2018-2019年上海市控江中学高一下期中数学试卷及答案
上海市上海中学2018学年高一下学期期中考试数学试题
12．下列各组角中，终边相同的角是（
）
A．
k
与
kπ+
π ，
k
Z
2
2
C． 2k 1 π与 4k 1 π， k Z
13．下列函数中，最小正周期是 π的函数是（
A ． f x sin x cos x
B． kπ
π 与
k
π，
k
Z
33
D． kπ π与 kπ π， k Z
6
6
）
B． f x
x tan
2
C． f x sin 2x
化为 y Asin x
（ A 0 ， 0 ）的形式后，振
幅为 1，则
．
10．函数 f x cos x sin x ， x 0 ，2π 的图像与直线 y k 有且仅有四个不同的交点，则
k 的取值范围为
．
11．设
0 ， π ，则函数 y 2 2
1 的最小值是
．
2
sin cos
二、选择题 （每题 4 分，共 16 分）
并求 L 的最小值．
⑵ 如图 2，矩形 ABCD 中 AB 1 ．将矩形折起，使得点 B 与点 F 重合，当点 F 取遍 CD
边上每一个点时，得到的每一条折痕都与边
AD 、 CB 相交，求边 AD 长的取值范围．
D
C
D
C
A
E
B
A
E
B
图1
图2
20． （共 12 分） 已知函数 f x a sin x cos 4sin2 x 9 ，若 f 9 π 13 9 2 ． 4
x π，17π ． 12
cos x f sin x
sin x f cos x ，
2019-2020学年上海市控江中学高一下学期期中数学试题(解析版)
A．充分非必要B．必要不充分C．充要D．非充分非必要
【答案】C
【解析】利用函数为偶函数 即可求解.
【详解】
根据题意可得
，
即 ，
，
所以 ，
对于任意 ，恒成立，
则 .
“ ”是“ 是偶函数”的充要条件.
故选：C
【点睛】
本题考查了充分条件、必要条件，函数奇偶性的应用，属于基础题.
二、填空题
5．圆心角为1弧度的扇形面积为2,则这个扇形的半径为_______.
【答案】2
【解析】由题意求出扇形的半径，然后求出扇形的面积．
【详解】
因为扇形的面积为2，圆心角为1弧度，
所以
故答案为2．
【点睛】
本题是基础题，考查扇形面积的求法，注意题意的正确理解，考查计算能力．
6． 的单调减区间是___________.
由 可得：
，
所以 或 ，
即 或
故答案为： 或
【点睛】
本题主要考查了余弦函数的图象与性质，三角方程的解法，属于中档题.
8．若 ，则 ___________.
【答案】 .
【解析】由诱导公式可知 ，所以 ，直接代入公式即可求出结果.
【详解】
.
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查了三角函数诱导公式的应用，属于基础题.
【答案】 或
【解析】利用正弦定理表示 为 的函数，即可求解.
【详解】
由正弦定理可得 , ,
又 ， ，
所以 在 有唯一解，
故 或
故答案为： 或
【点睛】
本题主要考查了正弦定理解三角形，考查函数零点个数问题，注意转化思想的应用，属于中档题.
上海市高一第二学期期中考试数学试卷含答案(共5套)
高一第二学期期中考试试卷数学一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. 已知()732log log log 0x =⎡⎤⎣⎦，那么x 等于 .2.2lg 3lg 91lg 27lg8lg 1000lg 0.3lg1.2-+-= .3.若21a b a >>>，则log ,log ,log bb a ba b a的大小顺序是 . 4.函数()212log 617y x x =-+的值域是 . 5．函数223y x ax =--在区间[]1,2上存在反函数的充要条件是 .6.若方程()22log 222ax x -+=在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有解，则实数a 的取值范围是 .7.已知一个扇形的周长为6，该扇形的中心角为1弧度，则该扇形的面积是 . 8.已知点()sin cos ,tan P θθθ-在第一象限，则在[]0,2π内θ的取值范围是 . 9.已知()1sin 34πθ+=，求()()()()()()cos cos 2cos 2cos cos cos cos 1πθθπθππθθθπθ+-+=+++-+-⎡⎤⎣⎦ .10.已知tan 1tan 1αα=--，则sin 3cos sin cos αααα-=+ .11.求值：4466sin cos 1sin cos 1αααα+-=+- . 12.函数()f x 满足()()1cos 02f x x x π=≤≤，则4sin3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. 13.若()()54cos ,sin ,,,0,13522ππαβααβπ⎛⎫-==-∈-∈ ⎪⎝⎭，则cos β= . 14.若sin sin sin 0,cos cos cos 0αβγαβγ++=++=，则()cos αβ-= .二、选择题：15．已知221,0,0x y x y +=>>，且()1log 1,log 1a ax m n x+==-，则log a y 等于 A. m n + B. m n - C. ()12m n + D.()12m n -16．函数2lg 11y x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象关于 A. x 轴对称 B. y 轴对称 C. 原点对称 D.直线y x =对称 17．已知()()log 10,1a g x x a a =+>≠，在()1,0-上有()0g x >，则()1x f x a+=在A.(),0-∞上递增B.(),0-∞上递减C.(),1-∞-上递增D. (),1-∞-上递减 18=，则α的终边在A. 第一象限B.第二象限C. 第一或第三象限D.第二或第四象限 19．锐角α终边上一点A 的坐标为()2sin3,2cos3-，则角α的弧度数为 A. 3π- B. 3π- C. 32π- D.3220．如果θ是第一象限角，那么恒有 A. sin02θ> B. tan12θ< C. sincos22θθ> D.sincos22θθ<三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.21.已知1sin cos 3αα+=，其值：（1）sin cos αα； （2）33sin cos αα+ （3）55sin cos αα+.22.已知()()2121x x a f x a R ⋅-=∈+是R 上的奇函数.（1）求a 的值； （2）求()f x 的反函数；（3）对任意()0,k ∈+∞的解不等式()121log xf x k-+>.23.已知α是锐角.（1）如果()tan cot 3log sin 4ααα-=-，求tan log cos αβ的值；（2）如果7sin sin 8αβ=，且1tan tan 4αβ=，求csc α的值.22.已知函数()()()log 30,1a f x x a a a =->≠，当点(),P x y 是函数图象上的点时，点()2,Q x a y --是函数()y g x =的图象上的点. （1）写出函数()y g x =的解析式；（2）当[]2,3x a a ∈++时，恒有()()1f x g x -≤，试确定a 的取值范围.上海市高一第二学期期中考试数学试卷一. 填空题1. 半径为2，圆心角为300°的圆弧长为2. 函数|tan |y x =的对称轴是3. 在平面直角坐标系中，已知角θ的顶点在坐标原点，始边为x 轴正半轴重合，终边在直 线3y x =上，则sin 2θ=4. 求函数()sin(2)3f x x π=-+的单调递减区间5. 若锐角α、β满足3cos 5α=，5cos()13αβ+=-，则cos β= 6. 已知函数2()lg(tan 1)9f x x x =--()f x 的定义域是7. 若长度为24x +、4x 、26x +的三条线段可以构成一个锐角三角形，则x 的取值范围是8. 若函数()2sin f x x ω=（01ω<<）在区间[0,]3π2，则ω=9. 如图所示，在塔底B 处测得山顶C 的仰角为60°，在山顶C 测得塔顶A 的俯角为45°，已知塔高20AB =米， 则山高DC = 米 10. 函数sin cos 1sin cos x xy x x+=+的值域为11. 已知333()sin cos 4f x a x x x =++（,a b R ∈）， 且(sin10)5f ︒=，则(cos100)f ︒=12. 设a 、b 均为大于1的自然数，函数()(sin )f x a b x =+，()cos g x b x =+，若存在实数m ，使得()()f m g m =，则a b +=二. 选择题13. 若MP 和OM 分别是角76π的正弦线和余弦线，则（ ） A. 0MP OM << B. 0OM MP >>C. 0OM MP <<D. 0MP OM >>14. 已知,(0,)2παβ∈，则下列不等式一定成立的是（ ）A. sin()sin sin αβαβ+<+B. sin()sin sin αβαβ+>+C. cos()sin sin αβαβ+<+D. cos()cos cos αβαβ+>+ 15. 把函数sin 2y x =的图像沿x 轴向左平移6π个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标 不变）后得到函数()y f x =的图像，对于函数()y f x =有以下四个判断：① 该函数的解析式为2sin(2)6y x π=+；② 该函数图像关于点(,0)3π对称；③ 该函数在[0,]6π上是增函数；④ 若函数()y f x a =+在[0,]2πa =其中正确的判断有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个16. 定义在区间[3,3]ππ-上的函数sin |2|y x =与cos y x =的图像的交点个数为（ ） A. 12个 B. 14个 C. 16个 D. 18个三. 简答题17. 已知7cos(23)25θπ-=，且θ是第四象限角； （1）求cos θ和sin θ的值；（2）求3cos()sin()22tan [cos()1]tan()cos()ππθθθπθπθθ--++---的值；18. 已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =++； （1）若1tan 2α=，求()f α的值； （2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；19. 设ABC ∆的三个内角A 、B 、C 对边分别是a 、b 、c ，且满足1cos 2a C cb +=；（1）求角A 的大小；（2）若1a =，求ABC ∆的周长l 的取值范围；20. 函数()y f x =满足(3)(1)f x f x +=-，且对于12,(2,)x x ∈+∞，有1212()()f x f x x x ->-成立，若222(cos 22)(sin 32)f m f m m θθ++<+--对R θ∈恒成立； （1）判断()y f x =的单调性和对称性； （2）求m 的取值范围；21. 已知函数()f x 、()g x 满足关系()()()2g x f x f x π=⋅+；（1）设()cos sin f x x x =+，求()g x 的解析式；（2）当()|sin |cos f x x x =+时，存在12,x x R ∈，对任意x R ∈，12()()()g x g x g x ≤≤恒成立，求12||x x -的最小值；参考答案一. 填空题 1. 103π 2. ,2k x k Z π=∈ 3. 35 4. 5[,],1212k k k Z ππππ-+∈5.3365 6. 3(,)(,)4242ππππ--U 7. 1(2 8. 349. 30+[1,1]- `11. 3 12. 4二. 选择题13. C 14. A 15. B 16. B三. 简答题17.（1）3cos 5θ=，4sin 5θ=-；（2）94；18.（1）1710；（2）最小正周期T π=，单调增区间：3[,],88k k k Z ππππ-+∈； 19.（1）3π；（2）(2,3]l ∈； 20.（1）对称轴2x =，单调减区间(,2)-∞，单调增区间(2,)+∞；（2）m ∈； 21.（1）()cos 2g x x =； （2）2π；上海市高一第二学期期中考试数学卷一. 填空题1. 弧度数为3的角的终边落在第 象限2. 2233cos sin 88ππ-= 3. 若函数()sin 3cos f x a x x =+的最大值为5，则常数a =4. 已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若18a =，460a a +=，则8S =5. 在ABC ∆中，23A π∠=，3a c =，则ab= 6.函数sin 3y x x =-的图像可由函数3cos y x x =+的图像至少向右平移 个单位长度得到7. 方程3sin 1cos2x x =+的解集为8. 已知θ是第四象限角，且3sin()45πθ+=-，则tan()4πθ-=9. 无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成， n S 为{}n a 的前n 项和，若对任意*n N ∈，{1,3}n S ∈，则k 的最大值为10. 在锐角ABC ∆中，若sin 3sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是二. 选择题 11. 已知10sin 10α=，5sin()5αβ-=-，,(0,)2παβ∈，则β=（ ） A.512π B. 3π C. 4π D. 6π12. 函数sin()y A x ωϕ=+的部分图像如图所示，则（ ）A. 2sin(2)6y x π=-B. 2sin(2)3y x π=-C. 2sin(2)6y x π=+D. 2sin(2)3y x π=+13. “sin 0α<”是“α为第三、四象限角”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件14. 已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，||2πϕ≤），4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =的图像的对称轴，且()f x 在5(,)836ππ单调，则ω的最大值为（ ）A. 11B. 9C. 7D. 5三. 简答题15. 在ABC ∆中，222a c b +=； （1）求B ∠的大小；（2）求cos A C +的最大值；16. 已知{}n a 是等比数列，前n 项和为n S （*n N ∈），且123112a a a -=，663S =； （1）求{}n a 的通项公式；（2）若对任意的*n N ∈，n b 是2log n a 和21log n a +的等差中项，求数列2{(1)}n n b -的前2n 项和；17.已知函数()4tan sin()cos()23f x x x x ππ=--（1）求()f x 的定义域与最小正周期； （2）求()f x 在区间[,]44ππ-上的单调性与最值；18. 已知方程arctan arctan(2)2xx a +-=；（1）若4a π=，求arccos 2x的值； （2）若方程有实数解，求实数a 的取值范围；（3）若方程在区间[5,15]上有两个相异的解α、β，求αβ+的最大值；参考答案一. 填空题1. 二2. 2-3. 4±4. 8 6. 2π 7. {|(1)},6k x x k k Z ππ=+-⋅∈ 8. 43 9.4 10. 12二. 选择题11. C 12. A 13. B 14. B三. 简答题 15.（1）4π； （2）1； 16.（1）1*2()n n a n N -=∈； （2）222n T n =； 17.（1）定义域{|,}2x x k k Z ππ≠+∈，T π=；（2）单调递增：[,]124ππ-，单调递减：[,]412ππ--，最大值为1，最小值为2-； 18.（1）π或3π； （2）[arctan； （3）19；高一年级下学期期中考试数学试卷二、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）3. 若函数()231,3log ,3x x f x x x ⎧+<=⎨≥⎩，则()()9f f = .4. 函数()()log 230,1a y x a a =-+>≠的图象恒过一定点_________. 3.若3cos α=，则2tan α= . 4.135o的圆心角所对的弧长为3π，则圆的半径是 . 5．已知11sin ,sin 32αβ==，则()()sin sin αβαβ+⋅-= . 6.已知5sin 13θ=-，且θ是第三象限角，则sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ .7.已知角α的终边在13y x =上，则sin α= . 8.已知1sin cos 2αα+=-，则22tan co t αα+= .9.若tan 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan α的值等于 . 10.若tan 2α=，则222sin sin cos cos αααα-+= . 11.设函数()y f x =存在反函数()1y fx -=，且函数()y x f x =-的图象经过点()2,5，则函数()13y f x -=+的图象一定过点 .12.已知()sin 21,,22f x x x ππ⎡⎤=-+∈-⎢⎥⎣⎦，那么()cos10f = . 13.函数()()()212log 24f x ax x a R =-+∈，若()f x 的值域为(],1-∞，则a 的值为 .14.设,αβ为锐角，且满足()22sinsin sin αβαβ+=+，则αβ+= .15.已知225sin sin 3sin αβα-+=，则函数22sin sin y αβ=+的最小值为 .16．下列4个命题中：（1）存在()0,x ∈+∞，使不等式23xx<成立；（2）不存在()0,1x ∈，使不等式23log log x x <；（3）任意的()0,x ∈+∞，使不等式2log 2x x <成立；（4）任意的()0,x ∈+∞，使不等式21log x x<成立.其中正确的命题个数是（ ） A. （1）（3）B. （1）（4）C. （2）（3）D.（2）（4）17．角α的终边在第三象限，那么3α的终边不可能在的象限是第（ ）象限 A. 一B. 二C. 三D. 四18．tan ,tan αβ是一元二次方程240x ++=的两根，,,02παβ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，那么()cos αβ+等于（ ）B. -C. 12- D.1219．若定义在()(),11,-∞+∞U 上的函数()y f x =满足()()11f x f x +=-，且当()1,x ∈+∞时，()231x f x x -=-则下列结论中正确的是（ ） A.存在t R ∈，使()2f x ≥在11,22t t ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上恒成立 B. 存在t R ∈，使()02f x ≤≤在11,22t t ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上恒成立 C. 存在t R ∈，使()f x 在11,22t t ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上始终存在反函数 D. 存在t R +∈，使()f x 在11,22t t ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上始终存在反函数 20．设函数()22,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程()f x a =有四个不同的根1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则()1122341x x x x x ++的取值范围是（ ） A. ()3,-+∞ B. (]3,3- C. [)3,3- D. (),3-∞21.已知()111cos ,cos ,0,,,71422ππααβααβπ⎛⎫⎛⎫=+=-∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求β的值.22.已知sin ,cos θθ是方程244210x mx m -+-=的两根322πθπ<<，求角θ.23.扇形AOB 的中心角为2,0,2πθθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，半径为r ，在扇形AOB 中作内切圆1O 与圆1O 外切，与,OA OB 相切的圆2O ，问sin θ为何值时，圆2O 的面积最大？最大值是多少？24. 设函数()()0,1x x f x ka a a a -=->≠是奇函数. （1）求常k 数的值； （2）若()813f =，且函数()()222x xg x a a mf x -=+-在区间[)1,+∞上的最小值为-2，求实数m 的值.25.若函数()f x 的定义域为R,满足对任意12,x x R ∈，有()()()1212f x x f x f x +≤+,则称()f x 为“V 形函数”.若函数()g x 定义域为R ，恒大于0，且对任意12,x x R ∈，恒有()()()1212lg lg lg f x x f x f x +≤+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则称()g x 为“对数V 形函数”.（1）当()2f x x =时，判断()f x 是否是“V 形函数”并说明理由；（2）当时()52xg x =+判断()g x 是否是“对数V 形函数”，并说明理由；（3）若函数()f x 是“V 形函数”，且满足对任意x R ∈都有()2f x ≥，问()f x 是否是“对数V 形函数”？请加以证明，如果不是，请说明理由.参考答案一、填空题1、52、(3,3)3、24、45、536-6、7、 8、469 9、13 10、75 11、()3,5- 12、217π- 13、27 14、2π 15、0二、选择题16. A 17. B 18. C 19. C 20. B 三、解答题21、3π22、53π23、sin θ为13时，圆2O 的面积最大，最大值是64π 24、（1）1k =；（2）2512m =25、（1）不是，理由略；（2）是，理由略；（3）是，理由略高一年级第二学期数学学科期中考试试卷（考试时间：120分钟 满分：150分）一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分． 1. 已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若43a =，则7S =__________. 2．若34π的圆心角所对的弧长为3π，则扇形半径长为 ． 3．方程2cos 10x +=的解集是__________．4. 设1cos 9θ=，则sin 2θ的值为__________．5．函数sin y x =233x ππ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭的值域为___________．6．设函数()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，()cos f x x =，则当0x <时，()f x 的解析式为_______________.7．若等比数列{}n a 的前n 项和23n n S r =⋅+，则r =___________． 8. 如图所示，在直角坐标系xOy 中，角α的顶角是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且⎪⎭⎫⎝⎛∈26ππα，.将角α的终边按逆时针方向旋转3π，交单位圆于点B .若点A 的横坐标为31，则点B 的横坐标为________. 9．已知函数()sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若将函数()f x 的图像向左平移a ()0a π<<个单位，所得图像关于y 轴对称，则实数a 的取值集合是__________________．10.已知数列{}n a 满足()*111,2n n n a a a n N +==∈，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2018S =____________．11．已知数列{}n a 满足511,62,6n n a n n a a n -⎧⎛⎫-+<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≥⎩，若对任意*n N ∈都有1n n a a +>，则实数a 的取值范围是 ．12．已知函数()74sin 20,66f x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭的图像与直线y m =的三个交点的横坐标分别为()123123,,x x x x x x <<，那么1232x x x ++的值是__________.二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足242++=n n S n ，则345a a a ++= （ ） A. 10 B ．11 C ．33 D ．3414．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则“a b =”是“cos cos a A b B =”的 ( ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件15．有下列四个命题：①只有在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，正弦函数()sin f x x =才有反函数；②()()sin arcsin f x x =与()()sin sin g x arc x =是同一函数；③若函数()1tan 3y ax =的最小正周期为π，则1a =；④函数()sin cos 1f x x x =-的最小正周期为π. 其中正确的命题个数为 （ ） A. 0 B ．1 C ．2 D ．316．对于实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 已知正数数列{}n a 满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和，则[][][]1280111...S S S +++=（ ） A ．2323140 B ．5241280 C ．2603140 D ．5171280三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．(本题满分14分)设1tan 43πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求sin 23πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.18．(本题满分14分)本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分． 已知等比数列{}n a 满足：公比()0,1q ∈，且1524257,116a a a a +=⋅=. 三、求数列{}n a 的通项公式；（2）设点(),n n a b 在函数()()2log 01f x x a a =>≠且的图像上，求数列{}n b 的前n 项和n T 的最大值，并求出此时的n .19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数()()()()cos 0,0f x x x ωϕωϕϕπω=+-+<<>为偶函数，且函数()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为2π. 5. 求8f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递减区间.20.（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分. 如图，公路AM AN 、围成的是一块角形耕地，其中顶角A 满足tan 2A =-.在该土地中有一点P ，经测量它到公路AM AN 、的距离分别为3km .现要过点修建一条直线公路BC ，将三条公路围成的区域ABC 建成一个工业区． （1）用sin ,sin B C 来表示BC ；（2）为尽量减少耕地占用，问AB 等于多少时，使该工业区面积最小？并求出最小面积.21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．用部分自然数构造如图的数表：用()ij a i j >表示第i 行第j 个数(),i j N ∈，使得1i ij a a i ==，每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和，设第()*n n N ∈行中的各数之和为n b .（1）已知()*1n n b pb q n N +=+∈，求23,,,b b p q 的值；（2）令2n n c b =+，证明：{}n c 是等比数列，并求出{}n b 的通项公式；（3）数列{}n b 中是否存在不同的三项()*,,,,p q r b b b p q r N ∈恰好成等差数列？若存在，求出,,p q r 的关系，若不存在，说明理由.122343477451114115 ......第二学期高一年级数学学科期中考试参考答案 （考试时间：120分钟 满分：150分）一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分． 1. 已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若43a =，则7S =__________.4 2．若34π的圆心角所对的弧长为3π，则扇形半径长为 ． 21 3．方程2cos 10x +=的解集是__________．22,3x x k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭4. 设1cos 9θ=，则sin 2θ的值为__________．23±5．函数sin y x =233x ππ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭的值域为___________． 32⎛⎤- ⎥ ⎝⎦6．设函数()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，()cos f x x =，则当0x <时，()f x 的解析式为_______________.()()cos 0f x x x =-<7．若等比数列{}n a 的前n 项和23n n S r =⋅+，则r =___________．2- 8. 如图所示，在直角坐标系xOy 中，角α的顶角是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且⎪⎭⎫⎝⎛∈26ππα，.将角α的终边按逆时针方向旋转3π，交单位圆于点B .若点A 的横坐标为31，则点B 的横坐标为________.1266- 9．已知函数()sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若将函数()f x 的图像向左平移a ()0a π<<个单位，所得图像关于y 轴对称，则实数a 的取值集合是________．2,36ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭10.已知数列{}n a 满足()*111,2n n n a a a n N +==∈，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2018S =____________．1009323⨯-11．已知数列{}n a 满足511,62,6n n a n n a a n -⎧⎛⎫-+<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≥⎩，若对任意*n N ∈都有1n n a a +>，则实数a 的取值范围是 ．17,212⎛⎫⎪⎝⎭12．已知函数()74sin 20,66f x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭的图像与直线y m =的三个交点的横坐标分别为()123123,,x x x x x x <<，那么1232x x x ++的值是__________.53π二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足242++=n n S n ，则345a a a ++= （ C ） A. 10 B ．11 C ．33 D ．3414．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则“a b =”是“cos cos a A b B =”的 ( A ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件15．有下列四个命题：①只有在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，正弦函数()sin f x x =才有反函数；②()()sin arcsin f x x =与()()sin sin g x arc x =是同一函数；③若函数()1tan 3y ax =的最小正周期为π，则1a =；④函数()sin cos 1f x x x =-的最小正周期为π. 其中正确的命题个数为 （ A ） A. 0 B ．1 C ．2 D ．316．对于实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 已知正数数列{}n a 满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和，则[][][]1280111...S S S +++=（ B ） A ．2323140 B ．5241280 C ．2603140 D ．5171280三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．(本题满分14分)设1tan 43πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求sin 23πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.解：1tan 1tan tan 241tan 3παααα+⎛⎫+==-⇒=- ⎪-⎝⎭Q . 2222tan 41tan 3sin 2,cos 1tan 51tan 5αααααα-∴==-==-++1sin 22sin 232πααα⎛⎫∴-=-=⎪⎝⎭18．(本题满分14分)本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分． 已知等比数列{}n a 满足：公比()0,1q ∈，且1524257,116a a a a +=⋅=. 四、求数列{}n a 的通项公式；（2）设点(),n n a b 在函数()()2log 01f x x a a =>≠且的图像上，求数列{}n b 的前n 项和n T 的最大值，并求出此时的n .解：（1）由11511551552425712571161616111116a a a a a a a a a a a a =⎧⎧⎧⎧+==+=⎪⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⎨=⎪⎪⎪⎪⋅==⋅=⎩⎩⎩⎩或 又()110,1,16,4q a q ∈∴==Q ()1*1164n n a n N -⎛⎫∴=⋅∈ ⎪⎝⎭（2）由题意，()()()162*2221log log 16log 2624n n n n b a n n N --⎡⎤⎛⎫==⋅==-∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦{}n b ∴是等差数列，且()()22*4625255224n n n T n n n n N ⋅+-⎛⎫==-+=--+∈ ⎪⎝⎭()23max 6n T T T ∴===.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数()()()()cos 0,0f x x x ωϕωϕϕπω+-+<<>为偶函数，且函数()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为2π. （1）求8f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递减区间.解：（1）化简得：()2sin 6f x x πωϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()f x Q 为偶函数，62k ππϕπ∴-=+又0ϕπ<<Q ，23πϕ∴=又函数()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为2π，2,222T T πππωω∴=∴==⇒=()2cos2f x x ∴=，因此2cos 84f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭.（2）由题意得()2cos 23x g x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭令2223x k k ππππ≤-≤+，即()g x 的单调递减区间为284,4,33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.20.（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分. 如图，公路AM AN 、围成的是一块角形耕地，其中顶角A 满足tan 2A =-.在该土地中有一点P ，经测量它到公路AM AN 、的距离分别为3km .现要过点修建一条直线公路BC ，将三条公路围成的区域ABC 建成一个工业区． （1）用sin ,sin B C 来表示BC ；（2）为尽量减少耕地占用，问AB 等于多少时，使该工业区面积最小？并求出最小面积.解：（1）35,sin sin BP CP B C ==∴， 35sin sin BC BP CP B C=+=+∴. （2）由正弦定理sin sin sin BC AB ACA C B==，得3sin 53sin 5,sin sin sin sin C B C B AB AC B A C A +== ()23sin 5113sin 5sin 3sin 5sin sin sin 222sin sin sin C B C B C BS AB AC A A B C A++∴=⋅⋅==229sin 5sin 65sin 59sin 5sin 651524sin sin 2sin sin 5C B B C C B B C B C ++⎫==+≥⎪⎝⎭ 当且仅当9sin 5sin sin sin C BB C=，即sin 5sin 3C B =时等号成立. 解得5AB =. 答：当5AB =时，该工业区的面积最小值为15.21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．用部分自然数构造如图的数表：用()ij a i j >表示第i 行第j 个数(),i j N ∈，使得1i ij a a i ==，每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和，设第()*n n N ∈行中的各数之和为n b .（4）已知()*1n n b pb q n N +=+∈，求23,,,b b p q 的值；（5）令2n n c b =+，证明：{}n c 是等比数列，并求出{}n b 的通项公式；（6）数列{}n b 中是否存在不同的三项()*,,,,p q r b b b p q r N ∈恰好成等差数列？若存在，求出,,p q r 的关系，若不存在，说明理由.122343477451114115 ......解：（1）234,10,2b b p q ====. （2）证明：()112222222n n n n n n b c b c b b +++++===++（常数） 又112123c b =+=+={}n c ∴是以3为首项，2为公比的等比数列. 故()1*32n n c n N -=⋅∈ ()1*2322n n n b c n N -∴=-=⋅-∈.（3）不妨设数列{}n b 中存在不同的三项()*,,,,,p q r b b b p q r p q r N >>∈其中恰好成等差数列. 即2q p r b b b =+()()()1112322322322q p r ---∴⨯⋅-=⋅-+⋅- 化简得：()22211,2q r p r q r p r --⨯=--≥-≥其中显然上式左边为偶数，右边为奇数，方程不成立. 故数列{}n b 中不存在不同的三项()*,,,,p q r b b b p q r N ∈恰好成等差数列.。
2018-2019学年上海市上海中学高一下期中考试数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市上海中学高一下期中考试数学试题一、单选题1．若则在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】根据三角函数值在各个象限的正负，判断出角的终边所在的象限.【详解】由于，故角为第一、第四象限角.由于，故角为第二、第四象限角.所以角为第四象限角.故选D.【点睛】本小题主要考查三角函数值在各个象限的正负值，根据正切值和余弦值同时满足的象限得出正确选项.2．函数的部分图像如图,则可以取的一组值是A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：∵，∴，，又由得.3．在△ABC中,分别为三个内角A、B、C的对边,若则△ABC的形状是A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【答案】D【解析】利用正弦定理化简得：，再利用二倍角公式整理得：，解三角方程即可得解。
【详解】由正弦定理化简得：,整理得：，所以又，所以或.所以或.故选：D【点睛】本题主要考查了正弦定理及三角恒等变换，还考查了正弦的二倍角公式及三角函数的性质，属于中档题。
二、填空题4．函数的最小正周期是_________.【答案】【解析】直接由周期公式得解。
【详解】函数的最小正周期是：故填：【点睛】本题主要考查了的周期公式，属于基础题。
5．已知点P在角的终边上,则_______.【答案】0【解析】求出到原点的距离，利用三角函数定义得解。
【详解】设到原点的距离，则所以，，所以【点睛】本题主要考查了三角函数定义，考查计算能力，属于基础题。
6．已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，则扇形的圆心角α的弧度数为__________．【答案】【解析】由题意或，则圆心角是，应填答案。
7．在△ABC中,若则△ABC为_______(填“锐角”或直角”或“钝角”)三角形.【答案】钝角【解析】整理得，利用可得，问题得解。
【详解】因为，所以，又,所以，所以所以为钝角，故填：钝角【点睛】本题主要考查了三角恒等变换及转化思想，属于基础题。
上海市上海中学2018-2019学年高一下期中考试数学试题
上海中学2018-2019学年度第二学期期中考试高一数学试题卷一、填空题(每题3分,共36分)1.函数()x y 3sin 2=的最小正周期是_________.2.已知点P ()11，在角α的终边上,则=-ααcos sin _______. 3.已知扇形的周长是10cm,半径是4cm,则该扇形的圆心角是_____弧度.4.在△ABC 中,若，＜0sin tan B A 则△ABC 为_______(填“锐角”或直角”或“钝角”)三角形.5.若，π534sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+α则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-4cos πα______. 6.若，π＜＜20α则化简=+--++αααcos 22sin 1sin 1_______. 7.已知，2tan =α则=+-1cos sin sin 2ααα_______.8.方程x x sin lg =的实数根的个数是______. 9.若，αβαsin 2sin 2sin 322=+则βα22cos sin +的取值范围是________. 10.若()，π，，＞20cos sin cos sin 33∈--ααααα则α的取值范围是________. 11.已知函数()()，ππ，＞π⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3604sin f f x x f ωω且在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛36π，π(内有最小值无最大值,则=ω_______. 12.已知()x f 是定义在R 上的奇函数，且0＜x 时，()x f 单调递增，已知()，01=-f 设()，m x m x x g 2cos sin 2-+=集合()，＜，有π，对任意⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=020|x g x m M 集合 ()[]，＜，有π，对任意⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=020|x g f x m N 则=N M ________.二、选择题(每题4分,共16分)13.若，＜，＞0tan 0cos αα则α在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限14.函数()ϕω+=x y sin 的部分图像如图,则ϕω、可以取的一组值是A.62π，π==ϕωB.42π，π==ϕω C.44π，π==ϕω D.454π，π==ϕω 15.在△ABC 中,c b a 、、分别为三个内角A 、B 、C 的对边,若，BA b a tan tan 22=则△ABC 的形状是 A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形16.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，动点P 、Q 从点A(1,,0)出发在单位圆上运动,点P 按逆时针方向每秒钟转6π弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转611π弧度，则P 、Q 两点在第2019次相遇时,点P 的坐标是A.(0,0)B.(0,1)C.(-1,0)D.(0,-1)三、解答题(本大题共5题,共48分,解答各题必须写出必要的步骤)17.(本题满分8分)已知()，，71tan 21tan -==-ββα求αtan 的值。
2019-2020学年上海市控江中学高一下学期数学期中考试试卷带详解
2019学年第二学期高一数学期中测试一、填空题（每题5分）1.圆心角为1弧度的扇形面积为2,则这个扇形的半径为_______.2.()5sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调减区间是___________.3.方程2cos 210x -=的解集是___________.4.若()cos 2cos3f x x =-，则()sin 75f ︒=___________.5.不等式arccos arccos(1)x x >-的解为______6.在ABC ∆中，222sin sin sin sin sin B A C A C +≥+，则角B 的最小值是____________.7.已知()4cos 5αβ+=，()3cos 5αβ-=-，则tan tan αβ=___________.8.函数()cos 2f x x =，,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π的反函数是___________.9.已知m 是实常数，若{}2cos sin 0x x x m ++=≠∅，则m 的取值范围是___________.10.ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若满足60A ∠=︒，4a =的ABC 恰有一个，则c 的取值范围是___________.11.已知函数()()()sin 0,0,f x A x b A ωϕωϕπ=++>><的最大值为4，最小值为0，最小正周期为2π，直线3x π=是其图像的一条对称轴，且42f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 的解析式为___________.12.在ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，现有下列命题：①若tan tan A B ≥，则sin sin A B ≥；②若2a b c +>，则3C π<；③若cos cos a b B A=，则ABC 为等腰三角形；④若sin cos A B <，则ABC为钝角三角形；⑤若tan tan 1A B >，则tan tan tan 1A B C >；其中正确的命题是______________（请填写相应序号）.二、选择题（每题5分）13.函数sin sin y x x =-的值域是（）A.{}0 B.[]22-, C.[]0,2 D.[]2,0-14.已知下列两个命题：①将函数4sin 2y x =图像向左平移3π个单位得到函数4sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；②函数cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像关于直线22k x ππ=-，()k Z ∈成轴对称其中（）A.①真②真B.①真②假C.①假②真D.①假②假15.已知,a b ∈R ，“0a b +=”是“()sin sin 44a x x f b x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是偶函数”的（）条件.A.充分非必要B.必要不充分C.充要D.非充分非必要16.已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，()5sin ,014211,14x x x f x x π⎧⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程()()()()255660f x a f x a a R -++=∈⎡⎤⎣⎦有且仅有6个不同实数根，则a 的取值范围是（）A.01a <≤或54a =B.01a ≤≤或54a =C.01a <<或54a =D.514a <≤或0a =三、解答题：17.已知tan 2α=.（1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值.18.已知函数()4tan sin()cos()323f x x x x ππ=---；（1）求()f x 的定义域与最小正周期；（2）求()f x 在区间[,44ππ-上的单调性与最值.19.如图所示，扇形AOB ，圆心角AOB 的大小等于3π，半径为2，在半径OA 上有一动点C ，过点C 作平行于OB 的直线交弧AB 于点P .（1）若C 是半径OA 的中点，求线段PC 的大小；（2）设COP θ∠=，求POC ∆面积的最大值及此时θ的值.20.某同学用“五点法”画函数()()sin 0,0,2f x M x M πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在某一周期内的图像时，列表并填入部分数据，如表所示.x ωϕ+02ππ32π2πx2π72π()f x 02-20（1）请将表中数据补充完整，填写在相应位置，并写出()f x 的解析式；（2）将函数()f x 的图像上每一点的横坐标缩小为原来的13，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，a 、b 、c 分别为锐角ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边，若()1g A =，2a =，求ABC 的面积S 的的最大值.21.已知函数()()sin cos 4sin 29f x a x x x =+++，且134f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求a 的值；（2）求出()f x 的最小正周期，并证明；（“周期”要证，“最小”不用证明）（3）是否存在正整数n ，使得()f x 在区间[]0,n π内恰有2021个零点，若存在，求出n 的值；若不存在，说明理由.2019学年第二学期高一数学期中测试一、填空题（每题5分）1.圆心角为1弧度的扇形面积为2,则这个扇形的半径为_______.【答案】2【解析】【分析】由题意求出扇形的半径，然后求出扇形的面积．【详解】因为扇形的面积为2，圆心角为1弧度，所以211222r r ⨯⨯=∴=故答案为2．【点睛】本题是基础题，考查扇形面积的求法，注意题意的正确理解，考查计算能力．2.()5sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调减区间是___________.【答案】[,]()88k k k 3π7ππ+π+∈Z 【解析】【分析】根据正弦函数的单调性直接求解即可.【详解】因为()5sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令2232242x k k πππππ≤-≤++，k Z ∈解得3788x k k ππππ≤≤++，k Z ∈，所以函数()5sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递减区间为[,]()88k k k 3π7ππ+π+∈Z ，故答案为：[,]()88k k k 3π7ππ+π+∈Z 【点睛】本题主要考查了正弦函数的单调性，考查了运算能力，属于容易题.3.方程2cos 210x -=的解集是___________.【答案】{|6x x k ππ=+或,}6x k k Z ππ=-∈【解析】【分析】根据余弦函数的图象与性质解三角方程即可.【详解】由2cos 210x -=可得：1cos 22x =，所以223x k ππ=+或223x k ππ=-，()k ∈Z 即6x k ππ=+或6x k ππ=-故答案为：{|6x x k ππ=+或,}6x k k Z ππ=-∈【点睛】本题主要考查了余弦函数的图象与性质，三角方程的解法，属于中档题.4.若()cos 2cos3f x x =-，则()sin 75f ︒=___________.【答案】222-.【解析】【分析】由诱导公式可知sin 75cos15︒=︒，所以()()sin 75cos15f f ︒=︒，直接代入公式即可求出结果.【详解】()()sin 75cos152cos 45222f f ︒=︒=-︒=-.故答案为：222-.【点睛】本题主要考查了三角函数诱导公式的应用，属于基础题.5.不等式arccos arccos(1)x x >-的解为______【答案】10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】由反余弦函数的定义域及单调性可得111111x x x x -≤≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪<-⎩，再求解即可.【详解】解：由函数arccos y x =是定义在[]1,1-的减函数，又arccos arccos(1)x x >-，则111111x x x x-≤≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪<-⎩，解得：102x ≤<，即不等式的解集为：10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故答案为10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查了反余弦函数的定义域及单调性，属基础题.6.在ABC ∆中，222sin sin sin sin sin B A C A C +≥+，则角B 的最小值是____________.【答案】3π【解析】利用正弦定理有：222b ac a c +≥+，则2221cos 22a cb B ac +-=≤，则角B 的最小值是3π．7.已知()4cos 5αβ+=，()3cos 5αβ-=-，则tan tan αβ=___________.【答案】-7【解析】【分析】根据()4cos 5αβ+=，()3cos 5αβ-=-，利用两角和与差的余弦公式展开，再两式相加、相减分别得到cos cos αβ、sin sin αβ，然后利用商数关系求解.【详解】因为()4cos 5αβ+=，()3cos 5αβ-=-，所以43cos cos sin sin ,cos cos sin sin 55αβαβαβαβ-=+=-，两式相加得：1cos cos 10αβ=，两式相减得：7sin sin 10αβ=-，所以tan tan 7αβ=-，故答案为：-7【点睛】本题主要考查两角和与差的三角函数的应用以及同角三角函数的基本关系式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8.函数()cos 2f x x =，,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π的反函数是___________.【答案】1()arccos 2f x x =-【解析】【分析】根据反余弦函数的定义及,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，利用偶函数性质求解即可.【详解】因为,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，所以2[],0x π∈-由()cos 2cos(2)f x x x ==-，且[]20,x π-∈所以2arccos x y -=，即1arccos 2y x =-故答案为：1()arccos 2f x x =-【点睛】本题主要考查了反余弦函数，反余弦函数的值域，属于中档题.9.已知m 是实常数，若{}2cos sin 0x x x m ++=≠∅，则m 的取值范围是___________.【答案】5[,1]4-【解析】【分析】由题意可转化为2sin sin 1m x x =--有解，换元求函数的值域即可.【详解】由2cos sin 0x x m ++=可得：2sin sin 1m x x =--，若{}2cos sin 0x x x m ++=≠∅，则方程2sin sin 1m x x =--有解，令sin t x =，11t -≤≤，则221551()[,1]244y t t t =--=--∈-，所以只需5[,1]4m ∈-，故答案为：5[,1]4-【点睛】本题主要考查了含sin x 的二次函数的值域，分离参数的方法，集合的概念，属于中档题.10.ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若满足60A ∠=︒，4a =的ABC 恰有一个，则c 的取值范围是___________.【答案】3c =或04c <≤【解析】【分析】利用正弦定理表示c 为sin C 的函数，即可求解.【详解】由正弦定理可得sin sin a C c A =,20,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,又60A ∠=︒，4a =，所以c =在20,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有唯一解，故3c =或04c <≤故答案为：833c =或04c <≤【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形，考查函数零点个数问题，注意转化思想的应用，属于中档题.11.已知函数()()()sin 0,0,f x A x b A ωϕωϕπ=++>><的最大值为4，最小值为0，最小正周期为2π，直线3x π=是其图像的一条对称轴，且42f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 的解析式为___________.【答案】()2sin 426f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭【解析】【分析】首先根据函数的最大值和最小值，列式求,A b ，根据周期公式求ω，再代入对称轴3x π=，求ϕ，最后再验证，确定函数的解析式.【详解】14f π⎛⎫=⎪⎝⎭【点睛】本题考查根据三角函数的性质求函数的解析式，重点考查公式计算，属于基础题型.12.在ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，现有下列命题：①若tan tan A B ≥，则sin sin A B ≥；②若2a b c +>，则3C π<；③若cos cos a bB A=，则ABC 为等腰三角形；④若sin cos A B <，则ABC为钝角三角形；⑤若tan tan 1A B >，则tan tan tan 1A B C >；其中正确的命题是______________（请填写相应序号）.【答案】②④⑤.【解析】【分析】①取45,105A B =︒=︒验证可判断；②由2a b c +>及基本不等式求cos C 的范围，从而可判断；③由cos cos a bB A=和正弦定理可判断；④若sin cos A B <，则sin sin 2A B π⎛⎫<-⎪⎝⎭，结合正弦函数的单调性可判断；⑤若tan tan 1A B >，则可判断出A 、B 、C 均为锐角，由()tan tan tan tan +=1tan tan A BC A B A B+=---，结合均值定理可判断tan tan tan 1A B C >.【详解】解：①令45,105A B =︒=︒，则tan tan A B ≥，但sin sin sin 75A B <=︒，故①错误.②若2a b c +>，则222a b c +⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，()22222222326212cos 22882a b a b a b ab a b c ab ab C ab ab ab ab +⎛⎫+- ⎪+-+--⎝⎭=>=≥，cos y x =在()0,π递减，所以3C π<，故②正确；③由正弦定理及cos cos a b B A =，得sin 2sin 2A B =所以A B =或2A B π+=，则ABC 为等腰三角形或直角三角形，故③错误.④由sin cos A B <，则,0,2A B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,22B ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，sin sin 2A B π⎛⎫<- ⎪⎝⎭，所以,22A B A B ππ<-+<，则ABC 为钝角三角形，故④正确.⑤若tan tan 1A B >，则,0,2A B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()sin sin cos cos ,cos 0A B A B A B >+<，,2A B ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan 0C >，()tan tan ,tan tan +=1tan tan A BC A B C A B A Bπ+=--=---，所以tan tan tan tan tan tan 2tan 2A B C C A B C =++≥>+>，所以tan tan tan 1A B C >，故⑤正确综合以上有②④⑤正确故答案为：②④⑤.【点睛】根据正余弦定理、三角函数的单调性以及基本不等式考查三角形边角之间的关系，中档题.二、选择题（每题5分）13.函数sin sin y x x =-的值域是（）A.{}0 B.[]22-, C.[]0,2 D.[]2,0-【答案】D 【解析】【分析】去绝对值号转化为分段函数，即可求出值域.【详解】因为0,sin 0sin sin 2sin ,sin 0x y x x x x ≥⎧=-=⎨<⎩，由正弦函数的值域可知20-≤≤y ，故选：D【点睛】本题主要考查了正弦函数的值域，考查了分段函数值域的求法，属于中档题．14.已知下列两个命题：①将函数4sin 2y x =图像向左平移3π个单位得到函数4sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；②函数cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像关于直线22k x ππ=-，()k Z ∈成轴对称其中（）A.①真②真B.①真②假C.①假②真D.①假②假【答案】D 【解析】【分析】根据图象平移变换可判断①，根据余弦函数的对称轴可判断②【详解】①将函数4sin 2y x =图像向左平移3π个单位得到函数24sin 2()4sin(2)33y x x ππ=+=+，故①假；②函数cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像的对称轴方程为2,6x k k Z ππ+=∈，解得212k x ππ=-，k Z ∈，故②假.故选：D【点睛】本题主要考查了三角函数图象的平移变换，余弦函数的对称轴，属于中档题.15.已知,a b ∈R ，“0a b +=”是“()sin sin 44a x x f b x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是偶函数”的（）条件.A.充分非必要B.必要不充分C.充要D.非充分非必要【答案】C 【解析】【分析】利用函数为偶函数()()f x f x -=即可求解.【详解】根据题意可得()()f x f x -=sin sin sin sin 4444a x b x a x b x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++--=++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即sin sin sin sin 4444a x b x a x b x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+=++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()sin sin 044a b x a b x ππ⎛⎫⎛⎫++++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2sin sin04a b x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，对于任意x ∈R ，恒成立，则0a b +=.“0a b +=”是“()sin sin 44a x x f b x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是偶函数”的充要条件.故选：C【点睛】本题考查了充分条件、必要条件，函数奇偶性的应用，属于基础题.16.已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，()5sin ,014211,14x x x f x x π⎧⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程()()()()255660f x a f x a a R -++=∈⎡⎤⎣⎦有且仅有6个不同实数根，则a 的取值范围是（）A.01a <≤或54a = B.01a ≤≤或54a =C.01a <<或54a =D.514a <≤或0a =【答案】A 【解析】【分析】运用偶函数的定义可得()f x 在0x <的解析式，作出函数()f x 的图象，由25[()](56)()60f x a f x a -++=，解得()f x a =或6()5f x =，结合图象，分析有且仅有6个不同实数根的a 的情况，即可得到a 的范围．【详解】函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x 时，5sin()(01)42()1(1(1)4x x x f x x π⎧⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩ ，当0x <时，5sin(),10()4241,1x x x f x x π⎧--⎪=⎨⎪+<-⎩．作函数()f x 的图象，由于关于x 的方程25[()](56)()60f x a f x a -++=，解得()f x a =或6()5f x =，当01x时，()[0f x ∈，54，1x >时，()(1f x ∈，5)4．由65154<<，则6()5f x =有4个实根，由题意，只要()f x a =有2个实根，由图象可得当01a <时，()f x a =有2个实根，当54a =时，()f x a =有2个实根．综上可得：01a <或54a =．故选：A ．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的运用，考查方程和函数的转化思想，运用数形结合的思想方法是解决的常用方法．三、解答题：17.已知tan 2α=.（1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值.【答案】（1）3-；（2）1【解析】试题分析：（1）本题考察的是求三角函数的值，本题中只需利用两角和的正切公式，再把tan 2α=代入到展开后的式子中，即可求出所求答案．（2）本题考察的三角函数的化简求值，本题中需要利用齐次式来解，先通过二倍角公式进行展开，然后分式上下同除以2cos α，得到关于tan α的式子，代入tan 2α=，即可得到答案．试题解析：（Ⅰ）tan tan214tan() 3.41211tan tan 4παπαπα+++===--⨯-（Ⅱ）原式222sin cos sin sin cos 2cos a ααααα=+-22tan tan tan 2ααα=+-2221222⨯==+-．考点：（1）两角和的正切公式（2）齐次式的应用18.已知函数()4tan sin()cos(23f x x x x ππ=--（1）求()f x 的定义域与最小正周期；（2）求()f x 在区间[,44ππ-上的单调性与最值.【答案】（1）定义域π{|π,}2x x k k ≠+∈Z ，T π=；（2）单调递增：[,]124ππ-，单调递减：[,]412ππ--，最大值为1，最小值为2-；【解析】试题分析：(1)简化原函数，()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭结合定义域求最小正周期;(2)在给定区间上结合正弦曲线，求单调性与最值.试题解析：()4tan sin cos 4tan cos cos 4sin cos 2333f x x x x x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2πsin2sin22sin 23x x x x x ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭；（1）()f x 的定义域：{|,}2x x k k Z ππ≠+∈，最小正周期2ππ2T ==；（2）()π5πππ1,2,sin 21,2,14436632x x x f x ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎤⎡∈-⇒-∈-⇒+∈-⇒∈- ⎪⎦⎣⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦，即最大值为1，最小值为2-，单调递增：,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，单调递减：,412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，19.如图所示，扇形AOB ，圆心角AOB 的大小等于3π，半径为2，在半径OA 上有一动点C ，过点C 作平行于OB 的直线交弧AB 于点P .（1）若C 是半径OA 的中点，求线段PC 的大小；（2）设COP θ∠=，求POC ∆面积的最大值及此时θ的值.【答案】（1）1132PC -+=；（2）6πθ=时，()S θ取得最大值为33【解析】【分析】（1）在POC ∆中，23OCP π∠=，2,1OP OC ==，由余弦定理即可求边长PC ；（2）在POC ∆中，利用正弦定理，得到CP θ=，3OC πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据三角形面积公式，将上面2个边长代入，利用二倍角公式、降幂公式、两角和与差的正弦公式化简表达式，再求三角函数的最值即可.【详解】（1）在POC ∆中，23OCP π∠=，2,1OP OC ==，由22222cos 3OP OC PC OC PC π=+-⋅，得230PC PC +-=，解得12PC -=；（2）∵//CP OB ，∴3CPO POB πθ∠=∠=-，在POC ∆中，由正弦定理得sin sin OP CP PCO θ=∠，即22sin sin 3CPπθ=，∴CP θ=，又2sin sin 33OC OPππθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，3OC πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，记POC ∆的面积为()S θ，则12()sin 23S CP OC πθ=⋅，13sin 2323ππθθθθ⎛⎫⎛⎫=⋅-⨯=⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21cos sin 2sin cos 22θθθθθθ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭sin 2cos 2sin(233363πθθθ=+-=+-∴6πθ=时，()S θ取得最大值为3.【点睛】本题考查解三角形中正弦定理、余弦定理的应用，三角形面积公式以及运用三角公式进行恒等变形，考查学生的分析能力和计算能力，属中档题.20.某同学用“五点法”画函数()()sin 0,0,2f x M x M πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在某一周期内的图像时，列表并填入部分数据，如表所示.x ωϕ+02ππ32π2πx2π72π()f x 02-20（1）请将表中数据补充完整，填写在相应位置，并写出()f x 的解析式；（2）将函数()f x 的图像上每一点的横坐标缩小为原来的13，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，a 、b 、c 分别为锐角ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边，若()1g A =，2a =，求ABC 的面积S 的的最大值.【答案】（1）详见解析（2【解析】【分析】（1）利用五点法作图，将表中数据补充完整，并求出()f x 的解析式．（2）利用sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，求得()g x 的解析式，再利用条件以及余弦定理、基本不等求得ABC 面积的最大值．【详解】（1）请将上表数据补充完整，如表：x ωϕ+02ππ32π2πx2π2π72π5π132π()f x 0202-0根据表格易知2M =，·027·2πωϕπωϕπ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得136ωπϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故()2sin(36x f x π=-．（2）将函数()f x 的图象每一点的横坐标缩短到原来的13倍，纵坐标不变，得到函数()2sin(6g x x π=-的图象，在ABC 中，若g （A ）2sin()16A π=-=，1sin(62A π∴-=，3A π∴=，2BC = ，故由余弦定理可得22242··cos 2···BC AC AB AC AB A AC AB AC AB AC AB ==+--= ，·4AC AB ∴ ，ABC ∴面积为113···sin ·4·222AC AB A ∠= ，故ABC 面积的最大值为【点睛】本题主要考查五点法作图，sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，余弦定理、基本不等式的应用，属于中档题．21.已知函数()()sin cos 4sin 29f x a x x x =+++，且134f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求a 的值；（2）求出()f x 的最小正周期，并证明；（“周期”要证，“最小”不用证明）（3）是否存在正整数n ，使得()f x 在区间[]0,n π内恰有2021个零点，若存在，求出n 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）9-（2）证明见解析（3）存在正整数505n =，理由见解析.【解析】【分析】（1）计算4x π=时()f x 的值，从而解得a 的值；（2）根据()()f x f x π+=，求得()f x 的最小正周期为π；（3）根据()f x 的最小正周期为π，且[0x ∈，)π内有4个零点，可解得n ．【详解】（1）函数()(sin cos )4sin 29f x a x x x =+++，令4x π=，得4913++=-9a =-；（2）()9[sin()cos()]4sin 2()99(sin cos )4sin 29()f x x x x x x x f x ππππ+=-++++++=-+++=，所以()f x 的最小正周期为π．（3）存在正整数505n =，使得()0f x =在区间[0，]n π内恰有2021个零点．当[0,]2x π∈时，()9(sin cos )4sin 29f x x x x =-+++．设sin cos 4t x x x t π=+=+∈，则2sin 22sin cos 1x x x t ==-，于是2()9(sin cos )4sin 29495f x x x x t t =-+++=-+，令24950t t -+=，得1t =或54t =∈，于是0,2x π=，或00(04x x x π=<<或02x x π=-，其中0sin()48x π+=，当(,)2x ππ∈时，()9(sin cos )4sin 29f x x x x =--++．设sin cos ),4t x x x t π=-=-∈，则2sin 22sin cos 1x x x t ==-，于是2()9(sin cos )4sin 294913f x x x x t t =--++=--+，令249130t t --+=，解得1t =或134t =-∉，故()f x 在(,)2x ππ∈没有实根．综上讨论可得，()0f x =在[0，)π上有4个零点，而202145051=⨯+，所以函数在[]0,505π有2021个零点.【点睛】本题考查三角函数的周期性及其求法，根据三角函数的值求角的大小，判断()0f x =在[0,)π上有4个零点是解题的关键，属于难题.。
2018～2019学年上海市控江中学高一下学期期末考试数学试题(解析版)
绝密★启用前上海市控江中学2018～2019学年高一年级下学期期末质量检测数学试题(解析版)2019年7月一、填空题1.函数()arcsin 2y x =-的定义域________．【答案】[]1,3.【解析】【分析】根据反正弦函数的定义得出121x -≤-≤,解出x 可得出所求函数的定义域.【详解】由反正弦的定义可得121x -≤-≤,解得13x ≤≤,因此,函数()arcsin 2y x =-的定义域为[]1,3,故答案为：[]1,3.【点睛】本题考查反正弦函数的定义域,解题的关键就是正弦值域的应用,考查运算求解能力,属于基础题.2.函数2tan 13y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最小正周期为________． 【答案】1.【解析】【分析】 根据正切型函数的周期公式可计算出函数2tan 13y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最小正周期. 【详解】由正切型函数的周期公式得1T ππ==, 因此,函数2tan 13y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最小正周期为1,故答案为：1.【点睛】本题考查正切型函数周期的求解,解题的关键在于正切型函数周期公式的应用,考查计算能力,属于基础题.3.已知数列{}n a 是等比数列,公比为q ,且2468a a a ⋅⋅=,754a =,则q =_________．【答案】3.【解析】【分析】先利用等比中项的性质计算出4a 的值,然后由374a q a =可求出q 的值. 【详解】由等比中项的性质可得632448a a a a ⋅⋅==,得42a =,所以,37454272a q a ===,3q ∴=, 故答案为：3.【点睛】本题考查等比数列公比的计算,充分利用等比中项和等比数列相关性质的应用,可简化计算,属于中等题.4.已知tan 3α=,则226cos 3sin cos 3sin cos 2sin αααααα-=-_________． 【答案】13. 【解析】【分析】在分式中分子分母同时除以2cos α,将代数式转化为正切来进行计算.【详解】由题意得,原式222222226cos 3sin cos 63tan 6331cos cos 3sin cos 2sin 3tan 2tan 33233cos cos ααααααααααααα---⨯===-⨯-⨯-=, 故答案为：13. 【点睛】本题考查弦的分式齐次式的计算,常利用弦化切的思想求解,一般而言,弦化切思想主要应用于以下两种题型：。
四校八大名校卷 上海市上海中学2018-2019学年高一下期中考试数学试题(逐题详解版)
(2)若区域ABE为锐角三角形，求观赏长廊总长度AB+AE的取值范围．
21.已知函数 其图像 一个对称中心是 将 的图像向左平移 个单位长度后得到函数 的图像．
(1)求函数 的解析式；
(2)若对任意 当 时，都有 求实数 的最大值；
(3)若对任意实数 在 上与直线 的交点个数不少于6个且不多于10个，求正实数 的取值范围．
三、解答题(本大题共5题,共48分,解答各题必须写出必要的步骤)
17.已知 求 的值．
18.在△ABC中， 分别为三个内角A、B、C的对边，且
(1)求角A；
(2)若 且 求△ABC的面积．
19.已知函数
(1)求 的最小正周期及单调递增区间；
(2)若 求 的值.
20.某植物园准备建一个五边形区域的盆栽馆，三角形ABE为盆裁展示区，沿AB、AE修建观赏长廊，四边形BCDE是盆栽养护区，若BCD=∠CDE=120°，∠BAE=60°，DE=3BC=3CD= 米．
上海市上海中学2018-2019学年高一下期中考试数学试题
一、填空题(每题3分,共36分)
1.函数 的最小正周期是_________.
【答案】
【解析】
【分析】
直接由周期公式得解．
【详解】函数 的最小正周期是：
故填：
【点睛】本题主要考查了 的周期公式，属于基础题．
2.已知点P 在角 的终边上,则 _______.
12.已知 是定义在R上 奇函数，且 时， 单调递增，已知 设 集合 集合 则 ________.
二、选择题(每题4分,共16分)
13.若 则 在
A 第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2018-2019学年度高一下学期期中考试数学试卷(解析版)
2018-2019学年度第二学期期中考试高一数学一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用两角差的正弦公式计算即可.【详解】由两角差的正弦公式可得故选A.【点睛】本题考查两角差的正弦公式的应用，属基础题.2.下列函数中，以为周期且在区间上为增函数的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：A选项周期为，不满足条件；B选项周期为；C选项周期为，且在区间为减函数，不满足条件；D选项周期为，且在区间为增函数；故选D．考点：（1）正弦函数的单调性（2）函数的周期性3.已知向量.若为实数，，则（）A. B. C. 1 D. 2【答案】B【解析】试题分析：因为，，所以，又因为，所以，故选B．考点：1、向量的坐标运算；2、向量平行的性质．视频4.给出下面四个命题：①；②；③；④.其中正确的个数为A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】①；②；③；④,所以正确的为①②，选B.5.已知，，与的夹角为，则在方向上的投影为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由条件及投影的计算公式便可得出向量在方向上的投影为，从而得出该投影的值．【详解】根据条件，在方向上的投影为：故选C.【点睛】本题考查一个向量在另一个向量方向上的投影的定义及计算公式，向量夹角的概念．6.已知函数的部分图象如下图所示，则函数的解析式（）学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的图象求出A，ω 和φ的值即可．【详解】由函数的图象得即则，则，则则则∵，∴当k=0时，则函数．故选D.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出A，ω和φ的值是解决本题的关键．7.将函数y=sin2x的图象向左平移（＞0）个单位，得到的图象恰好关于直线对称，则的一个值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据左加右减，写出三角函数平移后的解析式，根据平移后图象的对称轴，把对称轴代入使得函数式的值等于±1，写出自变量的值，根据求最小值得到结果．【详解】∵把函数y=sin2x的图象向左平移（＞0）个单位，∴平移后函数的解析式是，∵所得图象关于直线对称，∴由正弦函数的图象和性质可得：解得：∴当时，的最小值是．故选：A．【点睛】本题考查由三角函数图象的平移求函数的解析式，本题解题的关键是先表示出函数的解析式，再根据题意来写出结果，属于基础题．8.在中，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用平面向量数量积的定义进行运算即可【详解】故选D.【点睛】本题考查平面向量数量积的运算，属基础题.9.若是锐角，且满足，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】是锐角，且，所以也为锐角，所以..故选B.点睛：在三角化简求值类题目中，常常考“给值求值”的问题，遇见这类题目一般的方法为——配凑角：即将要求的式子通过配凑，得到与已知角的关系，进而用两角和差的公式展开求值即可，再利用公式求解前，需将每一个三角函数值确定下来，尤其是要利用角的终边确定好正负.10.中，，，分别是的中点，则（）A. 4B. -4C.D.【答案】B【解析】【分析】利用平面向量的加法表示，再利用平面向量数量积的运算法则计算即可.【详解】由题中，，，分别是的中点，则，则故选B.【点睛】本题考查面向量的加法法则及平面向量数量积的运算，属基础题.11.在△ABC中,设=2,那么动点M的轨迹必通过△ABC的()A. 垂心B. 内心C. 外心D. 重心【答案】C【解析】【分析】假设BC的中点是O,先化简已知得2=2,即()·=0, 所以, 所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心.【详解】假设BC的中点是O,则=()·()=2=2,即()·=0,所以,所以动点M在线段BC的中垂线上,所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心.故答案为：C【点睛】（1）本题主要考查平面向量的数量积运算和向量的减法法则，考查向量垂直的表示，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是在于熟练掌握向量的运算法则.12.函数（）的图象经过、两点，则（）A. 最小值为B. 最大值为C. 最小值为D. 最大值为【答案】A【解析】【分析】当A、B为函数的图象的相邻的两个顶点时，函数的周期最小，最大，此时，由，求得的值【详解】由题意可得A、B为函数的图象的顶点，故当A、B为函数的图象的相邻的两个顶点时，周期最大小，最小，此时，，，故选：A．【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，属于基础题．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.若扇形的弧长为，圆心角为弧度，则扇形的面积为_________。
上海市高一第二学期期中考试数学试卷含答案(共3套)
()3.若 a 2 > b > a > 1，则 log ,log a,log b 的大小顺序是.b a6.若方程 log (ax 2 - 2 x + 2)= 2 在 ⎢ , 2⎥ 内有解，则实数 a 的取值范围是 ⎣ 2 ⎦ = -1，则 =.f sin ⎪=.,sin α = - ,α ∈ π π ⎪高一第二学期期中考试试卷数学一、填空题：（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分）1.已知 log 7 ⎡⎣log 3 (log 2 x )⎤⎦ = 0 ，那么 x 等于.2.lg 3 - lg 9 + 1 lg 27 + lg8 - lg 10002lg 0.3lg1.2= .bb a 4.函数 y = log (x 2 - 6 x + 17 )的值域是 . 125．函数 y = x 2 - 2ax - 3 在区间 [1,2 ]上存在反函数的充要条件是.2 ⎡ 1 ⎤.7.已知一个扇形的周长为 6，该扇形的中心角为 1 弧度，则该扇形的面积是.8.已知点 P (sin θ - cos θ ,tan θ ) 在第一象限，则在 [0,2π ]内θ 的取值范围是9.已知 sin (3π + θ ) = 1，求4.cos (π + θ ) cos (θ - 2π )cos θ ⎡⎣cos (π + θ )-1⎤⎦ + cos (θ + 2π )cos (π + θ )+ cos (-θ ) =.10.已知 tan α sin α - 3cos αtan α - 1 sin α + cos α11.求值： sin 4 α + cos 4 α - 1 sin 6 α + cos 6 α - 1= .12.函数 f (x )满足 f (cos x ) = 1 x (0 ≤ x ≤ π ) ，则 2⎛ ⎝4π ⎫ 3 ⎭13.若 cos (α - β ) = 5 4 ⎛ - , ⎫, β ∈ (0,π )，则 cos β =13 5 ⎝ 2 2 ⎭14.若 sin α + sin β + sin γ = 0,cos α + cos β + cos γ = 0 ，则 cos (α - β ) =..16．函数 y = lg- 1⎪ 的图象关于 2D. 32 > 02 < 12 > cos 21.已知 sin α + cos α = ，其值：二、选择题：15．已知 x 2+ y 2= 1, x > 0, y > 0 ，且 log (1 + x ) = m ,loga1a1 - x= n ，则 log y 等于aA. m + nB. m - nC. 1(m + n ) D. 1(m - n )2 2⎛ 2 ⎫ ⎝ 1 + x⎭A. x 轴对称B. y 轴对称C. 原点对称D.直线 y = x 对称17．已知 g (x ) = log x + 1 (a > 0, a ≠ 1)，在 (-1,0 ) 上有 g (x ) > 0 ，则 f (x ) = a x +1 在 aA. (-∞,0 )上递增B. (-∞,0 )上递减C. (-∞, -1)上递增D. (-∞, -1)上递减18．已知sinα1 - cos2 α= cos α1 - sin2 α，则 α 的终边在A. 第一象限B.第二象限C. 第一或第三象限D.第二或第四象限19．锐角 α 终边上一点 A 的坐标为 (2sin3, -2cos3 )，则角 α 的弧度数为A. π - 3B. 3 - πC. 3 -20．如果 θ 是第一象限角，那么恒有π2A. sin θB. tanθC. sinθθ 2 D. sin θ 2 < cos θ2三、解答题：本大题共 5 小题，共 40 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.13（1） sin α cos α ；（2） sin 3 α + cos 3 α（3） sin 5 α + cos 5 α .(t an α -cot α ) sin α = - ，求 log（2）如果 sin α = sin β ，且 tan α = tan β ，求 csc α 的值.22.已知 f (x ) = a ⋅ 2x - 1(a ∈ R )是 R 上的奇函数.2x + 1（1）求 a 的值；（2）求 f (x )的反函数；（3）对任意 k ∈ (0, +∞)的解不等式 f -1 (x ) > log 21 + x k.23.已知 α 是锐角.（1）如果 log 34 tan α cos β 的值；7 18 422.已知函数 f (x ) = log (x - 3a )(a > 0, a ≠ 1)，当点 P (x, y ) 是函数图象上的点时，点aQ (x - 2a, - y )是函数 y = g (x )的图象上的点.（1）写出函数 y = g (x )的解析式；（2）当 x ∈[a + 2, a + 3]时，恒有 f (x )- g (x ) ≤ 1，试确定 a 的取值范围.4. 求函数 f ( x ) = sin(-2 x +) 的单调递减区间5. 若锐角 α 、 β 满足 cos α = 3， cos(α + β ) = - ，则 cos β =8. 若函数 f ( x ) = 2sin ω x （ 0 < ω < 1）在区间 [0, ] 上的最大值是 2 ，则 ω =上海市高一第二学期期中考试数学试卷一. 填空题1. 半径为 2，圆心角为 300°的圆弧长为2. 函数 y =| tan x | 的对称轴是3. 在平面直角坐标系中，已知角 θ 的顶点在坐标原点，始边为 x 轴正半轴重合，终边在直线 y = 3x 上，则 sin 2θ =π35 5 136. 已知函数 f ( x ) = lg(tan x -1) + 9 - x 2 ，则 f ( x ) 的定义域是7. 若长度为 x 2 + 4 、 4x 、 x 2 + 6 的三条线段可以构成一个锐角三角形，则 x 的取值范围是π39. 如图所示，在塔底 B 处测得山顶 C 的仰角为 60°，在山顶 C 测得塔顶 A 的俯角为 45°，已知塔高 AB = 20 米，则山高 DC =米10. 函数 y = sin x + cos x的值域为1 + sin x cos x11. 已知 f ( x ) = a sin 3 x + b 3 x ⋅ cos 3 x + 4 （ a, b ∈ R ），且 f (sin10 ︒) = 5 ，则 f (cos100 ︒) =12. 设 a 、 b 均为大于 1 的自然数，函数 f ( x ) = a(b + sin x) ， g ( x ) = b + cos x ，若存在实数 m ，使得 f (m ) = g (m ) ，则 a + b =二. 选择题13. 若 MP 和 O M 分别是角 7π的正弦线和余弦线，则（ ）6A. MP < OM < 0B. OM > 0 > MP14. 已知 α , β ∈ (0, ) ，则下列不等式一定成立的是（）析式为 y = 2sin(2 x + ) ；② 该函数图像关于点 ( ,0) 对称；③ 该函数在 [0, ] 上是增函数；④ 若函数 y = f ( x ) + a 在 [0, ] 上的最小值为3 ，则 a = 2 3 ；2 2+ C. OM < MP < 0D. MP > 0 > O Mπ2A. sin(α + β ) < sin α + sin βB. sin(α + β ) > sin α + sin βC. cos(α + β ) < sin α + sin βD. cos(α + β ) > cos α + cos β15. 把函数 y = sin 2 x 的图像沿 x 轴向左平移 π个单位，纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标6不变）后得到函数 y = f ( x ) 的图像，对于函数 y = f ( x ) 有以下四个判断：① 该函数的解πππ6 3 6π2其中正确的判断有（）A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个16. 定义在区间 [-3π ,3π ] 上的函数 y = sin | 2 x | 与 y = cos x 的图像的交点个数为（）A. 12 个B. 14 个C. 16 个D. 18 个三. 简答题17. 已知 cos(2θ - 3π ) = 7，且θ 是第四象限角；25（1）求 cos θ 和 sin θ 的值；π3πcos( - θ ) sin(θ - )（2）求 的值；tan θ[cos(π + θ ) - 1] tan(π - θ )cos( -θ )19. 设 ∆ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 对边分别是 a 、 b 、 c ，且满足 a cos C + c = b ；18. 已知函数 f ( x ) = cos x(sin x + cos x) + 12；（1）若 tan α = 1，求 f (α ) 的值；2（2）求函数 f ( x ) 的最小正周期及单调递增区间；12（1）求角 A 的大小；（2）若 a = 1 ，求 ∆ABC 的周长 l 的取值范围；20. 函数 y = f ( x ) 满足 f ( x + 3) = f (1- x) ，且对于 x , x ∈ (2, +∞) ，有 1 2成立，若 f (cos 2 θ + 2m 2 + 2) < f (sin θ + m 2 - 3m - 2) 对 θ ∈ R 恒成立；（1）判断 y = f ( x ) 的单调性和对称性；（2）求 m 的取值范围；f ( x ) - f ( x )1 2 x - x 1 2> 021. 已知函数 f ( x ) 、 g ( x ) 满足关系 g ( x ) = f ( x ) ⋅ f ( x + ) ；π2（1）设 f ( x ) = cos x + sin x ，求 g ( x ) 的解析式；（2）当 f ( x ) =| sin x | + cos x 时，存在 x , x ∈ R ，对任意 x ∈ R ， g ( x ) ≤ g ( x ) ≤ g ( x ) 恒成立，求1 212| x - x | 的最小值；1 2π 2. x = , k ∈ Z 3. 4. [k π - , k π + ], k ∈ Z6. (- , - ) U ( , )7. ( , )8. 1 152 317.（1） cos θ = ， sin θ = - ；（2） ；；（2）最小正周期 T = π ，单调增区间： [k π - , k π + ], k ∈ Z ；参考答案一. 填空题1.5.10 k π 3 π 5π3 2 5 12 1233 3π π π π 3 65 4 2 4 2 49. 30 + 10 310. [-1,1]`11. 312. 4二. 选择题13. C14. A 15. B 16. B三. 简答题3 4 95 5 418.（1） 17 3π π10 8 819.（1） π 3；（2） l ∈ (2,3] ；20.（1）对称轴 x = 2 ，单调减区间 (-∞, 2) ，单调增区间 (2, +∞ ) ；（2） m ∈ ( 3 - 42 , 3 + 42) ；6 621.（1） g ( x ) = cos 2 x ；（2） 2π ；2. cos 23π5. 在 ∆ABC 中， ∠A =2π， a = 3c ，则 = 8. 已知 θ 是第四象限角，且 sin(θ + ) = - ，则 tan(θ - ) =， sin(α - β ) = - ， α , β ∈ (0, ) ，则 β = （ ）B. C. D.A. y = 2sin(2 x - )B. y = 2sin(2 x - )C. y = 2sin(2 x + )D. y = 2sin(2 x + )上海市高一第二学期期中考试数学卷一. 填空题1. 弧度数为 3 的角的终边落在第象限3π - sin 2=883. 若函数 f ( x ) = a sin x + 3cos x 的最大值为 5，则常数 a =4. 已知 {a } 为等差数列， S 为其前 n 项和，若 a = 8 ， a + a = 0 ，则 S =n n1468a3 b6.函数 y = sin x - 3 cos x 的图像可由函数 y = 3 sin x + cos x 的图像至少向右平移个单位长度得到7. 方程 3sin x = 1 + cos2 x 的解集为π 3 π4 5 49. 无穷数列 {a } 由 k 个不同的数组成， S 为 {a } 的前 n 项和，若对任意 n ∈ N * ， S ∈{1,3} ， n nnn则 k 的最大值为10. 在锐角 ∆ABC 中，若 sin A = 3sin B s in C ，则 tan A t an B tan C 的最小值是二. 选择题11. 已知 sin α =10 5 π 10 5 2A. 5π π π π 12 3 4 612. 函数 y = A s in(ω x + ϕ ) 的部分图像如图所示，则（）ππ63ππ6313. “ sin α < 0 ”是“ α 为第三、四象限角”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2），x=-4为f(x)的零点，x=4为y=f(x)的图像的对称轴，且f(x)在(,)单调，则ω的最大值为（）-=，S=63；a a a17.已知函数f(x)=4tan x sin(-x)cos(x-)-3；,]上的单调性与最值；18.已知方程arctan+arctan(2-x)=a；（1）若a=π，求arccos的值；14.已知函数f(x)=sin(ωx+ϕ)（ω>0，|ϕ|≤ππππ5π836A.11B.9C.7D.5三.简答题15.在∆ABC中，a2+c2=b2+2ac；（1）求∠B的大小；（2）求cos A+2cos C的最大值；16.已知{a}是等比数列，前n项和为S（n∈N*），且n n（1）求{a}的通项公式；n 1121236（2）若对任意的n∈N*，b是log a和log an2n2n+1的等差中项，求数列{(-1)n b2}的前2n项和；nππ23（1）求f(x)的定义域与最小正周期；（2）求f(x)在区间[-ππ44x2x42（2）若方程有实数解，求实数a的取值范围；1. 二2. -23. ±44. 85. 36. 7. {x | x = k π + (-1)k ⋅ }, k ∈ Z8.9. 410. 122 , k ∈ Z } ， T = π ；, ] ，单调递减： [- ； （2） [arctan ,arctan ] ；（3）19 ；（3）若方程在区间 [5,15] 上有两个相异的解 α 、 β ，求 α + β 的最大值；参考答案一. 填空题π22π4 63二. 选择题11. C12. A 13. B 14. B三. 简答题15.（1） π；（2）1 ；416.（1） a = 2n -1 (n ∈ N * ) ；（2） T = 2n 2 ；n2n17.（1）定义域 {x | x ≠ k π + π（2）单调递增： [- π π π π , - 12 4 4 12]，最大值为 1，最小值为 -2 ；18.（1） π 或 π 1 13 -2 10 - 6 2 10 - 611。
上海市控江中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试卷含答案
控江中学2019学年第二学期高一数学期中测试（完成时间9:20-11:10共110分钟 总分150分） 得分______________一、填空题（每题5分）1.圆心角为1rad 的扇形面积为2，则这个扇形的半径为___________.2.()5sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调减区间是___________. 3.方程2cos210x -=的解集是___________.4.若()cos 2cos3f x x =-，则()sin75f ︒=___________.5.不等式()arccos arccos 1x x >-的解集是___________.6.在ABC △中，222sin sin sin sin sin B A C A C +≥+，则角B 的最小值是___________.7.已知()4cos 5αβ+=，()3cos 5αβ-=-，则tan tan αβ=___________. 8.函数()cos2f x x =，,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的反函数是___________. 9.已知m 是实常数，若{}2cos sin 0x x x m ++=≠∅，则m 的取值范围是___________.10.ABC △的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若满足60A ∠=︒，4a =的ABC △恰有一个，则c 的取值范围是___________.11.已知函数()()()sin 0,0,f x A x b A ωϕωϕπ=++>><的最大值为4，最小值为0，最小正周期为2π，直线3x π=是其图像的一条对称轴，且42f f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 的解析式为___________. 12.在ABC △中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，现有下列命题： ①若tan tan A B ≥，则sin sin A B ≥； ②若2a b c +>，则3C π<；③若cos cos a bB A=，则ABC △为等腰三角形； ④若sin cos A B <，则ABC △为钝角三角形；⑤若tan tan 1A B >，则tan tan tan 1A B C >；其中正确的命题是______________（请填写相应序号）. 二、选择题（每题5分）13.函数sin sin y x x =-的值域是（ ）A.{}0B.[]2,2-C.[]0,2D.[]2,0-14.已知下列两个命题：①将函数4sin 2y x =图像向左平移3π个单位得到函数4sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭②函数cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像关于直线22k x ππ=-，()k Z ∈成轴对称 其中（ ） A.①真②真B.①真②假C.①假②真D.①假②假15.已知,a b R ∈，“0a b +=”是“()sin sin 44f x a x b x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是偶函数”的（ ）条件. A.充分非必要B.必要不充分C.充要D.非充分非必要16.已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，()5sin ,014211,14xx x f x x π⎧⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程()()()()255660f x a f x a a R -++=∈⎡⎤⎣⎦有且仅有6个不同实数根，则a 的取值范围是（ ）A.01a <≤或54a =B.01a ≤≤或54a = C.01a <<或54a =D.514a <≤或0a = 三、解答题（14+14+14+16+18） 17.已知tan 2α=. （1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； （2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值.18.已知函数()4tan sin cos 23f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）求()f x 的定义域和最小正周期； （2）求()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性和最值. 19.如图，在扇形AOB 中，圆心角AOB 的大小等于3π，半径为2，在半径OA 上有一动点C （不包含端点），过点C 作平行于OB 的直线交弧AB 于点P .（1）若C 是半径OA 的中点，求线段PC 的大小；（2）设COP θ∠=，求POC △面积的最大值及此时θ的值.20.某同学用“五点法”画函数()()sin 0,0,2f x M x M πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在某一周期内的图像时，列表并填入部分数据，如下表所示.（1）请将上表中数据补充完整，填写在相应位置，并写出()f x 的解析式； （2）将函数()f x 的图像上每一点的横坐标缩小为原来的13，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，a 、b 、c 分别为锐角ABC △的三个内角A 、B 、C 的对边，若()1g A =，2a =，求ABC △的面积S 的的最大值.21.已知函数()()sin cos 4sin 29f x a x x x =+++，且134f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求a 的值；（2）求出()f x 的最小正周期，并证明；（“周期”要证，“最小”不用证明）（3）是否存在正整数n ，使得()f x 在区间[]0,n π内恰有2021个零点，若存在，求出n 的值；若不存在，说明理由.。
2018-2019学年上海市杨浦区控江中学高一(下)期中数学试卷
2018-2019学年上海市杨浦区控江中学高一（下）期中数学试卷试题数：21，总分：01.（填空题，3分）若扇形的圆心角为2π3，半径为2，则扇形的面积为___ ．2.（填空题，3分）若点P（-3，y）是角α终边上的一点，且sinα=−45，则y=___ ．3.（填空题，3分）已知sinα+cosα= 23，则sin2α的值为___ ．4.（填空题，3分）若等差数列{a n}中，a6=3，{a n}的前n项和为S n，则S11=___ ．5.（填空题，3分）若cosα=35且tanα＜0，则cos(π2−α) =___ ．6.（填空题，3分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为___7.（填空题，3分）将式子cosα+√3sinα化成Acos（α+φ）（其中A＞0，φ∈[-π，π））的形式为___ ．8.（填空题，3分）若π＜α＜3π2且cosα=−45，则tanα2=___ ．9.（填空题，3分）数列{a n}的前n项和S n满足：S n=n2+7，n∈N*，则数列{a n}的通项公式a n=___ ．10.（填空题，3分）将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为___ ．11.（填空题，3分）若tanα，tanβ是方程x2+4√3x+5=0的两根，且α、β∈(−π2，π2)，则α+β=___ ．12.（填空题，3分）已知k是正整数，且1≤k≤2019，则满足方程：sin1°+sin2°+…+sink°=sin1°•sin2°•…sink°的k有___ 个．13.（单选题，3分）若α是象限角，则下列各式中，不恒成立的是（）A.tan（π+α）=tan（-α）B. cot(π2+α)=−sinαcosαC. cscα=1sin(π−α)D.（secα-1）（secα+1）=tan2α14.（单选题，3分）若sinθ2=513，cosθ2=−1213，则角θ的终边在第（）象限．A.一B.二C.三D.四15.（单选题，3分）在平面直角坐标系中，AB̂，CD̂，EF̂，GĤ是圆x2+y2=1上的四段弧（如图），点P其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tanα＜cosα＜sinα，则P所在的圆弧是（）A. AB̂B. CD̂C. EF̂D. GĤ16.（单选题，3分）对于数列{a n}，若存在常数M，使得对任意n∈N*，a n与a n+1中至少有一个不小于M，则记作{a n}＞M，那么下列命题正确的是（）A.若{a n}＞M，则数列{a n}各项均大于或等于MB.若{a n}＞M，{b n}＞M，则{a n+b n}＞2MC.若{a n}＞M，则{a n2}＞M2D.若{a n}＞M，则{2a n+1}＞2M+117.（问答题，0分）已知tanα=2．（1）求tan(α+π4)的值；（2）求sin2αsin2α−cos2α+1的值．18.（问答题，0分）已知{a n}为等差数列，a3+a8=10，a6=6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求a2+a5+a8+…+a68的值．19.（问答题，0分）已知0＜x＜π2＜y＜π，sin(x+y)=513．（1）判断tanx+tany的正负性，并说明理由；（2）若tan x2=12，求cos2x和cosy的值．20.（问答题，0分）对于集合Ω={θ1，θ2，…，θn}和常数θ0，定义：μ=cos2(θ1−θ0)+cos2(θ2−θ0)+⋯+cos2(θn−θ0)n为集合Ω相对θ0的“余弦方差”．（1）若集合Ω={π3，π4}，θ0=0，求集合Ω相对θ0的“余弦方差”；（2）若集合Ω={π3，2π3，π}，证明集合Ω相对于任何常数θ0的“余弦方差”是一个常数，并求这个常数；（3）若集合Ω={π4，α，β}，α∈[0，π），β∈[π，2π），相对于任何常数θ0的“余弦方差”是一个常数，求α，β的值．21.（问答题，0分）设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a2+b3=a3+b2=7．（1）求{a n}、{b n}的通项公式；（2）设c n= 1a n，n∈N*，若c3，c k，c m成等差数列（k、m为正整数且3＜k＜m），求k和m 的值；（3）设B n为数列{b n}的前n项和，是否存在实数p，使得3a n≥64(B n+1)+p对一切n∈N*均成立？若存在，求出p的最大值；若不存在，说明理由．2018-2019学年上海市杨浦区控江中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：01.（填空题，3分）若扇形的圆心角为 2π3 ，半径为2，则扇形的面积为___ ． 【正确答案】：[1] 4π3【解析】：由已知利用扇形的面积公式即可计算得解．【解答】：解：∵扇形的圆心角为 2π3 ，半径为2， ∴扇形的面积为S= 12 ×××22× 2π3 = 4π3 ． 故答案为： 4π3 ．【点评】：本题主要考查了扇形的面积公式的应用，属于基础题．2.（填空题，3分）若点P （-3，y ）是角α终边上的一点，且 sinα=−45 ，则y=___ ． 【正确答案】：[1]-4【解析】：由题意利用任意角的三角函数的定义，求出y 的值．【解答】：解：∵点P （-3，y ）是角α终边上的一点， 且 sinα=−45 = √9+y 2，则y=-4， 故答案为：-4．【点评】：本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 3.（填空题，3分）已知sinα+cosα= 23 ，则sin2α的值为___ ． 【正确答案】：[1] −59【解析】：把所给的条件平方，再利用二倍角公式求得 sin2α 的值．【解答】：解：∵已知sinα+cosα= 23 ，平方可得1+2sinαcosα=1+sin2α= 45 ， 解得 sin2α=- 59 ， 故答案为- 59 ．【点评】：本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用，属于基础题． 4.（填空题，3分）若等差数列{a n }中，a 6=3，{a n }的前n 项和为S n ，则S 11=___ ． 【正确答案】：[1]33【解析】：根据题意，由等差数列的前n 项和公式分析可得S 11= (a 1+a 11)×112=11a 6，计算即可得答案．【解答】：解：根据题意，在等差数列{a n }中，S 11= (a 1+a 11)×112=2a 6×112=11a 6=33， 故答案为：33．【点评】：本题考查等差数列的前n 项和公式的应用，涉及等差数列的性质，属于基础题． 5.（填空题，3分）若 cosα=35 且tanα＜0，则 cos (π2−α) =___ ． 【正确答案】：[1]- 45【解析】：由已知利用同角三角函数基本关系式，诱导公式即可计算求解．【解答】：解：∵ cosα=35 ＞0，且tanα= sinαcosα ＜0， ∴sinα＜0∴ cos (π2−α) =sinα=- √1−cos 2α =- 45． 故答案为：- 45 ．【点评】：本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．6.（填空题，3分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为___ 【正确答案】：[1]3【解析】：设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{a n}公比为2的等比数列，利用等比数列前n项和公式能求出结果．【解答】：解：设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{a n}公比为2的等比数列，∴S7= a1(1−27)1−2=381，解得a1=3．故答案为：3．【点评】：本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.（填空题，3分）将式子cosα+√3sinα化成Acos（α+φ）（其中A＞0，φ∈[-π，π））的形式为___ ．【正确答案】：[1] 2cos(α−π3)【解析】：直接结合辅助角公式即可化简．【解答】：解：cosα+√3sinα =2（12cosα+√32sinα) =2cos（α−13π），故答案为：2cos（α−13π）．【点评】：本题主要考查了辅助角公式的简单应用，属于基础试题．8.（填空题，3分）若π＜α＜3π2且cosα=−45，则tanα2=___ ．【正确答案】：[1]-3【解析】：由题意利用同角三角函数的基本关系求得cosα，再利用半角的正切公式求得tan α2的值．【解答】：解：若π＜α＜3π2且cosα=−45，∴sinα=- √1−cos2α =- 35，则tanα2 = 1−cosαsinα= 1+45−35=-3，故答案为：-3．【点评】：本题主要考查同角三角函数的基本关系，半角的正切公式的应用，属于基础题．9.（填空题，3分）数列{a n }的前n 项和S n 满足： S n =n 2+7 ，n∈N*，则数列{a n }的通项公式a n =___ ．【正确答案】：[1] {8，n =12n −1，n ≥2．【解析】：根据题意，在数列{a n }的S n 公式中令n=1，可得a 1的值，当n≥2时，分析可得a n =S n -S n-1=2n-1，验证a 1是否满足a n =2n-1，综合即可得答案．【解答】：解：根据题意，数列{a n }的前n 项和S n 满足： S n =n 2+7 ，n∈N*， 当n=1时，a 1=S 1=1+7=8，当n≥2时，a n =S n -S n-1=（n 2+7）-[（n-1）2+7]=2n-1， 而a 1=8不满足a n =2n-1； 故 a n ={8，n =12n −1，n ≥2 ；故答案为： {8，n =12n −1，n ≥2 ．【点评】：本题考查数列的前n 项和与通项公式的关系，注意验证n=1是否满足，属于基础题．10.（填空题，3分）将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行（n≥3）从左向右的第3个数为___ ．【正确答案】：[1] n 2−n+62【解析】：首先找出前n-1行正整数的个数，前n-1行整数共有1+2+…+（n-1）个，然后找出第n 行第3个数．【解答】：解：前n-1行共有正整数1+2+…+（n-1）个，即 n 2−n2个， 因此第n 行第3个数是全体正整数中第 n 2−n2 +3个，即为n 2−n+62．故第n行（n≥3）从左向右的第3个数为n 2−n+62．【点评】：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式，难点在于求出数列的通项，解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力．11.（填空题，3分）若tanα，tanβ是方程x2+4√3x+5=0的两根，且α、β∈(−π2，π2)，则α+β=___ ．【正确答案】：[1] −23π【解析】：由已知结合方程的根与系数关系及两角和的正切公式即可求解tan（α+β），然后结合角α+β的范围即可求解．【解答】：解：由题意可得，tanα+tanβ=-4 √3＜0，tanαtanβ=5＞0，∴tanα＜0，tanβ＜0，又∵α、β∈(−π2，π2)，所以α，β ∈(−12π，0)，所以α+β∈（-π，0），所以tan（α+β）= tanα+tanβ1−tanαtanβ = −4√31−5= √3，所以α+β=- 2π3．故答案为：- 2π3．【点评】：本题主要考查了方程的根与系数关系及两角和的正切公式的应用，属于中档试题．12.（填空题，3分）已知k是正整数，且1≤k≤2019，则满足方程：sin1°+sin2°+…+sink°=sin1°•sin2°•…sink°的k有___ 个．【正确答案】：[1]11【解析】：由三角函数的值域可知，除k=1外当等式sin1°+sin2°+…+sink°=sin1°•sin2°…sink°的左右两边均为0时等式成立，由此可得正整数k 的个数．【解答】：解：由三角函数的单调性及值域，可知sin1°•sin2°…sink°＜1．∴除k=1外只有当等式sin1°+sin2°+…+sink°=sin1°•sin2°…sink°的左右两边均为0时等式成立，则k=1、359、360、719、720、1079、1080、1439、1440、1799、1800时等式成立，满足条件的正整数k有11个．故答案为：11．【点评】：本题考查三角函数的化简求值，寻找规律是解答该题的关键，属基础题．13.（单选题，3分）若α是象限角，则下列各式中，不恒成立的是（）A.tan（π+α）=tan（-α）B. cot(π2+α)=−sinαcosαC. cscα=1sin(π−α)D.（secα-1）（secα+1）=tan2α【正确答案】：A【解析】：利用诱导公式，同角三角函数基本关系式逐一化简求解即可．【解答】：解：对于A，左边=tan（π+α）=tanα≠tan（-α）=右边，故不成立；对于B，左边=-tanα=- sinαcosα=右边，故成立；对于C，左边= 1sinα = 1sin(π−α)=右边，故成立；对于D，左边=（1cosα -1）（1cosα+1）= 1cos2α-1= sin2αcos2α=tan2α=右边．故选：A．【点评】：本题考查运用诱导公式化简求值，考查同角三角函数间的关系式的应用，属于基础题．14.（单选题，3分）若sinθ2=513，cosθ2=−1213，则角θ的终边在第（）象限．A.一B.二C.三D.四【正确答案】：D【解析】：先求出θ2的范围，可得θ的范围，从而得出结论．【解答】：解：若sinθ2=513，cosθ2=−1213，则2kπ+ 5π6＜θ2＜2kπ+π，k∈Z，∴4kπ+ 5π3＜θ＜4kπ+2π，故角θ为第四象限角，故选：D．【点评】：本题主要考查三角函数在各个象限中的符号，不等式的性质，属于基础题．15.（单选题，3分）在平面直角坐标系中，AB̂，CD̂，EF̂，GĤ是圆x2+y2=1上的四段弧（如图），点P其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tanα＜cosα＜sinα，则P所在的圆弧是（）A. AB̂B. CD̂C. EF̂D. GĤ【正确答案】：C【解析】：根据三角函数线的定义，分别进行判断排除即可．【解答】：解：A．在AB段，正弦线小于余弦线，即cosα＜sinα不成立，故A不满足条件．B．在CD段正切线最大，则cosα＜sinα＜tanα，故B不满足条件．C．在EF段，正切线，余弦线为负值，正弦线为正，满足tanα＜cosα＜sinα，D．在GH段，正切线为正值，正弦线和余弦线为负值，满足cosα＜sinα＜tanα不满足tanα＜cosα＜sinα．故选：C．【点评】：本题主要考查三角函数象限和符号的应用，分别判断三角函数线的大小是解决本题的关键．16.（单选题，3分）对于数列{a n}，若存在常数M，使得对任意n∈N*，a n与a n+1中至少有一个不小于M，则记作{a n}＞M，那么下列命题正确的是（）A.若{a n}＞M，则数列{a n}各项均大于或等于MB.若{a n}＞M，{b n}＞M，则{a n+b n}＞2MC.若{a n}＞M，则{a n2}＞M2D.若{a n}＞M，则{2a n+1}＞2M+1【正确答案】：D【解析】：举出反例，易知A、B、C不正确；根据题意，若{a n}＞M，则{2a n+1}中，2a n+1与2a n+1+1中至少有一个不小于2M+1，故可得D正确．【解答】：解：A中，在数列1，2，1，2，1，2…中，M可以为1.5，列{a n}各项均大于或等于M不成立，故A不正确；B中，数列{a n}为1，2，1，2，1，2…，{b n}为2，1，2，1，2…，M可以为1.6，而{a n+b n}各项均为3，则{a n+b n}＞2M不成立，故B不正确；C中在数列1，2，1，2，1，2…中，M可以为-3，此时{a n2}＞M2不正确，C错误；D中，若{a n}＞M，则{2a n+1}中，2a n+1与2a n+1+1中至少有一个不小于2M+1，故{2a n+1}＞2M+1正确．故选：D．【点评】：本题考查数列的性质和应用，解题时要真正理解定义{a n}＞M．17.（问答题，0分）已知tanα=2． （1）求 tan (α+π4) 的值； （2）求sin2αsin 2α−cos2α+1的值．【正确答案】：【解析】：（1）由已知利用两角和的正切函数公式即可计算得解． （2）由已知利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式即可计算得解．【解答】：解：（1）∵tanα=2， ∴ tan (α+π4)=tanα+tanπ41−tanα•tanπ4=2+11−2=−3 ；（2）∵tanα=2，∴ sin2αsin 2α−cos2α+1=2sinαcosαsin 2α+2sin 2α=2tanα3tan 2α=23•1tanα=13 ．【点评】：本题主要考查了两角和的正切函数公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 18.（问答题，0分）已知{a n }为等差数列，a 3+a 8=10，a 6=6． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求a 2+a 5+a 8+…+a 68的值．【正确答案】：【解析】：（1）依题意：由a 3+a 8=10，a 6=6得方程组： {2a 1+9d =10a 1+5d =6 （a 1，d 为首项和公差）联立解得即可得出．（2）易知a 2+a 5+a 8+…+a 68也为等差数列求和；且该数列项数为 n =68−23+1=23 项，首项a 2=-2，公差为3d=6，利用求和公式即可得出．【解答】：解：（1）依题意：由a 3+a 8=10，a 6=6得方程组： {2a 1+9d =10a 1+5d =6（a 1，d 为首项和公差） 解得： {a 1=−4d =2，∴通项公式为：a n =2n-6（n∈N*）；（2）易知a 2+a 5+a 8+…+a 68也为等差数列求和； 且该数列项数为 n =68−23+1=23 项，首项a 2=-2，公差为3d=6．∴ a 2+a 5+a 8+⋯+a 68=23×(−2)+23×222×6=1472 ．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．19.（问答题，0分）已知 0＜x ＜π2＜y ＜π ， sin (x +y )=513． （1）判断tanx+tany 的正负性，并说明理由； （2）若 tan x 2=12 ，求cos2x 和cosy 的值．【正确答案】：【解析】：（1）根据同角三角函数关系进行化简，结合三角函数符号与角的关系进行判断即可．（2）利用三角函数的倍角公式以及两角和差的三角公式进行转化求解即可．【解答】：解：（1）∵sin （x+y ）=sinxcosy+cosxsiny ，∴tanx+tany= sinx cosx + siny cosy = sinxcosy+cosxsiny cosxcosy = sin (x+y )cosxcosy = 513cosxcosy， ∵0＜x ＜ π2 ， π2 ＜y ＜π， ∴cosx ＞0，cosy ＜0， 则tanx+tany= 513cosxcosy ＜0．（2）由 tan x2=12，得tanx=2tanx 21−tan 2x2= 43 ，∵0＜x ＜ π2，∴cosx= 35，sinx= 45，则cos2x=2cos 2x-1=2× 925 -1=- 725 ∵0＜x ＜ π2 ， π2 ＜y ＜π，∴ π2 ＜x+y ＜ 3π2 ， 则由 sin (x +y )=513．得cos （x+y ）=- 1213，则cosy=cos （x+y-x ）=cos （x+y ）cosx+sinx （x+y ）sinx=- 1213×35 + 513×45 =- 1665 ．【点评】：本题主要考查三角函数的化简和求值，结合同角的三角函数关系以及三角函数的倍角公式以及两角和差的三角公式进行转化是解决本题的关键，考查学生的运算能力，难度中等． 20.（问答题，0分）对于集合Ω={θ1，θ2，…，θn }和常数θ0，定义： μ=cos 2(θ1−θ0)+cos 2(θ2−θ0)+⋯+cos 2(θn −θ0)n为集合Ω相对θ0的“余弦方差”．（1）若集合 Ω={π3，π4} ，θ0=0，求集合Ω相对θ0的“余弦方差”； （2）若集合 Ω={π3，2π3，π} ，证明集合Ω相对于任何常数θ0的“余弦方差”是一个常数，并求这个常数；（3）若集合 Ω={π4，α，β} ，α∈[0，π），β∈[π，2π），相对于任何常数θ0的“余弦方差”是一个常数，求α，β的值．【正确答案】：【解析】：由新定义结合三角函数公式分别计算可得．【解答】：解：（1）当集合为 Ω={π3，π4} ，θ0=0时， 集合Ω相对θ0的“余弦方差μ= cos 2(π3−0)+cos 2(π4−0)2= 38；（2）当集合 Ω={π3，2π3，π} 时， 集合Ω相对于常数θ0的“余弦方差” μ= cos 2(π3−θ0)+cos 2(2π3−θ0)+cos 2(π−θ0)3= (12cosθ0+√32sinθ0)2+(−12cosθ0+√32sinθ0)2+cos 2θ03=12cos 2θ0+32sin 2θ0+cos 2θ03= 12∴此时“余弦方差”是一个常数，且常数为12；（3）当集合Ω={π4，α，β}，α∈[0，π），β∈[π，2π）时，集合Ω相对于任何常数θ0的“余弦方差”μ= cos 2(π4−θ0)+cos2(α−θ0)+cos2(β−θ0)3= 13•[（12+cos2α+cos2β）cos2θ0+（1+sin2α+sin2β）sinθ0cosθ0+（12+sin2α+sin2β）sin2θ0]要是上式是一个常数，则1+sin2α+sin2β=0且12+cos2α+cos2β = 12+sin2α+sin2β由α∈[0，π），β∈[π，2π）取α= 7π12，β= 11π12可满足上式．【点评】：本题考查新定义，涉及三角函数的恒等变换，属中档题．21.（问答题，0分）设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a2+b3=a3+b2=7．（1）求{a n}、{b n}的通项公式；（2）设c n= 1a n，n∈N*，若c3，c k，c m成等差数列（k、m为正整数且3＜k＜m），求k和m 的值；（3）设B n为数列{b n}的前n项和，是否存在实数p，使得3a n≥64(B n+1)+p对一切n∈N*均成立？若存在，求出p的最大值；若不存在，说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）设已知两数列的公差为d，公比为q，q＞0，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差、公比，即可得到所求通项公式；（2）求得c n，由等差中项的定义可得k关于m的式子，运用分离常数，结合整数解，可得所求值；（3）运用等比数列的求和公式可得B n，假设存在实数p，使得3a n≥64(B n+1)+p对一切n∈N*均成立，由参数分离和构造数列，结合单调性，可得所求最大值．【解答】：解：（1）依题意，设已知两数列的公差为d，公比为q，q＞0，由a1=b1=1，a2+b3=a3+b2=7，有 {1+d +q 2=71+2d +q =7 ，解出： {d =2q =2 ，∴a n =2n-1， b n =2n−1 ，n∈N*；（2）∵ c n =12n−1 ，由c 3，c k ，c m 成等差数列，可得2c k =c 3+c m ， 得 22k−1=15+12m−1 （k 、m 为正整数且3＜k ＜m ）， 化简得 k =11m−32m+4，又3＜k ＜m 得 3＜k =11m−32m+4＜m ， 得m ＞3， k =11m−32m+4=112−252m+4，当k 为正整数时，2m+4=50，m=23，此时k=5；（3）由等比数列的求和公式可得 B n =1−2n1−2=2n −1 ，假设存在实数p ，使得 3a n ≥64(B n +1)+p 对一切n∈N*均成立， 则32n-1≥64•2n +p 对一切n∈N*成立， 即p≤32n-1-2n+6对一切n∈N*成立， 即求32n-1-2n+6在n∈N*的最小值．由g （n ）=32n-1-2n+6，g （1）=-125，g （2）=-229，g （3）=-269，g （4）=1163，g （5）=17643，…，可得g （n ）为先减后增数列， 当n=3时取最小值为-269．∴存在p ，且最大值为-269满足题意．【点评】：本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离，以及数列的单调性，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．。
2018-2019学年上海市杨浦区控江中学高一下学期期中数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市杨浦区控江中学高一下学期期中数学试题一、单选题1．若α是象限角，则下列各式中，不恒成立的是（ ） A ．()()tan πtan αα+=-B ．πsin cot 2cos ααα⎛⎫+=-⎪⎝⎭C ．()1csc sin παα=-D ．()()2sec 1sec 1tanααα-+=【答案】A【解析】结合三角函数诱导公式,对四个选项逐个分析,可选出答案. 【详解】α是象限角，对于选项A, ()()tan πtan tan ααα+=≠-,即A 不正确;对于选项B,πcos πsin 2cot π2cos sin2ααααα⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+==- ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭,即B 正确; 对于选项C, ()11csc sin sin πααα==-,即C 正确; 对于选项D,()()2222221111cos sin sec 1sec 1111tan cos cos cos cos cos αααααααααα-⎛⎫⎛⎫-+=-+=-=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,即D 正确. 故选:A. 【点睛】本题考查了三角函数诱导公式的运用,考查了三角函数的化简,属于基础题. 2．若5sin 213θ=，12cos 213θ=-，则角θ的终边在第（ ）象限. A ．一 B ．二C ．三D ．四【答案】D【解析】由正弦和余弦的二倍角公式,可求得sin ,cos θθ的值,进而通过判断其符合,可确定角θ的终边所在象限. 【详解】 由题意,512sin 2sincos20221313θθθ⎛⎫==⨯⨯-< ⎪⎝⎭,225119cos 12sin 120213169θθ⎛⎫=-=-⨯=> ⎪⎝⎭,故角θ的终边在第四象限. 故选:D. 【点睛】终边在第一象限的角,其正弦为正,余弦为正,正切为正; 终边在第二象限的角,其正弦为正,余弦为负,正切为负; 终边在第三象限的角,其正弦为负,余弦为负,正切为正; 终边在第四象限的角,其正弦为负,余弦为正,正切为负.3．在平面直角坐标系中，,,,AB CD EF GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以O 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是A ．AB B ．CDC ．EFD ．GH【答案】C【解析】分析：逐个分析A 、B 、C 、D 四个选项，利用三角函数的三角函数线可得正确结论.详解：由下图可得：有向线段OM 为余弦线，有向线段MP 为正弦线，有向线段AT 为正切线.A 选项：当点P 在AB 上时，cos ,sin x y αα==，cos sin αα∴>，故A 选项错误；B 选项：当点P 在CD 上时，cos ,sin x y αα==，tan y x α=， tan sin cos ααα∴>>，故B 选项错误；C 选项：当点P 在EF 上时，cos ,sin x y αα==，tan y xα=， sin cos tan ααα∴>>，故C 选项正确；D 选项：点P 在GH 上且GH 在第三象限，tan 0,sin 0,cos 0ααα><<，故D 选项错误.综上，故选C.点睛：此题考查三角函数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到sin ,cos ,tan ααα所对应的三角函数线进行比较.4．对于数列{}n a ，若存在常数M ，使得对任意n *∈N ，n a 与1n a +中至少有一个不小于M ，则记作{}n a M ∆，那么下列命题正确的是（ ）． A ．若{}n a M ∆，则数列{}n a 各项均大于或等于M ； B ．若{}n a M ∆，则{}22n a M ∆；C ．若{}n a M ∆，{}n b M ∆，则{}2n n a b M +∆；D ．若{}n a M ∆，则{}2121n a M +∆+； 【答案】D【解析】通过数列为1，2，1，2，1，2…，当 1.5M =时，判断A ；当3M =-时，判断B ；当数列{}n a 为1，2，1，2，1，2…，{}n b 为2，1，2，1，2…， 1.6M =时，可判断C ；直接根据定义可判断D 正确.【详解】A 中，在数列1，2，1，2，1，2…中， 1.5M =，数列{}n a 各项均大于或等于M 不成立，故A 不正确；B 中在数列1，2，1，2，1，2…中，3M =-，此时{}22n a M ∆不正确，故B 错误； C 中，数列{}n a 为1，2，1，2，1，2…，{}n b 为2，1，2，1，2…， 1.6M =，而{}n n a b +各项均为3，则{}2n n a b M +∆不成立，故C 不正确；D 中，若{}n a M ∆，则{}21n a +中，21n a +与121n a ++中至少有一个不小于21M +，故{}2121n a M +∆+正确， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查数列的性质和应用，解题时要真正理解定义{}n a M ∆是解题的关键，属于中档题.二、填空题5．若扇形的圆心角为2π3，半径为2，则扇形的面积为______. 【答案】4π3【解析】利用扇形面积公式212S R α=可求出答案. 【详解】由题意,扇形的面积为22112π42π2233S R α==⨯⨯=. 故答案为:4π3. 【点睛】本题考查了扇形的面积的计算,考查了学生的计算能力,属于基础题. 6．若点()3,P y -是角α终边上的一点，且4sin 5α=-，则y =______. 【答案】-4【解析】由正弦的定义,可得sin α=,即可求出y 的值.【详解】由题意,4sin 5α==-,解得4y =-.故答案为:-4. 【点睛】本题考查了利用角的终边上任意一点(除原点)的坐标定义三角函数,属于基础题. 7．若2sin cos 3αα+=，则sin 2α=______. 【答案】59-【解析】将2sin cos 3αα+=的等号两端分别平方,结合正弦的二倍角公式可求出答案. 【详解】由题意,()222sin cos sin cos 2sin cos 1sin 294ααααααα+=++=+=,解得5sin 29α=-.故答案为:59-. 【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系的运用,考查了正弦的二倍角公式的运用,考查了学生的计算能力,属于基础题.8．若等差数列{}n a 中，63a =，{}n a 的前n 项和为n S ，则11S =______. 【答案】33【解析】利用等差数列的前n 项和公式()11111112a a S +=,结合11162a a a +=,可求出答案. 【详解】等差数列{}n a 中,()1111161111113332a a S a +===⨯=.【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式的运用,考查了等差中项的运用,属于基础题. 9．若3cos 5α=且tan 0α<，则πcos 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭______. 【答案】45-【解析】由三角函数诱导公式可得πcos sin 2αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,再结合22sin 1cos αα=-,可求出答案. 【详解】由题意,222316sin 1cos 1525αα⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭.因为tan 0α<,cos 0α>,所以sin 0α<,即4sin 5α==-. 则π4cos sin 25αα⎛⎫-==-⎪⎝⎭.故答案为:45-. 【点睛】本题考查了三角函数诱导公式的运用,考查了学生的计算求解能力,属于基础题. 10．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为_____________ 【答案】3【解析】分析：设塔的顶层共有a 1盏灯，则数列{a n }公比为2的等比数列，利用等比数列前n 项和公式能求出结果．详解: 设塔的顶层共有a 1盏灯，则数列{a n }公比为2的等比数列，∴S 7=71(12)12a --=381，解得a 1=3．故答案为：3.点睛：本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力.11．将式子cos αα+化成()cos A αϕ+（其中0A >，[)π,πϕ∈-）的形式为______.【答案】π2cos 3α⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】结合辅助角公式,可求得答案. 【详解】由题意,1πcos 2cos 2cos 23ααααα⎛⎫⎛⎫+=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为:π2cos 3α⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】 辅助角公式:sin cos )a x b x x j ++其中tan b aϕ=; sin cos )a x b x x ψ+-其中tan a bψ=. 12．若3ππ2α<<且4cos 5α=-，则tan 2α=______. 【答案】-3【解析】由3ππ2α<<,可得π3π224α<<,结合222cos 12sin 2sin cos 122αααα⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,可求得sin2α,cos2α,进而可求出tan2α.【详解】由题意,24cos 12sin25αα=-=-,解得29sin 210α=, 则221cos1sin 2210αα=-=, 3ππ2α<<,则π3π224α<<,sin 0,cos 022αα><,故sin2α=,cos 2α=,sin 2tan 32cos2ααα==-. 故答案为3-. 【点睛】本题考查了三角函数求值,考查了二倍角公式的运算,属于基础题. 13．将全体正整数排成一个三角形数阵： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ………………………按照以上排列的规律，第n 行(3)n ≥从左向右的第3个数为______【答案】262n n -+ 【解析】观察三角形数阵，可得每一行的数放在一起，是从1开始的连续的正整数，故n 行的最后一个数为前n 项数据的个数，可先判断第n ﹣1行的最后一个数，然后递推出所得数据即可． 【详解】解：前n ﹣1行共有正整数1+2+…+（n ﹣1）个，即22n n -个，所以，第n 行第3个数是全体正整数中第22n n-+3个，即为262n n -+．则所求数为262n n -+．【点睛】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．14．若tan α，tan β是方程250x ++=的两根，且α、ππ,22β⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则αβ+=______.【答案】2π3-【解析】由一元二次方程的根与系数关系,可得到tan tan αβ+和tan tan αβ的值,进而可求得()tan αβ+的值,再结合αβ+的范围,可求得答案. 【详解】由题意,tan tan tan tan 5αβαβ⎧+=-⎪⎨=⎪⎩则()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++==-又tan tan 0tan tan 0αβαβ+<⎧⎨>⎩,则tan 0,tan 0αβ<<,又因为α、ππ,22β⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,所以α、π,02β⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. 则π0αβ-<+<,又()tan αβ+=故2π3αβ+=-. 故答案为:2π3-. 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系的运用,考查了两角和的正切公式的应用,考查了学生的计算能力,属于基础题.15．已知k 是正整数，且12019k ≤≤，则满足方程：sin1sin2sin sin1sin2sin k k ︒+︒+⋯+︒=︒⋅︒⋅⋯︒的k 有_______个.【答案】11【解析】由三角函数的值域可知，除1k =外当等式sin1sin2sin sin1sin2sin k k ︒+︒+⋯+︒=︒︒⋯︒的左右两边均为0时等式成立，由此可得正整数k 的个数． 【详解】由三角函数的单调性及值域，可知sin1sin2sin 1k ︒︒⋯︒<．∴除1k =外只有当等式sin1sin2sin sin1sin2sin k k ︒+︒+⋯+︒=︒︒⋯︒的左右两边均为0时等式成立，则1k =、359、360、719、720、1079、1080、1439、1440、1799、1800时等式成立， 满足条件的正整数k 有11个． 故答案为：11． 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查正弦函数的图象和性质，寻找规律是解答该题的关键，属基础题．三、解答题16．数列{}n a 的前n 项和n S 满足：27n S n =+，*n ∈N ，则数列{}n a 的通项公式n a =______.【答案】8,121,2n n n =⎧⎨-≥⎩【解析】利用1n n n a S S -=-,可求出2n ≥时,n a 的表达式,然后验证1a 是否满足n a 的表达式即可. 【详解】当1n =时,11178S a ==+=,当2n ≥时,()12271721n n n a S S n n n -⎡⎤+--+=⎣⎦-=-=,显然,18a =不符合21n a n =-, 故通项公式8,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩.故答案为:8,121,2n n n =⎧⎨-≥⎩. 【点睛】已知n S 求n a 的3个步骤: (1)先利用11a S =求出1a ；(2)用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系，利用()12n n n a S S n =-≥-便可求出当2n ≥时n a 的表达式；(3)注意检验1n =时的表达式是否可以与2n ≥的表达式合并． 17．已知tan 2α=.（1）求πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）求2sin 2sin cos 21ααα-+的值. 【答案】（1）-3；（2）13【解析】（1）由πtan tanπ4tan π41tan tan 4ααα+⎛⎫+=⎪⎝⎭-⋅,可求出答案; （2）由二倍角公式可得,222sin 22sin cos sin cos 21sin 2sin ααααααα=-++,然后分子分母同乘以21cos α,可得到原式22tan 23tan 3tan ααα==,可得到答案. 【详解】（1）πtan tanπ214tan 3π4121tan tan 4ααα++⎛⎫+===- ⎪-⎝⎭-⋅； （2）222222212sin cos sin 22sin cos 2tan 211cos 1sin cos 21sin 2sin 3tan 3tan 33sin cos ααααααααααααααα⨯====⋅=-++⨯. 【点睛】本题考查了三角函数的二倍角公式的应用,考查了三角函数恒等变换,属于基础题. 18．已知{}n a 为等差数列，3810a a +=，66a =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求25868a a a a +++⋅⋅⋅+的值. 【答案】（1）26n a n =-；（2）1472【解析】（1）由3810a a +=，66a =,可得11291056a d a d +=⎧⎨+=⎩,即可求出1,a d ,进而可得到数列{}n a 的通项公式；（2）易知25868,,,,a a a a ⋅⋅⋅为等差数列,判断该数列的首项,项数和公差,再结合等差数列的求和公式可得到答案. 【详解】（1）依题意,由3810a a +=，66a =,得方程组11291056a d a d +=⎧⎨+=⎩（1a ，d 为首项和公差）, 解得142a d =-⎧⎨=⎩，∴{}n a 的通项公式为26n a n =-.（2）易知25868,,,,a a a a ⋅⋅⋅也为等差数列,该数列项数为6821233n -=+=项，首项22a =-，公差为36d =,()258682322232614722a a a a ⨯∴+++⋅⋅⋅+=⨯-+⨯=. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式的求法,考查了等差数列前n 项和的运用,考查了学生的计算求解能力,属于基础题. 19．已知π0π2x y <<<<，()5sin 13x y +=.（1）判断tan tan x y +的正负性，并说明理由； （2）若1tan22x =，求cos2x 和cos y 的值. 【答案】（1）负数，理由见解析；（2）7cos 225x =-，16cos 65y =-【解析】（1）由()sin sin sin sin cos cos sin tan tan cos cos cos cos cos cos x y x y x y x y x y x y x y x y+++=+==,并结合,x y 的范围,可判断原式的正负性;（2）由二倍角的正切公式,可求出tan x ,进而可求得sin ,cos x x ,结合余弦的二倍角公式,可求得cos2x ,再利用()()()cos cos cos cos sin sin y x y x x y x x y x =+-=+⋅++⋅⎡⎤⎣⎦可求得cos y 的值. 【详解】（1）依题意,()5sin sin cos cos sin 13x y x y x y +=+=, 5sin sin sin cos cos sin 13tan tan cos cos cos cos cos cos x y x y x y x y x y x y x y++=+==, π02x <<Q ，ππ2y <<, cos 0x ∴>，cos 0y <513tan tan 0cos cos x y x y∴+=<，即为负. （2）由1tan 22x =,得22tan42tan 31tan 2xx x ==-， 则22sin cos 1sin 4cos 3π02x x x x x ⎧⎪+=⎪⎪=⎨⎪⎪<<⎪⎩,解得3cos 5x =，4sin 5x =. 所以27cos 22cos 125x x =-=-. 由π02x <<，ππ2y <<,得π3π,22x y ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由()5sin 13x y +=,得()12cos 13x y +=-. ()()()1235416cos cos cos cos sin sin 13513565y x y x x y x x y x ⎛⎫∴=+-=+⋅++⋅=-⨯+⨯=-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭. 【点睛】本题考查了两角和与差的正弦、余弦公式的运用,考查了三角函数的二倍角公式、同角三角函数基本关系的应用,考查了学生的计算求解能力，属于中档题. 20．对于集合{}12,,,n A θθθ=⋅⋅⋅和常数0θ，定义：()()()22210200cos cos cos n nθθθθθθμ-+-++-=为集合A 相对0θ的“余弦方差”.（1）若集合ππ,34A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，00θ=，求集合A 相对0θ的“余弦方差”；（2）求证：集合π2π,,π33A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭相对任何常数0θ的“余弦方差”是一个与0θ无关的定值，并求此定值；（3）若集合π,,4A αβ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，[)0,πα∈，[)π,2πβ∈，相对任何常数0θ的“余弦方差”是一个与0θ无关的定值，求出α、β.【答案】（1）38；（2）证明见解析，定值12；（3）7π12α=，23π12β=或11π12α=，19π12β=【解析】由“余弦方差”的定义,对（1）（2）（3）逐个求解或证明即可. 【详解】（1）依题意：22ππ11cos 0cos 033442228μ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===；（2）由“余弦方差”定义得：()222000π2πcos cos cos π333θθθμ⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=， 则分子()222000000ππ2π2πcos cos sin sin cos cos sin sin cos πcos sin πsin 3333θθθθθθ⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2220000011cos cos cos 2222θθθθθ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22200013cos sin cos 22θθθ=++ 32= 31232μ∴==为定值，与0θ的取值无关.（3）()()222000πcos cos cos 43θαθβθμ⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭=， 分子=()()222000000ππcos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin 44θθαθαθβθβθ⎛⎫+++++⎪⎝⎭22000011cos +sin sin cos 22θθθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()22220000cos cos sin sin 2sin cos sin cos αθαθθθαα+++()22220000cos cos sin sin 2sin cos sin cos βθβθθθββ+++()222222000011cos cos cos sin sin sin 1sin 2sin 2sin cos 22αβθαβθαβθθ⎛⎫⎛⎫=++++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22220001cos 21cos 2111cos cos sin sin 1sin 2sin 2sin 222222θθαβαβαβθ+-⎛⎫⎛⎫=++++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()222200cos 2sin 2cos cos sin sin 1sin 2sin 222θθαβαβαβ=+--+++22221111cos cos sin sin 2222αβαβ⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()00cos 2sin 2cos 2cos 21sin 2sin 222θθαβαβ=++++22221111cos cos sin sin 2222αβαβ⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()00311sin 21sin 2sin 2cos 2cos 2cos 2222θαβθαβ=+⋅+++⋅+. 要使μ是一个与0θ无关的定值,则cos 2cos 201sin 2sin 20αβαβ+=⎧⎨++=⎩, cos 2cos 2αβ=-,2α∴与2β终边关于y 轴对称或关于原点对称,又sin 2sin 21αβ+=-,得2α与2β终边只能关于y 轴对称,1sin 2sin 22cos 2cos 2αβαβ⎧==-⎪∴⎨⎪=-⎩, 又[)0,πα∈，[)π,2πβ∈，则当72π6α=时,232π6β=; 当112π6α=时,192π6β=. 7π12α∴=，23π12β=或11π12α=，19π12β=.故7π12α=，23π12β=或11π12α=，19π12β=时,相对任何常数0θ的“余弦方差”是一个与0θ无关的定值. 【点睛】本题考查了新定义,考查了三角函数的恒等变换,考查了学生的逻辑推理能力与计算求解能力,属于难题.21．设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，23327a b a b +=+=.（1）求{}n a ,{}n b 的通项公式； （2）设1n nc a =，*n ∈N ，若3c ，k c ，m c 成等差数列（k 、m 为正整数且3k m <<），求k 和m 的值；（3）设n B 为数列{}n b 的前n 项和，是否存在实数p ，使得()3641n an B p ≥++对一切*n ∈N 均成立？若存在，求出p 的最大值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）21n a n =-，12n n b -=；（2）23m =，5k =；（3）存在，p 最大值为269-，理由见解析【解析】（1）由题可设数列{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ()0q >,可得217127d q d q ⎧++=⎨++=⎩,即可求出,d q ,从而可求得{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）由n a 可求得n c 的表达式,结合3c ，k c ，m c 成等差数列,可得32k m c c c =+,进而可求得,m k 的等式关系,结合,m k 的取值范围,可求出答案;（3）先求出n B 的表达式,将n a 与n B 代入不等式中,可得21632n n p -+≤-对一切*n ∈N 成立,即求21632n n -+-在*n ∈N 的最小值即可. 【详解】（1）依题意,设数列{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ()0q >,则2171270d q d q q ⎧++=⎪++=⎨⎪>⎩，解得22d q =⎧⎨=⎩，21n a n ∴=-，12n n b -=.（2）121n c n =-， 依题意,32k m c c c =+，则21121521k m =+--（k 、m 为正整数且3k m <<）, 化简得：11324m k m -=+，又3k m <<,得113324m k m m -<=<+，解得3m >, 113112524224m k m m -==-++，因为k 为正整数,3k m <<，所以2450m +=， 即23m =，此时5k =.（3）依题意：122112nn n B -==--,则()21364211n n p -≥⋅-++对一切*n ∈N 成立,即21632n n p -+≤-对一切*n ∈N 成立,即求21632n n -+-在*n ∈N 的最小值,设n k =()*n ∈N 时,21632n n -+-取得最小值,则21621721623532323232k k k k k k k k -+++-+-+⎧-≤-⎨-≤-⎩, 即216235924283283291082kk k k k k-+-+⎧⎛⎫≥⎪ ⎪⎧⨯≥⎪⎝⎭⇔⎨⎨⨯≤⎩⎛⎫⎪≤ ⎪⎪⎝⎭⎩, 解得33k ≤≤,即3k =.故21632n n -+-在*n ∈N 的最小值为2313632269⨯-+-=-. 所以存在p 最大值为269-满足题意. 【点睛】本题考查了数列的通项公式的求法,考查了等差中项的运用,考查了数列的最值问题,考查了不等式恒成立问题,属于难题.。
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2018-2019年控江中学高一下期中
一. 填空题
1. 若扇形的圆心角为
23
π，半径为2，则扇形的面积为 2. 若点(3,)P y -是角α终边上的一点，且4sin 5
α=-，则y = 3. 若2sin cos 3αα+=，则sin2α= 4. 若等差数列{}n a 中，63a =，{}n a 的前n 项和为n S ，则11=S
5. 若3cos 5α=且tan 0α<，则cos()2
πα-= 6. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层有灯 盏
7. 将式子cos αα化成cos()A αϕ+（其中0A >，[,)ϕππ∈-）的形式为
8. 若32ππα<<且4cos 5α=-，则tan 2
α= 9. 数列{}n a 的前n 项和n S 满足：27n S n =+()n *∈N ，则数列{}n a 的通项公式n a =
10. 将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
按照以上排列的规律，第n 行(3)n ≥从左向右的第3个数为
11. 若tan α、tan β是方程250x ++=的两根，且,(,)22
ππαβ∈-，则αβ+= 12. 若k 是正整数，且12019k ≤≤，则满足sin1sin 2sin 3sin k ︒︒︒︒+++⋅⋅⋅+=
sin1sin 2sin 3sin k ︒︒︒︒⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅的k 有 个
二. 选择题
13. 若α是象限角，则下列各式中，不恒成立的是（ ）
A. tan()tan()παα+=-
B. sin cot(
)2cos πααα+=- C. 1
csc sin()απα=- D.
2sec 1)sec 1tan ααα-+=（（）
14. 若5sin 213θ=，12cos 213
θ=-，则角θ的终边在第（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
15. 如图，在平面直角坐标系中，AB ，CD ，EF ，GH 是以原点为圆心的单位圆上的四段弧，点P 是其中⋅⋅⋅段弧上的动点，角α以Ox 为始边，OP 为终边，且恒有tan cos sin ααα<<，则点P 所在的圆弧是弧（ ）
A. AB
B. CD
C. EF
D. GH
16. 对于数列{}n a ，若存在常数M ，使得对任意n *∈N ，n a 与1n a +中至少有一个不小于M ，则记作{}n a M ，下列命题中，正确的是（ ）
A. 若{}n a M ，则数列{}n a 各项均大于或等于M
B. 若{}
n a M ，则22{}n a M C. 若{}
n a M ，{}n b M ，则{}2n n a b M + D. 若{}
n a M ，则{21}21n a M ++
三. 解答题 17. 已知tan 2α=.（1）求tan()4πα+
的值；（2）求2sin 2sin cos 21
ααα-+的值.
18. 已知{}n a 为等差数列，3810a a +=，66a =.
（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求25868a a a a +++⋅⋅⋅+的值.
19. 已知02
x y π
π<<<<，5sin()13x y +=. （1）判断tan tan x y +的正负性，并说明理由；
（2）若1tan
22
x =，求cos2x 和cos y 的值.
20. 对于集合12{,,,}n θθθΩ=⋅⋅⋅和常数0θ，定义： 22210200cos ()cos ()cos ()n n
θθθθθθμ-+-+⋅⋅⋅+-=为集合Ω相对0θ的“余弦方差”. （1）若集合{,}34
ππ
Ω=，00θ=，求集合Ω相对0θ的“余弦方差”； （2）求证：集合2{,,}33ππ
πΩ=相对任何常数0θ的“余弦方差”是一个与0θ无关的定值，
并求此定值；
（3）若集合{,,}4
π
αβΩ=，[0,]απ∈，[,2)βππ∈相对任何常数0θ的“余弦方差”是 一个与0θ无关的定值，求出α、β.
21. 设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==， 23327a b a b +=+=.
（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）设1()n n
c n a *=
∈N ，若3c ，k c ，m c 成等差数列（,k m 为正整数且3k m <<），求k 和m 的值；
（3）设n B 为数列{}n b 的前n 项和，是否存在实数p ，使得364(1)n a n B p ≥++对一切n *∈N 均成立？若存在，求出p 的最大值；若不存在，说明理由.
参考答案
1. 43π
2. 4-
3. 59
- 4. 33 5. 45-
6. 192
7. 2cos()3πα-
8. 3-
9. 81212n n a n n =⎧=⎨-≥⎩ 10. 2322n n -+ 11. 23
π- 12. 11
13-16. ADCD
17.（1）3-；（2）1
3.
18.（1）26n a n =-；（2）1472.
19.（1）负；（2）7
cos 225x =-，16
cos 65y =-.
20.（1）38；（2）1
2；（3）712π
α=，1112π
β=.
21.（1）21n a n =-，1
2n n b -=；（2）5k =，23m =；（3）269-.。