信息光学习题答案

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第一章 线性系统分析

1、1 简要说明以下系统就是否有线性与平移不变性、 (１) (2) (3） (4） (5） 解：（１）线性、平移不变; (2）线性、平移不变; （3）非线性、平移不变; （4）线性、平移不变； （5）线性、非平移不变。 1、２ 证明

证明:左边＝∑∑∑∞

-∞

=∞-∞=∞-∞=-=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n n x n x n x x comb )2(2)2(2122δδδ

∑∑∑∑∑∑∞

-∞

=∞

-∞

=∞

-∞=∞

-∞=∞

-∞

=∞

-∞

=--+-=

-+-=-+-=

+=n n

n n n n n n x n x n x jn n x n x x j n x x j x comb x comb )

()

1()()

()exp()()

()exp()()exp()()(δδδπδδπδπ右边

当n 为奇数时，右边=0,当n 为偶数时,右边＝

所以当n 为偶数时,左右两边相等。

1、3 证明

证明:根据复合函数形式得δ函数公式

式中就是h （x)=０得根，表示在处得导数.于就是

1、4 计算图题1、1所示得两函数得一维卷积。

解:设卷积为g （x)。当—１≤ｘ≤０时，如图题1、1（a ）所示,

图题１、1 当０ < x ≤１时,如图题1、1(b)所示， 即

1、5 计算下列一维卷积。 （1） （２) (3）

解：(1)⎪⎭

⎫

⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-*⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫

⎝⎛-*-25.22121232121)32(x rect x rect x x rect x δδ (2)设卷积为ｇ（x)，当x ≤０时，如图题1、2(a ）所示，

当0 〈 x 时,如图题1、2(b ）所示

图题1、2

即 （３）

１、６ 已知得傅立叶变换为,试求 （1） （2) 解:设 即 由坐标缩放性质 得

（1)(){}{}

)ex p()ex p(/ex p(ex p 2222

2

ξπππππ-=-=-℘=-℘z y

x

（2）

1、7 计算积分、(1） （2) 解：应用广义巴塞伐定理可得

（１)3

2)1()1()()()(sin )(sin 1

2

1

2

2

2

=

-++=ΛΛ=

⎰⎰⎰⎰

-∞

∞

-∞

∞-ξξξξξξξd d d dx x c x c (2）⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛

-Λ+⎪⎭⎫ ⎝⎛+Λ=⎰⎰⎰∞∞

-∞∞-∞

∞-ξξδξξξδξπd d xdx x c 21)(21)(21cos )(sin 2

１、8 应用卷积定理求得傅里叶变换、

解:{}{}{}⎪⎭

⎫ ⎝⎛*=

℘*℘=℘2)(21)2(sin )(sin )2(sin )(sin ξξrect rect x c x c x c x c

当时，如图题１、3(ａ）所示，

当时，如图题１、3(b)所示，

当时，如图题1、3(ｃ）所示，

2G （ξ）得图形如图题1、3(d)所示,由图可知

图题1、3 1、9 设,，求 解:{

}⎰⎰

∞

∞

---+-=

-℘0

)2ex p()ex p()2ex p()ex p()ex p(dx x j x dx x j x x πξβπξββ

1、1０ 设线性平移不变系统得原点响应为，试计算系统对阶跃函数得响应、 解:由阶跃函数定义

得 线性平移不变系统得原点响应为

所以系统对解阶跃函数得响应为

⎰

∞

>--=--=

*=0

0),ex p(1)](ex p[)()()(x x d x x h x step x g αα

1、１1 有两个线性平移不变系统,它们得原点脉冲响应分别为与、试计算各自对输入

函数得响应与、

解：

1、12 已知一平面波得复振幅表达式为

试计算其波长λ以及沿方向得空间频率。

解:设平面波得复振幅得表达式可以表示成以下形式

)]cos cos cos (exp[)exp(),,(γβαz y x jk a r k j a z y x U ++=•= 由题可知，

又因为 所以 波长为 沿方向得空间频率为

1、13 单色平面波得复振幅表达式为

求此波在传播方向得空间频率以及在方向得空间频率、

解：设单色平面波得复振幅得表达式可以表示成以下形式

)]cos cos cos (exp[)exp(),,(γβαz y x jk a j a z y x U ++=•=

由题可知,

又因为 所以 波长为 沿方向得空间频率为 14

23cos ,14

1

cos ,14

21cos πλ

γ

ζπλ

β

ηπλ

α

ξ=

=

=

=

=

=

第三章 光学成像系统得传递函数

3、１ 参瞧图3、１、１,在推导相干成像系统点扩散函数(3、1、５)式时，对于积分号前得相位因子

试问：（1）物平面上半径多大时，相位因子 相对于它在原点之值正好改变π弧度?

（2）设光瞳函数就是一个半径为a 得圆，那么在物平面上相应h 得第一个零点得半径就是多少？

（３)由这些结果，设观察就是在透镜光轴附近进行,那么a , λ与d o 之间存在什么关系时可以弃去相位因子

解:（1）由于原点得相位为零，于就是与原点相位差为π得条件就是 (2)根据