第40招 数列最值的求法

【知识要点】

一、数列是一个函数，所以函数求最值的很多方法同样适用于它，又由于数列是一个特殊的函数，在求最值时，又表现出它的特殊性.有些特殊的方法要理解并记住.

二、数列求最值常用的方法有函数、数形结合、基本不等式、导数、单调性等，特殊的方法有夹逼法等.【方法讲评】

方法一函数的方法

使用情景比较容易求出函数的表达式

解题步骤

一般先求出函数的表达式，再利用函数的方法求出数列的最值.

【例1】在等差数列中，，为前项和，求的最大值.

}{n a 1,101-==d a n S }{n a n n S

【点评】数列是一个特殊的函数，等差数列的前项和可以看作是一个关于的二次函数

n n ，利用图像解答.

2n S An Bn =+【反馈检测1】 设等差数列{}的前项和为，已知=12，>0,,n a n n S 3a 12s 130s <(1)求公差的取值范围；

d （2）指出，，…，中哪一个值最大，并说明理由.

1s 2s 12s

方法二数形结合法使用情景比较容易求出数列的通项

解题步骤

先求数列的通项，再对通项的图像进行研究.

【例2】在等比数列中，，公比，且，与

{}n a )(0*N n a n ∈>)1,0(∈q 252825351=++a a a a a a 3a 的等比中项为2.

5a （1）求数列的通项公式；

{}n a （2）设，数列的前项和为S n ，当

最大时，求的值.n n a b 2log ={}n b n n

S S S n +++ 212

1n

【点评】（1）等差数列的通项可以看作是一个关于的一个一次函数，画出函数的图像，比较直观n a n 地看出数列的哪些项是正数，哪些项是负数，从而得到前多少项的和最大或最小.（2）注意数列中，

{}n a

由

于，所以前8项的和和前9项的和相等，且都最大，所以在考虑问题时，注意那些“零”项，以免9a 0=得出错误的结论. 学.科.网

【例3】已知数列中，则在数列的前项中最小项和最大项分别是（

{}n a )n a n N *=∈{}n a n ）

A. B. C. D.150,a a 18,a a 89,a a 950

,a a

【点评】该题中的函数是双曲线，画出函数的图像，可以看出在靠近渐近线的地方函数取到最小值或最大值.

【反馈检测2】已知等差数列{},,=.若，求数列 {}的前项n a *n a N ∈n S 212)8n a +（1

302

n n b a =-n b n 和的最小值.

方法三单调性法

使用情景数列的单调性比较容易确定

解题步骤

先求数列的通项，再对通项的单调性进行研究.

【例4】 已知数列的通项公式，，求的最大值.}{n a n

n n a )10

9)(

1

(+=)(N n ∈}{n a 【点评】（1）数列按照单调性分可以分为单调增函数、单调减函数、非单调函数.（2）判断数列的单调性一般有两种方法，方法一是作差判断，如果

方法二是作商判断，如果

110{}0{}

n n n n n n a a a a a a ++->⇒-<⇒单调递增；单调递减.11

1(0){}1(0){}n n n n n n n n

a a a a a a a a ++>>⇒<>⇒单调递增；单调递减.【例5】设单调递增函数的定义域为，且对任意的正实数有：

()f x ()0,+∞,x y 且．

()()()f xy f x f y =+1

()12

f =-⑴一个各项均为正数的数列满足:其中为数列的前项和,{}n a ()()(1)1n n n f s f a f a =++-n S {}n a n 求数列的通项公式；

{}n a ⑵在⑴的条件下，是否存在正数M 使下列不等式：

121221)(21)(21)

n n n a a a M a a a ⋅≥---

对一切成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

*n N ∈

M ⑵假设存在满足条件，M 即对一切恒成立．　

1212221(21)(21)(21)n n

n a a a M n a a a ≤

+--- *n N ∈令，

12122()21(21)(21)(21)

n n

n a a a g n n a a a =

+--- ，　

∴1212(1)

(1)2313(21)(21)n n n g n n n n +⨯⨯⨯⨯⨯++=

+⨯⨯⨯⨯-+ 故，

22(1)22

484

1()

483

2123

g n n n n g n n n n n ++++=

=

>++++，单调递增，，．(1)()g n g n ∴+>∴()g n *n N ∴∈()(1)g n g ≥

=

．

∴0M <≤

【点评】（1）本题就是利用作商法判断数列的单调性，再求数列的最值；（2）是选择作差法判断函数的单调性，还是选择作商法判断数列的单调性，主要看数列的形式，如果数列是商的形式，一般利用作商法判断数列的单调性，如果数列是和的形式，一般选择作差法判断数列的单调性.

【反馈检测3】 已知数列中，且点在直线上．

{}n a ,11=a ()()1,n n P a a n N *+∈10x y -+=