分类计数原理与分部计数原理(导学案)(最新整理)

⎪ ⎩

12.1 分类计数原理和分步计数原理

一、提出问题：

从甲地到乙地，有三类不同的办法：乘火车、乘汽车、乘轮船。一天中，火车有 4 班，汽车有 2 班，轮船有 3 班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 二、分析问题：

各种不同的走法如下：

⎧第①班 ⎪第②班 （1） 乘火车⎨

⎪第③班 ⎪⎩第④班 ⎧第①班

（2） 乘汽车⎨

⎩第②班 ⎧第①班 ⎪

（3） 乘轮船⎨第②班

⎪第③班 共有 种

共有

种

共有 种

显然，上述每一种方法都可以从甲地到乙地，一天中完成这件事共有三类办法，共有

4+2+3=9 种不同的走法。

想一想：

1. 某火车站，进站台需要上楼。该车站有楼梯 4 座，电梯 2 座，自动扶梯 1 座。一位旅客要进站台，共有几种不同走法？

共 4+2+1=7 种不同走法。

2. 从 A 城到某一旅游景区 B 地，每天有火车 5 次，公交大客车 15 次，租公交车小客车 25 次， 某人在一天中若乘坐上述交通工具，从 A 到 B 共有多少种不同的走法？

5+15+25=45

种不同走法

三、提升（提出概念） 一般地，有如下原理：

分类计数原理

如果做一件事，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法中有 m 1 种不同的方法，在第二类办

法中有 m 2 种不同的方法，…，在第 n 类办法中有 m n 种不同的方法，无论通过哪一类的那一

种方法，都可以完成这件事，那么完成这件事共有

N = m 1 种不同走法.

+ m 2 + m 3 + + m n

四、提出问题

有A 村去B 村的道路有 4 条，有 B 村去C 村的道路有 2 条.从 A 村经B 村去C 村，共有多少

种不同的方法？

五、分析问题

①

②①

→→

A村••B村•C村

③②

→→

④

有 4 ⨯ 2 = 8 种不同的走法

各种不同的走法如下：

①

A村•→

②

A村•→

③

A村•→

①

•B村

②

①

•B村

②

①

•B村

②

•C村

•C村

•C村

④

A 村• →

①

• B 村

②

• C 村

一般地，有如下原理：

分布计数原理

如果做一件事，完成它需要分 n 步骤, 做第一步有 m 1 种不同的方法，做第二步有 m 2 种不同

的方法，…，做第 n 步有 m n 种不同的方法。必须经过每一个步骤才能完成这件事，那么完

成这件事共有

N = m 1 ⨯ m 2 ⨯ m 3 ⨯ ⨯ m n

种不同走法.

例题 1

甲班有三好生 8 人，乙班有三好生 6 人，丙班有三好生 9 人.

（1） 由这三个班任选一名三好生，出席市三好生表彰大会，有多少种不同的选法？ （2） 由这三个班各选一名三好生，出席市三好生表彰大会，有多少种不同的选法？

思考：如何用所学知识解决？分类？分步？还是分类和分步结合？

例题 2

由数字 1，2，3，4，5 可以组成多少个两位偶数？ 分析： 法一 分类法二 分步

延伸：还有其它方法吗？

各位数字是 1 的两位数有 4 个各位数字是 2 的两位数有 4 个各位数字是 3 的两位数有 4 个各位数字是 4 的两位数有 4 个各位数字是 5 的两位数有 4 个课后练习：1，2，3

12.2排列的定义

一、提出问题

1.由A、B、C 三个球队中产生冠亚军队各一名，共有多少种不同的结果？思考：如何用所学知识解决？分类？分步？还是分类和分步结合？

很明显先分步：

第一步：

第二步：

根据原理：

结论：

分析：结果：冠军亚军冠军亚军

先确定A 冠军再确定亚军

1.A 队

2.B 队

3.C 队

2.由数字1，2，3 这三个数字可以组成多少个没有重复数字的两位数？

思考：如何用所学知识解决？分类？分步？还是分类和分步结合？

很明显可用分步：

第一步：

第二步：

根据原理：

结论：

分析：结果：

先确定十位数字再确定各位数字

3.小结：

上面的两个问题虽然是不同的的两个问题，但是当我们把所研究的对象（问题中的各球队，各数字）统一成为元素，就会发现它们的共同点：

（1）从3 个元素中每次任意选出2 个元素；

（2）对所取的元素，按一定的顺序（冠军——亚军，十位数字——个位数字）排成一列；（3）求一共有多少种不同的排法。

二、提升（提出概念）

一般地，如果从n 个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做

从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.

特别地，当m=n 时，也就是说把n 个不同的元素全部取出来的一个排列，叫做n 个不同元素中的一个全排列.

根据排列的定义，如果两个排列里所含的元素不仅相同，而且排列的顺序也完全一样，那么它们是相同排列，否则就是不同排列。以后本书中所说的“所有排列”就是指所有的不同排列。

例：学出从a,b,c,d 这四个字母中，取出三个字母的所有排列。

思考：分类？分步？两者结合？

很明显可用分步：

第一步：

第二步：

第三步：

根据原理：

结论：

排列方法：结果：

先确定十位数字再确定各位数字

课后练习：1，2，3