中考数学压轴题专题

中考数学压轴题专题

Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】

专题1：抛物线中的等腰三角形

基本题型：已知AB，抛物线()0

2≠

bx

y，点P在抛物线上（或坐

c

ax

=a

+

+

标轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP

∆为等腰三角形，求点P坐标。

分两大类进行讨论：

=）：点P在AB的垂直平分线上。

（1）AB为底时（即PA PB

利用中点公式求出AB的中点M；

k，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进利用两点的斜率公式求出AB

而求出AB的垂直平分线的斜率k；

利用中点M与斜率k求出AB的垂直平分线的解析式；

将AB的垂直平分线的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对

称轴）的解析式联立即可求出点P坐标。

（2）AB为腰时，分两类讨论：

=）：点P在以A为圆心以AB为半径的圆

①以A

∠为顶角时（即AP AB

上。

=）：点P在以B为圆心以AB为半径的圆

②以B

∠为顶角时（即BP BA

上。

利用圆的一般方程列出A(或B)的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P坐标。

专题2：抛物线中的直角三角形

基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标

轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ∆为直角三角形，求点P 坐

标。

分两大类进行讨论：

（1）AB 为斜边时（即PA PB ⊥）：点P 在以AB 为直径的圆周上。

利用中点公式求出AB 的中点M ；

利用圆的一般方程列出M 的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对

称 轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。

（2）AB 为直角边时，分两类讨论：

①以A ∠为直角时（即AP AB ⊥）：

②以B ∠为直角时（即BP BA ⊥）：

利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出

PA （或PB ）的斜率k ；进而求出PA （或PB ）的解析式；

将PA （或PB ）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解

析式联立即可求出点P 坐标。

所需知识点：

一、 两点之间距离公式：

已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，

则由勾股定理可得：()()221221y y x x PQ -+-=

。 二、 圆的方程：

点()y ,x P 在⊙M 上，⊙M 中的圆心M 为()b ,a ，半径为R 。

则()()R b y a x PM =-+-=22，得到方程☆：()()22

2R b y a x =-+-。 ∴P 在☆的图象上，即☆为⊙M 的方程。

三、 中点公式：

四、 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为

⎪⎭⎫ ⎝⎛++22

2121y y ,x x 。 五、 任意两点的斜率公式：

已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则直线PQ 的斜率： 2

121x x y y k PQ --=。 中考压轴题专题3：抛物线中的四边形

基本题型：一、已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上

（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ 为平行

四边形，求点P 坐标。

分两大类进行讨论：

（1）AB 为边时 （2）AB 为对角线时

二、已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴

上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ 为距形，求点P 坐标。

在四边形ABPQ 为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论：

（1）邻边互相垂直 （2）对角线相等

三、已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴

上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ 为菱形，求点P 坐标。

在四边形ABPQ 为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论：

（1）邻边相等 （2）对角线互相垂直

四、已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴

上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ 为正方形，求点P 坐标。

在四边形ABPQ 为矩形的基础上，运用以下两种方法进行讨论：

（1）邻边相等 （2）对角线互相垂直

在四边形ABPQ 为菱形的基础上，运用以下两种方法进行讨论：

（1）邻边互相垂直 （2）对角线相等

五、已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴

上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ 为梯形，求点P 坐标。

分三大类进行讨论：

（1）AB 为底时 （2）AB 为腰时 （3）AB 为对角线时

典型例题：典型例题：

例1（08深圳中考题）、如图9，在平面直角坐标系中，二次函数

)0(2>++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交

于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），OB ＝

OC ，tan ∠ACO ＝3

1． （1）求这个二次函数的表达式．

（2）经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在该抛物线上是否存在这

样的点F ，使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形若存

在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）若平行于x 轴的直线与该抛物线交于M 、N 两点，且以MN 为直径的

圆与x 轴相切，求该圆半径的长度．

（4）如图10，若点G （2，y ）是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的

抛物线上一动点，当点P

例22y ax =y