中南大学 机械振动复习材料

I L2
m 33

2ET

y
2 1
m1
m 44

2ET

y
2 2
m2
m 12
m 21

2ET y A y B

M 4
I L2
m 13 m 14 m 23 m 24 m 34 0
[M ]
M

4 M
4

I L2 I L2
m
m
所以： 1
(4
5)
k m
2

3
k m

3

(4
5) k m
将频率代入广义特征值问题方程解得：
u11 : u21 : u31 1: 0.618 :1 ；
u12 : u22 : u32 1: 0 :1 ；
u13 : u23 : u33 0.618 :1: 0.618 ；
三、如图 1 所示，三个刚性齿轮啮合，其转动惯量分别为 I1、I2、I3，齿数分别为 Z1、Z2、Z3，轴 1、轴 2、 轴 3 的扭转刚度分别为 k1、k2、 k3，试求该系统作微幅振动时的固有频率。 （15 分）
解：（1）建立坐标，求各轴转角之间的关系：（3 分） 设轴 1 转角为 x1。则轴 2 的转角 x2、轴 3 的转角 x3 分别为：
2
2
2
U 1 k(r)2 2
由d(E T U ) 0 可知：(I m r2) kr2 0
即：n kr2 /(I m r2) （rad/s）
3、求如图 3 所示的三自由度弹簧质量系统的固有频率和振型。(25 分)（设 m1 m3 m; m2 2m;
2）求出系统的刚度矩阵和质量矩阵； （4 分）
3）求出系统的固有频率；
（4 分）
4）求出系统振型矩阵，画出振型图。 （4 分）
1）略
图2
2）
K


k
r
2 1
1
1
,
M


I
1 0
0 1
3）频率：
2 n1

3 2
5
kr I
2 n2

3 2
5
kr I

4）振型矩阵：
u





5 1 2
1


1 5

1

0.618 1
2
1 0.618
振型图（略）
3.3、（15 分）根据如图所示微振系统， 1）求系统的质量矩阵和刚度矩阵和频率方程； 2）求出固有频率； 3）求系统的振型，并做图。
（5 分） （5 分） （5 分）
频率方程：
y A
2

1 2
m1 y12

1 2
m2 y22
（3）系统的势能：（2 分）
1
1
1
1
U=
2
k1y
2 1
+
2
k2y
2 2
+
2
k3(yA-y1)2+
2
k4(yB-y2)2
（4）求质量矩阵：（2 分）
m 11

2ET

y
2 A
M 4
I L2
m 22

2ET

y
2 B
M 4
0


m
0
2
0 ;
0 0 m3 Leabharlann Baidu0 0 1
k1 k2

K



k2
0
k2 k2 k3 k5 k6
k3
0 3 2 0
k3


k

2
10
2
k3 k4 0 2 3
得到系统的广义特征值问题方程：
m

0
0 m
{
x
}+
4k

0
0 9k

{
x
}=0
（4）求系统的固有频率（4 分）
4k-mω2 0
0
9k -mω2 = (4k-m2)(9k- m2)= 0
4k

2 1
=
m
9k

2 2
=
m
（5）求系统的振型、绘制振型图（4 分）
由 ([K ] r2[M ]){ur} 0 有：
2
2g
1(I P 2g
R 2)2
U 1 k(a)2 2
由d(E T
U
) 0 可知：(I P R 2)2 ka2 g
0
即：n
ka2 （rad/s），故 T 2 2
IP R2
n
g
IP R2 g
ka 2
（s）
3.3、 （19 分）图 2 所示为 3 自由度无阻尼振动系统，kt1 kt 2 kt3 kt 4 k ，I1 I2 / 5 I3 I 。
三、计算题（45 分） 3.1、（14 分）如图所示中，两个摩擦轮可分别绕水平轴 O1，O2 转动，无相对滑动；摩擦轮的半径、
质量、转动惯量分别为 r1、m1、I1 和 r2、m2、I2。轮 2 的轮缘上连接一刚度为 k 的弹簧，轮 1 的轮缘上有软 绳悬挂质量为 m 的物体，求：
1）系统微振的固有频率；（10 分） 2）系统微振的周期；（4 分）。
I11 I22
kt11 kt 2 (2
kt 2(1 2) 1) kt3(2
0

3
)

0

I33

kt 3 ( 3
2)

kt 43

0
I1 0 0 1 0 0
M



0
I2
0


I
0
4
0 ;
所以：
0 0 I3 0 0 1
kt1 kt2

K



kt 2
0
kt 2 kt 2 kt3
kt 3
0 2
kt 3


k
1
kt3 kt4 0
1 0 2 1 1 2
2）求扭转系统的总刚度（3 分）
3) 求扭转系统的固有频率（6 分）。
解：1）串联刚度 K1 与 K2 的总刚度： K12

K1K 2 K1 K2
2)
系统总刚度： K

K1K 2 K1 K2
K3
3) 系统固有频率：
K
K1K2 K1 K2

K3
I
I
3.2、（14 分）如图所示，轮子可绕水平轴转动，对转轴的转动惯量为 I，轮缘绕有软绳，下端挂有重量为
2
k1x
2 1
+
2
k2x
2 2
+
2
k3x
2 3
=
2
[
k1+
k2(
1
)2+ k3(
2
1
)2]
x
2 1
3
（4）求系统的固有频率：（4 分）
由 d(U+ET)=0 得：
ZZ ZZ ZZ ZZ [ I1+ I2(
1
)2+ I3(
2
1 )2] x1 + [ k1+ k2(
3
1
)2+ k3(
2
1
)2]x1 = 0
0
0
M I 4 L2 M I 4 L2
0 0
0
0


0 0

m1 0 0 m2
（5）求刚度矩阵：（2 分）
∂ 2U
y y k11=
= k3
∂∂
A
A
∂ 2U
y y k13=
∂∂
=- k3= k31
1
A
∂ 2U
y y ∂ k12=
∂
=0= k21
B
A
∂ 2U
y y k14=
∂∂
Z1
Z x2=
x1
2
（2）系统的动能：（4 分）
Z2 Z2 Z1 Z1
Z Z Z Z x3=
x2=
×
x1=
x1
3
3
2
3
ZZ ZZ ET
=
1 2
I1
x12
+
1 2
I2
x 22
+
1 2
I3
x32
=
1 2
[
I1+
I2(
1
)2+ I3(
2
1
)2]
x12
3
（3）系统的势能：（4 分）
Z Z 1
1
1
1
Z Z U=
2 1 1 1 0.414 1 1
振型矩阵：
u


1
0
1
2



1
0 0.414

2 1
1
1

0.414
1
1
3.1、（12 分）如图 1 所示的扭转系统。系统由转动惯量 I、扭转刚度由 K1、K2、K3 组成。
1）求串联刚度 K1 与 K2 的总刚度（3 分）
= 0 = k41
1
A
∂ 2U
y y ∂ k22=
∂
= k4
B
B
∂ 2U
y y k23=
= 0 =k32
∂∂
B
1
∂ 2U
y y ∂ k24=
∂
=- k4=k42
B
2
∂ 2U
y y k33=
= k1+k3
∂∂
1
1
∂ 2U
y y k34=
∂∂
= 0 = k43
1
2
∂ 2U
y y ∂ k44=
∂
= k2+k4
图1
选取广义坐标 x 或θ； 确定 m 的位移与摩擦轮转角的关系，（质量 m 的位移与摩擦轮转动的弧长及弹簧的变形量相等）；， 写出系统得动能函数 Et、势能函数 U； 令 d(Et+U)=0.求出广义质量和刚度
求出 n
k
m

I1 r12
I2 r22
，进一步求出 T
3.2、（16 分）如图所示扭转系统。设转动惯量 I1＝I2，扭转刚度 Kr1＝Kr2。 1）写出系统的动能函数和势能函数； （4 分）
1
1
[K] =
2、一质量为 m 、转动惯量为 I 的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧 k 约束，如图 2 所示，求系
统的固有频率。(15 分)
解：取圆柱体的转角 为坐标，逆时针为正，静平衡位置时 0 ，则当 m 有 转角时，系统有：
ET
1 I2 1 m (r)2 1 (I m r2 )2
（10 分）
图1 解：（1）取坐标：（2 分）
取 yA，yB，y1，y2 为描述系统运动的广义坐标，即{x}={yA，yB，y1，y2}T 各个自由度的原点均取静平衡位置，以向上为坐标正方向。
（2）系统的动能：（2 分）
ET

M 2

y A
2
y B
2

I 2
y B
L
（4k-m2）u11 =0
（4k-
2 r
m）u22=0
由此可知：u21 与 u11、u12 与 u22 毫不相关，即该系统是两个独立振动的单自由度系统。 令 u11= u22=1 即振型为： {u1}={1，0}T {u2}={0，1}T
固有频率为1 时振型图
固有频率为2 时振型图
五、如图 3 所示系统，试用能量法求出其质量矩阵、刚度矩阵。假设为均质杆。
32 m k
( 2 ) k 1
0
1 2 2 2 m
k 1
0
1 0 32 m
k
固有频率：
即： (3 2 m )2 (2 2 m ) 2(3 2 m ) 0
k
k
k
12 (2
2) k m
<
22

3k m
<
32 (2
2) k m
3
ZZ ZZ ZZ ZZ
2 n
=
[
k1+
k2(
1
)2+ k3(
2
1
)2]/ [ I1+ I2(
3
1
)2+ I3(
2
1
)2]
3
四、如图 2 所示系统：k1=k，k2=3k、k3=6k、k4=3k，（1）试写出其运动微分方程组；（2）求出系统的固有
频率（3）在图示运动平面上，绘出与固有频率对应的振型图。
k1 k4 k; k2 k3 2k; k5 k6 3k; ）
解：以静平衡位置为原点，设 m1, m2 , m3 的位移 x1, x2 , x3 为广义坐标，系统的动能和势能分别为
ET

1m 2
1x12

1m 2
2x22

1m 2
3x32
U

1 2
k1x12

1 2 k2(x1
1）求系统的质量矩阵和刚度矩阵和频率方程； 2）求出固有频率； 3）求系统的振型，并做图。
（6 分） （7 分） （6 分）
解：1)以静平衡位置为原点，设 I1, I2 , I3 的位移1,2 ,3 为广义坐标，画出 I1, I2 , I3 隔离体，根据牛顿
第二定律得到运动微分方程：

（15 分）
解：（1）按图示取坐标：（2 分）
取 x1，x2 为描述系统运动的广义坐标，即{x}={x1，x2}T 各个自由度的原点均取静平衡位置，以向上、向右为坐标正方向。
（2）列出系统的质量矩阵和刚度矩阵（3 分）
m 0
4k 0
[M]=

0
m
[K]=

0
9k

（3）列出系统的运动微分方程（2 分）
P 的物体，绳与轮缘之间无滑动。在图示位置，由水平弹簧维持平衡。半径 R 与 a 均已知。
1）写出系统的动能函数和势能函数；（5 分）
2) 求系统的运动方程；（4 分）
2）求出系统的固有频率。（5 分）
解：取轮的转角 为坐标，顺时针为正，系统平衡时 0 ，则当轮子有 转角时，系统有：
ET
1 I2 1 P (R )2
(
K



2

M
)
u1 u2


0
u3
和频率方程：
3k 2m (2 ) 2k
0
2k 10k 22m
2k
0 2k 0 3k 2m
即： ( 2 ) (3k 2m)(2m2 4 16km 2 22k2 ) 0
解得： 2 (4 5) k 和 2 3 k

x2 )2

1 2 k3(x2

x3 )2

1 2
k4x
2 3

1 2
(k5

k6
)x
2 2
U

1 2 (k1

k2 )x12

1 2 (k2

k3

k5

k6 )x22

1 2 (k3

k4 )x32

k2x1x2

k3x2x3
求偏导得到：
m1 0 0 1 0 0

M



0
m2