高中数学学案课件第三章 §3.2.2 (新人教A版必修1)
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∴年产量为 210 吨时，可获得最大利润 1 660 万元．
探究点二பைடு நூலகம்例 2 示．
本 课 时 栏 目 开 关
分段函数模型的应用
一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所
(1)求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义； (2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为 2 004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数 s km 与时 间 t h 的函数解析式，并作出相应的图象．
0≤t<1， 1≤t<2， 2≤t<3， 3≤t<4， 4≤t≤5.
这个函数的图象如图所示．
小结
本 课 时 栏 目 开 关
(1)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不
同， 可以先将其当作几个问题， 将各段的变化规律分别找出来， 再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值； (2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理不重 不漏．
指数型函数模型的应用
例3 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的 变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据．早在 1798 年， 英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：y
本 课 时 栏 目 开 关
＝y0ert，其中 t 表示经过的时间，y0 表示 t＝0 时的人口数，r 表 示人口的年平均增长率． 下表是 1950～1959 年我国的人口数据 资料：
发 10 min 开出 13 km 后，以 120 km/h 的速度匀速行驶．试 写出火车行驶的总路程 S 与匀速行驶的时间 t 之间的关系，
本 课 时 栏 目 开 关
并求火车离开北京 2 h 内行驶的路程．
11 解 因为火车匀速运动的时间为(277－13)÷ 120 ＝ 5 (h)， 11 所以 0≤t≤ 5 . 因为火车匀速行驶时间 t h 所行驶路程为 120t，
跟踪训练 1
某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产
品，其生产的总成本 y(万元)与年产量 x(吨)之间的函数关系式 x2 可以近似地表示为 y＝ －48x＋8 000， 已知此生产线年产量最 5
本 课 时 栏 目 开 关
大为 210 吨．若每吨产品平均出厂价为 40 万元，那么当年产 量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
a＞0且a≠1)
f(x)＝blogax＋c(a，b，c 为常数，b≠0，a＞ 0 且 a≠1) f(x)＝ axn＋b(a，b为常数，a≠0)
2.面临实际问题，自己建立函数模型的步骤 (1)收集数据；
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(2)画散点图； (3)选择函数模型； (4)求函数模型； (5)检验； (6)用函数模型解释实际问题.
解 设可获得总利润为 R(x)万元，
x2 则 R(x)＝40x－y＝40x－ 5 ＋48x－8 000 x2 ＝－ 5 ＋88x－8 000 1 ＝－5(x－220)2＋1 680 (0≤x≤210)．
∵R(x)在[0,210]上是增函数，
本 课 时 栏 目 开 关
1 ∴x＝210 时，R(x)有最大值为－5(210－220)2＋1 680＝1 660.
3.2.2
【学习要求】
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函数模型的应用实例
1.能根据数据的特点，建立函数模型解决实际问题； 2.通过函数知识的应用， 复习巩固已学过的基本初等函数的知识； 3.通过实例了解函数模型的广泛应用．进一步巩固函数的应用问 题，进一步熟悉用函数解题的步骤和方法． 【学法指导】 通过将实际问题转化为数学问题的过程，培养数学应用意识；通 过对开放性问题的讨论过程，培养创新精神.
解
(1)阴影部分的面积为 50×1＋80×1＋90×1＋75×1
＋65×1＝360.
阴影部分的面积表示汽车在这 5 小时内行驶的路程为 360 km.
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50t＋2 004， 80t－1＋2 054， (2)根据图，有 s＝90t－2＋2 134， 75t－3＋2 224， 65t－4＋2 299，
所以，火车运行总路程 S 与匀速行驶时间 t 之间的关系是 11 S＝13＋120t(0≤t≤ 5 ). 11 2 h 内火车行驶的路程 S＝13＋120× 6 ＝233 (km)．
小结
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在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次
函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于 0)或直 线下降(自变量的系数小于 0)，构建一次函数模型，利用一次 函数模型，利用一次函数的图象与单调性求解．
本 课 时 栏 目 开 关
问题情境：我们已经学过一次函数、二次函数、幂函数、指数 函数、对数函数等等，它们在实际生活中有着广泛的应用．今 天我们尝试一下，怎样从实际问题入手，运用已学过的函数知 识来解决一个实际问题．
探究点一 例1
一次、二次函数模型的应用
某列火车从北京西站开往石家庄，全程 277 km.火车出
1.几类函数模型 函数模型
本 课 时 栏 目 开 关
函数解析式 f(x)＝ ax＋b(a、b为常数，a≠0) k f(x)＝x＋b(k，b 为常数且 k≠0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) f(x)＝ bax＋c(a，b，c为常数，b≠ 0，
一次函数模型 反比例函数模型 二次函数模型 指数型函数模型 对数型函数模型 幂函数型模型
数为多少？
①当 0≤x≤400 时，由 3.75x＝750，得 x＝200.
②当 400<x≤600 时， 由 1.25x＋1 000＝750， 得 x＝－ 200(舍去)．
综合①和②，盈利额为 750 元时，当天售出的门票数为 200 张．
答
当天售出的门票数为 200 张时盈利额为 750 元．
探究点三
跟踪训练 2 某游乐场每天的盈利额 y 元 与售出的门票数 x 张之间的关系如图所示， 试问盈利额为 750 元时，当天售出的门票
本 课 解 根据题意，每天的盈利额 y 元与售出的门 时 3.75x0≤x≤400 栏 . 目 票数 x 张之间的函数关系是：y＝ 1.25x＋1 000400<x≤600 开 关
探究点二பைடு நூலகம்例 2 示．
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分段函数模型的应用
一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所
(1)求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义； (2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为 2 004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数 s km 与时 间 t h 的函数解析式，并作出相应的图象．
0≤t<1， 1≤t<2， 2≤t<3， 3≤t<4， 4≤t≤5.
这个函数的图象如图所示．
小结
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(1)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不
同， 可以先将其当作几个问题， 将各段的变化规律分别找出来， 再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值； (2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理不重 不漏．
指数型函数模型的应用
例3 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的 变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据．早在 1798 年， 英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：y
本 课 时 栏 目 开 关
＝y0ert，其中 t 表示经过的时间，y0 表示 t＝0 时的人口数，r 表 示人口的年平均增长率． 下表是 1950～1959 年我国的人口数据 资料：
发 10 min 开出 13 km 后，以 120 km/h 的速度匀速行驶．试 写出火车行驶的总路程 S 与匀速行驶的时间 t 之间的关系，
本 课 时 栏 目 开 关
并求火车离开北京 2 h 内行驶的路程．
11 解 因为火车匀速运动的时间为(277－13)÷ 120 ＝ 5 (h)， 11 所以 0≤t≤ 5 . 因为火车匀速行驶时间 t h 所行驶路程为 120t，
跟踪训练 1
某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产
品，其生产的总成本 y(万元)与年产量 x(吨)之间的函数关系式 x2 可以近似地表示为 y＝ －48x＋8 000， 已知此生产线年产量最 5
本 课 时 栏 目 开 关
大为 210 吨．若每吨产品平均出厂价为 40 万元，那么当年产 量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
a＞0且a≠1)
f(x)＝blogax＋c(a，b，c 为常数，b≠0，a＞ 0 且 a≠1) f(x)＝ axn＋b(a，b为常数，a≠0)
2.面临实际问题，自己建立函数模型的步骤 (1)收集数据；
本 课 时 栏 目 开 关
(2)画散点图； (3)选择函数模型； (4)求函数模型； (5)检验； (6)用函数模型解释实际问题.
解 设可获得总利润为 R(x)万元，
x2 则 R(x)＝40x－y＝40x－ 5 ＋48x－8 000 x2 ＝－ 5 ＋88x－8 000 1 ＝－5(x－220)2＋1 680 (0≤x≤210)．
∵R(x)在[0,210]上是增函数，
本 课 时 栏 目 开 关
1 ∴x＝210 时，R(x)有最大值为－5(210－220)2＋1 680＝1 660.
3.2.2
【学习要求】
本 课 时 栏 目 开 关
函数模型的应用实例
1.能根据数据的特点，建立函数模型解决实际问题； 2.通过函数知识的应用， 复习巩固已学过的基本初等函数的知识； 3.通过实例了解函数模型的广泛应用．进一步巩固函数的应用问 题，进一步熟悉用函数解题的步骤和方法． 【学法指导】 通过将实际问题转化为数学问题的过程，培养数学应用意识；通 过对开放性问题的讨论过程，培养创新精神.
解
(1)阴影部分的面积为 50×1＋80×1＋90×1＋75×1
＋65×1＝360.
阴影部分的面积表示汽车在这 5 小时内行驶的路程为 360 km.
本 课 时 栏 目 开 关
50t＋2 004， 80t－1＋2 054， (2)根据图，有 s＝90t－2＋2 134， 75t－3＋2 224， 65t－4＋2 299，
所以，火车运行总路程 S 与匀速行驶时间 t 之间的关系是 11 S＝13＋120t(0≤t≤ 5 ). 11 2 h 内火车行驶的路程 S＝13＋120× 6 ＝233 (km)．
小结
本 课 时 栏 目 开 关
在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次
函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于 0)或直 线下降(自变量的系数小于 0)，构建一次函数模型，利用一次 函数模型，利用一次函数的图象与单调性求解．
本 课 时 栏 目 开 关
问题情境：我们已经学过一次函数、二次函数、幂函数、指数 函数、对数函数等等，它们在实际生活中有着广泛的应用．今 天我们尝试一下，怎样从实际问题入手，运用已学过的函数知 识来解决一个实际问题．
探究点一 例1
一次、二次函数模型的应用
某列火车从北京西站开往石家庄，全程 277 km.火车出
1.几类函数模型 函数模型
本 课 时 栏 目 开 关
函数解析式 f(x)＝ ax＋b(a、b为常数，a≠0) k f(x)＝x＋b(k，b 为常数且 k≠0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) f(x)＝ bax＋c(a，b，c为常数，b≠ 0，
一次函数模型 反比例函数模型 二次函数模型 指数型函数模型 对数型函数模型 幂函数型模型
数为多少？
①当 0≤x≤400 时，由 3.75x＝750，得 x＝200.
②当 400<x≤600 时， 由 1.25x＋1 000＝750， 得 x＝－ 200(舍去)．
综合①和②，盈利额为 750 元时，当天售出的门票数为 200 张．
答
当天售出的门票数为 200 张时盈利额为 750 元．
探究点三
跟踪训练 2 某游乐场每天的盈利额 y 元 与售出的门票数 x 张之间的关系如图所示， 试问盈利额为 750 元时，当天售出的门票
本 课 解 根据题意，每天的盈利额 y 元与售出的门 时 3.75x0≤x≤400 栏 . 目 票数 x 张之间的函数关系是：y＝ 1.25x＋1 000400<x≤600 开 关