十字相乘法概念

十字相乘法概念

十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果:在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。

例题

例1 把2x^2-7x+3分解因式.

分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.

分解二次项系数(只取正因数)：

2＝1×2＝2×1；

分解常数项：

3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).

用画十字交叉线方法表示下列四种情况：

1 1

╳

2 3

1×3+2×1

=5

1 3

╳

2 1

1×1+2×3

=7

1 -1

╳

2 -3

1×(-3)+2×(-1)

=-5

1 -3

╳

2 -1

1×(-1)+2×(-3)

=-7

经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.

解2x^2-7x+3=(x-3)(2x-1).

一般地，对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：a1 c1

╳

a2 c2

a1c2+a2c1

按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即

ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).

像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法.

例2 把6x^2-7x-5分解因式.

分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种

2 1

╳

3 -5

2×(-5)+3×1=-7

是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.

解6x^2-7x-5=(2x+1)(3x-5)

指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.

对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x^2+2x-15分解因式，十字相乘法是

1 -3

╳

1 5

1×5+1×(-3)=2

所以x^2+2x-15=(x-3)(x+5).

例3 把5x^2+6xy-8y^2分解因式.

分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y^2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即

1 2

╳

5 -4

1×(-4)+5×2=6

解5x^2+6xy-8y^2=(x+2y)(5x-4y).

指出：原式分解为两个关于x，y的一次式.

例4 把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式.

分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解.

问：两上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?

答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了.

解(x-y)(2x-2y-3)-2

=(x-y)[2(x-y)-3]-2

=2(x-y) ^2-3(x-y)-2

=[(x-y)-2][2(x-y)+1]

=(x-y-2)(2x-2y+1).

1 -2

╳

2 1

1×1+2×(-2)=－3

指出：把(x-y)看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法.

例5 x^2+2x-15

分析：常数项(-15)<0，可分解成异号两数的积，可分解为(-1)(15)，或(1)(-15)或(3) (-5)或(-3)(5)，其中只有(-3)(5)中-3和5的和为2。

=(x-3)(x+5)

总结：①x^2＋（p+q）x＋pq型的式子的因式分解

这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x^2＋(p+q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)

②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解

如果能够分解成k＝ac，n＝bd，且有ad＋bc＝m 时，那么

kx^2＋mx＋n＝(ax+b)(cx+d)

a b

╳

c d

通俗方法

先将二次项分解成（1 X 二次项系数），将常数项分解成（1 X 常数项）然后以下面的格式写

1 1

X

二次项系数常数项

若交叉相乘后数值等于一次项系数则成立，不相等就要按照以下的方法进行试验。（一般的题很简单，最多3次就可以算出正确答案。）

需要多次实验的格式为：（注意：此时的abcd不是指（ax^2+bx+c）里面的系数，而且abcd最好为整数）

a b

╳

c d

第一次a=1 b=1 c=二次项系数÷a d=常数项÷b

第二次a=1 b=2 c=二次项系数÷a d=常数项÷b

第三次a=2 b=1 c=二次项系数÷a d=常数项÷b

第四次a=2 b=2 c=二次项系数÷a d=常数项÷b

第五次a=2 b=3 c=二次项系数÷a d=常数项÷b

第六次a=3 b=2 c=二次项系数÷a d=常数项÷b

第七次a=3 b=3 c=二次项系数÷a d=常数项÷b