§4.4 质心 质心运动定理

质心系
1
2
v0/2
v0/2
地面系
v0
C
例 两个同质量的 小球，一个静 止。 求 弹性斜碰后二 者速度的夹角 ？
v0/2
?
v0/2
在质心系中动量为0
质心系
v0/2
v0/2
C
v0/2
说明
零动量系=质心系
2. 质心位置 质心位矢
rc
mi r i m
z
mi
坐标
xc
mi xi m
ri
质点系在质心系中动量 P=0
四. 质心系与质点系动能
2 1 1 2 S系 Ek miv i mi (v ' i V ) z 2 2 2 2 1 S 2 mi (v ' i V 2v ' i V ) 2 2 2 1 Ek ' miV miv ' i V 2 o m S系 动能 动量
例 水平桌面上有一张纸，上面放一个m=0.5kg的均质圆盘， 将纸右拉，会有f=0.1N的力作用在圆盘上. 。 求 2s内圆盘 质心移动的距离 S 解 质心运动定理
ห้องสมุดไป่ตู้
f maC
质心运动距离 1 S aC t 2 0.4 2
aC
f
例 设有一质量为2m的弹丸，从地面斜抛出去，他飞行到最高点时爆炸成
y
y
例 人从船头到船尾，船长 l 。 求 人和船各移动的距离
x人 '
x人
解 质心静止 xc xc
mx人 Mx船 初态 xc mM Mx船 mx人 末态 xc mM
x船 ' x船
M ( x船 ' x船 ) m( x人 ' x人 )
人相对船的位移
Mx船岸 mx人岸

o
x
ydm yc M
R sin 0 M

M
d 0.64 R
x Rcos y R sin
xc
xdm
M

R cos 0 M
M
d 0
二. 质心运动定理
• 质心的速度
rc
m r ii m
d r i m i drc mi ri miv i d dt vc ( ) dt m dt m m mv c miv i P 质点系动量 P mv c
质点系动量等于总质量与质心速度的积
说明
• 质心的加速度及其动力学规律 dP 质点系动量定理 F 外 dt
质点系动量
P mv c
dv c F外 m mac dt
说明
外力 质心运动状态 内力
m
水平纸面
物体质心运动和一个相同受力条件下同质量质点的运动相同 水平纸面
x人船 x人岸 x船岸 l
ml mM
x船岸
x人岸
Ml mM
三. 零动量系 ——质心系
S系 S 系
z P miv i S P' miv' i mi (v i V )
mi
z S
m1
m2
miv i mV
m mi
V
m1
y
o
x
其中质点系质量
y
各个质点的位矢以其质量为 权重的平均，既是质点系的 质心
mi dri d mi V ( r i ) m m dt dt m 零动量系中任意固定点的位矢 miri Vdt m 常矢量r0
如果在S系中质点系动量P=0，则
L
L
L
例 一柔软绳长 l ，质量m，一端着地开始自由下落. 求 下落到任意长度 y 时刻，给地面的压力N为多少？ 解 取整个绳为研究对象
y l y dy N
质心运动定理
y2 m 质心高度 yC 0 ydm 0 ydy 2l l dyC y dy vC 质心速度 dt l dt dv dy g v 2 g(l-y) 自有落体 dt dt dv C d y v 2 y dv ( v) 质心加速度 aC dt dt l l l dt y y y 2 g (1 ) g 2 g 3 g l l l m N 3 g (l y ) N mg maC l
解得
相对速率为 u v1 v 2
m1 v2 u m1 m2
m2 v1 u m1 m2
在质心系中的动能
E
cm k
1 1 1 m2 1 m1 2 2 2 m1v1 m2v 2 m1 ( u ) m2 ( u)2 2 2 2 m1 m2 2 m1 m2
质量相等的两个碎片，其中一个 碎片垂直自由下落，到发射点的距离为L.
另一个碎片水平抛出，他们同时落地，试问第二个碎片落地点在何处？ 解：
L
L
L
例 一柔软绳长 l ，质量m，一端着地开始自由下落. 求 下落到任意长度 y 时刻，给地面的压力N为多少？ 解 取整个绳为研究对象
y l y dy N
质心运动定理
x人船 x人岸 x船岸 l
ml mM
x船岸
x人岸
Ml mM
例 两物体被长度为l0的弹簧连接，静止在光滑水平面上，子 弹以v0速度入射，并停留在第一个物体中。 求 两物体运动方程 v0 m1 m2 光滑
水平方向不受外力，质心匀速直线运动，因此质心系为惯性系 在质心系中，两物体振动
例 两个同质量的小球，一个静止。
求 弹性斜碰后二者速度的夹角？ 解 在质心系（零动量系）中，质点系统的动量为0
v0
1
v0/2
2
v0/2
C
v0
C
质心系 v0
1
2
v0/2
v0/2
督促
质心系 v0/2
C
v0/2 v0/2 v0/2 v0/2 v0/2
v0/2
地面系
v0
1
v0/2
2
v0/2
C
v0
C
在质心系（零动量系）中，动量为0
人相对船的位移
Mx船岸 mx人岸
x人船 x人岸 x船岸 l
ml mM
x船岸
x人岸
Ml mM
例 设有一质量为2m的弹丸，从地面斜抛出去，他飞行到最高点时爆炸成
质量相等的两个碎片，其中一个 碎片垂直下落，到发射点的距离为L.
另一个碎片水平抛出，他们同时落地，试问第二个碎片落地点在何处？ 解：
§4.4 质心 质心运动定理
一. 质心位置
坐标 o
i i
m1 C
m2
mx x m mz z m
c i c i
yc
my m
i i
x
i
m1 x1 m2 x2 xc m1 m2
z
i i
mi
位矢
rc
r mi r i
m
ri
i
rc
m2
质量连续分布的系统
其中质点系质量
o
x x
V
y y
m mi
如果在S系中质点系动量P=0，则
mi dri d mi V ( r i ) m m dt dt m drc vc V = dt
miv i
S 系的速度等于质点系质心 运动速度时，则质点系在该 系中的动量等于0
m
m
说明
质心运动状态只取决于外力，与内力无关
起跳和重力(外力) 决定了运动员质心 的运动轨迹
质心
运动 状态 只取 决于 外力 ，与 内力 无关
例 水平桌面上有一张纸，上面放一个m=0.5kg的均质圆盘， 将纸右拉，会有f=0.1N的力作用在圆盘上. 。 求 2s内圆盘 质心移动的距离 S 解 质心运动定理
f maC
质心运动距离 1 S aC t 2 0.4 2
aC
f
例 人从船头到船尾，船长 l 。 求 人和船各移动的距离
x人 '
x人
解 质心静止 xc xc
mx人 Mx船 初态 xc mM Mx船 mx人 末态 xc mM
x船 ' x船
M ( x船 ' x船 ) m( x人 ' x人 )
y2 m 质心高度 yC 0 ydm 0 ydy 2l l dyC y dy vC 质心速度 dt l dt dv dy g v 2 g(l-y) 自有落体 dt dt dv C d y v 2 y dv ( v) 质心加速度 aC dt dt l l l dt y y y 2 g (1 ) g 2 g 3 g l l l m N 3 g (l y ) N mg maC l
y
y
例 人从船头到船尾，船长 l 。 求 人和船各移动的距离
x人 '
x人
解 质心静止 xc xc
mx人 Mx船 初态 xc mM Mx船 mx人 末态 xc mM
x船 ' x船
M ( x船 ' x船 ) m( x人 ' x人 )
人相对船的位移
Mx船岸 mx人岸
1 m1m2 1 2 2 ( )u u 2 m1 m2 2
m1m2 折合质量 m1 m2
两质点在质心系中的动能 Ekcm —— 相对动能
§4.4 质心 质心运动定理
一. 零动量系 、质心
1. 零动量系 ——质心系
S系 S 系
z m i z S x S
m2
P miv i P' miv' i mi (v i V ) miv i mV
三. 质心系与质点系动能
z
z m i
S
m2 2 1 1 2 r c S系 Ek miv i mi (v ' i V ) S m1 2 2 V 2 1 y mi (v ' i V 2 2v ' i2 V ) 2 x o 2 2 1 Ek ' miV miv ' i V y 2 x 质点系质量 m mi 2 2 1 P' miv' i S’系中动能、动量 Ek ' miv ' i 2 2 1 2 cm 如果S系为质心系，动量P=0，V v c 则 Ek Ek mv c 2
rc
m2
yc zc
mi yi
m m
o
r1
m1
y
mi z i
x
对于质量连续分布的系统
rc
r dm m
例 已知一半圆环半径为 R，质量为m
y d
求 它的质心位置
解 建坐标系如图 取 dl
0.64R
C
dm

M M Rd d dm dl R
质点系动量等于总质量与质心速度的积
说明
• 质心的加速度及其动力学规律 dP 质点系动量定理 F 外 dt
质点系动量
P mv c
dv c F外 m mac dt
说明
质心运动状态只取决于外力，与内力无关
水平纸面
质心
运动 状态 只取 决于 外力 ，与 内力 无关
质心系
z m i S V x
m1 m2
y
y
V vc
Ek E
cm k
0
x ——科尼希定理
质点系 动能
质心系 中动能
1 mv c2 2
随质心平 动的动能
Ek E
cm k
1 mv c2 2
m1
讨论：两质点在质心系中的动能
v1
v2
m2
质心系 mv1 mv 2 0
x Rcos y R sin
xc
xdm
M

R cos 0 M
M
d 0
二. 质心运动定理
• 质心的速度
rc
m r ii m
d r i m i drc mi ri miv i d dt vc ( ) dt m dt m m mv c miv i P 质点系动量 P mv c
rc
r dm m
o y
r1
m1
x
例 已知一半圆环半径为 R，质量为m
y d
求 它的质心位置
解 建坐标系如图 取 dl
0.64R
C
dm

M M Rd d dm dl R

o
x
ydm yc M
R sin 0 M

M
d 0.64 R
miv i
mi rc ri m
drc vc V dt
质点系在质心系中动量 P=0
例 两物体被长度为l0的弹簧连接，静止在光滑水平面上，子 弹以v0速度入射，并停留在第一个物体中。 求 两物体运动方程 v0 m1 m2 光滑
水平方向不受外力，质心匀速直线运动，因此质心系为惯性系 在质心系中，两物体振动