高数 下期中试题

武汉大学2011—2012学年下学期期中考试试卷《高等数学A2》（总学时216）一、选择题（每小题6分，共24分）1、已知()()3222cos d 1sin 3d axy y x x by x x y y -+++为某个二元函数),(y x f 的全微分，求a 和b 的值。

2、求曲面sin sin sin()z x y x y =+上点(,63ππ处的法线与xoy 面交角的正弦值。

3、求母线平行于x 轴且通过曲线2222222160x y z x y z ++=⎧⎪⎨-+=⎪⎩的柱面方程。

4、设直线0:30x y b L x ay z ++=⎧⎪⎨+--=⎪⎩，在平面π上，而平面π与曲面22z x y =+相切于(1,2,5)-，求a 、b 的值。

二、（10分）证明函数2222222;0(,)0,0x y x y x yf x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点)0,0(连续且偏导数存在,但在此点不可微。

三、（8分）设(,,)()z f x y u xy xF u ==+，其中F 为可微函数，且y u x=，试证明：zzx yz xy xy∂∂+=+∂∂四、（8分）求曲面x u v =+，u y ve =，z u v =-在0u v ==处的切平面方程。

五、（8分） 已知函数(,)u u x y =满足方程：22220u u u u b xy x y ∂∂∂∂⎛⎫-++= ⎪∂∂∂∂⎝⎭。

（1）试选取参数,αβ，利用变换(,)(,)x y u x y v x y e αβ+=将原方程变形，使方程中不出现一阶偏导数项。

（2）再令x y ξ=+，x y η=-使方程变换形式。

六、（8分）设(sin )xz f e y =，()f u 具有二阶连续导数。

（1）求2222z zx y∂∂+∂∂；（2）若2222z zx y∂∂+∂∂2xze =，且(0)0,(0)1f f '==，求()f u 。

七、（8分）求由方程22221x xy y ++=所确定的隐函数的极值。

八、（8分）设(,)=z f x y 有一阶连续偏导数，12(1,1)1,(1,1),(1,1)f f a f b ''===又(,(,))()=f x f x x F x ，求(1),(1)'F F . 九、（12分） 设有空间直线l ：11111x yz --==-和平面π：210x y z -+-=，求：1、直线l 在平面π上的投影直线0l 的方程；2、 投影直线0l 绕y 轴旋转一周所成的旋转曲面方程(,,)0F x y z =。

3、旋转曲面(,,)0F x y z =在点0M (2,1,0)处的切平面方程。

4、由旋转曲面所确定的隐函数(,,)0F x y z =（(,)z f x y =）在点1(6,3)M 处的方向导数的最大值。

十、（6分）求常数c b a ,,的值，使函数232(,,)f x y z axy byz cx z =++在点(1,2,1)-处沿z 轴正向的方向导数有最大值64。

武汉大学2003—2004学年下学期期考试试题参考答案《微积分（下）》（总学时216）一、选择题（每小题6分，共24分） 1、2和2-；2；3、22316y z -=；4、52a b =-=-二、（10分）证: 因为2222x xy x y x x y x y ⋅=≤++ , 从而 222(,)(0,0)lim0(0,0)→==+x y x yf x y 所以,),(y x f 在点)0,0(连续.有偏导数定义知00(0,0)(0,0)00(0,0)limlim 0x x x f x f f xx ∆∆∆∆∆→→+--=== 同理 (0,0)0y f =.所以, (,)f x y 在点)0,0(的偏导数存在，但 23222(0,0)(0,0)()[()()]x y f f x f y x yx y ρ∆∆∆∆∆∆∆--⋅=+考察23222()[()()]x y x y ∆∆∆∆⋅+, 由于x y ∆∆=时,当0y ∆=时, 其值为0,所以232202()lim[()()]x y x y ρ∆∆∆∆→⋅+不存在，故(,)f x y 在点)0,0(不可微.三、（8份）证2d d ()()d d z F u F y y F u x y F u x x u x u x ∂∂⎛⎫=++⋅=++⋅- ⎪∂∂⎝⎭d ()d y Fy F u x u=+-⋅；d d 1d d d d z F u F F x x x x x y u y u x u ∂∂=+⋅=+⋅=+∂∂，故 d d ()2()d d z z F F x y xy xF u y xy y xy xF u z xy x y u u∂∂+=+-++=+=+∂∂ 四、（8分）解 利用全微分因为d d d d d d d d d u ux u v y ve u e vz u v ⎧=+⎪⎪=+⎨⎪=-⎪⎩，故可求得2d d d u uu u uue ve z x y e vee ve +=---，于是u u u uze ve xe ve ∂+=∂-，2uuzye ve ∂-=∂-将曲面方程看作题中方程组确定的隐函数(,)z z x y =，则其法向量为{,,1}xy n z z ''=-， 在0u v ==即0x y z ===处，(0,0){,,1}{1,2,1}xy n z z ''=-=--，故切平面为1(0)2(0)(0)0x y z -----=， 即20x y z --=。

五、（8分）解 （1）由x y x y uv e v e xx αβαβα++∂∂=⋅+∂∂x yv v ex αβα+∂⎛⎫=+⋅ ⎪∂⎝⎭2222x y x y u v v v e v e x x x x αβαβααα++∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫=+⋅++ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭2222x yv v v e x x αβαα+∂∂⎛⎫=++⋅ ⎪∂∂⎝⎭同理，x y u v v e y y αββ+∂∂⎛⎫=+⋅⎪∂∂⎝⎭，222222x yu v v v ey y y αβββ+∂∂∂⎛⎫=++⋅ ⎪∂∂∂⎝⎭，由上述各项代入题设方程，约去yx eβα+得，()222222(2)(2)0v v v vb b b b v x y x yαβαβαβ∂∂∂∂-+++-++-++=∂∂∂∂， 由题设知，令02=+b α，20b β-+=，得2bα=-，2bβ=， 故原方程变换为：22220vv x y ∂∂-=∂∂。

（2）令x y ξ=+，x y η=-，则有vv vxξη∂∂∂=+∂∂∂，vv v yξη∂∂∂=-∂∂∂，22222222v v v vxξξηη∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂，22222222v v v vy ξξηη∂∂∂∂=-+∂∂∂∂∂，原方程可变换为：20vξη∂=∂∂。

六、（8分）解：（1）由复合函数求导法则可得：()sin x zf u e yx∂'=∂，()cos x zf u e yy∂'=∂22222222()sin ()sin ,()sin ()cos x x x x z z f u e y f u e y f u e y f u e y x y∂∂''''''=+=-+∂∂所以22222222()sin ()sin ()sin ()cos x x x x z zf u e y f u e y f u e y f u e y x y∂∂''''''+=+-+∂∂2()xf u e ''= 故2222z zx y∂∂+∂∂2()xf u e ''=（2）由题设知：22()()xx f u e f u e ''=，即()()0f u f u ''-=因此特征方程为210r -=，有特征根为121,1r r ==-，故12()u u f u c e c e -=+再由(0)0,(0)1f f '==得1211,22c c ==-所以11()22u u f u e e shu -=-=。

七、（8分）解: 令22(,)221F x y x xy y =++-,则22x F x y=+,24yF x y=+.令22024dyx ydxx y+=-=+,则有x y=-.将xy=-代入原方程得22221x xy y ++=,解此方程得 1.x=±于是该隐函数的稳定点为1,±且(1)1,(1) 1.y y =--=又22221()().(2)2d y d dy x xyy dx dx dx y x y x+==-+++ 从而2222(1,1)(1,1)10,10.d y d ydxdx --=>=-<故当1x =时有极小值1-,1x =-时有极大值1.八、（8分）解：(1)[(1,(1,1)](1,1)1F f f f === 1212()[]F x f f f f '''''=++ 2(1)[]F a b a b a ab b =++=++ 九、（12分）解：（1）设1π为过l 且垂直于π的平面，由直线l 的一般方程为1010x y y z --=⎧⎪⎨+-=⎪⎩所以过l 的平面束方程为：1(1)0x y y z λ--++-=，即(1)(1)0x y z λλλ+-+-+=其法向量为1{1,1,}n λλ=-，平面π的法向量为{1,1,2}n =-，因此为1π与π垂直知，01=⋅n n 所以有2λ=-，于是1π的方程为3210x y z --+=，因此直线0l 的方程为3210210x y z x y z -++=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩（2）将0l ：3210210x y z x y z -++=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，化为参数方程21(1)2x y y y z y ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=--⎪⎩，设0000(,,)P x y z 是0l 上一点，则有000021(1)2x y z y =⎧⎪⎨=--⎪⎩若),,(z y x P 是由0P 旋转到达的另一点，由于y 坐标不变且P P ,0到y 轴的距离相等，则有222200,y y x z x z =+=+ 所以2222220011(2)[(1)]4(1)24x z y y y y +=+--=+-即2224417210x z y y +-+-=为所求旋转曲面方程。

（3）设222(,,)441721F x y z x z y y =+-+-故有8,342,8xy z F x F y F z==-+=0M 点处的切平面的法向量为2{16,32,0}16{1,2,0}n =-=-故旋转曲面0),,(=z y x F 在点0M )0,1,2(处的切平面方程为20x y -= （4）因为342,8y x z z F zF x z y xF z y F z∂∂-=-=-=-=∂∂ 而1125|8,|2M M z z xy∂∂==∂∂所以125|{2,}2M gradF =-所以由旋转曲面所确定的隐函数(,,)0F x y z =（(,)z f x y =）在点1(6,3,1)M处的方向导数的最大值为(6,3,1)gradF =。