天津市高三数学总复习 综合专题 数列 理 (学生版)
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数列(理)
考查内容:本小题主要考查等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式、 不等式证明等基础知识,考查分类讨论的思想方法,考查运算能力、 推理论证能力及综合分析、解决问题的能力。
1、在数列{}n a 中,11a =,122n
n n a a +=+。
(1)设1
2
n
n n a b -=
。证明:数列{}n b 是等差数列; (2)求数列{}n a 的前n 项和n S 。
2、设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知()21n
n n ba b S -=-
(1)证明:当2b =时,{}
12n n a n --⋅是等比数列; (2)求{}n a 的通项公式 3、已知数列{}n a 的首项12
3
a =
,121n n n a a a +=+,1,2,3,n =…。
(1)证明:数列⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧-11n a 是等比数列; (2)数列⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧n a n 的前n 项和n S 。 4、已知数列{}n a 满足:1±≠n a ,2
11=a ,()()
2211213n n a a -=-+,记数列21n n a b -=,221n n n c a a +=-,
n N *∈。
(1)证明数列
{}n b 是等比数列;
(2)求数列{}n c 的通项公式;
(3)是否存在数列{}n c 的不同项k j i c c c ,,,k j i <<,使之成为等差数列?若存在请求出这样的不同项
k j i c c c ,,,k j i <<;若不存在,请说明理由。
5、已知数列{}n a 、{}n b 中,对任何正整数n 都有:
11213212122n n n n n n a b a b a b a b a b n +---+++++=--L 。
(1)若数列{}n a 是首项和公差都是1的等差数列,求证:数列{}n b 是等比数列;
(2)若数列{}n b 是等比数列,数列{}n a 是否是等差数列,若是请求出通项公式,若不是请说明理由; (3)若数列{}n a 是等差数列,数列{}n b 是等比数列,求证:1132
n
i i i a b =<∑
。 6、设数列{}n a 满足11a =,22a =,121
(2)3
n n n a a a --=
+,(3,4,)n =L 。数列{}n b 满足11,(2,3,)n b b n ==L 是非零整数,且对任意的正整数m 和自然数k ,都有
111m m m k b b b ++-≤+++≤L 。
(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;
(2)记(1,2,)n n n c na b n ==L ,求数列{}n c 的前n 项和n S 。 7、有n 个首项都是1的等差数列,设第m 个数列的第k 项为mk a ,
(,1,2,3,,, 3)m k n n =L ≥,公差为m d ,并且123,,,,n n n nn a a a a L 成等差数列。
(1)证明1122m d p d p d =+,n m ≤≤3,12,p p 是m 的多项式,并求12p p +的值;
(2)当121, 3d d ==时,将数列{}m d 分组如下:123456789(), (,,), (,,,,),d d d d d d d d d L (每组数的个数构成等差数列),设前m 组中所有数之和为4()(0)m m c c >,求数列{2}m c
m d 的前n 项和n S 。 (3)设N 是不超过20的正整数,当n N >时,对于(2)中的n S ,求使得不等式1
(6)50
n n S d ->成立的所有N 的值。
8、数列}{n a 的通项公式为⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-=3sin 3cos
22
2
ππn n n a n ,其前n 项和为n S 。 (1)求n S ;
(2)设n
n
n n S b 4
3⋅=
,求数列}{n b 的前n 项和n T 。 9、数列}{n a 满足}221221,2,(1cos )sin ,1,2,3,.22
n n n
n n a a a a a n ππ+===++=L 满足。
(1)求34,,a a 并求数列{}n a 的通项公式; (2)设21122,.n n n n n
a b S b b b a -=
=+++L 。证明:当6≥n 时,1
62.n n S n ≥-<时,。
10、已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+,27
n b n =+,
*
n N ∈,若将集合**{|,}{|,}n n x x a n N x x b n N =∈=∈U 中的元素从小到大依次排列,构成一个新的数列{}n c 。
(1)求1234,,,c c c c ;
(2)求证:在数列{}n c 中,但不在数列{}n b 中的项恰为242,,,,n a a a L L ; (3)求数列{}n c 的通项公式。
11、在数列{}n a 中,1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*
+==++-∈N ,,其中0λ>。
(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求数列{}n a 的前n 项和n S 。
(3)证明:存在*
N k ∈,使得11
n k n k
a a a a ++≤对任意*
N n ∈均成立。 12、在数列{}n a 与{}n b 中,4,111==b a ,数列{}n a 的前n 项和n S 满足1(3)0n n nS n S +-+=,且12n a +为n b 与1n b +的等比中项,*N n ∈。 (1)求2a ,2b 的值;
(2)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式; (3)设1212(1)(1)(1)n a a a n
n T b b b n =-+-++-∈*N …,,*N ∈,证明223n T n n <,≥,
3≥n 。
13、已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠,等比数列{}n b 的公比为q ,
且1≠q 。设1122n n n S a b a b a b =+++L ,1
1122(1)n n n n T a b a b a b -=-++-L ,*
N n ∈。
(1)若111a b ==,2,3d q ==求3S 的值;
(2)若11b =,证明()()2222
2(1)111n n n dq q q S q T q
---+=-,*
N n ∈; (3)若正整数n 满足2n q ≤≤,设12,,,n k k k L 和12,,,n l l l L 是1
2,n L ,, 的两个不同的排列,12112...n k k k n c a b a b a b =+++ ,12212...n l l l n c a b a b a b =+++,