高二数学9月月考试题 文 (2)
2022-2023学年河南省洛阳市新安县第一高级中学高二上学期9月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年河南省洛阳市新安县第一高级中学高二上学期9月月考数学试题一、单选题1．直线tan120x =︒的倾斜角是（ ） A ．60° B ．90°C ．120°D ．不存在【答案】B【分析】根据直线的方程，利用斜率和倾斜角的关系求解.【详解】解：因为直线tan120x =︒= 所以直线的倾斜角是90°， 故选：B2．平面α的斜线l 与它在这个平面上射影l'的方向向量分别为()1,0,1a =，()0,1,1b =，则斜线l 与平面α所成的角为（ ） A ．30° B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C【分析】由题意结合线面角的概念可得a 与b 所成的角(或其补角)即为l 与α所成的角，由cos ,||||a ba b a b ⋅<>=⋅即可得解. 【详解】由题意a 与b 所成的角(或其补角)即为l 与α所成的角， 因为11cos ,,,[0,]2||||2a b a b a b a b π⋅<>===<>∈⋅⨯， 所以,60a b <>=，所以斜线l 与平面α所成的角为60°. 故选：C.【点睛】本题考查了利用空间向量求线面角，考查了运算求解能力，属于基础题. 3．如图，空间四边形OABC 中，点M 在线段OA 上，且2OM MA =，N 为BC 的中点，MN xOA yOB zOC =++，则x ，y ，z 的值分别为（ ）A ．12，23-，12B ．23-，12，12C ．12，12，23-D ．23，23，12-【答案】B【分析】利用空间向量的基本定理求解.【详解】因为12()23MN ON OM OB OC OA =-=+-，211322a b c =-++，所以23x =-，12y =，12z =.故选：B.4．下列条件使M 与A ､B ､C 一定共面的是（ ） A ．2OM OA OB OC =-+ B ．0OM OA OB OC +++= C ．121532OM OA OB OC =++D ．0MA MB MC ++=【答案】D【分析】利用共面向量定理判断.【详解】A 选项：MA MB MC OA OM OB OM OC OM ++=-+-+-，30OA OB OC OM =++-≠，∴M ，A ，B ，C 四点不共面；B 选项：由0OM OA OB OC +++=，得()OM OA OB OC =-++，系数和不为1， ∴M ，A ，B ，C 四点不共面；C 选项：1211532++≠，∴M ，A ，B ，C 四点不共面；D 选项：0MA MB MC OA OM OB OM OC OM ++=-+-+-=， 即()13OM OA OB OC =++， 所以能使M 与A ､B ､C 一定共面.故选：D.5．直线l 1与l 2为两条不重合的直线，则下列命题： ①若l 1∥l 2，则斜率k 1=k 2； ②若斜率k 1=k 2，则l 1∥l 2； ③若倾斜角12αα=，则l 1∥l 2； ④若l 1∥l 2，则倾斜角α1=α2. 其中正确命题的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】①若l 1∥l 2，则分当斜率存在时、当斜率不存在时两种情况，判断命题①错误；②若斜率k 1=k 2，则l 1∥l 2，判断命题②正确；③若倾斜角12αα=，则l 1∥l 2，判断命题③正确；④若l 1∥l 2，则倾斜角12αα=，判断命题④正确即可得到答案.【详解】解：直线l 1与l 2为两条不重合的直线：①若l 1∥l 2，当斜率存在时，则斜率k 1=k 2，当斜率不存在时，两条直线都垂直与x 轴，所以命题①错误；②若斜率k 1=k 2，则l 1∥l 2，所以命题②正确； ③若倾斜角12αα=，则l 1∥l 2，所以命题③正确；④若l 1∥l 2，则倾斜角12αα=，所以命题④正确，所以正确的命题个数共3个. 故选：C.【点睛】本题考查两条直线的位置关系，是基础题.6．经过点()3,0B ，且与直线250x y +-=垂直的直线方程为（ ） A ．230x y -+= B ．260x y +-= C ．230x y --= D ．230x y +-=【答案】C【分析】由于所求直线与直线250x y +-=垂直，从而可求出所求直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程【详解】因为直线250x y +-=的斜率为2-， 所以与直线250x y +-=垂直的直线的斜率为12，因为所求直线经过点()3,0B ，所以所求直线方程为1(3)2y x =-，即230x y --=，故选：C7．“1a =-”是“直线240x ay ++=与直线(1)20a x y -++=平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据两直线平行可知：12120A B B A +=求出a ，代入验证，再由充分条件、必要条件的定义即可求解.【详解】解：当两直线平行，∴12(1)0a a ⨯--=，解得2a =或1a =-， 当2a =，两直线重合，舍去； 当1a =-时，两直线平行．所以“1a =-”是“直线240x ay ++=与直线(1)20a x y -++=平行”的充要条件． 故选：C8．下列说法正确的是（ ）A ．斜率和倾斜角具有一一对应的关系B ．直线的截距式方程适合于不过原点的所有直线C ．经过点()1,1且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=D ．()()()()121121y y x x x x y y --=--表示经过()11,P x y ，()22,Q x y 的直线方程 【答案】D【分析】根据倾斜角和斜率的定义，以及两点式和截距式的定义，逐个选项进行判断即可. 【详解】对于A ，倾斜角为90时，没有对应斜率，故A 错误；对于B ，直线的截距式方程适合于不过原点，不垂直于x 轴，不垂直于y 轴的所有直线，故B 错误； 对于C ，经过点()1,1且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线，还包括y x =这条直线，故C 错误； 对于D ，根据两点式的定义，选项D 明显正确； 故选：D9．若直线l ：20(0,0)ax by a b -+=>>过点(1,2)-，当21a b+取最小值时直线l 的斜率为A ．2B ．12C D ．【答案】A【分析】将点带入直线可得212a b+=，利用均值不等式“1”的活用即可求解． 【详解】因为直线l 过点()1,2-，所以220a b --+=，即212a b+=，所以21212141()(4)(44222a b b a a b a b a b ++=+=++≥+= 当且仅当4b aa b=，即2a b =时取等号 所以斜率2ab=，故选 A 【点睛】本题考查均值不等式的应用，考查计算化简的能力，属基础题．10．已知{},,a b c 是空间的一个单位正交基底，向量23p a b c =++，{},,a b a b c +-是空间的另一个基底，向量p 在基底{},,a b a b c +-下的坐标为（ ） A ．31,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．31,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．13,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．13,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【分析】设()()p x a b y a b zc =++-+，根据空间向量基本定理建立关于,,x y z 的方程，解之即可得解.【详解】解：设()()p x a b y a b zc =++-+()()23c a b y a x c x y b z =++-+=++，所以123x y x y z +=⎧⎪-=⎨⎪=⎩，解得32123x y z ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，所以向量p 在基底{},,a b a b c +-下的坐标为31,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：A.11．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1B C 上运动，则下列结论不正确的是（ ）A ．直线1BD ⊥平面11AC DB ．三棱锥11P ACD -的体积为定值C ．异面直线AP 与1AD 所成角的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．直线1C P 与平面11AC D 所成角的正弦值的最大值为63【答案】C【分析】对于A ，根据线面垂直的判定定理，结合正方体的性质以及线面垂直的性质定理，可得答案；对于B ，根据三棱锥的体积公式，证明底面11AC D 上的高为定值，利用线面平行判定以及性质定理，可得答案；对于C ，根据异面直线夹角的定义，作图，结合等边三角形的性质，可得答案；对于D ，由题意，建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量以及平面的法向量，根据公式，结合二次函数的性质，可得答案. 【详解】对于A ，连接11B D ，记1111AC B D E =，如下图：在正方体1111ABCD A B C D -中，1BB ⊥平面1111D C B A ，11A C ⊂平面1111D C B A ，111BB AC ∴⊥，在正方形1111D C B A 中，1111AC B D ⊥，1111BB B D B ⋂=，111,B D BB ⊂平面11BB D ，∴11A C ⊥平面11BB D ，1BD ⊂平面11BB D ，111AC BD ∴⊥，同理可得：11DC BD ⊥，1111AC DC C ⋂=，111,A C DC ⊂平面11AC D ，1BD ∴⊥平面11AC D ，故A 正确；对于B ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//CB DA ，1DA ⊂平面11AC D ，1CB ⊄平面11AC D ，1//CB ∴平面11AC D ，则1P CB ∀∈，P 到平面11AC D 的距离相同，即三棱锥11P AC D -中底面11AC D 上的高为一个定值，故B 正确； 对于C ，连接1AB ，AC ，AP ，作图如下：在正方体1111ABCD A B C D -中，易知1ACB 为等边三角形，则1π3APC AB C ∠≥∠=， 11//DA CB ，APC ∴∠为异面直线1DA 与AP 所成角或者补角，则异面直线1DA 与AP 所成角的取值范围ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故C 错误； 对于D ，在正方体1111ABCD A B C D -中，以D 为原点，分别以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如下图：设该正方体的边长为2，则()0,0,0D ，()10,0,2D ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()12,2,2B ，()10,2,2C ，设()1,01CP CB λλ=≤≤，且(),,P x y z ，则()12,0,2CB =，(),2,CP x y z =-，即2202x y z λλλ=⎧⎪-=⋅⎨⎪=⎩，可得()2,2,2P λλ，则()12,0,22C P λλ=-，由A 可知1BD ⊥平面11AC D ，则平面11AC D 的一个法向量为()12,2,2BD =--， 设直线CP 与平面11AC D 所成角为θ，则12221404444sin 88412432211143222BD CP BD CPλλθλλλλλ⋅-++-====⋅-+⋅⋅-+⎛⎫⋅-+⎪⎝⎭， 由[]0,1λ∈，则当12λ=时，sin θ取得最大值为63，故D 正确. 故选：C.12．如图，在三棱锥-P ABC 中，5AB AC PB PC ====，4PA =，6BC =，点M 在平面PBC 内，且15AM =，设异面直线AM 与BC 所成的角为α，则cos α的最大值为（ ）A 2B 3C ．25D 5【答案】D【分析】设线段BC 的中点为D ，连接AD ，过点P 在平面PAD 内作PO AD ⊥，垂足为点O ，证明出PO ⊥平面ABC ，然后以点O 为坐标原点，CB 、AD 、OP 分别为x 、y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设BM mBP nBC =+，其中0m ≥，0n ≥且1m n +≤，求出363m n +-的最大值，利用空间向量法可求得cos α的最大值.【详解】设线段BC 的中点为D ，连接AD ，5AB AC ==，D 为BC 的中点，则AD BC ⊥，6BC =，则3BD CD ==，224AD AB BD ∴=-=，同理可得4PD =，PD BC ⊥，PDAD D =，BC ∴⊥平面PAD ，过点P 在平面PAD 内作PO AD ⊥，垂足为点O ，因为4PA PD AD ===，所以，PAD 为等边三角形，故O 为AD 的中点，BC ⊥平面PAD ，PO ⊂平面PAD ，则BC PO ⊥，PO AD ⊥，AD BC D =，PO ∴⊥平面ABC ，以点O 为坐标原点，CB 、AD 、OP 分别为x 、y 、z 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系O xyz -，因为PAD 是边长为4的等边三角形，O 为AD 的中点，则sin 6023OP PA == 则()0,2,0A -、()3,2,0B 、()3,2,0C -、(0,0,23P ， 由于点M 在平面PBC 内，可设(()()3,2,236,0,036,2,23BM mBP nBC m n m n m m =+=--+-=---， 其中0m ≥，0n ≥且1m n +≤，从而()()()3,4,036,2,23336,42,23AM AB BM m n m m m n m m =+=+---=---， 因为15AM =()()222336421215m n m m --+-+=， 所以，()()22233616161423m n m m m --=-+-=--+， 故当12m =时，216161m m -+-有最大值3，即()23633m n +-≤， 故33633m n -+-363m n +-3 所以，()6336635cos cos ,615615AM BC m n AM BC AM BCα⋅--=<>==≤=⋅. 故选：D.【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.二、填空题13．若()1,1,0a =，()1,0,2b =-，则与a b +反方向的单位向量是______．【答案】0,⎛ ⎝⎭【分析】由与a b +反方向的单位向量为||a ba b +-+代入可得结果. 【详解】∵(1,1,0)a =，(1,0,2)b =-∴(0,1,2)a b +=，2||01a b +=+=∴a b +反方向的单位向量为(0,1,2)(0,||a b a b +-=-=+故答案为：(0,. 14．有一光线从点()3,5A -射到x 轴以后，再反射到点()2,15B ，则这条光线的入射光线所在直线的方程为______． 【答案】4+70x y +=【分析】根据对称性可知：点()2,15B 关于x 轴对称的点在入射光线所在的直线上，求出点()2,15B 关于x 轴对称的点的坐标即可求解.【详解】因为点()2,15B 关于x 轴对称的点的坐标为()2,15B '-，由直线的对称性可知：这条光线的入射光线经过点()3,5A -和()2,15B '-， 所以条光线的入射光线所在直线的方程为51515(2)32y x ++=---， 也即4+70x y +=， 故答案为：4+70x y +=.15．若直线10ax y +-=与连接()()2,3,3,2A B -的线段总有公共点，则a 的取值范围是______.【答案】(]1,1,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【分析】画出图形，由图可得，要使直线与线段AB 总有公共点，需满足PA a k -≥或PB a k -≤，从而可求得答案【详解】得直线10ax y +-=的斜率为a -，且过定点()0,1P ，则由图可得，要使直线与线段AB 总有公共点，需满足PA a k -≥或PB a k -≤， 11,3PA PB k k ==-，1a -≥或13a -≤-，1a ∴≤-或13a ≥. 故答案为：(]1,1,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭16．点P 是棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面A 1B 1C 1D 1上一点，则1PA PC ⋅的取值范围是__.【答案】[﹣12，0]【分析】建立空间直角坐标系，设出点P 的坐标为（x ，y ，z ），则由题意可得0≤x ≤1，0≤y ≤1，z ＝1，计算PA •1PC =x 2﹣x ，利用二次函数的性质求得它的值域即可．【详解】解：以点D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴，以DD 1所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示； 则点A （1，0，0），C 1（0，1，1），设点P 的坐标为（x ，y ，z ），由题意可得 0≤x ≤1，0≤y ≤1，z ＝1； ∴PA =（1﹣x ，﹣y ，﹣1），1PC =（﹣x ，1﹣y ，0），∴PA •1PC =-x （1﹣x ）﹣y （1﹣y ）+0＝x 2﹣x +y 2﹣y 22111222x y ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由二次函数的性质可得，当x ＝y 12=时，PA •1PC 取得最小值为12-；当x ＝0或1，且y ＝0或1时，PA •1PC 取得最大值为0， 则PA •1PC 的取值范围是[12-，0]．故答案为：[12-，0]．【点睛】本题主要考查了向量在几何中的应用与向量的数量积运算问题，是综合性题目．三、解答题17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱P A 的长为2，且P A 与AB 、AD 的夹角都等于60°，M 是PC 的中点，设AB a =，AD b =，c AP =.(1)试用,,a b c 表示向量BM ； (2)求BM 的长.【答案】(1)111222b ac -+6【分析】利用空间向量基本定理用基底表示BM ；（2）在第一问的基础上运用空间向量数量积运算法则进行运算.【详解】（1）()1122BM BC CM AD CP AD CB BA AP =+=+=+++111111222222AD AD AB AP b a c =--+=-+ （2）22222111111111222444222BM b a c b a c a b c b a c ⎛⎫=-+=++-⋅+⋅-⋅ ⎪⎝⎭11111131021214422222=++-+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=，所以62BM =BM18．已知ABC 的三个顶点(,)A m n ､(2,1)B ､(2,3)C -. (1)求BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 的方程为2360x y -+=，BC 边上高线AE 过原点，求点A 的坐标. 【答案】(1)240x y +-=(2)3,32A ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）利用两点式求得BC 边所在直线方程；（2）由题意可得2360-+=m n ，求出BC 边上高线AE 的方程，将点(,)A m n 代入AE 的方程，解关于,m n 的方程组即可求解.【详解】（1）由()2,1B 、()2,3C -可得311222BC k -==---， 所以BC 边所在直线方程为()1122y x -=--，即240x y +-=. （2）因为BC 边上中线AD 的方程为2360x y -+=， 所以点(,)A m n 在直线2360x y -+=上，可得2360-+=m n ， 因为12BC k =-，所以BC 边上高线AE 的斜率2AE k =，因为BC 边上高线AE 过原点，所以AE 的方程为2y x =，可得2n m =， 由23602m n n m -+=⎧⎨=⎩可得：323m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以点A 的坐标为3,32⎛⎫⎪⎝⎭.19．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 满足AD ∥BC ，且12AB AD AA BD DC =====，(Ⅰ)求证:AB ⊥平面11ADD A ;(Ⅱ)求直线AB 与平面11B CD 所成角的正弦值. 【答案】(Ⅰ) 证明见解析；(Ⅱ)66【解析】(Ⅰ)证明1AA AB ⊥，根据222AB AD BD +=得到AB AD ⊥，得到证明.(Ⅱ) 如图所示，分别以1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，平面11B CD 的法向量()1,1,2n =，()2,0,0AB =，计算向量夹角得到答案.【详解】(Ⅰ) 1AA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，故1AA AB ⊥.2AB AD ==，22BD =，故222AB AD BD +=，故AB AD ⊥.1AD AA A ⋂=，故AB ⊥平面11ADD A .(Ⅱ)如图所示：分别以1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()12,0,2B ，()2,4,0C ，()10,2,2D .设平面11B CD 的法向量(),,n x y z =，则11100n B C n B D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即420220y z x y -=⎧⎨-+=⎩，取1x =得到()1,1,2n =，()2,0,0AB =，设直线AB 与平面11B CD 所成角为θ 故26sin cos ,626n AB n AB n ABθ⋅====⋅. 【点睛】本题考查了线面垂直，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 20．已知直线l ：5530ax y a --+=．(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)若直线l 的横截距和纵截距绝对值相等，求a 的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)1a =±或3【分析】（1）将直线l 的方程化为点斜式，求出直线所过定点，即可证明结论成立；（2）直线l 的横截距和纵截距绝对值相等，分三种情况讨论：①横截距和纵截距为0，②横截距和纵截距相反，③横截距和纵截距相等，分别求出此时a 的值即可. 【详解】（1）解：直线l 的方程可整理为：3155y a x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 则l 的斜率为a ，且过定点13,55A ⎛⎫⎪⎝⎭，∵13,55A ⎛⎫⎪⎝⎭在第一象限，所以不论a 取何值，直线l 总经过第一象限． （2）解：由（1）知，直线过定点1355A ⎛⎫⎪⎝⎭，，当直线过原点时，此时，3a =；当直线截距相反且不过原点时，1k =，此时1a =； 当直线截距相等且不过原点时，1k =-，此时1a =-； 综上所述，1a =±或3．21．如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，1PD DC ==，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥．(1)求BC ；(2)求点B 到平面P AM 的距离． 【答案】(1)2 (2)77【分析】（1）建立空间直角坐标系，设2BC a =，写出各点坐标，利用0PB AM ⋅=列出方程，求出22a =，从而得到BC 的长； （2）求出平面P AM 的法向量，利用点到平面的距离公式进行求解.【详解】（1）∵PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，不妨以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系D xyz -，设2BC a =，则()0,0,0D 、()0,0,1P 、()2,1,0B a 、(),1,0M a 、()2,0,0A a ， 则()2,1,1PB a =-，(),1,0AM a =-，∵PB AM ⊥，则2210PB AM a ⋅=-+=，解得2a = 故22BC a ==；（2）设平面PAM 的法向量为()111,,m x y z =，则2AM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()2,0,1AP =-， 由111120220m AM x y m AP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩，取12x =，可得()2,1,2m =，()0,1,0AB =，∴点B 到平面P AM 的距离177AB m d m⋅===22．如图①，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，222AB AD CD ===.将ADC △沿AC 折起，使得AD BC ⊥，如图②.（1）求证：平面ADC ⊥平面ABC .（2）在线段BD 上是否存在点E ，使得二面角E AC D --的平面角的大小为π4？若存在，指出点E的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，点E 在线段BD 上靠近点D 的三等分点处.【分析】（1）先证明AC BC ⊥，再由线面垂直的判定定理证明BC ⊥平面ADC ，由面面垂直的判定定理即可证明；（2）以C 为原点，以CA ，CB 所在的直线分别为x 轴、y 轴，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，然后用坐标法求解即可【详解】（1）在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，222AB AD CD ===， ∴由平面几何知识易得π3ABC ∠=， ∴在ACB △中，222π21221cos 33AC =+-⨯⨯⨯=. 又222AC BC AB +=，∴AC BC ⊥. 在题图②中，∵AD BC ⊥，ADAC A =，∴BC ⊥平面ADC .又BC ⊂平面ABC ，∴平面ADC ⊥平面ABC .（2）在线段BD 上存在点E ，使得二面角E AC D --的平面角的大小为π4. 以C 为原点，以CA ，CB 所在的直线分别为x 轴、y 轴，建立空间直角坐标系，如图.由平面ADC ⊥平面ABC ，ADC △是顶角为2π3的等腰三角形，知z 轴与ADC △底边上的中线平行，又由（1）易得3AC =∴()0,0,0C ，()3,0,0A，()0,1,0B ，312D ⎫⎪⎪⎝⎭，∴()3,0,0CA =，112,23BD ⎛⎫⎪ ⎪⎝=⎭-. 令()01BE tBD t =≤≤，则,,12t E t ⎫⎝-⎪⎪⎭， ∴3,1,22t CE t =-⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. 设平面ACE 的一个法向量为(),,m x y z =，则00CA m CE m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即()0102t t y z =+-+=， ∴()0210x t y tz =⎧⎨-+=⎩，令y t =，则()21z t =-，∴()()0,,21m t t =-. 由（1）知，平面ADC 的一个法向量为()0,1,0n =.要使二面角E AC D --的平面角的大小为π4，则2πcos 4m n m n t ⋅=== 解得23t =或2t =（舍去）. ∴在线段BD 上存在点E ，使得二面角E AC D --的平面角的大小为π4，此时点E 在线段BD 上靠近点D 的三等分点处.。
上海市2022高二数学上学期9月月考试题(含解析)
（2）若 ，求 与 .（用反三角函数表示）
【答案】（1） ， ；（2） ， .
【解析】
【分析】
（1）根据受力平衡可知三个力的和为零向量，根据 及力的夹角，即可求得 、 的大小。
（2）根据边长的比值，可知由三个力的大小构成的三角形为直角三角形。根据三角函数，即可表示出 与 的值。
【详解】因为关于 的方程 在区间 上有三个解，且函数 的最小正周期为 ，再由三角函数的对称性可知：方程 在区间 上的解的最小值与最大值分别为 和 ；
又它们的和为 ，所以中间的解为 ，
所以有 ，即 ，故 ，
又 ，所以 或 .
故答案为 或
【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质，熟记正弦型函数的性质即可，属于常考题型.
由 ， ， 三点共线可得
即 ,所以
又因为
所以
即
当 时， ,此时
当 与 (或 )点重合时,此时 ,此时
所以
由基本不等式 ,可得
当 或 时,
当x=1且y=1时，x+y=2，xy=1，则
即
【点睛】本题考查了平面向量基本定理、向量共线基本定理的综合应用，注意向量线性运算的转化，属于中档题。
二、选择题
13.已知函数 的图象是由函数 的图象经过如下变换得到：先将 的图象向右平移 个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则函数 的图象的一条对称轴方程为（）
综上, 实数 的取值范围为 .
【点睛】本题考查了分段函数的图像与性质的简单应用,注意端点处的值是否可以取到,属于中档题.
11.设 ，若关于 的方程 在区间 上有三个解，且它们的和为 ，则 ________
【答案】 或
2021年高二数学上学期9月月考试卷 文(含解析)
2021年高二数学上学期9月月考试卷文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1．若x∈R，则x=2”是“（x﹣2）（x﹣1）=0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件2．椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，焦距是短轴长的两倍，则m的值为（） A． B． C． D． 43．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则椭圆的离心率是（） A． B． C． D．4．若圆x2+y2=4上每个点的横坐标不变．纵坐标缩短为原来的，则所得曲线的方程是（）A． B． C． D．5．以双曲线﹣=1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程是（）A． y2=4x B． y2=16x C． y2=8x D． y2=﹣8x6．方程mx+ny2=0与mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）的曲线在同一坐标系中的示意图应是（） A． B． C． D．7．已知命题p：若实数x，y满足x2+y2=0，则x，y全为0；命题q：若，下列为真命题的是（）A． p∧q B． p∨q C．￢p D．（￢p）∧（￢q）8．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P．若=2，则椭圆的离心率是（）A． B． C． D．9．若双曲线的顶点为椭圆长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的方程是（）A． x2﹣y2=1 B． y2﹣x2=1 C． x2﹣y2=2 D． y2﹣x2=210．已知命题p：存在实数m使m+1≤0，命题q：对任意x∈R都有x2+mx+1＞0，若p且q 为假命题，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2] B． [2，+∞） C．（﹣∞，﹣2]∪（﹣1，+∞） D． [﹣2，2]11．正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y2=4x上，则这个正三角形的边长为（）A． B． C． 8 D． 1612．如图所示，F为双曲线C：﹣=1的左焦点，双曲线C上的点P i与P7﹣i（i=1，2，3）关于y轴对称，则|P1F|+|P2F|+|P3F|﹣|P4F|﹣|P5F|﹣|P6F|的值是（）A． 9 B． 16 C． 18 D． 27二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题纸的横线上，填在试卷上的答案无效.13．命题“存在x∈R，x2﹣2x+1≤0”的否定是．14．椭圆x2+ny2=1与直线y=1﹣x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则n的值是．15．过抛物线y2=4x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于．16．已知三个数2，m，8构成一个等比数列，则圆锥曲线+=1离心率为．三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知双曲线方程是9x2﹣y2=﹣81．求它的实轴和虚轴的长、焦点坐标、离心率和渐近线方程．18．求下列各曲线的标准方程．（1）已知椭圆的两个焦点分别是（﹣2，0），（2，0），并且经过点（，﹣）．（2）已知抛物线焦点在x轴上，焦点到准线的距离为6．19．已知a＞0，命题p：函数y=a x为减函数．命题q：当x∈[，2]时，函数f（x）=x+＞恒成立，如果p或q为真命题，p且q为假命题，求a的取值范围．20．已知p：x2﹣7x+10≤0，q：m≤x≤m+1，若q是p的充分条件，求m的取值范围．21．已知△ABC的顶点A，B的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），C 为动点，且满足，求点C 的轨迹方程，并说明它是什么曲线．22．已知圆C方程为（x﹣3）2+y2=12，定点A（﹣3，0），P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线CP相交于点Q．（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹E的方程．（Ⅱ）过点C倾斜角为30°的直线交曲线E于A、B两点，求|AB|．xx学年吉林省松原市扶余一中高二（上）9月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1．若x∈R，则x=2”是“（x﹣2）（x﹣1）=0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据充分必要条件的定义进行判断．解答：解：∵x=2⇒（x﹣2）（x﹣1）=0，（x﹣2）（x﹣1）=0推不出x=2，∴x=2是（x﹣2）（x﹣1）=0的充分不必要条件，故选：A．点评：本题考查了充分必要条件，是一道基础题．2．椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，焦距是短轴长的两倍，则m的值为（）A． B． C． D． 4考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据椭圆的方程求解，a，b，c的值，即可得到答案．解答：解：∵椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，∴椭圆x2+=1的焦点在y轴上，＞1，2a=2，2b=2，2c=2，∵焦距是短轴长的两倍，∴2=4，m=，故选：A点评：本题综合考查了椭圆的几何性质，计算较容易．3．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则椭圆的离心率是（）A． B． C． D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：由题意可得 cos60°==，从而得到椭圆的离心率的值．解答：解：由题意可得 cos60°==，∴椭圆的离心率是 =，故选 B．点评：本题考查椭圆的标准方程，以及简单性质的应用，得到 cos60°=，是解题的关键．4．若圆x2+y2=4上每个点的横坐标不变．纵坐标缩短为原来的，则所得曲线的方程是（） A． B． C． D．考点：伸缩变换；椭圆的标准方程．专题：计算题．分析：在曲线C上任取一个动点P（x，y），根据图象的变换可知点（x，3y）在圆x2+y2=4上．代入圆方程即可求得x和y的关系式，即曲线的方程．解答：解：在曲线C上任取一个动点P（x，y），根据图象的变换可知点（x，3y）在圆x2+y2=4上，∴x2+9y2=4，即则所得曲线为．故选C．点评：本题主要考查变换法求解曲线的方程，理解变换前后坐标的变化是关键考查了学生分析问题的能力及数学化归思想．5．以双曲线﹣=1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程是（）A． y2=4x B． y2=16x C． y2=8x D． y2=﹣8x考点：抛物线的标准方程；双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线方程，算出它的右顶点为F（2，0），也是抛物线的焦点．由此设出抛物线方程为y2=2px，（p＞0），结合抛物线焦点坐标的公式，可得p=4，从而得出该抛物线的标准方程．解答：解：∵双曲线的方程为﹣=1，∴a2=4，得a=2，∴抛物线的焦点为F（2，0），设抛物线方程为y2=2px，（p＞0），则=2，得2p=8∴抛物线方程是y2=8x．故选：C．点评：本题给出抛物线焦点与已知双曲线的右焦点重合，求抛物线的标准方程，着重考查了双曲线、抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．6．方程mx+ny2=0与mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）的曲线在同一坐标系中的示意图应是（）A． B． C． D．考点：曲线与方程．专题：作图题；分类讨论．分析：当 m和n同号时，抛物线开口向左，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示焦点在y 轴上的椭圆，当m和n异号时，抛物线 y2=﹣开口向右，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示双曲线．解答：解：方程mx+ny2=0 即 y2=﹣，表示抛物线，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示椭圆或双曲线．当 m和n同号时，抛物线开口向左，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示焦点在y轴上的椭圆，无符合条件的选项．当m和n异号时，抛物线 y2=﹣开口向右，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示双曲线，故选 A．点评：本题考查根据曲线的方程判断曲线的形状，体现了分类头论的数学思想，分类讨论是解题的关键．7．已知命题p：若实数x，y满足x2+y2=0，则x，y全为0；命题q：若，下列为真命题的是（）A． p∧q B． p∨q C．￢p D．（￢p）∧（￢q）考点：复合命题的真假．专题：规律型．分析：分别判断命题p，q的真假，利用复合命题与简单命题真假之间的关系进行判断即可．解答：解：若实数x，y满足x2+y2=0，则x，y全为0，∴p为真命题．当a=1，b=﹣1时，满足a＞b，但不成立，∴q为假命题．∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，￢p为假命题，（￢p）∧（￢q）为假命题，故选：B．点评：本题主要考查复合命题与简单命题真假之间的关系，先判断简单命题p，q的真假是解决本题的关键．8．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P．若=2，则椭圆的离心率是（）A． B． C． D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先求出点B的坐标，设出点P的坐标，利用 =2，得到a与c的关系，从而求出离心率．解答：解：如图，由于BF⊥x轴，故x B=﹣c，y B =，设P（0，t），∵=2，∴（﹣a，t）=2（﹣c，﹣t）．∴a=2c，∴e==，故选 D．点评：本题考查椭圆的简单性质以及向量坐标形式的运算法则的应用，体现了数形结合的数学思想．9．若双曲线的顶点为椭圆长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的方程是（）A． x2﹣y2=1 B． y2﹣x2=1 C． x2﹣y2=2 D． y2﹣x2=2考点：椭圆的简单性质；双曲线的标准方程．专题：计算题．分析：根据椭圆方程求得其长轴的端点坐标和离心率，进而可得双曲线的顶点和离心率，求得双曲线的实半轴和虚半轴的长，进而可得双曲线的方程．解答：解：由题意设双曲线方程为，离心率为e椭圆长轴的端点是（0，），所以a=．∵椭圆的离心率为∴双曲线的离心率e=，⇒c=2，∴b=，则双曲线的方程是y2﹣x2=2．故选D．点评：本题主要考查了双曲线的性质和椭圆的标准方程．要记住双曲线和椭圆的定义和性质．10．已知命题p：存在实数m使m+1≤0，命题q：对任意x∈R都有x2+mx+1＞0，若p且q 为假命题，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2] B． [2，+∞） C．（﹣∞，﹣2]∪（﹣1，+∞） D． [﹣2，2]考点：复合命题的真假．专题：规律型．分析：先求出命题p，q为真命题的等价条件，利用p且q为假命题，即可求实数m的取值范围．解答：解：若存在实数m使m+1≤0，则m≤﹣1，∴p：m≤﹣1．若对任意x∈R都有x2+mx+1＞0，则对应的判别式△=m2﹣4＜0，解得﹣2＜m＜2，即q：﹣2＜m＜2，∴p且q为真时，有，即﹣2＜m≤﹣1．∴若p且q为假命题，则m＞﹣1或m≤﹣2，即实数m的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪（﹣1，+∞）．故选：C．点评：本题主要考查复合命题与简单命题真假之间的关系，先求出p且q为真时的等价条件是解决本题的关键．11．正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y2=4x上，则这个正三角形的边长为（）A． B． C． 8 D． 16考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：根据抛物线方程先设其中一个顶点是（x，2 ），根据正三角形的性质 =tan30°=求得x，进而可得另两个顶点坐标，最后求得这个正三角形的边长．解答：解：设其中一个顶点是（x，2 ）因为是正三角形所以 =tan30°=即解得x=12所以另外两个顶点是（12，4 ）与（12，﹣4 ）则这个正三角形的边长为故选B．点评：本题主要考查抛物线的应用．利用抛物线性质解决解三角形问题的关键．12．如图所示，F为双曲线C：﹣=1的左焦点，双曲线C上的点P i与P7﹣i（i=1，2，3）关于y轴对称，则|P1F|+|P2F|+|P3F|﹣|P4F|﹣|P5F|﹣|P6F|的值是（）A． 9 B． 16 C． 18 D． 27考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：首先设右焦点为F′，由点P i与P7﹣i（i=1，2，3）关于y轴对称以及双曲线的对称性得出|FP1|=|F′P6|，|FP2|=|F′P5|，|FP3|=|F′P4|，然后根据双曲线的定义得出|F′P6|﹣|P6F|=2a=6，|F′P5|﹣|P5F|=2a=6，|F′P4|﹣|P4F|=2a=6，进而求出结果．解答：解：设右焦点为F′，∵双曲线C上的点P i与P7﹣i（i=1，2，3）关于y轴对称∴P1和P6，P2和P5，P3和P4分别关于y轴对称∴|FP1|=|F′P6|，|FP2|=|F′P5|，|FP3|=|F′P4|，∵|F′P6|﹣|P6F|=2a=6，|F′P5|﹣|P5F|=2a=6，|F′P4|﹣|P4F|=2a=6，∴|P1F|+|P2F|+|P3F|﹣|P4F|﹣|P5F|﹣|P6F|=（|F′P6|﹣|P6F|）+（|F′P5|﹣|P5F|）+（|F′P4|﹣|P4F|）=18故选C．点评：本题考查了双曲线的性质，灵活运用双曲线的定义，正确运用对称性是解题的关键，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题纸的横线上，填在试卷上的答案无效.13．命题“存在x∈R，x2﹣2x+1≤0”的否定是∀x∈R，x2﹣2x+1＞0 ．考点：特称命题．专题：简易逻辑．分析：特称命题的否定是全称命题结果即可．解答：解：∵特称命题的否定是全称命题，∴命题“存在x∈R，x2﹣2x+1≤0”的否定是：∀x∈R，x2﹣2x+1＞0．故答案为：∀x∈R，x2﹣2x+1＞0．点评：本题考查特称命题与全称命题的否定关系，注意否定的形式．14．椭圆x2+ny2=1与直线y=1﹣x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则n的值是．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：联立方程组，转化为二次方程，借助韦达定理，求出中点坐标，再利用斜率得到等式，即可求出答案．解答：解：设M（x1，y1），N（x2，y2），中点（x，y），椭圆x2+ny2=1与直线y=1﹣x交于M，N两点化简可得：（1+n）x2﹣2nx﹣n﹣1=0所以x1+x2=，x=，y=，因为过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，所以=，即n=，故答案为：点评：本题综合考查了直线与圆锥曲线位置关系，二次方程的系数的运用．15．过抛物线y2=4x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于8 ．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线方程得它的准线为l：x=﹣1，从而得到线段AB中点M到准线的距离等于4．过A、B分别作AC、BD与l垂直，垂足分别为C、D，根据梯形中位线定理算出|AC|+|BD|=2|MN|=8，结合抛物线的定义即可算出AB的长．解答：解：∵抛物线方程为y2=4x，∴抛物线的焦点为F（1，0），准线为l：x=﹣1设线段AB的中点为M（3，y0），则M到准线的距离为：|MN|=3﹣（﹣1）=4，过A、B分别作AC、BD与l垂直，垂足分别为C、D根据梯形中位线定理，可得|AC|+|BD|=2|MN|=8再由抛物线的定义知：|AF|=|AC|，|BF|=|BD|∴|AB|=|AF|+|BF||AC|+|BD|=8．故答案为：8点评：本题给出过抛物线y2=4x焦点的一条弦中点的横坐标，求该弦的长度．着重考查了抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．16．已知三个数2，m，8构成一个等比数列，则圆锥曲线+=1离心率为或．考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由1，m，9构成一个等比数列，得到m=±3．当m=3时，圆锥曲线是椭圆；当m=﹣3时，圆锥曲线是双曲线，由此入手能求出离心率．解答：解：∵2，m，8构成一个等比数列，∴m=±4．当m=4时，圆锥曲线+=1是椭圆，它的离心率是；当m=﹣4时，圆锥曲线+=1是双曲线，它的离心率是．故答案为：或．点评：本题考查圆锥曲线的离心率的求法，解题时要注意等比数列的性质的合理运用，注意分类讨论思想的灵活运用．三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知双曲线方程是9x2﹣y2=﹣81．求它的实轴和虚轴的长、焦点坐标、离心率和渐近线方程．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：把方程化简为：，求出a，b，c 再根据几何性质写出答案．解答：解：∵双曲线方程是9x2﹣y2=﹣81，∴双曲线标准方程为：，实轴长：18，虚轴长为6，a=9，b=3，c=3，焦点坐标（0，±3），离心率：e=，渐近线方程为：y=±3x．点评：本题主要考察了双曲线的方程，几何性质，属于比较简单的计算题．18．求下列各曲线的标准方程．（1）已知椭圆的两个焦点分别是（﹣2，0），（2，0），并且经过点（，﹣）．（2）已知抛物线焦点在x轴上，焦点到准线的距离为6．考点：椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意可设椭圆的标准方程为（a＞b＞0），设焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），因为椭圆经过点P（，﹣），利用椭圆的定义可得2a=|PF1|+|PF2|，再利用b2=a2﹣c2即可得出．（2）抛物线焦点在x轴上，可设标准方程为y2=±2px（p＞0）．根据焦点到准线的距离为6，可得p=6，即可得到抛物线的标准方程．解答：解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为（a＞b＞0），∵椭圆经过点（，﹣）．∴．∴．∵c=2，∴b2=a2﹣c2=10﹣4=6．所求椭圆的标准方程为．（2）∵抛物线焦点在x轴上，可设标准方程为y2=±2px（p＞0）．∵焦点到准线的距离为6，∴p=6．∴抛物线的标准方程为y2=±12x．点评：本题考查了圆锥曲线的定义、标准方程及其性质，属于基础题．19．已知a＞0，命题p：函数y=a x为减函数．命题q：当x∈[，2]时，函数f（x）=x+＞恒成立，如果p或q为真命题，p且q为假命题，求a的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：由a＞0，命题p：函数y=a x为减函数．可得0＜a＜1．命题q：当x∈[，2]时，函数f（x）=x+＞恒成立，可得，利用基本不等式即可得出．由p或q为真命题，p且q为假命题，可得p，q中必然一个真命题一个为假命题．解出即可．解答：解：由a＞0，命题p：函数y=a x为减函数．∴0＜a＜1．命题q：当x∈[，2]时，函数f（x）=x+＞恒成立，∴，∵x∈[，2]时，函数f（x）=x+=2，当且仅当x=1时取等号．∴，又a＞0，∴．∵p或q为真命题，p且q为假命题，∴p，q中必然一个真命题一个为假命题．①当p真q假时，，解得，a的取值范围是．②当q真p假时，，解得a≥1，a的取值范围是[1，+∞）．点评：本题考查了指数函数的单调性、基本不等式、不等式组的解法、“或”“且”“非”命题的真假的判断等基础知识，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．20．已知p：x2﹣7x+10≤0，q：m≤x≤m+1，若q是p的充分条件，求m的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：规律型．分析：求出p的等价条件，利用q是p的充分条件，确定m的取值范围．解答：解：由x2﹣7x+10≤0，解得2≤x≤5，即p：2≤x≤5．，设A={x|2≤x≤5}∵命题q可知：m≤x≤m+1，设B={x|m≤x≤m+1}，∵q是p的充分条件，∴B⊆A，，解得：2≤m≤4．∴m的取值范围是2≤m≤4．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，比较基础．21．已知△ABC的顶点A，B的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），C 为动点，且满足，求点C 的轨迹方程，并说明它是什么曲线．考点：椭圆的标准方程；正弦定理．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由，可知，即|AC|+|BC|=10＞|AB|=8，根据椭圆的定义可知：点C的轨迹是椭圆（去掉左右顶点）．解答：解：由，可知，即|AC|+|BC|=10＞|AB|=8，满足椭圆的定义．设椭圆方程为，则a′=5，c′=4，∴=3，则轨迹方程为（x≠±5），图形为椭圆（不含左，右顶点）．点评：本题考查了椭圆的定义，属于基础题．22．已知圆C方程为（x﹣3）2+y2=12，定点A（﹣3，0），P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线CP相交于点Q．（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹E的方程．（Ⅱ）过点C倾斜角为30°的直线交曲线E于A、B两点，求|AB|．考点：轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由题意可得点Q满足双曲线的定义，且求得a，c的值，再由b2=c2﹣a2求得b，则点Q的轨迹E的方程可求；（Ⅱ）由题意得到直线AB的方程，和双曲线方程联立后利用弦长公式得答案．解答：解：（Ⅰ）由点Q是线段AP垂直平分线上的点，∴|AQ|=|PQ|，又∵，满足双曲线的定义．设E的方程为，则，，则轨迹E方程为；（Ⅱ）直线AB的倾斜角为30°，且直线过C（3，0），∴直线AB的方程为，由，消去y得5x2+6x﹣27=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴有，．则|AB|=．点评：本题考查了轨迹方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常用根与系数的关系解决，是压轴题．27172 6A24 樤t36464 8E70 蹰UeX- ]g33954 84A2 蒢29404 72DC 狜6。
高二数学9月月考试卷
高二数学9月月考试卷一、填空题（本大题满分36分，每小题3分）1、2332122lim =++∞→nn an n 则a= . 2、循环小数..134.0化成分数为__________. 3、线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-+-=-++015225072306z y x z y x z y x 的增广矩阵是 ．4、非零向量()()1122,,,a x y b x y ==，则“1122x y x y =”是“a ∥b ”的 条件． 5、已知：A （2，5）B （3，0），P 是直线AB 上的一点，且AP = 23-AB ，则点P 的坐标为 6、若(1,2)a =-，(3,1)b =-，0c 是与b a -平行的单位向量，则0c = .7、已知(3,2),(1,0)a b =-=-，向量a b λ+与2a b -垂直，则实数的值为 .8、1131lim 33n n n n n a a ++→∞+=+如果，则实数a 的取值范围是_____ 9、对任意的实数y x ,，矩阵运算⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x y y x d c b a 都成立，则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a . 10、无穷等比数列{}n a 中，公比为q 且所有项的和为4，则1a 的范围是_________11、数列{a n }的通项公式为(35)n n a x =-，若lim n n a →∞存在，则x 的取值范围是 12、有一边长为1的正方形ABCD ，设c AC b BC a AB ===,,，则=++||c b a二、选择题（本大题满分12分，每小题3分）13、等边ABC ∆中，向量,AB BC 的夹角为 （ ）A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π 14、∞→n lim a n =A, ∞→n lim b n =B 是∞→n lim (a n +b n )=A+B 的 ( ) (A)充分必要条件 (B)充分且不必要条件(C)必要且不充分条件 (D)既不充分又不必要要件λ15、设→1e 与→2e 是不共线的非零向量，且k →1e ＋→2e 与→1e ＋k →2e 平行向量，则k 的值是 （ ）（A ） 1 （B ） －1 (C ） 1± （D ） 任意不为零的实数16、给出下列命题中正确的命题个数为 （ ）（1）若0||=a ，则0=a ； （2）若0a b ⋅=，则0a =或0b = ；（3）若a b ka kb k c d kc kd ⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； (4）若a b ⊥，则a b a b +=-；（5）矩阵A ，B 满足AB=BA 。
山东省济宁市实验中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题
山东省济宁市实验中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题一、单选题1．以下事件是随机事件的是（ ）A ．标准大气压下，水加热到100C ︒，必会沸腾B ．走到十字路口，遇到红灯C ．长和宽分别为,a b 的矩形，其面积为abD ．实系数一元一次方程必有一实根2．抽查10件产品，设事件A ：至少有两件次品，则A 的对立事件为 A ．至多两件次品 B ．至多一件次品 C ．至多两件正品D ．至少两件正品3．两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为（ ）A ．12B ．14C ．13D ．164．掷一个骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中事件A B +发生的概率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．565．直三棱柱111ABC A B C -中，若1,,CA a CB b CC c ===u u u r u u u r u u u u r r r r ，则1A B =u u u r（ ）A ．a b c +-r r rB ．a b c -+r r rC ．a b c -++r r rD ．a b c -+-r r r6．已知空间向量0a b c ++=r r r r，2a =r ，3b =r ，4c =r ，则cos ,a b =r r （ ） A ．12B ．13C ．12-D ．147．端午节放假，甲回老家过节的概率为13，乙,丙回老家过节的概率分别为11,45.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为（ ） A ．5960B ．35C ．12D ．1608．在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题．如我们把这种方法用于300个被调查的运动员，得到80个“是”的回答，则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为（ ） A ．4.33%B ．3.33%C ．3.44%D ．4.44%二、多选题9．在平行六面体ABCD A B C D -''''中，若AB 所在直线的方向向量为(2,1,3)-，则C D ''所在直线的方向向量可能为（ ） A ．(2,1,3) B ．(2,1,3)-- C ．(4,2,6)-D ．(4,2,6)-10．下列各组事件中，是互斥事件的是（ ）A ．一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6B ．统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分C ．播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒D ．检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%11．已知点P 为三棱锥O ABC -的底面ABC 所在平面内的一点，且12OP OA mOB nOC =+-u u u ru u ur u u u ru u u r（m ，n R ∈），则m ，n 的值可能为（ ）A ．1m =，12n =-B ．12m =，1n = C ．12m =-，1n =- D ．32m =，1n =三、填空题12．从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是．13．已知事件A ，B ，C 两两互斥，且()0.3P A =，()0.6P B =，()0.2P C =，则()P A B C ⋃⋃=．14．在长方体1111ABCD A B C D -中，122AB AA AD ===，以D 为原点，DA u u u r ，DC u u ur ，1DD u u u u r 方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则1AC =u u u u r，若点P 为线段AB 的中点，则P 到平面11A BC 距离为．四、解答题15．（1）已知2,3a b ==r r ，且a b ⊥r r求2a b a b +⋅r r r r （）（-） （2）已知a b a b +=-r r r r ，求a b ⋅r r16．已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动． （Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii ）设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率．17．甲、乙二人进行一次围棋比赛，采用5局3胜制，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局． (1)求再赛2局结束这次比赛的概率； (2)求甲获得这次比赛胜利的概率．18．如图所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB AF ＝1，M 是线段EF 的中点．求证：(1)AM ∥平面BDE ；(2)AM ⊥平面BDF.19．在长方体1111ABCD A B C D -中，11AA AD ==，E 为线段CD 中点．(1)求直线1B E 与直线1AD 所成的角的余弦值；(2)在棱1AA 上是否存在一点P ，使得//DP 平面1B AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由．。
2022-2023学年广西玉林市北流市实验中学高二上学期9月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年广西玉林市北流市实验中学高二上学期9月月考数学试题一、单选题1．直线220x y -+=在x 轴上的截距是（ ） A ．1- B ．1 C ．2- D ．2【答案】A【分析】根据截距的概念运算求解.【详解】令0y =，则2020x -+=，解得1x =- ∴直线220x y -+=在x 轴上的截距是1- 故选：A.2．过点(2,3)A 且平行于直线250x y +-=的直线的方程为（ ） A ．240x y -+= B ．270x y +-= C ．280x y +-= D ．4250x y +-=【答案】B【分析】根据平行设直线方程为20x y C ++=，代入点计算得到答案.【详解】设直线方程为20x y C ++=，将点(2,3)A 代入直线方程得到430C ++=，解得7C =-.故直线方程为：270x y +-=. 故选：B.3．“2a =”是“直线1l ：2430ax y ++=与直线2l ：()2150x a y ---=垂直”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】求出两直线垂直的充要条件后再根据充分必要条件的定义判断． 【详解】若12l l ⊥，则()22410a a --=，解得2a =或12a =. 所以由2a =可以得到12l l ⊥，反之则不然，故“2a =”是“12 l l ⊥”的充分不必要条件. 故选：A.4．已知直线l 的方向向量(1,2,1)a =-，平面α的法向量(2,2,2)b =--，则直线l 与平面α的位置关系是（ ） A ．//l αB ．l α⊥C ．l α⊂D ．以上选项都不对 【答案】D【分析】计算得到0a b ⋅=，得到a b ⊥，即直线l 与平面α的位置关系是l α∥或l α⊂，得到答案.【详解】(1,2,1)a =-，(2,2,2)b =--，则2420a b ⋅=-+=，故a b ⊥， 故直线l 与平面α的位置关系是l α∥或l α⊂. 故选：D.5．已知平面α，β的法向量分别为()2,3,a λ=和()4,,2b μ=-（其中,R λμ∈），若//αβ，则λμ+的值为（ ） A ．52-B ．-5C ．52D ．5【答案】D【分析】根据平面平行得到//a b ，故()()2,3,4,,2k λμ=-，计算得到答案.【详解】//αβ，则//a b ，故()()2,3,4,,2k λμ=-，即2432kk kμλ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩，解得61μλ=⎧⎨=-⎩. 故5λμ+=. 故选：D .【点睛】本题考查了法向量的平行问题，意在考查学生的计算能力. 6．直线3460x y +-=关于y 轴对称的直线方程是（ ） A ．3x -4y -6=0 B ．4x -3y -6=0 C ．3x -4y +6=0 D ．4x -3y +6=0【答案】C【分析】求出直线3460x y +-=与y 轴的交点，并求出直线3460x y +-=的斜率，由此可得出所求直线的方程.【详解】直线3460x y +-=交y 轴于点30,2⎛⎫⎪⎝⎭，且直线3460x y +-=的斜率为34k =-， 故所求直线的斜率为34，故所求直线的方程为3324y x -=，即3460x y -+=. 故选：C.7．在空间中，已知()2,4,0AB =，()1,3,0BC =-，则ABC ∠的大小为（ ） A ．135︒B ．90C ．120 D ．45【答案】A【分析】结合向量夹角公式计算出ABC ∠的大小. 【详解】()()2,4,0,1,3,0BA BC =--=-， 212102cos 241619102BA BC ABC BA BC⋅--∠====-+⋅+⋅，由于0180ABC ︒≤∠≤︒，所以135ABC ∠=︒. 故选：A8．在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为（ ）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6【答案】D【分析】平移直线1AD 至1BC ，将直线PB 与1AD 所成的角转化为PB 与1BC 所成的角，解三角形即可.【详解】如图，连接11,,BC PC PB ，因为1AD ∥1BC ， 所以1PBC ∠或其补角为直线PB 与1AD 所成的角，因为1BB ⊥平面1111D C B A ，所以11BB PC ⊥，又111PC B D ⊥，1111BB B D B ⋂=， 所以1PC ⊥平面1PBB ，所以1PC PB ⊥， 设正方体棱长为2，则1111122,22BC PC D B === 1111sin 2PC PBC BC ∠==，所以16PBC π∠=. 故选：D二、多选题9．在以下命题中，不正确的命题有（ ） A ．a b a b -=+是,a b 共线的充要条件 B ．若//a b ，则存在唯一的实数λ，使a b λ=C ．对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若223OP OA OB OC =+-，则P ，A ，B ，C 四点共面D ．若{},,a b c 为空间的一个基底，则{},,a b b c c a +++构成空间的另一个基底 【答案】AB【分析】利用a b a b -≤+等号成立的条件可判断A ；利用0与任意向量共线可判断B ；利用共面定理可判断C ；利用基底的概念可判断D【详解】对于A ：向量,a b 同向时，a b a b -≠+，故A 错误； 对于B ：需要强调0b ≠，故B 错误；对于C ：因为2231+-=，则由共面定理知P ，A ，B ，C 四点共面，故C 正确； 对于D ：{},,a b c 为空间的一个基底，则,,a b c 不共面，故,,a b b c c a +++也不共面， 所以{},,a b b c c a +++构成空间的另一个基底，故D 正确； 故选：AB10．已知直线1:0l x ay a +-=和直线2:(23)20l ax a y a --+-=，则（ ）A ．2l 始终过定点12(,)33B ．若2l 在x 轴和y 轴上的截距相等，则1a =C ．若12l l ⊥，则0a =或2D ．若12l l //，则1a =或3-【答案】AC【分析】结合直线所过定点的求法、直线的截距、直线平行和垂直等知识对选项进行分析，由此确定正确选项.【详解】2:(23)20l ax a y a --+-=化为(21)320a x y y -++-=， 由210x y -+=且320y -=解得12,33x y ==，即直线2l 恒过定点12(,)33，故A 正确；若2l 在x 轴和y 轴上截距相等，则2l 过原点或其斜率为1-，则2a =或()1123aa a -=-⇒=--，故B 错误；若12l l ⊥，则1(32)0a a a ⨯+⨯-=解得0a =或2，故C 正确； 若12l l //，则先由1(32)a a a ⨯-=⨯解得1a =或3-， 再检验当1a =时12,l l 重合，故D 错误. 故选：AC11．下列各命题正确的是（ ）A ．点()1,2,3-关于平面xOz 的对称点为()1,2,3B ．点1,1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭关于y 的对称点为1,1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．点()2,1,3-到平面yOz 的距离为1D ．设{},,i j k 是空间向量单位正交基底且以i ，j ，k 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立了一个空间直角坐标系，若324m i j k =-+，则()3,2,4m =- 【答案】ABD【分析】利用空间直角坐标系中的点的对称关系、距离、坐标分析判断 【详解】对于A ，点()1,2,3-关于平面xOz 的对称点为()1,2,3，所以A 正确， 对于B ，点1,1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭关于y 的对称点为1,1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以B 正确，对于C ，点()2,1,3-到平面yOz 的距离为2，所以C 错误，对于D ，由于{},,i j k 是空间向量单位正交基底且以i ，j ，k 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立了一个空间直角坐标系，且324m i j k =-+，所以，所以D 正确，故选：ABD12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，下列四个结论中正确的是（ ）A ．直线1BC 与直线1AD 所成的角为90B ．直线1BC 与平面1ACDC ．1BD ⊥平面1ACDD ．点1B 到平面1ACD【答案】ABC【分析】如图建立空间直角坐标系，求出1B C 和1AD 的坐标，由110AD BC ⋅=可判断A ；证明10AC B D ⋅=，110AD B D ⋅=可得1AC B D ⊥，11AD B D ⊥，由线面垂直的判定定理可判断C ；计算11cos ,B D B C 的值可得线面角的正弦值，再由同角三角函数基本关系求出夹角的余弦值可判断B ；利用向量求出点1B 到平面1ACD 的距离可判断D ，进而可得正确选项.【详解】如图以D 为原点，分别以1,,DA DC DD 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()1,0,0A ()0,1,0C ，()10,0,1D ，()11,1,1B ， 对于A ：()11,0,1B C =--，()11,0,1AD =-，因为()()()111100110B AD C =⋅-⨯-+⨯+-⨯=，所以11AD BC ⊥，即11B C AD ⊥，直线1B C 与直线1AD 所成的角为90，故选项A 正确；对于C ：因为 ()1,1,0AC =-，()11,0,1AD =-，()11,1,1B D =---，所以11100AC B D ⋅=-+=，111010AD B D ⋅=+-=，所以1AC B D ⊥，11AD B D ⊥， 因为1ACAD A =，所以1B D ⊥平面1ACD ，故选项C 正确；对于B ：由选项C 知：1B D ⊥平面1ACD ，所以平面1ACD 的一个法向量()11,1,1B D =---，因为()11,0,1B C =--，所以111111cos ,3B D B C B D B C B DB C⋅===即直线1B C 与平面1ACD，所以直线1B C 与平面1ACD 所成角的余弦值为=B 正确； 对于D ：因为()11,0,1B C =--，平面1ACD 的一个法向量()11,1,1B D =---，所以点1B 到平面1ACD 的距离为11123332B D B C d B D⋅===，故选项D 不正确 故选：ABC.三、填空题13．直线l 3320x y +-=的倾斜角是______ 【答案】56π【分析】将一般式方程整理为斜截式方程可得直线斜率，由斜率和倾斜角关系求得倾斜角.【详解】3320x y +-=得：323y x =+， 所以直线的斜率为[]30k θπ=∈，， ∴直线的倾斜角为56π. 故答案为：56π. 14．过原点且方向向量为()1,2a =-的直线方程为______． 【答案】20x y +=【分析】利用直线的方向向量可得直线的斜率，进而得出直线的方程． 【详解】解：过原点且方向向量为(1,2)a =-的直线的斜率为221-=-， 故方程为：2y x =-，即20x y +=. 故答案为：20x y +=．15．函数()2225618f x x x x x -+-+________．【答案】29【解析】根据题意，其几何意义为点(),0P x 到点()1,2A ，()3,3B 两点的距离之和，故y PA PB PC PB BC =+=+≥，再根据距离公式求解即可.【详解】解：因为()()()2222256181439f x x x x x x x =-++-+=-++-+，几何意义为点(),0P x 到点()1,2A ，()3,3B 两点的距离之和，()1,2A 关于x 轴的对称点()1,2C -，()()22313229y PA PB PC PB BC =+=+≥=-++=，当且仅当,,B P C 三点共线时y 的值最小为29BC = 故答案为：29【点睛】本题考查两点之间距离公式的妙用，涉及函数最值的求解，属基础题. 16．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,O 是底面1111D C B A 的中心，则O 到平面11ABC D 的距离为______．2【解析】以D 为原点，1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到平面的距离即可.【详解】以D 为原点，1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 易得11,,122O ⎛⎫⎪⎝⎭,()()11,0,0,.0,0,1A D()()10,1,0,1,0,1AB AD ==-,设平面11ABC D 的法向量为(),,n x y z =, 1·0·0AB n y AD n x z ⎧==⎪⎨=-+=⎪⎩,令1x =,则()1,0,1n =，11,,122AO ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,O ∴到平面11ABC D 的距离11·2242AO n d n -+===, 故答案为：24.【点睛】本题考查点到平面的距离的求法，常用的方法有等体积法，垂线法，空间向量方法，利用空间向量方法求解是比较方便的方法.四、解答题17．已知点(1,1)(2,4)、-A B . (1)求直线AB 的倾斜角(2)过点(1,0)P 的直线m 与过(1,1)(2,4)、-A B 两点的线段有公共点，求直线m 斜率的取值范围.【答案】(1)4πα=(2)[)14,2，-⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）利用两点式得到直线斜率，从而可得直线AB 的倾斜角； （2）求出直线PA 与直线PB 的斜率，从而可得结果. 【详解】(1)由已知得：直线AB 的斜率()41121k -==--tan 1,α∴=又[)0,,4παπα∈∴=(2)直线PA 的斜率101112-==---PA k 直线PB 的斜率40421-==-PB k 过点直线m 与过AB 、两点的线段有公共点，∴直线m 斜率的取值范围为[)14,2，-⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦18．已知直线11:42m l y x =-+与直线22:55nl y x =+垂直，垂足为()1,H p ，求过点H ，且斜率为m pm n++的直线方程. 【答案】42y x =-+【分析】根据垂直关系得到10m =，结合垂足在直线上得到H (1，-2)及12n =-，从而可得直线方程.【详解】解：∵12l l ⊥∴2145m -⨯=-解得10m =，∴直线l 1的方程为5122y x =-+.又∵点()1,H p 在直线l 1上，∴511222p =-⨯+=-，即H (1，-2).又∵点H (1，-2)在直线l 2上，22155n-=⨯+.解得12n =-，∴所求直线的斜率为4m pm n+=-+，其方程为()241y x +=--，即42y x =-+ 19．已知点(3,5)A -和(2,15)B ，P 为直线10x y -+=上的动点. (1)求(3,5)A -关于直线10x y -+=的对称点0(A x '，0)y ， (2)求PA PB +的最小值. 【答案】(1)(4,2)- 293【分析】（1）根据点,A A '的中点在直线10x y -+=上，直线AA '和直线10x y -+=垂直，列出方程，解方程即可得出答案；（2）PA PB PA PB A B ''+=+≥，当且仅当,,P A B '三点共线时，取等号，即可求出PA PB +的最小值为A B '，代入即可得出答案.【详解】(1)(3,5)A -关于直线10x y -+=的对称点设为0(A x '，0)y ，则0000351022513x y y x -++⎧-+=⎪⎪⎨-⎪=-+⎪⎩，解得04x =，02y =-， 所以A '的坐标为(4,2)-.(2)由（1）及已知得：PA PB PA PB A B ''+=+≥，当且仅当,,P A B '三点共线时，取等号， 则PA PB +的最小值为：||A B '20．已知(,4,1)a x =，(2,,1)b y =--，(3,2,)c z =-，//a b ，b c ⊥.（1）求实数x ，y ，z 的值；（2）求a c +与b c +夹角的余弦值.【答案】（1）x =2，y =-4，z =2；（2）219-. 【分析】（1）直接利用向量平行和向量垂直即可求出x ，y ，z 的值；（2）先求出()5,2,3,a c += ()1,6,1b c +=-利用向量的夹角公式即可求解.【详解】（1）因为(,4,1)a x =，(2,,1)b y =--，(3,2,)c z =-，//a b ，b c ⊥. 所以()()41,232021x y z y ==-⨯+⨯--=--， 解得：x =2，y =-4，z =2.（2）由（1）知：(2,4,1)a =，(2,4,1)b =---，(3,2,2)c =-，所以()5,2,3,a c += ()1,6,1b c +=-.设a c +与b c +夹角为θ[]()0,θπ∈，则2cos 19θ==-即a c +与b c +夹角的余弦值为219-. 21．如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D1的底面是菱形，AA1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB1，A1D 的中点.（1）证明：MN ∥平面C1DE ；（2）求点C 到平面C1DE 的距离．【答案】（1）见解析；（2）41717. 【分析】（1）利用三角形中位线和11//A D B C 可证得//ME ND ，证得四边形MNDE 为平行四边形，进而证得//MN DE ，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）根据题意求得三棱锥1C CDE -的体积，再求出1C DE ∆的面积，利用11C CDE C C DE V V --=求得点C 到平面1C DE 的距离，得到结果.【详解】（1）连接ME ，1B CM ，E 分别为1BB ，BC 中点 ME ∴为1B BC ∆的中位线1//ME B C ∴且112ME B C = 又N 为1A D 中点，且11//A D B C 1//ND B C ∴且112ND B C = //ME ND ∴ ∴四边形MNDE 为平行四边形//MN DE ∴，又MN ⊄平面1C DE ，DE ⊂平面1C DE//MN ∴平面1C DE（2）在菱形ABCD 中，E 为BC 中点，所以DE BC ⊥， 根据题意有3DE =，117C E =， 因为棱柱为直棱柱，所以有DE ⊥平面11BCC B ，所以1DE EC ⊥，所以113172DEC S ∆=⨯⨯， 设点C 到平面1C DE 的距离为d ，根据题意有11C CDE C C DE V V --=，则有11113171343232d ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯， 解得44171717d ==， 所以点C 到平面1C DE 的距离为41717. 【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，点到平面的距离的求解，在解题的过程中，注意要熟记线面平行的判定定理的内容，注意平行线的寻找思路，再者就是利用等积法求点到平面的距离是文科生常考的内容. 22．如图，已知四棱锥P -ABCD 的底面为直角梯形，AB DC ∥，90DAB ∠=︒，PA ⊥底面ABCD ，且112PA AD DC AB ====，M 是棱PB 的中点.(1)证明：平面PAD ⊥平面PCD ；(2)求平面AMC 与平面BMC 的夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)23【分析】（1）根据线面垂直的判定定理先证明DC ⊥平面P AD ，再根据面面垂直的判定定理证明平面PAD ⊥平面PCD ；（2）建立空间直角坐标系，求出相关各点的坐标，继而求得相关向量的坐标，再求出相关平面AMC 和平面BMC 的法向量，根据向量的夹角公式求得答案【详解】(1)∵PA ⊥底面ABCD ，DC ⊂底面ABCD ，∴PA DC ⊥,又由题设知AD DC ⊥，且直线P A 与AD 是平面P AD 内的两条相交直线， ∴DC ⊥平面P AD .又DC ⊂平面PCD ，∴平面PAD ⊥平面PCD .(2)∵PA AD ⊥，PA AB ⊥，AD AB ⊥，∴以A 为坐标原点，以AD 为x 轴，以AB 为y 轴，以AP 为z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系.则()0,0,0A ，()0,2,0B ，()1,1,0C ，()0,0,1P ,10,1,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 10,1,2AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭,(1,1,0)AC =, 设平面AMC 的法向量为()1,,n x y z =，则由1100n AM n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得1020y z x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，得2z y x y =-⎧⎨=-⎩， 令1y =，得()11,1,2n =--为平面AMC 的一个法向量. 由10,1,2BM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11,0,2MC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 设平面BMC 的一个法向量为()2,,n a b c =，则2200n BM n MC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即102102b c a c ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 令1a = ,可得平面BMC 的一个法向量为()21,1,2n =. ∴1212122cos ,3n n n n n n ⋅==-,2 3.故所求平面AMC与平面BMC的夹角的余弦值为。
2021年高二数学9月月考试题 文
2021年高二数学9月月考试题 文一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在空间，下列条件可以确定一个平面的是( )两条直线 一点和一条直线 一个三角形 三个点 2.平面，直线，直线，则的位置关系是( )异面 平行 相交 无法确定 3.若直线不平行于平面，则下列结论成立的是( )内所有的直线都与异面 内不存在与平行的直线 内所有的直线都与相交 直线与平面有公共点 4在正方体中，与对角线异面的棱有（ ）3条 4条 6条 8条 5.平面与平面平行的条件可以是( )内有无穷多条直线与平行 直线 直线，直线，且 内任何直线都与平行 6.以下命题中为真命题的个数是( )（1）若直线平行于平面内的无数条直线，则直线∥； （2）若直线在平面外，则∥； （3）若直线a ∥b ，，则∥； （4）若直线a ∥b ，，则平行于平面内的无数条直线。
1个 2个 3个 4个 7.直线及平面，下列命题正确的是( ) 若，则 若，则 若，则 若8.分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是（ ）Ａ．异面直线 Ｂ．相交直线 Ｃ．不相交直线 Ｄ．不平行直线 9.已知正四棱柱ABCD —中，,则CD 与平面所成的正弦值等于( )10.如图，在斜三棱柱ABC —中，,则在底面ABC 的射影H 必在( )直线AB 上 直线BC 上 直线AC 上 内部第10题图二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题卡上相应位置. 11.已知，，是三条直线，，且与的夹角为，那么与夹角为 . 12.已知两条相交直线，，，则与的位置关系是 .113. 已知长方体中，，，．则和所成的角是 .14.已知P 是所在平面外的一点，PA 、PB 、PC 两两垂直，且P 在所在平面内的射影H 在内，则H 一定是的 心.15.如图所示，ABCD —是棱长为的正方体，M 、N 分别是下底面的棱的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP=，过P 、M 、N 的平面交上底面于PQ ，点Q 在CD 上，则PQ= .第15题图三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．(本小题满分12分) ⑴将下列文字语言转化为符号语言. ①点在直线上，但不在平面内；②平面与平面交于直线，在平面内，且与直线交于点. ⑵将下列符号语言转化为图形语言.①；②P n m l n m l ==== ,,,γαγββα.17．(本小题满分12分) 如图，正方体ABCD —中，E ，F 分别是AB 和的中点.求证：⑴四点共面；⑵三线共点.1A 111A18.(本小题满分12分) 若四棱锥P —ABCD 的底面是边长为2的正方形，底面ABCD ，且PA= ⑴求异面直线PD 与BC 所成角的大小；⑵求四棱锥P —ABCD 的体积19. (本小题满分12分)如图，在三棱柱中，分别是的中点，求证：平面平面.20.(本题满分13分) 如图，在四棱柱ABCD —中，侧棱垂直于底面,E 是的中点，F 是平面与直线的交点. ⑴ ;⑵求所成的角的正弦值.BAA 121.(本题满分14分) 在长方体ABCD—中，=AD=2，E是棱CD上的一点，⑴求证：; ⑵求证： ;⑶若E是棱CD的中点，在棱上是否存在点P，使得DP//平面?若存在，求出线段AP的长；若不存在，请说明理由.39519 9A5F 驟~34523 86DB 蛛24954 617A 慺e27102 69DE 槞(35863 8C17 谗21659 549B 咛24785 60D1 惑i4:Q36309 8DD5 跕A111。
山东省济宁市2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题含答案
济宁市高二年级第一学期九月模块测试数学试题（答案在最后）注意事项：1．答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形码. 2．本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页.3．选择题的作答：每小题选出答案后，用28铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.4．非选择题的作答：用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.以下事件是随机事件的是（）A.标准大气压下，水加热到100C ，必会沸腾B.走到十字路口，遇到红灯C.长和宽分别为,a b的矩形，其面积为abD.实系数一元一次方程必有一实根【答案】B【解析】【分析】根据随机事件的概念判断即可【详解】解：A．标准大气压下，水加热到100℃必会沸腾，是必然事件；故本选项不符合题意；B．走到十字路口，遇到红灯，是随机事件；故本选项符合题意；C．长和宽分别为,a b的矩形，其面积为ab是必然事件；故本选项不符合题意；D．实系数一元一次方程必有一实根，是必然事件．故本选项不符合题意．故选：B．2.抽查10件产品，设事件A：至少有两件次品，则A的对立事件为A.至多两件次品B.至多一件次品C.至多两件正品D.至少两件正品【答案】B【解析】【详解】试题分析：事件A 不包含没有次品或只有一件次品，即都是正品或一件次品9件正品，所以事件A 的对立事件为至多一件次品．故B 正确．考点：对立事件．3.两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为（）A.12B.14C.13D.16【答案】B 【解析】【分析】列举出所有的可能事件，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】两名同学分3本不同的书，记为,,a b c ，基本事件有(0，3)，(1a ，2)，(1b ，2)，(1c ，2)，(2，1a )，(2，1b )，(2，1c )，(3，0)，共8个，其中一人没有分到书，另一人分到3本书的基本事件有2个，∴一人没有分到书，另一人分得3本书的概率p ＝28＝14.故选:B4.掷一个骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中事件A B +发生的概率为（）A.13B.12C.23D.56【答案】C 【解析】【分析】由互斥事件的概率可知(()(1())P A B P A P B +=+-，从而得解.【详解】由已知得：1()3P A =，2()3P B =，事件B 表示“小于5的点数出现”，则事件B 表示“出现5点或6点”故事件A 与事件B 互斥，122()()(1())(1)333P A B P A P B ∴+=+-=+-=故选：C5.直三棱柱111ABC A B C -中，若1,,CA a CB b CC c ===，则1A B = （）A.a b c+-r r r B.a b c-+r r r C.a b c -++D.a b c-+- 【答案】D 【解析】【分析】由空间向量线性运算法则即可求解．【详解】()11111A A B B a b B A B c CC C CB =+=-+=-+--+.故选：D ．6.已知空间向量0a b c ++=，2a = ，3b = ，4c = ，则cos ,a b = （）A.12B.13C.12-D.14【答案】D 【解析】【分析】设,,AB a BC b CA c ===，在ABC V 中由余弦定理求解.【详解】空间向量0a b c ++= ，2a = ，3b = ，4c =，则,,a b c三向量可能构成三角形的三边.如图，设,,AB a BC b CA c === 2a = ，则ABC V 中，||2,||3,||4AB BC CA === 2a =，222||||cos ,cos 2AB BC CA a b ABC AB BC+-∴=-∠=-⨯⨯ 491612234+-=-=⨯⨯.故选：D7.端午节放假，甲回老家过节的概率为13，乙,丙回老家过节的概率分别为11,45.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为（）A.5960 B.35 C.12 D.160【答案】B【解析】【分析】这段时间内至少1人回老家过节的对立事件是这段时间没有人回老家过节，由此能求出这段时间内至少1人回老家过节的概率.【详解】端午节放假，甲回老家过节的概率为13，乙,丙回老家过节的概率分别为11,45.假定三人的行动相互之间没有影响，这段时间内至少1人回老家过节的对立事件是这段时间没有人回老家过节，∴这段时间内至少1人回老家过节的概率为：1113 11113455 p⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----=⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B.8.在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题．如我们把这种方法用于300个被调查的运动员，得到80个“是”的回答，则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为（）A.4.33%B.3.33%C.3.44%D.4.44%【答案】B【解析】【分析】推理出回答第一个问题的150人中大约有一半人，即75人回答了“是”，故回答服用过兴奋剂的人有5人，从而得到答案.【详解】因为抛硬币出现正面朝上的概率为12，大约有150人回答第一个问题，又身份证号码的尾数是奇数或偶数是等可能的，在回答第一个问题的150人中大约有一半人，即75人回答了“是”，共有80个“是”的回答，故回答服用过兴奋剂的人有5人，因此我们估计这群人中，服用过兴奋剂的百分率大约为5150≈3.33%.故选：B二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.在平行六面体ABCD A B C D -''''中，若AB 所在直线的方向向量为(2,1,3)-，则C D ''所在直线的方向向量可能为（）A.(2,1,3)B.(2,1,3)--C.(4,2,6)-D.(4,2,6)-【答案】BC 【解析】【分析】由已知可得//AB C D ''，所以它们的方向向量共线，利用向量共线的坐标关系，即可判断各个选项.【详解】由已知可得//AB C D ''，故它们的方向向量共线，对于B 选项，(2,1,3)(2,1,3)--=--，满足题意；对于C 选项，(4,2,6)2(2,1,3)-=-，满足题意；由于A 、D 选项不满足题意．故选：BC.10.下列各组事件中，是互斥事件的是（）A.一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6B.统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分C.播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒D.检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%【答案】ACD 【解析】【分析】根据互斥事件的定义，两个事件不会同时发生，命中环数大于8与命中环数小于6，发芽90粒与发芽80粒，合格率高于0070与合格率为0070均为互斥事件，而平均分数不低于90分与平均分数不高于90分，当平均分为90分时可同时发生，即得解.【详解】根据互斥事件的定义，两个事件不会同时发生，对于A ，一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6,为互斥事件；对于B ，统计一个班级数学期中考试成绩，平均分数不低于90分与平均分数不高于90分当平均分为90分时可同时发生，不为互斥事件；对于C ，播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒,为互斥事件；对于D ，检查某种产品，合格率高于0070与合格率为0070,为互斥事件；故选：ACD.11.已知点P 为三棱锥O ABC -的底面ABC 所在平面内的一点，且12OP OA mOB nOC =+-（m ，n R ∈），则m ，n 的值可能为（）A.1m =，12n =- B.12m =，1n = C.12m =-，1n =- D.32m =，1n =【答案】CD 【解析】【分析】根据平面向量基本定理，结合空间向量加法的几何意义进行求解即可.【详解】因为点P 为三棱锥O ABC -的底面ABC 所在平面内的一点，所以由平面向量基本定理可知：()()AP y AC z AB AO OP y AO OC z AO OB =+⇒+=+++ ，化简得：(1)OP y z OA yOC zOB =--++，显然有11y z y z --++=，而12OP OA mOB nOC =+- ，所以有11122m n m n +-=⇒-=，当1m =，12n =-时，32m n -=，所以选项A 不可能；当12m =，1n =时，12m n -=-，所以选项B 不可能；当12m =-，1n =-时，12m n -=，所以选项C 可能；当32m =，1n =时，12m n -=，所以选项D 可能，故选：CD第Ⅱ卷（非选择题）三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．【答案】34【解析】【详解】从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条这一事件共有4种，而不能构成三角形的情形为2,3,5.所以这三条线段为边可以构成三角形的概率是P ＝34.13.已知事件A ，B ，C 两两互斥，且()0.3P A =，()0.6P B =，()0.2P C =，则()P A B C ⋃⋃=______．【答案】0.9##910【解析】【分析】由互斥事件与对立事件的相关公式求解【详解】由题意得()1()0.4P B P B =-=，则()()()()0.9P A P P A B C B P C ⋃⋃=++=．故答案为：0.914.在长方体1111ABCD A B C D -中，122AB AA AD ===，以D 为原点，DA ，DC ，1DD方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则1AC =______，若点P 为线段AB 的中点，则P 到平面11A BC 距离为______．【答案】①.(1,2,2)-②.6【解析】【分析】第一空，根据向量的坐标运算可得答案；第二空，求出平面11A BC 的法向量，利用向量法求点到平面的距离即可得解.【详解】如图，建立空间直角坐标系，因为122AB AA AD ===，则(1,0,0)A ，1(0,2,2)C ，1(1,0,2)A ，(1,2,0)B ，(1,1,0)P ，所以1(1,2,2)AC =- ，11(1,2,0)A C =- ，1(0,2,2)A B =- ，(0,1,0)PB =，设平面11A BC 的法向量为(,,)n x y z = ，则11100A B n A C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22020y z x y -=⎧⎨-+=⎩，令1y =，则2,1x z ==，故(2,1,1)n =，则P 到平面11A BC距离为66n PB d n⋅== .故答案为：(1,2,2)-；66.四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）已知2,3a b == ，且a b ⊥ 求2a b a b +⋅（）（-）（2）已知a b a b +=- ，求a b⋅ 【答案】（1）1-（2）0【解析】【分析】（1）由已知，利用向量数量积运算，结合向量垂直的向量表示即可求解；（2）由a b a b +=-，两边平方，展开运算即可.【详解】（1）因为2,3a b == ，且a b ⊥ ，所以22222222031a b a b a a b b +⋅+⋅-=⨯+-=- （）（-）=.（2）因为a b a b +=- ，则22a b a b +=- ，所以222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+ ，化简得22a b a b ⋅=-⋅ ，所以0a b ⋅=.16.已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．【答案】（1）3，2，2（2）（i）见解析（ii）5 21【解析】【详解】分析：（Ⅰ）结合人数的比值可知应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）由题意列出所有可能的结果即可，共有21种．（ii）由题意结合（i）中的结果和古典概型计算公式可得事件M发生的概率为P（M）=5 21．详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．（ii）由（Ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．所以，事件M发生的概率为P（M）=5 21．点睛：本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．17.甲、乙二人进行一次围棋比赛，采用5局3胜制，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．（1）求再赛2局结束这次比赛的概率；（2）求甲获得这次比赛胜利的概率．【答案】（1）0.52（2）0.648【解析】【分析】（1）再赛2局结束这次比赛分“第三、四局甲胜”与“第三、四局乙胜”两类情况，根据根据互斥事件的概率和及独立事件同时发生的概率求解可得；（2）由题意，甲获得这次比赛胜利只需后续比赛中甲先胜两局即可，根据互斥事件的概率和及独立事件同时发生的概率求解即可.【小问1详解】用i A 表示事件“第i 局甲胜”，j B 表示事件“第j 局乙胜”（,3,4,5i j =），设“再赛2局结束这次比赛”为事件A ，则3434A A A B B =+，由于各局比赛结果相互独立，且事件34A A 与事件34B B 互斥.所以()()()()()()()()343434343434P A P A A B B P A A P B B P A P A P B P B =+=+=+0.60.60.40.40.52=⨯+⨯=．故再赛2局结束这次比赛的概率为0.52.【小问2详解】记“甲获得这次比赛胜利”为事件B ，因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲成为胜方当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而34345345B A A B A A A B A =++，由于各局比赛结果相互独立，且事件34A A ，345B A A ，345A B A 两两互斥，所以()0.60.60.40.60.60.60.40.60.648P B =⨯+⨯⨯+⨯⨯=.故甲获得这次比赛胜利的概率为0.648.18.如图所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，ABAF ＝1，M 是线段EF 的中点．求证：(1)AM ∥平面BDE ；(2)AM ⊥平面BDF.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【详解】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD ＝N ，连结NE.则N 22,,022⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，E(0，0，1)，220)，M 22,,122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.∴NE ＝22,,122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，AM ＝22,,122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.∴NE ＝AM 且NE 与AM 不共线．∴NE ∥AM.∵NE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ，∴AM ∥平面BDE.(2)由(1)知AM ＝22,,122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，∵2，0，0)，22，1)，∴DF ＝(02，1)，∴AM ·DF＝0，∴AM ⊥DF.同理AM ⊥BF.又DF∩BF ＝F ，∴AM ⊥平面BDF.19.在长方体1111ABCD A B C D -中，11AA AD ==，E 为线段CD 中点．（1）求直线1B E 与直线1AD 所成的角的余弦值；（2）在棱1AA 上是否存在一点P ，使得//DP 平面1B AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由．【答案】（1）0（2）存在，12AP =【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，设AB a =，写出点的坐标，求出110B E AD ⋅= ，得到异面直线夹角余弦值为0；（2）设()00,0,P z ，求出平面1B AE 的一个法向量1,,2a n a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，根据0DP n ⋅= 得到方程，求出12z =，故存在点P ，使得//DP 平面1B AE ，此时12AP =.【小问1详解】以A 为坐标原点，1,,AB AD AA 所在直线分别为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，设AB a =，则()()()11,0,1,,1,0,0,0,0,0,1,12a B a E A D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故()()()()11,1,0,0,1,1,1,0,1,10,0,00,1,122a a B E a AD ⎛⎫⎛⎫=-=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，则()11,1,10,1,11102a B E AD ⎛⎫⋅=--⋅=-= ⎪⎝⎭，故直线1B E 与直线1AD 所成的角的余弦值为0；【小问2详解】存在满足要求的点P ，理由如下：设棱1AA 上存在点()00,0,P z ，使得//DP 平面1B AE ，0,1,0，则()00,1,DP z =- ，设平面1B AE 的一个法向量为(),,n x y z =，则()()()1,,,0,10,,,1,0022n AB x y z a ax z a a n AE x y z x y ⎧⋅=⋅=+=⎪⎨⎛⎫⋅=⋅=+= ⎪⎪⎝⎭⎩，取1x =得,2a y z a =-=-，故1,,2a n a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，要使//DP 平面1B AE ，则n DP ⊥，即()00,1,1,,02a DP n z a ⎛⎫⋅=-⋅--= ⎪⎝⎭ ，所以002a az -=，解得012z =，故存在点P ，使得//DP 平面1B AE ，此时12AP =.。
北京市首都师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题
北京市首都师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题一、单选题1．已知i 1i z=-，则z = （ ）A ．0B ．1C D ．22．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AB AD AA --=u u u r u u u r u u u r（ ）A ．1AC uuu rB ．1AC u u u rC ．1D B u u u u rD ．1DB u u u u r3．已知()2,3,1A --，()6,5,3B -，则AB u u u r的坐标为（ ） A ．()8,8,4--B ．()8,8,4-C ．()8,8,4-D ．()8,8,4--4．如图，已知正方体ABCD A B C D -''''的棱长为1，AA DB ''⋅=u u u r u u u u r（ ）A．1B C D ．1-5．设1n u r ，2n u u r分别是平面α，β的法向量，其中()11,,2n y =-u r ，()2,2,1n x =-u u r ，若αβ∥，则x y +=（ ）A ．92-B ．72- C ．3 D ．726．已知直线1l 的方向向量为()0,0,1u =r，直线2l 的方向向量为()1v =-r ，则直线1l 与2l 所成角的度数为（ ）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒7．已知n r 为平面α的一个法向量，a r 为直线l 的一个方向向量，则“a n ⊥r r”是“//l α”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知点,,,O A B C 为空间不共面的四点，且向量a OA OB OC =++r u u u r u u u r u u u r ，向量b OA OB OC =+-r u u u r u u u r u u u r，则与,a b r r不能构成空间基底的向量是( )A ．OA u u u rB ．OB u u u rC ．OC u u u rD ．OA u u u r 或OB u u u r9．在空间直角坐标系Oxyz 中，点()2,1,1A 在坐标平面Oxz 内的射影为点B ，且关于y 轴的对称点为点C ，则B ，C 两点间的距离为（ ）AB ．C ．D 10．在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD 中，M ，N 分别为BC ，AD 的中点，则AM 和CN 夹角的余弦值为（ ）A ．23B C ．13D ．23-二、填空题11．已知向量()2,3,1a =-r ，则与a r共线的单位向量为.12．已知向量()2,0,1a =-r ，(),2,1b m =-r 且a b ⊥r r，则m =，a b +=r r .13．已知直线l 经过()1,0,1A ，()2,0,0B 两点，则点()2,1,4P 到直线l 的距离为.14．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0AB =u u u r ，()0,2,0AC =u u u r ，()0,0,2AD =u u u r .则CD u u u r 与CB u u ur 的夹角的余弦值为；CD u u u r 在CB u u u r 的投影向量a =r . 15．以下关于空间向量的说法：①若非零向量a r ，b r ，c r满足//a b r r ，//b c r r ，则//a c r r②任意向量a r ，b r ，c r满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r③若{},,OA OB OC u u u r u u u r u u u r 为空间向量的一组基底，且221333OD OA OB OC =+-u u u r u u u r u u u r u u u r，则A ，B ，C ，D四点共面④已知向量()1,1,a x =r ，()3,,9b x =-r ，若310x <，则,a b r r 为钝角其中正确命题的序号是.三、解答题16．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，E 为线段11B C 的中点.(1)求证：11AA D E ⊥； (2)求平面1D BE 的法向量； (3)求点1A 到平面1D BE 的距离.17．如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，高为4，D 为1CC 的中点，E 为11A B 的中点.(1)求证：1//C E 平面1A BD ；(2)求直线BC 与平面1A BD 所成角的正弦值.18．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，4AB =，2AD =，1AA =60BAD ∠=︒，1145BAA DAA ∠=∠=︒，AC 与BD 相交于点O ，设AB a u u u r r=，AD b =u u u r r ，1AA c =u u u r r .(1)试用基底{},,a b c r r r表示向量1OA u u u r ；(2)求1OA 的长；(3)求直线1OA 与直线BC 所成角.19．如图，四棱锥S --ABCD P 为侧棱SD 上的点．（1）求证：AC ⊥SD ；（2）若SD ⊥平面P AC ，求平面P AC 与平面ACD 的夹角大小；（3）在（2）的条件下，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面P AC ．若存在，求SE ∶EC 的值；若不存在，试说明理由．。
高二数学9月月考试题 文(含解析)
——————————新学期新成绩新目标新方向——————————2019学年高二9月月考数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知数列是公差为1的等差数列，为的前项和，若，是（）A. B. C. 10 D. 12【答案】B【解析】试题分析：由得，解得.考点：等差数列.2. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第九日所织尺数为（）A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】B【解析】试题分析：该数列为等差数列，且，即，解得.考点：等差数列，数学文化.3. 在等差数列中，若，则的值为（）A. 20B. 22C. 24D. 28【答案】C.....................4. 在中，内角所对的边分别为，若的面积为，且，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：因为，所以，代入上式可得，即，因为，所以，所以，所以，故选C.考点：三角的面积公式；余弦定理；同角三角函数的基本关系式.5. 已知在中.若的解有且仅有一个，则满足的条件是（）A. B. C. D. 或【答案】D【解析】已知在中，，要使的解有且仅有一个，即三角形形状唯一，有两种情况：①为直角三角形；②为钝角三角形，若为直角三角形，，可得，此时；若为钝角三角形，可得，综上，或，故选D.6. 在中，内角所对的边分别为，且满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题意设，，则，，，∴由余弦定理可得，∴由正弦定理可得，故选：A．考点：（1）正弦定理；（2）余弦定理．7. 已知等差数列的前项和为，若三点共线，为坐标原点，且（直线不过点），则等于（）A. 20B. 10C. 40D. 15【答案】B【解析】∵M、N、P三点共线，O为坐标原点，且（直线MP不过点O），∴a6+a15=1，∴a1+a20=1，∴.本题选择B选项.8. 已知等差数列的前项和为，若的值为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：本题是关于等差数列前项和公式应用的题，关键是掌握等差数列的性质。
云南省玉溪市2024-2025学年高二上学期9月月考数学试卷含答案
2024—2025学年度上学期高二年级一调考试数学试卷（答案在最后）本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知1sin 12M x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭，πππ,,0,462N ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，则M N = （）A.π,06⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ B.π,04⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C.ππ,0,62⎧⎫-⎨⎩⎭ D.ππ,,046⎧⎫--⎨⎬⎩⎭2.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B a = ，11A D b = ，1A A c =，则下列向量中与1D M相等的向量为（）A.1122a b c-++ B.1122a b c ++C.1122a b c -+D.1122a b c--+ 3.若函数()f x 在[2,)+∞上单调递减且对任意R x ∈满足(1)(3)f x f x +=-，则不等式(32)(4)f x f ->的解集是（）A.2,(2,)3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭B.2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C.(2,)+∞ D.2,23⎛⎫⎪⎝⎭4.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为3的正方形，PA ⊥底面ABCD ，6PA =，点G 在侧棱PB 上，且满足2PG GB =，则异面直线PC 和DG 的距离为（）A.14B.15C.7 D.775.空间中有三点(0,0,0)A ，(1,,2)B m ，(1,2,1)C --，且(1,1,1)n =-为平面ABC 的一个法向量，则以AB 、AC 为邻边的平行四边形的面积为（）A.32B.2C.3D.6.在矩形ABCD 中，2AB =，AD =，沿对角线AC 将矩形折成一个大小为θ的二面角B AC D --，当点B 与点D 之间的距离为3时，cos θ=（）A.13B.16 C.13-D.16-7.边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是1AA ，11A D 的中点，M 是DB 靠近点B 的四等分点，P 在正方体内部或表面，()0DP EF MF ⋅+= ，则||DP的最大值是（）A.1D.28.已知点A ，B ，C ，D ，P ，Q 都在同一个球而上，ABCD 为正方形，若直线PQ 经过球心，且PQ ⊥平面ABCD .则异而直线PA ，QB 所成的角的聂小值为（）A.60°B.45°C.30°D.15°二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.已知(0,1,1)a = ，(0,0,1)b =- ，则a 在b 上的投影向量为110,,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭B.若两个不同平面α，β的法向量分別是u ，v，且(2,0,4)u = ，(4,0,8)v =-- ，则//αβC.若233555OG OA OB OC =++，则A ，B ，C ，G 四点共面D.若向量p mx ny kz =++ ，（x ，y ，z 都是不共线的非零向量）则称p在基底{},,x y z 下的坐标为(,,)m n k ，若p 在单位正交基底{,,}a b c 下的坐标为(1,2,3)，则p 在基底{,,}a b a b c -+ 下的坐标为13,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭10.如图所示是一个以AB 为直径，点S 为圆心的半圆，其半径为4，F 为线段AS 的中点，其中C 、D 、E 是半圆圆周上的三个点，且把半圆的圆周分成了弧长相等的四段，若将该半圆围成上一个以S 为顶点的圆锥的侧面，则关于此圆锥，下列说法不正确的是（）A.CEF △为正三角形B.SA ⊥平面CEFC.//SD 平面CEFD.点D 到平面CEF 的距离为311.如图，点P 是边长为2的正方体1111ABCD A B C D -的表面上一个动点，则（）A.当点P 在侧面11BB C C 上时，四棱锥11P AA D D -的体积为定值B.存在这样的点P ，使得1111222AP AB AD AA =++C.当直线AP 与平面ABCD 所成的角为45°时，点P 的轨迹长度为π42+D.当33AP =时，点P 的轨迹长度为53π3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若复数z 满足383i z z +=+，则||z =___________.13.空间内四点(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，13,22C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，D 可以构成正四面体，则AD = ___________.14.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，4AD =，点E ，F 分别为11A B ，1BB 的中点，则平面1EFD 截正方体所得截面面积为___________，动点P 满足1AP xAB y AD z AA =++ ，且122x y z ++=，则当||AP取得取小值时二面角1A AD P --的余弦值为___________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD ，ABEF 的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且MA 和NF 的长度保持相等，记(0MA NF αα==<<.（1）求MN 的长；（2）当MN 的长最小时，求平面MNA 与平面MNB 夹角的余弦值.16.（本小题满分15分）如图，已知多面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，侧棱1BB ⊥底面ABCD ，且1111244CC AA BB DD === .（1）证明：1A C BD ⊥；（2）若AC =11BB =，120ABC ︒∠=，求直线BC 与平面111B C D 所成的角的正弦值.17.（本小题满分15分）如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AD =，12AA AB ==，M 为棱1DD 的中点.（1）若P 是线段BM 上的动点，试探究：11A M A P ⋅是否为定值？若是，求出该定值；否则，请说明理由；（2）过1A M 作该长方体外接球的截面，求截面面积的取值范围.18.（本小题满分17分）如图，三棱台111ABC A B C -，AB BC ⊥，1AC BB ⊥，平面11ABB A ⊥平面ABC ，6AB =，4BC =，12BB =，1AC 与1A C 相交于点D ，2AE EB =，且//DE 平面11BCC B .（1）求三棱锥111C A B C -的体积；（2）平面:11A B C 与平面ABC 所成角为α，1CC 与平面11A B C 所成角为β，求αβ+的值.19.（本小题满分17分）如图1，在平行四边形ABCD 中，24AB BC ==，60ABC ∠=︒，E 为CD 的中点，将ADE △沿AE 折起，连接BD 与CD ，得到的四棱锥如图2.图1图2（1）当BD 为何值时，平面ADE ⊥平面ABCE ？（2）设(01)BF BD λλ=≤≤，当BE DE ⊥时，是否存在实数λ，使得直线AF 与平面ABCE 所成角的正弦值为10？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由；（3）当三棱锥B CDE -的体积最大时，求三棱锥D ABE -的内切球的半径.月考卷参考答案一、选接题1.C 【解析】将πππ,,0,462N ⎧⎫=--⎨⎩⎭中的元表依次代入1sin 12x -≤≤验证，只有π6-，0，π2满足1sin 12x -≤≤，所以ππ,0,62M N ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭ .故选C.2.C 【解析】因为在平行六面体1111ABCD A B C D -中，11()22DM DB DA DC ==+=()111112A D AB -+，所以()111111111111111222D M D D DM A A A D A B A B A D A A =+=+-+=-+ 1122a b c =-+，故选C.3.D 【解祈】因为(1)(3)f x f x +=-，所以()f x 的对称轴为2x =，()f x 在(2,)+∞单调递减，则()f x 在(,2)-∞单调递增，又因为(32)(4)f x f ->，由对称性可得|322||42|x --<-，所以|34|2x -<，2342x -<-<，223x <<.故选D.4.A 【解析】如图，以点A 为原点，AB ，AD ，AP分别作为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则(3,0,0)B ，(3,3,0)C ，(0,3,0)D ，(0,0,6)P ，(1,0,4)G .所以(1,3,4)DG =- ，(3,3,6)PC =-，(3,0,0)DC = ，设(,,)n x y z = 为直线PC 和DG 的公垂线的方向向量，则有3403360n DC x y z n PC x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，可取(1,3,2)n = ，所以异面直线PC 和DG的距离为||||14DC n n ⋅==.故选A.5.D 【解析】平面ABC 的一个法向量为(1,1,1)n =-，则(1,1,1)(1,,2)0n AB m ⋅=-⋅= ，解得1m =-，故(1,1,2)B -，(1,1,2)AB =- ，(1,2,1)AC =--，则1cos 2||||AB ACA AB AC ⋅===⋅，则sin 2A ==，则平行四边形面积为11||||sin 22222AB AC A ⋅⨯=⨯=.故选D.6.B 【解析】分别作BE AC ⊥，DF AC ⊥，垂足为E ，F ，则,EB FD θ=〈〉.由2AB =，AD =可得4AC =，所以AD DCEB FD AC⋅===，1AE CF ==，2EF =.因为BD BE EF FD =++ ，则()222222||2BD BD BE EF FD BE EF FD BE FD ==++=+++⋅，即9343π)θ=+++-，故1cos 6θ=.故选B.7.B 【解析】如图，建立空间直角坐标系，设(,,)P x y z ，则(0,0,0)D ，11.0,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,0.12F ⎛⎫⎪⎝⎭，33,,044M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以11,0,22EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，13,,144MF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，则333,,442EF MF ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭ ，因为()0DP EF MF ⋅+=，又(,,)DP x y z = ，所以3330442x y z --+=，即2x yz +=，所以2222222||2x y DP x y z x y +⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，又01x ≤≤，01y ≤≤，所以22221111322x y x y ++⎛⎫⎛⎫++≤++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当且仅当1x y ==，此时1z =时，等号成立，所以||DP 的最故选B.8.A 【解析】设球的半径为(0)R R >，记ABCD 中心为O ，因为ABCD 为正方形，直线PQ 经过球心，且PQ ⊥平西ABCD .所以PQ 过点O 且PQ 的中点为球心，设球心为G ，以O 为原点，OB 、OC 、OP 分别为x ，y ，z 轴正半轴，建立空间直角坐标系O xyz -，设(0)OA OB OC OD r r ====>，(0,0,)G t ()R t R -<<，则(0,,0)A r -，(,0,0)B r ，(0,0,)P R t +，(0,0,)Q R t -，所以(0,,)PA r R t =--- ，(,0,)QB r t R =- ，所以22()()PA QB t R t R R t ⋅=-+-=- ，所以22||()PA r R t =++ 22||()QB r R t =+- 又222OG OB R +=，即222t r R +=.所以222222cos ,||||()()PA QBPA QB PA QB r R t r R t ⋅〈〉==⋅++⨯+-22222212222R t R R R R R t-==≤=-，当且仅当0t =时等号成立，设直线PA ，QB 所成的角为α则1cos |cos ,|2PA QB α=〈〉≤ ，又090α︒≤≤︒，所以min 60a =︒.故选A.二、选择题9.BD 【解析】对于A ，由于(0,1,1)a = ，(0,0,1)b =- ，则a 在b的投影向量为||cos ,2(0,0,1)(0,0,1)||2b a a b b 〈〉⋅=⨯-= ，故A 错误；对于B ：若两个不同平面α，β的法向量分别是u ，v ，且(2,0,4)u = ，(4,0,8)v =-- ，2u v -=，则//αβ，故B 正确；对于C ：由于2331555++≠，对于233555OG OA OB OC =++ ，故A ，B ，C ，G 四点不共面，故C 错误；对于D ：p 在单位正交基底{,,}a b c下的坐标为（1，2，3），即23(1,2,3)p a b c =++= ，所以p 在基底{,,a b a b c -+〉 下满足(1,2,3)()()()()x a b y a b zc x y a y x b zc =-+++=++-+(,,)x y y x z =+-，故1x y +=，2y x -=，3z =，解得12x =-，32y =，3z =，则p 在基底{,,}a b a b c -+ 下的坐标为13,,322⎛⎫-⎪⎝⎭，故D 正确.故选BD.10.ABD 【解析】选项A，该半圆围成的圆锥，如图所示，设四棱底面半径为r ，则2π4πr =，2r ∴=，4CE ∴=，F 为AS 的中点，O 为AD 的中点，//FO SD ∴，且122FO CE ==，90CFE ︒∴∠=，CEF △为等腰直角三角形，选项A 错误；选项B ，若SA ⊥平面CEF ，则90AFO ∠=︒，直角AOF △中，2AO OF AF ===，60AFO ︒∴∠=，选项B 错误；选项C ，//FO SD ，FO ⊂平面EFC ，//SD ∴平面EFC ，选项C 正确；选项D ，CE AD ⊥ ，CE SO ⊥，CE ∴⊥平面SAD ，∴平面CEF ⊥平面SAD ，D ∴到直线FO 的距离即为D 到平面CEF 的距离，又//FO SD ，D ∴到直线FO 的距离等于O 到直线SD，选项D 错误，故选ABD.11.ACD 【解析】略【解析】略13.136,263⎛± ⎝⎭【解析】由已知正四西体ABCD 的棱长为1，所以D 的竖坐标为正四面体的高，ABC △的外接圆半径为112sin 603︒⨯=，所以正四面体的高为3=，而横坐标，纵坐标即底面三角形ABC 的重心坐标，1011232D x ++==，003236D y ++==，所以1,,263D ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭，故答案为136,263⎛±⎝⎭.[只写对一个不给分]14.18；5【解析】略四、解答题15.解：（1）由题意可知，直线BC 、BE 、BA 两两垂直，以B 原点建立如图所示的空间直角坐标系，则(2,0,0)A ，(0,0,2)C ，(2,2,0)F ，(0,2,0)E ，因为MA NF α==，所以222M ⎛-⎝，2222N ⎛⎫--⎪⎝⎭.所以2||224MN αα=-+.（2）22||224(2)2MN ααα=-+=-+2α=时，||MN 最小.此时，M ，N 为AC 、BF 的中点，则(1,0,1)M ，(1,1,0)N ，取MN 的中点G ，连接AG ，BG ，则111,,22G ⎛⎫⎪⎝⎭，因为AM AN =，BM BN =，所以AG MN ⊥，BG MN ⊥.所以AGB ∠是平面MNA 与平面MNB 的夹角或其补角，因为111,,22GA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，111,,22GB ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭ .所以1cos 3||||GA GB GA GB GA GB ⋅〈⋅〉==-⋅，所以平面MNA 与平面MNB 夹角的余弦值是13.16.解：（1）因为1124AA BB =，所以11//BB AA ，又因为1BB ⊥平面ABCD ，所以1AA ⊥平面ABCD ，又因为BD ⊂平面ABCD ，所以1AA BD ⊥，因为四边形ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥，又因为1AC AA A = ，AC ，1AA ⊂平面1AA C ，所以BD ⊥平面1AA C ，又因为1A C 平面1AA C ，所以1BD A C ⊥.（2）设AC 交BD 于O ，以O 为原点，以OB 为x 轴，OC 为y 轴，过O 作11//OO AA 为z 轴建立空间直角坐标系，由图可知1(1,0,1)B ，1(1,0,1)D -，13,4)C ，(1,0,0)B ，3,0)C .，则11(2,0,0)D B = ，11(3,3)B C =- ，设平面111B C D 的一个法向量为(,,)n x y z =，则111100n D B n B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即20330x x z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩，令1z =-，则3,1)n =- ，(3,0)BC =- ，所以33cos ,224||||n BC n BC n BC ⋅〈〉===⨯⋅ .设直线BC 与平面111B C D 所成角为α，则3sin |cos |4a n BC =〈⋅〉= ，因此直线BC 与平面111B C D 所成角的正弦值为34.17.略18.（1）略（2）由题意及（1）得，以B 为坐标原点，分别以BA ，BC ，1BB 为x ，y ，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，(6,0,0)A ，(0,4,0)C ，1(0,0,2)B ，()13,0,2A ，1(0,2,2)C ，则11(3,0,0)B A = ，1(0,4,2)B C =- ，1)(0,2,2CC =- ，设平面11A B C 的一个法向量为(,,)n x y z =，由11130420n B A x n B C y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取1y =，则(0,1,2)n = ，平面ABC 的一个法向量为1(0,0,2)BB = ，所以11cos 5||n BB a n BB ⋅===⋅，11sin 10||n CC n CC β⋅===⋅ .又因为α，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 5α=，cos 10β=.cos()cos cos sin sin 1051052αβαβαβ+=-=⨯=，又(0,π)αβ+∈，所以π4αβ+=.19.略。
哈尔滨市延寿县第二中学2020_2021学年高二数学9月月考试题
黑龙江省哈尔滨市延寿县第二中学2020-2021学年高二数学9月月考试题一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分)1．下面对算法描述正确的一项是（)A．算法只能用自然语言来描述B．算法只能用图形方式来表示C．同一个问题可以有不同的算法D．同一问题的算法不同，结果必然不同2．图示程序的功能是()错误!A．求1×2×3×4×…×10 000的值B．求2×4×6×8×…×10 000的值C．求3×5×7×9×…×10 001的值D．求满足1×3×5×…×n＞10 000的最小正整数n3．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图,若输入的a,b分别为14，18，则输出的a＝(）A．0 B．2C．4 D．144．用秦九韶算法求多项式f（x）＝208＋9x2＋6x4＋x6当x ＝－4时的值时，v2的值为()A．－4 B．1C．17 D．225．(2018·全国卷Ⅱ)为计算S＝1－错误!＋错误!－错误!＋…＋错误!－错误!，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入（）A．i＝i＋1 B．i＝i＋2C．i＝i＋3 D．i＝i＋46．在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民，对其该天的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5 000名居民的阅读时间是() A．总体B．个体C．样本的容量D．从总体中抽取的一个样本7．2012年6月16日“神舟”九号载人飞船顺利发射升空，某校开展了“观‘神九’飞天燃爱国激情”系列主题教育活动．该学校高一年级有学生300人,高二年级有学生300人，高三年级有学生400人，通过分层抽样从中抽取40人调查“神舟”九号载人飞船的发射对自己学习态度的影响，则高三年级抽取的人数比高一年级抽取的人数多(）A．5 B．4C．3 D．28．要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，将它们编号为001，002，…，800,利用随机数表法抽取样本，从第7行第1个数8开始,依次向右，再到下一行，继续从左到右．请问选出的第七袋牛奶的标号是()(为了便于说明，下面摘取了随机数表的第6行至第10行）1622779439495443548217379323788735209643 84263491648442175331572455068877047447672176335025 8392120676630163783916955567199810507175128673580744395238793321123429786456078252420744381551001342 99660279545760863244094727965449174609629052847727 0802734328A．425 B．506C．704 D．7449。
2022-2023学年河南省洛阳市第一高级中学高二上学期9月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年河南省洛阳市第一高级中学高二上学期9月月考数学试题一、单选题1．已知向量()0,1,1a =-与()20,2,b k k =-共线，则实数k =（ ）A ．0B ．1C ．1-或2D ．2-或1【答案】D【分析】根据空间共线向量的坐标表示可得2112k k-=-，即可求出k 的值. 【详解】因为()()20,1,10,2,a b k k =-=-、共线，所以2112k k-=-， 解得2k =-或1. 故选：D2．“1m =”是“直线1l ：()410m x my -++=与直线2l ：()220mx m y ++-=互相垂直”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据给定直线方程求出12l l ⊥的等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】依题意，12(4)(2)0l l m m m m ⊥⇔-++=，解得0m =或1m =，所以“1m =”是“直线1l ：()410m x my -++=与直线2l ：()220mx m y ++-=互相垂直”的充分不必要条件. 故选：A3．已知两点()1,2A -，()2,1B ，直线l 过点()0,1P -且与线段AB 有交点，则直线l 的倾斜角的取值范围为（ ） A ．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．ππ30,,42π4⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C ．π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D ．πππ3,,422π4⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【答案】C【分析】作出图形，求出,PA PB 的斜率，数形结合可求得直线l 的斜率的取值范围，再由斜率与倾斜角的关系可求出倾斜角的取值范围. 【详解】如图所示，直线PA 的斜率21110PA k -+==--，直线PB 的斜率11120PB k +==-． 由图可知，当直线l 与线段AB 有交点时，直线l 的斜率[]1,1k ∈-， 因此直线l 的倾斜角的取值范围是π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭．故选：C4．已知实数,x y 满足250x y ++=22x y + A 5B 10C ．25D ．10【答案】A【详解】 22x y +(,)x y 到坐标原点的距离， 又原点到直线250x y ++=的距离为225521d ==+22x y +5 A. 5．直线()24y k x =-+与曲线214y x 有两个不同的交点，则实数的k 的取值范围是（ ） A ．53,124⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．5,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．13,24⎛⎤⎥⎝⎦D ．50,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【详解】解：因为曲线y ＝124x -(|x|≤2)与直线y ＝k(x －2)＋4有两个交点时，那么结合图像可知参数k 的取值范围是53(,]124，选A6．经过点P （1，4）的直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为A ．x +2y ﹣6=0B ．2x +y ﹣6=0C ．x ﹣2y +7=0D ．x ﹣2y ﹣7=0【答案】B【详解】试题分析：设出直线方程的截距式，把经过的点P （1，4）的坐标代入得a 与b 的等式关系，把截距的和a +b 变形后使用基本不等式求出它的最小值． 解：设直线的方程为1x y a b +==1（a ＞0，b ＞0），则有141a b+=，∴a +b =（a +b ）×1=（a +b ）×（14a b +）=5+4b aa b+≥5+4=9， 当且仅当14a b=，即a =3，b =6时取=． ∴直线方程为2x +y ﹣6=0． 故选B ．【解析】直线的斜截式方程．7．如图，在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，AB ＝BC ＝1，动点P ，Q 分别在线段C 1D ，AC 上，则线段PQ 长度的最小值是( )．A ．23B ．33C ．23D ．53【答案】C【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，C 1(0,1,2)，设点P 的坐标为(0，λ，2λ)，λ∈[0,1]，点Q 的坐标为(1－μ，μ，0)，μ∈[0,1]，∴PQ当且仅当λ＝19，μ＝59时，线段PQ 的长度取得最小值23. 8．点()2,1P --到直线()():131225l x y λλλ+++=+的距离为d ，则d 的取值范围是（ ）A ．0d ≤<B ．0d ≤≤C ．dD ．d ≥【答案】A【分析】显然直线过定点，先求出定点A ，当直线过点P 时，d 有最小值，当直线与AP 垂直时d 有最大值，一定要注意要去验证最值能否取到.【详解】()()131225x y λλλ+++=+，化简得()()23250x y x y λ+-++-=，所以当203250x y x y +-=⎧⎨+-=⎩时，()()23250x y x y λ+-++-=恒成立，所以直线l 过定点()1,1A ，所以点当直线l 过点()2,1P --时，d 有最小值为0，此时513λ=-；d 的最大值为()1,1A 和点()2,1P --l 与AP 垂直，因为112123AP k +==+，所以直线l 的斜率32k =-，又因为()():131225l x y λλλ+++=+，所以有133122λλ+-=-+，化简得23=，故此时λ无解；所以d0d ≤<故选：A9．已知A ，B 两点都在以PC 为直径的球O 的球面上，AB BC ⊥，4AB BC ==，若球O 的体积为36π，则异面直线PB 与AC 所成角的余弦值为（ ）A B C D 【答案】B【分析】由题意，根据球的性质，建立空间直角坐标系，求直线的方向向量，根据夹角公式，可得答案.【详解】由题意，取AC 的中点为E ，连接,OE BE ，在ABC 中，4AB BC ==，且AB BC ⊥，则BE AC ⊥，AE EC BE ===，即E 为ABC 外接圆圆心，在球O 中，易知OE ⊥平面ABC ，以E 为原点，分别以,,EB EC EO 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，作图如下：在Rt CEO △中，12cos 12ACCE ACACP CO PCCP ∠===，则//PA OE ，即PA ⊥平面ABC ， 因为AC ⊂平面ABC ，所以PA AC ⊥，球O 的体积3413632V PC ππ⎛⎫=⋅⋅= ⎪⎝⎭，解得6PC =， 在Rt ACP 中，222PA PC AC =-=，则()0,22,0A -，()22,0,0B ，()0,22,0C ，()0,22,2P -， 即()0,42,0AC =，()22,22,2PB =-， 1610cos ,542884AC PB AC PB AC PB⋅===⨯++⋅， 异面直线PB 与AC 所成角的余弦值为105. 故选：B.10．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，1AN NA =，11A M MD =，11B E B C λ=， 当直线1DD 与平面MNE 所成的角最大时，λ=（ ）A ．12 B ．13C ．14D ．15【答案】C【分析】利用坐标法，利用线面角的向量求法，三角函数的性质及二次函数的性质即得. 【详解】如图建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则()()()()1111,0,1,1,0,,0,1,0,1,1,1,0,0,0,0,0,122M N C B D D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()111,0,1B E B C λλ==--，()1,1,1E λλ--，111,0,,,1,222MN ME λλ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面MNE 的法向量为(),,m x y z =，则()00,,m MN m ME x y z ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴11022102x z x y z λλ⎧-=⎪⎪⎨⎛⎫⎪-+-= ⎪⎪⎝⎭⎩，令1x =，可得11,2,12m λ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又()10,0,1DD =，设直线1DD 与平面MNE 所成的角为α，则11221sin cos ,11224224m DD m DD m DD αλλ⋅===⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦， ∴当14λ=时，sin α有最大值，即直线1DD 与平面MNE 所成的角最大. 故选：C.11．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),A m m -，(),B m m -()0m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ） A ．42B ．32C 322D ．2【答案】B【解析】根据使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,再分析轨迹圆与圆C 的关系即可.【详解】由题, 使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,又两点(),A m m -,(),B m m -,所以圆心为()0,0.半径为()222m m m +-=.故P 的轨迹方程为2222x y m +=.又由题意知,当圆()()22:341C x y -+-=内切于222x y m +=时m 取最大值. 此时2223416m ,故32m =.故选：B【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系,重点是根据90APB ∠=︒求出点P 的轨迹.属于中等题型.12．如图所示，圆柱1OO 中，EF 是底面直径，点M 是O 上一点，90EOM ∠=︒，点H 是母线FG 上一点，点K 是上底面的一动点，4EF =，3FG =，2FH =，则（ ）A ．存在点K ，使得5EK HK +=B ．存在唯一的点K ，使得90EKH ∠=︒C ．满足MK EH ⊥的点K 的轨迹长度是32D ．当90EKH ∠=︒时，三棱锥K EMH -外接球的表面积是20π 【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法判断选项A ，B ，C 的对错，再通过确定三棱锥K EMH -外接球的球心及半径判断D.【详解】由圆锥的性质可得1O O ⊥平面EFM ，OM EF ⊥如图以O 为原点，1,,OM OF OO 为,,x y z 的正方向建立空间直角坐标系，设1(02)KO G θθπ∠=≤<，1KO r =(02)r ≤≤，则(0,2,0)E -，(0,2,2)H ，(sin ,cos ,3)K r r θθ，(2,0,0)M ， 设H 关于点G 的对称点为N ，因为KG HN ⊥，HG GN =，所以KH KN =， 所以EK HK EK KN NE +=+≥， 又(0,2,4)N ，所以2220(22)4425EK HK +≥+++=>，A 错误， 又(sin ,cos 2,3)EK r r θθ=+，(sin ,cos 2,1)HK r r θθ=- 因为90EKH ∠=︒，所以0EK HK ⋅=， 所以2222cos sin 430r r θθ+-+=，所以1r =， 所以满足90EKH ∠=︒的点K 的轨迹为圆，B 错误， 因为MK EH ⊥，(sin 2,cos ,3)MK r r θθ=-，(0,4,2)EH =， 所以4cos 60r θ+=，所以3cos 2r θ=-，故3(sin ,,3)2K r θ-，所以满足MK EH ⊥的点K 的轨迹为线段PQ ， 所以2232272PQ ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，C 错误，因为222222EM =+=，2223MH OM OH =+=,2225EH EF HF =+=,所以EMH 为直角三角形，取EH 的中点为C , 又EKH 为直角三角形，所以CE CH CK CM ===,故C 为三棱锥K EMH -外接球的球心，故外接球的半径为5， 所以三棱锥K EMH -的外接球的表面积为20π，D 正确， 故选：D.二、填空题13．P ABCD -是正四棱锥，1111ABCD A B C D -是正方体，其中2AB =，6PA 1B 到平面PAD 的距离为________【答案】655【分析】以11A B 为x 轴，11A D 为y 轴，1A A 为z 轴建立空间直角坐标系，求出平面PAD 的法向量，1B A 的坐标，利用距离公式，即可得到结论.【详解】解：以11A B 为x 轴，11A D 为y 轴，1A A 为z 轴建立空间直角坐标系，设平面PAD 的法向量是(,,)m x y z =， (0,2,0),(1,1,2)AD AP ==，∴由00m AD m AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得2020y x y z =⎧⎨++=⎩ 取1z =得(2,0,1)m =-，1(2,0,2)B A =-，∴1B 到平面PAD 的距离1||655||B A m d m ⋅==. 65【点睛】本题考查点到平面的距离，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题.14．己知圆22 : 42150C x y x y +---=上有四个不同的点到直线():76l y k x =-+的距5k 的取值范围是______.【答案】1,22⎛⎫⎪⎝⎭【分析】由题意知，足圆心()2,1C 到直线():76l y k x =-+的距离5d <，解方程即可得出答案.【详解】圆22 : 42150C x y x y +---=化为标准方程为()()22: 2120C x y -+-=， 所以圆心()2,1,25C r =，若圆C 上有四个不同的点到直线():76l y k x =-+的距离等于5， 必须满足圆心()2,1C 到直线():76l y k x =-+的距离5d <，所以2217651k k k --+<+，化简得：22250k k +-<，解得：122k <<. 故答案为：1,22⎛⎫⎪⎝⎭15．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短在如图所示的直角坐标系xOy 中，设军营所在平面区域为229{(,)|}4x y x y +≤，河岸线所在直线方程为3100x y +-=.假定将军从点(2,1)P 处出发，只要到达军营所在区域即回到军营，则将军可以选择最短路程为_____________.【答案】72【分析】求出点P 关于直线的对称点(3,4)P '，根据对称性，原问题转化成求P '到营区的最短距离，利用圆的几何性质即可得解.【详解】设点(2,1)P 关于直线3100x y +-=的对称点(,)P a b '，13221310022b a a b -⎧=⎪⎪-⎨++⎪+⨯-=⎪⎩解得34a b =⎧⎨=⎩，所以(3,4)P '，将军从P 出发到达直线上点A 再到营区，PA P A '=， 所以本题问题转化为求点(3,4)P '到营区的最短距离， 根据圆的几何性质可得最短距离为3375222P O '-=-=.故答案为：72【点睛】此题以中国传统文化为背景考查求点关于直线的对称点，解决圆上的点到圆外一点的最短距离，考查对圆的几何性质的应用.16．矩形ABCD 中，3AB =，1BC =，现将ACD 沿对角线AC 向上翻折，设二面角D AC B --的平面角为θ，当θ在ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦内变化时，BD 的范围为______.【答案】71022⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【分析】分别过点B ，D 作BF AC DE AC ⊥⊥，，根据DB DE EF FB =++，计算275,42DB ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得到答案.【详解】如图1，分别过点B ，D 作BF AC DE AC ⊥⊥，，垂足分别为F ，E ， 则在四面体ABCD 中也满足BF AC DE AC ⊥⊥，． 因为3AB =，1BC =，所以2AC =，13322DE BF ⨯===， 则12AE CF ==，1EF =．在四面体ABCD 中，DB DE EF FB =++，因为二面角D AC B --的平面角为θ，且BF AC DE AC ⊥⊥，， 所以DE 和FB 的夹角为πθ-， 所以()222222DB DE EF FBDE EF FB DE FB =++=+++⋅()2233335312cos πcos 22θθ=+++-=-⎝⎭⎝⎭因为ππ,32θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以275,42DB ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则72DB ⎡∈⎢⎣⎦．故答案为：⎣⎦三、解答题17．已知两直线1:2(3)10l mx m y +-+=，2:220l x my m ++=，当m 为何值时，1l 和2l （1）平行； （2）垂直？【答案】（1）32m =-；（2）0m =或5m =.【分析】(1)根据1111:0l A x B y C ++=与2222:0l A x B y C ++=平行的条件12210A B A B -=且12210B C B C -≠列式可解得.(2) 根据1111:0l A x B y C ++=与2222:0l A x B y C ++=垂直的条件12120A A B B +=列式可得.【详解】(1)因为12l l //,所以22(3)20m m m ⨯--⨯=,解得32m =-或1m =,当1m =时,两条直线重合,不合题意舍去. 所以32m =-.(2)因为12l l ⊥,所以22(3)20m m m ⨯+-⨯=,解得0m =或5m =. 【点睛】本题考查了两条直线平行或垂直的条件,属于基础题. 若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++= 则12l l //⇔12210A B A B -=且12210B C B C -≠; 12l l ⊥⇔ 12120A A B B +=.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//AB DC ，E 为线段PD 的中点，已知2PA AB AD CD ====，120PAD ︒∠=．（1）证明：直线//PB 平面ACE ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）24. 【分析】（1）连接BD 交AC 于点H ，连接HE ，可证//HE PB ，从而得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求线面积的正弦值； 【详解】（1）证明：连接BD 交AC 于点H ，连接HE//AB DC ，AB CD =，四边形ABCD 是平行四边形，H ∴是AC 中点，又E 为线段PD 的中点， //HE PB ，又HE ⊂平面ACE ，PB ⊂/平面ACE直线//PB 平面 ACE（2）AB ⊥平面PAD ，作Ax AP ⊥，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -由已知2PA AB AD CD ====，120PAD ︒∠= 得(0,0,2)B ，(0,2,0)P ，(3,1,0)D -，(3,1,2)C -()0,2,2PB =- ， (3,3,0)PD =- ，(0,0,2)CD =-设平面PCD 的法向量(,,)n x y z =0n CD n PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩， 20330z x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，不妨取()3,1,0n =22cos ,4222PB n PB n PB n⋅--∴===⨯所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为24【点睛】本题考查线面平行的证明，以及空间向量法求线面角，属于中档题.19．已知圆22:4240C x y x y ++--=.(1)过点(1,5)M 作圆C 的切线l ，求切线l 的方程；(2)设过点1,12⎛⎫⎪⎝⎭的直线m 与圆C 交于AB 两点，若点A 、B 分圆周得两段弧长之比为1：2，求直线m 得方程.【答案】(1)7241130x y -+=或1x =； (2)6850x y -+=或68110x y +-=【分析】（1）根据圆心到直线的距离等于半径求解，注意分斜率存在与不存在两种情况； （2）利用条件可分析出弦所对圆心角，据此求出圆心到直线的距离，即可求解. 【详解】(1)由22:4240C x y x y ++--=可得22(2)(1)9x y ++-=，即圆心为(2,1)C -，半径3r =，显然当直线斜率不存在时，1x =是圆的切线，当直线斜率存在时，设直线为5(1)y k x -=-，即50kx y k -+-=， 由圆心到直线的距离2|215|31k k d k --+-==+，解得724k =，故切线为7241130x y -+=或1x =.(2)因为点A 、B 分圆周得两段弧长之比为1：2，故120ACB ∠=︒, 所以30CAB ∠=︒，故圆心到直线的距离322r d ==， 直线斜率不存在时，由13(2)22--≠知，不符合题意，当直线斜率存在时，设直线方程为11()2y k x -=-，则圆心到直线的距离25||3221k k =+，解得34k =±， 故直线方程为6850x y -+=或68110x y +-=.20．如图所示，四棱锥S ABCD -中，平面SAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2正方形，22,4SA SC ==，AC 与BD 交于点O ，点E 在线段SD 上.(1)求证：SA ⊥平面ABCD ；(2)若//OE 平面SAB ，求二面角S AC E --的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 25【分析】（1）根据面面垂直性质定理得AB ⊥平面SAD ，进而证明SA AB ⊥，再根据集合关系证明SA AC ⊥即可证明结论；（2）根据题意，E 为SD 的中点，进而以,,AB AD AS 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可；【详解】(1)证明：因为平面SAD ⊥平面ABCD 且交线为AD ， 又AB ⊂平面ABCD 且AB AD ⊥，所以AB ⊥平面SAD ， 又SA ⊂平面SAD ，所以SA AB ⊥.因为ABCD 是边长为2正方形，所以22AC =，又22,4SA SC ==， 所以222SA AC SC +=，即SA AC ⊥，又因为AB AC A ⋂=，,AB AC ⊂平面ABCD ，所以SA ⊥平面ABCD . (2)解：因为OE ∥平面SAB ，OE ⊂平面SBD ，平面SBD 平面SAB SB =， 所以OE SB ∥，因为O 为BD 的中点，所以E 为SD 的中点，以,,AB AD AS 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则有()()()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,22,0,1,2A B C D S E ， 易得平面SAC 的一个法向量为()2,2,0n DB ==-， 设平面EAC 的一个法向量为(),,m x y z =，则00m AE m AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩20220y z x y ⎧+=⎪⇒⎨+=⎪⎩，取1z =，则()2,2,1m =-， 设平面SAC 与平面EAC 所成夹角为θ，则4225cos 5225m n m nθ⋅===⋅⋅， 所以平面SAC 与平面EAC 所成夹角的余弦值为255.21．长方形ABCD 中，2=22=AB AD ，M 是DC 中点（图1）.将ADM △沿AM 折起，使得AD BM ⊥（图2）在图2中:（1）求证:平面ADM ⊥平面ABCM ；（2）在线段BD 上是否存点E ，使得二面角E AM D --的余弦值为55，说明理由. 【答案】（1）证明见解析（2）存在，理由见解析【分析】(1)利用勾股定理与线面垂直的性质证明BM ⊥平面ADM 即可.(2) 以M 为坐标原点,MA 为x 轴,MB 为y 轴,过M 作平面ABCM 的垂线为z 轴,建立空间直角坐标系. 设(01)BE BD λλ=<<,再根据二面角的向量方法,分别求解面的法向量,再根据法向量的夹角求解即可.【详解】（1）在长方形ABCD 中,连结BM ,因为2AB AD =,M 是DC 中点, 所以2AM BM AD ==,从而222AM BM AB +=, 所以AM BM ⊥ 因为AD BM ⊥,ADAM A =,所以BM ⊥平面ADM . 因为BM ⊂平面ABCM , 所以平面ADM ⊥平面ABCM .（2）因为平面ADM ⊥平面ABCM ,交线是AM ,所以在面ADM 过M 垂直于AM 的直线必然垂直平面ABCM .以M 为坐标原点,MA 为x 轴,MB 为y 轴,过M 作平面ABCM 的垂线为z 轴, 建立空间直角坐标系.则()2,0,0A ,()0,2,0B ,()1,0,1D ,(1,2,1)BD =-.设(01)BE BD λλ=<<,则(),22,ME MB BE λλλ=+=-.设1(,,)x y z =n 是平面AME 的法向量,则1100n ME n MA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即(22)020x y z x λλλ+-+=⎧⎨=⎩,取()10,,22n λλ=-, 平取面AMD 的一个法向量是()20,1,0n =. 依题意122cos ,2n n =, 即()222525λλλ=+-,解方程得12λ=, 因此在线段BD 上存点E ,使得二面角E AM D --的余弦值为55. 【点睛】本题主要考查了面面垂直的判定与利用空间直角坐标系求解是否存在点满足条件的问题.一般做法是先假设存在,再设对应的向量的参数,再根据二面角的余弦列出关于参数的表达式最后进行求解即可.属于中档题.22．已知线段AB 的端点B 的坐标是()65，，端点A 在圆()()221:434C x y -+-=上运动．(1)求线段AB 的中点P 的轨迹2C 的方程；(2)设圆1C 与曲线2C 的两交点为M ，N ，求线段MN 的长；(3)若点C 在曲线2C 上运动，点Q 在x 轴上运动，求AQ CQ +的最小值． 【答案】(1)22(5)(4)1x y -+-=. 14. (3)523.【分析】（1）设点P 的坐标为()x y ，，点A 的坐标为()00x y ，，由于点B 的坐标为()65，，利用点P 是线段AB 的中点，求出026x x =-，025y y =-，通过点A 在圆1C 上运动，转化求解中点P 的轨迹2C 的方程即可；（2）将圆1C 与圆2C 的方程相减得22190x y +-=，求出圆2C 的圆心到直线22190x y +-=的距离d ，即可求解||MN ；（3）由题可得1122123QA QC QC r QC r QC QC +≥-+-=+-，当且仅当A 在线段1QC 且C 在线段2QC 上时，取等号．设()343C -，为()143C ，关于x 轴的对称点，可得13QC QC =，即323QA QC QC QC +≥+-2333C C -=，即可求解AQ CQ+的最小值.【详解】(1)解：设点P 的坐标为()x y ，，点A 的坐标为()00x y ，，由于点B 的坐标为()65，，且点P 是线段AB 的中点，所以062x x +=， 052y y +=， 于是有 002625x x y y =-⎧⎨=-⎩①， 因为点A 在圆221:(4)(3)4C x y -+-=上运动，即： 2200(4)(3)4x y -+-=②， 把①代入②，得22(264)(253)4x y --+--=，整理，得22(5)(4)1x y -+-=， 所以点P 的轨迹2C 的方程为22(5)(4)1x y -+-=．(2)解：将圆()()221:434C x y -+-=与圆()()222:541C x y -+-=的方程相减得： 22190x y +-=，由圆()()222:541C x y -+-=的圆心为()54，，半径为1，且()54，到直线22190xy +-=的距离d==，则||MN == (3)解：圆()()221:434C x y -+-=是以()143C ，为圆心，半径12r =的圆，圆2C 是以()254C ，为圆心，半径21r =的圆， 所以1122123QA QC QC r QC r QC QC +≥-+-=+-①，当且仅当A 在线段1QC 且C 在线段2QC 上时，取等号．设()343C -，为()143C ，关于x 轴的对称点，则13QC QC =，代入①式得： 323QA QC QC QC +≥+-233523C C -=，当且仅当23C Q C ，，共线时，取等号．所以AQ CQ +的最小值为523．。
2022-2023学年黑龙江省鸡西市虎林市高级中学高二上学期9月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年黑龙江省鸡西市虎林市高级中学高二上学期9月月考数学试题一、单选题1．若直线x +ny +3=0与直线nx +9y +9=0平行，则实数n 的值为（ ） A ．3 B ．-3 C ．1或3 D ．3或-3【答案】B【分析】根据两直线平行的公式求解即可.【详解】由题意知219n ⨯=，且193n ⨯≠，故3n =-. 故选：B2．与圆222430x y x y +-++=同圆心，且过点()1,1-的圆的方程是（ ） A ．222440x y x y +-+-= B ．222440x y x y +-++= C ．222440x y x y ++--= D ．222440x y x y ++-+=【答案】B【分析】根据同圆心,可设圆的一般式方程为22240+-++=x y x y m ,代入点即可求解.【详解】设所求圆的方程为22240+-++=x y x y m ，由该圆过点()1,1-，得m ＝4，所以所求圆的方程为222440x y x y +-++=. 故选：B3．已知00ab bc <<，，则直线0ax by c ++=通过（ ）象限 A ．第一、二、三 B ．第一、二、四 C ．第一、三、四 D ．第二、三、四【答案】A【分析】将直线化为斜截式，进而通过斜率和纵截距的范围得到直线所过的象限.【详解】由题意，直线0a c ax by c y x b b ++=⇒=--，因为00ab bc <<，，所以0,0a cb b->->，所以直线过第一、二、三象限. 故选：A.4．如图，在四面体O ABC -中，OA a =，OB b =，OC c =，且2OM MA =，BN NC =，则MN =（ ）A ．221332a b c ++B ．221332a b c +-C ．211322a b c -++D ．121232a b c -+【答案】C【分析】由平面向量的线性运算求解．【详解】连接ON ，因为BN NC =，所以1()2ON OB OC =+， 因为2OM MA =，所以23OM OA =，所以12211()23322MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++． 故选：C ．5．过点（2，－3）、斜率为12-的直线在y 轴上的截距为（ ）A ．2B ．－2C ．4D ．－4【答案】B【分析】根据点斜式公式，整理直线方程，令0x =，可得答案. 【详解】由题意得直线方程为()1322y x +=--，令x =0，解得y ＝－2． 故选：B ．6．过两条直线1:30l x y -+=与2:20l x y +=的交点，倾斜角为π3的直线方程为( )A 3320x y -=B 33360x y -=C 3340x y -=D 333120x y -=【答案】A【分析】联立两条直线的方程求出交点坐标，再根据直线方程的点斜式即可求解．【详解】由3020x y x y -=⎧⎨=⎩＋＋解得12x y =-⎧⎨=⎩，故两直线交点为(－1，2)，故直线方程是：)21y x -=＋20y -=＋． 故选：A ．7．已知线段AB 两端点的坐标分别为()2,3A -和()4,2B ，若直线:10l x my m ++-=与线段AB 有交点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()3,1,4⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．31,4⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．31,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．(]3,1,4⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【分析】判断出直线l 所过定点()1,1P -，结合图象求得m 的取值范围 【详解】直线:10l x my m ++-=恒过的定点()1,1P -，4,13AP BP k k =-=.当0m =时，直线l 方程为1x =，与线段AB 有交点，符合题意. 当0m ≠时，直线l 的斜率为1m-，则[)14,1,3m ⎛⎤-∈-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦，解得10m -≤<或304m <≤，综上，31,4m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.故选：C8．已知正方体1111ABCD A B C D -，P 是线段1A C 上一点，下列说法正确的是（ ）A ．若1113A P AC =，则直线AP 平面1BC DB ．若1112A P AC =，则直线AP平面1BC D C ．若1113A P AC =，则直线BP ⊥平面1ACD D ．若1112A P AC =，则直线BP ⊥平面1ACD 【答案】A【分析】以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，1为单位长度，利用直线和平面法向量的关系判断各选项即可.【详解】以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则()1,0,0A ，()11,0,1A ,()1,1,0B ，()0,1,0C ，()10,1,1C ，()0,0,0D ，1(0,0,1)D ,则()10,0,1AA =，()11,1,1AC =--，()0,1,0BA =-，()1,1,0DB =，()10,1,1DC =，(1,1,0)AC =-,1(1,0,1)AD =-当1113A P AC =时，()()1111111120,0,11,1,1,,33333A AP A A P AA AC ⎛⎫=+=+=+--=- ⎪⎝⎭， 设平面1BC D 的法向量为(),,m x y z =，则100m DB x y m DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩取1x =，则1y =-，1z =，则()1,1,1m =-为平面1BC D 的一个法向量，因为1120333AP m ⋅=--+=，所以AP m ⊥，又因为AP ⊄平面1BC D ，所以直线AP 平面1BC D ，故A 正确，B 不正确．当1113A P AC =时，()()()1111111220,1,00,0,11,1,1,,33333BP BA AA A P BA AA AC ⎛⎫=++=++=-++--=-- ⎪⎝⎭，设平面1ACD 的一个法向量为(,,)n x y z =， 则10n AC x y n AD x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1x =则1y =，1z =， 则()1,1,1n =为平面1ACD 的一个法向量，因为BP 与n 不共线，所以直线BP 与平面1ACD 不垂直，故C 不正确； 当1112A P AC =时，()()()1111111110,1,00,0,11,1,1,,22222BP BA AA A P BA AA AC ⎛⎫=++=++=-++--=-- ⎪⎝⎭，因为BP 与n 不共线，所以直线BP 与平面1ACD 不垂直，故D 不正确． 故选：A ．二、多选题9．已知直线l ：()2110a a x y ++-+=，其中R a ∈，下列说法正确的是（ ）A ．当1a =-时，直线l 与直线0x y +=垂直B ．若直线l 与直线0x y -=平行，则0a =C ．直线l 过定点()0,1D ．当0a =时，直线l 在两坐标轴上的截距相等 【答案】AC【分析】对于A ，代入1a =-，利用斜率之积为1-得知直线l 与直线0x y +=垂直； 对于B ，由两平行线的一般式有111222A B C A B C =≠求得a ，从而可判断正误； 对于C ，求定点只需令参数的系数为0即可，故直线l 过定点()0,1； 对于D ，代入0a =，分别求得直线l 在两坐标轴上的截距即可判断正误.【详解】对于A ，当1a =-时，直线l 的方程为10x y -+=，故l 的斜率为1，直线0x y +=的斜率为1-，因为1(1)1⨯-=-，所以两直线垂直，所以A 正确； 对于B ，若直线l 与直线0x y -=平行，则2110111a a -=≠++-，解得0a =或1a =-，所以B 错误；对于C ，当0x =时，则1y =，所以直线过定点()0,1，所以C 正确；对于D ，当0a =时，直线l 的方程为10x y -+=，易得在x 轴、y 轴上的截距分别是1,1-，所以D 错误. 故选：AC.10．已知空间向量(2,1,5)a =-，(4,2,)b x =-，则下列选项正确的为（ ） A ．若a b ∥，则10x = B ．若a b ⊥，则2x = C ．若3x =-，则3a b += D ．若0x =，则6cos ,6a b <>=- 【答案】BCD【分析】对于A 、B 分别根据向量平行和垂直的等价条件转换计算； 对于C 、D 分别代向量的模的公式及夹角公式计算可得. 【详解】向量(2,1,5)a =-，(4,2,)b x =- 对于A. 若a b ∥，则21542x-==-，所以10x =-，故此选项错误； 对于B. 若a b ⊥，()()241250x ⨯-+-⨯+=，则2x =，故此选项正确；对于C. 若3x =-，则(4,2,3)b =--，则()2,1,2,4143a b a b +=-∴+=++=，故此选项正确；对于D. 若0x =，则(4,2,0)b =-，所以302082cos ,a b a b a b⋅--<>===⋅，故此选项正确；故答案为：BCD11．圆上的点（2，1）关于直线x ＋y ＝0（ ） A ．225x y += B ．()()22135x y -+-= C ．()2225x y +-= D ．()()22115x y -++=【答案】AD【分析】由圆的几何关系可知圆心在直线x ＋y ＝0上，设出圆心坐标为（a ，－a ），利用圆心到圆上点的距离等于半径列方程即可求解.【详解】由题意可知圆心在直线x ＋y ＝0上，设圆心坐标为（a ，－a ）， 则()()22215a a -++=，解得a ＝0或a ＝1， ∴所求圆的方程为()()22115x y -++=或225x y +=, 故选：AD ．12． 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别是棱11A D ，AB 的中点，则（ ）A ． 异面直线MD 与AC 所成角的余弦值为15B ． 11MCD N ⊥C ． 四面体11CABD 的外接球体积为 D ． 平面MNC 截正方体所得的截面是四边形 【答案】BC【分析】利用坐标法可判断AB ，利用正方体的性质可判断CD.【详解】如图建立空间直角坐标系，则()()()()()()111,0,2,2,0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,2,1,0M A C C D N ，∴()1,0,2DM =，()2,2,0AC =-，∴210cos ,10522AC DM ==⋅，A 错误；∴()11,2,0MC =-，()12,1,2D N =-，110MC D N ⋅=，∴11MC D N ⊥，B 正确； 由题可知四面体11CAB D 的外接球即为正方体的外接球，所以外接球半径满足223r =，3r =，∴34433V r ππ==，C 正确；延长CN 交DA 延长线与P ，连接MP 交1AA 于Q ，延长PM 交1DD 延长线于K ，连接CK 交11D C 于J ，则五边形QMJCN 为平面MNC 截正方体所得的截面，D 错误. 故选：BC.三、填空题13．若直线l 的一个方向向量为()1,2,1a =-，平面a 的一个法向量为()1,2,1b =--，则直线l 与平面α的位置关系是______．【答案】垂直或l α⊥【分析】由题意可得a 与b 共线，从而可得答案【详解】因为直线l 的一个方向向量为()1,2,1a =-，平面a 的一个法向量为()1,2,1b =--，且a b =-， 所以a 与b 共线，，所以直线l 与平面α的位置关系为垂直， 故答案为：垂直或l α⊥14．若方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，表示以（2，－4）为圆心，4为半径的圆，则F=_____ 【答案】4【详解】方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0配方得22224()().224D E D E Fx y +-+++=根据条件得：22242,4,4;224D E D E F+--=-=-=解得 4.F = 15．著名数学家华罗庚曾说过“数无形时少直觉，形少数时难人微”，事实上，很多代数问题都可以(),M x y 与点(),N a b 之间的______．【答案】【分析】设()f x ()f x 的几何意义为点(),0M x 到两定点()2,4A 与()1,3B 的距离，求出点()2,4A 关于x 轴的对称点为'A ，转化为求MA MB '+的最小值即可.【详解】设()f x则()f x∴()f x 的几何意义为点(),0M x 与两定点()2,4A ，()1,3B 之间的距离之和． 如图所示：设点()2,4A 关于x 轴的对称点为1A ，则1A 的坐标为（2，－4）． 则1MA MA =，1MA MB MA MB +=+ 要求()f x 的最小值，即求1MA MB +的最小值， 又()()221121432MA MB A B +≥=-+--即()22420210f x x x x x =-+-+52故答案为：5216．若圆222430x y x y +++-=上到直线20x y a ++= 2 的点恰有3个，则实数a 的值为___________.【答案】510a =510a =【分析】设圆心()1,2C --到直线:20l x y a ++=的距离为d ，由题意有2d = 利用点到直线距离公式列出等式即可求解.【详解】圆22:2430C x y x y +++-=，即()()22128x y +++=， 所以圆C 的圆心坐标为()1,2C --，半径22r =因为圆22:2430C x y x y +++-=上到直线:20l x y a ++=23个， 设圆心()1,2C --到直线:20l x y a ++=的距离为d ，则2d ==5a =5a =，故答案为：5a =5a =四、解答题17．已知空间中三点的坐标分别为()3,0,1A -，()3,1,0B ，()5,0,2C -，且a AB =，b AC =．(1)求向量a 与b 夹角的余弦值；(2)若ka b +与a b -互相垂直，求实数k 的值．【答案】(1)(2)2k =【分析】（1）求得向量a 与b 的坐标，根据向量的夹角公式即可求得答案；（2）表示出ka b +与a b -的坐标，根据ka b +与a b -互相垂直可得关于k 的方程，即可求得答案.【详解】（1）()0,1,1a AB ==，()2,0,1b AC ==-，所以1cos ,2a ba b a b ⋅-===⋅． （2）因为()2,,1ka b k k +=-，()2,1,2a b -=-，且ka b +与a b -互相垂直，所以()()22210k k ⨯-++-=，解得2k =．18．直线l 过点()2,1P -.(1)若直线l 与直线10x y ++=平行，求直线l 的方程；(2)若点()1,2A 到直线l 的距离为1，求直线l 的方程.【答案】(1)10x y +-=(2)20x -=或4350x y +-=【分析】（1）设出直线l 的方程，利用待定系数法求得正确答案.（2）根据直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，结合A 到直线l 的距离来求得直线l 的方程.【详解】（1）设直线方程为0,1x y c c ++=≠将()2,1P -代入得1c =-，所求直线方程是10x y +-=（2）若直线l 的斜率不存在，则过P 的直线为2x =，到A 的距离为1，满足题意；若直线l 的斜率存在，设斜率为k ，则l 的方程为210kx y k ---=.由A 到直线l 的距离为1，可得222213111k k k k k -----==++.解得43k =-， 所以直线方程为4421033x y ⎛⎫-----= ⎪⎝⎭，即4350x y +-=. 综上得所求的直线方程为20x -=或4350x y +-=.19．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为2，M 、N 分别为1A B 、AC 的中点．(1)证明：//MN 平面11BCC B ；(2)求1A B 与平面11A B CD 所成角的大小．【答案】(1)证明见解析(2)30°【分析】（1）以点D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系，求出MN和平面11BCC B 的法向量，利用空间向量证明即可，（2）求出平面11A B CD 的法向量，利用空间向量求解即可.【详解】（1）如图，以点D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系．则()2,0,0A ，()0,2,0C ，()12,0,2A ，(2,2,0)B ，()12,2,2B ，()2,1,1M ，()1,1,0N ． 所以()1,0,1MN =--，因为DC ⊥平面11BCC B ,所以平面11BCC B 的一个法向量为(0,2,0)DC =，因为0MN DC ⋅=，所以MN DC ⊥， 因为MN ⊂平面11BCC B ，所以//MN 平面11BCC B（2）()0,2,0DC =，()12,0,2DA =，()10,2,2A B =-．设平面11A B CD 的一个法向量为(),,n x y z =则122020DA n x z DC n y ⎧⋅=+=⎨⋅==⎩，令1z =，则=1x -，0y =， 所以()1,0,1n =-设1A B 与平面11A B CD 所成角为θ， 则11121sin cos ,2222A B n A B n A B n θ⋅-====⋅⋅． 因为0180θ︒≤<︒，所以1A B 与平面11A B CD 所成角为30°． 20．圆C 过点()60A ，，()1,5B ，且圆心在直线:2780l x y -+=上.（1）求圆C 的方程；（2）P 为圆C 上的任意一点，定点()8,0Q ，求线段PQ 中点M 的轨迹方程.【答案】（1）22(3)(2)13x y -+-=；（2）221113(1)24x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭. 【分析】（1）求得线段AB 垂直平分线的方程，与直线l 方程联立，求得圆心C 的坐标，由CA 求得半径，由此求得圆C 的方程.（2）设出M 点坐标，由此求得P 点坐标，将P 点的坐标代入圆C 的方程，化简求得M 点的轨迹方程.【详解】（1）直线AB 的斜率50116k -==--， 所以AB 的垂直平分线m 的斜率为1.AB 的中点的横坐标和纵坐标分别为61722x +==，95522y +==. 因此，直线m 的方程为57122y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.即10x y --=. 又圆心在直线l 上，所以圆心是直线m 与直线l 的交点.联立方程组102780x y x y --=⎧⎨-+=⎩， 解得32x y =⎧⎨=⎩所以圆心坐标为()3,2C，又半径r CA =则所求圆的方程是22(3)(2)13x y -+-=.（2）设线段PQ 的中点(),M x y ，()00,P x yM 为线段PQ 的中点，则008202x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， 解得00282x x y y =-⎧⎨=⎩ ()28,2P x y -代入圆C 中得22(283)(22)13x y --+-=，即线段PQ 中点M 的轨迹方程为221113(1)24x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭.【点睛】本小题主要考查圆的方程的求法，考查动点轨迹方程的求法，属于中档题.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，//BC AD ，2PA AB BC ===，4=AD ，E 为棱PD 的中点，F 是线段PC 上一动点.(1)求证：平面PBC ⊥平面PAB ；(2)若直线BF 与平面ABCD 3F EA D --的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)6【分析】（1）证明出BC ⊥平面PAB ，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设PF PC λ=，其中01λ≤≤，利用已知条件求出λ的值，然后利用空间向量法可求得二面角F EA D --的余弦值.【详解】（1）证明：因为AB AD ⊥，//BC AD ，则BC AB ⊥，PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，BC PA ∴⊥， PA AB A =，PA 、AB ⊂平面PAB ，BC ∴⊥平面PAB ，BC ⊂平面PBC ，因此，平面PBC ⊥平面PAB .（2）解：因为PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()2,0,0B 、()2,2,0C 、()0,4,0D 、()0,2,1E 、()002P ,,，设()()2,2,22,2,2PF PC λλλλλ==-=-，()22,2,22BF BP PF λλλ=+=--，其中01λ≤≤， 易知平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1u =， 由已知可得()223cos ,2224u BFu BF u BF λλ⋅<>==⋅⨯-+12λ=， 所以，F 为PC 的中点，即()1,1,1F ，设平面AEF 的法向量为(),,m x y z =，()0,2,1AE =，()1,1,1AF =，则200m AE y z m AF x y z ⎧⋅=+=⎨⋅=++=⎩，取1y =，可得()1,1,2m =-，易知平面ADE 的一个法向量为()1,0,0n =， 所以，16cos ,6m nm n m n ⋅<>===⋅ 由图可知，二面角F EA D --的平面角为钝角，故二面角F EA D --的余弦值为622．已知圆22:(3)(4)4C x y -+-=.(1)若直线:(2)(1)10()l m x m y m m R -+-++=∈，证明:无论m 为何值，直线l 都与圆C 相交；(2)若过点(1,0)P 的直线m 与圆C 相交于,A B 两点，求ABC 的面积的最大值，并求此时直线m 的方程.【答案】(1)见详解；(2)ABC 的面积的最大值为2，此时直线方程为10x y --=或770x y --=.【分析】（1）只要证明直线l 过圆内一点即可；（2）根据题意，故设直线方程1(0)x my m =+≠，可得圆心到直线的距离d =AB ==221()2S AB d =⋅，利用函数求最值即可得解. 【详解】（1）转化l 的方程(2)(1)10m x m y m -+-++=可得：(1)210m x y x y -+-++=，由10210x y x y -+=⎧⎨-++=⎩，解得2,3x y ==， 所以直线l 恒过点(2,3)，由22(23)(34)24-+-=<，故点(2,3)在圆内，即直线l 恒过圆内一点，所以无论m 为何值，直线l 都与圆C 相交；（2）由C 的圆心为(3,4)，半径2r =，易知此时直线l 斜率存在且不为0，故设直线方程1(0)x my m =+≠，一般方程为10my x -+=，圆心到直线的距离d ==，所以AB == 所以2222221(42)(42)()4211m m S AB d m m ⎡⎤--=⋅=-⋅⎢⎥++⎣⎦， 令22(42)1m t m -=+， 可得224S t t =-，当2t =时2max 4S =，所以ABC 的面积的最大值为2， 此时由22(42)21m m -=+，解得27810m m -+=， 解得1m =或17m =，符合题意， 此时直线方程为10x y --=或770x y --=.。
广东省广州市番禺中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试卷(含答案)
高二数学9月月考试题一、单选题（每小题5分）1.已知，则（ ）A. B.C.D.2.函数）A. B. C. D.3.函数是（ ）A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的偶函数C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数4.若函数是定义在上的奇函数，，，则（ ）A.2B.0C.60D.625.已知空间向量，，则在上的投影向量坐标是（ ）A. B. C. D.6.在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，点满足，则（ ）A. B.C. D.7.在空间直角坐标系中，若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（ ）A B. C.或 D.与斜交8.已知向量，，且平面，平面，若平面与平面的夹角的余弦的值为（ ）A.或 B.或1 C.或2D.二、多选题（每小题6分）9.三棱锥中，平面与平面的法向量分别为，，若，则二面角2i z =+izz =+3i 4-1i 4-3i4+1i 4+y =[3,4)(,3]-∞[3,)+∞(,4]-∞2π2cos 14y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭πππ2π2()f x R (2)()f x f x -=(1)2f =(1)(2)(30)f f f ++⋅⋅⋅+=(3,4,0)a =(3,1,4)b =- b a (3,4,0)--34,,055⎛⎫--⎪⎝⎭314,,555⎛⎫--⎪⎝⎭(3,1,4)--P ABC -A PBC H M 34AM AH = PM =131444PA PB PC -+111444PA PB PC ++111424PA PB PC -+113444PA PB PC -+l (1,2,1)a =-α(2,3,4)n =//l αl α⊥l α⊂//l αl α(1,2,1)m =- (,1,)n t t =- m ⊥ αn ⊥βαβt 121-151-12-A BCD -ABD BCD 1n 2n 12π,3n n =的大小可能为（ ）A. B. C.D.10.随机抽取8位同学对2024年数学新高考|卷的平均分进行预估，得到一组样本数据如下：97，98，99，100，101，103，104，106，则下列关于该样本的说法正确的有（ ）A.均值为101 B.极差为9C.方差为8D.第60百分位数为10111.已知空间中三点，，，则（ ）A.与是共线向量B.与向量方向相同的单位向量坐标是C.与D.在三、填空题（每小题5分）12.已知是定义在上的奇函数，当时，，当时，，则_______.13.已知向量，，，若，，共面，则_______.14已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是_______.四、解答题（五个大题共77分）15.（本题13分）（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记的内角，，的对边分别为，，，已知.（1）求.（2）若，求的周长.16（本题15分）某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为、、，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且.（1）求与的值；（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“诗词”A BD C --π6π32π35π6(0,1,0)A (2,2,0)B (1,3,1)C -AB AC AB ⎫⎪⎪⎭AB BC BC AB ()f x R 0x >2()22xxf x -=+0x <()22x x f x m n -=⋅+⋅m n +=(2,3,4)a x = (0,1,2)b = (1,0,0)c =a b c x =(2,,1)a t =--(2,1,1)b = a b t ABC △A B C a b c sin 2A A +=A 2a =sin sin 2C c B =ABC △m 13n 12434m n >m n社的同学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分.求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于4分的概率.17.（本题15分）如图，在以，，，，，为顶点的六面体中（其中平面），四边形是正方形，平面，，且平面平面.（1）设为棱的中点，证明：，，，四点共面；（2）若，求六面体的体积.18.（本题17分）一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：kg ），将全部数据按区间，，，分成5组，得到图所示的频率分布直方图.（1）求图中的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）若一次进货太多，水果不新鲜，进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求）.请问，每天应该进多少水果？（3）在日销售量为苹果中用分层抽样方式随机抽6个苹果，再从这6苹果中随机抽取2个苹果，求抽取2个苹果都来自日销售量在的概率.19（本题17分）（2022年新高考天津数学高考真题）直三棱柱中，，，为的中点，为的中点，为的中点.A B C D E F F ∈EDC ABCD ED ⊥ABCD BF FE =FEB ⊥EDB M EB A C F M 24ED AB ==EFABCD [50,60)[60,70)⋅⋅⋅[90,100]a 85%[70,90]kg [80,90]111ABC A B C -12AA AB AC ===AC AB ⊥D 11A B E 1AA F CD（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求平面与平面夹角的余弦值.//EF ABC BE 1CC D 1ACD 1CC D高二数学9月月考试题参考答案一、单选题（每小题5分共40分）1.A2.A3.A4.A【详解】由题意，所以的周期为4，且关于直线对称，而，所以.5.B【详解】因为空间向量，，所以，，，则在上的投影向量坐标是：.6.B【详解】在正四面体中，因为平面，所以是的中心，连接，则，所以.7.C【解析】由可得，所以或，即可得正确选项.【详解】直线的方向向量为，平面的法向量为，因为，所以，所以或.8.B【详解】因为，所以，，，因为平面，平面，若平面与平面，，解得或1.二、多选题（每小题6分共18分）9.BC【详解】二面角的大小与法向量的夹角相等或互补，二面角的大小可能为或.10.ABD【详解】A选项，均值为，A正确；(2)()()(2)f x f x f x f x-==--=--()f x()f x1x=(1)(2)(3)(4)(0)(1)(1)(2)(2)(0)0f f f f f f f f f f+++=++-+===(1)(2)(30)(29)(30)(1)(2)(0)(1)022f f f f f f f f f++⋅⋅⋅+=+=+=+=+=(3,4,0)a=(3,1,4)b=-9405a b⋅=-++=-5a==b==ba 5134(3,4,0),,05555a b aa a⋅-⎛⎫⋅=⨯=--⎪⎝⎭P ABC-AH⊥PBC H PBC△PH()()211323PH PB PC PB PC=⨯+=+()33334444PM PA AM PA AH PA PH PA PA PH PA=+=+=+-=+-()3331311144434444PA PH PA PA PB PC PA PA PB PC=+-=+⨯+-=++a n⋅=a n⊥lα⊂//lαl(1,2,1)a=-α(2,3,4)n=(2,3,4)(1,2,1)2640a n⋅=⋅-=-+=a n⊥lα⊂//lα(1,2,1)m=-(,1,)n t t=-22m n t⋅=+m=n=m⊥αn⊥βαβ=25610t t-+=15t=∴A BD C--π3π2ππ33-=9798991001011031041061018+++++++=B 选项，极差为，B 正确；C 选项，方差为，C 错；D 选项，因为，故从小到大，选择第5个数作为第60百分位数，即101.11.BD 【详解】由已知，，，，因此与不共线，A 错；，所以与向量，B 正确；，，，C 错；在上的投影是，D 正确.三、填空题（每小题5分共15分）12.【详解】令，则，所以.因为是定义在上的奇函数，所以，所以，所以，，所以.13.【详解】由题意得，存在，使得，即，故解得，.14.【详解】由，得，解得，又，得，解得，所以与夹角为钝角，实数的取值范围为且.四、解答题（五个大题共77分）15.（本题13分）【解析】（1）由可得，即，由于，故，解得.（2）由题设条件和正弦定理，106979-=222(97101)(98101)(106101)169410492517882-+-+⋅⋅⋅+-+++++++==60%8 4.8⨯=(2,1,0)AB = (1,2,1)AC =- (3,1,1)BC =-1221-≠AB AC AB = AB ⎫=⎪⎪⎭6105AB BC ⋅=-++=- BC = cos ,AB BC AB BC AB BC⋅〈〉===BC AB BC AB AB⋅==5-0x <0x ->2()22xx f x -+-=+()f x R ()()f x f x -=-2()22422xx x x f x +--=--=-⨯-4m =-1n =-5m n +=-23m n a mb nc =+ (2,3,4)(0,1,2)(1,0,0)x m n =+2342nx m m=⎧⎪=⎨⎪=⎩2m =23x =(,1)(1,5)-∞-- 0a b ⋅<(2)2(1)10t -⨯++-⨯<5t <//a b 21211t --==1t =-a b t 5t <1t ≠-67=+sin 2A A +=1sin 12A A +=πsin 13A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππ4π(0,π),333A A ⎛⎫∈⇒+∈ ⎪⎝⎭ππ32A +=π6A =sin sin 2sin 2sin sin cos C c B B C C B B =⇔=又，，则，进而，于是，，由正弦定理可得，，即，解得，，故的周长为.16.（本题15分）【详解】（1）依题，解得.（2）由题令该新同学在社团方面获得本选修课学分的分数为，获得本选修课学分分数不低于4分为事件A ，则；；.故.17.（本题15分）【详解】（1）连接，由四边形是正方形，故，又平面，平面，故，由，，平面，故平面，又为棱的中点，，故，又平面平面，平面平面，平面，故平面，故，所以，，，四点共面；（2）设与交于点，连接，则，又平面，平面，则平面，又因为六面体，则平面平面，又平面，故，则四边形为矩形，则，且平面，又，故，则.18（本题17分）【详解】（1）由直方图可得，样本落在，，，的频率分别为，，0.2，0.4，0.3，由，解得.B (0,π)C ∈sin sin 0B C ≠cos B =π4B =7π12C A B π=--=sin sin(π)sin()sin cos sin cos C A B A B A B B A =--=+=+=sin sin sin a b c A B C ==2ππ7πsin sin sin 6412b c==b =c =+ABC △2++78=+11324131(1)1(1)34mn m n m n ⎧=⎪⎪⎪⎛⎫----=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎩1214m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩i X ()4121123412P X =⨯⨯=()5111123424P X =⨯⨯=()6111123424P X =⨯⨯=1111()1224246P A =++=78+AC ABCD AC DB ⊥ED ⊥ABCD AC ⊂ABCD ED AC ⊥DE BD D = DE BD ⊂EDB AC ⊥EDB M EB BF FE =FM EB ⊥FEB ⊥EDB FEB EDB EB =FM ⊂EFB FM ⊥EDB //FM AC A C F M AC BD O OM //OM DE OM ⊂ACFM DE ⊂/ACFM //DE ACFM EFABCD CDEF ACFM CF =DE ⊂CDEF //DE CF OCFM 1CF =CF ⊥ABCD BF FE =122CF DE ==11204422333EFABCD E ABCD B EFC V V V --=+=⨯⨯+⨯⨯=557=++[50,60)[60,70)⋅⋅⋅[90,100]10a 10a 10100.20.40.31a a ++++=0.005a =则样本落在，，，频率分别为0.05，0.05，0.2，0.4，0.3，所以，该苹果日销售量的平均值为：.（2）为了能地满足顾客的需要，即估计该店苹果日销售量的分位数.依题意，日销售量不超过90kg 的频率为，则该店苹果日销售量的分位数在，所以日销售量的分位数为.所以，每天应该进95kg 苹果.（3）由日销售量为，的频率分别为0.2，0.4知，抽取的苹果来自日销售量中的有2个，不妨记为，，来自日销售量为的苹果有4个，不妨记为，，，，任意抽取2个苹果，有，，，，，，，，，，，，，，，共有15个基本事件，其中2个苹果都来自日销售中的有6个基本事件，由古典概型可得.19.（本题17分）【解析】（1）证明：在直三棱柱中，平面，且，则以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、、、、，则，易知平面的一个法向量为，则，故，平面，故平面.[50,60)[60,70)⋅⋅⋅[90,100]5060607070808090901000.050.050.20.40.383.5(kg)22222+++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=85%85%10.03100.7-⨯=85%[90,100]85%0.850.7901095(kg)10.7-+⨯=-[70,80)[80,90][70,80)1a 2a [80,90]1b 2b 3b 4b ()12,a a ()11,a b ()12,a b ()13,a b ()14,a b ()21,a b ()22,a b ()23,a b ()24,a b ()12,b b ()13,b b ()14,b b ()23,b b ()24,b b ()34,b b [80,90]62155P ==557++111ABC A B C -1AA ⊥111A B C AC AB ⊥1111A C A B ⊥1A 1A A 11A B 11A C x y z (2,0,0)A (2,2,0)B (2,0,2)C 1(0,0,0)A 1(0,2,0)B 1(0,0,2)C (0,1,0)D (1,0,0)E 11,,12F ⎛⎫⎪⎝⎭10,,12EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭ABC (1,0,0)m =0EF m ⋅= EF m ⊥ EF ⊂/ ABC //EF ABC（2），，，设平面的法向量为，则，取，可得，.因此，直线与平面夹角的正弦值为.（3），，设平面的法向量为，则，取，可得，则因此，平面与平面.1(2,0,0)C C = 1(0,1,2)C D =- (1,2,0)EB =1CC D ()111,,u x y z = 111112020u C C x u C D y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩ 12y =(0,2,1)u =4cos ,5EB u EB u EB u ⋅==⋅BE 1CC D 451(2,0,2)AC = 1(0,1,0)A D =1ACD ()222,,v x y z = 122122200v A C x z v A D y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ 21x =(1,0,1)v =-cos ,u v u v u v ⋅〈〉===⋅ 1ACD 1CC D。
天津市耀华中学2018-2019学年高二9月月考数学试题解析
天津市耀华中学2018-2019学年高二9月月考数学试题解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 设函数的集合，平面上点的集合，则在同一直角坐标系中，P 中函数的图象恰好经过Q 中两个点的函数的个数是 A4 B6 C8 D102． 已知2,0()2, 0ax x x f x x x ⎧+>=⎨-≤⎩，若不等式(2)()f x f x -≥对一切x R ∈恒成立，则a 的最大值为（ ）A ．716-B ．916-C ．12-D ．14-3． 函数22()(44)log x x f x x -=-的图象大致为（ ）4． 已知一三棱锥的三视图如图所示，那么它的体积为（ ）A ．13 B ．23C ．1D ．2 5． 已知角α的终边经过点(sin15,cos15)-，则2cos α的值为（ ）A ．124+B ．124- C. 34 D ．0 6． 已知抛物线C ：y x 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FQ PF 2=，则=QF （ ） A ．6B ．3C ．38D ．34 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）7． 设a ，b 为正实数，11a b+≤23()4()a b ab -=，则log a b =（ ） A.0B.1-C.1 D .1-或0【命题意图】本题考查基本不等式与对数的运算性质等基础知识，意在考查代数变形能与运算求解能力. 8． 在极坐标系中，圆的圆心的极坐标系是( )。
ABC D9． 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是，，，BH 为AC 边上的高，5BH =，若2015120aBC bCA cAB ++=，则H 到AB 边的距离为（ ）A ．2B ．3 C.1 D ．410．已知全集R U =，集合{|||1,}A x x x R =≤∈，集合{|21,}x B x x R =≤∈，则集合U A C B 为（ ）A.]1,1[-B.]1,0[C.]1,0(D.)0,1[- .则几何体的体积为（ ）34意在考查学生空间想象能力和计算能 ） ,m m γ=,//m βα⊥,γαβ⊥⊥二、填空题（本大题共分.把答案填写在横线上）a 2，a 3，a 4－2成等差数列，则a n ＝________．((2))f g = ， [()]f g x 的值域为 ．. 15．已知过球面上 ,,A B C 三点的截面和球心的距离是球半径的一半，且2AB BC CA ===，则球表面积是_________.16．某公司租赁甲、乙两种设备生产A B ，两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费用为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为__________元.三、解答题（本大共6小题，共70分。
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南涧县民族中学2016——2017学年上学期9月月考高二数学（文科）试题班级 姓名 学号本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
注:所有题目在答题卡上做答 第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
）1.已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则（C U P) ∩Q =（ ） A.{3，5}B.{2，4}C.{1，2，4，6}D.{1，2，3，4，5}2．将函数sin(6)4y x π=+的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移π8个单位，得到的函数的一个对称中心是 ( )． A.(,0)2πB. (,0)4πC. (,0)9πD.(,0)16π3．在等差数列}{n a 中，1479112()3()24a a a a a ++++=，则1372S a +=（ ）A ．17B ．26C ．30D ．564.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π5.执行下图的程序框图，如果输入的a=2，b=5，那么输出的n=（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）66.已知向量a=(m,4)，b=(3,-2)，且a ∥b ，则m=（ ）A.6B.-6C.83 D. 83-7.从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲没有被选中的概率为（ ）（A ）35（B ）25 （C ）825 （D ）9258．若2sin 3α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于（ ） A 25 B ．55．259.在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝2，该三角形的面积为2，则b 的值为( )A. 3B.322C.2 2D.2310．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f(－52)等于 （ ）A ．－12B ．－14 C.14 D.1211．函数()sin cos()6f x x x π=++的最小值和最小正周期分别是( )．A ．3,π-B ．1,π-C ．3,2π- D. 1,2π-12.设直线y=x+2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay-2=0相交于A ，B 两点，若错误！未找到引用源。
，则圆C 的内接正三角形的面积为 （ ）（A ）4 （B ）8 （C ） 33 （D ）43第Ⅱ卷（非选择题 共50分）二．填空题（本大题共4小题，共20分，把答案填在题中横线上）。
13．若正项等比数列{}n a 满足243a a +=35,2a a =，则该数列的公比q =14.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足a 2－b 2－c 2＋3bc ＝0，.则角A 的大小为15.已知点(3,9)在函数xa x f +=1)(的图像上，则14log log 8________a a +=16. 为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x （万元）8.2 8.6 10.011.311.9支出y （万元）6.27.58.0 8.5 9.8根据上表可得回归直线方程ˆ0.76ya x =+，据此估计，若该社区一户家庭年支出为11.8万元，则该家庭的年收入为 万元三、解答题（本大题共6小题， 17题10分，其它题每小题12分，共70分）17.2015年下学期某市教育局对某校高三文科数学进行教学调研,从该校文科生中随机抽取40名学生的数学成绩进行统计,将他们的成绩分成六段[)[)[)[)[)[)80,90,90,100,100,110,110,120,120,130,130140后得到如图所示的频率分布直方图.（1）求这40名学生中数学成绩不低于120分的学生人数；（2）若从数学成绩[)80,100内的学生中任意抽取2人,求成绩在[)80,90中至少有一人的概率.18.已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.已知13416,28a a S +== （1）求数列{a n }的通项公式(2)当n 取何值时S n 最大，并求出这个最大值19.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点. （1）求证：1//A B 平面1ADC ；（2）若AB AC ⊥，1AB AC ==，12AA =，求几何体111ABD A B C -的体积20.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=（1） 求sin sin AC的值 （2） 若1cos 4B =，b ＝2，求△ABC 的面积S.21.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知，12a =，且1234,3,2S S S 成等差数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的公比q ；（Ⅱ）设n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .22.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l ,设圆C 的半径为1，圆心在l 上．（Ⅰ）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （Ⅱ）若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．南涧民中2016——2017学年上学期9月月考高二文科数学参考答案一、 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 BACCCBADAADC二、填空题13． 1 14. 3015． 5/2 16. 15三、解答题 17（1）14（2）从图中知,成绩在[)80,90的人数为10.00510402m =⨯⨯=(人), 成绩在[)90,100的人数为20.01010404m =⨯⨯=(人), 设成绩在[)80,90的学生记为,a b ,成绩在[)90,100的学生记为,,,c d e f .则从成绩在[)80,100内的学生中任取2人组成的基本事件有()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a e a f b c b d b e b f ,()()()()()(),,,,,,,,,,,c d c e c f d e d f e f 共15种.其中成绩在[)80,90的学生至少有一人的基本事件有()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a e a f b c b d b e b f 共种.∴成绩在[)80,90的学生至少有一人的概率为93155P ==.18.解：（I ）由121+=+n n S a ，可得121(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得)2(3,211≥==-++n a a a a a n n n n n 即，∴当2≥n 时，}{n a 是等比数列， ……… 3分 要使1≥n 时，}{n a 是等比数列，则只需31212=+=tt a a ，从而1=t ． （II ）设}{n b 的公差为d ，由153=T 得15321=++b b b ，于是52=b ，故可设d b d b +=-=5,531，又9,3,1321===a a a ， 由题意可得2)35()95)(15(+=+++-d d ，解得：10,221-==d d ， ……… 8分 ∵等差数列}{n b 的前n 项和n T 有最大值，∴10,0-=<d d … 10分 ∴2520)10(2)1(15n n n n n T n -=-⨯-+=． 19.（I ）由已知得，,.⊥=AC BD AD CD 又由=AE CF 得=AE CFAD CD，故//.AC EF 由此得,'⊥⊥EF HD EF HD ，所以//.'AC HD . （II ）由//EF AC 得1.4==OH AE DO AD由5,6==AB AC 得 4.===DO BO所以1, 3.'===OH D H DH于是2222219,''+=+==OD OH D H 故.'⊥OD OH由（I ）知'⊥AC HD ，又,'⊥=AC BD BD HD H ，所以⊥AC 平面,'BHD 于是.'⊥AC OD 又由,'⊥=OD OH AC OH O ，所以，'⊥OD 平面.ABC又由=EF DH AC DO 得9.2=EF五边形ABCFE 的面积11969683.2224=⨯⨯-⨯⨯=S 所以五棱锥'ABCEF D -体积16923222.342=⨯⨯=V20(1)由正弦定理，则＝，所以＝，即(cosA －2cosC)sinB ＝(2sinC －sinA)cosB ，化简可得sin(A ＋B)＝2sin(B ＋C)． 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sinC ＝2sinA. 因此＝2.--------------------------6分(2)由＝2，得c ＝2a ，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2accosB 及cosB ＝，b ＝2，得4＝a 2＋4a 2－4a 2×.解得a ＝1，从而c ＝2. 因为cosB ＝，且0BB ＝，因此S ＝acsinB ＝×1×2×＝.---------------------12分21． （1）令n=2，122122242-+-=+a a ① 令n=3，13321223432-+-=++a a a ② ②-①得()()432224223423231213213213=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-=+-++=--a a a a a a 所以413=a . （2）由（1）知，当n>1时()()[]121121212214224122----=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-=-+⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅++=n n n n n n nn n a n a a na a a na ， 所以121-⎪⎭⎫⎝⎛=n n a ，又因为12214111=+-=-a 也适合此式， 所以数列{}的等比数列，，公比为是首项为211n a故1212211211-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n nn T .22． 解:(1)由⎩⎨⎧-=-=142x y x y 得圆心C 为(3,2),∵圆C 的半径为∴圆C 的方程为:1)2()3(22=-+-y x显然切线的斜率一定存在,设所求圆C 的切线方程为3+=kx y ,即03=+-y kx ∴113232=++-k k ∴1132+=+k k ∴0)34(2=+k k ∴0=k 或者43-=k∴所求圆C 的切线方程为:3=y 或者343+-=x y即3=y 或者01243=-+y x(2)解:∵圆C 的圆心在在直线42:-=x y l 上,所以,设圆心C 为(a,2a-4)则圆C 的方程为:[]1)42()(22=--+-a y a x又∵MO MA 2=∴设M 为(x,y)则22222)3(y x y x +=-+整理得:4)1(22=++y x 设为圆D∴点M 应该既在圆C 上又在圆D 上 即:圆C 和圆D 有交点 ∴[]12)1()42(1222+≤---+≤-a a 由08852≥+-a a 得R x ∈由01252≤-a a 得5120≤≤x 终上所述,a 的取值范围为:⎥⎦⎤⎢⎣⎡512,0。