人教版九年级上册课件2414圆周角共29张

圆周角
走进海洋世界
如图，是一个圆柱形的海洋馆的横截面示意图，
人们可以通过其中的圆弧形玻璃 AB观看窗内的
海洋动物?
D
A
请问：站在圆心O与站在点C的
人的视角（∠AOB 和∠ACB)有
O
什么关系?站在点D与点E的人的 C
视角（∠ADB和∠AEB）又有什
么关系呢?
E
B
璃玻
观察图中∠ ACB、 ∠ADB和∠AEB与 我们学过的圆心角 有什么区别？
⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
C
A
O
B
D
2.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个 三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.）
已知：△ABC 中，CO为AB边上的中线，且CO= 1 AB
2
求证： △ABC 为直角三角形.
C
证明： 以AB为直径作⊙O，
A
·
B
O
∵AO=BO， CO= AB,
圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的 圆周角相等 ，都等于这条弧所对的 圆心角 的一半．
探究：有关圆周角的度数
1、 探究半圆或直径所对的圆周角等于多少度？ 2、９０°的圆周角所对的弦是否是直径？
线段 AB是⊙O的 直径 ，点 C是⊙O
上任意一点（除点 A、B）,那么， ∠ACB 就是直径AB 所对的圆周角 . 想想看，∠ ACB 会是怎么样的角？
如果圆心不在圆周角的一边上, 结果会怎样? 3. 当圆心(O) 在圆周角(∠ABC)的外部时 , 圆周角
∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样 ?
过点B作直径BD.由1可得:
A
C
∠ABD = ∠1AOD,∠CBD = ∠CO1D,
2
2
●O
∴ ∠ABC = ∠AOC.
B
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
D
3、试找出下图中所有相等的 圆周角。
∠1=∠4 ∠2=∠7
∠5=∠8 ∠3=∠6
A 1 87
2
34
6 5
B
C
4、如图，AB是⊙O的直径BC =BD ，∠A=30°， 则∠BOD= 60° 。
C
AO
B
D
5、如图， OA、OB、OC都是⊙O的半
径，∠ AOB=2 ∠BOC，∠ ACB 与
∠BAC的大小有什么关系？为什么？
对的弦是直径．
璃玻
请问：站在圆心O与站在点C的
D
人的视角（∠AOB 和∠ACB)有
A
什么关系?站在点D与点E的人的
O
视角（∠ADB和∠AEB）又有什
么关系呢?
C
∠AOB >∠ACB
E
B
∠ADB=∠AEB
巩固练习：
1、圆周角的两个特征：（1） 顶点在圆上 ，
（2） 两边都与圆相交
。
2、在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于 它所对的圆心角的 一半 。
A
A
O
O O
B
C
B
C
C B
1. 首先考虑一种特殊情况：
当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时, 圆周角
∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.
∵∠AOC是△ABO的外角，
C
∵OA=OB，
●O
∴∠A=∠B.
∴∠AOC=2∠B.
B
即 ∠ABC = ∠AOC.
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
∴AO=BO=CO. ∴点C在⊙O上.
又∵AB为直径,
∴∠ACB= ×180°= 90°. ∴ △ABC 为直角三角形.
C
O
∠ACB=2∠BAC
B A
探究与思考：
问题1：如图，AB是⊙O的直径，请问：
∠C1、∠C2、∠C3的度数是90° 。
C2 C1
C3
问题2： 若∠C1、∠C2、∠C3 是直角，那么∠AOB
是 180° 。
A
O
B
推论
半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径。
例1 如图，⊙O直径AB为10cm， 弦AC为6cm，∠ACB的平分线交
（顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角）
圆周角
二.圆周角的概念
圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角。
条件一
条件二
A
缺一不可
如图： ∠ABC
●O
C
为⊙O的一个圆
B
周角。
圆周角 辩一辩 判断下列各图中，哪些是圆周角，为什么？
位你 置发 关现 系圆 有周 哪角 几相 种对 类圆 型心 ？的
类比圆心角探知圆周角
的度数，比较一下，你有什 么发现？
O
A
猜想：
B
? 同弧所对的圆周角的度数没有变化， 并且 它的度数等于这条弧所对的圆心角的度数的 一半。
探究
?为了验证我们的猜想，我们根据圆周角与圆心的相 对位置分三种情况来证明：
?（1）圆心在圆周角的一边上；
?（2）圆心在圆周角的内部；
?（3）圆心在圆周角的外部 A
在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等.
在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关系？
A C
A C
A C
●O
●O
●O
B
B B
为了解决这个问题,我们先探究一条弧所对的圆周 角和圆心角之间有的关系.
三 . 圆周角和圆心角的关系
探究
C
D
量一量：
量出教科书 84页图24.1—12 中AB所对的圆周角和圆心角
为什么呢？
证明：
因为OA＝OB＝OC，所以△AO、C △BOC都是等腰三角形，所以
∠ OA＝C ∠ OC，A ∠ OB＝C ∠ OC.B
又∠ OA＋C ∠ OB＋C ∠ ACB＝180°， 所以∠ ACB＝∠ OC＋A ∠ OC＝B 90°. 因此，不管点C在⊙O上何处（除点A、 B），∠ ACB总等于90°，
顶点在圆周上，且两边都与圆相交。
如下图，同学们能找到圆心角吗？它具有什么样 的特征？
（顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角），今天我们要 学习圆中的另一种特殊的角，它的名称叫做圆周角。
圆周角
究竟什么样的角是圆周角呢？像图（3）中的 角就叫做圆周角，而图（2）、（4）、（5）中的角 都不是圆周角。同学们可以通过讨论归纳如何判断一 个角是不是圆周角。
如果圆心不在圆周角的一边上, 结果会怎样?
2. 当圆心(O) 在圆周角(∠ABC)的内部时 , 圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样 ?
A 过点B作直径BD. 由1可得:
D C
∠ABD = ∠1AOD,∠CBD = ∠CO1D,
2
2
●O
∴ ∠ABC = ∠AOC. B
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
结论： 半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于 90°
（直角）。反过来也是成立的，即 90°的圆周角 所对的弦是圆的直径。
圆周圆角周定角理定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的
圆周角相等 ，都等于这条弧所对的 圆心角
的一半． C2
C1
半圆（或直径） 所对的 圆周角 是直角 ;
90°的圆周角所
C3
·O
B