[整理]一阶线性方程与常数变易法习题及解答.

§2.2 一阶线性方程与常数变易法习题及解答

求下列方程的解

1．dx

dy =x y sin + 解： y=e ⎰dx (⎰x sin e ⎰-dx c dx +)

=e x [-

2

1e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -21 (x x cos sin +)是原方程的解。 2．dt

dx +3x=e t 2 解：原方程可化为：

dt dx =-3x+e t 2 所以：x=e ⎰-dt 3 (⎰e t 2 e -⎰-dt 3c dt +)

=e t 3- (5

1e t 5+c) =c e t 3-+5

1e t 2 是原方程的解。 3．dt

ds =-s t cos +21t 2sin 解：s=e ⎰-tdt cos (t 2sin 2

1⎰e dt dt ⎰3c + ) =e t sin -(⎰+c dt te t t sin cos sin )

= e t sin -(c e te t t +-sin sin sin )

=1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。

4．

dx dy n x x e y n

x =- ， n 为常数. 解：原方程可化为：dx dy n x x e y n x += )(c d x e x e e y dx x n

n x dx x n

+⎰⎰=⎰-

)(c e x x n += 是原方程的解.

5．dx dy +1212--y x

x =0

解：原方程可化为：dx dy =-1212+-y x

x ⎰=-dx x x e y 21

2(c dx e dx x x

+⎰-221)

)21(ln 2+=x e )(1

ln 2⎰+--c dx e

x x =)1(1

2x ce x + 是原方程的解.

6． dx dy 234xy

x x += 解：dx dy 2

34xy x x += =23y

x +x y 令

x

y u = 则 ux y = dx dy =u dx du x + 因此：dx du x u +=2

u x 21u dx du = dx du u =2

c x u +=33

1 c x x u +=-33 （*）

将x

y u =带入 （*）中 得：3433cx x y =-是原方程的解.

3

3

3

2

()21()2

27.

(1)1

2(1)1

2(),()(1)1(1)(())

1(1)dx P x dx x P x dx dy y x dx x dy y x dx x P x Q x x x e e x e Q x dx c x +--=++=+++==++⎰⎰==+⎰⎰++⎰⎰P(x)dx 232解：方程的通解为：

y=e =(x+1)(*(x+1)dx+c) =(x+1)((x+2

32

2

1

(1)()2

11,()(())

dy y x c dy y dx x y dx x y dy y y

Q y y y

e y Q y dy c -+++==+=⎰⎰==⎰⎰+⎰⎰2

243P(y)dy P(y)dy P(y)dy 1)dx+c)

=(x+1) 即：2y=c(x+1)+(x+1)为方程的通解。

8. =x+y 解：则P(y)= e 方程的通解为：

x=e e 23

31*)2

2

y dy c y

y cy y ++⎰ =y( =即 x= +cy是方程的通解 ，且y=0也是方程的解。

()()()19.

,1),()(())

01a

dx P x dx a x P x dx P x dx

a a dy ay x a dx x x

a x P x Q x x x e e x e e Q x dx c a a -+=++==⎰⎰==⎰⎰+==⎰为常数解：（方程的通解为： y=1x+1 =x (dx+c) x x

当 时，方程的通解为 y=x+ln/x/+c

当 时，方程01a a a

≠a 的通解为

y=cx+xln/x/-1

当 ，时，方程的通解为

x 1 y=cx +- 1-

3

3

3

1()()()310.11(),()1(())

(*)dx P x dx x P x dx P x dx dy x y x dx

dy y x dx x

P x Q x x x

e e x

e e Q x dx c x x dx c c x

c x --+==-+=-=⎰⎰==⎰⎰++++⎰⎰33解：方程的通解为：

y=1 =x

x =4x 方程的通解为：　y=4

()()()2

233

33

23

323233

2311.2()2()()2,()2(())((2)p x xdx x p x p x x dy xy x y dx

xy x y dx

xy x y dx

xy x dx

y z

dz xz x dx

P x x Q x x e dx e e e dx e dxQ x dx c e x -----+==-+=-+=--+==--+==-⎰⎰==⎰

⎰+-⎰⎰23

-2

x dy 解：两边除以y dy dy 令方程的通解为：

z= =e 222)

1

1)1,0x x dx c ce y ce y +++++==22 =x 故方程的通解为：(x 且也是方程的解。