高等代数在解析几何中的应用

学号********

哈尔滨学院学士学位论文

高等代数在解析几何中的应用

院（系）名称：理学院

专业名称：数学与应用数学

***名：***

指导教师：方晓超讲师

哈尔滨学院

2014年7月

学号********

密级公开高等代数在解析几何中的研究

英文

***名：***

所在学院：理学院

所在专业：数学与应用数学

********

职称：讲师

所在单位：哈尔滨学院

论文提交日期：

论文答辩日期：

学位授予单位：

摘要关键词：二次型，

ABSTRACT

Mathods of Key words :

前言行列式出现于

第一章线性代数在解析几何中的应用

1.1向量在解析几何中的应用

1.1.1向量的定义

定义1.1：即有大小，又有方向的量成为向量（或矢量）。

向量有两个特征，即有大小，又有反向，向量的几何图型是一个有向线段。在几何上，向量可以用有向线段表示。例如,有向线段AB 的长度AB 表示向量的大小（或称向量的模），用箭头→表示向量的方向，即短点B A →所指的方向，端点A ，B 分别称为向量的起点和终点。用有向线段表示的向量称为几何向量。

1.1.2向量的加法

定义1.2：设βα,为空间中两个向量。在空间任取一点O ，作α=OA ，β=AB ，称向量γ=OB 为βα与的和，（仍采用数的加法记号）记作βα+，即。βαγ+==OB 。

三角形法则等价于平行四边形法则：从空间中一点O ，作α=OA ，β=OB ，再以OB OA ,为边作平行四边形OACB ，则对角线上的向量γ=OC 就是βαβα+之和,

由定义不难验证向量的加法满足下列运算规律： 1）αββα+=+（交换律）

2）()()γβαγβα++=++结合律

3）αα+=+00 4）()0=-+αα 直角坐标系

定义1.3：如果k j i ,,是两两垂直的长度为1的向量，则称坐标系[]k j i O ,,;为直角坐标系。

若k j i ,,两两垂直，则它们一定不共面。因而直角坐标系是特殊的仿射坐标系。点（或向量）在直角坐标系下的坐标称为它的直角坐标。

1.1.3用坐标进行向量的线性运算

在空间 取定仿射坐标系[]γβα,,;O 。设1δ的坐标⎥⎥

⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡111z y x ，2δ的坐标是⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡222z y x ，则利用向量加法的交换律和结合律有

γβαγβαδδ22211121()(z y x z y x +++++=+

()()()γβα212121z z y y x x +++++=

类似地，()()()γβαδδ21212121z z y y x x -++-=- 任意R k ∈，利用数乘向量的分配律与结合律有

()()()()γβαγβαδkz ky kx z y x k k ++=++=

这说明21δδ±的坐标是⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡±±±212121z z y y x x ，δk 的坐标是⎥⎥

⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡kz ky kx 因此求向量的和（差）及数量的乘积的坐标只需对各个坐标进行相应的数量运算就行。 数量积。

定义1.4：两个向量βα与的数量积（也称内积或点积）规定为一个实数，它等于这个向量的长度与它们夹角〉〈=βαθ,的余弦的乘积，记作βα⋅，即有

θβαβαcos =⋅

用坐标计算向量的向量积

先设[]k j i O ,,;为仿射坐标系，k b j b i b k a j a i a z y x z y x ++=++=βα,，则

()()k b j y i b k a j a i a z y x z y x ++⨯++=⨯βα

()()()k i b a j i b a i i b a z x y x x x ⨯+⨯+⨯=

()()()k j b a j j b a i j b a z y y y x y ⨯+⨯+⨯+ ()()()k k b a j k b a i k b a z z y z x z ⨯+⨯+⨯

可见，只要知道基向量k j i ,,之间的数量积，就可以求出任意两个向量的数量积。这九个数称为仿射坐标系[]k j i O ,,;的度量参数。 现在设[]k j i O ,,;是直角坐标系，则有

0,1=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅i k k j j i k k j j i i

于是由上上式得到

z z y y x x b a b a b a ++=⋅βα

因此有如下定理。

定理1.1：在直角坐标系下，两个向量的数量积等于它们的对应坐标的乘积之和。 例：

用向量证明三角形的余弦定理。

证：作ABC ∆，令βαγγβα-,,,====则BA CB CA 。 于是

()()βαβαγγγ--2

⋅=⋅=

βαβα⋅+=2-2

2

〉〈+=βαβαβα,cos 2-2

2

。

余弦定理说明了如何由三角形三边长去计算三个顶角的余弦。利用上上式，余弦定理也可以改写成

〉〈++=+βαβαβαβα,cos 22

22

从上式不难看出

()

2

222

1,cos βαβαβαβα--+=

〉〈 上式含有长度及两向量的夹角。我们也可以利用它来定义数量积。即

θβαβαcos =⋅或()

2

222

1βαβαβα--+=⋅

这样定义的数量积通用满足定理。

1.2矩阵的秩在解析几何中的应用

矩阵的秩是代数中的基础概念，将它的理论推广到解析几何中，会收到很好的效果，下面就是矩阵的秩关于解析几何的几个定理和应用。 定理1.2

已知平面11111:d z c y b x a =++π与平面22222:d z c y b x a =++π，设线性方程组

⎩⎨

⎧=++=++2222

1

111d z c y b x a d z c y b x a 的系数矩阵为A ，增广矩阵为A ，则：

1）若秩()A =秩()

A =2，平面1π与平面2π相交于一条直线；

2）若秩()A =秩()A =1，平面1

π与平面2

π重合；

3）若秩()A =1，但是秩()A =2，平面1π与平面2

π平行。

定理1.3

已知两个平面

γ

γγ211211211c u c z z b u b y y a u a x x ++=++=++= γ

γγ432432432c u c z z b u b y y a u a x x ++=++=++=