高中数学(人教版必修2)配套练习-第二章2.2.2平面与平面平行的判定
最新人教版高中数学必修2第二章《平面与平面平行的判定》课后训练
2.2.2 平面与平面平行的判定练习1．直线l∥平面α，直线m∥平面α，直线l与m相交于点P，且l与m确定的平面为β，则α与β的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．不确定2．在长方体ABCD-A′B′C′D′中，下列正确的是()A．平面ABCD∥平面ABB′A′B．平面ABCD∥平面ADD′A′C．平面ABCD∥平面CDD′C′D．平面ABCD∥平面A′B′C′D′3. 如图所示，设E，F，E1，F1分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．不确定4．经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作()A．1个或2个B．0个或1个C．1个D．0个5．已知直线l，m，平面α，β，下列命题正确的是()A．l∥β，lαα∥βB．l∥β，m∥β，lα，mαα∥βC．l∥m，lα，mβα∥βD．l∥β，m∥β，lα，mα，l∩m＝Mα∥β6．如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面的位置关系是__________．7．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD 的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1.8．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.以上四个命题中，正确命题的序号是__________．9. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC和SC的中点．求证：平面EFG∥平面BDD1B1.10. 如图，E，F，G，H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点，求证：(1)GE∥平面BB1D1D；(2)平面BDF∥平面B1D1H.参考答案1. 答案：B2. 答案：D3. 答案：A4. 答案：B5. 答案：D6. 答案：平行7. 答案：M ∈线段FH8. 答案：①②③④9. 答案：证明： 如图所示，连接SB ，SD ．∵F ，G 分别是DC ，SC 的中点，∴FG ∥SD ．又∵SD 平面BDD 1B 1，FG 平面BDD 1B 1， ∴直线FG ∥平面BDD 1B 1.同理可证EG ∥平面BDD 1B 1.又∵直线EG 平面EFG ，直线FG 平面EFG ， 直线EG ∩直线FG ＝G ，∴平面EFG ∥平面BDD 1B 1.10. 答案：证明： (1)取B 1D 1的中点O ，连接GO ，OB ，易证OG ∥12B 1C 1，且OG ＝12B 1C 1，BE ∥12B 1C 1，且BE ＝12B 1C 1. ∴OG ∥BE 且OG ＝BE ，∴四边形BEGO 为平行四边形，∴OB ∥GE .∵OB 平面BDD 1B 1，GE 平面BDD 1B 1， ∴GE ∥平面BB 1D 1D ．(2)由正方体的性质，易知B 1D 1∥BD ，且易证BF ∥D 1H . ∵B 1D 1平面BDF ，BD平面BDF ，∴B 1D 1∥平面BDF .∵HD1平面BDF，BF平面BDF，∴HD1∥平面BDF.又∵B1D1∩HD1＝D1，∴平面BDF∥平面B1D1H.。
【人教A版】高中数学同步检测：第二章2.2-2.2.2平面与平面平行的判定(含答案)
第二章点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定2.2.2 平面与平面平行的判定A级基础巩固一、选择题1．下列图形中能正确表示语句“平面α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∥β”的是()解析：A中不能正确表达b⊂β；B中不能正确表达a∥β；C中也不能正确表达a∥β；D正确．答案：D2．能保证直线与平面平行的条件是()A．直线与平面内的一条直线平行B．直线与平面内的所有直线平行C．直线与平面内的无数条直线平行D．直线与平面内的所有直线不相交解析：A不正确，因为直线可能在平面内；B不正确；C不正确，直线也可能在平面内；D正确，因为直线与平面内所有直线不相交，依据直线和平面平行的定义可得直线与平面平行．答案：D3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱CD上的动点，则直线MC1与平面AA1B1B的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．相交或平行解析：MC1⊂平面DD1C1C，而平面AA1B1B∥平面DD1C1C，故MC1∥平面AA1B1B.答案：B4．已知m，n是两条直线，α，β是两个平面．有以下命题：①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：把符号语言转换为文字语言或图形语言．可知①是面面平行的判定定理；②③中平面α，β还有可能相交，所以选B.答案：B5.平面α与△ABC 的两边AB ，AC 分别交于D ，E ，且AD DB ＝AE EC，如图所示，则BC 与平面α的关系是( )A ．平行B ．相交C ．异面D ．BC ⊂α解析：因为AD DB ＝AE EC，所以ED ∥BC ，又DE ⊂α，BC ⊄α， 所以BC ∥α.答案：A二、填空题6．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB 和BC 上的点，若AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝1∶3，则对角线AC 与平面DEF 的位置关系是________．解析：因为AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝1∶3，所以EF ∥AC .又因为AC ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，所以AC ∥平面DEF .答案：平行7．若空间四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 的长分别是8，12，过AB 的中点E 且平行于BD ，AC 的截面四边形的周长为________．解析：设所求截面四边形为EFGH ，且F ，G ，H 分别是BC ，CD ，DA 的中点，所以EF ＝GH ＝4，FG ＝HE ＝6.所以截面四边形EFGH的周长为2×(4＋6)＝20.答案：208．下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中：①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.以上四个命题中，正确命题的序号是________．解析：以ABCD为下底面还原正方体，如图，则易判定四个命题都是正确的．答案：①②③④三、解答题9.如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别为BC，B1C的中点，求证：MN∥面ACC1A1.证明：因为M，N分别为BC，B1C的中点，所以MN∥BB1，又BB1∥AA1，所以MN∥AA1，又MN⊄面ACC1A1，AA1⊂面ACC1A1，所以MN∥面ACC1A1.10.如图所示，在已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.证明：因为PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，所以MQ∥AD，NQ∥BP.因为BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC，所以NQ∥平面PBC.又因为底面ABCD为平行四边形，所以BC∥AD，所以MQ∥BC.因为BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，所以MQ∥平面PBC.又因为MQ∩NQ＝Q，所以根据平面与平面平行的判定定理，得平面MNQ∥平面PBC.B级能力提升1．如图所示，在下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP 的图形的序号是()①②③④A．①③B．①④C．②③D．②④答案：B2．已知a和b是异面直线，且a⊂平面α，b⊂平面β，a∥β，b∥α，则平面α与β的位置关系是________．解析：在b上任取一点O，则直线a与点O确定一个平面γ，设γ⊂β＝l，则l⊂β，因为a∥β，所以a与l无公共点，所以a∥l，所以l∥α.又b∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β.答案：平行3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别是AB，CD，A1B1，C1D1的中点．求证：平面EFD1A1∥平面BCF1E1.证明：因为E，F分别是AB，DC的中点，所以EF∥BC.因为EF⊄平面BCF1E1，BC⊂平面BCF1E1，所以EF∥平面BCF1E1.因为E，E1分别是AB，A1B1的中点，所以A1E1∥BE且A1E1＝BE.所以四边形A1EBE1为平行四边形．所以A1E∥BE1.因为A1E⊄平面BCF1E1，BE1⊂平面BCF1E1，所以A1E∥平面BCF1E1.又A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFD1A1，所以平面EFD1A1∥平面BCF1E1.。
2020高中数学必修2同步练习：2.2.2 平面与平面平行的判定 含解析
2.2.2 平面与平面平行的判定课时过关·能力提升一、基础巩固1.已知平面α内的两条直线a,b,a∥β,b∥β,若要得出平面α∥平面β,则直线a,b的位置关系是()A.相交B.平行C.异面D.垂直a,b相交2.在正方体EFGH-E1F1G1H1中,下列四对平面彼此平行的一对是()A.平面E1FG1与平面EGH1B.平面FHG1与平面F1H1GC.平面F1H1H与平面FHE1D.平面E1HG1与平面EH1G,易证E1G1∥平面EGH1,G1F∥平面EGH1.因为E1G1∩G1F=G1,所以平面E1FG1∥平面EGH1.3.已知点P是平面α外一点,则过点P且平行于平面α的平面有()A.0个B.1个C.2个D.无数个α内任取两条相交直线m,n,过点P分别作平行于m,n的直线m',n',则m'∥α,n'∥α.又m'和n'是两条相交直线,所以m'和n'确定的平面β平行于平面α.又m'和n'是唯一的,所以β是唯一的.4. 如图,若E,F,E1,F1分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,CD,A1B1,C1D1的中点,则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.不确定E1和F1分别是A1B1和D1C1的中点,所以A1D1∥E1F1.又A1D1⊄平面BCF1E1,E1F1⊂平面BCF1E1,所以A1D1∥平面BCF1E1.又E1和E分别是A1B1和AB的中点,所以A1E1 BE,即四边形A1EBE1是平行四边形,所以A1E∥BE1.又A1E⊄平面BCF1E1,BE1⊂平面BCF1E1,所以A1E∥平面BCF1E1.又A1E⊂平面EFD1A1,A1D1⊂平面EFD1A1,A1E∩A1D1=A1,所以平面EFD1A1∥平面BCF1E1.5.如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面的位置关系是.6.若平面α内任意一条直线均平行于平面β,则平面α与平面β的位置关系是.α内任意一条直线均平行于平面β,则平面α内肯定有两条相交直线平行于平面β,所以α∥β.7. 在如图所示的几何体中,三个侧面AA1B1B,BB1C1C,CC1A1A都是平行四边形,则平面ABC与平面A1B1C1的位置关系是.AA1B1B是平行四边形,所以AB∥A1B1.因为AB⊄平面A1B1C1,A1B1⊂平面A1B1C1,所以AB∥平面A1B1C1.同理可证BC∥平面A1B1C1.又因为AB∩BC=B,AB⊂平面ABC,BC⊂平面ABC, 所以平面ABC∥平面A1B1C1.8.如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1,求证:平面A1BD∥平面CB1D1.ABCD-A1B1C1D1中,易证A1B∥D1C.因为A1B⊄平面CB1D1,D1C⊂平面CB1D1,所以A1B∥平面CB1D1.同理可证A1D∥平面CB1D1.又A1B⊂平面A1BD,A1D⊂平面A1BD,A1B∩A1D=A1,所以平面A1BD∥平面CB1D1.二、能力提升1.若经过平面α外的两点作与α平行的平面,则这样的平面可以作()A.1个或2个B.0个或1个C.1个D.0个α平行时,可作一个平面与α平行;当过两点的直线与α相交时,不能作与α平行的平面.2.已知点M,直线l,m,平面α,β,下列命题正确的是()A.l∥β,l⊂α⇒α∥βB.l∥β,m∥β,l⊂α,m⊂α⇒α∥βC.l∥m,l⊂α,m⊂β⇒α∥βD.l∥β,m∥β,l⊂α,m⊂α,l∩m=M⇒α∥β,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AB∥CD,则直线AB∥平面DC1,直线AB⊂平面AC,但是平面AC与平面DC1不平行,所以选项A错误;取BB1的中点E,CC1的中点F,连接EF,则可证EF∥平面AC,B1C1∥平面AC.又EF⊂平面BC1,B1C1⊂平面BC1,但是平面AC与平面BC1不平行,所以选项B错误;直线AD∥B1C1,AD⊂平面AC,B1C1⊂平面BC1,但平面AC与平面BC1不平行,所以选项C错误;很明显选项D是两个平面平行的判定定理,所以选项D正确.★3.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1的中点是P,过点A1作与截面PBC1平行的截面,则该截面的面积为()A.2√2B.2√3C.2√6D.4,易知该截面唯一,且E,F分别为AB,D1C1的中点.又在正方体中,可得A1E=CE=CF=FA1=√5,所以四边形A1ECF为菱形.又A1C=2√3,E F=2√2,故截面面积为2√6.答案:C4.如图是一个几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F,G,H分别为PA,PD,PC,PB的中点,在此几何体中,给出下面五个结论:①平面EFGH∥平面ABCD;②PA∥平面BDG;③EF∥平面PBC;④FH∥平面BDG;⑤EF∥平面BDG.其中正确结论的序号是.,再根据线面平行、面面平行的判定定理判断可知①②③④正确.5.如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,①BM∥平面DE;②CN∥平面AF;③平面BDM∥平面AFN;④平面BDE∥平面NCF.以上四个命题中,正确命题的序号是..图甲图乙在正方体中,连接AN,如图乙所示.因为AB∥MN,且AB=MN,所以四边形ABMN是平行四边形.所以BM∥AN.因为BM⊄平面DE,AN⊂平面DE,所以BM∥平面DE.同理可证CN∥平面AF,所以①②正确.图丙如图丙,连接NF,BE,BD,DM,CF,可以证明BM∥平面AFN,BD∥平面AFN,则平面BDM∥平面AFN,同理可证平面BDE∥平面NCF,所以③④正确.6.如图,在三棱锥S-ABC中,AS=AB.过点A作AF⊥SB,垂足为F,点E,G分别是棱SA,SC的中点.求证:平面EFG∥平面ABC.AS=AB,AF⊥SB,垂足为F,所以F是SB的中点.又因为E是SA的中点,所以EF∥AB.因为EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG=E,所以平面EFG∥平面ABC.7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,Q 是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.理由如下:因为Q为CC1的中点,P为DD1的中点,所以易知QB∥PA.而QB⊄平面PAO,PA⊂平面PAO,所以QB∥平面PAO.连接DB,因为P,O分别为DD1,DB的中点,所以PO为△DBD1的中位线,所以D1B∥PO.而D1B⊄平面PAO,PO⊂平面PAO,所以D1B∥平面PAO.又D1B∩QB=B,所以平面D1BQ∥平面PAO.★8.如图,E,F,G,H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC,CC1,C1D1,AA1的中点,求证:(1)GE∥平面BB1D1D;(2)平面BDF∥平面B1D1H.取B1D1的中点O,B1C1.连接GO,OB,易证OG∥B1C1,且OG=12B1C1,因为BE∥B1C1,且BE=12所以OG∥BE,且OG=BE,即四边形BEGO为平行四边形.所以OB∥GE.因为OB⊂平面BDD1B1,GE⊄平面BDD1B1,所以GE∥平面BB1D1D.(2)由正方体的性质,易知B1D1∥BD,且易证BF∥D1H.因为B1D1⊄平面BDF,BD⊂平面BDF,所以B1D1∥平面BDF.因为HD1⊄平面BDF,BF⊂平面BDF,所以HD1∥平面BDF.又B1D1∩HD1=D1,所以平面BDF∥平面B1D1H。
2021-2022高中数学人教版必修2作业：2.2.2平面与平面平行的判定(系列四)Word版含解析
直线与平面平行的判定、平面与平面平行的判定A 组 根底稳固1．直线l ∥平面α，直线m ∥平面α，假设l∩m ＝P ，且l 与m 确定的平面为β，那么α与β的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．重合D ．不能确定解析：∵l ∥α，m ∥α，l∩m ＝P ，又l ⊂β，m ⊂β，∴α∥β.答案：B2．a ，b ，c 为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出以下说法：① ⎭⎬⎫a ∥γb ∥γ⇒a ∥b ；② ⎭⎬⎫α∥c β∥c ⇒α∥β；③⎭⎬⎫a ∥γα∥γ⇒a ∥α. 其中正确说法的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案：A3.2021·山东省济宁一中月考以下判断正确的选项是( ) ①假设一个平面内有两条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行；②假设一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行；③假设一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；④假设一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行．A ．①③B ．②④C ．②③④D ．③④解析：此题考查两个平面平行的判定．①②中两个平面可以相交；③是两个平面平行的定义；④是两个平面平行的判定定理，应选D.答案：D4.2021·北大附中月考直线a ，b ，平面α，β，以下命题正确的选项是( )A ．假设a ∥α，b ∥a ，那么b ∥αB ．假设a ∥α，b ∥α，a ⊂β，b ⊂β，那么β∥αC ．假设α∥β，b ∥α，那么b ∥βD ．假设α∥β，a ⊂α，那么a ∥β解析：此题考查线面、面面平行的判定和性质．假设a ∥α，b ∥a ，那么b ∥α或b ⊂α，故A 错误；由面面平行的判定定理知B 错误；假设α∥β，b ∥α，那么b ∥β或b ⊂β，故C 错误．应选D.答案：D5.2021·湖北省武汉一中月考a ，b ，c 为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出六个命题：①⎩⎨⎧ a ∥c b ∥c ⇒a ∥b ；②⎩⎨⎧ a ∥γb ∥γ⇒a ∥b ；③⎩⎨⎧ c ∥αc ∥β⇒α∥β； ④⎩⎨⎧ α∥γβ∥γ⇒α∥β；⑤⎩⎨⎧ c ∥αa ∥c ⇒a ∥α；⑥⎩⎨⎧ α∥βa ∥β⇒a ∥α. 其中正确的命题是( )A ．②③B ．①④⑤C ．①④D ．①③④解析：此题考查直线、平面的平行．由空间平行线的传递性，知①正确；②错误，a ，b 可能相交或异面；③错误，α与β可能相交；由面面平行的传递性，知④正确；⑤⑥错误，a 可能在α内．应选C.答案：C6．在正方体EFGH －E 1F 1G 1H 1中，以下四对截面彼此平行的一对是( )A ．平面E 1FG 1与平面EGH 1B ．平面FHG 1与平面F 1H 1GC ．平面F 1H 1H 与平面FHE 1D ．平面E 1HG 1与平面EH 1G解析：如图易证E 1G 1∥平面EGH 1，G 1F ∥平面EGH 1.又E 1G 1∩G 1F ＝G 1，E 1G 1，G 1F ⊂平面E 1FG 1.所以平面E 1FG 1∥平面EGH 1.答案：A7.2021·安徽省涡阳四中期末考试如下图的四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形是________．(填序号)①②③④解析：此题考查空间直线与平面平行的判定．①中，记点B正上方的顶点为C，连接AC，那么易证平面ABC∥平面MNP，所以AB∥平面MNP；④中AB∥NP，根据空间直线与平面平行的判定定理可以得出AB∥平面MNP；②③中，AB均与平面MNP相交．答案：①④8.2021·江苏省盐城中学月考如图是正方体的平面展开图．关于这个正方体，有以下判断：①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.其中正确判断的序号是________．解析：此题考查线面、面面平行的判定和性质的综合应用．以ABCD为下底面复原正方体，如图，那么易判定四个判断都是正确的．答案：①②③④9．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱C1C，C1D1，D1D，DC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，那么M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1，其中N是BC的中点．(填上一个正确的条件即可，不必考虑全部可能的情况)解析：∵H、N分别是CD和CB的中点，连接HN，BD，易知BD∥HN.又BD⊂平面B1BDD1，HN⊄平面B1BDD1，故HN∥平面B1BDD1，故不妨取M点与H点重合便符合题意．答案：M与H重合(答案不唯一，又如M∈FH)10．如下图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M、N、Q分别在PA、BD、PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.证明：∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，。
人教版高中数学必修22.2.2 平面与平面平行的判定
题型一 题型二
题型二
易错辨析
易错点:不满足面面平行的判定定理的条件而致错 【例2】
如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是AA1,BB1,CC1,DD1 的中点,求证:平面EG∥平面AC.
题型一 题型二
错解:因为E,F分别是AA1和BB1的中点,所以EF∥AB.又EF⊄平面 AC,AB⊂平面AC,所以EF∥平面AC.
题型一 题型二
【变式训练边形,点
M,N,Q分别在PA,BD,PD上,且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD.求证:平
面MNQ∥平面PBC.
题型一 题型二
证明:因为PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD,
所以MQ∥AD,NQ∥BP. 因为BP⊂平面PBC,NQ⊄平面PBC,所以NQ∥平面PBC. 又底面ABCD为平行四边形, 所以BC∥AD,所以MQ∥BC. 因为BC⊂平面PBC,MQ⊄平面PBC,所以MQ∥平面PBC. 又MQ∩NQ=Q,根据平面与平面平行的判定定理,得平面MNQ∥ 平面PBC.
题型一 题型二
反思判定平面与平面平行的常用方法有: (1)根据定义:证明两个平面没有公共点,通常要采用反证法. (2)根据判定定理:要证明两个平面平行,只需在其中一个平面内 找到两条相交直线平行于另一个平面. 判定两个平面平行与判定线面平行一样,应遵循先找后作的原则, 即先在一个平面内找到两条相交直线与另一个平面平行,若找不到 再作辅助线.
高一数学人教A版必修2课后导练：2.2.2平面与平面平行的判定含解析
课后导练基础达标1若两个平面内分别有一条直线，这两条直线相互平行，则这两个平面的公共点的个数是（）A. 有限个B.无穷个C.没有D.没有或无穷个分析：知足条件的两平面平行或订交.答案： D2 以下命题正确的个数是（）①若两个平面没有公共点，则这两个平面平行②垂直于同向来线的两个平面平行③平行于同向来线的两个平面平行④平行于同一平面的两个平面平行A.1B.2C.3D.4分析：由定义知①正确，由判断定理可知②④正确，③错误.答案： C3 以下表达不正确的选项是（）A. 若α∥ β，则α内全部直线都平行于βB.若α∥ β，则α内的直线与β内的直线可平行或异面C.若α与β订交，则α内必存在直线与β平行D.若α与β订交，则α内全部直线与β订交分析：若α∥ β，则α内全部直线与β无公共点，因此平行， A 项对， B 项也对；若α与β订交，则在α内与平行于交线的直线与β平行，因此 C 项正确 .答案： D4α、β是两个不重合的平面，在以下条件中，可确立α∥ β的是（）A. α、β都平行于直线l 、 mB. α内有三个不共线的点到β距离相等C.l 、 m 是α内两直线且 m∥ β， l∥ βD.l 、 m 是两异面直线，且l ∥β ,m∥ β ,l∥ α ,m∥ α分析： A 中若 l 与 m 订交或异面时，α∥ β，若 l∥ m，则α与β可能订交； B 中若这三点在β的同侧，则α∥ β，若这三点在β的异侧，则α与β订交； C 中若 m 与 l 订交，则α∥ β，若 m∥ l ，则α与β有可能订交 .答案： D5 经过平面外的两点作该平面的平行于平面,能够作（）A.0 个B.1个C.0个或 1个D.1个或 2个分析：若两点连线平行于平面，则可作 1 个，若两点连线与平面订交，则0 个 .答案： C6 空间中两个平面的地点关系有_____________.答案：平行与订交7假如在一个平面内，有无数条直线和另一个平面平行，则这两个平面的地点关系是___________.答案：平行或订交8 已知：平面 ABCD∩平面 ABEF=AB ，且 AB ⊥ BC,AB ⊥BE,AB ⊥ AD,AB ⊥AF ，求证：平面 ADF ∥平面 BCE （如图） .1证明：在平面 ABCD 中， AB ⊥ BC,AB ⊥ AD, ∴ AD ∥ BC.又 AD 面 ADF,BC 面 ADF，∴BC ∥面 ADF.同理可证 BE ∥面 ADF, 又 BC 面 BCE ， BE 面 BCE 且 BC∩BE=B, 故平面 BCE∥平面 ADF.综合应用9 过平面外一点有______条直线与已知平面平行，过平面外一点有______ 个平面与已知平面平行 .答案：无数有且只有一10 若一条直线与两个平行平面中的一个订交，则该直线与另一个平面______.答案：也订交11 已知： E、 F、 G、 H 分别是空间四边形ABCD 的边 AB 、 BC 、 CD、DA 的中点，求证：(1)四边形 EFGH 是平行四边形 ;(2)AC ∥平面 EFGH ， BD ∥平面 EFGH.证明：（1）∵ E、 F、G、 H 分别为 AB 、 BC、 CD 、DA 的中点，∴E 11GH, 故四边形 EFGH 为平行四边形 .AC,GH AC, ∴ EF22（2）由（ 1）知，EF∥ AC,EF平面 EFGH,AC面 EFGH ，∴ AC ∥平面 EFGH，同理可证，BD ∥平面 EFGH.拓展研究12 如右图，空间图形中， ABCD 与 ABEF 均为正方形， M ， N 分别是对角线 AC ，BF 上的一点，且 AM=FN ，请过 MN 作一平面∥ BCE.作法：过M 作 MO ∥BC 交 AB 于点 O，连接 NO，∵MO ∥BC ，∴AO AM.OB MC又知 AM=FN ， AC=BF ，∴ MC=BN.则AM FN,MC BNAO FNOB BN∴ON ∥ AF ∥ BE.又 BE 面 BCE,NO 面 BCE.∴ON ∥面 BCE.同理可证 OM ∥面 BCE ，又 MO∩ON=O,∴面 MON ∥面 BCE ，则面 MON 为所作平面 .。
2015-2016学年 高中数学 人教A版必修二 第二章 2.2.2平面与平面平行的判定
2.2.2
1．证明平面与平面平行的一般思路：要证面面平行，只要 证线面平行，而要证线面平行，只要证线线平行．在立
本 课 时 栏 目 开 关
体几何中，往往通过线线、线面、面面间的位置关系的 转化使问题得到解决． 2．证明面面平行，常用平行公理、三角形中位线定理、构 造平行四边形等来证明.
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例 1 已知正方体 ABCD—A1B1C1D1，求证：平 面 AB1D1∥平面 C1BD.
证明 因为 ABCD—A1B1C1D1 为正方体， 所以 D1C1∥A1B1，D1C1＝A1B1.
又 AB∥A1B1，AB＝A1B1，
所以 D1C1∥AB，D1C1＝AB， 所以 D1C1BA 是平行四边形，所以 D1A∥C1B，
条相交直线平行于另一个平面． (2)判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作 的原则， 即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直 线，若找不到再作辅助线．
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跟踪训练 2 如图所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，O 为底面 ABCD 的中心，P 是 DD1 的中点，设 Q 是 CC1 上的点，问：当点 Q 在什么位置时，平面 D1BQ∥平面 PAO?
小结
证明两个平面平行的一般步骤为：第一步：在一个平
面内找出两条相交直线；第二步：证明两条相交直线分别平 行于另一个平面；第三步：利用判定定理得出结论．
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2.2.2
跟踪训练 1
如图， 在正方体 ABCD—A1B1C1D1
中，E、F、G、P、Q、R 分别是图中棱的中点．
本 课 时、目标达成落实处
2.2.2
B 选项不正确， 平行于同一个平面的两条直线其位置关系可
【优质文档】人教A版必修2第二章2.2.2《平面与平面平行的判定》精选题高频考点(含答案)-2
/ / 的一个充分条件是
B ．存在一条直线 a ， a / / , a / / .
C．存在一条直线 a ， a a, a / / .
D ．存在两条平行直线 a, b ， a , b ,a / / , b / / a .
2．在正方体 ABCD -A1B1C1D1 中， E，F ，G 分别是 A1 B1， B1C1，BB1 的中点，给出下列 四个推断：
A ．平行
B．相交
C ．平行或相交
D ．平行或在平面内
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二、填空题
21．如图， ABCD 是空间四边形， E、 F、 G、H 分别是其四边上的点且共面，
面 EFGH ， AC ＝ m， BD＝ n，当 EFGH 是菱形时， AE ______. EB
AC ∥平
22．已知，如图， A 、 B、 C、 D 四点不共面，且 AB ∥ α， CD ∥ α， AC∩α＝ E， AD∩α ＝ F，BD∩α＝ H， BC∩α＝ G，则四边形 EFHG 的形状是 ______．
23．下列四个命题中，正确的命题为 ________(填序号 )．
① α∥ β， β⊥ γ，则 α⊥ γ
② α∥ β， β∥ γ，则 α∥ γ
③ α⊥ β， γ⊥ β，则 α⊥ γ
④ α⊥ β， γ⊥ β，则 α∥ γ
24．已知 m,n 是两条不重合的直线 , , 是三个两两不重合的平面 .给出下列四个命题 :
B ．若 ?? ⊥??， ?? ⊥??， ??∥??，则 ??∥??
C．若 ?? ? ??， ??∥??， m， n 共面于 ??，则 ?? ∥??
D ．若， ?? ⊥??，??⊥??， ??，??不平行，则 m， n 为异面直线
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2.2.2 平面与平面平行的判定一、基础过关1．直线l∥平面α，直线m∥平面α，直线l与m相交于点P，且l与m确定的平面为β，则α与β的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．不确定2．平面α与平面β平行的条件可以是() A．α内的一条直线与β平行B．α内的两条直线与β平行C．α内的无数条直线与β平行D．α内的两条相交直线分别与β平行3．给出下列结论，正确的有()①平行于同一条直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③过平面外两点，不能作一个平面与已知平面平行；④若a，b为异面直线，则过a与b平行的平面只有一个．A．1个B．2个C．3个D．4个4．若正n边形的两条对角线分别与面α平行，则这个正n边形所在的平面一定平行于平面α，那么n 的取值可能是()A．12 B．8 C．6 D．55．已知平面α、β和直线a、b、c，且a∥b∥c，a⊂α，b、c⊂β，则α与β的关系是________．6．有下列几个命题：①平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β；②α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线)，则γ∥β；③平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β；④平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β.其中正确的有________．(填序号)7．如图所示，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，求证：AE∥平面DCF.8. 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、E1、F1分别是AB、CD、A1B1、C1D1的中点．求证：平面A1EFD1∥平面BCF1E1.二、能力提升9．α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同的直线，在下列条件下，可判定α∥β的是()A．α，β都平行于直线a、bB．α内有三个不共线的点到β的距离相等C．a，b是α内两条直线，且a∥β，b∥βD．a、b是两条异面直线，且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β10. 正方体EFGH—E1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是()A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G11. 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1.12．已知在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、E、F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点．求证：(1)E、F、D、B四点共面；(2)平面AMN∥平面EFDB.三、探究与拓展13．如图所示，B为△ACD所在平面外一点，M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心．(1)求证：平面MNG∥平面ACD；(2)求S△MNG∶S△ADC.答案1．B2．D3．B 4.D5．相交或平行6．③7．证明由于AB∥CD，BE∥CF，故平面ABE∥平面DCF.而直线AE 在平面ABE 内，根据线面平行的定义，知AE ∥平面DCF . 8．证明 ∵E 、E 1分别是AB 、A 1B 1的中点，∴A 1E 1∥BE 且A 1E 1＝BE .∴四边形A 1EBE 1为平行四边形． ∴A 1E ∥BE 1.∵A 1E ⊄平面BCF 1E 1， BE 1⊂平面BCF 1E 1. ∴A 1E ∥平面BCF 1E 1. 同理A 1D 1∥平面BCF 1E 1， A 1E ∩A 1D 1＝A 1，∴平面A 1EFD 1∥平面BCF 1E 1. 9．D 10.A 11.M ∈线段FH12．证明 (1)∵E 、F 分别是B 1C 1、C 1D 1的中点，∴EF 綊12B 1D 1，∵DD 1綊BB 1，∴四边形D 1B 1BD 是平行四边形， ∴D 1B 1∥BD . ∴EF ∥BD ，即EF 、BD 确定一个平面，故E 、F 、D 、B 四点共面． (2)∵M 、N 分别是A 1B 1、A 1D 1的中点， ∴MN ∥D 1B 1∥EF . 又MN ⊄平面EFDB ， EF ⊂平面EFDB . ∴MN ∥平面EFDB .连接NE ，则NE 綊A 1B 1綊AB . ∴四边形NEBA 是平行四边形．∴AN ∥BE .又AN ⊄平面EFDB ，BE ⊂平面EFDB .∴AN ∥平面EFDB . ∵AN 、MN 都在平面AMN 内，且AN ∩MN ＝N ， ∴平面AMN ∥平面EFDB .13．(1)证明 连接BM 、BN 、BG 并延长交AC 、AD 、CD 分别于P 、F 、H .∵M 、N 、G 分别为△ABC 、△ABD 、△BCD 的重心，则有BM MP ＝BN NF ＝BGGH ＝2.连接PF 、FH 、PH ，有MN ∥PF . 又PF ⊂平面ACD ，MN ⊄平面ACD ，∴MN ∥平面ACD .同理MG ∥平面ACD ，MG ∩MN ＝M ， ∴平面MNG ∥平面ACD .(2)解 由(1)可知MG PH ＝BG BH ＝23，∴MG ＝23PH .又PH ＝12AD ，∴MG ＝13AD .同理NG ＝13AC ，MN ＝13CD .∴△MNG ∽△DCA ，其相似比为1∶3， ∴S △MNG ∶S △ADC ＝1∶9.。
最新人教版高中数学必修2第二章《平面与平面平行的判定》优化训练
2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定2.2.2 平面与平面平行的判定5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是( )A.平行B.相交C.平行或相交D.无法确定解析:当两个平面相交时，在这两个平面内存在直线，使得这两条直线互相平行.故这两个平面有可能相交或平行.答案：C2.过平面外一点，可以作________________________________条直线与已知平面平行；过平面外一点，可以作__________________________________个平面与已知平面平行.解析:过平面外一点，可以作无数条直线与已知平面平行，但过平面外一点，只可以作一个平面与已知平面平行.答案：无数一3.判断下列命题的真假.（1）若直线lα，则l不可能与平面α内无数条直线都相交.（）（2）若直线l与平面α不平行，则l与α内任何一条直线都不平行.（）（3）过平面外一点只能引一条直线与这个平面平行.（）解析:（1）中l可能与平面α相交;（2）直线l可能在平面α内;（3）过平面外一点能引无数条直线与这个平面平行.答案：（1）×（2）×（3）×10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.命题（1）“若平面α内有无穷多条直线都和直线l平行，则l∥α”；命题（2）“若l∥α，则平面α内有无穷多条直线都和直线l平行”.下列判断正确的是( )A.（1）是真命题，（2）是假命题B.（1）是真命题，（2）是真命题C.（1）是假命题，（2）是假命题D.（1）是假命题，（2）是真命题解析:平面α内有无穷多条直线都和直线l平行,则得不出l∥α，因为l有可能在平面α内，若l∥α,则平面α内有无穷多条直线都和直线l平行.答案：D2.已知a、b、c是直线，β是平面，给出下列命题：①若a⊥b,b⊥c,则a∥c；②若a∥b,b⊥c,则a⊥c；③若a∥β,b∥β,则a∥b；④若a与b异面，且a∥β,则b与β相交;⑤若a与b异面，则至多有一条直线与a、b都垂直.其中真命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4解析:在①中a与c可能相交或异面;③a与b可能异面;④中b与β有可能平行或b在β内;⑤错，可以有无数条直线与a，b都垂直，只有②正确.答案：①②③④3.以下命题（其中a，b表示直线，α表示平面）①若a∥b，b⊂α，则a∥α;②若a∥α，b∥α，则a∥b;③若a∥b，b∥α，则a∥α;④若a∥α，b⊂α，则a∥b.其中错误命题是_________________.(填序号)解析:①中a有可能在平面α内，②中a与b有可能相交或异面，③中a有可能在平面α内,④中a 与b 可能异面.答案：A4.如图2-2-1，在三棱锥P －ABC 中，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，图2-2-1求证：OD ∥平面PAB.证明：∵点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，∴OD ∥AP.∵OD 平面PAB ，AP ⊂平面PAB,∴OD ∥平面PAB.5.如图2-2-2,P 是△ABC 所在平面外的一点,A′、B′、C′分别是△PBC 、△PCA 、△PAB 的重心.(1)求证：平面A′B′C′∥平面ABC;(2)求△A′B′C′与△ABC 的面积之比.图2-2-2(1)证明:连结PA′、PC′,并分别延长交BC 、AB 于M 、N,连结MN.∵A′、C′分别是△PBC 、△PAB 的重心,∴PA′=32 PM,PC′=32PN. ∴A′C′∥MN.∵A′C′平面ABC,MN ⊂平面ABC,∴A′C′∥平面ABC.同理,A′B′∥平面ABC.又A′C′∩A′B′=A′,A′C′、A′B′ 平面A′B′C′,∴平面A′B′C′∥平面ABC.(2)解：由(1)知A′C′32MN.又MN 21AC. ∴A′C′31AC. 同理,A′B′31AB,B′C′31BC.∴△A′B′C′∽△ABC.∴91'''=∆∆ABC C B A S S . 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.下列图形能正确表示语句“平面α∩β=l ,a ⊂α,b ⊂β,a ∥β ”的是( )图2-2-3解析:因a ∥β，故直线a 与交线l 平行.答案：B2.当α∥β时，必须满足的条件( )A.平面α内有无数条直线平行于平面βB.平面α与平面β同平行于一条直线C.平面α内有两条直线平行于平面βD.平面α内有两条相交直线与平面β平行 解析:平面α∥平面β，若直线a 、b 共面，则a 、b 平行，否则直线a 、b 异面，因此a 、b 不相交.答案：D3.A 、B 是直线l 外的两点，过A 、B 且和l 平行的平面的个数有( )A.0个B.1个C.无数个D.以上都有可能 解析:若A 、B 在直线l 的两侧且共面，则过A 、B 且和l 平行的平面不存在，若A 、B 的连线与直线l 平行，则这样的平面有无数个，若A 、B 的连线与l 异面，则这样的平面只有一个.答案：D4.若a α，b α，a ∥α，命题（1）“若a ∥b ，则b ∥α”，命题（2）“若b ∥α，则a ∥b”.则下列判断正确的是( )A.（1）是真命题,（2）是真命题B.（1）是真命题,（2）是假命题C.（1）是假命题,（2）是真命题D.（1）是假命题,（2）是假命题解析:若a α，b α，a ∥α，则由a ∥b 可推出b ∥α，但由b ∥α不一定能推出a ∥b ，a 与b 有可能相交或异面.答案：B5.直线a ∥平面α，点A ∈α，则过点A 且平行于直线a 的直线 ( )A.只有一条，但不一定在平面α内B.只有一条，且在平面α内C.有无数条，但都不在平面α内D.有无数条，且都在平面α内解析:直线a ∥平面α，点A ∈α，则过点A 且平行于直线a 的直线是过直线a 与点A 的平面与平面α的交线.答案：B6.若平面α∥平面β，直线a ⊂α，直线b ⊂β，那么直线a ，b 的位置关系是_____________. 解析:平面α内有两条相交直线平行于平面β，根据判定定理,则α∥β.答案：不相交7.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,棱长为a,M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点,A 1M=AN.(1)求证：MN ∥平面BB 1C 1C ；(2)求MN 的长的最小值.(1)证明：作NE ∥AB 交BC 于E,作MF ∥AB 交B 1B 于F,连结EF,则NE ∥MF.∵NE ∥AB,∴CACN AB NE =.又MF ∥AB ∥A 1B 1, ∴111BA BM B A MF =. ∵CA=BA 1,AN=A 1M,∴CN=BM. ∴11B A MF AB NE =.又AB=A 1B 1,∴NE=MF. 从而四边形MNEF 是平行四边形,MN EF.又MN 平面B 1BCC 1,EF ⊂平面B 1BCC 1,∴MN ∥平面B 1BCC 1.(2)解：设BE=x,∵NE ∥AB,∴AC AN BC BE =. 又MF ∥A 1B 1,∴11BA BM BB BF =. ∵AN=A 1M,AC=A 1B=a 2,BC=BB 1=a, ∴1111==+=+=+ACB A AC MB M A BA BM AC AH a BF a x . 从而MN=EF=2)2(2)(222222a a x x a x BF BE +-=-+=+. 因此,当x=2a 时,MN 的长取得最小值a 22. 8.如图2-2-4，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，O 是底ABCD 对角线的交点.求证：C 1O ∥面AB 1D 1图2-2-4证明：连结A 1C 1，设A 1C 1∩B 1D 1=O 1，连结AO 1，∵ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体， ∴A 1ACC 1是平行四边形.∴A 1C 1∥AC 且A 1C 1=AC.又O 1,O 分别是A 1C 1,AC 的中点，∴O 1C 1∥AO 且O 1C 1=AO.∴AOC 1O 1是平行四边形.∴C 1O ∥AO 1.AO1⊂面AB1D1，C1O面AB1D1,∴C1O∥面AB1D1.9.如图2-2-5，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面相交，AB=2，AF=1，M是线段EF的中点.求证：AM∥平面BDE.图2-2-5证明：记AC与BD的交点为O，连结OE，∵O、M分别是AC、EF的中点，四边形ACEF 是矩形，∴四边形AOEM是平行四边形.∴AM∥OE.∵OE⊂平面BDE，AM平面BDE，∴AM∥平面BDE.快乐时光地球仪局长到某校视察，看见教室里有个地球仪，便问学童甲：“你说说看，这地球仪为何倾斜二十三度半？”学童甲非常惊恐，答道：“不是我弄的.”此时，教室走进另一名学童乙.局长再问，学童乙答道：“你知道的，我也是刚进来，什么也不知道.”局长疑惑地问教师这是怎么一回事.教师满怀歉意地说：“这不能怪他们，地球仪买来时，就已经是这样子了.”校长见局长脸色越来越难看，连忙趋前解释：“说来惭愧，”校长陪笑道：“因为学校经费有限，我们买的是地摊货.”。
人教版高中数学必修二 2.2.1—2.2.2平面与平面平行的判定学案+课时训练
人教版高中数学必修二第2章点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面平行的判定2.2.2平面与平面平行的判定学案【学习目标】1．理解直线与平面平行，平面与平面平行的判定定理．(重点)2．会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述这两个判定定理，并知道其地位和作用．(易混点)3．能够应用两个判定定理证明直线与平面平行和平面与平面平行(难点)【要点梳理夯实基础】知识点1直线与平面平行的判定定理阅读教材P54～P55“例1”以上的内容，完成下列问题．语言叙述符号表示图形表示平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α[思考辨析学练结合]1. 若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线和这个平面平行吗？[答案] 根据直线与平面平行的判定定理可知该结论错误.2. 能保证直线a与平面α平行的条件是()A．b⊂α，a∥bB．b⊂α，c∥α，a∥b，a∥cC．b⊂α，A、B∈a，C、D∈b，且AC＝BDD．a⊄α，b⊂α，a∥b[解析]A错误，若b⊂α，a∥b，则a∥α或a⊂α；B错误，若b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c，则a∥α或a⊂α；C错误，若满足此条件，则a∥α或a⊂α或a 与α相交；D正确．[答案] D知识点2平面与平面平行的判定定理阅读教材P56～P57“例2”以上的内容，完成下列问题．语言叙述一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行符号表示a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α图形表示[思考辨析学练结合]1. 如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面也平行吗？[答案] 不一定.这条直线与另一个平面平行或在另一个平面内.2. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．()(2)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．()(3)平行于同一平面的两条直线平行．()(4)若α∥β，且直线a∥α，则直线a∥β.()[解析](1)错误．当这两条直线为相交直线时，才能保证这两个平面平行．(2)正确．如果两个平面平行，则在这两个平面内的直线没有公共点，则它们平行或异面．(3)错误．两条直线平行或相交或异面．(4)错误．直线a∥β或直线a⊂β.[答案](1)×(2)√(3)×(4)×【合作探究析疑解难】考点1 直线与平面平行的判定[典例1]已知公共边为AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ(如图2-2-1)．求证：PQ∥平面CBE.图2-2-1[点拨]在平面CBE中找一条直线与PQ平行，从而证明PQ∥平面CBE.[解答]作PM∥AB交BE于点M，作QN∥AB交BC于点N，连接MN，如图，则PM∥QN，PMAB＝EPEA，QNCD＝BQBD.∵EA＝BD，AP＝DQ，∴EP＝BQ.又AB＝CD，∴PM綊QN，∴四边形PMNQ是平行四边形，∴PQ∥MN.又PQ⊄平面CBE，MN⊂平面CBE，∴PQ∥平面CBE.1．利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线．2．证线线平行的方法常用三角形中位线定理、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理、平行公理等．1．如图2-2-2，四边形ABCD是平行四边形，S是平面ABCD外一点，M为SC的中点，求证：SA∥平面MDB.【证明】连接AC交BD于点O，连接OM.∵M为SC的中点，O为AC的中点，∴OM∥SA，∵OM⊂平面MDB，SA⊄平面MDB，∴SA∥平面MDB.考点2 平面与平面平行的判定[典例2] 如图2-2-3，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、E、F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点．图2-2-3求证：(1)E、F、B、D四点共面；(2)平面MAN∥平面EFDB.[点拨](1)欲证E、F、B、D四点共面，需证BD∥EF即可．(2)要证平面MAN∥平面EFDB，只需证MN∥平面EFDB，AN∥平面BDFE 即可．[解答](1)连接B1D1，∵E、F分别是边B1C1、C1D1的中点，∴EF∥B1D1.而BD∥B1D1，∴BD∥EF.∴E、F、B、D四点共面．(2)易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD.又MN⊄平面EFDB，BD⊂平面EFDB.∴MN∥平面EFDB.连接MF.∵M、F分别是A1B1、C1D1的中点，∴MF∥A1D1，MF＝A1D1.∴MF∥AD，MF＝AD.∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF.又AM⊄平面BDFE，DF⊂平面BDFE，∴AM∥平面BDFE.又∵AM∩MN＝M，∴平面MAN∥平面EFDB.1．要证明面面平行，关键是要在其中一个平面中找到两条相交直线和另一个平面平行，而要证明线面平行，还要通过证明线线平行，注意这三种平行之间的转化．2．解决此类问题有时还需添加适当的辅助线(或辅助面)使问题能够顺利转化．2．如图2-2-4所示，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，E，F，H 分别为AB，CD，PD的中点．图2-2-4求证：平面AFH∥平面PCE.[证明]因为F，H分别为CD，PD的中点，所以FH∥PC，因为PC⊂平面PCE，FH⊄平面PCE，所以FH∥平面PCE.又由已知得AE∥CF且AE＝CF，所以四边形AECF为平行四边形，所以AF∥CE，而CE⊂平面PCE，AF⊄平面PCE，所以AF∥平面PCE.又FH⊂平面AFH，AF⊂平面AFH，FH∩AF＝F，所以平面AFH∥平面PCE.考点3 平面与平面平行的判定探究1如图2-2-5，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点．你能证明直线EG∥平面BDD1B1吗？图2-2-5[提示]如图，连接SB，∵E，G分别是BC，SC的中点，∴EG∥SB.又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1.∴直线EG∥平面BDD1B1.探究2上述问题中，条件不变，请证明平面EFG∥平面BDD1B1.[提示]连接SD.∵F，G分别是DC，SC的中点，∴FG∥SD.又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1.又EG∥平面BDD1B1，且EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1.[典例3] 已知底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD，点E在PD上，且PE∶ED ＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论，并说出点F的位置．[点拨]解答本题应抓住BF∥平面AEC.先找BF所在的平面平行于平面AEC，再确定F的位置．[解答] 如图，连接BD 交AC 于O 点，连接OE ，过B 点作OE 的平行线交PD 于点G ，过点G 作GF ∥CE ，交PC 于点F ，连接BF .∵BG ∥OE ，BG ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ，∴BG ∥平面AEC .同理，GF ∥平面AEC ，又BG ∩GF ＝G . ∴平面BGF ∥平面AEC .∴BF ∥平面AEC . ∵BG ∥OE ，O 是BD 中点，∴E 是GD 中点． 又∵PE ∶ED ＝2∶1，∴G 是PE 中点． 而GF ∥CE ，∴F 为PC 中点．综上，当点F 是PC 中点时，BF ∥平面AEC . 解决线线平行与面面平行的综合问题的策略1．立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的．2.线线平行――→判定线面平行――→判定面面平行所以平行关系的综合问题的解决必须灵活运用三种平行关系的判定定理． 3.如图，在四棱锥O -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点．证明：直线MN ∥平面OCD .[证明] 如图，取OB 中点E ，连接ME ，NE ，则ME ∥AB .又∵AB∥CD，∴ME∥CD.又∵ME⊄平面OCD，CD⊂平面OCD，∴ME∥平面OCD.又∵NE∥OC，且NE⊄平面OCD，OC⊂平面OCD，∴NE∥平面OCD.又∵ME∩NE＝E，且ME，NE⊂平面MNE，∴平面MNE∥平面OCD.∵MN⊂平面MNE，∴MN∥平面OCD.【学习检测巩固提高】题型一直线与平面平行的判定定理的应用1.如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：(1)EH∥平面BCD；(2)BD∥平面EFGH.[证明](1)∵EH为△ABD的中位线，∴EH∥BD.∵EH⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，∴EH∥平面BCD.(2)∵BD∥EH，BD⊄平面EFGH，EH⊂平面EFGH，∴BD∥平面EFGH.2.在四面体A－BCD中，M，N分别是△ABD和△BCD的重心.求证：MN∥平面ADC.[证明]如图所示，连接BM，BN并延长，分别交AD，DC于P，Q两点，连接PQ.因为M，N分别是△ABD和△BCD的重心，所以BM∶MP＝BN∶NQ＝2∶1.所以MN∥PQ.又因为MN⊄平面ADC，PQ⊂平面ADC，所以MN∥平面ADC.[反思与感悟]1.利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线.2.证线线平行的方法常用三角形中位线定理、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理、平行公理等.题型二面面平行判定定理的应用2.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点.求证：平面A1EB∥平面ADC1.[证明]由棱柱性质知，B1C1∥BC，B1C1＝BC，又D，E分别为BC，B1C1的中点，所以C1E綊DB，则四边形C1DBE为平行四边形，因此EB∥C1D，又C1D⊂平面ADC1，EB⊄平面ADC1，所以EB∥平面ADC1.连接DE，同理，EB1綊BD，所以四边形EDBB1为平行四边形，则ED 綊B1B. 因为B1B ∥A1A ，B1B ＝A1A(棱柱的性质)， 所以ED 綊A1A ，则四边形EDAA1为平行四边形， 所以A1E ∥AD ，又A1E ⊄平面ADC1，AD ⊂平面ADC1， 所以A1E ∥平面ADC1.由A1E ∥平面ADC1，EB ∥平面ADC1， A1E ⊂平面A1EB ，EB ⊂平面A1EB ，且A1E∩EB ＝E ，所以平面A1EB ∥平面ADC1.2. 已知ABCD －A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E 在AA1上，点F 在CC1上，点G 在BB1上，且AE ＝FC1＝B1G ＝1，H 是B1C1的中点. 求证：(1)E ，B ，F ，D1四点共面；(2)平面A1GH ∥平面BED1F.[证明] (1)∵AE ＝B1G ＝1，∴BG ＝A1E ＝2. 又∵BG ∥A1E ，∴四边形A1EBG 是平行四边形， ∴A1G ∥BE.连接FG .∵C1F ＝B1G ，C1F ∥B1G ， ∴四边形C1FGB1是平行四边形，∴FG ＝C1B1＝D1A1，FG ∥C1B1∥D1A1， ∴四边形A1GFD1是平行四边形， ∴A1G ∥D1F ，∴D1F ∥EB. 故E ，B ，F ，D1四点共面.(2)∵H 是B 1C 1的中点，∴B 1H ＝23.又∵B 1G ＝1，∴H B G B 11＝32. 又BC FC ＝32，且∠FCB ＝∠GB 1H ＝90°， ∴△B1HG ∽△CBF ，∴∠B1GH ＝∠CFB ＝∠FBG ，∴HG ∥FB.又由(1)知，A1G ∥BE ，且HG∩A1G ＝G ，FB∩BE ＝B ， ∴平面A1GH ∥平面BED1F.[反思与感悟]1.要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面.2.判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原则，即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线.题型三线面平行、面面平行判定定理的综合应用3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点.问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？请说明理由.[解]当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.理由如下：连接PQ.∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴PQ∥DC∥AB，PQ＝DC＝AB，∴四边形ABQP是平行四边形，∴QB∥PA.又∵O为DB的中点，∴D1B∥PO.又∵PO∩PA＝P，D1B∩QB＝B，∴平面D1BQ∥平面PAO.3如图，三棱柱ABC－A1B1C1的底面为正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，E，F分别是棱CC1，BB1上的点，EC＝2FB.M是线段AC上的动点，当点M在何位置时，BM∥平面AEF？请说明理由.[解]当M为AC中点时，BM∥平面AEF.理由如下：方法一 如图1，取AE 的中点O ，连接OF ，OM.∵O ，M 分别是AE ，AC 的中点，∵又∵BF ∥CE ，EC ＝2FB ，∴OM ∥BF ，OM ＝BF ，∴四边形OMBF 为平行四边形，∴BM ∥OF.又∵OF ⊂面AEF ，BM ⊄面AEF ，∴BM ∥平面AEF.OM ∥EC ，OM ＝21EC. 方法二 如图2，取EC 的中点P ，连接PM ，PB.∵PM 是△ACE 的中位线，∴PM ∥AE.∵EC ＝2FB ＝2PE ，CC1∥BB1，∴PE ＝BF ，PE ∥BF ，∴四边形BPEF 是平行四边形，∴PB ∥EF.又∵PM ⊄平面AEF ，PB ⊄平面AEF ，∴PM ∥平面AEF ，PB ∥平面AEF.又∵PM∩PB ＝P ，∴平面PBM ∥平面AEF.又∵BM ⊂面PBM ，∴BM ∥平面AEF.[反思与感悟]要证明面面平行，由面面平行的判定定理知需在某一平面内寻找两条相交且与另一平面平行的直线.要证明线面平行，又需根据线面平行的判定定理，在平面内找与已知直线平行的直线，即：线线平行―――――→线面平行的判定线面平行―――――→面面平行的判定面面平行4 已知在正方体ABCD －A′B′C′D′中，M ，N 分别是A′D′，A′B′的中点，在该正方体中是否存在过顶点且与平面AMN 平行的平面？若存在，试作出该平面，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.[分析] 根据题意画出正方体，根据平面AMN 的特点，试着在正方体中找出几条平行于该平面的直线，然后作出判断，并证明.[解]如图，与平面AMN平行的平面有以下三种情况：下面以图①为例进行证明.如图①，取B′C′的中点E，连接BD，BE，DE，ME，B′D′，可知四边形ABEM是平行四边形，所以BE∥AM.又因为BE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，所以AM∥平面BDE.因为MN是△A′B′D′的中位线，所以MN∥B′D′.因为四边形BDD′B′是平行四边形，所以BD∥B′D′.所以MN∥BD.又因为BD⊂平面BDE，MN⊄平面BDE，所以MN∥平面BDE.又因为AM⊂平面AMN，MN⊂平面AMN，且AM∩MN＝M，所以由平面与平面平行的判定定理可得，平面AMN∥平面BDE.[点评]本题是一道开放型的题目，答案不惟一，但依据都是平面与平面平行的判定定理.对于开放性问题，要仔细观察题目本身的特点，结合相应的定理，大胆地进行猜想，然后给予证明.人教版高中数学必修二第2章点、直线、平面之间的位置关系2.2.1直线与平面平行的判定2.2.2平面与平面平行的判定课时检测一、选择题1．以下说法(其中a，b表示直线，α表示平面)①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b．其中正确说法的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3[解析]①a⊂α也可能成立；②a，b还有可能相交或异面；③a⊂α也可能成立；④a，b还有可能异面．[答案] A2．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是() A．b∥αB．b与α相交C．b⊂αD．b∥α或b与α相交[答案] C1. 过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面()A.不可能作出B.只能作出一个C.能作出无数个D.上述三种情况都存在[解析]设直线外两点为A、B，若直线AB∥l，则过A、B可作无数个平面与l 平行；若直线AB与l异面，则只能作一个平面与l平行；若直线AB与l相交，则过A、B没有平面与l平行.[答案] D3．如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是()A．平行B．相交C．平行或相交D．AB⊂α[答案] A4．在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB ＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是()A．平行B．相交C．在内D．不能确定[答案] A5．过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面()A．不可能作出B．只能作出一个C．能作出无数个D．上述三种情况都存在[解析]设直线外两点为A、B，若直线AB∥l，则过A、B可作无数个平面与l 平行；若直线AB与l异面，则只能作一个平面与l平行；若直线AB与l相交，则过A、B没有平面与l平行．[答案] D6．过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面()A．不存在B．只能作出一个C．能作出无数个D．以上都有可能[答案] D7. 经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作()A.1个或2个B.0个或1个C.1个D.0个[解析]①当经过两点的直线与平面α平行时，可作出一个平面β使β∥α.②当经过两点的直线与平面α相交时，由于作出的平面又至少有一个公共点，故经过两点的平面都与平面α相交，不能作出与平面α平行的平面.故满足条件的平面有0个或1个.[答案] B8．过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有()A．4条B．6条C．8条D．12条[解析]如图所示，与BD平行的有4条，与BB1平行的有4条，四边形GHFE 的对角线与面BB1D1D平行，同等位置有4条，总共12条，故选D．[答案] D9．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱CD上的动点，则直线MC1与平面AA1B1B 的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．相交或平行[解析]如图，MC1⊂平面DD1C1C，而平面AA1B1B∥平面DD1C1C，故MC1∥平面AA1B1B.[答案]B10. 若线段AB，BC，CD不共面，M，N，P分别为线段AB，BC，CD的中点，则直线BD与平面MNP的位置关系是()A.平行B.直线在平面内C.相交D.以上均有可能[解析]连接NP，因为N、P分别是BC、CD的中点，M是AB的中点，AB、BC、CD不共面，所以直线BD不在平面MNP上.∴直线BD与平面MNP平行.[答案] A11. 在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是()A.平面E1FG1与平面EGH1B.平面FHG1与平面F1H1GC.平面F1H1H与平面FHE1D.平面E1HG1与平面EH1G[解析]如图，∵EG∥E1G1，EG⊄平面E1FG1，E1G1⊂平面E1FG1，∴EG∥平面E1FG1，又G1F∥H1E，同理可证H1E∥平面E1FG1，又H1E∩EG＝E，∴平面E1FG1∥平面EGH1.[答案] A12．给出下列结论，正确的有()①平行于同一条直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③过平面外两点，不能作一个平面与已知平面平行；④若a，b为异面直线，则过a与b平行的平面只有一个．A．1个B．2个C．3个D．4个[答案]B13．若不在同一直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且AD/∈α，则() A．α∥平面ABCB．△ABC中至少有一边平行于αC．△ABC中至多有两边平行于αD．△ABC中只可能有一边与α相交[答案]B14．正方体EFGH—E1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是()A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G[答案]A15．两个平面平行的条件是()A．一个平面内一条直线平行于另一个平面B．一个平面内两条直线平行于另一个平面C．一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面D．两个平面都平行于同一条直线[答案]C二、填空题16．经过直线外一点有________个平面与已知直线平行．[答案]无数17．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的面中：(1)与直线AB 平行的平面是________；(2)与直线AA 1平行的平面是______；(3)与直线AD 平行的平面是______．[答案](1)平面A 1C 1和平面DC 1 (2)平面BC 1和平面DC 1 (3)平面B 1C 和平面A 1C 118．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1的中点，则BD 1与过点A ，E ，C 的平面的位置关系是______．[解析] 设BD 的中点为F ，则EF ∥BD 1．[答案]平行19．a 、b 、c 为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出六个命题．① ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥c b ∥c ⇒a ∥b ；② ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γb ∥γ⇒a ∥b ；③ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥c β∥c ⇒α∥β；④ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β；⑤ ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥c α∥c ⇒a ∥α；⑥⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γα∥γ⇒a ∥α， 其中正确的命题是________．(填序号)[解析] ①是平行公理，正确；②中a ，b 还可能异面或相交；③中α、β还可能相交；④是平面平行的传递性，正确；⑤还有可能a ⊂α；⑥也是忽略了a ⊂α的情形．[答案] ①④20．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊂平面α，CD ⊄平面α，则直线CD 与平面α的位置关系是________.[解析] 因为AB ∥CD ，AB ⊂平面α，CD ⊄平面α，由线面平行的判定定理可得 CD ∥α.[答案] CD ∥α21. 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊂平面α，CD ⊄平面α，则直线CD 与平面α的位置关系是________.[解析]设因为AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，由线面平行的判定定理可得CD∥α.[答案]CD∥α22．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是________．(写出所有符合要求的图形序号)[答案]①③23．已知直线a、b，平面α、β，且a∥b，a∥α，α∥β，则直线b与平面β的位置关系为______．[答案]b∥β或b⊂β24．有下列几个命题：①平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β；②α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线)，则γ∥β；③平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β；④平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β．其中正确的有________．(填序号)[解析]①不正确，当两平面相交时，在一个平面两侧分别有无数点满足条件；②不正确，当平面β与γ相交时也可满足条件；③正确，满足平面平行的判定定理；④不正确，当两平面相交时，也可满足条件．[答案]③25．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1．[解析]∵HN∥BD，HF∥DD1，HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，∴平面NHF∥平面B1BDD1，故线段FH上任意点M与N连接，有MN∥平面B1BDD1．[答案]③M∈线段FH三、解答题26．如图，三棱锥P-ABC中，E，F，G分别是AB，AC，AP的中点．证明：平面GFE∥平面PCB.[证明]因为E，F，G分别是AB，AC，AP的中点，所以EF∥BC，GF∥CP.因为EF，GF⊄平面PCB，BC，CP⊂面PCB.所以EF∥平面PCB，GF∥平面PCB.又EF∩GF＝F，所以平面GFE∥平面PCB.27．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、C1D1的中点．求证：EF∥平面BDD1B1．证明取D1B1的中点O，连接OF，OB．∵OF綊12B1C1，BE綊12B1C1，∴OF綊BE．∴四边形OFEB是平行四边形，∴EF∥BO．∵EF⊄平面BDD1B1，BO⊂平面BDD1B1，∴EF∥平面BDD1B1．28．如图所示，P是▱ABCD所在平面外一点，E、F分别在P A、BD上，且PE∶EA ＝BF∶FD．求证：EF∥平面PBC．证明连接AF延长交BC于G，连接PG．在▱ABCD中，易证△BFG∽△DFA．∴GFFA＝BFFD＝PEEA，∴EF∥PG．而EF⊄平面PBC，PG⊂平面PBC，∴EF∥平面PBC．29．正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且AP＝DQ．求证PQ∥平面BCE．(用两种方法证明)证明方法一如图(1)所示，作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC 于N，连接MN．∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB，∴AE＝BD．又∵AP＝DQ，∴PE＝QB．又∵PM∥AB∥QN，∴PMAB＝PEAE，QNDC＝BQBD．∴PM＝QN．∴四边形PQNM是平行四边形．∴PQ∥MN．又MN⊂平面BCE，PQ⊄平面BCE，∴PQ∥平面BCE．方法二如图(2)所示，连接AQ并延长交BC(或其延长线)于K，连接EK．∵KB∥AD，∴DQBQ＝AQQK．∵AP＝DQ，AE＝BD，∴BQ＝PE．∴DQBQ＝APPE．∴AQQK＝APPE．∴PQ∥EK．又PQ⊄面BCE，EK⊂面BCE，∴PQ∥面BCE．30．如图所示，B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心．(1)求证：平面MNG∥平面ACD；(2)求S△MNG∶S△ADC．(1)证明(1)连接BM，BN，BG并延长分别交AC，AD，CD于P，F，H．∵M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心，则有BMMP＝BNNF＝BGGH＝2，且P，H，F分别为AC，CD，AD的中点．连接PF，FH，PH，有MN∥PF．又PF⊂平面ACD，MN⊄平面ACD，∴MN∥平面ACD．同理MG∥平面ACD，MG∩MN＝M，∴平面MNG∥平面ACD．(2)解由(1)可知MGPH＝BGBH＝23，∴MG＝23PH．又PH＝12AD，∴MG＝13AD．同理NG＝13AC，MN＝13CD．∴△MNG∽△ACD，其相似比为1∶3．∴S△MNG∶S△ACD＝1∶9．31．三棱柱ABC－A1B1C1，D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点．求证：平面A1BD1∥平面AC1D．证明连接A1C交AC1于点E，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴E是A1C的中点，连接ED，∵A1B∥平面AC1D，ED⊂平面AC1D，∴A1B与ED没有交点，又∵ED⊂平面A1BC，A1B⊂平面A1BC，∴ED∥A1B．∵E是A1C的中点，∴D是BC的中点．又∵D1是B1C1的中点，∴BD1∥C1D，A1D1∥AD，∴BD1∥平面AC1D，A1D1∥平面AC1D．又A1D1∩BD1＝D1，∴平面A1BD1∥平面AC1D．32．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面P AO?解：当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO．∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥PA．∵P、O为DD1、DB的中点，∴D1B∥PO．又PO∩PA＝P，D1B∩QB＝B，D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，∴平面D1BQ∥平面PAO．。
高中数学(人教版必修2)配套练习 第二章2.2直线、平面平行的判定及其性质解析
§2.2直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面平行的判定一、基础过关1．直线m∥平面α，直线n∥m，则() A．n∥αB．n与α相交C．n⊂αD．n∥α或n⊂α2．棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在的平面的位置关系是() A．平行B．相交C．平行或相交D．不相交3．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是() A．b∥αB．b与α相交C．b⊂αD．b∥α或b与α相交4．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是() A．l∥αB．l⊥αC．l与α相交但不垂直D．l∥α或l⊂α5. 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的面中：(1)与直线AB平行的平面是______；(2)与直线AA1平行的平面是______；(3)与直线AD平行的平面是______．6．已知不重合的直线a，b和平面α.①若a∥α，b⊂α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b⊂α，则a∥α；④若a∥b，a∥α，则b∥α或b⊂α，其中正确命题的个数是________．7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，求证：BD1∥平面AEC.8. 如图，四棱锥A—DBCE中，O为底面正方形DBCE对角线的交点，F为AE的中点．求证：AB∥平面DCF.二、能力提升9．在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝EF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是()A．平行B．相交C．在内D．不能确定10．过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面() A．不存在B．只能作出一个C．能作出无数个D．以上都有可能11．过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有________条．12．如图，在平行四边形ABCD中，E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，F为线段A′C的中点．求证：BF∥平面A′DE.三、探究与拓展13. 正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面BCE.(用两种方法证明)答案1．D 2.B 3.D 4.D5．(1)平面A 1C 1和平面DC 1 (2)平面BC 1和平面DC 1 (3)平面B 1C 和平面A 1C 1 6．17．证明 如图，连接BD 交AC 于F ，连接EF .因为F 为正方形ABCD 对角线的交点，所以F 为AC 、BD 的中点． 在三角形DD 1B 中，E 、F 分别为DD 1、DB 的中点，所以EF ∥D 1B . 又EF ⊂平面AEC ，BD 1⊄平面AEC ，所以BD 1∥平面AEC . 8．证明 连接OF ，∵O 为正方形DBCE 对角线的交点，∴BO ＝OE ， 又AF ＝FE ， ∴AB ∥OF ，⎭⎪⎬⎪⎫AB ⊄平面DCF OF ⊂ 平面DCF AB ∥OF⇒AB ∥平面DCF . 9．A 10．D 11．1212．证明 取A ′D 的中点G ，连接GF ，GE ，由条件易知FG ∥CD ，FG ＝12CD ，BE ∥CD ，BE ＝12CD ，所以FG ∥BE ，FG ＝BE ，故四边形BEGF 为平行四边形， 所以BF ∥EG .因为EG ⊂平面A ′DE ， BF ⊄平面A ′DE ， 所以BF ∥平面A ′DE .13．证明 如图所示，连接AQ 并延长交BC 于K ，连接EK .∵KB ∥AD ，∴DQ BQ ＝AQQK.∵AP ＝DQ ，AE ＝BD ，∴BQ ＝PE .∴DQ BQ ＝AP PE .∴AQ QK ＝APPE .∴PQ ∥EK . 又PQ ⊄平面BCE ，EK ⊂平面BCE ，∴PQ∥平面BCE.2.2.2平面与平面平行的判定一、基础过关1．直线l∥平面α，直线m∥平面α，直线l与m相交于点P，且l与m确定的平面为β，则α与β的位置关系是() A．相交B．平行C．异面D．不确定2．平面α与平面β平行的条件可以是() A．α内的一条直线与β平行B．α内的两条直线与β平行C．α内的无数条直线与β平行D．α内的两条相交直线分别与β平行3．给出下列结论，正确的有()①平行于同一条直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③过平面外两点，不能作一个平面与已知平面平行；④若a，b为异面直线，则过a与b平行的平面只有一个．A．1个B．2个C．3个D．4个4．若正n边形的两条对角线分别与面α平行，则这个正n边形所在的平面一定平行于平面α，那么n的取值可能是() A．12 B．8 C．6 D．55．已知平面α、β和直线a、b、c，且a∥b∥c，a⊂α，b、c⊂β，则α与β的关系是________．6．有下列几个命题：①平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β；②α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线)，则γ∥β；③平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β；④平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β.其中正确的有________．(填序号)7．如图所示，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，求证：AE∥平面DCF.8. 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、E1、F1分别是AB、CD、A1B1、C1D1的中点．求证：平面A1EFD1∥平面BCF1E1.二、能力提升9．α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同的直线，在下列条件下，可判定α∥β的是() A．α，β都平行于直线a、bB．α内有三个不共线的点到β的距离相等C．a，b是α内两条直线，且a∥β，b∥βD．a、b是两条异面直线，且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β10. 正方体EFGH—E1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是()A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G11. 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1.12．已知在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、E、F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点．求证：(1)E、F、D、B四点共面；(2)平面AMN∥平面EFDB.三、探究与拓展13．如图所示，B为△ACD所在平面外一点，M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心．(1)求证：平面MNG∥平面ACD；(2)求S△MNG∶S△ADC.答案1．B 2．D 3．B 4.D 5．相交或平行 6．③7．证明 由于AB ∥CD ，BE ∥CF ，故平面ABE ∥平面DCF .而直线AE 在平面ABE 内，根据线面平行的定义，知AE ∥平面DCF . 8．证明 ∵E 、E 1分别是AB 、A 1B 1的中点，∴A 1E 1∥BE 且A 1E 1＝BE .∴四边形A 1EBE 1为平行四边形． ∴A 1E ∥BE 1.∵A 1E ⊄平面BCF 1E 1， BE 1⊂平面BCF 1E 1. ∴A 1E ∥平面BCF 1E 1. 同理A 1D 1∥平面BCF 1E 1， A 1E ∩A 1D 1＝A 1，∴平面A 1EFD 1∥平面BCF 1E 1. 9．D 10.A 11.M ∈线段FH12．证明 (1)∵E 、F 分别是B 1C 1、C 1D 1的中点，∴EF 綊12B 1D 1，∵DD 1綊BB 1，∴四边形D 1B 1BD 是平行四边形， ∴D 1B 1∥BD . ∴EF ∥BD ，即EF 、BD 确定一个平面，故E 、F 、D 、B 四点共面． (2)∵M 、N 分别是A 1B 1、A 1D 1的中点， ∴MN ∥D 1B 1∥EF . 又MN ⊄平面EFDB ， EF ⊂平面EFDB . ∴MN ∥平面EFDB .连接NE ，则NE 綊A 1B 1綊AB . ∴四边形NEBA 是平行四边形．∴AN ∥BE .又AN ⊄平面EFDB ，BE ⊂平面EFDB .∴AN ∥平面EFDB . ∵AN 、MN 都在平面AMN 内，且AN ∩MN ＝N ， ∴平面AMN ∥平面EFDB .13．(1)证明 连接BM 、BN 、BG 并延长交AC 、AD 、CD 分别于P 、F 、H .∵M 、N 、G 分别为△ABC 、△ABD 、△BCD 的重心，则有BM MP ＝BN NF ＝BGGH ＝2.连接PF 、FH 、PH ，有MN ∥PF . 又PF ⊂平面ACD ，MN ⊄平面ACD ， ∴MN ∥平面ACD .同理MG ∥平面ACD ，MG ∩MN ＝M ， ∴平面MNG ∥平面ACD .(2)解 由(1)可知MG PH ＝BG BH ＝23，∴MG ＝23PH .又PH ＝12AD ，∴MG ＝13AD .同理NG ＝13AC ，MN ＝13CD .∴△MNG ∽△DCA ，其相似比为1∶3， ∴S △MNG ∶S △ADC ＝1∶9.2.2.3 直线与平面平行的性质一、基础过关1．a ，b 是两条异面直线，P 是空间一点，过P 作平面与a ，b 都平行，这样的平面( ) A ．只有一个 B ．至多有两个 C ．不一定有D ．有无数个2. 如图，在四面体ABCD 中，若截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，错误的为( )A ．AC ⊥BDB ．AC ∥截面PQMNC ．AC ＝BDD ．异面直线PM 与BD 所成的角为45°3. 如图所示，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱AA 1和BB 1的中点，过EF 的平面EFGH 分别交BC 和AD 于G 、H ，则HG 与AB 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行和异面4．直线a ∥平面α，α内有n 条直线交于一点，则这n 条直线中与直线a 平行的直线( ) A ．至少有一条 B ．至多有一条 C ．有且只有一条D ．没有5．设m 、n 是平面α外的两条直线，给出三个论断：①m ∥n ；②m ∥α；③n ∥α.以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：______________.(用序号表示)6. 如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1、B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________.7. ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP ∥GH .8. 如图所示，三棱锥A —BCD 被一平面所截，截面为平行四边形EFGH .求证：CD ∥平面EFGH . 二、能力提升9.如图所示，平面α∩β＝l 1，α∩γ＝l 2，β∩γ＝l 3，l 1∥l 2，下列说法正确的是( )A ．l 1平行于l 3，且l 2平行于l 3B ．l 1平行于l 3，且l 2不平行于l 3C ．l 1不平行于l 3，且l 2不平行于l 3D ．l 1不平行于l 3，但l 2平行于l 310．如图所示，已知A 、B 、C 、D 四点不共面，且AB ∥平面α，CD ∥α，AC ∩α＝E ，AD ∩α＝F ，BD ∩α＝H ，BC ∩α＝G ，则四边形EFHG 的形状是________．10题图 11题图11．如图所示，在空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是四边上的点，它们共面，并且AC ∥平面EFGH ，BD ∥平面EFGH ，AC ＝m ，BD ＝n ，当四边形EFGH 是菱形时，AE ∶EB ＝________.12. 如图所示，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别为AB 、PC 的中点，平面P AD ∩平面PBC ＝l . (1)求证：BC ∥l ；(2)MN 与平面P AD 是否平行？试证明你的结论． 三、探究与拓展13．如图所示，三棱柱ABC —A 1B 1C 1，D 是BC 上一点，且A 1B ∥平面AC 1D ，D 1是B 1C 1的中点，求证：平面A 1BD 1∥平面AC 1D .答案1．C 2．C 3．A 4．B5．①②⇒③(或①③⇒②) 6.223a7．证明 如图所示，连接AC 交BD 于O ，连接MO ，∵ABCD 是平行四边形，ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP ∥GH .∴O 是AC 中点，又M 是PC 的中点， ∴AP ∥OM .根据直线和平面平行的判定定理，则有P A∥平面BMD.∵平面P AHG∩平面BMD＝GH，根据直线和平面平行的性质定理，则有AP∥GH.8．证明∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥GH.又GH⊂平面BCD，EF⊄平面BCD.∴EF∥平面BCD.而平面ACD∩平面BCD＝CD，EF⊂平面ACD，∴EF∥CD.而EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，∴CD∥平面EFGH.9．A10.平行四边形11．m∶n12．(1)证明因为BC∥AD，AD⊂平面P AD，BC⊄平面P AD，所以BC∥平面P AD.又平面P AD∩平面PBC＝l，BC⊂平面PBC，所以BC∥l.(2)解MN∥平面P AD.证明如下：如图所示，取PD中点E.连接EN、AE.又∵N为PC中点，∴EN綊12AB∴EN綊AM，∴四边形ENMA为平行四边形，∴AE∥MN.又∵AE⊂平面P AD，MN⊄平面P AD，∴MN∥平面P AD.13．证明连接A1C交AC1于点E，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴E是A1C的中点，连接ED，∵A1B∥平面AC1D，平面A1BC∩平面AC1D＝ED，∴A1B∥ED，∵E是A1C的中点，∴D是BC的中点．又∵D1是B1C1的中点，∴BD1∥C1D，又∵C1D⊂平面AC1D，BD1⊄平面AC1D，∴BD1∥平面AC1D，又A1B∩BD1＝B，∴平面A1BD1∥平面AC1D.2.2.4 平面与平面平行的性质一、基础过关1．已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a 的平面γ，与平面β相交，交线为直线b ，则a 、b 的位置关系是( ) A ．平行B ．相交C ．异面D ．不确定2．已知a 、b 表示直线，α、β表示平面，下列推理正确的是( )A ．α∩β＝a ，b ⊂α⇒a ∥bB ．α∩β＝a ，a ∥b ⇒b ∥α且b ∥βC ．a ∥β，b ∥β，a ⊂α，b ⊂α⇒α∥βD ．α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ⇒a ∥b3. 如图所示，P 是三角形ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段P A 、PB 、PC 于A ′、B ′、C ′，若P A ′∶AA ′＝2∶3，则S △A ′B ′C ′∶S △ABC 等于( )A ．2∶25B ．4∶25C ．2∶5D ．4∶54．α，β，γ为三个不重合的平面，a ，b ，c 为三条不同的直线，则有下列命题，不正确的是( )①⎭⎪⎬⎪⎫a ∥c b ∥c ⇒a ∥b; ② ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γb ∥γ⇒a ∥b ； ③⎭⎪⎬⎪⎫α∥c β∥c ⇒α∥β； ④ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β；⑤⎭⎪⎬⎪⎫α∥c a ∥c ⇒α∥a; ⑥⎭⎪⎬⎪⎫α∥γa ∥γ⇒a ∥α. A ．④⑥ B ．②③⑥ C ．②③⑤⑥ D ．②③5．分别在两个平行平面的两个三角形．(填“相似”“全等”) (1)若对应顶点的连线共点，那么这两个三角形具有______关系； (2)若对应顶点的连线互相平行，那么这两个三角形具有________关系．6．已知平面α∥β∥γ，两条直线l 、m 分别与平面α、β、γ相交于点A 、B 、C 与D 、E 、F .已知AB ＝6，DE DF ＝25，则AC ＝______.7.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 是A 1C 1的中点，平面AB 1M ∥平面BC 1N ，AC ∩平面BC 1N ＝N .求证：N 为AC 的中点．8. 如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥P －ABCD 中，点E 在PD 上，且PE ∶ED ＝2∶1，在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ？并证明你的结论．二、能力提升9．设α∥β，A ∈α，B ∈β，C 是AB 的中点，当A 、B 分别在平面α、β内运动时，得到无数个AB 的中点C ，那么所有的动点C( )A ．不共面B ．当且仅当A 、B 分别在两条直线上移动时才共面C ．当且仅当A 、B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D ．不论A 、B 如何移动，都共面10．已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过点P 的直线m 与α，β分别交于点A ，C ，过点P 的直线n 与α，β分别交于点B ，D ，且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为( )A ．16B ．24或245 C ．14 D ．2011．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使α、β都平行于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l ，m ，使得l ∥α，l ∥β，m ∥α，m ∥β.其中可以判断两个平面α与β平行的条件有________个．12. 如图所示，平面α∥平面β，△ABC 、△A ′B ′C ′分别在α、β内，线段AA ′、BB ′、CC ′共点于O ，O 在α、β之间，若AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝90°，OA ∶OA ′＝3∶2. 求△A ′B ′C ′的面积．三、探究与拓展13．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积．答案1．A 2．D 3．B 4．C 5．(1)相似 (2)全等 6．157．证明 ∵平面AB 1M ∥平面BC 1N ，平面ACC 1A 1∩平面AB 1M ＝AM ， 平面BC 1N ∩平面ACC 1A 1＝C 1N ， ∴C 1N ∥AM ，又AC ∥A 1C 1， ∴四边形ANC 1M 为平行四边形，∴AN ＝C 1M ＝12A 1C 1＝12AC ，∴N 为AC 的中点．8. 解 当F 是棱PC 的中点时，BF ∥平面AEC ，证明如下：取PE 的中点M ，连接FM ，则FM ∥CE ，① 由EM ＝12PE ＝ED ，知E 是MD 的中点，设BD ∩AC ＝O ，则O 为BD 的中点，连接OE ，则BM ∥OE ，②由①②可知，平面BFM ∥平面AEC ，又BF ⊂平面BFM ， ∴BF ∥平面AEC . 9．D 10．B 11．212．解 相交直线AA ′，BB ′所在平面和两平行平面α、β分别相交于AB 、A ′B ′，由面面平行的性质定理可得AB ∥A ′B ′.同理相交直线BB ′、CC ′确定的平面和平行平面α、β分别相交于BC 、B ′C ′，从而BC ∥B ′C ′.同理易证AC ∥A ′C ′.∴∠BAC 与∠B ′A ′C ′的两边对应平行且方向相反． ∴∠BAC ＝∠B ′A ′C ′.同理∠ABC ＝∠A ′B ′C ′，∠BCA ＝∠B ′C ′A ′. ∴△ABC 与△A ′B ′C ′的三内角分别相等，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′，∵AB ∥A ′B ′，AA ′∩BB ′＝O ， ∴在平面ABA ′B ′中，△AOB ∽△A ′OB ′. ∴A ′B ′AB ＝OA ′OA ＝23.而S △ABC ＝12AB ·AC ＝12×2×1＝1.∴S △A ′B ′C ′S △ABC＝(A ′B ′AB )2，∴S △A ′B ′C ′＝49S △ABC ＝49×1＝49.13．解 能．取AB ，C 1D 1的中点M ，N ，连接A 1M ，MC ，CN ，NA 1，∵A 1N ∥PC 1且A 1N ＝PC 1，PC 1∥MC ，PC 1＝MC ，∴四边形A 1MCN 是平行四边形，又∵A 1N ∥PC 1，A 1M ∥BP ，A 1N ∩A 1M ＝A 1，C 1P ∩PB ＝P ， ∴平面A 1MCN ∥平面PBC 1，因此，过点A 1与截面PBC 1平行的截面是平行四边形． 连接MN ，作A 1H ⊥MN 于点H ， ∵A 1M ＝A 1N ＝5， MN ＝BC 1＝22， ∴A 1H ＝ 3.∴S △A 1MN ＝12×22×3＝ 6.故S ▱A 1MCN ＝2S △A 1MN ＝2 6.。
高中数学同步讲义必修二——第二章 2.2.2 平面与平面平行的判定
2.2.2平面与平面平行的判定学习目标 1.通过直观感知、操作确认，归纳出平面与平面平行的判定定理.2.掌握平面与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题．知识点平面与平面平行的判定定理思考1三角板的两条边所在直线分别与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？答案平行．思考2如图，平面BCC1B1内有多少条直线与平面ABCD平行？这两个平面平行吗？答案无数条．不平行．梳理面面平行的判定定理表示定理图形文字符号平面与平面平行的判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行⎭⎪⎬⎪⎫a⊂βb⊂βa∩b＝Pa∥αb∥α⇒β∥α1．若一个平面内的两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行．(×)2．若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行．(√)类型一面面平行判定定理的理解例1α，β是两个不重合的平面，在下列条件下，可判定α∥β的是()A．α，β都平行于直线l，mB．α内有三个不共线的点到β的距离相等C．l，m是α内的两条直线且l∥β，m∥βD．l，m是异面直线且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β答案 D解析对A，当α∩β＝a，l∥m∥a时，不能推出α∥β；对B，当α∩β＝a，且在平面α内同侧有两点，另一侧有一个点，三点到平面β的距离相等时，不能推出α∥β；对C，当l∥m时，不能推出α∥β；对D，∵l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β，∴α内存在两条相交直线与平面β平行，故可得α∥β.反思与感悟(1)在判定两个平面是否平行时，一定要强调一个平面内的“两条相交直线”这个条件，线不在多，相交就行．(2)借助于常见几何体(如正方体)进行分析．跟踪训练1如果一个锐角的两边与另一个角的两边分别平行，下列结论一定成立的是() A．这两个角相等B．这两个角互补C．这两个角所在的两个平面平行D．这两个角所在的两个平面平行或重合答案 D类型二平面与平面平行的证明例2如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是平行四边形，点G和点H分别是CE和CF的中点．求证：平面BDGH∥平面AEF.证明在△CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点，所以GH∥EF，又因为GH⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，所以GH∥平面AEF.设AC∩BD＝O，连接OH，在△ACF中，因为OA＝OC，CH＝HF，所以OH∥AF，又因为OH⊄平面AEF，AF⊂平面AEF，所以OH∥平面AEF.又因为OH∩GH＝H，OH，GH⊂平面BDGH，所以平面BDGH∥平面AEF.反思与感悟平面与平面平行的判定方法(1)定义法：两个平面没有公共点．(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.跟踪训练2如图，在四棱锥P－ABCD中，点E为P A的中点，点F为BC的中点，底面ABCD 是平行四边形，对角线AC，BD交于点O.求证：平面EFO∥平面PCD.证明因为四边形ABCD是平行四边形，AC∩BD＝O，所以点O为BD的中点．又因为点F为BC的中点，所以OF∥CD.又OF⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以OF∥平面PCD，因为点O，E分别是AC，P A的中点，所以OE∥PC，又OE⊄平面PCD，PC⊂平面PCD，所以OE∥平面PCD.又OE⊂平面EFO，OF⊂平面EFO，且OE∩OF＝O，所以平面EFO∥平面PCD.类型三线面平行与面面平行的综合应用例3如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点S是B1D1的中点，点E，F，G分别是BC，DC和SC的中点，求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.证明(1)如图，连接SB.∵点E，G分别是BC，SC的中点，∴EG∥SB.又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，∴EG∥平面BDD1B1.(2)连接SD.∵点F ，G 分别是DC ，SC 的中点， ∴FG ∥SD .又∵SD ⊂平面BDD 1B 1，FG ⊄平面BDD 1B 1， ∴FG ∥平面BDD 1B 1. 又EG ∥平面BDD 1B 1，且EG ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG ，EG ∩FG ＝G ， ∴平面EFG ∥平面BDD 1B 1.反思与感悟 解决线面平行与面面平行的综合问题的策略(1)立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的．(2)线线平行判定,线面平行判定,面面平行所以平行关系的综合问题的解决必须灵活运用三种平行关系的判定定理．跟踪训练3 如图所示，P 是△ABC 所在平面外的一点，点A ′，B ′，C ′分别是△PBC ，△PCA ，△P AB 的重心．(1)求证：平面ABC ∥平面A ′B ′C ′； (2)求△A ′B ′C ′与△ABC 的面积之比．(1)证明 分别连接P A ′，PB ′，PC ′并延长交BC ，AC ，AB 于点D ，E ，F ，连接DE ，EF ，DF .∵点A ′，C ′分别是△PBC ，△P AB 的重心， ∴P A ′＝23PD ，PC ′＝23PF ，∴A ′C ′∥DF .∵A ′C ′⊄平面ABC ，DF ⊂平面ABC ， ∴A ′C ′∥平面ABC . 同理，A ′B ′∥平面ABC .又A ′C ′∩A ′B ′＝A ′，A ′C ′，A ′B ′⊂平面A ′B ′C ′， ∴平面ABC ∥平面A ′B ′C ′.(2)解 由(1)知A ′C ′∥DF 且A ′C ′＝23DF ，又DF ∥AC 且DF ＝12AC ，∴A ′C ′∥AC 且A ′C ′＝13AC .同理，A ′B ′∥AB 且A ′B ′＝13AB ，B ′C ′∥BC 且B ′C ′＝13BC ，∴△A ′B ′C ′∽△ABC ， ∴S △A ′B ′C ′∶S △ABC ＝1∶9.1．下列命题中正确的是( )A ．一个平面内两条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行B ．如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行C ．平行于同一直线的两个平面一定相互平行D ．如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行 答案 B解析 如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，即两个平面没有公共点，则两平面平行，故选B.2．在正方体中，相互平行的面不会是( ) A ．前后相对侧面 B ．上下相对底面 C ．左右相对侧面 D ．相邻的侧面答案 D解析 由正方体的模型知前后面、上下面、左右面都相互平行，故选D. 3．在正方体EFGH －E 1F 1G 1H 1中，下列四对截面彼此平行的一对是( )A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G答案 A解析如图，∵EG∥E1G1，EG⊄平面E1FG1，E1G1⊂平面E1FG1，∴EG∥平面E1FG1.又G1F∥H1E，同理可证H1E∥平面E1FG1，又H1E∩EG＝E，H1E，EG⊂平面EGH1，∴平面E1FG1∥EGH1.4.如图，已知在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是棱P A，PB，PC的中点，则平面DEF 与平面ABC的位置关系是________．答案平行解析在△P AB中，因为D，E分别是P A，PB的中点，所以DE∥AB.又DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以DE∥平面ABC.同理可证EF∥平面ABC.又DE∩EF＝E，DE，EF⊂平面DEF，所以平面DEF∥平面ABC.5．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1中点．能否同时过D1，B两点作平面α，使平面α∥平面P AC？证明你的结论．解能作出满足条件的平面α，其作法如下：如图，连接BD1，取AA1的中点M，连接D1M，则BD1与D1M所确定的平面即为满足条件的平面α.证明如下：连接BD交AC于O，连接PO，则PO∥D1B，又D1B⊄平面P AC，OP⊂平面P AC，故D1B∥平面P AC.又因为M为AA1的中点，所以D1M∥P A，又D1M⊄平面P AC，P A⊂平面P AC，所以D1M∥平面P AC.又因为D1M∩D1B＝D1，D1M⊂平面α，D1B⊂平面α，所以平面α∥平面P AC.证明面面平行的方法(1)面面平行的定义．(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．(3)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．一、选择题1．下列四个说法中正确的是()A．平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥βB．α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线)，则γ∥βC．平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥βD．平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β答案 C解析由面面平行的判定定理知C正确．2．如图所示，设E，F，E1，F1分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．不确定答案 A解析∵A1E∥BE1，A1E⊄平面BCF1E1，BE1⊂平面BCF1E1，∴A1E∥平面BCF1E1.同理，A1D1∥平面BCF1E1.又A1E∩A1D1＝A1，A1E，A1D1⊂平面EFD1A1，∴平面EFD1A1∥平面BCF1E1.3．六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，则此六棱柱的面中互相平行的有() A．1对B．2对C．3对D．4对答案 D解析由图知平面ABB1A1∥平面EDD1E1，平面BCC1B1∥平面FEE1F1，平面AFF1A1∥平面CDD1C1，平面ABCDEF∥平面A1B1C1D1E1F1，∴此六棱柱的面中互相平行的有4对．4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱A1D1的动点，O为底面ABCD的中心，点E，F 分别是A1B1，C1D1的中点，下列平面中与OM扫过的平面平行的是()A．平面ABB1A1B．平面BCC1B1C．平面BCFE D．平面DCC1D1答案 C解析取AB，DC的中点分别为点E1和点F1，连接E1F1，则E1F1过点O，OM扫过的平面即为平面A1E1F1D1(如图)，故平面A1E1F1D1∥平面BCFE.5．经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作()A．1个或2个B．0个或1个C．1个D．0个答案 B解析①当经过两点的直线与平面α平行时，可作出一个平面β使β∥α.②当经过两点的直线与平面α相交时，由于作出的平面与平面α至少有一个公共点，故经过两点的平面都与平面α相交，不能作出与平面α平行的平面．故满足条件的平面有0个或1个．6．已知立方体ABCD－A′B′C′D′，点E，F，G，H分别是棱AD，BB′，B′C′，DD′的中点，从中任取两点确定的直线中，与平面AB′D′平行的条数是()A．0 B．2 C．4 D．6答案 D解析连接EG，EH，EF，FG，GH，∵EH∥FG且EH＝FG，∴四边形EFGH为平行四边形，∴E，F，G，H四点共面．由EG∥AB′，EH∥AD′，EG∩EH＝E，AB′∩AD′＝A，EG，EH⊂平面EFGH，AB′，AD′⊂平面AB′D′，可得平面EFGH∥平面AB′D′.故平面EFGH内的每条直线都符合条件．故选D.7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断：①FG∥平面AA1D1D；②EF∥平面BC1D1；③FG∥平面BC1D1；④平面EFG∥平面BC1D1. 其中推断正确的序号是()A．①③B．①④C．②③D．②④答案 A解析∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱A1B1，B1C1，BB1的中点，∴FG∥BC1.∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，又∵FG⊄平面AA1D1D，AD1⊂平面AA1D1D，∴FG∥平面AA1D1D，故①正确；∵EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，∴EF与平面BC1D1相交，故②错误；∵FG∥BC1，FG⊄平面BC1D1，BC1⊂平面BC1D1，∴FG∥平面BC1D1，故③正确；∵EF与平面BC1D1相交，∴平面EFG与平面BC1D1相交，故④错误．故选A.8．如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，点E，F，G，H分别为P A，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①平面EFGH∥平面ABCD；②BC∥平面P AD；③AB∥平面PCD；④平面P AD∥平面P AB.其中正确的有()A．①③B．①④C．①②③D．②③答案 C解析把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则EH∥AB，又EH⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以EH∥平面ABCD.同理可证EF∥平面ABCD，又EF∩EH＝E，EF，EH⊂平面EFGH，所以平面EFGH∥平面ABCD；平面P AD，平面PBC，平面P AB，平面PDC均是四棱锥的四个侧面，则它们两两相交．∵AB∥CD，AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AB∥平面PCD.同理BC∥平面P AD.二、填空题9．已知平面α，β和直线a，b，c，且a∥b∥c，a⊂α，b，c⊂β，则α与β的关系是_____．答案相交或平行解析b，c⊂β，a⊂α，a∥b∥c，若α∥β，满足要求；若α与β相交，交线为l，b∥c∥l，a∥l，满足要求，故答案为相交或平行．10．已知平面α和β，在平面α内任取一条直线a，在β内总存在直线b∥a，则α与β的位置关系是________．(填“平行”或“相交”)答案平行解析若α∩β＝l，则在平面α内，与l相交的直线a，设a∩l＝A，对于β内的任意直线b，若b过点A，则a与b相交，若b不过点A，则a与b异面，即β内不存在直线b∥a，矛盾．故α∥β.11．如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.以上四个命题中，正确命题的序号是________．答案①②③④解析以ABCD为下底面还原正方体，如图：则易判定四个命题都是正确的．三、解答题12.如图，已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在P A，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.解∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，∴MQ∥AD，NQ∥BP，而BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC，∴NQ∥平面PBC.又∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC∥AD，∴MQ∥BC，而BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，∴MQ∥平面PBC.又MQ∩NQ＝Q，MQ，NQ⊂平面MNQ，∴平面MNQ∥平面PBC.13．如图，在四棱锥C－ABED中，四边形ABED是正方形，点G，F分别是线段EC，BD 的中点．(1)求证：GF∥平面ABC；(2)若点P为线段CD的中点，平面GFP与平面ABC有怎样的位置关系？并证明．(1)证明如图，连接AE，由F是线段BD的中点，四边形ABED为正方形得F为AE的中点，∴GF为△AEC的中位线，∴GF∥AC.又∵AC⊂平面ABC，GF⊄平面ABC，∴GF∥平面ABC.(2)解平面GFP∥平面ABC，证明如下：连接FP，GP.∵点F，P分别为BD，CD的中点，∴FP为△BCD的中位线，∴FP∥BC.又∵BC⊂平面ABC，FP⊄平面ABC，∴FP∥平面ABC，又GF ∥平面ABC ，FP ∩GF ＝F ，FP ⊂平面GFP ， GF ⊂平面GFP ， ∴平面GFP ∥平面ABC . 四、探究与拓展14．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，D 1D ，CD 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 上及其内部运动，则M 满足______时，有MN ∥平面B 1BDD 1.答案 M 在线段FH 上 解析 连接HN ，FH ，FN . ∵HN ∥DB ，FH ∥D 1D ， HN ∩HF ＝H ，BD ∩DD 1＝D ，HN ，HF ⊂平面FHN ，DB ，DD 1⊂平面B 1BDD 1， ∴平面FHN ∥平面B 1BDD 1.∵点M 在四边形EFGH 上及其内部运动，∴M ∈FH .15．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F ，M 分别是棱B 1C 1，BB 1，C 1D 1的中点，是否存在过点E ，M 且与平面A 1FC 平行的平面？若存在，请作出并证明；若不存在，请说明理由．解 如图，设N 是棱C 1C 上的一点，且C 1N ＝14C 1C ，则平面EMN 为符合要求的平面．证明如下：设H 为棱C 1C 的中点，连接B 1H ，D 1H .因为C1N＝14C1C，所以C1N＝12C1H.又点E为B1C1的中点，所以EN∥B1H.又CF∥B1H，所以EN∥CF.又EN⊄平面A1FC，CF⊂平面A1FC，所以EN∥平面A1FC.同理MN∥D1H，D1H∥A1F，所以MN∥A1F，又MN⊄平面A1FC，A1F⊂平面A1FC，所以MN∥平面A1FC.又EN∩MN＝N，EN，MN⊂平面EMN，所以平面EMN∥平面A1FC.。
人教新课标版数学高一必修二练习 直线与平面平行的判定
第二章 2.2 2.2.4一、选择题1．圆台的底面内的任意一条直径与另一个底面的位置关系是( ) A ．平行 B ．相交 C ．在平面内 D ．不确定[答案] A[解析] 圆台底面内的任意一条直径与另一个底面无公共点，则它们平行．2．直线a 、b 是异面直线，直线a 和平面α平行，则直线b 和平面α的位置关系是( ) A ．b ⊂α B ．b ∥αC ．b 与α相交D ．以上都有可能[答案] D[解析] 可构建模型来演示，三种位置关系都有可能． 3．下列命题：①如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行； ②过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行； ③如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行． 其中正确命题的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个[答案] B[解析] 只有②正确．4．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB 和BC 上的点，若AE EB ＝CF FB ＝12，则对角线AC 和平面DEF 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．在平面内D ．异面[答案] A[解析] 如右图，由AE EB ＝CF FB ，得AC ∥EF .又EF ⊂平面DEF ，AC ⊄平面DEF ， ∴AC ∥平面DEF .5．如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.其中正确的个数有()A．1 B．2C．3 D．4[答案] C[解析]矩形ABCD的对角线AC与BD交于O点，所以O为BD的中点．在△PBD中，M是PB的中点，所以OM是中位线，OM∥PD，则OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA.因为M∈PB，所以OM与平面PBA、平面PBC相交．6．(2013～2014·辽宁铁岭高一下学期测试)下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是()A．①③B．①④C．①③D．②④[答案] B[解析]对于选项①，取NP中点G，由三角形中位线性质易证：MG∥AB，故①正确；对于选项④，易证NP∥AB，故选B.二、填空题7．过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的有________条．[答案] 6[解析]如图：DD1、EE1、DE、D1E1、DE1、ED1都平行于面ABB1A1.8．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是A1D1的中点，则直线MD与平面A1ACC1的位置关系是________．直线MD与平面BCC1B1的位置关系是________．[答案]相交平行[解析]因为M是A1D1的中点，所以直线DM与直线AA1相交，所以DM与平面A1ACC1有一个公共点，所以DM与平面A1ACC1相交．取B1C1中点M1，MM1綊C1D1，C1D1綊CD，∴四边形DMM1C为平行四边形，∴DM綊CM1，∴DM∥平面BCC1B1.9．如下图(1)，已知正方形ABCD，E，F分别是AB，CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图(2)所示，则BF与平面ADE的位置关系是________．[答案]平行[解析]∵E，F分别为AB，CD的中点，∴EB＝FD.又∵EB∥FD，∴四边形EBFD为平行四边形，∴BF∥ED.∵DE⊂平面ADE，而BF⊄平面ADE，∴BF∥平面ADE.三、解答题10．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S，E，G分别是B1D1，BC，SC的中点．求证：直线EG∥平面BDD1B1.[证明]如图所示，连接SB.∵E，G分别是BC，SC的中点，∴EG∥SB.又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，∴直线EG∥平面BDD1B1.11．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，点D是AB的中点，求证：BC1∥平面CA1D.[证明]如图所示，连接AC1交A1C于点O，连接OD，则O是AC1的中点．∵点D是AB的中点，∴OD∥BC1.又∵OD⊂平面CA1D，BC1⊄平面CA1D，∴BC1∥平面CA1D.12．如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点．(1)求证：MN ∥平面PAD ；(2)若MN ＝BC ＝4，PA ＝43，求异面直线PA 与MN 所成的角的大小． [解析] (1)取PD 的中点H ，连接AH ，NH ， ∵N 是PC 的中点， ∴NH 綊12DC .由M 是AB 的中点，且DC 綊AB ，∴NH 綊AM ，即四边形AMNH 为平行四边形． ∴MN ∥AH .由MN ⊄平面PAD ，AH ⊂平面PAD ， ∴MN ∥平面PAD .(2)连接AC 并取其中点O ，连接OM 、ON ， ∴OM 綊12BC ，ON 綊12PA .∴∠ONM 就是异面直线PA 与MN 所成的角， 由MN ＝BC ＝4，PA ＝43，得OM ＝2，ON ＝2 3. ∴MO 2＋ON 2＝MN 2，∴∠ONM ＝30°， 即异面直线PA 与MN 成30°的角．。
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三、探究与拓展 13．如图所示， B 为△ ACD 所在平面外一点， M 、N、G 分别为△ ABC、△ ABD、
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
4．若正 n 边形的两条对角线分别与面 α平行，则这个正 n 边形所在的平面一定平行于平面
α，那么 n 的取值可能是
()
A ． 12
B．8
C． 6
D．5
5．已知平面 α、β和直线 a、b、c，且 a∥ b∥ c，a? α，b、c? β，则 α与 β的关系是 ________．
8． 证明 ∵ E、 E1 分别是 AB、 A1B1 的中点， ∴ A1E1∥BE 且 A1E1＝ BE. ∴ 四边形 A1EBE1 为平行四边形． ∴ A1E∥ BE1.∵ A1 E?平面 BCF1E1， BE 1? 平面 BCF 1E1. ∴ A1E∥ 平面 BCF 1E1. 同理 A1D1∥ 平面 BCF 1E1 ， A1E∩ A1D1＝ A1， ∴ 平面 A1EFD 1∥ 平面 BCF1E1.
6．有下列几个命题： ①平面 α内有无数个点到平面 β的距离相等，则 α∥ β； ② α∩γ＝a， α∩ β＝b，且 a∥b( α， β， γ分别表示平面， a， b 表示直线 )，则 γ∥ β；
③平面 α内一个三角形三边分别平行于平面 β内的一个三角形的三条边，则 α∥ β；
④平面 α内的一个平行四边形的两边与平面 β内的一个平行四边形的两边对应平行，则
9． D 10.A 11.M ∈线段 FH 1
12． 证明 (1)∵ E、F 分别是 B1C1、C1D 1 的中点， ∴ EF 綊 2B1D1，
∵ DD 1 綊 BB 1， ∴ 四边形 D 1B1BD 是平行四边形， ∴ D 1B1∥BD . ∴ EF ∥BD ， 即 EF、 BD 确定一个平面，故 E、F 、 D、 B 四点共面． (2) ∵ M 、N 分别是 A1B1、 A1D 1 的中点， ∴ MN ∥ D1B1∥ EF. 又 MN ?平面 EFDB ， EF ? 平面 EFDB . ∴ MN ∥ 平面 EFDB . 连接 NE，则 NE 綊 A1B1 綊 AB. ∴ 四边形 NEBA 是平行四边形． ∴ AN∥ BE .又 AN?平面 EFDB ，BE? 平面 EFDB .∴ AN∥ 平面 EFDB . ∵ AN、 MN 都在平面 AMN 内，且 AN∩ MN ＝ N， ∴ 平面 AMN ∥ 平面 EFDB . 13． (1) 证明 连接 BM、 BN、 BG 并延长交 AC、 AD 、 CD 分别于 P、 F、 H .
5/5
α∥ β. 其中正确的有 ________． (填序号 )
7．如图所示， 矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直， BE∥ CF，求证：AE ∥平面 DCF .
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8. 在长方体 ABCD —A1B1C1D1 中， E、F、 E1、F1 分别是 AB、CD 、 A1B1、 C1D1 的中点． 求证：平面 A1EFD 1∥平面 BCF 1E1.
2.2.2 平面与平面平行的判定
一、基础过关
1．直线 l ∥平面 α，直线 m∥平面 α，直线 l 与 m 相交于点 P，且 l 与 m 确定的平面为 β，
则 α与 β的位置关系是
()
A ．相交
B ．平行
C ．异面
D ．不确定
2．平面 α与平面 β平行的条件可以是
()
A ． α内的一条直线与 β平行
△ BCD 的重心． (1) 求证：平面 MNG ∥平面 ACD； (2) 求 S△MNG ∶ S△ADC .
答案
1． B 2． D 3． B 4.D 5．相交或平行 6．③ 7． 证明 由于 AB∥CD ， BE∥ CF，故平面 ABE∥ 平面 DCF .
而直线 AE 在平面 ABE 内，根据线面平行的定义，知 AE∥ 平面 DCF . 3/5
∴ 平面 MNG ∥平面 ACD .
MG BG 2 (2) 解 由 (1)可知 PH ＝BH＝ 3，
∴ MG ＝23PH .
1
1
又 PH＝ 2AD ， ∴MG ＝ 3AD .
1
1
同理 NG＝ 3AC ，MN ＝ 3CD .
∴△ MNG ∽△ DCA，其相似比为 1∶ 3，
∴ S△MNG ∶ S△ ADC＝1∶ 9.
4/5
∵ M 、 N、G 分别为 △ ABC、 △ ABD 、△ BCD 的重心，则有
BM BN BG MP＝ NF ＝ GH＝ 2.
连接 PF、 FH 、 PH ，有 MN ∥ PF .
又 PF? 平面 ACD， MN ?平面 ACD，
∴ MN ∥ 平面 ACD .
同理 MG ∥ 平面 ACD ， MG ∩ MN ＝ M ，
二、能力提升 9．α、β是两个不重合的平面， a、 b 是两条不同的直线，在下列条件下，可判定
A ． α， β都平行于直线 a、 b
B ． α内有三个不共线的点到 β的距离相等
C． a，b 是 α内两条直线，且 a∥ β， b∥ β
D ． a、b 是两条异面直线，且 a∥α，b∥ α， a∥ β，b∥ β
10. 正方体 EFGH — E1F1G1H1 中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是
(
α∥ β的是 ()
)
A ．平面 E1FG 1 与平面 EGH 1 B ．平面 FHG 1 与平面 F1 H1G
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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C．平面 F 1H 1H 与平面 FHE 1 D ．平面 E1HG 1 与平面 EH1G 11. 如图所示，在正方体 ABCD —A1B1C1D1 中， E、 F、 G、 H 分别是棱 CC1、 C1D1、 D 1D、 CD 的中点， N 是 BC 的中点，点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动，则 M 满足 ________ 时，有 MN ∥平面 B1BDD 1.
B ． α内的两条直线与 β平行
C． α内的无数条直线与 β平行
D ． α内的两条相交直线分别与 β平行
3．给出下列结论，正确的有 ①平行于同一条直线的两个平面平行；
()
②平行于同一平面的两个平面平行；
③过平面外两点，不能作一个平面与已知平面平行；
④若 a， b 为异面直线，则过 a 与 b 平行的平面只有一个．