弹塑性力学-第五章

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工程弹塑性力学-第五章

在e＝0处与s轴相切
s A 理想刚塑性模型
只有两个参数A和n，因而也不可能准确地表示材料的所有特征。但由于解析式比较简单，而且n可以在较大范围内变化，所以也经常被采用。
5.2 应力应变简化模型
5. Ramberg-Osgood模型 (三参数模型)
s /s1
有三个参数，能较好地代表真实材料，数学表达式简单。
（1）小变形时，e E；变形程度越大，误差越大。
ln ln
ln(1 ln
l0 ) ln(1 e ) e
e2
e3
e4
L
(5.22)
l0
l0
234
e
1.6 1.2 0.8 0.4
O -0.4 -0.8 -1.2 -1.6
E=lnl/l0
1.0 1.2 1.4 1.6 l/l0
当变形程度小于10% 时，两值比较接近。
(a) 理想刚塑性模型
s
(b) 线性强化刚塑性模型
s
ss
ss
e
O
s ss, 当e 0时
特别适宜于塑性极限载荷的分析。
e
O
s ss E1e , 当e 0时
5.2 应力应变简化模型
3. 一般加载规律
s (e ) Ee[1w(e )]
(5.12)
w(e ) 其中，w(e )
0,
Ee
(e ) , Ee
ss’’
’
B
B’
’
等向强化’：
OABB’’
随动强化： OABB’
5.2 应力应变简化模型
例题：已知一单向加载过程的应力路径为01.5ss 0 –ss 0，材料符
合线性随动强化规律，强化模量E’E/100，试求出对应的应变路径。

[工学]第五章弹塑性模型理论

第五章弹塑性模型理论5.1 概述弹塑性理论可以分为两种，塑性增量理论和塑性全量理论。

塑性增量理论又称塑性流动理论，塑性全量理论又称塑性形变理论。

在塑性增量理论中，将物体在弹塑性变形阶段的应变ij ε分为两部分：弹性应变e ij ε和塑性应变p ij ε。

塑性应变增量ij d ε的表达式为e p ij ij ij d d d εεε=+ (5.1.1)式中，弹性应变增量d e ij ε可以用广义虎克定律计算，塑性应变增量d p ij ε可以根据塑性增量理论计算。

塑性增量理论主要包括三部分：（1）屈服面理论；（2）流动规则理论；（3）加工硬化（或软化）理论。

在塑性形变理论中是按全量来分析问题的。

它在盈利状态和相应的应变状态之间建立一一对应的关系。

塑性形变理论实质上是把弹塑性变形过程看成是非线性弹性变形过程。

严格说，在弹塑性变形理论的应用是有条件的。

严格讲，只有在等比例加载条件下，应用塑性变形理论可以得到精确解。

所谓等比例加载是指在加载过程中，各应力分量是按同一比例增加的。

严格的等比例加载是很难满足的，在土工问题中可以说是不可能的。

在简单加载条件下应用塑性形变理论分析有时也可以取得较好效果。

近些年来建立的土体弹塑性模型大部分是根据塑性增量理论建立的。

本章主要介绍塑性增量理论，在最后一节简要介绍塑性形变理论。

5.2 屈服面得概念首先讨论理想弹塑性材料。

理想弹塑性材料受力到什么程度才开始发生塑性变形呢？在简单拉伸时，问题是很明显的。

当应力等于屈服应力σs 时，塑性变形开始产生。

σs 值是可以在拉伸试验应力-应变曲线上找到的。

然而在复杂应力状态时，问题就不是这样简单了。

一点的应力状态由六个应力分量确定。

在复杂应力状态下，显然不能任意选取某一个应力分量的数值作为判断材料是否进入塑性状态的标准。

因此需要在应力空间或应变空间来考虑这一问题。

在土塑性力学中，常用的应力空间有三维主应力空间、p 、q （或σm ，σ1-σ3）应力平面、以及132σσ+，132σσ-应力平面等。

弹塑性力学第05章弹性力学问题的建立和一般原理

假设其余应力分量全为零，并且由图中的几何关系，于是可得下列一组应力分量
应力分量
M O
τ xz = −αGy ，τ yz = αGx σ x = σ y = σ z = τ xy = 0
代入平衡微分方程
τ zy
ϕ
τ
x
τ zx
∂σ x ∂τ yx ∂τ zx + + + Fbx = 0 ∂x ∂y ∂z ∂τ xy ∂σ y ∂τ zy + + + Fby = 0 ∂x ∂y ∂z ∂τ xz ∂τ yz ∂σ z + + + Fbz = 0 ∂x ∂y ∂z
假设弹性体受已知体力作用，在物体的边界上，或者面力已知，或者位移已知，或者一部分上面力已知，而另一部分上位移已知，则弹性体平衡时，体内各点的应力分量与应变分量是唯一的，对于后两种情形，位移也是唯一的。
这一定理以这样一个假设为依据：当物体不受外力作用时，体内的应变能为零，应力分量和应变分量也全为零。当
∫∫τ
∫∫τ
zx
dxdy = 0
dxdy = 0
M O
τ zy
ϕ
τ
x
zy
M = ∫∫ (xτ zy − yτ zx )dxdy
将应力分量代入
τ zx
τ yz = αGx
y
τ xz = −αGy
σ x = σ y = σ z = τ xy = 0
∫∫τ zx dxdy = 0
∫∫τ
zy
τ xz = −αGy
1 ε ij = (1 +ν )σ ij −νσ kk δ ij E
或
[
]
σ ij = λε kk δ ij + 2Gε ij

弹性与塑性力学基础-第五章屈服准则与塑性应力应变关系

0
m

0 0 m
Uv
1 3 ( m m m m m m ) m m 2 2 1 m ( 1 2 3 ) 3
1 m ( 1 2 3 ) 3
弹性与塑性力学基础
第五章屈服准则与塑性应力应变关系
积之和的一半(主坐标系中)
U
1 ( 1 1 2 2 3 3 ) 2
1 0 ij T 0 2 0 0
0 0 3
1 0 ij T 0 2 0 0
0 0 3
弹性与塑性力学基础
第五章屈服准则与塑性应力应变关系
§5-2 米塞斯屈服准则
5.2.1 米塞斯屈服准的物理意义米塞斯屈服准则 5.2.2
由广义虎克定律
1
1 2 [ 2 ( 1 3 )] E 1 3 [ 3 ( 1 2 )] E
式中，为波桑系数，于是可得
弹性与塑性力学基础
第五章屈服准则与塑性应力应变关系
§5-2 米塞斯屈服准则
5.2.1 米塞斯屈服准的物理意义米塞斯屈服准则 5.2.2
单位体积变化位能Uv确定
取应力球张量及应变球张量
m T0
由此得
0
m

0 0 m
m T0
§5-10 全量理论
5.10.1 问题的背景及引出 5.10.2 亨盖理论(1924年) 5.10.3 那达依理论(1937年) 5.10.4 伊留申理论(1943年) 5.10.5 全量理论的问题与发展
弹性与塑性力学基础

弹塑性力学第5章—塑性本构关系

3 2
sij
−
Cdε
p ij
sij −
Cdε
p ij
−σs = 0
C表征材料强化的大小，来自单向拉伸
5.3 后继屈服条件
1、等向强化模型
单向拉伸实验曲线中三个方向的塑性主应变为
ε1p
= ε p,
ε
p 2
=
ε
p 3
= − 1ε p
2
其中ε p为单向拉伸方向的塑性应变，由此得到等效塑性应变
( ) ( ) ( ) ε p =
4 3
J
′
2
=
2 9
⎡ ⎢⎣
ε1p
−
ε
p 2
2+
ε
p 2
−
ε
p 3
2+
ε
p 3
最大畸变能是材料屈服的原因
J2 = k2
J 2反映了材料的畸变能（ U0d
=
J2 2G
）
( ) J2
=
1 2
sij sij
=
1 6
(σ1 − σ2 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ3 − σ1)2
k 由实验确定，根据简单拉伸实验，在材料屈服时
[ ] J2
=1 6
(σ 0 − 0)2 + 0 + (0 −σ 0 )2
−0.8
屈服条件类似，主要区别是
−1.0
混凝土的抗压强度比抗拉强
−1.2
度高得多。
5.2 常用的屈服条件
5.2.3 混凝土的莫尔－库仑屈服条件
在实验基础上，提出线性化的莫尔－库仑屈服条件，σ
′
0
,
σ

弹塑性力学5

u y
l
Y
考虑温度变化时
u x
v y
l
1
2
u y
v x
m
l1 T
1 2
E
X
v y
u x
m
1
2
v x
u y
l
m1
T
1 2
E
Y
如果体力、面力均考虑，在上述式子中应包含它们。
位移势函数的引用
位移势函数表示的温差
对于位移和温差表示的平衡方程，可解出位移的齐次微分方程为一般解，再加上一个温差引起的位移特解。为求位移特解，引入一个位移势函数ψ（x，y），令：
1 E
x y
T
y
1 E
y x
T
xy
21
E
xy
x
E
1 2
x y
ET 1
y
E
1 2
y x
ET 1
xy
E
21
xy
直角坐标系下的基本方程
几何方程
x
u x
y
v y
xy
u y
v x
位移表示的平衡方程
位移表示的应力方程
x
E
1
2
u x
v y
ET 1
令：
u r
r
u
1 r
类似于直角坐标系下的推导，位移势函数应满足：
2 1 T
T 1 2
1
在极坐标系下：
2 2 1 1 2
r2 r r r2 2
极坐标系下的基本方程
位移势函数表示的对应温度变化的应力特解
根据以前直角坐标系转换到极坐标系下的推导，应力特解为：

第五章塑性理论

硬化材料:
加卸载准则
理想塑性材料:
5.3 流动法则
流动规则用以确定塑性应变增量的方向或塑性应变增量张量的各个分量间的比例关系。塑性理论规定塑性应变增量的方向是由应力空间的塑性势面g决定。在应力空间中，各应力状态点的塑性应变增量方向必须与通过该点的塑性势面相垂直。所以流动规则也叫做正交定律。这一规则实质上是假设在应力空间中一点的塑性应变增量的方向是惟一的，即只与该点的应力状态有关，与施加的应力增量的方向无关，亦即
5.2 屈服准则
屈服面是应力空间内弹性状态与弹塑性状态之间的分界面。
f (ij , k) 0
k为状态参数，与硬化/软化参数有关
5.2 屈服准则
弹性 f (ij , k) 0 塑性 f (ij , k)=0 ? f (ij , k)>0
f f T f T k 0
k
5.2 屈服准则
➢压硬性 ➢等压屈服特性 ➢剪胀性 ➢应变软化特性 ➢与应力路径相关性
5.1 基本原理
塑性理论的基本概念：
1、屈服准则（Yield criterion ）屈服面是应力空间内弹性状态与弹塑性状态之间的分界面。
2、硬化（软化）规律（Harding/Softening rule）硬化规律是确定加载过程中屈服面位置和大小变化的规律。
3、流动准则（Flow rule）流动准则用来确定塑性加载过程中塑性应变增量的方向。
不硬化
5.4 硬化规律
等向强化是指屈服面以材料中所
作塑性功的大小为基础在尺寸上扩张。
随动强化假定屈服面的大小保持不变而仅在屈服的方向上移动，当某个方向的屈服应力升高时，其相反方向的屈服应力应该降低。
在随动强化中，由于拉伸方向屈服应力的增加导致压缩方向屈服应力的降低，所以在对应的两个屈服应力之间总存的差值，初始各向同性的材料在屈服后将不再是各向同f (σ, Ro ) 0

弹塑性力学第五章分析解析

平衡方程
1
几何方程
2 1 3
2018/7/31
变形协调方程
22
第五章简单弹塑性力学问题
二、考虑加载路径对桁架变形的影响——比例加载
P 3 2 1 A 2 2 P 2 2 A 2 2 P 1 2 3 A 2 2
塑性极限荷载
得
由于此时三根杆都已屈服，变形已不再受到任何约束，桁架进入无限制塑性变形阶段，结构丧失进一步承载的能力，所以，又表示桁架的极限承载能力。从上式可以发现， Ps 与材料的弹性模量无关。这表明，如果采用理想刚塑性模型，则求出的 Ps 仍是一样的。这就为结构的极限分析带来了极大的方便。
2018/7/31 5
第五章简单弹塑性力学问题
【解】1、弹性阶段－弹性解和弹性极限荷载（ 0＜P≤ Pe ）
N1 N3
N1 cos N 2 N3 cos P
平衡关系
N3 N1 N2 1 , 2 , 3 A A A
1 3 2 1 cos 2 P / A
第五章简单弹塑性力学问题
福州大学土木工程学院卓卫东教授
第五章简单弹塑性力学问题
引
言
简单桁架问题梁的弹塑性弯曲问题平面问题
2018/7/31
2
第五章简单弹塑性力学问题
引言
从本章开始，我们将应用前几章的基础理论和一般性原理，解决工程实践中遇到的弹塑性力学问题。已经知道，经过抽象化处理后，一个实际的弹塑性力学问题在数学上总是归结为一个偏微分方程组的边值问题。因此，需要在严格的边界条件下求解复杂的偏微分方程组。由于往往难以克服数学上的困难，所以在一般情况下，很难求得问题的解析解或精确解，而只有一些简单的问题，才存在解析解。本章将通过几个简单的问题，说明弹塑性力学问题的理论求解方法。

塑性力学第五章(2)-简单的弹塑性问题(二)

σs
E
不变，，保持 ε s不变，再加扭矩至 γ s =
τs
G
γ 同时拉扭进入塑性状态，不变，（3）同时拉扭进入塑性状态，保持 ε 不变，到
ε s ,γ s
求应力分量
σ ,τ = ?
τ σ
Mises条件：条件：条件
σ 2 + 3τ 2 = σ s2
τ
σ
3
s
B
C A
O
σ
σ
s
γ
ε = σs
E =
应变分量（体积不可压缩）：应变分量（体积不可压缩）：
σ
1 de z = d ε , de r = deθ = − d ε 2
d γ zθ = d γ
γ θr = γ rz = 0
塑性功增量：塑性功增量：
dW d = sij deij
= s z de z + s r de r + sθ deθ + τ θz d γ θz + τ θr d γ θr + τ rz d γ rz
th
σs
σs
σ =
ch
σs
3G γ
σs
γ =
σs
3G
⇒
σ = 0 .648 σ s , τ = 0 .439 σ s
（2）先扭后拉）
γ
σs
3G
τ
B C
σ
3
A
s
B
C A
O
σs
3G
ε
O
σ
σ
s
dγ = 0
dW d = σ d ε + τd γ = σ d ε
3Gd ε = dσ 1−

第五章：屈服准则与塑性应力应变关系

2
OP (1, 2 , 3 )
P点向OE投影，投影点N，则OP：。
O
OP ON NP
1
ON ( m , m , m )
第五章：屈服准则和塑性应力应变关系 5.4 两屈服准则的几何图形
所以：
3
P
N
E
NP ( 1 , 2 , 3 ) ( m , m , m ) ( 1 m , 2 m , 3 m ) ( '1 , '2 , '3 )
f ( J 2 , J3 ) C
对拉压性能相同时，以f()是J3的偶函数。注意：屈服准则方程也是进入塑性后应力需要准则。因为塑性行为的复杂性，对材料的单向应力状态下，应力应变关系作以下几种模型的假定，本教材主要用前两种：
第五章：屈服准则和塑性应力应变关系
5.1 屈服准则概念
屈服准则、屈服条件，描述材料从弹性进入塑性并使塑性变形继续的条件。对于单向应力采用：
s
作为屈服准则。但是对于复合应力状态，屈服准则与应力状态有关，屈服准则为：
f ( x , y , z , xy , yz , zx ) C
第五章：屈服准则和塑性应力应变关系 5.4 两屈服准则的几何图形
屈服函数表现出几何图形，对了解其性质和两种屈服准则的比较有积极作用。屈服函数是一曲面，首先看二维应力，即： 3 0
Mises屈服函数：
2 12 1 2 2 s2
为一椭圆。 Treasca屈服函数：
1 2 s 2 3 s 3 1 s
代表应力偏量。如果P应力状态代表塑性变形，对于Mises屈服准则：

塑性力学第五章梁的弹塑性弯曲

9
M
S
yS
I e 2 S S P
yS
式中
I e 2 y 2 b y dy ，是截面弹性区对中性轴的惯性矩
0
SP
yS
y b y dy
2
h 2
是截面 y y s ~
轴的静矩。
h 一块塑性区对中性 2
如梁的横截面是高为h 、宽为b
b h2 2 SP yS 2 4
第五章
§5-1 §5-2
梁的弹塑性弯曲
弹塑性力学中的边值问题梁的弯曲
1
§5-1
弹塑性力学中的边值问题
由于塑性本构关系有全量和增量两种理论，需要给出对这两种理论的边值问题的提法及解法全量理论的边值问题及解法设在物体V 内给定体力 f i ，在应力边界 ST上给定面力 f i ，在位移边界 Su上给定 u i ，要求物体内部各点的应力 ij 、应变 ij 、位移 u i 。确定这些未知量的基本方程组有： 1） ij,i f j 0
这就是梁沿轴向的弹塑性区分界线方程。弹塑性区的分界线为双曲线。设梁在弹性时能承受的最大均布荷载为 qe，则 qe 即为
11
在弯矩最大的截面 ( 的值，它可由上式得： bh2 S
qe 3l 2
x0
处 )刚开始进入塑性即 yS h / 2 时
五、极限荷载 q P 当 x 0 处的整个截面进入塑性状态，梁成为一个机构，进入自由塑性变形阶段，将发生“无限制”的塑性流动。这 q 称为极限荷载，用表示 qP 时的。 qP bh2 S 1.5 。 qP 且 qe 2l 2 在极限设计的理论中，要求出使结构丧失承载能力时的荷载，在目前的情形就是极限荷载 q P。在许用应力的设计中，只要梁中任一处达到塑性状态，梁就不许可承受更多的荷载，

弹塑性力学-05厚壁圆筒ppt课件

u(1 2 E )r 2r2 b s b2(12)r2 =1/2
u 3r 2 s
4Er
精选课件PPT
18
五、位移分量（平面应变状态）
2. 弹塑性阶段：
（2）塑性区：a r r
ez 0 ,q 0 ,er eq 0
连续条件：
du u 0 dr r
u C r
ue rrup rr
C(1 2 E )r22 b s b2(12)r2
一内外半径比为一内外半径比为bbab的封闭厚壁圆筒受内压的封闭厚壁圆筒受内压p和扭矩和扭矩tt同时作用该材料服从同时作用该材料服从misesmises屈服条件求内外表面同时达到屈服条件求内外表面同时达到屈服时的屈服时的tp试比较内半径为试比较内半径为aa外半径为外半径为2a2a的单层两层四层八层的单层两层四层八层厚壁圆筒的弹性极限压力和塑性极限压力
3ei 2i
z
m
假设2
εz 0
zm1 3rqz
z m12r q
精选课件PPT
22
❖几何方程：（轴对称问题）
du
u
εr
, dr
εθ
r
εz 0
εr
εθ
ez
0,1
2
du u 0 dr r
du dr
u
r
lu n lr n C u C r
C ε r r2
C εq r2
εz 0
εq
r
q
s
2
rb22
12lnrr
精选课件PPT
11
三、全塑性分析
r ＝b
pl
s
lnb a
ps
2
1rb22
2lnra
塑性极限压力

弹塑性力学第五章线弹性力学问题的基本解法和一般性原理

*
*
§5-1 基本方程和边界条件的汇总
a. 几何方程
指标符号表示
衣凹啦修仪让洛莉攘擞沥庶利礼通谊耸跑观值帧淡敞商蹲注献蔑摔铀嘻针《弹塑性力学》第五章线弹性力学问题的基本解法和一般性原理《弹塑性力学》第五章线弹性力学问题的基本解法和一般性原理
*
*
b. 变形协调方程
指标符号表示
§5-1 基本方程和边界条件的汇总
*
*
§5-2 位移法
上式代入平衡微分方程，得到位移法的基本方程
在V上
或
在V上
（拉米－纳维叶方程）
及芽孰松茄桔甭稿窒刮录羌格累态赡傀眉守恐苟究屏巩掠冗课阿朴错卡吞《弹塑性力学》第五章线弹性力学问题的基本解法和一般性原理《弹塑性力学》第五章线弹性力学问题的基本解法和一般性原理
*
*
§5-2 位移法
1.3 本构（物理）方程（六个）
指标符号表示
上述所有方程为 ij 、 ij、ui在V上必须满足的方程，同时在S上（边界上）有边界力或边界位移。
必局洲斟死法广呆坞渤扣图审漓逆乓湾浩嗣废桥调擒卢贸违晶那舀乍汞跟《弹塑性力学》第五章线弹性力学问题的基本解法和一般性原理《弹塑性力学》第五章线弹性力学问题的基本解法和一般性原理
*
*
§5-2 位移法
力的边界条件转为用ui的偏微分表示的。这类边界条件从形式上看可以处理，但实际操作上有时较难处理。
撩末辰问苯接恒辙肾顿陶说马证以毕石钢编岗宿捷丹腮敖笆崖蒸司群戒俏《弹塑性力学》第五章线弹性力学问题的基本解法和一般性原理《弹塑性力学》第五章线弹性力学问题的基本解法和一般性原理
*
*
§5-2 位移法
位移法求解思想：

应用弹塑性力学课后习题答案

附录Ⅱ习题解答提示与参考答案第二章应力理论2-1 ζn=ζ1l2+ζ2m2,；式中l、m、n为斜截面外法线的方向余弦。

2-2 p=111.5A；ζn=26A；ηn=108.5A2-3 提示：平面Ax+By+C z+D=0的外法线的方向余弦为：(式中i=1，2，3或A，B，C)答案：2-4 略2-5 (a)ζ1=738.5；ζ2=600；ζ3=-338.5；ηmax=538.5；应力单位为MPa。

(b)ζ1=700；ζ2=600；ζ3=-600；ηmax=650；应力单位为MPa。

2-6 ζ1=3.732η0；ζ2=-0.268η0；α=15º。

2-7 (材料力学解) 应力单位为MPa。

(弹塑性力学解) 应力单位为MPa。

2-8 ζ1=107.3a；ζ2=44.1a；ζ3=-91.4a；ζ1主方向：(±0.314，0.900，0.305)；ζ2主方向：(±0.948，±0.282，±0.146)；ζ3主方向：(0.048，±0.337，0.940)。

2-9；ζ2=0；ζ3=-ζ1。

2-10、2-11 略2-12 (1)略；(2)ζ8=ζm=5.333MPa；η8=8.654MPa。

2-13 p8=59.5；ζ8=25.0a；η8=54.1a。

2-14上式中S为静矩。

材料力学解不满足平衡微分方程和边界条件。

2-15，Q为梁横截面上的剪力。

提示：利用平衡微分方程求解。

2-16 ζ1=17.083×103Pa；ζ2=4.917×103Pa；ζ3=0,∂=40º16′。

2-17 略2-18 2。

2-19 提示：将三个主方向的三组方向余弦分别两两一组代人式(2-12)证之。

2-20 。

2-21 在AA′上：ζx=-γy，ηxy=0；在AB上：ηxy=0，ζy=-γh；在BB′上：l1=cosα，l2=-sinα，l3=0；则应力分量满足关系式：2-22 。

【弹塑性力学】5-屈服准则

(3Rt a 1) (3Rt a 1)
• 其中 R t 为单轴抗拉强度,a为系数
2
a 1
mm1
1 Rt
mRc /Rt
R c 为单轴抗压强度
32
双剪应力屈服准则（俞茂鋐,1961）
f
(13,12 )
13
12
1
1 2
( 2
3) kb
0
当12
23或 2
1 2
( 1
3 )时
f
(13, 23)
p 3st/R
对于Tresca屈服条件: 13 =k=2s p = 2st/R
39
（2）管段的两端是封闭的:
应力状态为,z= pR/2t， = pR/t，r=0， zr=r=z=0
1 J2 = +66([(2zrzr2r)2+(2rz)]=)162+23((pR/tz))22
13 = = pR/t
（1）单轴拉伸:屈服时 1 =s,2 =3 =0，代入屈服条件
J23s2 k2,
ks
3
（2）剪切：屈服时 =s 1= s，2=0，3= s,，屈服条件
J2s2k2, ks
12
两种屈服条件比较
• 如假定单轴拉伸时
两个屈服面重合,则
Tresca六边形内接于
MisesБайду номын сангаас;
外切 T resca六边形
• （1）圆外接于六边形
32 3ssin in ,k
6cco s 33sin
• （2）圆内接于六边形
32 3ssin in ,k
6cco s 33sin
29
Zienkiewicz-Pande条件:

弹塑性力学及有限元法_

写成矩阵形式
R11 cos 2 θ x 1 Ry1 EA cos θ sin θ 1 = Rx 2 l1 − cos 2 θ R1 2 − cos θ sin θ y cos θ sin θ sin 2 θ − cos θ sin θ − sin 2 θ − cos 2 θ − cos θ sin θ cos 2 θ cos θ sin θ
单元刚度矩阵的子矩阵 K ij 表示：当单元 e 中节点 j 取单位位移，且其它节点位移为零时，对应于 i 节点的节点力。
第五章有限元法简介
单元1的节点力和节点位移的关系可写成
R1 K11 = R2 K 21
1
K12 K 22
1
δ1 δ 2
1 θFx1(u1) 3 Fx3 (u3) Fy1(v1 ) Fy3 (v3) y 2 o x
1
Fy2 (v2) Fx2(u2)
2
图5-1 简例结构图
第五章
分析步骤：
有限元法简介
2
1
1 1 Ry2(v2) 1 1 Rx2(u2)
1. 离散结构物为有限个单元分为2个单元，第一个单元的节点编号为1和2，第二个单元的节点编号为2和3。对于第一单元，在第1、2节点处的节点力为 R 11 , R 11 , R 1 2 , R 1 2 ，表示节点施加在单元1上 x y x y
1 − cos θ sin θ u1 1 2 − sin θ v1 cos θ sin θ u1 2 1 si成
R11 k x 1 11 Ry1 k21 1 = Rx 2 k31 R1 k41 y2 k12 k22 k32 k42 k13 k23 k33 k43

弹塑性力学-05厚壁圆筒

σθ
r
r b2 p a2 1 + 2 σ s 1 + ln − 2 2 a b −a r = σ sρ 2 a 2 p b2 2b 2 − b 2 − a 2 1 + r 2

ρ ＝b
b p l = σ s ln a
r σ r = σ s ln b
σ θ = σ s 1 + ln
r b
p=
σs
ρ 1 − 2 + 2 ln 2 b a
ρ2
塑性极限压力
σθ
σs σr
p
a
b
12
讨论：讨论：
Mises 条件条件:
(σ r − σ θ )2 + (σ θ
14
四、残余应力
结构经历弹塑性变形历史后零外载对应的应力。结构经历弹塑性变形历史后零外载对应的应力。初次加载( 时的应力：初次加载 p*>pe ) 时的应力：σij 卸除的应力：卸除的应力：σij e 残余应力：残余应力：σij r
σ ij = σ ij − σ
r
e ij
15
σr = −
2. 弹塑性分析
弹性区：ρ≤ r ≤ b 弹性区： σ r = C 1 + C 2 r −2 σ θ = C 1 − C 2 r −2
边界条件： σ 边界条件：
r r=b
ρ: 弹塑性分界面的半径。弹塑性分界面的半径。 σs
σθ a b
σr
=0
p
屈服条件：屈服条件： σθ – σr）r=ρ = σs （

a≤r≤ ρ
ρ ≤r≤b

塑性力学第五章本构关系ppt课件

（5-2）
将三个正应变相加，得：
kk
kk
2G
3
E
mkk
1 2
E
kk
记：平均正应变
m
1 3
kk
体积弹性模量 K E / 3(1 2 )
则平均正应力与平均正应变的关系：
m 3K m
（5-4）
（5-2）式用可用应力偏量 sij 和应变偏量 eij 表示为
1 eij 2G sij
（5-5）
包含5个独立方程
利用Mises屈服条件
J 2
2 s
2 s
3,
可以得到
本构关系
d dijdij d 3d
2 J 2
2 s 2 s
将（5-41）式代回（5-39）式，可求出
（5-41）
sij
d ij d
2 sdij d
2 sdij 3d
（5-44）
在（5-39）式中，给定 sij 后不能确定 dij ，但反之却可由 dij
确定 sij 如下：
J 2
1 2
sij sij
1
2(d)2
dijdij ,
将（5-38）式与（5-41）式加以比较就发现：
dW p s d s d
（5-45）
对于刚塑性材料 dW dW p
3、实验验证
本构关系
理想塑性材料与Mises条件相关连的流动法则：
d
p ij
d sij
对应于π平面上，d与p 二S 向量在由坐标原点发出的同一条射线上。
sij
（5-5）
We
1 2G
J 2
1
2
1 G 2
2
1
2
1