最全面利用导数判断函数的单调性问题的学案(精华版)
利用导数判断函数的单调性教案
利用导数判断函数的单调性教案一、教学目标：1. 让学生理解导数的定义和几何意义。
2. 学会利用导数判断函数的单调性。
3. 能够运用导数解决实际问题。
二、教学内容：1. 导数的定义和几何意义。
2. 利用导数判断函数的单调性。
3. 导数在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 重点：导数的定义，导数与函数单调性的关系。
2. 难点：利用导数判断函数的单调性，解决实际问题。
四、教学方法与手段：1. 教学方法：讲解法，案例分析法，讨论法。
2. 教学手段：黑板，PPT。
五、教学过程：1. 导入：回顾导数的定义和几何意义，引导学生思考导数与函数单调性的关系。
2. 新课讲解：讲解如何利用导数判断函数的单调性，通过示例让学生理解并掌握方法。
3. 案例分析：分析实际问题，让学生运用导数判断函数的单调性，解决实际问题。
4. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。
6. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学评估：1. 课堂练习环节，观察学生对利用导数判断函数单调性的掌握程度。
2. 课后作业的完成情况，评估学生对知识的巩固程度。
3. 学生参与讨论的积极性和对实际问题分析的能力。
七、教学反思：2. 根据学生的反馈调整教学方法，提高教学效果。
3. 针对学生的掌握情况，适当调整教学内容和难度。
八、教学拓展：1. 引导学生思考导数在其他数学领域的应用，如微分方程、优化问题等。
2. 介绍导数在物理学、经济学等学科中的应用，拓宽学生的视野。
九、教学资源：1. PPT课件：包含导数定义、几何意义、判断函数单调性的方法及实际案例。
2. 练习题：涵盖不同难度的题目，用于巩固所学知识。
3. 实际问题案例：涉及多个领域的实际问题，用于引导学生运用导数解决实际问题。
十、教学进度安排：1. 本节课共计45分钟，具体安排如下：导入：5分钟新课讲解：15分钟案例分析：15分钟课堂练习：10分钟作业布置：5分钟2. 课后作业：布置课后练习，要求学生在下次课堂上提交。
《4.3.1 利用导数研究函数的单调性》教案
《4.3.1 利用导数研究函数的单调性》教案教学目标：知识与技能：借助函数的图象了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性；过程与方法：通过本节的学习，掌握利用导数判断函数单调性的方法；情感、态度与价值观：通过实例探究函数的单调性与导数的关系的过程，体会知识间的相互联系和运动变化的观点，提高理性思维能力.教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性；教学难点：利用导数的符号判断函数的单调性；判断复合函数的单调区间及应用. 教学过程：一、自学导航1．情境：(1) 必修一中，如何定义函数单调性的？（2）如何用定义判断一些函数的单调性？一般地，设函数f(x) 的定义域为I：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x) 在这个区间上是减函数．问题：能否用定义法讨论函数()xf x e x=-的单调性？学生活动讨论函数342+-=x x y 的单调性. 解：取x1＜x2，x1、x2∈R ， 取值 f(x1)－f(x2)＝(x12－4x1+3)－(x22－4x2+3) 作差 ＝(x1－x2)(x1＋x2－4) 变形当x1＜x2＜2时，x1＋x2－4＜0，f(x1)＞f(x2)， 定号 ∴y ＝f(x)在(－∞, 2)单调递减． 判断 当2＜x1＜x2时， x1＋x2－4＞0，f(x1)＜f(x2)，∴y ＝f(x)在(2, ＋∞)单调递增．综上所述y ＝f(x)在(－∞, 2)单调递减，y ＝f(x)在(2, ＋∞)单调递增.2. 研究函数342+-=x x y 的导函数值的符号与单调性之间的关系. 二、探究新知1.导数符号与函数单调性之间的关系我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数342+-=x x y 的图像可以看到：在区间（2，∞+）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x 的增大而增大，即y '>0时，函数y=f(x) 在区间（2，∞+）内为增函数；在区间（∞-，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x 的增大而减小，即y '<0时，函数y=f(x) 在区间（∞-，2）内为减函数.定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数. 如果在这个区间内y '>0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内y '<0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数.说明：（1）如果某个区间内恒有y '=0，则f(x)等于常数；（2）y '>0（或y '<0）是函数在(a ，b ）上单调增（或减）的充分不必要条件.2.利用导数确定函数的单调性的步骤： (1) 确定函数f(x)的定义域； (2) 求出函数的导数；(3) 解不等式f '(x)＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f '(x)＜0，得函数的单调递减区间．三、例题精讲：例1 求函数()23252x f x x x =--+的单调区间.解：()f x '=3x2－x －2=0，得x=1，23-.在（－∞，－32）和［1，+∞)上()f x '>0，f （x ）为增函数；在［－32，1］上f '（x ）<0，f （x ）为减函数.所以所求f （x ）的单调增区间为（－∞，－32]和［1，+∞)，单调减区间为［－32，1］.变式题1：求函数2()2ln f x x x =-的单调区间． 答案：增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 变式题2：设函数()(0)kx f x xe k =≠．求函数()f x 的单调区间； 解：由()()'10kxf x kx e =+=，得()10x k k =-≠，若0k >，则当1,x k ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()'0f x <，函数()f x 单调递减， 当1,,x k ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，函数()f x 单调递增，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m若0k <，则当1,x k ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()'0f x >，函数()f x 单调递增，当1,,x k ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，函数()f x 单调递减..w.k.s.5.u.c.o点评：（1）注意定义域和参数对单调区间的影响； （2）同一函数的两个单调区间不能并起来；（3）求函数的单调区间，求导的方法不是唯一的方法，也不一定是最好的方法，但它是一种一般性的方法.例2 若函数123+++=mx x x y 是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是答案：1[,)3+∞变式题1:若函数123+++=mx x x y 有三个单调区间，则实数m 的取值范围是 .答案：1(,)3-∞ 变式题2:若函数123+++=mx x x y 在（0,1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，则实数m 的值是 . 答案：-5变式题3：若函数123+++=mx x x y 在1(0,)2上既不是单调递增函数也不是单调递减函数，则整数m 的值是 . 答案：-1.m 变式题4：若函数123+++=mx x x y 的单调递减区间是4[2,]3-，则则实数m 的值是 .答案：-8例3 设函数()y f x =在定义域内可导，()y f x =的图象如图1所示，则导函数()y f x '=可能为 答案：④变式题1：如果函数()y f x =的导函数的图象如下图所示，给出下列判断：①函数()y f x =在区间1(3,)2--内单调递增； ②函数()y f x =在区间1(,3)2-内单调递减；③函数()y f x =在区间(4,5)内单调递增； ④函数()y f x =的单调递增区间是xyO图xyO①xyO ② xyO ③yO④x-2 2xyO1-1 -11[2,2][4,)-+∞则上述判断中正确的是____________．答案：③变式题2：已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中()f x '是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是 答案：③备选例题：已知函数()ln 3(R)f x a x ax a =--∈．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()y f x =的图象在点(2,(2))f 处的切线的倾斜角为45︒，对于任意的]2,1[∈t ，函数32()['()]2mg x x x f x =++在区间)3,(t 上总不是单调函数，求m 的取值范围；(3)求证：ln 2ln3ln 4ln 1(2,N )234n n n n n *⨯⨯⨯⨯<≥∈．解：(1)(1)'()(0)a x f x x x -=>当0>a 时，)(x f 的单调增区间为(]0,1，减区间为[)1,+∞；当0<a 时，)(x f 的单调增区间为[)1,+∞，减区间为(]0,1；O-22xy1 -1-2 12Oxy-2-2 21-112O-2 4xy1-1 -212 O-22xy-124 ①② ③ ④当0=a 时，)(x f 不是单调函数(2)12)2('=-=a f 得2-=a ，()2ln 23f x x x =-+- ∴x x mx x g 2)22()(23-++=，∴2)4(3)('2-++=x m x x g ∵)(x g 在区间)3,(t 上总不是单调函数，且()02'g =-∴⎩⎨⎧><0)3('0)('g t g 由题意知：对于任意的]2,1[∈t ，'()0g t <恒成立，所以，'(1)0'(2)0'(3)0g g g <⎧⎪<⎨⎪>⎩，∴3793m -<<-(3)令1-=a 此时3ln )(-+-=x x x f ，所以2)1(-=f ，由(Ⅰ)知3ln )(-+-=x x x f 在),1(+∞上单调递增，∴当),1(+∞∈x 时)1()(f x f >，即01ln >-+-x x ，∴1ln -<x x 对一切),1(+∞∈x 成立，∵2,N*n n ≥∈，则有1ln 0-<<n n ，∴n n n n 1ln 0-<<ln 2ln 3ln 4ln 12311(2,N )234234n n n n n n n *-∴⋅⋅⋅⋅<⋅⋅⋅⋅=≥∈四、课堂精练1. 设f(x)=x2(2-x),则f(x)的单调增区间是 .答案：(0,)342. 已知函数()y f x =在定义域[4,6]-内可导，其图象如图，记()y f x =的导函数为'()y f x =，则不等式'()0f x ≥的解集为 .411[4,][1,]33-- 3. 若函数()321f x x ax =-+在（0，2）内单调递减，则实数a 的取值范围为 .答案：a≥3 讨论函数1()cos 2f x x x =-的单调性.答案：函数在7[2,2]()66k k k Z ππππ-+∈上单调递增；在711[2,2]()66k k k Z ππππ++∈上单调递增五、回顾小结判断函数单调性的方法；2.导数符号与函数单调性之间的关系；3.利用导数确定函数的单调性的步骤. 分层训练1.函数y=8x2-lnx 的单调递增区间是 . 答案：1[,)4+∞2．已知x R ∈，奇函数32()f x x ax bx c =--+在[1,)+∞上单调，则字母,,a b c 应满足的条件是 ． 答案：a=c=0,3b ≤3.已知函数3221()(41)(1527)23f x x m x m m x =--+--+在（－∞，+∞）上是增函数，则m 的取值范围是 . 答案：2＜m ＜44.若函数2()2ln f x x x =-在定义域内的一个子区间(1,1)k k -+内不是单调函数,则实数k 的取值范围是 .答案：33(,)22-5. 已知函数()ln f x x =,()a g x x =,设()()()F x f x g x =+．求函数()F x 的单调区间；解：()()()()ln 0aF x f x gx x=+=+>，()()221'0a x aF x x x x x -=-=>（1）若0a >，由()()'0,F x x a >⇒∈+∞，∴()F x 在(),a +∞上单调递增.由()()'00,F x x a <⇒∈，∴()F x 在()0,a 上单调递减.∴()F x 的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(),a +∞.（2）若0a ≤，则()'0F x >在()0,+∞上恒成立，∴()F x 在()0,+∞上单调递增.6.已知函数32()(1)(2)(,)f x x a x a a x b a b R =+--++∈．若函数()f x 在区间（-1,1）上不单调，求a 的取值范围．答案：（-5，-1） 六、拓展延伸1.已知函数32()f x x bx cx d =+++在(,0)-∞上是增函数，在（0，2）上是减函数，且方程f (x)=0有三个根，它们分别是,2,αβ.(1)求c 的值； （2）求证：(1)2f ≥； （3）求||αβ-的取值范围.（1）解：2()32f x x bx c '=++，由条件知(0)0f '=，0c ∴=.（2）证明：由2()320f x x bx '=+=得1220,3bx x ==-，∵ f (x)在（0，2）上是减函数，2223b x ∴=-≥即3b ≤-，又(2)84f b d =++=(1)13f b d b ∴=++=--≥. （3）解：322()(84)(2)[(2)24]f x x bx b x x b x b =+-+=-++++由 f (x)=0有三个根分别是,2,αβ，,αβ∴是方程2(2)240x b x b ++++=的两根2||(2)16b αβ∴-=-+，由（2）可知3b ≤-||3αβ∴-≥. 2.已知a R ∈,函数3211()2()32f x x ax ax x R =-++∈. （1）当a=1时，求函数f (x)的单调递增区间；（2）函数f (x)是否在R 上单调递减，若是，求出a 的取值范围；若不是，请说明理由； （3）若函数f (x)在[1,1]-上单调递增，求a 的取值范围.解: (1) 当a=11a =时,3211()232f x x x x=-++,2()2f x x x ∴'=-++. 令()0,f x ∴'>即2()2f x x x ∴'=-++, 即220x x -++>， 解得12x -<<.所以函数f (x)的单调递增区间是(1,2)-.(2) 若函数f(x)在R 上单调递减,则()0f x ∴'≤对x R ∈都成立,所以220x ax a -++≤对x R ∈都成立, 即220x ax a --≥对x R ∈都成立.280a a ∴∆=+≤, 解得80a -≤≤.∴当80a -≤≤时, 函数f (x)在R 上单调递减.(3) 解法一：∵函数f(x)在[-1,1]上单调递增,()0f x ∴'≥对[1,1]x ∈-都成立, 220x ax a --≤对[1,1]x ∈-都成立.令2()2g x x ax a =--，则(1)120(1)120g a a g a a =--≤⎧⎨-=+-≤⎩， 解得1a ≥. 解法二： 函数f (x)在[1,1]-上单调递增,()0f x ∴'≥对[1,1]x ∈-都成立, 220x ax a --≤对[1,1]x ∈-都成立.即22x a x ≥+对[1,1]x ∈-都成立. 令2()2x g x x =+, 则2(4)()(2)x x g x x +'=+. 当10x -≤<时，()0g x '<；当01x <≤01x <≤时，()0g x '>. ()g x ∴在[1,0]-上单调递减,在[0,1]上单调递增.1(1)1,(1)3g g -==，()g x ∴在[1,1]-上的最大值是1.1a ∴≥.七、课后作业八、教学后记：。
高中数学《利用导数判断函数单调性》导学案
高中数学《利用导数判断函数单调性》导学案例1：（2015•陕西）设f （x ）=x ﹣sinx ，则f （x ）（ ）A ．既是奇函数又是减函数B ．既是奇函数又是增函数C ．是有零点的减函数D ．是没有零点的奇函数 解：由于()0cos 1≥-='x x f ，故()x f 为增函数，又()()()()0sin sin =---+-=-+x x x x x f x f ，则()x f 为奇函数，且()00=f ，A 、C 、D 均错，选B 。
例2：已知函数f （x ）=，若a =f （ln3），b =f （ln4），c=f （ln5），则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＞b ＞cB ．c ＞a ＞bC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a解：()x x x x ex e xe e x f -=-='12，故当()x f x ,1<为增函数，当()x f x ,1>为减函数，又，13ln 4ln 5ln >>>，故()()()5ln 4ln 3ln f f f >>，选A 。
1.下列函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（ ）A ．y=sin 2xB ．y=xe xC ．y=x 3﹣xD ．y=ln （1+x ）﹣x2.32()31f x x x =-+是减函数的区间为( )A ．(2,)+∞ Ｂ．(,2)-∞ Ｃ．(,0)-∞ Ｄ．(0,2)3.函数214y x x=+的单调增区间为（ ） A ． (0)+∞， B ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， C ．(1)-∞-， D ．12⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭， 4.下列函数中，在区间(1)+∞，上为增函数的是（ ） A ． 21x y =-+ B ．1x y x =- C ．2(1)y x =-- D ．12log (1)y x =- 5.函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是 ．6.三次函数3()1y f x ax ==-在()-∞+∞，内是减函数，则（ ） A ． 1a = B ．2a = C ．0a ≤ D ．0a <7.函数2()(1)f x x x =-的单调递减区间是________．8.函数cos sin y x x x =-在下面哪个区间内是增函数（ ）A ． π3π22⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．(π2π)，C ．3π5π22⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．(2π3π)， 9.若y ax =与b y x=-在()0+∞，上都是减函数，对函数3y ax bx =+的单调性描述正确的是 A ．在()-∞+∞，上是增函数 B ．在()0+∞，上是增函数 C ．在()-∞+∞，上是减函数 D ．在()0-∞，上是增函数，在()0+∞，上是减函数 10.函数()()()321483f x ax a x b x b =+-+-+的图象关于原点中心对称，则()f x （ ）A ．在343⎡⎤-⎣⎦上为增函数B ．在433⎡-⎣上为减函数C ．在)43⎡+∞⎣上为增函数，在(43⎤-∞-⎦，上为减函数D ． 在(3-∞-，上为增函数，在)3⎡+∞⎣上为减函数 函数的单调性函数单调性的判定方法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果)('x f ＞0，则)(x f y =为增函数；如果)('x f ＜0，则)(x f y =为减函数.例3：（2015•新课标II ）设函数f′（x ）是奇函数f （x ）（x ∈R ）的导函数，f （﹣1）=0，当x ＞0时，xf′（x ）﹣f （x ）＜0，则使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B ．（﹣1，0）∪（1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D ．（0，1）∪（1，+∞） 解：由于当x ＞0时，()2()()0f x xf x f x x x '⎡⎤'-=<⎢⎥⎣⎦，则()f x x 为减函数；又()01=-f ()x f 为奇函数，则()01=f ，当x ＞1时，()0<x f ，当0<x<1时，()0>x f ,根据奇函数的图像可得()0>x f 成立的x 的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（0，1），选A 。
高中数学 1.3.1利用导数判断函数的单调性教学设计 新人教B版选修2-2
《利用导数判断函数的单调性》教学设计课题 利用导数判断函数的单调性教材 人教B 版《数学》选修2-2课时 1课时教学目标知识目标：借助于函数的图像了解函数的单调性与导数的关系；会判断具体函数在给定区间上的单调性；会求具体函数的单调区间。
能力目标：培养学生的观察能力、归纳能力，增强数形结合的思维意识。
情感目标：通过实例探究函数单调性与导数关系的过程，体会知识间的相互联系和运动变化的观点，提高理性思维能力。
重点与难点教学重点：利用导数判断函数的单调性。
教学难点：提高灵活应用导数法解决有关函数单调性问题的能力。
教学方法1．教学方法的选择：1．自主探究法、比较法2．教学手段的利用：本节课采用多媒体课件等辅助手段以加大课堂容量，通过数形结合，使抽象的知识直观化、形象化，以促进学生的理解。
教学准备多媒体（画出函数①2()21y f x x x ==-+ ②2()21y f x x x ==--+③3()y f x x x ==-在同一个坐标系下的图象）；教学过程（一）回顾与思考1．如何判断函数221y x x =--的单调性？（引导学生回顾“定义法”与“图象法”） 说明： 通过本题使学生巩固常用判断单调性的方法（1）定义法（2）图象法，为导数法的引入作好铺垫作用。
2．如何判断函数3y x x =-的单调性？x y e x =-，ln y x x =呢？3．还有其它方法吗？（引出课题）学生思考、并举手回答。
说明： 通过本题使学生认识到（1）定义法（2）图象法不再适用，培养学生提出问题的能力，从而为导数法的引入提供必要性和合理性，本例也是整节课学生思维开始活跃的开始，为思维的合理、有序的发展奠定了基调。
（二）观察与表达引例：观察函数3y x x =-的图像问题：1．直观判断函数的单调区间是什么？2．观察单调性与函数图像在相应区间上切线的斜率有何关系？3．总结单调性与函数在相应区间上的导数有何关系？（引导学生总结，教师板书）函数单调性与函数在相应区间上的导数的关系：在某个区间()b a ,内，()()x f x f ⇒>0'在()b a ,内单调递增；()()x f x f ⇒<0'在()b a ,内单调递减。
利用导数解决函数单调性教案
利用导数判断函数的单调性教学目标：1、理解导数与函数的单调性的关系,并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间，掌握用导数研究函数单调性的方法。
2、能由导数信息作出函数的大致图象，提高学生运用导数解决函数问题的能力.3、能解决含参数函数的单调性问题；能利用导数、函数的单调性转证三次不等式4、培养学生的观察、比较、分析、概括的能力，数形结合思想、转化思想、函数思想、分类讨论的数学思想。
教学重点：理解函数的单调性与其导数的关系，会利用导数研究函数的单调性。
教学难点：函数单调区间合并的判断。
教学方法：启发式、探究式教学用具：多媒体教学思路与设计：我们已复习了函数，函数是中学数学中的核心问题，正确认识函数的性质是运用函数处理问题的基本要求。
导数是研究函数图像和性质的重要工具，利用导数来研究函数的单调性比定义法、图像法更简便，是导数几何意义在研究曲线变化规律时地一个重要应用，对研究函数的最值问题，具有良好的承上启下的作用。
学生已掌握了函数的单调性的基本概念，判断方法、导数的概念，以及导数的计算，为综合应用导数与函数单调性作好充分的准备。
作为复习课首先明确考纲的要求：了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）。
自从导数进入高中数学以来，函数导数是核心内容，函数的单调性是基础点，运用不等式、导数等工具研究函数是交汇点，有关函数导数问题一直是考查的热点，相对高考题所处的位置而言，不太难，我们的学生能够接受，通过认真复习，培养学生掌握一定的分析问题和解决问题的能力，激发学生独立思考和创新的意识。
相信我们的学生是能充分掌握好这一部分内容的。
教学过程（一）、引入1、我们已经复习了函数，学习了函数的单调性，什么是函数的单调性？2、讨论函数12-=x y 的单调性。
3、用导数法判断函数的单调性用函数的导数判断函数单调性的法则：设函数y =f (x )在区间(a,b )内可导，（1）如果在某个区间内，0)(/>x f ，则 f (x )在此区间是增函数，这个区间为f (x )的单调增区间；（2）如果在某个区间内，0)(/<x f ，则f (x )在此区间是减函数，这个区间为f (x )的单调减区间。
公开课《利用导数判断函数的单调性》教学设计
1.3.1利用导数判断函数的单调性教学设计教材分析:本节内容为人教B版选修2-2第一章导数及其应用1.3.1利用导数判断函数的单调性。
在此之前已经学习了函数、函数的单调性、导数、导数的运算，对学习本节内容有了知识储备。
函数的单调性是函数的一个非常重要的性质，以前主要通过函数单调性的定义来解决问题，学习了导数之后，利用导数研究函数的单调性成为一个重要手段，同时为利用导数研究函数的极值提供了知识和方法的支撑。
本节内容起到了一个承上启下的作用。
学生学情分析：高一学生学过函数的单调性的定义，并能用定义证明判断函数的单调性，但是由于用定义证明判断函数的单调性比较繁琐，学生应用起来并不能得心应手，在高二学习了导数后，学生在有了导数、导数的几何意义、导数的四则运算等知识基础上，能更快的接受利用导数研究函数的单调性。
本节应重点让学生认识到导数可以作为一种工具和手段来研究函数的性质。
教学目标：知识与技能：理解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性.理解分类讨论的数学思想。
过程与方法：通过本节的学习，掌握利用导数判断函数单调性的方法及简单应用；情感、态度与价值观：通过实例探究函数的单调性与导数的关系的过程，体会知识间的相互联系和运动变化的观点，提高理性思维能力.教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性及简单应用；教学难点：利用导数的符号判断函数的单调性；判断复合函数的单调区间及应用.教学方法：自主探究、讲练结合。
教学过程：一、复习提问导入：1、必修一中，如何定义函数单调性的？2、导数的几何意义是什么？二、自学总结：1、设函数y＝f(x)在区间(a，b)上的导数为f′(x) ，如果，那么函数y＝f(x)在此区间是增函数；区间(a，b)为f(x)的单调增区间。
如果，那么函数y＝f(x)在此区间是减函数．区间(a，b)为f(x)的单调减区间。
2、从导数定义看，函数的导数就是函数值关于自变量的，变化率的绝对值越大说明变得越，绝对值越小说明变得越；3、从函数的图象看，导数是切线的，斜率的绝对值大说明切线，曲线也就陡，斜率的绝对值小说明切线较，曲线也就平缓一些．（教师提问学生完成，师生总结利用导数判断函数单调性的方法，和观察函数图象的陡峭平缓情况看函数的变化率快慢）三、自主探究：可导函数f(x)在(a，b)上递增(减)的充要条件是什么？提示可导函数f(x)在(a，b)上递增(减)的充要条件是f′(x)≥0(f ′(x )≤0)在(a ，b )上恒成立，且f ′(x )在(a ，b )的任意子区间内都不恒等于零．这就是说，函数f (x )在区间上的单调性并不排斥在区间内的个别点处有f ′(x )＝0.四、例题讲析：例2 求下列函数的单调区间1、 f (x )＝x 2－2x+42、 f (x )＝x 3 －4x 2＋x － 1，3、 f (x )＝3x 2－2ln x答案：1.(－∞，1)是减区间,(1，＋∞)是增区间3.⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞是增区间 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33是减区间（学生总结：利用导数判断函数单调性的步骤：(1) 确定函数f (x )的定义域；(2) 求出函数的导数；(3) 解不等式f '(x )＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f '(x )＜0，得函数的单调递减区间．）例3 已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的递增区间是__________________.解析 f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x .令f ′(x )＝x cos x >0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 即f (x )的递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 （学生练习教师点评：注意三角不等式的解法，单调区间的写法） 例4 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋1，a ∈R.(1)讨论函数f (x )的单调区间；(2)设函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－13内是减函数，求a 的取值范围． 解 (1)f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋1，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1，当Δ＝(2a )2－3×4＝4a 2－12≤0，即－3≤a ≤3时，f ′(x )≥0恒成立，此时f (x )为单调递增函数，单调增区间为(－∞，＋∞)．当Δ＝(2a )2－3×4＝4a 2－12>0，即a >3或a <－3时，函数f ′(x )存在零点，此时当x <－a －a 2－33时，f ′(x )>0， 当x >－a ＋a 2－33时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当－a －a 2－33<x <－a ＋a 2－33时，f ′(x )<0，函数 f (x )单调递减． 2)若函数在区间⎝⎛⎭⎪⎫－23，－13内是减函数，则说明 f ′(x ) ≤0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－13上恒成立， 因此f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－23≤0，且f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13≤0，由此可以解得a ≥2. 因此a 的取值范围是[2，＋∞)．（师生共同完成，总结含参数的函数的单调区间的求法，对f ′(x )＝0的根的有无，根的大小，根是否在所给的区间内进行讨论是常用的方法。
学案1：3.2 导数与函数的单调性、极值、最值
3.2 导数与函数的单调性、极值、最值【导学目标】1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)．【重点知识梳理】1．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．2．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．【高频考点突破】考点一利用导数研究函数的单调性例1 已知函数f (x )＝e x －ax －1.(1)求f (x )的单调增区间；(2)是否存在a ，使f (x )在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a 的取值范围，若不存在，请说明理由．【拓展提高】(1)利用导数的符号来判断函数的单调性；(2)已知函数的单调性求参数范围可以转化为不等式恒成立问题；(3)f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上f ′(x )不恒为零．应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．【变式探究】(1)设函数f (x )＝13x 3－(1＋a )x 2＋4ax ＋24a ，其中常数a >1，则f (x )的单调减区间为_____________________．(2)已知a >0，函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调递增函数，则a 的取值范围是________．考点二 利用导数求函数的极值例2 (2014·福建)已知函数f (x )＝e x －ax (a 为常数)的图象与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值；(2)证明：当x >0时，x 2<e x .【拓展提升】(1)导函数的零点并不一定就是原函数的极值点．所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是原函数的极值点．(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．【变式探究】 设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数． (1)当a ＝43时，求f (x )的极值点； (2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．考点三 利用导数求函数的最值例3 已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.71828…为自然对数的底数． 设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值．【拓展提升】(1)求解函数的最值时，要先求函数y ＝f (x )在(a ，b )内所有使f ′(x )＝0的点，再计算函数y ＝f (x )在区间内所有使f ′(x )＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．(2)可以利用列表法研究函数在一个区间上的变化情况．【变式探究】 已知函数f (x )＝(x －k )e x .(1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值．【真题感悟】1.（2015高考江苏）已知函数),()(23R b a b ax x x f ∈++=.（1）试讨论)(x f 的单调性；（2）若a c b -=（实数c 是a 与无关的常数），当函数)(x f 有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是),23()23,1()3,(+∞--∞ ，求c 的值.2.（2014·广东卷） 曲线y ＝e －5x ＋2在点(0，3)处的切线方程为________．3.（2014·江西卷） 若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．4.（2014·江西卷） 已知函数f (x )＝(x 2＋bx ＋b )1－2x (b ∈R)．(1)当b ＝4时，求f (x )的极值；(2)若f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，13上单调递增，求b 的取值范围．5.（2014·全国卷） 曲线y ＝x e x－1在点(1，1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．16.（2014·新课标全国卷Ⅱ）设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．37.（2013·新课标全国卷Ⅰ）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x≤0，ln （x ＋1），x ＞0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2，1]D ．[－2，0]8.（2013·广东卷） 若曲线y ＝kx ＋ln x 在点(1，k )处的切线平行于x 轴，则k ＝________．9.（2013·江西卷） 设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________．10.（2013·北京卷） 设L 为曲线C ：y ＝ln x x在点(1，0)处的切线． (1)求L 的方程；(2)证明：除切点(1，0)之外，曲线C 在直线L 的下方．11.（2013·全国卷） 若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞是增函数，则a 的取值范围是( ) A ．[－1，0] B ．[－1，＋∞)C ．[0，3]D ．[3，＋∞)【提升训练】1．与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线方程是( )．A ．2x －y ＋3＝0B ．2x －y －3＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x －y －1＝02．若函数h (x )＝2x －k x ＋k 3在(1，＋∞)上是增函数，则实数k 的取值范围是( )． A ．[)2,-+∞B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，2)3．函数f (x )＝(4－x )e x 的单调递减区间是( )．A ．(－∞，4)B ．(－∞，3)C ．(4，＋∞)D ．(3，＋∞)4．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1a处有极值，则ab 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．3 D ．－35．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( )．A ．f (0)＋f (2)<2f (1)B ．f (0)＋f (2)≤2f (1)C ．f (0)＋f (2)≥2f (1)D ．f (0)＋f (2)>2f (1)6．已知函数f (x )的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表．f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示．下列关于函数f (x )的命题：①函数y ＝f (x )是周期函数；②函数f (x )在[0,2]上是减函数；③如果当x ∈[－1，t ]时，f (x )的最大值是2，那么t 的最大值为4；④当1<a <2时，函数y ＝f (x )－a 有4个零点．其中真命题的个数有 ( )．A ．4B ．3C ．2D ．17．函数y ＝x －2sin x 在[0，π]上的递增区间是________．8．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值．9．若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．10．已知函数y ＝－13x 3＋bx 2－(2b ＋3)x ＋2－b 在R 上不是单调减函数，则b 的取值范围是________．11．设函数f (x )＝ax 3－3x 2，(a ∈R )，且x ＝2是y ＝f (x )的极值点，求函数g (x )＝e x ·f (x )的单调区间．12．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R)．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋2'()2m x f x ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ 在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值范围．答案例1【变式探究】【答案】(1)(2,2a)(2)(0,3]例2【变式探究】例3【解析】 由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，有g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b .所以g ′(x )＝e x －2a .因此，当x ∈[0,1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]．当a ≤12时，g ′(x )≥0， 所以g (x )在[0,1]上单调递增，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当a ≥e 2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0,1]上单调递减， 因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ；当12<a <e 2时，令g ′(x )＝0得x ＝ln(2a )∈(0,1)， 所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间[ln(2a )，1]上单调递增．于是，g (x )在[0,1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b .综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0,1]上的最小值是 g (0)＝1－b ；当12<a <e 2时，g (x )在[0,1]上的最小值是 g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ；当a ≥e 2时，g (x )在[0,1]上的最小值是 g (1)＝e －2a －b .【变式探究】(2)当k －1≤0，即k ≤1时，f (x )在[0,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ；当0<k －1<1，即1<k <2时，f (x )在[0，k －1]上单调递减，在[k －1,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1；当k －1≥1，即k ≥2时，f (x )在[0,1]上单调递减，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.综上，当k ≤1时，f (x )在[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ；当1<k <2时，f (x )在[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1；当k ≥2时，f (x )在[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.【真题感悟】1.（2015高考江苏分）【答案】（1）当时， 在上单调递增；当时， 在，上单调递增，在上单调递减； 当时， 在，上单调递增，在上单调递减． （2）0a =()f x (),-∞+∞0a >()f x 2,3a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭()0,+∞2,03a ⎛⎫- ⎪⎝⎭0a <()f x (),0-∞2,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭20,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭1.c =2.（2014·广东卷）【答案】y ＝－5x ＋3 【解析】 本题考查导数的几何意义以及切线方程的求解方法．因为y ′＝－5e －5x ，所以切线的斜率k ＝－5e 0＝－5，所以切线方程是：y －3＝－5(x －0)，即y ＝－5x ＋3.3.（2014·江西卷）【答案】(－ln 2，2) 【解析】 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，y ′＝－e －x .又切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，所以－e－x 0＝－2，可得x 0＝－ln 2，此时y ＝2，所以点P 的坐标为(－ln 2，2)．4.（2014·江西卷）【解析】(1)当b ＝4时，f ′(x )＝－5x （x ＋2）1－2x，由f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝0. 所以当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(－2，0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，故f (x )在x ＝－2处取得极小值f (－2)＝0，在x ＝0处取得极大值f (0)＝4.(2)f ′(x )＝－x [5x ＋（3b －2）]1－2x ，易知当x ∈⎝⎛⎭⎫0，13时，－x 1－2x <0， 依题意当x ∈⎝⎛⎭⎫0，13时，有5x ＋(3b －2)≤0，从而53＋(3b －2)≤0，得b ≤19. 所以b 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，19. 5.（2014·全国卷）【答案】C 【解析】 因为y ′＝(x e x －1)′＝e x －1＋x e x －1，所以y ＝x e x－1在点(1，1)处的导数是y ′|x ＝1＝e 1－1＋e 1－1＝2，故曲线y ＝x e x－1在点(1，1)处的切线斜率是2. 6.（2014·新课标全国卷Ⅱ）【答案】D【解析】 y ′＝a －1x ＋1，根据已知得，当x ＝0时，y ′＝2，代入解得a ＝3. 7.（2013·新课标全国卷Ⅰ）【答案】D 【解析】若x ≤0，|f (x )|＝|－x 2＋2x |＝x 2－2x ，x ＝0时，不等式恒成立，x <0时，不等式可变为a ≥x －2，而x －2<－2，可得a ≥－2；若x >0，|f (x )|＝|ln(x ＋1)|＝ln(x ＋1)，由ln(x ＋1)≥ax ，可得a ≤ln （x ＋1）x 恒成立，令h (x )＝ln （x ＋1）x ，则h ′(x )＝x x ＋1－ln （x ＋1）x 2，再令g (x )＝x x ＋1－ln(x ＋1)，则 g ′(x )＝－x （x ＋1）2<0，故g (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以g (x )<g (0)＝0，可得h ′(x )＝x x ＋1－ln （x ＋1）x 2<0，故h (x )在(0，＋∞)上单调递减，x →＋∞时，h (x )→0， 所以h (x )>0，a ≤0.综上可知，－2≤a ≤0，故选D.8.（2013·广东卷）【答案】－1【解析】 ∵y ′＝k ＋1x，∴y ′|x ＝1＝k ＋1＝0，故k ＝－1. 9.（2013·江西卷）【答案】2【解析】 f (e x )＝x ＋e x ，利用换元法可得f (x )＝ln x ＋x ，f ′(x )＝1x＋1，所以f ′(1)＝2. 10.（2013·北京卷）【解析】(1)设f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1－ln x x 2. 所以f ′(1)＝1.所以L 的方程为y ＝x －1.(2)令g (x )＝x －1－f (x )，则除切点之外，曲线C 在直线L 的下方等价于g (x )>0(x >0，x ≠1)． g (x )满足g (1)＝0，且g ′(x )＝1－f ′(x )＝x 2－1＋ln x x 2. 当0<x <1时，x 2－1<0，ln x <0，所以g ′(x )<0，故g (x )单调递减；当x >1时，x 2－1>0，ln x >0，所以g ′(x )>0，故g (x )单调递增．所以g (x )>g (1)＝0(x >0，x ≠1)．所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方．11.（2013·全国卷）【答案】D【解析】 f ′(x )＝2x ＋a －1x 2≥0在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上恒成立，即a ≥1x 2－2x 在⎝⎛⎭⎫12 ，＋∞上恒成立，由于y ＝1x 2－2x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递减，所以y <3，故只要a ≥3. 【提升训练】1．【解析】设切点坐标为(x 0，x 20)，则切线斜率为2x 0， 由2x 0＝2得x 0＝1，故切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.【答案】D2．【解析】由条件得h ′(x )＝2＋k x 2＝2x 2＋k x 2≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥－2x 2在(1，＋∞)上恒成立，所以k ∈[)2,-+∞．【答案】A3．【解析】f ′(x )＝-e x ＋(4－x )·e x ＝e x (3－x )，令f ′(x )<0，由于e x >0，∴3－x <0，解得x >3.【答案】D4．【解析】f ′(x )＝3ax 2＋b ，由f ′⎝⎛⎭⎫1a ＝3a ⎝⎛⎭⎫1a 2＋b ＝0，可得ab ＝－3.故选D. 【答案】D5．【解析】不等式(x －1)f ′(x )≥0等价于1010'()0'()0x x f x f x -≥-≤⎧⎧⎨⎨≥≤⎩⎩或可知f (x )在(－∞，1)上递减，(1，＋∞)上递增，或者f (x )为常数函数，因此f (0)＋f (2)≥2f (1)．【答案】C6．【答案】D7．【解析】y ′＝1－2cos x ，令1－2cos x ≥0，得cos x ≤12，解得2k π＋π3≤x ≤2k π＋53π，k ∈R ，又0≤x ≤π，∴π3≤x ≤π. 【答案】⎣⎡⎦⎤π3，π8．【解析】f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0， 当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，显然当x ＝2时f (x )取极小值．【答案】29．【答案】(－∞，0)10．【解析】y ′＝－x 2＋2bx －(2b ＋3)，要使原函数在R 上单调递减，应有y ′≤0恒成立，∴Δ＝4b 2－4(2b ＋3)＝4(b 2－2b －3)≤0，∴－1≤b ≤3，故使该函数在R 上不是单调减函数的b 的取值范围是b <－1或b >3.【答案】(－∞，－1)∪(3，＋∞)11．【解析】f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)．因为x ＝2是函数y ＝f (x )的极值点．所以f ′(2)＝0，即6(2a －2)＝0，因此a ＝1，经验证，当a ＝1时，x ＝2是函数f (x )的极值点，所以g (x )＝e x (x 3－3x 2)，g ′(x )＝e x (x 3－3x 2＋3x 2－6x )＝e x (x 3－6x )＝x (x ＋6)(x －6)e x .因为e x >0，所以y ＝g (x )的单调增区间是(－6，0)和(6，＋∞)；单调减区间是(－∞，－6)和(0，6)．12.【解析】 (1)根据题意知，f ′(x )＝()1a x x- (x ＞0)， 当a ＞0时，f (x )的单调递增区间为(0,1]，单调递减区间为(1，＋∞)；当a ＜0时，f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1]；当a ＝0时，f (x )不是单调函数．(2)∵f ′(2)＝－a 2＝1，∴a ＝－2， ∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3.∴g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2－2x ，∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数，且g ′(0)＝－2，由题意知：对于任意的t ∈[1,2]，g ′(t )＜0恒成立，∴－373＜m ＜－9.。
利用导数判断函数的单调性教案
利用导数判断函数的单调性教案一、教学目标1. 让学生理解导数的定义和几何意义；2. 学会利用导数判断函数的单调性；3. 能够运用单调性解决实际问题。
二、教学重难点1. 导数的定义和几何意义；2. 利用导数判断函数的单调性。
三、教学方法1. 讲解法：讲解导数的定义、几何意义和判断函数单调性的方法；2. 示例法：通过典型例题演示和分析，让学生掌握判断函数单调性的技巧；3. 练习法：让学生在练习中巩固所学知识，提高解题能力。
四、教学准备1. 导数的定义和几何意义的相关资料；2. 典型例题及解题思路；3. 练习题。
五、教学过程1. 导入：回顾导数的定义和几何意义，引导学生思考如何利用导数判断函数的单调性。
2. 新课讲解：讲解如何利用导数判断函数的单调性，并举例说明。
3. 示例分析：分析典型例题，引导学生掌握判断函数单调性的方法和技巧。
4. 练习巩固：让学生独立完成练习题，检验对导数判断函数单调性的掌握程度。
5. 课堂小结：总结本节课的主要内容和知识点，强调重点和难点。
6. 布置作业：布置相关练习题，让学生进一步巩固所学知识。
六、教学反思在课后对教学效果进行反思，看学生是否掌握了利用导数判断函数单调性的方法，及时调整教学策略，提高教学效果。
七、课时安排本节课安排2课时，共计45分钟。
八、教学评价通过课堂讲解、练习题和课后作业，评价学生对利用导数判断函数单调性的掌握程度。
九、教学拓展引导学生思考如何利用导数判断函数的极值和拐点，为后续课程做铺垫。
十、教学资源1. 导数的定义和几何意义的相关教材和资料；2. 典型例题及解题思路的PPT；3. 练习题及答案。
六、教学活动设计1. 课堂导入：通过回顾上一节课的内容，引导学生思考如何利用导数来判断函数的单调性。
2. 新课讲解：详细讲解利用导数判断函数单调性的方法和步骤，并通过示例进行说明。
3. 小组讨论：让学生分成小组，讨论如何解决一些复杂的函数单调性问题，并分享各自的解题思路。
《导数的使用---单调性判定》导学案
《导数的使用---单调性判定》导学案目标展示：1、准确掌握函数的单调性与导数取值特征的关系。
2、能使用函数的导数求函数的单调区间。
3、初步掌握含参函数单调区间的确定方法。
课程导读（阅读教材P7和22---P23后完成下列各题）1、 可导函数在区间()b a ,内单调递增，其导数值有什么特点？在区间()b a ,内单调递减，其导数值有什么特点？请你用图像加以说明。
2、考虑相反情况，若函数)(x f 在区间()b a ,内的导数满足()0'≥x f，函数在此区间单调递增吗？请举例说明。
3、求函数单调递增区间的方法是说明？你觉得应注意哪些地方？4、 函数)(x f 的图像如图所示，下列数值排序准确的是（ ）（A ）)2()3()3()2(0//f f f f -<<< （B ） )2()2()3()3(0//f f f f <-<< （C ）)2()3()2()3(0//f f f f -<<< （D ）)3()2()2()3(0//f f f f <<-<5、()f x '是)(x f 的导函数，()f x '的图象如右图所示，则)(x f 的图象只可能是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）6、函数x x x x f --=23)(的单调减区间是（ ）A ．（)31,-∞- B.),1(∞ C ．（)31,-∞-，),1(∞ D.)1,31(- 7、函数xx x f sin )(=，则（ ） A ．)(x f 在),0(π内是减函数 B. )(x f 在),0(π内是增函数C ．)(x f 在)2,2(ππ-内是减函数 D. )(x f 在)2,2(ππ-内是增函数 8、下列函数中,在),0(+∞上为增函数的是 （ ）A.y=sinx+1,B.x xe y =C.x x y -=3D.x x y -+=)1ln(9、函数x e x x f -⋅=)(的一个单调递增区间是（ ）(A)[]0,1- (B) []8,2 (C) []2,1 (D) []2,010、函数y=x+cosx 在（-∞，+∞）内是（ ）A 增函数B 减函数C 有增有减D 不能确定11、若函数)(x f 在R 上是一个可导函数，则0)(>'x f 在R 上恒成立是)(x f 在区间 ),(∞-∞内递增的（ ）A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件12．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能准确的是（ ）13、函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如下图所示，则导函数y=f '(x)可能为 （ ）14、（2012安徽省合肥市质检文）已知函数)(x f 的导函数的图像如图所示，若ABC ∆为锐角三角形，则一定成立的是 （ ）A ．))(cos )(sinB f A f > B ．))(cos )(sin B f A f <C ．)(sin )(sin B f A f >D ．))(cos )(cos B f A f >15、函数x e xx f -=)( ()1<<b a ,则（ ）A ．)()(b f a f = B. )()(b f a f < C ．)()(b f a f > D.)(),(b f a f 大小关系不能确定16、已知x R ∈时，函数)(),(x g x f 满足：()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ ）A ．()0()0f x g x ''>>，B ．()0()0f x g x ''><，C ．()0()0f x g x ''<>，D ：()0()0f x g x ''<<，17．设2:()e ln 21x p f x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的（ ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件18、函数))2,0((cos 5)(π∈++=x x x x f 的单调增区间是 .19、已知函数)0(2)(3>+=a x ax x f ,则)(x f 单调递增区间是20、函数x x y 12-=单调区间是 ，x x y ln 22-=单调区间是方法导练：1．已知函数d ax bx x x f +++=23)(的图象过点P （0,2）,且在点M ))1(,1(--f 处的切线方程为076=+-y x .x y O A x y O B x y O C x y O D xyO（Ⅰ）求函数)(x f y =的解析式； （Ⅱ）求函数)(x f y =的单调区间.2. 若函数3211()(1)132f x x ax a x =-+-+在区间(1,4)内为减函数，在区间(6,)+∞上为增函数，试求实数a 的取值范围．3. 若函数343y x bx =-+有三个单调区间，求b 的取值范围．点拨评析：1、 可导函数在区间内满足.0)('≥x f 则函数在此区间内单调递增；若满足.0)('≤x f 则函数在此区间内单调递减。
高中数学_3.3.1 利用导数判断函数的单调性教学设计学情分析教材分析课后反思
《导数专项复习》教学设计一、教学目标：导数之难,难在对函数单调性的认识.并且导数工具的运用,充分体现了“数形结合思想”.问题研究的核心就是“函数的单调性”.结合本节试题的结构和内容分析，结合着高三年级学生他们的认知结构及其心理特征，我制定了以下的教学目标：1. 认知目标：理解2.能力目标:培养学生分析问题和解决问题的能力,从小处入手,过渡到整体.3.情感、态度、价值观目标:注重学生的终身发展,体现学科育人,教给学生处理问题和解决问题的方法,即抓主要矛盾!二、教学重点、难点：本着高考大纲要求,在吃透本节知识内容的基础上，我确定了以下的教学重点和难点: 教学重点：导数核心函数的发现重点的依据：只有掌握了核心函数的解决方法，才能理解和掌握利用导数工具处理函数的问题.教学难点：导数核心函数的处理难点的依据：导数核心函数的处理方法可能会遇到分类讨论,逐个击破,多次求导等处理方法,方法的选择对学生来说较为困难。
三、教材分析：《导数专项复习》是高三第二轮复习的重点内容之一,是高考数学的必考内容,并且在高考试卷中常以压轴试题出现。
因此，本节内容在高考备考中具有不容忽视的重要的地位。
而我们在教学的过程中发现,很多学生做导数的解答题,得分并不高,这引起了我对这一部分内容的高度关注.平时的教学之余就想:“学生的困难在何处,如何让学生突破这一难点? 能不能从高考命题的规律入手来进行研究?”所以,利用课余时间将最近几年卷的高考试题进行了专题研究,以期待学生在此能有一个大的突破.四、学情分析：我们都知道数学是一门培养人的逻辑思维能力的重要学科。
因此，在教学过程中，不仅要使学生“知其然”，还要使学生“知其所以然”。
我们在以师生既为主体，又为客体的原则下，展现获取理论知识、解决实际问题方法的思维过程。
考虑到我校高三年级学生的现状，我主要采取引导加点拨的教学方法，让学生真正的参与教学中去，而且在课堂活动中得到新的认识和体验，产生践行的愿望。
选修11利用导数判断函数的单调性教学设计
选修1-1《3.3.1 利用导数判断函数的单调性》教学设计一、对教材的认识导数的方法是今后全面研究微积分的重要方法和基本工具，在其它学科中同样具有十分重要的作用：在物理学、经济学等其它学科和生产、生活的各个领域都有广泛的应用。
导数的出现推动了人类事业向前发展；因此，在高中数学课程中设置导数的方法有其独特的价值和作用。
本章新课程中设置的内容与传统内容有很大的区别：首先是从结构上，不再是以往的“数列->数列的极限->函数的连续->导数->导数的应用->不定积分->定积分”这样的顺序，略去了对一般极限的学习；其次在内容的选择上，把重点放在导数及其应用上，注重于学生学会数学思考的一种方式--几何直观，反复通过图形去认识和感受导数的几何意义，加强对导数概念的认识和理解；同时在用导数的几何意义去解决问题的过程中，学会一种数学思考的数学学习的方式。
正是认识到导数的应用的重要性，人教社A版教材对于导数部分的编写精心设计，很有特色，A版教材与其它教材相比，一并给出导数和导函数两个概念，并且提及函数在开区间内每一点都可导，还指出不作特别说明，求导就是求导函数。
基于以上的认识和思考，我在认真研读课标和教材后，将“利用导数判断函数的单调性”这一节作为教学的重点内容之一。
二、教学目标（1）通过对实例的观察和研究，发现与的单调性之间的关系，培养学生研究函数性质的意识和能力；（2）能探索并应用导数与函数的单调性的关系求函数的单调区间，能由导数信息做出函数图象.提高学生运用导数解决函数问题的能力；（3）通过在教学过程中让学生多观察、勤思考、善总结，养成良好的学习习惯，提高学生自主学习的能力。
三、教学重点难点重点：利用导数工具研究函数的单调性，培养学生研究函数性质的方法。
难点：探索导数的特征与研究函数性质之间的关系。
四、学法与教法学法：（1）合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题。
函数单调性与导数教案
函数单调性与导数教案一、教学目标：1. 让学生理解函数单调性的概念，能够判断简单函数的单调性。
2. 引导学生掌握导数的定义和计算方法，能够利用导数判断函数的单调性。
3. 培养学生运用函数单调性和导数解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 函数单调性的定义和判断方法。
2. 导数的定义和计算方法。
3. 利用导数判断函数的单调性。
4. 函数单调性和导数在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：函数单调性的判断方法，导数的计算方法，利用导数判断函数的单调性。
2. 教学难点：导数的计算方法，利用导数判断函数的单调性。
四、教学方法：1. 采用讲解法，引导学生理解函数单调性和导数的概念。
2. 采用案例分析法，让学生通过实际例子掌握函数单调性和导数的应用。
3. 采用练习法，巩固学生对函数单调性和导数的理解和掌握。
五、教学过程：1. 引入：通过生活中的例子，引导学生思考函数单调性的概念。
2. 讲解：讲解函数单调性的定义和判断方法，引导学生掌握函数单调性的基本概念。
3. 案例分析：分析实际例子，让学生通过计算导数判断函数的单调性。
4. 练习：布置练习题，让学生巩固对函数单调性和导数的理解和掌握。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调函数单调性和导数在实际问题中的应用。
6. 作业布置：布置课后作业，让学生进一步巩固对本节课内容的理解和掌握。
六、教学评估：1. 通过课堂提问，检查学生对函数单调性和导数概念的理解程度。
2. 通过课堂练习，评估学生对函数单调性和导数计算方法的掌握情况。
3. 通过课后作业，评估学生对函数单调性和导数应用能力的掌握。
七、教学拓展：1. 探讨函数单调性与导数在实际问题中的应用，如经济领域、物理领域等。
2. 引入更复杂的函数单调性和导数问题，如多变量函数的单调性、隐函数的导数等。
八、教学资源：1. 教学PPT：展示函数单调性和导数的定义、判断方法、计算示例等。
2. 练习题库：提供丰富的练习题，帮助学生巩固函数单调性和导数知识。
高中数学新湘教版精品学案《利用导数研究函数的单调性》0
利用导数研究函数的单调性【学习目标】了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性；【学习重难点】1．利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性；2．利用导数的符号判断函数的单调性；判断复合函数的单调区间及应用。
【学习过程】一、新知学习一般地，设函数f（）的定义域为I：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量1，2，当1＜2时，都有f（1）＜f（2），那么就说f（）在这个区间上是增函数。
当1＜2时，都有f（1）＞f（2），那么就说f（）在这个区间上是减函数。
二、基础达标1．f（）＝52－2的单调增区间为（）A．（错误!，＋∞）B．（－∞，错误!）C．（－错误!，＋∞）D．（－∞，－错误!）2．函数f（）＝3－152－33＋6的单调减区间为（）A．（－1，0）B．（－1，11）C．（0，11）D．（－1，33）3．函数＝f（）的导函数的图象如图所示，下列判断正确的是（）A．函数＝f（）在区间（－3，－错误!）内单调递增B．函数＝f（）在区间（－错误!，3）内单调递减C．函数＝f（）在区间（4，5）内单调递增D．函数＝f（）在区间（－2，2）内单调递减4．若函数＝f（）的导函数在区间上是增函数，则函数＝f（）在区间上的图象可能是（）5．设函数f（）在R上的导函数为f′（），且f（）＋f′（）＞2．下面的不等式在R上恒成立的是（）A．f（）＞0 B．f（）＜0 C．f（）＞D．f（）＜6．设函数f（）＝错误!（＞0且≠1），则函数f（）的单调增区间是__________，单调减区间是__________。
7．求下列函数的单调区间。
（1）f（）＝－3；（2）f（）＝32－2n 。
8．已知函数f（）＝（a＋1）n ＋a2＋1。
（1）讨论函数f（）的单调性；（2）设a≤－2，证明：对任意1，2∈（0，＋∞），|f（1）－f（2）|≥4|1－2|。
函数的单调性与导数第1课时学案精校版
学案5—1.3.1 函数的单调性与导数一、预习指导【学习目标】1.正确理解利用导数判断函数单调性的原理；2.掌握利用导数判断函数单调性的方法. 【重点、难点】重点：探索函数的单调性与导数的关系，求单调区间. 难点：利用导数判断函数的单调性.预习课本P22～26，思考并完成下列问题：（1）函数的单调性与导数的正负有什么关系？（2）利用导数判断函数单调性的步骤是什么？（3）怎样求函数的单调区间？【新知梳理】1．函数的单调性与其导数正负的关系在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间内单调 ；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间内单调 ；如果恒有()=0f x '，那么函数()y f x =在这个区间内是 .[点睛] 对函数的单调性与其导数正负的关系的两点说明(1)若在某区间上有有限个点使()=0f x '，在其余的点恒有()0f x '>，则()f x 仍为增函数(减函数的情形完全类似)．(2)()f x 为增函数的充要条件是对任意的(,)x a b ∈都有()0f x '≥且在(,)a b 内的任一非空子区间上()f x '不恒为0.2．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个函数在这个范围内变化的 ，其图象比较 .即()f x '越大，则函数()f x 的切线的斜率越大，函数()f x 的变化率就越大． 【小试身手】1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)（1）函数()f x 在定义域上都有()0f x '>，则函数()f x 在定义域上单调递增．( ) （2）函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．( ) （3）函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．( )（4）若函数()f x 在区间(,)a b 上可导，则“0)(>'x f ”是“()f x 在(,)a b 上单调递增”的充要条件.( ) 2．函数()(3)x f x x e =-的单调递增区间是( ) A ．(,2)-∞ B ．(0,3) C ．(1,4)D ．(2,)+∞3．函数()2sin f x x x =-在(,)-∞+∞上( ) A ．是增函数 B ．是减函数C ．在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减D ．在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增4. 函数3y x x =+在(,)-∞+∞上的图象是________(填“上升”或“下降”)的．二、知识结构题型一：函数单调性与导数的关系例1：已知导函数)(x f '的下列信息：当41<<x 时，0)(>'x f ；当1<x 或4>x 时，0)(<'x f ；当1=x 或4=x 时，0)(='x f .试画出函数)(x f 图象的大致形状.变式1：设导函数)(x f '的图象如图，则其原函数可能为（ ）题型二：求函数的单调区间例2：判断下列函数的单调性，并求出单调区间：（1）x x x f 3)(3+=；（2）32)(2--=x x x f ；（3）),0(,sin )(π∈-=x x x x f ；（4）11232)(23+-+=x x x x f .(1)利用导数求函数)(x f 的单调区间的一般步骤为： ①确定函数)(x f 的定义域； ②求导数)(x f '；③在函数)(x f 的定义域内解不等式0)(>'x f 和0)(<'x f ； ④根据③的结果确定函数)(x f 的单调区间．(2)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开．变式2：判断下列函数的单调性，并求出单调区间： （1）x e x f x-=)(；（2）x x x f ln 2)(2-=.题型三：判断或讨论函数的单调性例3：已知函数323()31f x ax x a=-+-，讨论函数()f x 的单调性．利用导数证明或判断函数单调性的思路变式3：判断函数31,()y ax a R =-∈在(,)-∞+∞上的单调性．题型四：利用导数求参数的取值范围例4：若函数3211()(1)132f x x ax a x =-+-+在区间(1,4)内单调递减，在(6,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围．1．利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即()0f x '≥(或()0f x '≤)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．(2)先令()0f x '>(或()0f x '<)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时()f x 是否满足题意． 2．恒成立问题的重要思路(1)()m f x ≥恒成立⇒max ()m f x ≥.(2)()m f x ≤恒成立⇒min ()m f x ≤.变式4：若22(),()2x af x a R x -=∈+在区间[1,1]-上是增函数，则实数a 的取值范围是________.三、针对练习1．下列函数中，在(0,)+∞内为增函数的是( )A ．x y sin =B ．x xe y =C ．x x y -=3D ．x x y -=ln 2.已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则有( )A ．f (2)<f (e)<f (3)B ．f (e)<f (2)<f (3)C ．f (3)<f (e)<f (2)D ．f (e)<f (3)<f (2) 3．函数y ＝x 4－2x 2＋5的单调递减区间为( ) A ．(－∞，－1)和(0,1)B ．[－1,0]和[1，＋∞)C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]和[1，＋∞)4．函数y ＝x ln x 在(0,5)上的单调性是( )A ．单调递增B ．单调递减C ．在)1,0(e 上单调递减，在)5,1(e上单调递增 D ．在)1,0(e 上单调递增，在)5,1(e上单调递减5．若函数y ＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是( ) A.),31(+∞ B.]31,(-∞ C.),31[+∞ D.)31,(-∞ 6．若函数y ＝a (x 3－x )的单调减区间为)33,33(-，则a 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0) C ．(1，＋∞) D ．(0,1)7．若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)内单调递增，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．(－∞，－1] C ．[2，＋∞) D ．[1，＋∞)8．设函数F (x )＝f (x )e x 是定义在R 上的函数，其中f (x )的导函数)(x f '满足)()(x f x f <'对于x ∈R 恒成立，则( )A ．f (2)>e 2f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0)B ．f (2)<e 2f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0)C ．f (2)<e 2f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0)D ．f (2)>e 2f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0) 9．函数f (x )＝cos x ＋32x 的单调递增区间是________．10．若函数y ＝13ax 3－12ax 2－2ax (a ≠0)在]2,1[-上为增函数，则a ∈________. 11．若函数y ＝－43x 3＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围是________. 12．已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋bx ，且0)1(,4)1(='-=-'f f . (1)求a 和b ；(2)试确定函数f (x )的单调区间．13．已知x ＞0，证明不等式ln(1＋x )＞x －12x 2成立．学案5—1.3.1 函数的单调性与导数答案【新知梳理】1．递增；递减；常函数． 2．快，陡峭. 【小试身手】1．(1)× (2)× (3)√ (4)×；2．D ；3．A ；4. 上升. 例1：略. 变式1：C.例2：【解析】（1）函数x x x f 3)(3+=的定义域为R ，033)(2>+='x x f ，因此，函数xx x f 3)(3+=在R 上单调递增.（2）32)(2--=x x x f 的定义域为R ，)1(2)(-='x x f ，当0)(>'x f ，即1>x 时，函数单调递增；当0)(<'x f ，即1<x 时，函数单调递减. 因此函数32)(2--=x x x f 的单调递增区间为),1(+∞，单调递减区间为)1,(-∞. （3）01cos )(<-='x x f ，因此函数x x x f -=sin )(在),0(π单调递减.（4）)(x f 定义域为R ，)2)(1(6)2(6)(2+-=-+='x x x x x f ，当0)(>'x f ，即2-<x 或1>x 时，函数单调递增；当0)(<'x f ，即12<<-x 时，函数单调递减.因此函数)(x f 的单调递增区间为)2,(--∞，),1(+∞，单调递减区间为)1,2(-.变式2：【解析】（1）x e x f x -=)(定义域为R ，1)(-='x e x f ，当01)(>-='xe xf ，即0>x 时，函数单调递增；当0)(<'x f ，即0<x 时，函数单调递减.因此函数x e x f x-=)(的单调递增区间为),0(+∞，单调递减区间为)0,(-∞.（2）x x x f ln 2)(2-=的定义域为),0(+∞，xx x x x x f )1)(1(222)(+-=-='，由于),0(+∞∈x ，当0)1)(1(2)(>+-='xx x x f ，即1>x 时，函数单调递增；当0)(<'x f ，即10<<x 时，函数单调递减.因此函数x x x f ln 2)(2-=的单调递增区间为),1(+∞，单调递减区间为)1,0(. 例3：【解析】由题设知a ≠0.2()3()f x ax x a '=-,令()0f x '=，得1220,x x a==. 当0a >时，若(,0)x ∈-∞，则()0f x '>.∴()f x 在区间(,0)-∞上为增函数． 若2(0,)x a ∈，则()0f x '<，∴()f x 在区间2(0,)a上为减函数． 若2(,)x a ∈+∞，则()0f x '>，∴()f x 在区间2(,)a+∞上是增函数． 当0a <时，若2(,)x a ∈-∞，则()0f x '<.∴()f x 在2(,)a-∞上是减函数． 若2(,0)x a ∈，则()0f x '>.∴()f x 在区间2(,0)a上为增函数． 若(0,)x ∈+∞，则()0f x '<.∴()f x 在区间(0,)+∞上为减函数．综上所述，当0a >时，()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，2(,)a +∞，单调递减区间为2(0,)a；当0a <时，()f x 的单调递增区间为2(,0)a ，单调递减区间为2(,)a-∞，(0,)+∞.变式3：【解析】∵23y ax '=.①当0a >时，0y '≥，函数在(,)-∞+∞上单调递增； ②当0a <时，0y '≤，函数在(,)-∞+∞上单调递减； ③当0a =时，0y '=，函数在(,)-∞+∞上不具备单调性. 例4：【解析】【法一 直接法】2()1f x x ax a '=-+-，令()0f x '=得1x =或1x a =-. 当11a -≤，即2a ≤时，函数()f x 在(1,)+∞内单调递增，不合题意． 当11a ->，即2a >时，()f x 在(,1)-∞和(1,)a -+∞上单调递增，在(1,1)a -上单调递减，由题意知(1,4)(1,1)a ⊂-且(6,)(1,)a +∞⊂-+∞，所以416a ≤-≤，即57a ≤≤.故实数a 的取值范围为[5,7]．【法二 转化为不等式的恒成立问题】2()1f x x ax a '=-+-，因为()f x 在(1,4)内单调递减，所以()0f x '≤在(1,4)上恒成立．即2(1)1a x x -≥-在(1,4)上恒成立，所以1a x ≥+，因为215x <+<，所以5a ≥.又因为()f x 在(6,)+∞上单调递增，所以()0f x '≥在(6,)+∞上恒成立，所以1a x ≤+，因为17x +>，所以7a ≤．综上知a 的取值范围为[5,7].变式4：【解析】2222()2(2)x ax f x x -++'=⋅+，由于()f x 在区间[1,1]-上是增函数，则2222()20(2)x ax f x x -++'=⋅≥+，则220x ax --≤对[1,1]x ∈-恒成立．令2()2g x x ax =--，则有(1)0(1)0g g -≤⎧⎨≤⎩，即120120a a +-≤⎧⎨--≤⎩，则[1,1]a ∈-.即a 的取值范围是[1,1]-． 针对练习1．解析：选B B 中，y ′＝(x e x )′＝e x ＋x e x ＝e x (x ＋1)＞0在(0，＋∞)上恒成立，∴y ＝x e x 在(0，＋∞)上为增函数．对于A 、C 、D 都存在x ＞0，使y ′＜0的情况．2.解析：选A 在(0，＋∞)内，f ′(x )＝12x ＋1x >0，所以f (x )在(0，＋∞)内是增函数，所以有f (2)<f (e)<f (3)． 3．解析：选A y ′＝4x 3－4x ，令y ′<0，即4x 3－4x <0，解得x <－1或0<x <1，所以函数的单调递减区间为(－∞，－1)和(0,1)，故应选A.4．解析：选C 由已知得函数的定义域为(0，＋∞)． ∵y ′＝ln x ＋1，令y ′＞0，得x ＞1e .令y ′＜0，得x ＜1e . ∴函数y ＝x ln x 在)1,0(e 上单调递减，在)5,1(e上单调递增．5．解析：选C y ′＝3x 2＋2x ＋m ，由条件知y ′≥0在R 上恒成立，∴Δ＝4－12m ≤0，∴m ≥13.6．解析：选A y ′＝a (3x 2－1)＝3a )33)(33(+-x x . 当－33＜x ＜33时，0)33)(33(<+-x x ，要使y ＝a (x 3－x )在)33,33(-上单调递减，只需0<'y ，即0>a . 7．解析：选D 因为f (x )＝kx －ln x ，所以f ′(x )＝k －1x .因为f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x >1时，f ′(x )＝k －1x ≥0恒成立，即k ≥1x 在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x >1，所以0<1x <1，所以k ≥1.故选D.8．解析：选C ∵函数F (x )＝f (x )e x 的导数F ′(x )＝f ′(x )e x －f (x )e x (e x )2＝f ′(x )－f (x )e x <0， ∴函数F (x )＝f (x )e x 是定义在R 上的减函数，∴F (2)<F (0)，即f (2)e 2<f (0)e 0，故有f (2)<e 2f (0)．同理可得f (2 016)<e 2 016f (0)．故选C.9．解析：因为f ′(x )＝－sin x ＋32＞0，所以f (x )在R 上为增函数．答案：(－∞，＋∞)10．解析：y ′＝ax 2－ax －2a ＝a (x ＋1)(x －2)>0，∵当x ∈(－1,2)时，(x ＋1)(x －2)<0，∴a <0.答案：(－∞，0).11．解析：∵y ′＝－4x 2＋a ，且y 有三个单调区间，∴方程y ′＝－4x 2＋a ＝0有两个不等的实根，∴Δ＝02－4×(－4)×a >0，∴a >0.答案：(0，＋∞).12．解析：(1)∵f (x )＝13x 3＋ax 2＋bx ，∴f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝－4，f ′(1)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＋b ＝－4，1＋2a ＋b ＝0.解得a ＝1，b ＝－3. (2)由(1)得f (x )＝13x 3＋x 2－3x .f ′(x )＝x 2＋2x －3＝(x －1)(x ＋3)．由f ′(x )>0得x >1或x <－3；由f ′(x )<0得－3<x <1.∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－3)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－3,1)．13．证明：设f (x )＝ln(1＋x )－x ＋12x 2，x ＞0,f ′(x )＝11＋x －1＋x ＝x 21＋x .当x ＞0时，f ′(x )＞0，则f (x )在(0，＋∞)内是增函数．∴f (x )＞f (0)＝0.∴当x ＞0时，不等式ln(1＋x )＞x －12x 2成立．。