女生收看“两会”新闻次数的方差为，男生收看“两会”新闻次数的方差为2，请比较该班级男、女生收看“两会”新闻次数的颠簸大小．（ 4）对于某个集体，我们把一周内收看某热点新闻次数不低于 3 次的人数占其所在集体总人数的百分比叫做该集体对某热点新闻的“”“ ”“关注指数，若是该班级男生对两会新闻的关注指数”比女生低5%，试求该班级男生人数．21．如图，在平行四边形ABCD 中， E、F 为 AD 上两点， AE=EF=FD ，连接 BE 、 CF 并延长，交于点G， GB=GC ．（1）求证：四边形 ABCD 是矩形；（2）若△ GEF 的面积为 2．①求四边形BCFE 的面积；②四边形 ABCD 的面积为．22．一只不透明的袋子中装有 6 个小球，分别标有1， 2， 3，4， 5， 6 这 6 个号码，这些球除号码外都相同．（ 1）直接写出事件“从袋中任意摸出一个球，号码为 3 的整数倍”的概率P1；（ 2）用画树状图或列表格等方法，求事件“从袋中同时摸出两个球，号码之和为6”的概率P2．23．为了测量校园内旗杆AB 的高度，小明和小丽同学分别采用了以下方案：（ 1）小明的方案：如图1，小明在地面上点 C 处察看旗杆顶部，测得仰角，∠ACB=45 °然后他向旗杆反方向前进20 米，此时在点 D 处察看旗杆顶部，测得仰角∠°．依照小明的方案求旗杆AB的高度．（ 2）小丽的方案：如图 2，小丽在地面上点 C 处察看旗杆顶部，测得仰角∠ ACB=45 °，尔后从点C 爬到 10 米高的楼上的点 E 处（ CE⊥ BC ），察看旗杆顶部，测得仰角∠ AEF= α．依照小丽的方案所求旗杆 AB 的高度为米．（用含α的式子表示）（参照数据： sin26.6 °≈，°≈）24．大客车和小轿车同时从甲地出发，沿笔直的公路以各自的速度匀速驶往异地，轿车到达乙地后，马上以相同的速度沿原路返回甲地，已知甲、乙两地相距 180 千米，大客车的速度为 60 千米 /小时，轿车的速度为 90 千米 /小时．设大客车和轿车出发 x 小时后，两车离乙地的距离分别为 y1和 y2千米．（ 1）分别求出y1和y2与 x之间的函数关系式．（ 2）在同一平面直角坐标系中画出y1和 y2的函数图象，并标上必要的数据．25．某公司批发一种衣饰，进价120 元/ 件，批发价200 元 /件，公司对大量购买有优惠政策，凡是一次性购买20 件以上的，每多买一件，批发价降低 1 元．设顾客购买x（件）时公司的利润为y（元）．（ 1）当一次性购买x 件（ x＞ 20）时，① 批发价为元 /件；②求 y（元）与x（件）之间的函数表达式．（ 2）设批发价为 a 元 /件，求 a 在什么范围内才能保证公司每次卖的越多，利润也越多．26．（ 11 分）（ 2020?南京一模）如图，已知⊙O 的半径是4cm，弦 AB=4cm ， AC 是⊙ O的切线，切AC=4cm ，连接 BC ．（1）证明： BC 时⊙ O 的切线；（2）把△ ABC 沿射线 CO 方向平移 d（ 3）cm（ d（ 4）＞ 0），使△ ABC 的边所在的直线与⊙ O 相切，求 d（5）的值．27．（ 10 分）（2020?南京一模）如图，正方形ABCD、BGFE边长分别为2、 1，正方形BGFE绕点B 旋转，直线AE 、GC订交于点H．（1）在正方形 BGFE 绕点 B 旋转过程中，∠ AHC 的大小可否向来为 90°，请说明原由；（2）连接 DH、 BH ，在正方形 BGFE 绕点 B 旋转过程中，①求 DH 的最大值；②直接写出DH 的最小值．2020 年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷参照答案与试题解析一、 （本大 共6 小 ，每小 2 分 .在每小 所 出的四个 中，恰有一 是符合 目要求的， 将正确 前的字母代号填在答 卡相 地址上） 1．比 1 大的无理数是（ ）A ．3.14B ．C ．D ． 【考点】 数大小比 ．【解析】 依照 个数既要比1 大又是无理数，解答出即可【解答】 解： A 、3.14 是有理数，故本 ；B 、 ＜ 1，故本 ；C 、是有理数，故本 ；D 、 是比 1 大的无理数，故本 正确；故 ： D ．【点 】 本 考 了 数大小的比 及无理数的定 ，任意两个 数都可以比 大小，正数都大于0， 数都小于0，正 数大于所有 数，两个 数 大的反而小．2．一 数据4， 5， 3，4， 4 的中位数、众数和方差分 是（）A ．3，4，0.4 B． 4，，4C ． 4， 4，0.4 D ．4， 3，【考点】 方差；中位数；众数．【解析】 依照中位数、众数和方差的看法求解．排序后的第 3 个数是中位数；出 次数最多的数据是众数；方差公式 ：S 2= [ （ x 1 ） 2+（ x 2 ） 2+⋯+（ x n ） 2] ．【解答】 解：把 数据从小到大排列：3， 4， 4，4， 5，最中 的数是4， 数据的中位数是 4；4 出 了 2 次，出 的次数最多， 众数是4；平均数是（ 453445=4，所以方差 S 2425 4 23 4 2 4 4++++）÷=[[ （4）+（） +（ ）+（）2+（4 4 ） 2． 故 C ．【点 】 此 考 了中位数、众数和方差， 将一 数据从小到大 （或从大到小） 重新排列后，最中 的那个数 （或最中 两个数的平均数） 叫做 数据的中位数；众数是一 数据中出次数最多的数；方差公式 ：S 22x2⋯ x2= [ （ x 1 ） +（2 ） + +（ n ） ] ．3． 算x 2 x 3÷ x 的 果是（ ） ?A ． x 4B ． x 5C ． x 6D ． x 7【考点】 同底数 的除法；同底数 的乘法． 【解析】第一依照同底数 的乘法法 行 算，尔后再依照同底数 的除法法 算即可．【解答】 解：原式 =x 5÷x=x 4．故 ： A ．【点 】本 主要考 的是同底数 的除法和同底数 的乘法， 掌握运算 序是解 的关 ．4．如 ，菱形 ABCD 中， AB=5 ， BD=6 ， 菱形的高 （ ）A ．B ．C ．12D ．24【考点】 菱形的性 ．【解析】 直接利用菱形的性 得出AC 的 ， 而利用菱形的面 求出答案．【解答】 解：∵菱形ABCD 中， BD=6 ，∴ BO=3 ，∠ AOB=90 °， ∴ AO=CO===4 ，∴ AC=8 ，∴ 菱形的高x ， 5x= × 6× 8，解得： x= ．故 ： B ．【点 】 此 主要考 了菱形的性 以及勾股定理，正确得出AC 的 是解 关 ．5．用一 半径 20 的扇形 片制成一个 （接 忽略不 ），若是 底面的半径10，那么扇形的 心角 （）A ． 60°B ． 90°C ． 135°D ． 180°【考点】 圆锥的计算．【解析】 先求出圆锥底面圆的周长， 即为扇形的弧长， 再依照弧长公式即可求出扇形的圆心角．【解答】 解：∵圆锥底面的半径为10，∴圆锥底面圆的周长为20π，即扇形的弧长 =20 π，设扇形的圆心角为n °，则 =20π，解得 n=180 ，应选 D ．【谈论】 此题观察了圆锥的计算及弧长的计算，用到的知识点为： 圆锥的侧面张开图的弧长等于圆锥的底面周长．6．等腰直角△ ABC 中，∠ BAC=90 °， BC=8 ，⊙ O 过点 B ，C ，点 O 在△ ABC 的外面，且OA=1 ，则⊙O 的半径为（）A ．4B ．5C ．D ．【考点】 等腰直角三角形．【解析】 依照题意第一作图并连接OC 、OB ，延长 OA 交 BC 于点 D ，交⊙ O 于点证明△ OBD 为直角三角形，利用已知条件及勾股定理即可求解【解答】 解：以以下列图所示：连接 OC 、 OB ，延长 OA 交 BC 于点 D ，交⊙ O 于点 EE ，尔后∵在△ OAB 与△ OAC 中，∴△ OAB ≌△ OAC ，∴∠ OAB= ∠OAC ，∴∠ BAD= ∠CAD又∵ AB=AC ，∴∠ ADB= ∠ADC=90 °， BD=DC=AD=4∴在 Rt △ ODB 中， OB 2=OD 2+BD 2，∴ OB 2=5 2+42=41 ，∴ OB=即：⊙ O 的半径是【谈论】此题观察了圆与等腰直角三角形综合的有关问题，解题的要点是正确作图，并成立含半径及已知条件的直角三角形．二、填空题（本大题共10 小题，每题 2 分，共 20 分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应地址上）7．16 的平方根是±4，9的立方根是．【考点】立方根；平方根．【解析】依照平方根、立方根的定义和性质求解即可．【解答】解∵（± 4）2=16，∴ 16 的平方根是±4．9的立方根是．故答案为：± 4；．【谈论】此题主要观察的是平方根、立方根的性质和定义，掌握平方根和立方根的定义是解题的要点．8．2020 年 3 月，鼓楼区的二手房均价约为25000元/ 平方米，若以均价购买一套100平方米的二手房，该套房屋的总价用科学记数法表示为×106元．【考点】科学记数法—表示较大的数．【解析】科学记数法的表示形式为a× 10n的形式，其中 1≤ | a| ＜10， n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点搬动了多少位， n 的绝对值与小数点搬动的位数相同．当原数绝对值＞ 1 时， n 是正数；当原数的绝对值＜ 1 时， n 是负数．【解答】解：该套房屋的总价用科学记数法表示为× 106元，故答案为：× 106．【谈论】此题观察科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a× 10n的形式，其中 1a10，n为整数，表示时要点要正确确定a的值以及n的值．≤| |＜9．因式分解： 3a 3﹣ 12a= 3a（ a+2）（ a﹣ 2）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【解析】先提取公因式3a，再依照平方差公式进行二次分解．3=3a（ a 2﹣ 4）（提取公因式）=3a（ a+2）（ a﹣2）．故答案为： 3a（ a+2）（ a﹣ 2）．【谈论】此题观察了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要完整．10．为了估计鱼塘青鱼的数量（鱼塘只有青鱼），将200 条鲤鱼放进鱼塘，随机捕捞出一条鱼，记下品种后放回，稍后再随机捕捞出一条鱼记下品种，多次重复后发现鲤鱼出现的频率为，那么可以估计鱼塘里青鱼的数量为800 条．【考点】用样本估计整体．【解析】依照放入鲤鱼后鲤鱼出现的频率可以估计出放入鲤鱼后鱼塘中鱼的总数量，进而可以获取原来鱼塘中青鱼的数量．【解答】解：由题意可得，鱼塘里的青鱼的数量为：200÷﹣ 200=1000 ﹣ 200=800（条），故答案为： 800．【谈论】此题观察用样本估计整体，解题的要点是明确题意，由鲤鱼的数量和出现的频率可以计算出青鱼的数量．11．计算（ a≥0）的结果是2a．【考点】二次根式的加减法．【解析】先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类项即可．【解答】解：原式 =3a﹣a=2a．故答案为： 2a．【谈论】此题观察的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的要点．12．点 A （ x1， y1）， B （x2， y2）是反比率函数 y= ﹣图象上的两点，若x1＞x2＞ 0，则 y1＞y2（填“＞”“＜”“=”）．【考点】反比率函数图象上点的坐标特点．【解析】先依照反比率函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再依照x1＞ x2＞ 0 即可得出结论．【解答】解：∵反比率函数y= ﹣中，k= ﹣2＜ 0，∴函数图象的两个分支分别位于二四象限，且在每一象限内，y 随x 的增大而增大，∵ x1＞ x2＞ 0，∴ y1＞ y2．故答案为：＞．【谈论】此题观察的是反比率函数图象上点的坐标特点，系是解答此题的要点．熟知反比率函数的图象与系数的关13．如图，将一张矩形纸片沿EF 折叠后，点 D 、 C 分别落在点D′， C′的地址，若∠1=40°，则∠ D′EF= 70° ．【考点】平行线的性质．【解析】由折叠的性质得∠DEF= ∠ D ′EF，尔后依照平角的定义即可获取结论．【解答】解：由折叠的性质得∠DEF= ∠ D′EF，∵∠ 1=40°，∴∠ D′EF=（ 180°﹣ 40°） =70°，故答案为： 70°．【谈论】此题观察了折叠的性质，平角的定义，熟记折叠的性质是解题的要点．14．若△ ABC 的三边长分别为6、 8、 10，则△ ABC 的内切圆半径为2．【考点】三角形的内切圆与内心．【解析】先依照勾股定理的逆定理求出△ABC 是直角三角形，尔后利用直角边为a、 b，斜边为 c 的三角形的内切圆半径为进行计算即可．【解答】解：∵△ ABC 的三边长分别为6、 8、 10，∴62+82=102，∴△ ABC 是直角三角形，∴△ ABC 的内切半径r==2 ．故答案是： 2．【点】本考了三角形的内切与内心：与三角形各都相切的叫三角形的内切，三角形的内切的心叫做三角形的内心，个三角形叫做的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角均分的交点．住直角a、 b，斜 c 的三角形的内切半径．15．已知 y 是x 的二次函数，函数y 与自量x的部分以下表：x⋯21012⋯y⋯0464k⋯察表中数据，k 的0．【考点】二次函数的性．【解析】依照目供应的足二次函数解析式的x、y 的，确定二次函数的称，利用称找到一个点的称点的坐即可．【解答】解：由上表可知函数象点（1， 4）和点（ 1， 4），∴ 称x==0 ，即 y∴当 x=2 的函数等于当x= 2 的函数，∵当 x= 2 ， y=0 ，∴当 x=2 ， k=0 ．故答案： 0．【点】本考了二次函数的象的性，利用表格找到二次函数的称点是解决此的关，别的本可以先求出函数的解析式，尔后代入求．16．如，在平面直角坐系中，点 A ，B的坐分（0，1）和，若在第四象限存在点C，使△ OBC和△ OAB相似，点 C 的坐是（， 1），或（，3）或（，）或（，）．【考点】相似三角形的判断；坐与形性．【解析】先依照意得出 OA ，OB 的，再分△ BOC∽△ OBA ，△ BCO∽△ OAB ，△ CBO ∽△ OBA ，△ CBO ∽△ OAB 四种情况行分，由直角三角形的性即可得出果．【解答】解：∵ A （ 0， 1）、 B （， 0），∴OA=1 ， OB= ，∴AB==2 ，∠ABO=30 °．当∠ OBC=90 °时，如图 1，①若△ BOC ∽△ OBA ，则∠ C=∠ ABO=30 °， BC=OA=1 ， OB= ，∴ C（，﹣ 1）；②若△ BCO ∽△ OAB ，则∠ BOC= ∠ BAO=30 °， BC=OB=3 ， OB= ，∴ C（，﹣ 3）当∠ OCB=90 °时，如图2，过点 C 作 CP⊥OB 于点 P，①当△ CBO ∽△ OBA 时，∠OBC= ∠ ABO=30 °，∴ OC=OB= ，同理：OP=OC= ，∴PC=OP= ，∴ C（，﹣）；②当△ CBO ∽△ OAB 时，∠BIC= ∠ABO=30 °，∴ BC=OB= ，同理： BP=BC= ，∴PC=BP= ， OP=OB﹣ BP=，∴ C（，﹣）；综上所述：点 C 的坐标为（，﹣ 1），或（，﹣ 3）或（，﹣）或（，﹣）；故答案为：（，﹣ 1），或（， 3）或（，﹣）或（，﹣）．坐标与图形性质、勾股定理、直角三角形的【谈论】此题观察的是相似三角形的判判定理、性质；在解答此题时要进行分类谈论，不要漏解．三、解答题（本大题共11 题，共 88 分，请在答题卡指定地域作答，解答题时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．计算：（ x ﹣ 3）（ 3+x ）﹣（ x 2+x ﹣ 1）【考点】 平方差公式．【解析】 先用平方差公式和去括号法规张开，再合并同类项即可．【解答】 解：原式 =x 2﹣9﹣ x 2﹣ x+1=﹣ x ﹣ 8．【谈论】 此题主要观察整式的混杂运算和平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的要点．18．（ 1）解不等式 3（2x+5）＞ 2（ 4x +3）并将其解集在数轴上表示出来．（ 2）写出一个一元一次不等式，使它和（1）中的不等式组的解集为 x ≤ 2，这个不等式可以是 x ﹣ 1≤1（答案不唯一）．【考点】 解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．【解析】 （ 1）先去括号，再移项，合并同类项，把x 的系数化为 1 即可；（ 2）依照（ 1）中不等式的解集可直接得出结论．【解答】 解：（ 1）去括号得， 6x+15＞ 8x+6，移项得， 6x ﹣8x ＞ 6﹣ 15，合并同类项得，﹣ 2x ＞﹣ 9，把 x的系数化为 1 得， x ＜；（ 2） x ﹣ 1≤ 1．故答案为： x ﹣ 1≤ 1（答案不唯一）．【谈论】 此题观察的是解一元一次不等式， 熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的要点．19．（ 1）解方程：（ 2）方程的解为x 1=x 2= ．【考点】 解分式方程；解一元二次方程-配方法．【解析】 （ 1）分式方程去分母转变成整式方程，求出整式方程的解获取x 的值，经检验即可获取分式方程的解；（2）方程去分母整理后，利用配方法求出解即可．【解答】解：（ 1）去分母得： 4x+2=4，解得： x= ，经检验 x= 是增根，分式方程无解；（2）去分母得： 4x﹣ 2=4x 2﹣ 1，即 4x2﹣ 4x+1=0 ，分解因式得：（2x ﹣ 1）2=0，解得： x1=x 2=，故答案为： x1=x 2=【谈论】此题观察认识分式方程，以及解一元二次方程﹣配方法，解分式方程利用了转变的思想，求出解后别忘了验根．20．为了认识学生关注热点新闻的情况，“两会”期间，小明对班级同学一周内收看“两会”新闻的次数情况作了检查，检查结果统计以下列图（其中男生收看3 次的人数没有标出）．根据上述信息，解答以下各题：（ 1）该班级女生人数是20；女生收看“两会”新闻次数的众数是3；中位数是3．（2）求女生收看次数的平均数．（3）为进一步解析该班级男、女生收看“两会”新闻次数的特点，小明计算出女生收看“两会”新闻次数的方差为，男生收看“两会”新闻次数的方差为2，请比较该班级男、女生收看“两会”新闻次数的颠簸大小．（ 4）对于某个集体，我们把一周内收看某热点新闻次数不低于 3 次的人数占其所在集体总人数的百分比叫做该集体对某热点新闻的“关注指数”，若是该班级男生对“两会”新闻的“关注指数”比女生低 5%，试求该班级男生人数．【考点】条形统计图；解分式方程；加权平均数；中位数；众数；方差．【解析】（ 1）将各观看次数的人数相加获取女生总数，观看次数最多的为众数，从小到大排列后，最中间或中间两数的平均为中位数；（2）依照加权平均数的算法，列式计算即可；（3）由方差可判断，方差小说明颠簸小；（ 4）依照题意，求出女生的关注指数，进而获取男生的关注指数，设男生人数为x，列出方程，解之可得．【解答】解：（ 1）该班级女生人数为：2+5+6+5+2=20（人），其中收看 3 次的人数最多，达 6 次，故众数为3；该班级女生收看次数的中位数是从小到大排列的第10、 11 个数的平均数，均为3，故中位数是 3；（2）女生收看次数的平均数是：×（1×2+2× 5+3× 6+4× 5+5× 2）==30 ；（3）∵ 2＞，∴所以男生比女生的颠簸幅度大；（ 4）由题意：该班女生对“两会”新闻的“关注指数”为× 100%=65%，所以，男生对“两会”新闻的“关注指数”为 60%设该班的男生有x 人则，解得： x=25 ，答：该班级男生有25 人．【谈论】此题主考观察从统计表中获取适用数据的能力，并用获取的数据进行计算、解决问题的能力，获取适用数据时解题要点．21．如图，在平行四边形ABCD 中， E、F 为 AD 上两点， AE=EF=FD ，连接 BE 、 CF 并延长，交于点G， GB=GC ．（1）求证：四边形 ABCD 是矩形；（2）若△ GEF 的面积为 2．①求四边形BCFE 的面积；②四边形 ABCD 的面积为24．【考点】相似三角形的判断与性质；全等三角形的判断与性质；矩形的判断．【解析】（1）依照平行四边形的性质获取 AD ∥ BC ，AB=DC ，AB ∥CD 于是获取 BE=CF ，依照全等三角形的性质获取∠ A= ∠ D，依照平行线的性质获取∠ A +∠ D=180 °，由矩形的判判定理即可获取结论；（ 2）①依照相似三角形的性质获取=（）2=，求得△ GBC 的面积为18，于是获取四边形BCFE 的面积为16；②依照四边形BCFE 的面积为16，列方程获取BC ?AB=24 ，即可获取结论．【解答】（ 1）证明：∵ GB=GC ，∴∠ GBC= ∠GCB ，在平行四边形ABCD 中，∵AD ∥ BC ， AB=DC ，AB ∥ CD，∴ GB ﹣GE=GC ﹣ GF，∴ BE=CF ，在△ ABE 与△ DCF 中，，∴△ ABE ≌△ DCF ，∴∠ A= ∠D，∵AB ∥CD ，∴∠ A +∠D=180 °，∴∠ A=∠D=90 °，∴四边形ABCD 是矩形；（2）① ∵EF∥BC，∴△ GFE∽△ GBC，∵ EF=AD ，∴EF=BC ，∴=（）2 =，∵△ GEF 的面积为2，∴△ GBC 的面积为18，∴四边形BCFE 的面积为16，；② ∵四边形BCFE 的面积为16，∴（EF+BC）?AB= × BC ?AB=16，∴ BC ?AB=24，∴四边形ABCD的面积为24，故答案为：24．【谈论】此题观察了相似三角形的判断和性质，矩形的判断和性质，图形面积的计算，全等三角形的判断和性质，证得△GFE∽△ GBC是解题的要点．22．一只不透明的袋子中装有 6 个小球，分别标有1， 2， 3，4， 5， 6 这 6 个号码，这些球除号码外都相同．（ 1）直接写出事件“从袋中任意摸出一个球，号码为 3 的整数倍”的概率 P1；（ 2）用画树状图或列表格等方法，求事件“从袋中同时摸出两个球，号码之和为6”的概率P2．【考点】概率公式．【解析】列举出吻合题意的各种情况的个数，再依照概率公式解答即可．【解答】解：（ 1）∵ 3 和 6 都是 3 的整数倍，∴ P1==；（ 3 分）（ 2）列表得：678910115678911 4567910345789235678134567123456从袋中同时摸出两个球的可能性有（1， 2）、（ 1，3）、（ 1， 4）、（ 1， 5）、（ 1， 6）、（2， 3）、（ 2， 4）、（ 2， 5）、（ 2， 6）、（ 3，4）、（ 3， 5）、（ 3， 6）、（ 4， 5）、（4， 6）、（ 5， 6），共十五种，号码之和为 6 的有（ 1，5）、（ 2， 4），所以 P2=．（ 8 分）【谈论】若是一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率P（ A ）=．23．为了测量校园内旗杆AB 的高度，小明和小丽同学分别采用了以下方案：（ 1）小明的方案：如图1，小明在地面上点 C 处察看旗杆顶部，测得仰角，∠ACB=45 °然后他向旗杆反方向前进20 米，此时在点 D 处察看旗杆顶部，测得仰角∠ ADB=26.6 °．依照小明的方案求旗杆 AB的高度．（ 2）小丽的方案：如图2，小丽在地面上点 C 处察看旗杆顶部，测得仰角∠ACB=45 °，然后从点 C 爬到 10 米高的楼上的点 E 处（ CE⊥ BC ），察看旗杆顶部，测得仰角∠ AEF= α．根据小丽的方案所求旗杆AB 的高度为米．（用含α的式子表示）（参照数据： sin26.6 °≈，°≈）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【解析】（ 1）在 Rt△ ABC 中，∠ ACB=45 °，获取 AB=BC ，在 Rt△ ABD 中，∠ ADB=26.6 °，获取°=，即可获取结论；（ 2）延长 EF 交 AB 于 D，依照矩形的性质获取BD=CE=10 ，DE=BC ，尔后依照三角函数的定义列方程即可获取结论．【解答】解：（ 1）在 Rt △ ABC 中，∠ ACB=45 °，∴AB=BC ，在 Rt△ ABD 中，∠ ADB=26.6 °，∴°=，∴ AB= ≈ 20m，答：旗杆 AB 的高度为 20m；（2）延长 EF 交 AB 于 D，∴ BD=CE=10 ， DE=BC ，∵∠ ACB=45 °，∴AB=BC ，∴DE=AB ，∵∠ AEF= α，∴tanα==，∴AB= ，答：旗杆AB 的高度为米．此题要修业生借助俯角构造直角【谈论】此题观察认识直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．24．大客车和小轿车同时从甲地出发，沿笔直的公路以各自的速度匀速驶往异地，轿车到达乙地后，马上以相同的速度沿原路返回甲地，已知甲、乙两地相距 180 千米，大客车的速度为 60 千米 /小时，轿车的速度为90 千米 /小时．设大客车和轿车出发x 小时后，两车离乙地的距离分别为y1和y2千米．（1）分别求出 y1和 y2与 x 之间的函数关系式．（2）在同一平面直角坐标系中画出y1和 y2的函数图象，并标上必要的数据．【考点】一次函数的应用．【解析】（ 1）依照大客车离乙地的行程=180﹣速度×时间，小轿车离乙地的行程分① 0≤ x ≤2，② 2≤ x≤4 分别计算即可．（ 2）利用描点法画出图象即可．【解答】解：（ 1） y1=180﹣ 60x，当 0≤ x≤ 2 时，y2=180 ﹣ 90x ，当 2≤ x≤ 4 时，y2=90x ﹣ 180．（ 2） y1和 y2的函数图象，以下列图．【谈论】此题观察一次函数的应用，行程、速度、时间之间的关系，等知识，解题的要点是理解题意，利用行程=速度×时间解决问题，属于中考常考题型．25．某公司批发一种衣饰， 进价 120 元/ 件，批发价 200 元 /件，公司对大量购买有优惠政策，凡是一次性购买 20 件以上的，每多买一件，批发价降低1 元．设顾客购买 x （件）时公司的利润为 y （元）．（ 1）当一次性购买 x 件（ x ＞ 20）时，① 批发价为220﹣ x元 / 件；② 求 y （元）与 x （件）之间的函数表达式．（ 2）设批发价为 a 元 /件，求 a 在什么范围内才能保证公司每次卖的越多，利润也越多．【考点】 二次函数的应用．【解析】 （ 1） ① 依照题意列出代数式即可；② 依照题意即可的结论；3 y= ﹣ x 2 100x= ﹣（ x ﹣50 2 2500x=50时， y有（ ）依照 + ） + ，于是获取抛物线的张口向下， 最大值，在对称轴x=50 的左侧， y 随 x 的增大而增大，于是获取结论．【解答】 解：（ 1 ） ①200 ﹣（ x ﹣ 20 ） ] = （ 220 x / 依照题意得：批发价为 [ ﹣ ）元 件；故答案为： 220﹣ x ；② y=（ 220﹣ x ﹣120） x=﹣ x 2+100x ，（ 3）∵ y= ﹣x 2+100x= ﹣（ x ﹣ 50） 2+2500，∵抛物线的张口向下，∴ x=50 时， y 有最大值，在对称轴 x=50 的左侧， y 随 x 的增大而增大，∴ 200﹣（ 50﹣ 20） ] =170，∴ 170≤ a ≤ 200 时，每次卖的越多，利润也越多．【谈论】 此题观察了二次函数的应用， 销售问题的数量关系的运用， 解答时求出二次函数的解析式是要点．26．（ 11 分）（ 2020?南京一模）如图，已知⊙O 的半径是 4cm ，弦 AB=4cm ， AC 是⊙ O的切线，切 AC=4cm ，连接 BC ．（ 1）证明： BC 时⊙ O 的切线；（ 2）把△ ABC 沿射线 CO 方向平移 d （ 3）cm （ d （ 4）＞ 0），使△ ABC 的边所在的直线与 ⊙ O 相切，求 d （5）的值．【考点】切线的判断与性质；平移的性质．【解析】（ 1）连接OA 、OB ．作OD⊥AB于点 D ，由切线的性质得出∠OAC=90 °，由垂径定理得出AD=AB=2 ，在 Rt△ OAD 中，求出∠ AOD=45 °，同理∠ BOD=45 °，证出 AC ∥ OB ，得出四边形OABC 为平行四边形，证出四边形OABC 是矩形，得出OB ⊥ BC ，即可得出结论；（ 2）延长 DO 交⊙ O 于 E，把△ ABC 沿射线 CO 方向平移，使AB 边与⊙ O 相切，则平移的距离为DE 的长，由等腰直角三角形的性质得出【解答】（ 1）证明：连接OA 、 OB．作 OD⊥ AB ∵ AC 是⊙ O 的切线，OD=AD=2 ，求出 DE 的长即可．于点 D ，如图 1 所示：∴OA ⊥ AC ，即∠ OAC=90 °，∵ OD⊥ AB ， AD=AB= × 4=2 ，在 Rt△ OAD 中， ==，∴∠ AOD=45 °，同理∠ BOD=45 °，∴∠ BOA=90 °，∴∠ OAC +∠ BOA=180 °，∴AC ∥OB，∵ AC=OB=4 ，∴四边形 OABC 为平行四边形，∵∠ OAC=90 °，∴四边形 OABC 是矩形，∴∠ OBC=90 °，即 OB⊥BC，∴ BC 是⊙ O 的切线；（ 2）解：延长 DO 交⊙ O 于 E，如图 2 所示：∵ OD⊥ AB ，把△ ABC 沿射线 CO 方向平移，使 AB 边与⊙ O 相切，则平移的距离为 DE 的长，∵在Rt△OAD 中，∠AOD=45 °，∴ OD=AD=2 ，∵OE=4，∴DE=OD +OE=2 +4，∴d（ 5）的值为（ 4+）cm．【谈论】此题观察了切线的判断与性质、平移的性质、垂径定理、平行四边形的判断与性质、矩形的判断、等腰直角三角形的性质等知识；此题综合性强，有必然难度，证明四边形是矩形是解决问题（1）的要点．27．（ 10 分）（2020?南京一模）如图，正方形ABCD、BGFE边长分别为2、 1，正方形BGFE绕点B 旋转，直线AE 、GC订交于点H．（1）在正方形 BGFE 绕点 B 旋转过程中，∠ AHC 的大小可否向来为 90°，请说明原由；（2）连接 DH、 BH ，在正方形 BGFE 绕点 B 旋转过程中，①求 DH 的最大值；②直接写出DH 的最小值．【考点】四边形综合题．【解析】（ 1）先判断出△ABE ≌△ CBG，获取∠ BAE= ∠ BCG，再进行简单的代换即可；（ 2）①先判断出点 A ，B， H， C， D 在以 AC 为直径的同一个圆上，获取DH 最大就是大正方形的对角线，即可；②先由 AE 恒垂直 CG 于 H，判断出当AE 垂直于 BE 时， DH 最短．以下列图，获取点 A ，E， F（ H）共线，再利用勾股定理和直角三角形的一条直角边等于斜边的一边，得出∠BAE=30 °，再利用三角函数和勾股定理计算即可．【解答】解：（ 1）是，原由以下：由旋转知，∠ ABE=CBG ，。

江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试题(含解析)

江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试题(含解析)

江苏省南京市鼓楼区2015年中考数学一模试题一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1．4的算术平方根是（）A．2 B．﹣2 C．﹣D． 22．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．计算（﹣）÷×cos60°﹣2015°的结果是（）A．B．﹣C．D．﹣4．已知，△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为1：2，当BC=1，对应边EF的长是（）A．B．2 C．3 D．45．在二次函数y=ax2+bx+c，x与y的部分对应值如下表：x …﹣2 0 2 3 …y …8 0 0 3 …则下列说法：①图象经过原点；②图象开口向下；③图象经过点（﹣1，3）；④当x＞0时，y随x的增大而增大；⑤方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．其中正确的是（）A．①②③B．①③⑤C．①③④D．①④⑤6．如图，以平行四边形ABCD的边CD为斜边向内作等腰直角△CDE，使AD=DE=CE，∠DEC=90°，且点E在平行四边形内部，连接AE、BE，则∠AEB的度数是（）A．120°B．135°C．150°D．45°二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，总共20分）7．﹣3的倒数是，﹣3的绝对值是．8．红细胞是人体中血液运输氧气的主要媒介，人体中红细胞的直径约为0.0000077m，将0.0000077用科学记数法表示为．9．若式子有意义，则x的取值范围是．10．某同学6次引体向上的测试成绩（单位：个）分别为16、18、20、17、16、18，这组数据的中位数是．11．计算﹣的结果是．12．已知Rt△ABC，∠C=90°，AB=13，AC=12，以AC所在直线为轴，将此三角形旋转1周，所得圆锥的侧面积是．13．如图，反比例函数y=的图象经过△ABO的顶点A，点D是OA的中点，若反比例函数y=的图象经过点D，则k的值为．14．如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，点P在AB上运动，则OP的最小值是．15．在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，4）、（﹣5，2），点M在x轴上，点N 在y轴上．如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，那么符合条件的点M有个．16．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=6，点P是边BC上的动点，现将纸片折叠，使点A 与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E、F，要使折痕始终与边AB、AD有交点，则BP 的取值范围是．三、解答题（本大题共11小题，共88分）17．解方程：．18．先化简：÷﹣，再选取一个恰当的x的值代入求值．19．如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．（1）求证：四边形BCEF是平行四边形，（2）若∠ABC=90°，AB=4，BC=3，当AF为何值时，四边形BCEF是菱形．20．在不透明的袋子中有四张标着数字1，2，3，4 的卡片，这些卡片除数字外都相同．甲同学按照一定的规则抽出两张卡片，并把卡片上的数字相加．如图是他所画的树状图的一部分．（1）由如图分析，甲同学的游戏规则是：从袋子中随机抽出一张卡片后（填“放回”或“不放回”），再随机抽出一张卡片；（2）帮甲同学完成树状图；（3）求甲同学两次抽到的数字之和为偶数的概率．21．“低碳环保，你我同行”，两年来，南京市区的公共自行车给市民出行带来切实方便，电视台记者在某区街头随机选取了市民进行调查，调查的问题是“您大概多九使用一次公共自行车？”，将本次调查结果归为四种情况：A．每天都用；B．经常使用；C．偶尔使用；D．从未使用．将这次调查情况整理并绘制如下两幅统计图：根据图中的信息，解答下列问题：（1）本次活动共有位市民参与调查；（2）补全条形统计图；（3）根据统计结果，若该区有46万市民，请估算每天都用公共自行车的市民约有多少人？22．学校举行数学知识竞赛，设立了一、二、三等奖，计划共购买45件奖品，其中二等奖奖品件数比一等奖奖品件数的2倍还少5件，已知购买一等奖奖品x件．各种奖品的单价如下表：奖品一等奖奖品二等奖奖品三等奖奖品单价（元）12 10 8（1）学校购买二等奖奖品件，三等奖奖品件；（用含x的代数式表示）（2）若购买三等奖奖品的费用不超过二等奖奖品的费用的2倍，学校为节省开支，应如何购买这三种奖品？总费用最少是多少元？23．如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距40m，在建筑物的顶部测得铁塔底部的俯角为37°，测得铁塔顶部的仰角为26.6°，求铁塔的高度．（参考数据：sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）24．如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙0经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED=45°，（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）若⊙O的半径为3，AE=5，求∠ADE的正弦值．25．甲乙两地相距400千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，线段OA表示货车离甲地的路程y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数关系，折线BCD表示轿车离甲地的路程y（千米）与x（小时）之间的函数关系，根据图象解答下列问题：（1）求线段CD对应的函数表达式；（2）求E点的坐标，并解释E点的实际意义；（3）若已知轿车比货车晚出发20分钟，且到达乙地后在原地等待货车，则当x= 小时，货车和轿车相距30千米．26．在初中数学中，我们学习了“两点间的距离”、“点到直线的距离”、“平行线之间的距离”，距离的本质是“最短”，图形之间的距离总可以转化为两点之间的距离，如“垂线段最短”的性质，把点到直线的距离转化为点到点（垂足）的距离．一般的，一个图形上的任意点A与另一个图形上的任意点B之间的距离的最小值叫做两个图形的距离．（1）如图1，过A，B分别作垂线段AC、AD、BE、BF，则线段AB和直线l的距离为垂线段的长度．（2）如图2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB，AD=2，那么线段AD与线段BC 的距离为．（3）如图3，若长为1cm的线段CD与已知线段AB的距离为1.5cm，请用适当的方法表示满足条件的所有线段CD．注：若满足条件的线段是有限的，请画出；若满足条件的线段是无限的，请用阴影表示其所在区域．（保留画图痕迹）27．【问题提出】如图1，四边形ABCD中，AD=CD，∠ABC=120°，∠ADC=60°，AB=2，BC=1，求四边形ABCD的面积．【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．（1）如图2，连接 BD，由于AD=CD，所以可将△DCB绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB′，则△BDB′的形状是．（2）在（1）的基础上，求四边形ABCD的面积．[类比应用]如图3，四边形ABCD中，AD=CD，∠ABC=75°，∠ADC=60°，AB=2，BC=，求四边形ABCD的面积．2015年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1．4的算术平方根是（）A．2 B．﹣2 C．﹣D． 2考点：算术平方根．分析：根据算术平方根的定义，即可解答．解答：解：∵22=4，∴4的算术平方根是2，故选：A．点评：本题考查了算术平方根的定义，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义．2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．考点：中心对称图形；轴对称图形．分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解答：解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．故选：A．点评：本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3．计算（﹣）÷×cos60°﹣2015°的结果是（）A．B．﹣C．D．﹣考点：实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂法则，以及乘除运算法则计算即可得到结果．解答：解：原式=﹣××﹣1=﹣，故选B．点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．已知，△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为1：2，当BC=1，对应边EF的长是（）A．B．2 C．3 D．4考点：相似三角形的性质．分析：根据相似三角形面积的比等于相似比的平方列出比例式，代入数值计算即可得解．解答：解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为1：2，∴（BC：EF）2=1：2，解得BC：EF=1：，∵BC=1，∴EF=．故选A．点评：本题考查了相似三角形的性质，主要利用了相似三角形面积的比等于相似比的平方，比较简单，熟记性质是解题的关键．2x …﹣2 0 2 3 …y …8 0 0 3 …则下列说法：①图象经过原点；②图象开口向下；③图象经过点（﹣1，3）；④当x＞0时，y随x的增大而增大；⑤方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．其中正确的是（）A．①②③B．①③⑤C．①③④D．①④⑤考点：二次函数的性质；抛物线与x轴的交点．分析：结合图表可以得出当x=0或2时，y=0，x=3时，y=3，根据此三点可求出二次函数解析式，从而得出抛物线的性质．解答：解：∵由图表可以得出当x=0或2时，y=0，x=3时，y=3，∴解得：∴y=x2﹣2x，∵c=0，∴图象经过原点，故①正确；∵a=1＞0，∴抛物线开口向上，故②错误；把x=﹣1代入得，y=3，∴图象经过点（﹣1，3），故③正确；∵抛物线的对称轴是x=1，∴x＞1时，y随x的增大而增大，x＜1时，y随x的增大而减小，故④错误；∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点（0，0）、（2，0）∴ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，故⑤正确；故选：B．点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，以及由解析式求函数与坐标轴的交点以及一元二次方程根的判别式的应用．6．如图，以平行四边形ABCD的边CD为斜边向内作等腰直角△CDE，使AD=DE=CE，∠DEC=90°，且点E在平行四边形内部，连接AE、BE，则∠AEB的度数是（）A．120°B．135°C．150°D．45°考点：平行四边形的性质；等腰三角形的性质；等腰直角三角形．分析：先证明AD=DE=CE=BC，得出∠DAE=∠AED，∠CBE=∠CEB，∠EDC=∠ECD=45°，设∠DAE=∠AED=x，∠CBE=∠CEB=y，求出∠ADC=225°﹣2y，∠BAD=2x﹣45°，由平行四边形的对角相等得出方程，求出x+y=135°，即可得出结果．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠BAD=∠BCD，∠BAD+∠ADC=180°，∵AD=DE=CE，∴AD=DE=CE=BC，∴∠DAE=∠AED，∠CBE=∠CEB，∵∠DEC=90°，∴∠EDC=∠ECD=45°，设∠DAE=∠AED=x，∠CBE=∠CEB=y，∴∠ADE=180°﹣2x，∠BCE=180°﹣2y，∴∠ADC=180°﹣2x+45°=225°﹣2x，∠BCD=225°﹣2y，∴∠BAD=180°﹣（225°﹣2x）=2x﹣45°，∴2x﹣45°=225°﹣2y，∴x+y=135°，∴∠AEB=360°﹣135°﹣90°=135°；故选：B．点评：本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，根据题意列出方程是解决问题的关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，总共20分）7．﹣3的倒数是﹣，﹣3的绝对值是 3 ．考点：倒数；绝对值．分析：根据乘积为1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数；根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案．解答：解：﹣3的倒数是﹣，﹣3的绝对值是 3，故答案为：，3．点评：本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．8．红细胞是人体中血液运输氧气的主要媒介，人体中红细胞的直径约为0.0000077m，将0.0000077用科学记数法表示为7.7×10﹣6．考点：科学记数法—表示较小的数．分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解答：解：0.0000077用科学记数法表示为7.7×10﹣6故答案为：7.7×10﹣6．点评：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．9．若式子有意义，则x的取值范围是x≥﹣2 ．考点：二次根式有意义的条件．分析：根据二次根式的性质和，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．解答：解：根据题意得：x+2≥0，解得：x≥﹣2．故答案是：x≥﹣2．点评：本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．10．（2分）（2015•南京一模）某同学6次引体向上的测试成绩（单位：个）分别为16、18、20、17、16、18，这组数据的中位数是17.5 ．考点：中位数．分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．解答：解：题目中数据共有6个，故中位数是按从小到大排列后第3，第4两个数的平均数作为中位数，16，16，17，18，18，20，故这组数据的中位数是（17+18）=17.5．故答案为：17.5．点评：本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．11．计算﹣的结果是﹣．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．解答：解：原式=﹣2=﹣．故答案为﹣．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．12．已知Rt△ABC，∠C=90°，AB=13，AC=12，以AC所在直线为轴，将此三角形旋转1周，所得圆锥的侧面积是65π．考点：圆锥的计算；点、线、面、体．分析：首先确定圆锥的母线长和圆锥的底面半径，利用侧面积计算公式直接求得圆锥的侧面积即可．解答：解：∵∠C=90°，AB=13，AC=12，∴BC=5，以AC所在直线为轴旋转一周，所得圆锥的底面周长=10π，侧面积=×10π×13=65π，故答案为：65π．点评：考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．13．如图，反比例函数y=的图象经过△ABO的顶点A，点D是OA的中点，若反比例函数y=的图象经过点D，则k的值为．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．分析：根据题意设点A坐标（x，），由D为斜边OA的中点，可得出D（x，），从而得出过点D的反比例函数的解析式．解答：解：设点A坐标（x，），∵反比例函数y=的图象经过Rt△OAB的顶点A，D为斜边OA的中点，∴D（x，），∴过点D的反比例函数的解析式为y=．∴k的值为．故答案为：．点评：本题考查了反比例函数系数k的几何意义，根据题意得出D点坐标是解答此题的关键．14．如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，点P在AB上运动，则OP的最小值是 3 ．考点：垂径定理；勾股定理．分析：根据“点到直线的最短距离是垂线段的长度”知当OP⊥AB时，OP的值最小．连接OA，在直角三角形OAP中由勾股定理即可求得OP的长度．解答：解：当OP⊥AB时，OP的值最小，则AP′=BP′=AB=4，如图所示，连接OA，在Rt△OAP′中，AP′=4，OA=5，则根据勾股定理知OP′=3，即OP的最小值为3．点评：本题主要考查了勾股定理、垂径定理．注意两点之间，垂线段最短是解答此题的关键．15．在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，4）、（﹣5，2），点M在x轴上，点N 在y轴上．如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，那么符合条件的点M有 3 个．考点：平行四边形的判定；坐标与图形性质．分析：利用一组对边相等且平行的四边形是平行四边形进而得出答案．解答：解：如图所示：当AB平行且等于NM时，四边形ABMN是平行四边形，当AB平行且等于N′M′时，四边形ABN′M′是平行四边形．当AB为对角线时，四边形ABN′M′是平行四边形．故符合题意的有3个点．故答案为：3．点评：此题考查了平行四边形的判定，结合AB的长分别确定M，N的位置是解决问题的关键．16．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=6，点P是边BC上的动点，现将纸片折叠，使点A 与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E、F，要使折痕始终与边AB、AD有交点，则BP 的取值范围是6﹣2≤x≤4 ．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：此题需要运用极端原理求解：①BP最小时，F、D重合，由折叠的性质知：AF=PF，在Rt△PFC中，利用勾股定理可求得PC的长，进而可求得BP的值，即BP的最小值；②BP 最大时，E、B重合，根据折叠的性质即可得到AB=BP=34，即BP的最大值为4；根据上述两种情况即可得到BP的取值范围．解答：解：如图：①当F、D重合时，BP的值最小；根据折叠的性质知：AF=PF=6；在Rt△PFC中，PF=6，FC=4，则PC=2；∴BP=x min=6﹣2；②当E、B重合时，BP的值最大；根据折叠的性质即可得到AB=BP=4，即BP的最大值为4；故答案为：6﹣2≤x≤4．点评：此题主要考查的是图形的翻折变换，正确的判断出x的两种极值下F、E点的位置，是解决此题的关键．三、解答题（本大题共11小题，共88分）17．解方程：．考点：解分式方程．专题：计算题．分析：本题的最简公分母是x（x﹣1）．方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．结果需检验．解答：解：两边同时乘以x（x﹣1），得x2﹣2（x﹣1）=x（x﹣1），去括号，得x2﹣2x+2=x2﹣x，移项，得x2﹣x2﹣2x+x=﹣2，合并，得﹣x=﹣2，系数化为1，得x=2．检验：把x=2代入x（x﹣1）中，得x（x﹣1）=2（2﹣1）=2≠0．∴x=2是原方程的解．点评：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要代入最简公分母验根．18．先化简：÷﹣，再选取一个恰当的x的值代入求值．考点：分式的化简求值．分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可．解答：解：原式=•﹣=﹣==，当x=2时，原式=．点评：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．19．如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．（1）求证：四边形BCEF是平行四边形，（2）若∠ABC=90°，AB=4，BC=3，当AF为何值时，四边形BCEF是菱形．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定．分析：（1）由AB=DE，∠A=∠D，AF=DC，易证得△ABC≌DEF，即可得BC=EF，且BC∥EF，即可判定四边形BCEF是平行四边形；（2）由四边形BCEF是平行四边形，可得当BE⊥CF时，四边形BCEF是菱形，所以连接BE，交CF与点G，证得△ABC∽△BGC，由相似三角形的对应边成比例，即可求得AF的值．解答：（1）证明：∵AF=DC，∴AF+FC=DC+FC，即AC=DF．在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴BC=EF，∠ACB=∠DFE，∴BC∥EF，∴四边形BCEF是平行四边形．（2）解：连接BE，交CF于点G，∵四边形BCEF是平行四边形，∴当BE⊥CF时，四边形BCEF是菱形，∵∠ABC=90°，AB=4，BC=3，∴AC==5，∵∠BGC=∠ABC=90°，∠ACB=∠BCG，∴△ABC∽△BGC，∴=，即=，∴CG=，∵FG=CG，∴FC=2CG=，∴AF=AC﹣FC=5﹣=，∴当AF=时，四边形BCEF是菱形．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．20．在不透明的袋子中有四张标着数字1，2，3，4 的卡片，这些卡片除数字外都相同．甲同学按照一定的规则抽出两张卡片，并把卡片上的数字相加．如图是他所画的树状图的一部分．（1）由如图分析，甲同学的游戏规则是：从袋子中随机抽出一张卡片后不放回（填“放回”或“不放回”），再随机抽出一张卡片；（2）帮甲同学完成树状图；（3）求甲同学两次抽到的数字之和为偶数的概率．考点：列表法与树状图法．分析：（1）根据小明画出的树形图知数字1在第一次中出现，但没有在第二次中出现可以判断；（2）根据本实验是一个不放回试验作出树状图即可；（3）根据树状图利用概率公式求解即可．解答：解：（1）观察树状图知：第一次摸出的数字没有在第二次中出现，∴甲同学的实验是一个不放回实验，故答案为：不放回；（2）补全树状图为：（3）由树状图得：共有12种情况，两次抽到的数字之和为偶数的有4种，故P（两次抽到的数字之和为偶数）==．点评：本题考查了列表法和树状图法，利用列表法或树状图法展示某一随机事件中所有等可能出现的结果数n，再找出其中某一事件所出现的可能数m，然后根据概率的定义可计算出这个事件的概率．21．“低碳环保，你我同行”，两年来，南京市区的公共自行车给市民出行带来切实方便，电视台记者在某区街头随机选取了市民进行调查，调查的问题是“您大概多九使用一次公共自行车？”，将本次调查结果归为四种情况：A．每天都用；B．经常使用；C．偶尔使用；D．从未使用．将这次调查情况整理并绘制如下两幅统计图：根据图中的信息，解答下列问题：（1）本次活动共有200 位市民参与调查；（2）补全条形统计图；（3）根据统计结果，若该区有46万市民，请估算每天都用公共自行车的市民约有多少人？考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．分析：（1）根据D类人数除以D所占的百分比，可得答案；（2）根据抽测人数乘以B类所占的百分比，C类所占的百分比，可得各类的人数，根据各类的人数，可得答案；（3）根据样本估计总体，可得答案．解答：解：（1）本次活动共参与的市民30÷15%=200人，故答案为：200；（2）B的人数有200×28%=56人，C的人数有200×52%=104人，A的人数有200﹣56﹣104﹣30=10人，补全条形统计图如图：；（3）46×（1﹣28%﹣52%﹣15%）=2.3（万人），答：每天都用公共自行车的市民约有2.3万人．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22．学校举行数学知识竞赛，设立了一、二、三等奖，计划共购买45件奖品，其中二等奖奖品件数比一等奖奖品件数的2倍还少5件，已知购买一等奖奖品x件．各种奖品的单价如下表：奖品一等奖奖品二等奖奖品三等奖奖品单价（元）12 10 8（1）学校购买二等奖奖品2x﹣5 件，三等奖奖品50﹣3x 件；（用含x的代数式表示）（2）若购买三等奖奖品的费用不超过二等奖奖品的费用的2倍，学校为节省开支，应如何购买这三种奖品？总费用最少是多少元？考点：一元一次不等式的应用．分析：（1）一等奖奖品买x件，则二等奖奖品件数比一等奖奖品件数的2倍还少5件为（2x ﹣5），进一步表示出三等奖；（2）根据题意列出不等式组即可求解，进一步根据数值选择费用最少的方案即可．解答：解：（1）学校购买二等奖奖品2x﹣5件，三等奖奖品45﹣x﹣（2x﹣5）=50﹣3x件；（2）由题意得解得：≤x＜，因为x为整数，所以一等奖的数量为x=8，9，10，11，12，13，14，15，16；则二等奖的数量对应为2x﹣5=11，13，15，17，19，21，23，25，27；三等奖的数量对应为50﹣3x=26，23，20，17，14，11，8，5，2；当一二等奖的数量最少，三等奖的数量最多时，总费用最少为12×8+10×11+8×26=414元．点评：此题考查一元一次不等式组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系与不等关系是解决问题的关键．23．如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距40m，在建筑物的顶部测得铁塔底部的俯角为37°，测得铁塔顶部的仰角为26.6°，求铁塔的高度．（参考数据：sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：作AE⊥CD，垂足为E．分别在Rt△AEC和Rt△AED中，求出CE和DE的长，然后相加即可．解答：解：作AE⊥CD，垂足为E．在Rt△AEC中，CE=AE•tan26.6°≈40×0.50=20m；在Rt△AED中，DE=AE•tan37°≈40×0.75=30m；∴CD=20+30=50m．答：贴塔的高度为50米．点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，转化为解直角三角形问题是解题的关键．24．如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙0经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED=45°，（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）若⊙O的半径为3，AE=5，求∠ADE的正弦值．考点：切线的判定；平行四边形的性质．专题：证明题．分析：（1）连结OD，如图，根据圆周角定理得到∠AOD=2∠AED=90°，则OD⊥AB，再利用平行四边形的性质得CD∥AB，所以OD⊥CD，于是根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；（2）连结BE，通过圆周角定理将∠ADE的正弦值转化为∠ABE的正弦值．解答：（1）证明：连结OD，如图，∵∠AOD=2∠AED=2×45°=90°，∴OD⊥AB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）解：连结BE，∵AB为直径，∴∠AEB=90°，根据圆周角定理：∠ADE=∠ABE，∴sin∠ADE=sin∠ABE==．即∠DAE的正弦值是．点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了平行四边形的性质．25．甲乙两地相距400千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，线段OA表示货车离甲地的路程y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数关系，折线BCD表示轿车离甲地的路程y（千米）与x（小时）之间的函数关系，根据图象解答下列问题：（1）求线段CD对应的函数表达式；（2）求E点的坐标，并解释E点的实际意义；（3）若已知轿车比货车晚出发20分钟，且到达乙地后在原地等待货车，则当x=小时，货车和轿车相距30千米．考点：一次函数的应用．分析：（1）设线段CD对应的函数解析式为y=kx+b，由待定系数法求出其解即可；（2）根据两图象相交的交点指的是两车相遇解答即可．（3）先由货车和轿车相距30千米列出方程解答即可．解答：解：（1）设线段CD对应的函数解析式为y=kx+b，可得：，解得：．所以线段CD对应的函数表达式为：y=120x﹣140（2≤x≤4.5）；（2）由图象可得：直线OA的解析式为：y=80x，根据两图象相交的交点指的是两车相遇，可得：80x=120x﹣140，解得：x=3.5，把x=3.5代入y=80x，得：y=280；所以E点的坐标为（3.5，280），即表示当货车出发3.5小时时货车和轿车相遇；（3）设货车出发xh后，可得：120x﹣140﹣30=80x，解得：x=4.25．故答案为：4.25．（3）由题意知，B（，0），∴BC段解析式为y=60x﹣20（≤x≤2），货车与轿车相距30km有四种情况：1）当≤x≤2时，80x﹣（60x﹣20）=30，解得x=；2）当2＜x≤时，80x﹣（120x﹣140）=30，解得x=；3）当＜x≤时，120x﹣140﹣80x=30，解得x=；。

江苏省南京市鼓楼区2021年中考一模数学试题及参考答案

江苏省南京市鼓楼区2021年中考一模数学试题及参考答案

B ． 2C ．32注意事项：九年级（下）期中试卷数学本试卷共 6 页．全卷满分 120 分．考试时间为 120 分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填在答．题．卡．相．应．位．置．上） 1．4 的算术平方根是A ．±2B ．2C ．±16D ．162．计算(－a 3)2 的结果是A ．－a 6B ．－a 5C ．a 6D ．a 53．如图是某几何体的三种视图，则这个几何体是A ．圆锥B ．圆柱C ．球D ．四棱锥主左 视视 图图俯视图（第 4 题）（第 6 题）4．若在数轴上画出表示下列各数的点，则与原点距离最近的点是A ．－1B ．－15．对于代数式 x 2－10x ＋24，下列说法中错误的是C D ．2A ．次数为 2、项数为 3B ．因式分解的结果是(x －4)(x －6)C ．该代数式的值可能等于 0D ．该代数式的值可能小于－16．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠A ＝30°，BC ＝ 2，把△ABC 绕点 O 按逆时针方向旋转 90°得到△BED ， 则对应点 C 、D 之间的距离为A ．1D ．2二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答．题．卡．相． 应．位．置．上） 7．－3 的相反数是，－3 的倒数是．8．截止于 2017 年 3 月 1 日，南京市鼓楼区团区委官方微博的粉丝数量为 25 000，将 25 000 用科学记数法表示为．9．计算 18a· 2a 的结果是． 10．不等式x －1＜x的解集是．2 311．某市在一次空气污染指数抽查中，收集到 10 天的数据如下：106，60，74，100，92，67，75，67，87，119．该组数据的中位数是．12．已知圆锥的底面半径为 4 cm ，圆锥的母线长为 5 cm ，则圆锥的侧面积为 cm 2．13．如图，∠1，∠2，∠3 是五边形 ABCDE 的 3 个外角，若∠A ＋∠B ＝220°，则∠1＋∠2＋∠3＝°．AB(第 13 题)(第 14 题)14．以菱形 ABCD 的对角线交点 O 为原点，对角线 AC 、BD 所在直线为坐标轴，建立如图所示直角坐标系，AD 的中点 E 的坐标为(－1，2)，则 BC 的中点 F 的坐标为．15．在直角坐标系中，把四边形 ABCD 以原点 O 为位似中心放缩，得到四边形 AˊBˊCˊDˊ．若点 A 和它的对应点 A ˊ的坐标分别为（2，3），（6，9），则 四边形A B CD 的面积＝ ．四边形AˊBˊCˊDˊ的面积 16．已知二次函数 y 1＝ax 2＋bx ＋c 图像与一次函数 y 2＝kx 的图像交于点 M 、N ，点 M 、N 的横坐标分别为 m 、n （m ＜n ）．下列结论：①若 a ＞0，则当 m ＜x ＜n 时，y 1＜y 2；②若 a ＜0，则当 x ＜m 或 x ＞n 时，y 1＞y 2； ③b －k ＝am ＋an ；④c ＝amn ． 其中所以正确结论的序号是．三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（7 分）计算：2－1×4＋(－2)4÷4＋cos60°．2 DE 31C18．（x －3y ＝－1， 3x ＋y ＝7．1x 2－3x19．（9 分）已知代数式x －1＋ x 2－1，回答下列问题． （1）化简这个代数式；（2）“当 x ＝1 时，该代数式的值为 0”，这个说法正确吗？请说明理由．20．（7 分）某中学九年级男生共 450 人，现随机抽取了部分九年级男生进行引体向上测试，相关数据的统计图如下．12 10 8 6 4 2 0x/个（1）设学生引体向上测试成绩为 x （单位：个）．学校规定：当 0≤x ＜2 时成绩等级为不及格，当 2≤x ＜4 时成绩等级为及格，当 5≤x ＜6 时成绩等级为良好，当 x≥6 时成绩等级为优秀．用适当的统计图表示“不及格”、“及格”、“良好”、“优秀”四个等级学生人数所占百分比； （2）估计全校九年级男生引体向上测试优秀的人数．119106445121．（8 分）如图，在△A B C 中，A B ＝A C ，D 是边 B C 上一点，DE ⊥A B ，DF ⊥A C ，垂足分别是 E 、F ，△A E F∽△ABC ．（1）求证：△AED ≌△AFD ；（2）若 BC ＝2AD ，求证：四边形 AEDF 是正方形．B D C（第 21 题）22．（8 分）甲、乙两人用两颗骰子玩游戏．这两颗骰子的一些面标记字母 A ，而其余的面则标记字母 B ．两个人轮流掷骰子，游戏规则如下：两颗骰子的顶面字母相同时，甲赢；两颗骰子的顶面字母不同时，乙赢．已知第一颗骰子各面的标记为 4A2B ，回答下列问题：（1）若第二颗骰子各面的标记为 2A4B ，求甲、乙两人获胜的概率各是多少？ （2）若要使两人获胜概率相等，则第二颗骰子要有个面标记字母 A ．AEF23．（8 分）按要求完成下列尺规作图（不写作图，保留作图痕迹）．（1）如图①，点 A 、B 、C 是平行四边形 ABCD 的三个顶点，求作平行四边形 ABCD ；（2）如图②，点 O 、P 、Q 分别是平行四边形 EFGH 三边 EH 、EF 、FG 的中点，求作平行四边形 EFGH ．AOBCPQ图①图②（第 23 题）24．（8 分）甲、乙两人骑车分别从 A 、B 两地同时出发，沿同一路线匀速骑行，两人先相向而行，甲到达 B地后停留 20 min 再以原速返回 A 地，当两人到达 A 地后停止骑行．设甲出发 x min 后距离 A 地的路程为 y km ．图中的折线表示甲在整个骑行过程中 y 与 x 的函数关系．（1） A 、B 两地之间的路程是km ；（2）求甲从 B 地返回 A 地时，y 与 x 的函数表达式；（3）在整个骑行过程中，两人只相遇了 1 次，乙的骑行速度可能是（）．A ．0.1B ．0.15C ．0.2D ．0.25（第 24 题）25．（8 分）某校九年级数学兴趣小组的活动课题是“测量物体高度”．小组成员小明与小红分别采用不同的方案测量同一个底面为圆形的古塔高度，以下是他们研究报告的部分记录内容：（1）写出小红研究报告中“计算古塔高度”的解答过程；（2）数学老师说小红的结果较准确，而小明的结果与古塔的实际高度偏差较大．针对小明的测量方案分析测量发生偏差的原因；（3）利用小明与小红的测量数据，估算该古塔底面圆直径的长度为m ．课题：测量古塔的高度小明的研究报告小红的研究报告图示35°E A17°F B45°CDH 测量方案与测量数据 用距离地面高度为1.6 m 的测角器测出古塔顶端的仰角为 35°，再用皮尺测得测角器所在位置与古塔底部边缘的最短距离为 30 m ．在点 A 用距离地面高度为 1.6 m 的测角器测出古塔顶端的仰角为 17°，然后沿 AD 方向走 58.8 m 到达点 B ，测出古塔顶端的仰角为 45°．参考数据sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.30， 2≈1.41计算古塔高度 （结果精确到 0.1 m ）30×tan35°＋1.6≈22.6（m ）26．（8 分）某水果店出售一种水果，每只定价20 元时，每周可卖出300 只．试销发现以下两种情况：情况1：如果每只水果每降价1 元，那么每周可多卖出25 只；情况2：如果每只水果每涨价1 元，那么每周将少卖出10 只．（1）根据情况1，如何定价，才能使一周销售收入最多？（2）如果物价局规定该种水果每只价格只能在22 元～24 元之间（包括22 元与24 元）那么根据以上两种情况，你认为应当如何定价才能使一周销售收入最多？并说明理由．27．（10 分）在正方形A B CD 中，有一直径为CD 的半圆，圆心为点O，CD＝2，现有两点E、F，分别从点A、点C 同时出发，点E 沿线段AD 以每秒1 个单位长度的速度向点D 运动，点F 沿线段CB 以每秒2个单位长度的速度向点B 运动，当点F 运动到点B 时，点E 也随之停止运动．设点E 离开点A 的时间为t(s)，回答下列问题：（1）如图①，根据下列条件，分别求出t 的值．①EF 与半圆相切；②△EOF 是等腰三角形．（2）如图②，点P 是EF 的中点，Q 是半圆上一点，请直接写出PQ＋OQ 的最小值与最大值．图①图②备用图（第27 题）3 9 2 2 18．（x ＋1九年级（下）期中考试 数学试题参考答案及评分标准说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分）题号 1 2 3 4 5 6 答案BCACDD二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 7．3，－18．2.5×104 9．6a 10．x ＜3 11．8112．20π13．220°14．(1，－2)15．116．①②④．三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分） 17．（7 分）解：2－1×6－(－2)4÷4＋cos60°＝1×6－16÷4＋1………………………………………………………………………3 分22＝3－4＋1…………………………………………………………………………………5 分 ＝－1．……………………………………………………………………………………7 分 x －3y ＝－1，① 3x ＋y ＝7． ②解：由①＋②×3，得 x ＝2，……………………………………………………………3 分把 x ＝2 代入①，得 y ＝1， ……………………………………………………………5 分x －3y ＝－1， x ＝2∴方程组 的解为 ．…………………………………………………7 分3x ＋y ＝7 y ＝11x 2－3x19．（9 分）解：（1）x －1＋ x 2－1＝x ＋1＋x 2－3x…………………………………………………………… 分(x ＋1)(x －1) (x ＋1)(x －1)2 (x －1)2 (x＋1)(x －1)……………………………………………………………………………4 分 ＝x －1． …………………………………………………………………………………6 分 （2）不正确． …………………………………………………………………………7 分＝因为当1 x 2－3x2x ＝1 时，代数式x －1＋ x 2－1 中的分母 x －1，x －1 都等于 0，该代数式在实数范围内无意义，所以这个说法不正确．………………………………………………………9 分20．（7 分）（1）解：如图所示： ……………………………………………………………5 分某中学抽样九年级男生引体向上等级人数分布扇形统计图不及格（2）450×30%＝135（人）答：估计全校九年级男生引体向上测试优秀的人数为 135 人．…………………………………………………………………………………………………2 分21．（8 分）（1）证明：∵△A E F ∽△A B C ，∴AE＝AF，∵AB ＝AC ，∴AE ＝AF ，………………………………………1 分AB AC∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是 E 、F ，∴∠AED ＝∠AFD ＝90°，……………………………………………………2 分在 Rt △AED 和 Rt △AFD 中，∠AED ＝∠AFD ＝90°， AE ＝AF ，AD ＝AD ，∴Rt △AED ≌Rt △AFD ．………………………………………………………4 分（2）证明：∵Rt △AED ≌Rt △AFD ，∴∠EAD ＝∠FAD ， ∵AB ＝AC ，∴AD ⊥BC ，BC ＝2BD ，………………………………………………………5 分 ∵BC ＝2AD ， ∴BD ＝AD ， ∵AD ⊥BC ， ∴∠ADB ＝90°，∴∠B ＝∠BAD ＝45°，…………………………………………………………6 分 ∴∠BAC ＝2∠BAD ＝90°，优秀 30%10%及格 20%良好40%HOE GPQ1922．（8 分）∵∠AED ＝∠AFD ＝90°，∴四边形 AEDF 是矩形，………………………………………………………7 分 ∵AE ＝AF ，∴矩形 AEDF 是正方形．………………………………………………………8 分（1）解：用表格列出所有可能出现的结果：第 2 颗骰子 第颗结果骰子AABBBBA （A 、A ） （A 、A ） （A 、B ） （A 、B ） （A 、B ） （A 、B ） A （A 、A ） （A 、A ） （A 、B ） （A 、B ） （A 、B ） （A 、B ） A （A 、A ） （A 、A ） （A 、B ） （A 、B ） （A 、B ） （A 、B ） A （A 、A ） （A 、A ） （A 、B ） （A 、B ） （A 、B ） （A 、B ） B （B 、A ） （B 、A ） （B 、B ） （B 、B ） （B 、B ） （B 、B ） B（B 、A ）（B 、A ）（B 、B ）（B 、B ）（B 、B ）（B 、B ）由表格可知，共有 36 种可能出现的结果，并且它们是等可能的．“两颗骰子的顶面字母相同”记为事件 M ，它的发生有 16 种可能，P (M )＝4，“两颗骰子的顶面字母不同”记为事件 N ，它的发生有 20 种 可能，P(N)＝5，∴甲、乙两人获胜的概率各是4、5．99 9…………………………………………………………………………………………………6 分 （2）3．………………………………………………………………………………………8 分 23．（8 分）解：（1）如图①，四边形 A B CD 即为所求．…………………………………4 分BC图①F 图②（2）如图②，四边形 EFGH 即为所求．……………………………………………………8 分 24．（8 分）解：（1）25 km ．…………………………………………………………………2 分 （2）∵甲从 A 地到 B 地的速度为 25÷50＝0.5 km/min ，∴甲从 B 地返回 A 地的速度也为 0.5 km/min ，ADEH∵甲到达 B 地后停留 20 min 再以原速返回 A 地，∴甲从 B 地返回 A 地时以出发 70 分钟，且距离 A 地 25 km ，∴y ＝25－0.5(x －70)＝60－0.5x ．………………………………………………6 分 （3）D ．…………………………………………………………………………………8 分 25．（8 分）解：（1）设 CH ＝x ，C在 Rt △CHF 中，∵∠CFH ＝∠FCH ＝45°，∴CH ＝FH ＝x ， 在 Rt △CHE 中，∴tan ∠CEH ＝CH，xx+58.8 ＝tan17°＝0.30， E 17°F 45° H∴x ＝25.2，即 CH ＝25.2（m ），∴CD ＝CH ＋DH ＝25.2＋1.6＝26.8（m ），答：这棵树 AB 的高度为 26.8 m ．………………………………………………………4 分（2）原因：小明测量的只是测角器所在位置与古塔底部边缘的最短距离，不是测量测角器所在位置与底面圆心的最短距离．………………………………………………………6 分（3）12． …………………………………………………………………………………8 分 26．（8 分）解：（1）根据情况 1，设当每只定价为 x 元时，一周销售收入为 y 1 元． …………………………………………………………………………………………………1 分y 1＝x[300＋25(20－x)]＝－25x 2＋800x ，当 x ＝16 时，y 1 有最大值，最大值为 6500 元．…………………………………3 分答：当定价为 16 元时，一周销售收入最多，最多为 6500 元．（2）根据情况 2，设当每只定价为 x 元时，一周销售收入为 y 2 元． y 2＝x[300－25(x －20)]＝－10x 2＋500x ，当 x ＝25 时，y 2 有最大值，最大值为 6250 元， …………………………………5 分当 22≤x ≤24 时，y 1 随 x 的增大而减小，而 y 2 随 x 的增大而增大，……………6 分当 x ＝22 时，y 1 最大，最大值为 5500， 当 x ＝24 时，y 2 最大，最大值为 6000＞5500．答：当定价为 24 元时，一周销售收入最多，最多为 6000 元．…………………8 分27．（10 分）（1）①解：如图，设 E F 与半圆相切于点 G ，过点 E 作 EH ⊥BC ，垂足为点 H ． ∵四边形 ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝2，∠A ＝∠B ＝∠ADC ＝∠BCD ＝90°，∴3 3 2∴OD ⊥AD ，且 AD 经过半径 OD 的外端点 D ， ∴AD 与半圆相切于点 D ， 同理可证：BC 与半圆相切于点 C ， ∴ED ＝EG ＝2－t ，CF ＝FG ＝2t ， ∴EF ＝2＋t ，∵EH ⊥BC ，垂足为点 H ，∴∠BHE ＝90°， ∵∠A ＝∠B ＝90°，∴四边形 ABHE 是矩形， ∴EH ＝AB ＝2，BH ＝AE ＝t ， ∴HF ＝2－3t ，在△EHF 中，∠EHF ＝90°， ∴EH 2＋HF 2＝EF 2， ∴22＋(2－3t)2＝(2＋t)2，解这个方程，得 t 1＝11，t 2＝11（不合题意，舍去），∴当 EF 与半圆相切时，t 的值为 1 4 分 ②解：在△EDO 中，∵∠EDO ＝90°，∴OE 2＝t 2－4t ＋5， 同理可证：OF 2＝1＋4t 2， EF 2＝9t 2－12t ＋8， 第一种情况：当 OE ＝OF 时，则 OE 2＝OF 2， ∴t 2－4t ＋5＝1＋4t 2，解这个方程，得 t 1＝2＜1，t 2＝－2＜0（不合题意，舍去），第二种情况：当 OE ＝EF 时，则 OE 2＝EF 2， ∴t 2－4t ＋5＝9t 2－12t ＋8，此方程无解， 第三种情况：当 OF ＝EF 时，则 OF 2＝EF 2， ∴1＋4t 2＝9t 2－12t ＋8，解这个方程，得 t 1＝1，t 2＝1.4＞1（不合题意，舍去），综上所述：当△EOF 是等腰三角形时，t 的值为2或 1．………………………………8 分 （3）1、3．………………………………………………………………………………10 分。

2022年南京市中考一模鼓楼数学

2022年南京市中考一模鼓楼数学

2022年南京市中考一模鼓楼数学数 学注意事项：本试卷共6页，全卷满分120分，考试时刻为120分钟，考生答题全部答在答卷纸上，答在本试卷上无效．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填在答卷纸相应位置．．．．．．．上） 1．下列算式结果为2-的是（ ） A ．()12--B ．()02-C ．()2--D ．2--2．假如两圆的半径分别为2cm 和5cm ，圆心距为8cm ，那么这两个圆的位置关系是（ ）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切 3的说法中，错误．．的是（ ） A是无理数B是15的算术平方根C ．15的平方根是 D．34<4．由直角三角形中的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形，已知一个直角三角形中：①两条边的长度，②两个锐角的度数，③一个锐角的度数和一条边的长度．利用上述条件中的一个，能解那个直角三角形的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 5．如图是一个三棱柱的展开图，若10AD =，2CD =，则AB 的长度能够是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56．甲、乙、丙、丁四人到文具店购买同一种笔记本和钢笔，购买的数量及总价分别如下表二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直截了当填写在答卷纸相应位置．．．．．．．上） 7．13的相反数是 ．8．一个等腰三角形的两边长分别是2cm 和3cm ，则它的周长是 cm ． 9．分解因式：224a b -= ．10．运算的结果是 ．11．如图，ABC △中，90C ∠=°，D 是BC 上一点，E 为AB 的中点，AD 、CE 相交于点F ，且AD DB -．若20B ∠=°，则DFE ∠= ．FEDCBADCBA12．写出反比例函数6y x=的2条不同类型的性质：① ；② ． 13．常见的“幂的运算”有：①同底数幂的乘法，②同底数幂的除法，③幂的乘方，④积的乘方．在“()()2223510a a a a ⋅==”的运算过程中，运用了上述幂的运算中的 （填序号）．14．如图，顺次连接菱形ABCD 的各边中点E 、F 、G 、H ．若AC a =，BD b =，则四边形EFGH 的面积是 ．HG FE DCBA15．二次函数2y x bx c =-++的图象如图所示，试确定b 、c 的符号；b 0， c 0．（填不等号） yxO16．如图，在平面直角坐标系中，一个圆与两坐标轴分别交于A 、B 、C 、D 四点．已知()20A ，，()60B -，，()03C ，，则点D 的坐标为 ．BADCO y x三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答卷纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（5分）运算：114222x x x ⎛⎫-÷⎪-+-⎝⎭．18．（5分）已知关于x 、y 的方程组78ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩，的解是21x y =⎧⎨=⎩，求a b +的值．19．（6分）妈妈给小莉100元去超市购买笔记本，已知笔记本每本12元． 请你依照以上信息，提出一个用一元一次不等式．．．．．．．解决的问题，并写出解答过程．20．（7分）甲、乙两篮球运动员上赛季每场竞赛的得分如下： 甲15，24，25，31， 31，36，36，37，39，44，50． 乙8，13，14，16，23，26，28，33，38，39，51． 小莉用如图的方式来表示甲、乙的得分． （1）请在右侧补全乙的得分；（2）用不等号填空：x 甲 x 乙;2s 甲 2s 乙;（3）请说出此种表示方式的优点．第二行表示甲得分为15分，乙得分为13分、14分、16分．其它各行与此类同乙甲83465 54976611 4 01234521．（7分）排球竞赛规定每局需决出胜负．水平相当的甲、乙两队进行排球竞赛，规定五局三胜，求甲队以3:0战胜乙队的概率．22．（8分）如图，正方形ABCD 的边长为12，其内部有一个小正方形EFGH ，其中E 、F 、H 分别在BC CD 、AE 上．若9BE ，求小正方形EFGH 的边长．HG F EDCBA23．（8分）“五一”节，小莉和同学一起到游乐场玩，游乐场的大型摩天轮的半径为20m ，匀速旋转1周需要12min ．小莉乘坐最底部的车厢（离地面0.5m ）开始1周的观光，5min 后小莉离地面的高度是多少？（精确到0.1m ，下列数据供参考：2 1.414≈；3 1.732≈；5 2.236≈）O B A24．（12分） 【童话故事】“龟兔赛跑”：兔子和乌龟同时从起点动身，竞赛跑步，领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，自豪起来，在路边的小树下睡了一觉，当它醒来时，发觉乌龟快到终点了，因此急忙追赶，但为时已晚，乌龟已先到达终点．【数学探究】我们假设乌龟、兔子的速度及赛场均保持不变，小莉用图1刻画了“龟兔赛跑”的故事，其中x （分）表示乌龟从起点动身所行的时刻，1y （米）表示兔子所行的路程，1y （米）表示乌龟所行的路程．（1）分别求线段BC 、OD 所表示的1y 、2y 与x 之间的函数关系式；（2）试说明图中线段AB 的实际意义；（3）兔子输了竞赛，内心专门不服气，它们约定再次赛跑，①假如兔子让乌龟先跑30分钟，它才开始追赶，请在图2中画出兔子所行的路程1y 与x 之间的函数关系的图象，并直截了当判定谁先到达终点；②假如兔子让乌龟从路边小树处（兔子第一次睡觉的地点）起跑，它们同时动身，这一次谁先到达终点呢？什么缘故？图1乌龟兔子O1200400706010y (米)x (分)DCBA图2兔子乌龟O120060x (分)y (米)25．（8分）已知A 、B 、C 三点均在O 上，且ABC △是等边三角形． （1）如图，用直尺和圆规作出ABC △；（不写作法，保留作图痕迹）（2）若点P 是BC 上一点，连接PA 、PB 、PC ．探究PA 、PB 、PC 之间的等量关系并说明理由．O26．（10分）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；假如每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x 元（x 为正整数．．．．），每个月的销售利润为y 元． （1）求y 与x 的函数关系式，并直截了当写出自变量x 的取值范畴；（2）若每个月的利润为2200元，求每件商品的售价应定为多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少元？ 27．（12分） 【问题提出】规定：四条边对应相等，四个角对应相等的两个四边形全等．我们借助学习“三角形全等的判定”获得的体会与方法对“全等四边形的判定”进行探究． 【初步摸索】在两个四边形中，我们把“一条边对应相等”或“一个角对应相等”称为一个条件，满足4个条件的两个四边形不一定全等，如边长相等的正方形与菱形就不一定全等．类似地，我们容易明白两个四边形全等至少需要5个条件．【深入探究】小莉所在学习小组进行了研究，她们认为5个条件可分为以下四种类型： Ⅰ一条边和四个角对应相等； Ⅱ二条边和三个角对应相等； Ⅲ三条边和二个角对应相等；Ⅳ四条边和一个角对应相等．（1）小明认为“Ⅰ一条边和四个角对应相等”的两个四边形不一定全等，请你举例说明． （2）小红认为“Ⅳ四条边和一个角对应相等”的两个四边形全等，请你结合下图进行证明． 已知：如图， ．求证： ． 证明：D 1C 1B 1A 1DC BA（3）小刚认为还能够对“Ⅱ二条边和三个角对应相等”进一步分类，他以四边形ABCD 和四边形1111A B C D 为例，分为以下四类：①11AB A B =，11AD A D =，1A A ∠=∠，1B B ∠=∠，1C C ∠=∠； ②11AB A B =，11AD A D =，1A A ∠=∠，1B B ∠=∠，1D D ∠=∠； ③11AB A B =，11AD A D =，1B B ∠=∠，1C C ∠=∠，1D D ∠=∠； ④11AB A B =，11CD C D =，1A A ∠=∠，1B B ∠=∠，1C C ∠=∠；其中能判定四边形ABCD 和四边形1111A B C D 全等的是 （填序号），概括可得“全等四边形的判定方法”，那个判定方法是 ．（4）小亮通过摸索认为也能够对“Ⅲ三条边和二个角对应相等”进一步分类，请你仿照小刚的方法先进行分类，再概括得出一个全等四边形的判定方法．数学参考答案说明：本评分标准每题给出了一种解法供参考，假如考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 DACBCD二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．）7．－ 13 8．7或8 9． （a ＋2b ）（a －2b ） 10． 6 11．60 12．不唯独，如：它的图象关于坐标原点中心对称；在每个象限内，y 随x 的增大而减小 13．①③ 14． 14ab 15．＜ ＞ 16．（0，－4）三、解答题（本大题共11小题，共88分．） 17．（本题5分） 解：（1x -2－1x +2）÷ 4x -2＝4(x +2)(x －2)÷4x -2…………………………………………………………………2分＝ 4(x +2)(x －2)·x -24…………………………………………………………………3分＝ 1x +2． ……………………………………………………………………………5分18．（本题5分）解：把⎩⎨⎧x =2，y =1代入⎩⎨⎧ax +by =7，bx +ay =8得⎩⎨⎧2a +b =7，2b +a =8………………………………………………2分相加得 3a ＋3b ＝15．…………………………………………………………………4分 即 a ＋b ＝5．……………………………………………………………………5分19．（本题6分）问题：小莉至多能够购买多少本笔记本？…………………………………………………1分 解：设小莉能够购买x 本笔记本． ……………………………………………………2分 依照题意，得 12x ≤ 100 ． ……………………………………………………4分解得 x ≤253． ……………………………………………………5分 由于x 是整数，因此x 的最大值是8．答：小莉至多能够购买8本笔记本． ……………………………………………………6分20．（本题7分）（1）368，389，1． …………………………………………………………………3分（2）_x甲＞_x乙；s2甲＜s2乙．………………………………………………………………5分（3）优点：所有的信息都能够从这张图中获得（或便于记录与表示）等；……7分21．（本题7分）解：前三局竞赛中，甲队所有可能显现胜负的结果有8个，即：（胜，胜，胜），（胜，胜，负），（胜，负，胜），（胜，负，负），（负，胜，胜），（负，胜，负），（负，负，胜），（负，负，负）．它们是等可能的．其中显现连胜三局的结果只有1个．…………………………………4分因此P（甲队连胜三局）＝ 1 8．……………………………………………………………6分即甲队以3：0战胜乙队的概率是 1 8．……………………………………………………7分22．（本题8分）解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝12，CE＝3．…………………………………………1分在Rt△ABE中，AB＝12，BE＝9，∴AE＝122+92＝15．…………………………………………………………………2分∵∠AEB＋∠CEF＝∠AEB＋∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，且∠B＝∠C＝90°，∴△ABE～△ECF．…………………………………………………………………6分∴ABEC＝AEEF．即123＝15EF，EF＝154．即小正方形EFGH的边长 15 4．…………………………………………………………8分23．（本题8分）解：如图，设通过5 min后，小明从点B到达点C的位置．由题意知，OC＝20，∠COA＝360°× 512＝150°．……………2分延长AO交⊙O于点E，作CD⊥AE，垂足为D．在Rt△COD中，∠COD＝30°，OD＝OC·cos∠COD ＝20×cos 30°＝10 3 ．………………6分则AD ＝AB＋BO＋OD ＝0.5＋20＋10 3 ≈37.8（m）．即5 min后小莉离地面的高度约为37.8 m．……………………8分24．（本题12分）解：（1）由图知，兔子的速度为：400÷10＝40（米/分），（第23题）ABOCDE因此点B 的横坐标为：70－（1200－400）÷40＝50．………………1分设线段BC 所表示的函数关系式为y 1 ＝kx ＋b ．则 ⎩⎨⎧50k +b =400，70k +b =1200．解得⎩⎨⎧k =40，b = －1600．因此线段BC 所表示的函数关系式为y 1＝40x －1600． ………………3分其中50≤x ≤70．线段OD 所表示的的函数关系式为y 2＝20x ．…………………………4分其中0≤x ≤60．（2）动身10分后，兔子在路边的小树下睡了40分，小树距起点400米．……………………………6分 （3）如图②，…………………………………………8分同时到达终点．…………………………………9分 （4）兔子所需时刻：1200÷40＝30（分）， ……10分乌龟所需时刻：800÷20＝40（分）． ……11分 因此兔子先到终点．…………………………12分25．（本题8分）（1）如图；……………………………………………2分 （2）PA ＝PB ＋PC ．理由如下： ……………………3分 如图，在PA 上取点D ，使得PD ＝PC ，连接CD ． ∵ △ACB 是等边三角形，∴ AB ＝BC ＝CA ，∠APC ＝∠ABC ＝60°．∴ △PCD 是等边三角形．……………………………5分 ∴ CD ＝CP ．∵ ∠ACD+∠DCB ＝60°， ∠BCP+∠DCB ＝60°, ∴∠ACD=∠BCP∴ △CAD ≌△CBP ． …………………………………7分 ∴ AD ＝BP ．∴ PA ＝PD ＋AD ＝PB ＋PC ．…………………………8分26．（本题10分）解：（1）y ＝（210－10x ）（50＋x －40）＝－10 x 2＋110x ＋2100．……………………2分 （其中0＜x ≤15，且x 为整数） ………………………………………3分 （2）当y ＝2200时，－10 x 2＋110x ＋2100＝2200，解得x ＝1或10． ………………………………………5分 当x ＝1时，50＋x ＝51；当x ＝10时，50＋x ＝60．因此每件商品的售价应定为51元或60元． ………………………………6分 （3）y ＝－10 x 2＋110x ＋2100＝－10（x －5.5）2＋2402.5．因为－10＜0，因此当x ＝5.5时，y 有最大值2402.5．………………………………7分 因为0＜x ≤15，且x 为整数，当x ＝5时，y ＝2400，现在，50＋x ＝55；……………………………………8分 当x ＝6时，y ＝2400，现在，50＋x ＝56；……………………………………9分y （第24题）图②（第25题）因此当售价定为55元或56元，每个月可获得最大利润，最大利润是2400元．……………………………………………………………10分27．（本题12分）解：（1）如正方形与矩形有一条边对应相等，但明显不一定全等． ……………2分（2）已知：如图，四边形ABCD 和四边形A 1 B 1 C 1 D 1中，AB ＝A 1 B 1，BC ＝B 1 C 1，CD ＝C 1 D 1，DA ＝D 1A 1，∠B ＝∠B 1 ．求证：四边形ABCD ≌ 四边形A 1 B 1 C 1 D 1．………………………………………3分 证明：连接AC 、A 1 C 1．∵ AB ＝A 1 B 1，∠B ＝∠B 1 ，BC ＝B 1 C 1， ∴ △ABC ≌ △A 1 B 1 C 1．∴ AC ＝A 1 C 1，∠BAC ＝∠B 1 A 1 C 1， ∠BCA ＝∠B 1 C 1A 1．又∵CD ＝C 1 D 1，DA ＝D 1A 1，③ AB =A 1B 1，BC =B 1C 1， CD =C 1D 1，∠A =∠A 1，∠D =∠D 1；④ AB =A 1B 1，BC =B 1C 1， CD =C 1D 1，∠B =∠B 1，∠C =∠C 1．…………………11分 有三条边和这三条边中每一组邻边的夹角对应相等的两个四边形全等．……12分ABCDA 1B 1C 1D 1（第27题）。

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南京市鼓楼区2014年中考一模数学试卷注意事项：1．本试卷共8页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．3．答选择题必须用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．4．作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有 一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填在答题．．卡．相应位置．．．．上） 1．下列方程组中，解是⎩⎨⎧x =-5，y =1的是A ．⎩⎨⎧x +y =6，x -y =4.B ．⎩⎨⎧x +y =6，x -y =-6.C ．⎩⎨⎧x +y =-4，x -y =-6.D ．⎩⎨⎧x +y =-4，x -y =-4.2．计算2×(－9)－18×(16－12)的结果是A ．－24B ．－12C ．－9D ．63．利用表格中的数据，可求出 3.24＋(4.123)2－190 的近似值是(结果保留整数)．4．把边长相等的正五边形ABGHI 和正六边形ABCDEF 的 AB 边重合，按照如图的方式叠合在一起，连接EB ，交 HI 于点K ，则∠BKI 的大小为5．反比例函数y ＝kx 和正比例函数y ＝mx 的部分图象如图所示．由此可以得到方程kx ＝mx 的实数根为A ．x ＝1B ．x ＝2C ．x 1＝1，x 2＝－1D ．x 1＝1，x 2＝－2A ．3B ．4C ．5D ．6A ．90°B ．84°C ．72°D ．88°A B CDEFGH IK（第4题）6．如图， QQ 软件里的“礼盒”图标是一个表面印有黑色实线，顶端有图示箭头的正方体． 下列图形中，是该几何体的表面展开图的是二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题．．卡．相应位置．．．．上） 7．－3的绝对值等于 ▲ ． 8． (12＋8 )× 2 ＝ ▲ ． 9．使1x ＋2有意义的x 的取值范围是 ▲ ．10． (2×103)2×(3×10－3) ＝ ▲ ．（结果用科学计数法表示）11．已知⊙O 1，⊙O 2没有公共点．若⊙O 1的半径为4，两圆圆心距为5，则⊙O 2的半径可以是 ▲ ．（写出一个符合条件的值即可）12．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B ＝90°，连接AC ， ∠DAC ＝∠BAC ．若BC ＝4cm ，AD ＝5cm ，则梯形ABCD 的周长为 ▲ cm ．13．如图，在□ABCD 中，∠A ＝70°，将□ABCD 绕顶点B 顺时 针旋转到□A 1BC 1D 1，当C 1D 1首次经过顶点C 时，旋转角 ∠ABA 1＝ ▲ °．A ．B ．C ．D ．AD CB（第12题）ACDC 1D 1A 1 （第13题）（第6题）14．某科研机构对我区400户有两个孩子的家庭进行了调查，得到了 表格中的数据，其中(男，女)代表第一个孩子是男孩，第二个孩子 是女孩，其余类推．由数据，请估计我区两个孩子家庭中男孩与女 孩的人数比为 ▲ ：▲ ．15．如图，⊙O 的半径是5，△ABC 是⊙O 的内接三角形，过圆心O 分别作AB 、BC 、AC 的垂线，垂足为E 、F 、G ，连接EF ． 若OG ＝2，则EF 为 ▲ ．16． 将一张长方形纸片按照图示的方式进行折叠： ①翻折纸片，使A 与DC 边的中点M 重合，折痕为EF ；②翻折纸片，使C 落在ME 上，点C 的对应点为H ，折痕为MG ；③翻折纸片，使B 落在ME 上，点B 的对应点恰与H 重合，折痕为GE ．根据上述过程，长方形纸片的长宽之比ABBC＝ ▲ ．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题．．卡．指定区域．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）计算：2x 2－4－12x －4．（第15题）ABCD（第16题）18．（6分）解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5＋3x ＞18，x 3≤4－x －22． 并写出不等式组的整数解．19．（8分）已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 在对角线BD 上，且BF ＝DE ． （1）求证：四边形AECF 是菱形．（2）若AB ＝2，BF ＝1，求四边形AECF 的面积．ABCDFE（第19题）20．（8分）甲、乙、丙三位歌手进入“我是歌手”的冠、亚、季军的决赛，他们通过抽签来决定演唱顺序．（1）求甲第一位出场的概率；（2）求甲比乙先出场的概率．22．（8分）（1）如图①，若BC ＝6，AC ＝4，∠C ＝60°，求△ABC 的面积S △ABC ； （2）如图②，若BC ＝a ，AC ＝b ，∠C ＝α，求△ABC 的面积S △ABC ；（3）如图③，四边形ABCD ，若AC ＝m ，BD ＝n ，对角线AC 、BD 交于O 点，它们所成 的锐角为β．求四边形ABCD 的面积S 四边形ABCD ．23．（8分）如图，把长为40cm ，宽为30cm 的长方形硬纸板，剪掉2个小正方形和2个小 长 方形（阴影部分即剪掉的部分），将剩余部分折成一个有盖．．的长方体盒子，设剪掉的小正 方形边长为x cm ．（纸板的厚度忽略不计）（1）长方体盒子的长、宽、高分别为 ▲ （单位：cm ）； （2）若折成的一个长方体盒子的表面积为950cm 2，求此时长方体盒子的体积．30cm40cm （第23题）OB CAB C A 60° A B C D β （图①） （图②） （图③） （第22题）α24．（8分）2014年2月，纯电动出租车在南京正式上路运行，下表是普通燃油出租车和纯电12元．（1）直接写出y 1、y 2关于x 的函数关系式，并注明对应的x 的取值范围； （2）在如下的同一个平面直角坐标系中，画出y 1、y 2关于x 的函数图象；（3）结合图象，求出当乘客打车的路程在什么范围内时，乘坐纯电动出租车更合算．25．（8分）如图,在□ABCD 中,过A 、B 、D 三点的⊙O 交BC 于点E,连接DE,∠CDE ＝∠DAE ． （1）判断四边形ABED 的形状，并说明理由； （2）判断直线DC 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （3）若AB ＝3，AE ＝6，求CE 的长．y （元）（第24题）（第25题）26．（11分） 问题提出平面内不在同一条直线上的三点确定一个圆．那么平面内的四点(任意三点均不在同一 直线上），能否在同一个圆呢？ 初步思考设不在同一条直线上的三点A 、B 、C 确定的圆为⊙O ． ⑴当C 、D 在线段AB 的同侧时，如图①，若点D 在⊙O 上，此时有∠ACB ＝∠ADB ，理由是 ▲ ；如图②，若点D 在⊙O 内，此时有∠ACB ▲ ∠ADB ；如图③，若点D 在⊙O 外，此时有∠ACB ▲ ∠ADB ．（填“＝”、“＞”或“＜”）；由上面的探究，请直接写出A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上的条件： ▲ ． 类比学习（2）仿照上面的探究思路，请探究：当C 、D 在线段AB 的异侧时的情形．此时有 ▲ ， 此时有 ▲ ， 此时有 ▲ ．由上面的探究，请用文字语言直接写出A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上的条件： ▲ ． 拓展延伸（3）如何过圆上一点，仅用没有刻度的直尺，作出已知直径的垂线？ 已知：如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上． 求作：CN ⊥AB ．作法：①连接CA ，CB ；②在 ⌒CB上任取异于B 、C 的一点D ，连接DA ，DB ； ③DA 与CB 相交于E 点，延长AC 、BD ，交于F 点；④连接F 、E 并延长，交直径AB 于M ；⑤连接D 、M 并延长，交⊙O 于N ．连接CN ． 则CN ⊥AB ．图①图②图③图④请按上述作法在图④中作图，并说明CN ⊥AB 的理由．（提示：可以利用（2）中的结论）27．（9分）【课本节选】反比例函数y ＝kx (k 为常数,k ≠0)的图象是双曲线.当k ＞0时，双曲线两个分支分别在一、三象限,在每一个象限内,y 随x 的增大而减小（简称增减性）；反比例函数的图象关于原点对称（简称对称性）．这些我们熟悉的性质，可以通过说理得到吗？ 【尝试说理】我们首先对反比例函数y ＝kx （k ＞0）的增减性来进行说理．如图，当x ＞0时．在函数图象上任意取两点A 、B ，设A (x 1，k x 1)，B (x 2，kx 2)，且0＜x 1＜ x 2．下面只需要比较k x 1和kx 2的大小．k x 2—k x 1＝k (x 1－x 2) x 1 x 2． ∵0＜x 1＜ x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1 x 2＞0，且 k ＞0． ∴k (x 1－x 2) x 1 x 2＜0．即k x 2＜k x 1．（第27题）备用图这说明：x 1＜ x 2时，k x 1＞kx 2．也就是：自变量值增大了，对应的函数值反而变小了．即：当x ＞0时，y 随x 的增大而减小． 同理，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小．（1）试说明：反比例函数y ＝ kx （k ＞0）的图象关于原点对称．【运用推广】（2）分别写出二次函数y ＝ax 2 (a ＞0，a 为常数)的对称性和增减性，并进行说理． 说理：（3）对于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0，a ，b ，c 为常数)，请你从增减性的角度．．．．．．．，简要解释为何当x ＝—b2a时函数取得最小值．鼓楼区2013-2014学年度第二学期调研测试卷九年级数学(一）参考答案与评分标准说明：本评分标准每题给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．）7．3 8．5 9．x ≠－2 10．1.2×104 11．答案不唯一,如0.5（满足0＜r ＜1或r ＞9即可）12．22 13． 40 14． 417︰383 15． 21 16．2 三、解答题（本大题共11小题，共88分．）17．（6分）解：原式＝2(x ＋2)(x －2)－12(x －2)········································· 2分＝2－x2(x ＋2)(x －2) ······················································· 4分＝－12x ＋4． ··························································· 6分18．（6分）解：解不等式①，得x ＞133； ······································································ 2分解不等式②，得x ≤6． ······································································· 4分 所以原不等式组的解集为133＜x ≤6． ······················································ 5分它的整数解为5，6． ·········································································· 6分 19．（8分）（1）连接AC ，AC 交BD 于点O ． 在正方形ABCD 中，OB ＝OD ，OA ＝OC ，AC ⊥BD ． ∵BF ＝DE ，∴OB －BF ＝OD －DE ，即OF ＝OE ． ∴四边形AECF 是平行四边形． 又∵AC ⊥EF ，∴□AECF 是菱形． ············································································ 4分 （2）∵AB ＝2，∴AC ＝BD ＝AB 2＋AD 2＝22． ∴OA ＝OB ＝BD2＝2． ∵BF ＝1，∴OF ＝OB －BF ＝2－1．∴S 四边形AECF ＝12AC ·EF ＝12×22×2(2－1)＝4－22． ······························ 8分20．（8分）解：所有可能出现的结果如下：······································································································ 5分以上共有6种等可能的结果．其中甲第一位出场的结果有2种,甲比乙先出场的结果有3种． 所以P （甲第一位出场）＝26＝13． ························································· 7分P （甲比乙先出场）＝36＝12． ·························································· 8分（注：用树状图列举所有结果参照以上相应步骤给分．） 21．（8分）解：（1）不合理．因为如果1000人全部在金融行业抽取，那么全市城镇非私营单位员工被抽到的机会不相等，样本不具有代表性和广泛性． ···························· 2分 （2）·················································································· 6分 （3）本题答案不惟一，下列解法供参考．用平均数反映月收入情况不合理.由数据可以看出1000名被调查者中有670人的月收入不超过4000元，月收入的平均数受高收入者和低收入者收入变化的影响较大，月收入的中位数几乎不受高低两端收入变化的影响，因此，用月收入的中位数反映月收入水平更合理． ·················································································· 8分 （注：对于（1）（3）两问，学生回答只要合理，应酌情给分．）人数市城镇非私营单位1 000人月收入统计图以下4000 ～ 6000 6000 ～ 8000以上2000 ～ 400022．（8分）（1）如图①，过点A 作AH ⊥BC ，垂足为H ． 在Rt △AHC 中，AHAC＝sin60°，∴AH ＝AC ·sin60°＝4×32＝23． ∴S △ABC ＝12×BC ×AH ＝12×6×23＝63．…………………………………………3分（2）如图②，过点A 作AH ⊥BC ，垂足为H ． 在Rt △AHC 中，AHAC ＝sin α，∴AH ＝AC ·sin α＝b sin α．∴S △ABC ＝12×BC ×AH ＝12ab sin α．……………………………………………………5分（3）如图③，分别过点A ，C 作AH ⊥BD ，CG ⊥BD ，垂足为H ，G ． 在Rt △AHO 与Rt △CGO 中，AH ＝OA sin β，CG ＝OC sin β； 于是，S △ABD ＝12×BD ×AH ＝12n ×OA sin β；S △BCD ＝12×BD ×CG ＝12n ×OC sin β；∴S 四边形ABCD ＝ S △ABD ＋S △BCD ＝12n ×OA sin β＋12n ×OC sin β＝12n ×(OA ＋OC )sin β＝12m n sin β．……………………………………………………………………8分23．（8分）解：（1）30－2x 、20－x 、x ； ························································· 3分 （2）根据图示，可得2(x 2＋20x )＝30×40－950 解得x 1＝5，x 2＝－25（不合题意，舍去）长方体盒子的体积V ＝(30－2×5)×5×(20－5)＝20×5×15＝1500（cm 3）． 答：此时长方体盒子的体积为1500 cm 3．···································· 8分 24．（8分）（1）y 1＝⎩⎪⎨⎪⎧11，（x ≤3）2.4x ＋3.8，(x ＞3)y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧9，（x ≤2.5）2.9x ＋1.75，(x ＞2.5) ····························································· 4分（图①）（图②）（图③）（2）画图正确． ················ 6分（3）由2.4x ＋3.8＝2.9x ＋1.75，解得，x ＝4.1．∴ 结合图象可知，当乘客打车的路程不超过 4.1公里时，乘坐纯电动出租车合算． ······································································································ 8分 25．（8分）（1）四边形ABED 是等腰梯形．理由如下：在□ABCD 中，AD ∥BC ， ∴∠DAE ＝∠AEB ． ∴ ⌒DE＝ ⌒AB ，DE ＝AB ． ∵AB ∥CD ，∴AB 与DE 不平行． ∴四边形ABDE 是等腰梯形． ······················································· 2分（2）直线DC 与⊙O 相切． 如图，作直径DF ，连接AF ． 于是，∠EAF ＝∠EDF ． ∵∠DAE ＝∠CDE ，∴∠EAF ＋∠DAE ＝∠EDF ＋∠CDE ，即∠DAF ＝∠CDF ． ∵DF 是⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∴∠DAF ＝90°，∴∠CDF ＝90°．∴OD ⊥CD ． 直线DC 经过⊙O 半径OD 外端D ，且与半径垂直，直线DC 与⊙O 相切． ·································································· 5分 （3）由（1），∠EDA ＝∠DAB ． 在□ABCD 中，∠DAB ＝∠DCB ，∴∠EDA ＝∠DCB ．又∵∠DAE ＝∠CDE ，∴△ADE ∽△DCE ．∴AE DE ＝DE CE ，∵AB ＝3，由（1）得，AB ＝DE ＝DC ＝3．即 63＝3DE．解得，CE ＝32．…………………………………………………………………………8分y （元）26．（11分）（1）同弧所对的圆周角相等． ∠ACB ＜∠ADB ，∠ACB ＞∠ADB ．答案不惟一，如：∠ACB ＝∠ADB ． ·················································· 4分 （2）如图：此时∠ACB ＋∠ADB ＝180°, 此时∠ACB ＋∠ADB ＞180°, 此时∠ACB ＋∠ADB ＜180 若四点组成的四边形对角互补，则这四点在同一个圆上．······································································································ 8分 （3）作图正确． ··············································································· 9分 ∵AB 是⊙O 的直径，C 、D 在⊙O 上， ∴∠ACB ＝90°，∠ADB ＝90°． ∴点E 是△ABF 三条高的交点． ∴FM ⊥AB ． ∴∠EMB ＝90°． ∠EMB ＋∠EDB ＝180°， ∴点E ，M ，B ，D 在同一个圆上． ∴∠EMD ＝∠DBE ．又∵点N ，C ，B ，D 在⊙O 上， ∴∠DBE ＝∠CND ，∠EMD ＝∠CND ． ∴FM ∥CN ．∴∠CPB ＝∠EMB ＝90°．∴CN ⊥AB ． ···················································································· 11分 （注：其他正确的说理方法参照给分．） 27．(9分)（1）在反比例函数y ＝kx （k ＞0）的图象上任取一点P (m ，n )，于是：mn ＝k ．那么点P 关于原点的对称点为P 1(－m ，－n )．而(－m )(－n )＝mn ＝k ， 这说明点P 1也必在这个反比例函数y ＝kx的图象上．所以反比例函数y ＝ kx（k ＞0）的图象关于原点对称．…………………………2分（2）对称性：二次函数y ＝ax 2 (a ＞0，a 为常数)的图象关于y 轴成轴对称． 增减性：当x ＞0时，y 随x 增大而增大；当x ＜0时，y 随x 增大而减小． 理由如下：①在二次函数y ＝ax 2 (a ＞0，a 为常数) 的图象上任取一点Q (m ，n )，于是n ＝am 2． 那么点Q 关于y 轴的对称点Q 1(－m ，n )．而n ＝a (－m )2，即n ＝am 2． 这说明点Q 1也必在在二次函数y ＝ax 2 (a ＞0，a 为常数) 的图象上． ∴二次函数y ＝ax 2 (a ＞0，a 为常数)的图象关于y 轴成轴对称，②在二次函数y ＝ax 2 (a ＞0,a 为常数)的图象上任取两点A 、B,设A (m ，am 2), B (n ，an 2) ，且0＜m ＜n ． 则an 2－am 2＝a (n ＋m )(n －m ) ∵n ＞m ＞0，∴n ＋m ＞0，n －m ＞0； ∵a ＞0，∴an 2－am 2＝a (n ＋m )(n －m )＞0．即an 2＞am 2． 而当m ＜n ＜0时， n ＋m ＜0，n －m ＞0； ∵a ＞0，∴an 2－am 2＝a (n ＋m )(n －m )＜0．即an 2＜am 2．这说明，当x ＞0时，y 随x 增大而增大；当x ＜0时，y 随x 增大而减小． ······························································································· 7分 （3）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0，a ，b ，c 为常数) 的图象可以由y ＝ax 2的图象通过平 移得到，关于直线x ＝—b 2a 对称，当x ＝—b2a 时，y ＝4ac －b 24a．由（2），当x ≥—b 2a 时，y 随x 增大而增大；也就是说，只要自变量x ≥—b2a ，其对应的函数值y ≥4ac －b 24a ；而当x ≤—b2a 时，y 随x 增大而减小，也就是说，只要自变量x≤—b2a ，其对应的函数值y ≥4ac －b 24a ．综上，对于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0，a ，b ，c为常数)，当x ＝—b 2a时取得最小值4ac －b 24a．······································································································ 9分。

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