第4讲 生活中的变量关系及函数的概念

生活中的变量关系及函数的概念

【学习目标】

(1)了解函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。

(2)理解函数的概念，会用集合与对应的语言刻画函数，了解构成函数的要素，在学会运用区间表示数集的基础上，会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.

【要点梳理】

要点一：函数关系与依赖关系的联系

(1)具有依赖关系的两个变量，不一定具有函数关系；

(2)当且仅当对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值时，才称这两个变量之间有函数关系；

(3)运用图形语言说明变量x，y间的关系：

结合依赖关系及函数（初中）的定义可知，图2-1中变量x，y间具有依赖关系，但不具有函数关系；而图2-2中变量x，y间具有函数关系和依赖关系．

要点二：函数的定义

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.

记作：y=f(x)，x∈A．

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.

要点诠释：

（1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性。

要点三：构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

（1）构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；

（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.

要点四：区间的概念

(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；

(2)无穷区间；

(3)区间的数轴表示．

区间表示：

x a x b a b

<<= {x|a≤x≤b}=[a，b]；

{|}(,);

(]

x a x b a b

≤<=；

{|},

{|},

x a x b a b

<≤=；[)

(][)

≤=∞≤=+∞.

x x b b x a x a

{|}-,; {|},

要点五：函数定义域的求法

(1)当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.

(2)当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.

(3)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.

要点六：函数值域的求法

实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：

观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域；

配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；

判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；

换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.

求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.

【典型例题】

类型一：函数关系与依赖关系

例1．某宾馆有相同标准的床位100张，根据经验，该宾馆的床价(即每张床每天的租金)不超过10元时，床位可以全部租出；当床价高于10元时，每提高1元，将有3张床位空闲．为了获得较好的效益，该宾馆需给床位定一个合适的价格，条件是：(1)要方便结账，床价应为1元的整数倍．(2)该宾馆每日的费用支出为575元，床位出租的收入必须高于支出，而且高出得越多越好．若用x表示床价，y表示该宾馆一天出租床位的净收入(即除去每日的支出费用后的收入)．则净收入y是否是床价x的函数？若是，写出y与x的函数关系；若不是，请说明理由．

举一反三：

【变式1】由于环境气候的原因，夏季高山上的温度要比山下低．著名风景旅游区泰山夏季山脚平均温度为26℃，从山脚起每升高100 m，气温就降低0.7℃，则温度y是否是爬山高度x的函数？若是，写出y与x之间的函数关系；若不是，请说明理由．

类型二：函数的概念

例2.已知集合{}1,2,3A =，{}4,5B =，则从A 到B 的函数()f x 有 个.

举一反三：

【变式1】下列各问的对应关系是否是给出的实数集R 上的一个函数？为什么？

（1）:f x →

2

,0,x x R x

≠∈； （2）:g x →y ，2,,y x x N y R =∈∈；

（3）:h *A B N ==，对任意的,x A ∈|3|x x →-.

例3．下列函数f （x ）与g （x ）是否表示同一个函数，为什么？ （1）0

)1x ()x (f -=；1)x (g = （2）x )x (f =；2x )x (g =

（3）2

x )x (f =；2

)1x ()x (g += （4）|x |)x (f =；2x )x (g =

举一反三：

【变式】设x R ∈，定义符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪

==⎨⎪-<⎩

则（ ）

A. sgn x x x =

B. sgn x x x =

C. sgn x x x =

D. sgn x x x =