论数学中的简洁对称美

论数学中的美
数学这门学科是充满美的，数学美的魅力是诱人的，数学美的力量是巨大的。

只要你愿意去感受，数学随时都能给师生带来一种美好的享受。

正如高斯所说的：“给我最大快乐的，不是已懂得的知识，而是不断的学习；不是已有的东西，而是不断的获取；不是已达到的高度，而是继续不断的攀登。

”
（一）数学的简洁美
数学知识之所以强烈地吸引人们去研究，去探索，去追求，其中的原因之一便是它能对纷乱繁杂的数学现象进行高度的概括，使学习者能从中感受它概括的简洁美。

在数学语言的研究中，通常按数学语言所使用的主要词汇，将数学语言分为三种：文字语言、符号语言、图形语言。

品味简洁的数学美。

表示椭圆的三种语言都体现了简洁美。

椭圆的符号语言简洁、明了。

如椭圆概念的符号表示P={M|∣MF
1
∣＋
|MF
2||=2a,2a>|F
1
F
2
|},关系紧凑,言简意赅；椭圆的两个标准方程具有简单整齐
之美；离心率
c
e
a
易记，充分体现了数学语言干练、简洁的特有美感。

椭圆的文字语言通俗易懂。

用到椭圆定义中“到平面内
两个定点F
1、F
2
的距离之和”这个常数；而将关系式转化成
数学代数式用到两个定点F
1、F
2
的坐标。

这就需要将“到平
面内两个定点F
1、F
2
的距离之和”和| F
1
F
2
|用字母表示。

建
系后,将条件转化成关系式。

椭圆的图形语言形象生动。

以经过焦点F
1、F
2
的直线为
x轴,线段F
1F
2
的垂直平分线为y轴建立直角坐标系(如图1),设M(x,y)是椭圆上
的任意一点,焦距是2c(c>0),Ｍ与F
1,F
2
两点距离之和绝对值等于常数2a。

（二）数学的对称美
对称在我们生活中随处可见，图形的对称往往以及其直观的形式呈现在人们的眼前，展现对称性的根本就是点的对称、线的对称。

在此基础上衍生出线段的
平分，角的平分线；平面图形：等腰三角形、等边三角形、等腰梯形、菱形、矩
图1
形、正方形、正多边形、圆。

立体图形：长方体、正方体、圆台、正棱锥、正棱柱等。

其中都有对称性的具体表现，轴对称和点对称赋予了它们美观，所以数学是壮丽多彩，千姿百态，引人入胜的。

美丽的图画，给人以享受，被数学的魅力感动，使得轴对称图形在人的头脑中留下美的印象。

品味对称的数学美
若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上的任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，则k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值。

试写出双曲线=1(a ＞0，b ＞0)具有的类似的性质，并加以
证明。

解：双曲线的类似的性质为：若M ，N 是双曲线
=1上关于原点对称
的两个点，点P 是双曲线上的任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值。

下面给出证明：
设点M 的坐标为（m ，n ），则点N 的坐标为（-m ，-n ），且，
又设点P 的坐标为（x ，y ）.
由k PM =，k PN =
得：k PM •k PN =•
=
，①
将y 2=
x 2-b 2，n 2=
m 2-b 2代入①式，得k PM •k PN =
（定值）．
数学美起源于人们的生产与生活之中，也应用于生活。

椭圆具有光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线在经过椭圆周上反射后，反射光都经过椭圆的另一个焦点。

如：幸运草LSL-236幸运草手环——椭圆之美
虽然数学没有明显地提到美，但把数学与实际生活联系起来就会发现数学中透着美，透着和谐。

因为美的主要形式就是秩序、匀称和确定性，这些正是数学所研究的原则。

让人们在数学中发现美，深深的进一步提高了数学素养，努力去探索世界的真、善、美，就像一位物理学家所说的那样：如果一个理论它是美的，那它一定是个真理。

使它们具有了一些特殊的性质，也正是这些特殊的性质为中
学生对几何的学习增添了不少乐趣。

以对称美为中心，以数学为载体，以生活为研究对象。

就会发现生活中处处有美的踪迹，只要你善于发现就可以在平淡的世界中发掘出令人憧憬的美。

或者，正是由于这些简洁美、对称美，才勾勒出我们五彩缤纷、充满激情与想象的完美世界。