统计学常用分布及其分位数

§1、4 常用得分布及其分位数

1、 卡平方分布

卡平方分布、t 分布及F 分布都就是由正态分布所导出得分布,它们与正态分布一起,就是试验统计中常用得分布。

当X 1、X 2、…

、Xn 相互独立且都服从N(0,1)时,Z=∑i

i X 2 得分布称为自由度等于n 得2χ分布,记作Z ～2χ(n),它得分布

密度 p(z )=⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧>⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ--,,00,2212122其他z e x n z n n 式中得⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ2n =u d e u u n ⎰∞+--012,称为Gamma 函数,且()1Γ=1,

⎪⎭

⎫ ⎝⎛Γ21=π。2χ分布就是非对称分布,具有可加性,即当Y 与Z 相互独立,且Y ～2χ(n ),Z ～2χ(m ),则Y+Z ～2χ(n+m )。 证明: 先令X 1、X 2、…、X n 、X n+1、X n+2、…、

X n+m 相互独立且都服从N(0,1),再根据2χ分布得定义以及上述随机变量得相互独立性,令

Y=X 21+X 22+…+X 2n ,Z=X 21+n +X 22+n +…+X 2m n +,

Y+Z= X 21+X 22+…+X 2n + X 21+n +X 22+n +…+X 2m n +,

即可得到Y+Z ～2χ(n +m )。

2、 t 分布 若X 与Y 相互独立,且

X ～N(0,1),Y ～2χ(n ),则Z =n

Y X 得分布称为自由度等于n 得t 分布,记作Z ～ t (n ),它得分布密度

P(z)=)()(221n n

n ΓΓ+2121+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n z 。

请注意:t 分布得分布密度也就是偶函数,且当n>30时,t

分布与标准正态分布N(0,1)得密度曲线几乎重叠为一。这时, t 分布得分布函数值查N(0,1)得分布函数值表便可以得到。

3、 F 分布 若X 与Y 相互独立,且X ～2χ(n ),Y ～2χ(m ),

则Z=m

Y n X 得分布称为第一自由度等于n 、第二自由度等于m 得F 分布,记作Z ～F (n , m ),它得分布密度 p(z)=⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧>++-⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ•。其他,00,2)(1222222z m n z n m n z m n m n m m n n 请注意:F 分布也就是非对称分布,它得分布密度与自由度得次序有关,当Z ～F (n , m )时,Z

1～F (m ,n )。

4、 t 分布与F 分布得关系

若X ～t(n ),则Y=X 2～F(1,n )。

证:X ～t(n ),X 得分布密度p(x )=⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭

⎫ ⎝⎛+Γ221n n n π2121+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n x 。 Y=X 2得分布函数F Y (y ) =P{Y

当y ≤0时,F Y (y)=0,p Y (y )=0;

当y >0时,F Y (y ) =P{-y

与第一自由度等于1、第二自由度等于n 得F 分布得分布密

度相同,因此Y=X 2～F(1,n )。

为应用方便起见,以上三个分布得分布函数值都可以从各自得函数值表中查出。但就是,解应用问题时,通常就是查分位数表。有关分位数得概念如下:

4、常用分布得分位数

1)分位数得定义

分位数或临界值与随机变量得分布函数有关,根据应用得需要,有三种不同得称呼,即α分位数、上侧α分位数与双侧α分位数,它们得定义如下:

当随机变量X得分布函数为F(x),实数α满足0 <α<1 时,α分位数就是使P{X< xα}=F(xα)=α得数xα,

上侧α分位数就是使P{X >λ}=1-F(λ)=α得数λ,

双侧α分位数就是使P{X<λ1}=F(λ1)=0、5α得数λ1、使P{X>λ2}=1-F(λ2)=0、5α得数λ2。

因为1-F(λ)=α,F(λ)=1-α,所以上侧α分位数λ就就是1-α分位数x1-α;

F(λ1)=0、5α,1-F(λ2)=0、5α,所以双侧α分位数λ1就就是0、5α分位数x0、5α,双侧α分位数λ2就就是1-0、5α分位数x1-0、5α。

2)标准正态分布得α分位数记作uα,0、5α分位数记作u0、5α,1-0、5α分位数记作u1-0、5α。

当X～N(0,1)时,P{X< uα}=F 0,1(uα)=α,

P{X

P{X

根据标准正态分布密度曲线得对称性,

当α=0、5时,uα=0;

当α<0、5时,uα<0。

uα=-u1-α。

如果在标准正态分布得分布函数值表中没有负得分位数,则先查出 u1-α,然后得到uα=-u1-α。

论述如下:当X～N(0,1)时,P{X< uα}= F 0,1 (uα)=α,

P{X< u1-α}= F 0,1 (u1-α)=1-α,

P{X> u1-α}=1- F 0,1 (u1-α)=α,

故根据标准正态分布密度曲线得对称性,uα=-u1-α。

例如,u 0、10=-u 0、90=-1、282,

u 0、05=-u 0、95=-1、645,

u 0、01=-u 0、99=-2、326,

u 0、025=-u 0、975=-1、960,

u 0、005=-u 0、995=-2、576。