[整理]一阶线性方程与常数变易法习题及解答.
常微分方程 2.2 线性方程与常数变易法
dx 2 x y 2 dy y
即
dx 2 x y dy y
p ( y ) dy
它是以x为未知函数 , y为自变量的线性方程 ，
故其通解为
x e
e
p ( y ) dy
( Q( y)e
dy c)
~
2 dy y
( ( y )e
2 dy y
dy c)
~
2019/4/6
常微分方程
电路的Kirchhoff第二定律:
2019/4/6
在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零 . 常微分方程
解: 设当开关K合上后, 电路中在时刻t的电流强度为I(t),
dI 则电流经过电感L, 电阻R的电压降分别为 L , RI , dt
于是由Kirchhoff第二定律, 得到
dI L RI E. dt 取开关闭合时的时刻为0, 即I (0) 0. dI R E I . 解线性方程: dt L L
通解,这里为n常数
dy n x n y e ( x 1) 解: 将方程改写为 dx x 1 dy n 首先,求齐次方程 y 的通解 dx x 1 dy n dy n y 分离变量得 y x 1 dx 从 dx x 1
两边积分得
ln y n ln x 1 c1
§2.2 线性方程与常数变易法
2019/4/6
常微分方程
在a( x) 0的区间上可写成 dy P( x) y Q( x) (1) dx 这里假设P( x),Q( x)在考虑的区间上是 x的连续函数 若Q( x) 0, 则(1)变为 dy P( x) y (2) dx (2)称为一阶齐次线性方程
常微分方程习题答案
常微分方程习题答案常微分方程习题是数学学科中的重要内容之一。
通过解答这些习题，可以帮助学生巩固和加深对常微分方程的理解和应用能力。
下面将通过几个实例来展示常微分方程习题的解答过程。
第一个习题是求解一阶线性常微分方程。
考虑方程dy/dx + y = x。
首先将方程改写为dy/dx = x - y。
这是一个一阶线性常微分方程，可以使用常数变易法求解。
设y = uv，其中u和v是关于x的函数。
将y = uv代入方程，得到u(dv/dx) + v(du/dx) + uv = x。
整理后得到du/dx = (x - v)/u。
将等式两边分别关于x求导，得到d^2u/dx^2 = (du/dx - v)/u。
将方程du/dx = (x - v)/u带入，得到d^2u/dx^2 = (x - v)/u。
这是一个二阶常微分方程，可以通过适当的变量代换和求解方法得到解析解。
最后再将u和v代入y = uv，即可得到原方程的解。
第二个习题是求解一阶非线性常微分方程。
考虑方程dy/dx = y^2 + x。
这是一个一阶非线性常微分方程，可以使用分离变量法求解。
将方程改写为dy/(y^2 + x) = dx。
对方程两边同时积分，得到∫dy/(y^2 + x) = ∫dx。
对左边的积分进行变量代换，令u = y^2 + x，得到1/2∫du/u = x + C。
对等式两边积分，得到1/2ln|u| = x + C。
再将u代回，得到1/2ln|y^2 + x| = x + C。
整理后得到ln|y^2 + x| = 2x + 2C。
最后再对等式两边取指数，得到|y^2 + x| = e^(2x + 2C)。
由于指数函数的定义域为正实数，所以可以去掉绝对值符号，得到y^2 + x = e^(2x + 2C)。
这就是原方程的解。
通过以上两个习题的解答过程，我们可以看到常微分方程习题的解答方法多种多样，需要根据具体的方程形式选择合适的方法进行求解。
2.2线性微分方程与常数变易法
练习 解
(3)
dy y 3 dx x y
1 , Q( y ) y 2 y
方程可以改写为:
dx 1 x y2 dy y
故通解为:
p( y )
xe
即:
1 dy y
( y e
2
1 dy y
1 2 c) y ( y c) 2
1 3 x y cy 2
§ 2.2 Linear ODE and variation of constants Method
dc ( x) ( x 1) n nc ( x)( x 1) n 1 nc ( x)( x 1) n 1 e x ( x 1) n dx
x dc ( x ) x c ( x ) e c 积分得 e 即 dx n x y ( x 1) (e c), c 为任意常数 故通解为
2) 用公式求方程通解
2
xe
1 dx y
[ ye
2
1 dy y
dy c] e
ln y 2
( ye
ln y 2
dy c)
1 x y ( dy c) y 2 ln y cy2 y x y 2 ln y cy2
2
§ 2.2 Linear ODE and variation of constants Method
练习 (2)
解
dy 2 xy 4 x dx
用公式求解, p( x) 2 x, Q( x) 4 x
ye
e
2 xdx
x2
e
即:
x2
( 4 xe dx c)
2.2线性微分方程与常数变易法
将初始条件 y(1) 1代入后得
3 c 2
x 3 y x ln x cx 2
3 4
故所给初值问题的解为
3 3 x y x ln x x 2 2
3 4
线性微分方程解的性质:
1.齐次方程的解或者恒为零，或恒不为零。
2.齐次方程任何解的线性组合仍是它的解。
3.齐次方程的任一解与非齐次方程的任一解之和仍 为非齐次方程的解。 4.非齐次方程的两解之差为对应齐次方程的解。
t0
t
t
x0 Me
t0
e s ds
x0 M [1 e(t0 t ) ]
x0 M
证毕。
例 设F(x)＝f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(－∞,+∞)
内满足以下条件: f ( x) g ( x), g ( x) f ( x), 且 f (0) 0, x f ( x) g ( x) 2e .
(2e ) 2 F ( x)
x 2
所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程: 2x F ( x) 2F ( x) 4e
F ( x) 2F ( x) 4e2 x
(2) 由一阶线性微分方程解的公式得
F ( x) e
2d x
2d x 4e e d x C 2x
dy n y e x ( x 1) n 解: 将方程改写为 dx x 1
dy n y 的通解 首先,求齐次方程 dx x 1
dy n dy n y 分离变量得 从 dx dx x 1 y x 1
两边积分得 ln y n ln x 1 c 1
精选习题第二章一阶微分方程的初等解法
【精选习题】第二章一阶微分方程的初等解法(总29页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第二章 一阶微分方程的初等解法2-1 已知⎰≠=xx dt t f x f 0,0 ,1)()(试求函数)(x f 的一般表达式。
解 对方程⎰=xdt t f x f 01)()(，两边关于x 求导得⎰=+'xx f dt t f x f 020)()()(，即0)()(1)(2=+'x f x f x f ， 分离变量，可求得)(21)(C x x f +±=，代入原方程可得0=C ，从而)(x f 的一般表达式为x x f 21)(=。
评注：本题中常数的确定不能直接通过所给积分方程得到，而是需将通解代回原方程来确定。
2-2 求具有性质)()(1)()()(s x t x s x t x s t x -+=+的函数)(t x ，已知)0(x '存在。
解 由导数的定义可得 s s x t x s x t x s x s t x s t x t x s s )]()(1[)()()(lim )()(lim)(200-+=-+='→→ ss x s x t x t x s )()()(1)(1lim 20⋅-+=→， 显然可得0)0(=x ，故)](1[)0()0()(lim )](1[)(202t x x sx s x t x t x s +⋅'=-⋅+='→ 分离变量，再积分可得])0(tan[)(C t x t x +'=，再由0)0(=x ，知0=C ，从而 ])0(tan[)(t x t x '=。
评注：本题是函数方程的求解问题，利用导数定义建立微分关系，转化为求解常微分方程的初值问题。
2-3 若0),(),(≠+y y x N x y x M ，证明齐次方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有积分因子),(),(1y x yN y x xM +。
一阶线性微分方程例题与习题
v1
C2
v2
解 设t时刻，容器内物质A的质量为x=x（t）， 浓度为 C2 , 由微元法，经过时间dt，容器内物 质A的增量dx为
dx =C1v 1 dt -C2v2 dt
或 又
增量=流入量-流出量
dx = C1v 1 -C2v2 dt
x C2 = V0 + v1 -v2 t
时又排出等量的室内气体，问30分钟后室内所
含 co2 的百分比。 解 设在t时刻，厂房内co 2 的百分比为 x t %, 由题意，在（1）式中，有 v 1 =v2 , 于是问题为
dx x = C1 - v 1 , 2 dt V0 x 0 =x . 0 现在 0.05% 3 3 V0 =45 15 6m , C1 = , v 1 =360m /s V0 代入（2），得
ds
x a s - x0
a x - x0
当
x
x0
e a s - x0 f ( s)e ds 时，有
x
0 lim
f s e
x x0
a x - x0
e f x b lim . x a a x a s - x0 当 f (s)e ds , 有
s a s - x0 x0
ds lim f C e
ds
1 a x- x0 lim f C e -1 x a
这与已知条件
x0
f (s)e
a s - x0
ds 矛盾, 于是有
x
lim f x 0.
例7 混合流体问题。容器内有含物质A的流体， 当t=0时，流体体积V0 ,物质A的质量为x0。 流入：流速 v1 ,浓度C1 ; 流出：流速 v2 . 求时刻t时容器中物质A的质量及流体浓度。
一阶线性微分方程及其解法
2）解法 常数变易法
3）通解公式
y
e
P(
x )dx
[
Q(
x
)e
P
(
x
)dx
dx
C
]
Ce P( x)dx e P( x)dx Q( x)e P( x)dxdx
齐次的 通解
非齐次 的特解
关于通解公式要注意：
P(x)dx
y e ( Q(x)eP(x)dxdx C)
只表示某一 个函数
解 分离变量 d y ex d x, y
两端积分
dy y
ex
d
x
ln y ex C1,
C
y Ceex为所求通解. (C为任意常数).
注意到:当C=0时即y=0也是方程的解
应用: 衰变问题: 放射性元素铀不断地放射出微粒子而变成其
它元素,铀的含量不断减少,由物理学知识,铀的衰变速度与未衰变 的原子的含量M成正比,已知t=0时,铀的含量为M0,求衰变过程中 铀含量M(t)随t的变化规律
,即
x yu
，故 dx u y du
dy
dy
代入得：
1 eu
u
y
du dy
1
u
0
这是关于变量u与x的可分离变量方程，
分离变量 ，并两边积分，得：
1 u
eu eu
du
1 dy y
故
ln(u eu ) ln y ln c
x
所以，原方程通解为 ：ye y x c
五、小结
解 v d M kM, (k 0)
dt
变量分离
dM kdt M
(这里显然有 d M 0) dt
两端积分 ln M kt lnt
高数下册第七章第五节一阶线性方程全微分方程
x
2). 3
25
五、1、( x y)2 2x C ；
2、 y 1 sin x 1 ； xC
2、2x ln y ln2 y C ；
3、 x Cy3 1 y2. 2
二、1、 y sin x 5ecos x 1；
2、2 y
x3
x
3e
1 x2
1
.
三、v
k1 k2
t
k1m k22
(1
k0
em
t
).
四、1、 xy x C ；
2、
x2 y2
C
2 3
x3 (ln
即
两端积分得对应齐u次 方Q程( x通)e解 P
(
x
)yd x C dx
e P C
(
x
)d
x
故原方程的通解
y
e
P(
x)d
x
Q(
x
)
e
P
(
x
)
d
x
d
x
C
即
y Ce P( x)d x
e P(x)d x
Q(
x
)
e
P
(
x
)d
x
d
x
齐次方程通解
u
2(x
3
1)2
C
3
4
例2. 求方程
dx xy
2 y
x y3
d
y
常微分方程 练习题
常微分方程练习题常微分方程练习题常微分方程是数学中的重要分支，也是应用数学中的基础知识。
通过解常微分方程，可以描述许多自然现象和工程问题。
在学习常微分方程的过程中，练习题是非常重要的一环，通过练习题的解答，可以加深对常微分方程的理解和应用。
下面，我们来看一些常微分方程的练习题。
1. 求解一阶线性常微分方程y' + 2xy = x解：这是一个一阶线性常微分方程，可以使用常数变易法来求解。
首先，求出齐次方程的通解：y' + 2xy = 0齐次方程的通解为 y = Ce^(-x^2)，其中 C 为常数。
然后，我们可以猜测特解形式为 y = u(x)e^(-x^2)，将其代入原方程得到： u'(x)e^(-x^2) + 2xu(x)e^(-x^2) + 2xu(x)e^(-x^2) = x简化后得到 u'(x)e^(-x^2) = xe^(x^2)，两边同时除以 e^(x^2) 得到：u'(x) = x对 u(x) 求积分，得到 u(x) = 1/2x^2 + C1，其中 C1 为常数。
将 u(x) 代入特解形式，得到特解为 y = (1/2x^2 + C1)e^(-x^2)。
因此，原方程的通解为 y = Ce^(-x^2) + (1/2x^2 + C1)e^(-x^2)，其中 C 和C1 为常数。
2. 求解二阶常系数齐次线性微分方程y'' + 4y' + 4y = 0解：这是一个二阶常系数齐次线性微分方程，可以通过特征方程来求解。
首先，设 y = e^(rx) 为方程的解，代入方程得到：r^2e^(rx) + 4re^(rx) + 4e^(rx) = 0化简后得到 r^2 + 4r + 4 = 0，解这个二次方程得到 r = -2。
因此，方程的通解为 y = (C1 + C2x)e^(-2x)，其中 C1 和 C2 为常数。
3. 求解二阶非齐次线性微分方程y'' - y' - 2y = 2x解：这是一个二阶非齐次线性微分方程，可以通过常数变易法来求解。
第四节 一阶线性微分方程第五节
2
2
2
dx
习题 7-4 // P315: 1(1,2,8), 2(4).
1.设函数 f ( x )在[0, π]上连续 , 且 ∫ f ( x )dx = 0,
π
∫0
π
7F f ( x ) cos xdx = 0, 试证 : 在(0, π )内至少存在
0
两个不同的点 ξ1 , ξ 2 , 使f (ξ1 ) = f (ξ 2 ).
7F
第五节 可降阶的高阶微分方程
一、y ( n ) = f ( x )型
解法：逐次积分法.
( 3) 求方程 y = sin x 的通解. 例1
解
方程两端分别逐次积分, 得 :
y ( 2) = ∫ sin xdx = − cos x + C1
y′ = ∫ ( − cos x + C1 )dx = − sin x + C1 x + C 2 y = ∫ ( − sin x + C1 x + C 2 )dx
∴ u′( x ) = Q( x )e ∫ P ( x )dx
积分得 u( x ) = ∫ Q( x )e ∫
P ( x )dx
dx + C ,
− P ( x )dx dx + C )e ∫ ,
∴ 非齐次方程的解为y = ( ∫ Q( x )e ∫
P ( x )dx
y = ( ∫ Q( x )e ∴ 非齐次方程的解为
dx + C )e
− ∫ P ( x )dx
.
P ( x )dx dy − ∫ P ( x )dx ∫ = + ( ( ) ) . y Q x e dx C e + P ( x ) y = Q( x ), ∫ dx 1 sin x 的通解. 例1 求方程 y′ + y = x x 1 sin x 解法1. P ( x ) = , Q ( x ) = , x x 1 1 sin x ∫ x dx − ∫ x dx ⋅e y = ∫ dx + C e x sin x ln x dx + C e − ln x = ∫ ⋅e x
一阶线性常微分方程组常数变易公式
一阶线性常微分方程组常数变易公式
一阶线性常微分方程组常数变易公式是一种基本的微分方程组
解法。
它可以帮助我们更快速地求解一些复杂的微分方程组。
这种方法可以有效地解决一些具有复杂依赖的系统的问题，尤其对于模型中的变量较多的情况。
一阶线性常微分方程组常数变易解法(简称CME)的基本思想是，把所有的系数项的常量值抽离出来，各自转化为独立的变量，这样就可以便捷地根据相关的约束条件改变这些变量而得到不同结果。
而CME的公式能够有效地求解多元变量的系统。
在CME中，我们可以把原有的多项式拆分成N个系数项，然后把N个系数项的常量值分别抽取出来，形成N个可变变量，最终获得一个可求解的方程组，并且可用约束条件将可变变量限定在有效范围内。
CME的优点很明显，它使得模型中的复杂性处理变的非常容易。
在模型参数化的情况下，可以快速地对非线性系统进行梯度调整，从而获得更好的结果，而不用担心参数过度调整会导致模型失控。
同时，CME也可以帮助消除不可控因素，从而让模型可以更加稳定地运行。
此外，CME的另一个优点就是可以为实际的现实环境提供更加清晰的模型，从而可以对现实环境中存在的问题进行更加深入的分析和探索，从而为其解决提供更加有力的依据。
总的来说，一阶线性常微分方程组常数变易公式是一种非常有效的解决复杂系统问题的工具，它不仅可以提高模型调整的效率，而且可以让更加准确地从实际环境中挖掘出有价值的信息，从而帮助更好
地解决实际问题。
因此，一阶线性常微分方程组常数变易公式的应用越来越广泛，在多种科学研究和管理的实践中，它都能够起到显著的作用。
一阶线性方程与常数变易法习题及解答
§2.2 一阶线性方程与常数变易法习题及解答求下列方程的解1．dxdy =x y sin + 解： y=e ⎰dx (⎰x sin e ⎰-dx c dx +)=e x [-21e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -21 (x x cos sin +)是原方程的解。
2．dtdx +3x=e t 2 解：原方程可化为：dt dx =-3x+e t 2 所以：x=e ⎰-dt 3 (⎰e t 2 e -⎰-dt 3c dt +)=e t 3- (51e t 5+c) =c e t 3-+51e t 2 是原方程的解。
3．dt ds =-s t cos +21t 2sin 解：s=e ⎰-tdt cos (t 2sin 21⎰e dt dt ⎰3c + ) =e t sin -(⎰+c dt te t t sin cos sin )= e t sin -(c e te t t +-sin sin sin )=1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。
4．dx dy n x x e y nx =- ， n 为常数. 解：原方程可化为：dx dy n x x e y n x += )(c dx e x e e y dx x nn x dx x n+⎰⎰=⎰-)(c e x x n += 是原方程的解.5．dx dy +1212--y xx =0解：原方程可化为：dx dy =-1212+-y xx ⎰=-dx x x e y 212(c dx e dx x x+⎰-221))21(ln 2+=x e )(1ln 2⎰+--c dx ex x =)1(12x ce x + 是原方程的解.6． dx dy 234xyx x += 解：dx dy 234xy x x += =23yx +x y 令xy u = 则 ux y = dx dy =u dx du x + 因此：dx du x u +=2u x 21u dx du = dx du u =2c x u +=331 c x x u +=-33 （*）将xy u =带入 （*）中 得：3433cx x y =-是原方程的解.22212111()()222ln 112.(ln 2)424ln 2ln 2ln 22ln 2ln (),()(())ln 1(())(P x dx P x dx dx dx x x c x y x ydx xdy x dy x y y dx x xy dy x y y dx x xdy x y dx x xy zdz x z dx x xx P x Q x x xz e e Q x dx c x z e e dx c x x -------=++=-=-=-==-==-⎰⎰=+⎰⎰=-+=⎰⎰解： 两边除以 令方程的通解为：222ln ())ln 1424ln 1:()1,424x dx c x x c x x c x y x -+=++++=⎰方程的通解为且y=0也是解。
一阶线性微分方程及其解法[2]
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重复是学习之母——弗莱格
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因此方程满足初始条件的特解为
二、一阶线性微分方程的应用
应用微分方程解决实际问题的步骤: 1. 分析问题,设出所求未知函数,确定初始条件。 2. 建立微分方程。 3. 确定方程类型,求其通解. 4. 代入初始条件求特解.
解 (1) = 0 = f (0,0)
(2)
(3)
xy
则
lim
r 0
w r
=
lim
r 0
x2 + y2
r
( y=x)
( y=x)
？
例2
证令 则
故函数在点 (0, 0) 处连续 ; 同理
下面证明： 令
可微 . 则
注 此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件. 而非必要条件.
例1. 求函数 解: 第一步 求驻点.
解方程组
得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) . 第二步 判别. 求二阶偏导数
的极值.
在点(1,0) 处
为极小值;
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在点(1,2) 处 在点(3,0) 处 在点(3,2) 处
不是极值; 不是极值;
为极大值.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例
解 画草图如右 两曲线的交点 选 为积分变量 面积元素
y
o
x
注：
，即动点P以任意方式即沿任意曲线趋向定
点P0时，都有f(P) A
求二重极限方法类似一元函数的一些方法：等价无穷小替换； 重要极限公式；无穷小的性质；（恒等变形；利用连续性；夹 逼准则；换元；利用公式和运算法则）
4.3一阶线性微分方程 常数变易法 答案详解
解： P(x) cos x,Q(x) esin x 对应齐次线性微分方程的通解为 y C1e P(x)dx C1ecos xdx C2esin x 设非齐次线性方程有形如 y C(x)esin x 的解，将其 y, y 代入非齐次方程得
C(x)esin x C(x)esin x ( cos x) C(x)esin x cos x esin x C(x) 1
1 x
解： dy x2 y dy y x2
dx
1 x dx 1 x
P(x) 1 ,Q(x) x2 1 x
对应齐次线性方程的通解为
y
C1e
1 1 x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dx
C2eln1x
C eln 1x 1 2
C2
1 1 x
C3 1 x
设非齐次线性方程有形如 y C(x) 的解，将其 y, y 代入非齐次方程得 1 x
设非齐次线性方程有形如 y C(x)ex 的解，将其 y, y 代入非齐次方程得
C(x)ex C(x)(ex ) C(x)ex ex C(x) 1
从而有 C(x) x C
故非齐次线性微分方程的通解为 y (x C) ex
2． y y cos x esin x , y(0) 2
C(x) 1 1
x
C(x)
1 (1 x)2
C(x) 1 x
1 1
x
x2
C(x)
(1
x)x2
从而有 C(x) (x2 x3)dx x3 x4 C 34
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§2.2 一阶线性方程与常数变易法习题及解答求下列方程的解1．dxdy =x y sin + 解： y=e ⎰dx (⎰x sin e ⎰-dx c dx +)=e x [-21e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -21 (x x cos sin +)是原方程的解。
2．dtdx +3x=e t 2 解：原方程可化为：dt dx =-3x+e t 2 所以：x=e ⎰-dt 3 (⎰e t 2 e -⎰-dt 3c dt +)=e t 3- (51e t 5+c) =c e t 3-+51e t 2 是原方程的解。
3．dtds =-s t cos +21t 2sin 解：s=e ⎰-tdt cos (t 2sin 21⎰e dt dt ⎰3c + ) =e t sin -(⎰+c dt te t t sin cos sin )= e t sin -(c e te t t +-sin sin sin )=1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。
4．dx dy n x x e y nx =- ， n 为常数. 解：原方程可化为：dx dy n x x e y n x += )(c d x e x e e y dx x nn x dx x n+⎰⎰=⎰-)(c e x x n += 是原方程的解.5．dx dy +1212--y xx =0解：原方程可化为：dx dy =-1212+-y xx ⎰=-dx x x e y 212(c dx e dx x x+⎰-221))21(ln 2+=x e )(1ln 2⎰+--c dx ex x =)1(12x ce x + 是原方程的解.6． dx dy 234xyx x += 解：dx dy 234xy x x += =23yx +x y 令xy u = 则 ux y = dx dy =u dx du x + 因此：dx du x u +=2u x 21u dx du = dx du u =2c x u +=331 c x x u +=-33 （*）将xy u =带入 （*）中 得：3433cx x y =-是原方程的解.3332()21()227.(1)12(1)12(),()(1)1(1)(())1(1)dx P x dx x P x dx dy y x dx x dy y x dx x P x Q x x x e e x e Q x dx c x +--=++=+++==++⎰⎰==+⎰⎰++⎰⎰P(x)dx 232解：方程的通解为：y=e =(x+1)(*(x+1)dx+c) =(x+1)((x+23221(1)()211,()(())dy y x c dy y dx x y dx x y dy y yQ y y ye y Q y dy c -+++==+=⎰⎰==⎰⎰+⎰⎰2243P(y)dy P(y)dy P(y)dy 1)dx+c)=(x+1) 即：2y=c(x+1)+(x+1)为方程的通解。
8. =x+y 解：则P(y)= e 方程的通解为：x=e e 2331*)22y dy c yy cy y ++⎰ =y( =即 x= +cy是方程的通解 ，且y=0也是方程的解。
()()()19.,1),()(())01adx P x dx a x P x dx P x dxa a dy ay x a dx x xa x P x Q x x x e e x e e Q x dx c a a -+=++==⎰⎰==⎰⎰+==⎰为常数解：（方程的通解为： y=1x+1 =x (dx+c) x x当 时，方程的通解为 y=x+ln/x/+c当 时，方程01a a a≠a 的通解为y=cx+xln/x/-1当 ，时，方程的通解为x 1 y=cx +- 1-3331()()()310.11(),()1(())(*)dx P x dx x P x dx P x dx dy x y x dxdy y x dx xP x Q x x xe e xe e Q x dx c x x dx c c xc x --+==-+=-=⎰⎰==⎰⎰++++⎰⎰33解：方程的通解为： y=1 =xx =4x 方程的通解为： y=4()()()223333233232332311.2()2()()2,()2(())((2)p x xdx x p x p x x dy xy x y dxxy x y dxxy x y dxxy x dxy zdz xz x dxP x x Q x x e dx e e e dx e dxQ x dx c e x -----+==-+=-+=--+==--+==-⎰⎰==⎰⎰+-⎰⎰23-2x dy 解：两边除以y dy dy 令方程的通解为：z= =e 222)11)1,0x x dx c ce y ce y +++++==22 =x 故方程的通解为：(x 且也是方程的解。
22212111()()222ln 112.(ln 2)424ln 2ln 2ln 22ln 2ln (),()(())ln 1(())(P x dx P x dx dx dx x x c x y x ydx xdy x dy x y y dx x xy dy x y y dx x xdy x y dx x xy zdz x z dx x xx P x Q x x xz e e Q x dx c x z e e dx c x x -------=++=-=-=-==-==-⎰⎰=+⎰⎰=-+=⎰⎰解： 两边除以 令方程的通解为：222ln ())ln 1424ln 1:()1,424x dx c x x c x x c x y x -+=++++=⎰方程的通解为且y=0也是解。
13222(2)2122xydy y x dxdy y x y dx xy x y=--==- 这是n=-1时的伯努利方程。
两边同除以1y， 212dy y y dx x =- 令2y z = 2d z d y y d x d x= 22211dz y z dx x x=-=-P(x)=2xQ(x)=-1 由一阶线性方程的求解公式22()dx dx x x z e e dx c -⎰⎰=-+⎰ =2x x c +22y x x c =+14 23y dy e x dx x+= 两边同乘以y e 22()3y yydy e xe e dx x += 令y e z = y d z d y e d x d x= 222233dz z xz z z dx x x x+==+ 这是n=2时的伯努利方程。
两边同除以2z22131dz z dx xz x =+ 令1T z= 21dT dz dx z dx =- 231dT T dx x x-=+ P （x ）=3x - Q(x)=21x - 由一阶线性方程的求解公式3321()dx dx x x T e e dx c x--⎰⎰=+⎰ =321()2x x c --+ =1312x cx ---+ 131()12z x cx ---+= 131()12y e x cx ---+= 2312y y x e ce x -+= 2312y x x e c -+=15 331dy dx xy x y =+33dx yx y x dy =+ 这是n=3时的伯努利方程。
两边同除以3x 3321dx y y x dy x=+ 令2x z -= 32d z d x x d y d y-=- 3222d z y y d y x=--=322yz y -- P(y)=-2y Q(y)=32y - 由一阶线性方程的求解公式223(2)ydy ydy z e y e dy c ---⎰⎰=-+⎰=223(2)y y e y e dy c --+⎰=221y y ce --++ 222(1)1y x y ce --++=22222(1)y y y x e y ce e --++=22222(1)y e x x y cx -+=16 y=x e +0()x y t dt ⎰ ()x dy e y x dx=+ x dy y e dx=+ P(x)=1 Q(x)=x e 由一阶线性方程的求解公式11()dx dx x y e e e dx c -⎰⎰=+⎰=()x x x e e e dx c -+⎰=()x e x c +0()()xx xx e x c e e x c dx +=++⎰ c=1y=()x e x c +17 设函数ϕ(t)于-∞<t<+∞上连续，'ϕ(0)存在且满足关系式ϕ(t+s)=ϕ(t)ϕ(s)试求此函数。
令t=s=0 得ϕ(0+0)=ϕ(0)ϕ(0) 即ϕ(0)=2(0)ϕ 故(0)0ϕ=或(0)1ϕ=（1） 当(0)0ϕ=时 ()(0)()(t t t ϕϕϕϕ=+= 即()0t ϕ= (t ∀∈-∞,+∞)(2) 当(0)1ϕ=时 '0()()()lim t t t t t t ϕϕϕ∆→+∆-=∆=0()()()lim t t t t tϕϕϕ∆→∆-∆ =0()(()1)lim t t t t ϕϕ∆→∆-∆=0(0)(0)()lim t t t t ϕϕϕ∆→∆+-∆='(0)()t ϕϕ 于是'(0)()d t dtϕϕϕ= 变量分离得'(0)d dt ϕϕϕ= 积分 '(0)t ce ϕϕ= 由于(0)1ϕ=，即t=0时1ϕ= 1=0ce ⇒c=1故'(0)()t t e ϕϕ=20.试证：（1）一阶非齐线性方程（2 .28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2.3）之解；（2）若()y y x =是（2.3）的非零解，而()y y x =是（2.28）的解，则方程（2.28）的通解可表为()()y cy x y x =+，其中c 为任意常数.（3）方程（2.3）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是方程（2.3）的解. 证明：()()dy P x y Q x dx=+ （2.28） ()dy P x y dx = （2.3）（1） 设1y ，2y 是（2.28）的任意两个解则 11()()dy P x y Q x dx=+ （1） 22()()dy P x y Q x dx=+ （2） （1）-（2）得()1212()()d y y P x y y dx-=- 即12y y y =-是满足方程（2.3）所以，命题成立。
（2） 由题意得：()()dy x P x y dx= （3） ()()()()d y x P x y x Q x dx=+ （4） 1）先证y cy y =+是（2.28）的一个解。