《随机变量及其分布总结》ppt课件
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§2.1 随机变量及分布函数.ppt
函数在理论和应用中都是很重要的,为此,我们有以 下定义：
定义2.1.2 设定义在样本空间 上的随
机变量 ，对于任意实数 x，称函数
F（x） P（ x），x （-，+）是随机变量 的概率分布函数，简称为分布函数或分布.
注意 分布函数实质上就是事件 ( x) 的
概率.也就是随机变量落在区间 (, x)内的概率.
分别规定 为1和0，即：
1, 0,
当出现H时 当出现T时
一旦实验的结果确定了， 的取值也就随之确定了.
从上述例子可以看出：无论随机试验的 结果，本身与数量有无联系，我们都能把试验 的结果与实数对应起来，即可把试验的结果数 量化.由于这样的数量依赖试验的结果,而对随
机试验来说，在每次试验之前无法断言 会出 现 何种结果，因而也就无法确定它会取什么 值，即它的取值具有随机性，我们称这样的 变量 为随机变量 . 事实上，随机变量就是
Un1(xn () xn1
P(xn () xn1) n1
F(xn1) F(xn ) n1
lim n
F(xn1) F(x1)
lim
n
F
(
xn1
)
F
(
x1
)
由此可得
F
(x)
lim
n
F ( xn1)
F(x
0)
3）、4）、5）是分布函数的三个基本性质， 反过来还可以证明任一个满足这三个 性质的函数 一定可以作为某个随机变量的分布函数.知道了随机
由性质2)得
3）单调性：若 x1 x2 ,则 F（x1） F（x2） ；
4）极限性：
lim F（x） F（ ） 0，lim F (x) F () 1
x
x
定义2.1.2 设定义在样本空间 上的随
机变量 ，对于任意实数 x，称函数
F（x） P（ x），x （-，+）是随机变量 的概率分布函数，简称为分布函数或分布.
注意 分布函数实质上就是事件 ( x) 的
概率.也就是随机变量落在区间 (, x)内的概率.
分别规定 为1和0，即：
1, 0,
当出现H时 当出现T时
一旦实验的结果确定了， 的取值也就随之确定了.
从上述例子可以看出：无论随机试验的 结果，本身与数量有无联系，我们都能把试验 的结果与实数对应起来，即可把试验的结果数 量化.由于这样的数量依赖试验的结果,而对随
机试验来说，在每次试验之前无法断言 会出 现 何种结果，因而也就无法确定它会取什么 值，即它的取值具有随机性，我们称这样的 变量 为随机变量 . 事实上，随机变量就是
Un1(xn () xn1
P(xn () xn1) n1
F(xn1) F(xn ) n1
lim n
F(xn1) F(x1)
lim
n
F
(
xn1
)
F
(
x1
)
由此可得
F
(x)
lim
n
F ( xn1)
F(x
0)
3）、4）、5）是分布函数的三个基本性质， 反过来还可以证明任一个满足这三个 性质的函数 一定可以作为某个随机变量的分布函数.知道了随机
由性质2)得
3）单调性：若 x1 x2 ,则 F（x1） F（x2） ；
4）极限性：
lim F（x） F（ ） 0，lim F (x) F () 1
x
x
第七章随机变量及其分布小结PPT课件(人教版)
，进一步体会概率模型的作用及概率思想和方法的特点.
第1课时 条件概率、乘法公式及全概率公式
条件概率公式：PA|B＝
PAB
，
PB
加法公式：如事件 B，C 互斥，则有 P( B
C | A) P( B | A) P(C | A).
乘法公式：PAB＝PBPA|B，
PAB
.
P ( A)
P ( A)
P ( B)
P ( B) 2
A产生，则B一定产生
P ( A)
由此可得， 若A B,则P ( B | A) 1,P ( A | B )
.
P ( B)
课本48页
夯实概念
2．下列说法正确的是(
)
P（B）
是可能的
P（A）
A．P(B|A)＝P(AB)
B．P(B|A)＝
C．0<P(B|A)<1
D．P(A|A)＝0
P（AB）
1
解析：∵ P(B|A)＝
，
≥1，
P（A） P（A）
∴P(B|A)≥P(AB)，故 A 不正确；
当 P(A)＝1 时，P(B)＝P(AB)，
P（B）
则 P(B|A)＝P(B)＝
，所以 B 正确；
P（A）
而 0≤P(B|A)≤1，P(A|A)＝1，∴ C、D 不正确．
击落，求飞机被击落的概率．
解：设 A＝{飞机被击落}，Bi＝{飞机被 i 人击中}，i＝1,2,3，则
P(A|B1)＝0.2，P(A|B2)＝0.6，P(A|B3)＝1．
P(B1)＝0.4×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.7＝0.36，
P(B2)＝0.4×0.5×0.3＋0.4×0.5×0.7＋0.6×0.5×0.7＝0.41，
第1课时 条件概率、乘法公式及全概率公式
条件概率公式：PA|B＝
PAB
，
PB
加法公式：如事件 B，C 互斥，则有 P( B
C | A) P( B | A) P(C | A).
乘法公式：PAB＝PBPA|B，
PAB
.
P ( A)
P ( A)
P ( B)
P ( B) 2
A产生，则B一定产生
P ( A)
由此可得， 若A B,则P ( B | A) 1,P ( A | B )
.
P ( B)
课本48页
夯实概念
2．下列说法正确的是(
)
P（B）
是可能的
P（A）
A．P(B|A)＝P(AB)
B．P(B|A)＝
C．0<P(B|A)<1
D．P(A|A)＝0
P（AB）
1
解析：∵ P(B|A)＝
，
≥1，
P（A） P（A）
∴P(B|A)≥P(AB)，故 A 不正确；
当 P(A)＝1 时，P(B)＝P(AB)，
P（B）
则 P(B|A)＝P(B)＝
，所以 B 正确；
P（A）
而 0≤P(B|A)≤1，P(A|A)＝1，∴ C、D 不正确．
击落，求飞机被击落的概率．
解：设 A＝{飞机被击落}，Bi＝{飞机被 i 人击中}，i＝1,2,3，则
P(A|B1)＝0.2，P(A|B2)＝0.6，P(A|B3)＝1．
P(B1)＝0.4×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.7＝0.36，
P(B2)＝0.4×0.5×0.3＋0.4×0.5×0.7＋0.6×0.5×0.7＝0.41，
第四章 随机变量及其分布.ppt
2
2Leabharlann P(X 2) 1 P(X 2) 1 P( X 2) P( X 2)
1 F(2) F(2 0) F(2 0)
2019-11-9
1 0.7 0.感5谢你的0阅.读8
24
例 一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上任一同 心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设击 中都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离。试求随 机变量X的分布函数。
第四章 随机变量及其分布
随机变量及分布函数 离散型随机变量 连续型随机变量
2019-11-9
感谢你的阅读
1
4.1 随机变量及分布函数
随机变量
概率论与数理统计是从数量的侧面来研 究随机现象的统计规律性的一门学科,为了全 面地研究随机试验的结果,揭示客观存在着的 统计规律性,我们将随机试验的结果与实数对 应起来,将随机试验的结果数量化,引入随机 变量的概念.
解: 若 x<0,则{X≤x}是不可能事件，于是 F(x)=P{X≤x}=0
若0≤x≤2，由题意，P{0≤X≤x}=kx2, k是某一 常数，为了确定k的值，取x=2，有
P{0≤X≤2}=22k，但已知P{0≤X≤2}=1，故得k=1/4 ，
即P{0≤X≤x}=x2/4，于是
F(x)=P{X≤x}=P{x<0}+P{0≤X≤x}=x2/4
0, x 1
F
(
x)
0.2,1
0.7,2
x2 x4
，
1, x 4
求 P(X
3)
,
P(
1 2
X
3) 及 P( X
随机变量及分布PPT课件
P( y X y ) FX ( y ) FX ( y )
fY
(
y
)
dFY ( dy
y
)
1
2
y
0,
fX
(
y ) fX(
y ) , y 0 y0
y 1
fX (
y
)
2
0
y 1
0
y 1
fX (
y
)
2
1 y 0
其它
0
其它
则 Y=X2 的概率密度为：
1
fY
(
y)
2
( y
0
y 1 2
U 的概率密度
P{ X
u 1} 3
FX
{
u
3
1)
fU (u)
dFU (u) du
f
X
(
u
3
1
)
(
u
3
1
)u
fU
(u)
2.
u
3
1
.
1 3
0
即
fU
(u)
2 9
(u
1)
0
0 u1 1 3
其它
1 u 2 其它
例4(P62-例3) 设随机变量X的概率密度为fX(x)(x R),求:
z0
0
z0
（3）备用方式： 系统L的寿命 Z=X+Y
fZ (z) fX ( x) fY (z x)dx
积分区域
z
x
x
0
0
即0 x z
fZ (z)
z e x e (zx)dx e z
0
z e( ) xdx
第十三单元随机变量及其分布-PPT精品
（2）X的可能取值有2,3,4,5,…,12.Y的可能取值为1,2,3,…,6.若以(i,j)表示 先后投掷的两枚骰子出现的点数，则 X=2表示（1，1）， X=3表示（1，2），（2，1）， X=4表示（1，3），（2，2），（3，1）,
… X=12表示(6,6)； Y=1表示（1，1）， Y=2表示（1，2），（2，1），（2，2）， Y=3表示（1，3），（2，3），（3，3），（3，1），（3，2），
4 15
易错警示
【例】某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9.如果命中 就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数X的分布 列.
错解 P(X=1)=0.9,P(X=2)=0.1×0.9=0.09, P(X=3)=0.1×0.1×0.9=0.009, P(X=4)= 0 .×1 30.9=0.000 9, P(X=5)= 0 .×1 40.9=0.000 09,故其分布列为
P所(X以=随5)机=变C量82CX21C的130C概81C率2…2 分…18布5…列…为………………………..8′
X=k
2
P(X=k) 1
30
3
4
5
2
……3 …………8 ..10′
15
10
15
(3)“一次取球所得分介于20分到40分之间”的事件记为C，则
P(C)=P(X=3)+P(X=4)= 2 3 .13
解 X可能取的值为0,1,2,3,
∵P(X=0)=
C
2 3
C
2
4,
C
2 4
C
2 6
1 5
P(X=1)= C31C42 C32C21C41 7
C42C62
15
又∵P(=3)=
… X=12表示(6,6)； Y=1表示（1，1）， Y=2表示（1，2），（2，1），（2，2）， Y=3表示（1，3），（2，3），（3，3），（3，1），（3，2），
4 15
易错警示
【例】某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9.如果命中 就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数X的分布 列.
错解 P(X=1)=0.9,P(X=2)=0.1×0.9=0.09, P(X=3)=0.1×0.1×0.9=0.009, P(X=4)= 0 .×1 30.9=0.000 9, P(X=5)= 0 .×1 40.9=0.000 09,故其分布列为
P所(X以=随5)机=变C量82CX21C的130C概81C率2…2 分…18布5…列…为………………………..8′
X=k
2
P(X=k) 1
30
3
4
5
2
……3 …………8 ..10′
15
10
15
(3)“一次取球所得分介于20分到40分之间”的事件记为C，则
P(C)=P(X=3)+P(X=4)= 2 3 .13
解 X可能取的值为0,1,2,3,
∵P(X=0)=
C
2 3
C
2
4,
C
2 4
C
2 6
1 5
P(X=1)= C31C42 C32C21C41 7
C42C62
15
又∵P(=3)=
概率论与数理统计-第二章-随机变量及其分布函数ppt课件
表格: X
x1 x2
pk
p1 p2
概率分布图：
1P
xn
pn
0.5
x4 x3
x1
x2
X
.
由概率的性质易知离散型随机变量的分布列
pk
满足下列特征性质:
k 1
① pk 0(k 1,2,) [非负性]
②
pk 1 [规范性]用于确定待定参数
k 1
③ F( x) P( X x) P(X xi ). xi x
1. 2
.
【例2】设随机变量X的分布函数为
aex b, x 0
F(x)
0,
x0
解： 因为 F(x) 在 x=0 点右连续
求: 常数 a 和 b。
所以 lim F ( x) lim (ae x b) a b 0
x0
x0
又因为 F () lim (ae x b) b 1 x
1、两点分布 或（0 - 1）分布
two-point distribution
定义1 设离散型随机变量X的分布列为
X0 1 pk 1 p p
其中 0<p<1
则称 X 服从（0 - 1）分布，记作 X ～（0 - 1）分布
F(x)
（0 - 1）分布的分布函数
0 , x0 F ( x) 1 p, 0 x 1
X = “三次试验中 A 发生的次数”，
{ X 2} A1A2 A3 A1A2 A3 A1A2 A3 P{X 2} P(A1A2 A3 A1A2 A3 A1A2 A3 )
P(A1A2 A3 ) P(A1A2 A3 ) P(A1A2A3 ) P(A1)P(A2)P(A3) P(A1)P(A2)P(A3) P(A1)P(A2 )P(A3 ) C32 p2(1 p)32
随机变量及其分布PPT课件
35
例8. 某类灯泡使用时数在1000小时以上 的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率.
解: 设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯
泡数 . X ~ B (3, 0.8)，
P(X k)C3k (0.8)k (0.把2)观3察k ,一个k 灯泡0,的1,2使,3用
1 6
)k
(
5)3k 6
,
k0,1,2,3
32
例7. 已知100个产品中有5个次品，现从中 有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的 3个中恰有2个次品的概率.
解: 因为这是有放回地取3次，因此这3 次试验
的条件完全相同且独立，它是贝努里试验. 依题意，每次试验取到次品的概率为0.05. 设X为所取的3个中的次品数，
请思考： 古典概型与贝努里概型不同，有何区别？
34
贝努里概型对试验结果没有等可能的 要求，但有下述要求： （1）每次试验条件相同；
（2）每次试验只考虑两个互逆结果A或 A ，
且P(A)=p ，P( A) 1 p；
（3）各次试验相互独立. 可以简单地说， 二项分布描述的是n重贝努里试验中出现 “成功”次数X的概率分布.
随后单调减少.
..
0
n=13,p=0.5
..n
当(n+1)p为整数时，二项概率P(X=k) 在k=(n +1)p和k =(n+1)p-1处达到最大 值.
课下请自行证明上述结论.
31
例6. 将一枚均匀骰子抛掷3次， 令X 表示3次中出现“4”点的次数
不难求得，
X的概率分布列是：
P{
X
k}C3k
(
第三章
随机变量及其分布
例8. 某类灯泡使用时数在1000小时以上 的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率.
解: 设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯
泡数 . X ~ B (3, 0.8)，
P(X k)C3k (0.8)k (0.把2)观3察k ,一个k 灯泡0,的1,2使,3用
1 6
)k
(
5)3k 6
,
k0,1,2,3
32
例7. 已知100个产品中有5个次品，现从中 有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的 3个中恰有2个次品的概率.
解: 因为这是有放回地取3次，因此这3 次试验
的条件完全相同且独立，它是贝努里试验. 依题意，每次试验取到次品的概率为0.05. 设X为所取的3个中的次品数，
请思考： 古典概型与贝努里概型不同，有何区别？
34
贝努里概型对试验结果没有等可能的 要求，但有下述要求： （1）每次试验条件相同；
（2）每次试验只考虑两个互逆结果A或 A ，
且P(A)=p ，P( A) 1 p；
（3）各次试验相互独立. 可以简单地说， 二项分布描述的是n重贝努里试验中出现 “成功”次数X的概率分布.
随后单调减少.
..
0
n=13,p=0.5
..n
当(n+1)p为整数时，二项概率P(X=k) 在k=(n +1)p和k =(n+1)p-1处达到最大 值.
课下请自行证明上述结论.
31
例6. 将一枚均匀骰子抛掷3次， 令X 表示3次中出现“4”点的次数
不难求得，
X的概率分布列是：
P{
X
k}C3k
(
第三章
随机变量及其分布
随机变量及其分布PPT课件
0
F
(
x)
Ax2
1
x0 0 x1 x 1
求常数A及其概率密度
函数 f (x)。
例2. 设连续型随机变量X的概率密度函数为
f (x) Cex2 x ,－∞ < x < +∞，
求常数C。
34
第34页/共67页
注意：一般的，同一个连续型随机变量X的概 率密度函数可以有很多个，但它们只在有限个 点或可数个点上取值不同。
对于随机试验而言，仅仅知道可能出现的 随机事件并不重要，重要的是这些事件出现的 可能性有多大。
对于随机变量X来说，就是X取什么值不 重要，重要的是X取这些值的概率有多大。
4
第4页/共67页
定义：设X是一个随机变量， x R 是一个实
数，函数 F(x) P(X x) 就称为随机变量X
的概率累积分布函数(cdf: cumulative
,n
求正数 a 的值。
例2. 设离散型随机变量X的分布列
P( X k) C pk , k 1, 2, k!
其中， 0 p 1 为已知，求常数C。
12
第12页/共67页
离散型随机变量X的分布函数为
F(x) P(X x) pk xk x
例3. 求随机变量X的分布函数。
X的分布列为 X 0 1 2 3
pap设随机变量x只可能取0和1两个数值它的分布律为第15页共67页162二项分布binomialdistribution若随机变量x的分布律为其中则称x服从参数为np的二项分布记为二项分布随机变量x对应n重贝努里试验中成功的次数
§2.1 随机变量
从概率的定义我们知道，概率是自变量为 集合的特殊函数；为了能用变量、函数及微积 分等工具来研究事件发生的概率，需要引入概 率论中的重要概念――随机变量。
高中数学《第二章随机变量及其分布小结》123PPT课件
1－P(2≤x≤4) 2
＝1－02.6826＝0.1587.
答案：B
(2)(2015 年山东)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服 从正态分布 N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)
内的概率为( )
(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ< ξ<μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%.)
解：因为 X～N(110,202)，所以μ＝110，σ＝20. P(110－20＜X≤110＋20)＝0.6826. 所以，X＞130的概率为 12(1－0.6826)＝0.1587.
所以，X＞90 的概率为 0.6826＋0.1587＝0.8413. 所以及格的人数为 54×0.8413≈45(人)，130 分以上的人数 为 54×0.1587≈9(人)． 【规律方法】正态分布的特点可结合图象记忆，并可根据μ 和σ的不同取值得到不同的图象，特别地，当μ＝0 时，图象关 于 y 轴对称．
【互动探究】 1．在某次数学考试中，考生的成绩 X 服从正态分布，即 X～
N(100,100)，已知满分为 150 分．若这次考试共有 2000 名考生 参加，试估计这次考试不及格(小于 90 分)的人数．
解：由 X～N(100,100)知μ＝100，σ＝10. P(90<X≤110)＝P(100－10<X≤100＋10)＝0.6826， ∴P(X<90)＝ 1(1－0.6826)＝0.1587.
(3)当 μ＝0，σ＝1 时的正态分布叫做标准正态分布，记作 X～ N(0,1).
2.正态曲线的特点 (1)曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交. (2)曲线是单峰的，关于直线____x＝__μ____对称.
《随机变量及其分布》PPT课件
个普通函数,因而可用微积分的方法来研究随机变量.
随机点 X
概率论与数理统计
x 实数点
x
F(x) P( X x), x
问： 在上 式中，X, x 皆为变量. 二者有什么区 别？ x 起什么作用？ F(x) 是不是概率？
X是随机变量, x是参变量. F(x) 是r.v X取值不大于 x 的概率.
随机变量通常用大写字母X,Y,Z,…或希腊字母, ,
η, ζ,….等表示. 概率论与数理统计
随机变量与普通函数的区别
普通函数的定义域是实数 集,而随机变量的定义域是样本空 间(样本点不一定为实数);
普通函数随自变量的变化所取的函数值无概 率可言,而随机变量随样本点(试验结果)的变化所取 的函数值是具有一定概率的,且因试验的随机性使得 随机变量的取值也具有随机性,即知道随机变量的取 值范围,但在概一率论次与数试理统验计 前无法确定它取何值.
概率论与数理统计
总之，随机变量X有如下特点:
X是定义在样本空间Ω上的单值实值函数,其定 义域为样本空间Ω,值域为实数集 ;
利用X可以描述随机事件; X的取值是随机的,且取值具有一定的概率.
随机变量
离散型 非离散型
连续型
概率论与数理统计
其它
在实际问题中，有两类重要的随机变量：
实例11、观离察散掷型一随个机骰变子量出—现—的取点值数有。限随或机可变列量无X限的可 能值是1，2，3，4，5，6； 则事件“出现偶
概率论与数理统计
分布函数F(x)具有下列性质: 、 0≤F(x)≤1;
注意这些性 质在图形上
的表现
、F(-∞)=0,F(+∞)=1；[确定待定参数]
、F(x)至多有可列个间断点,且在间断点处是
概率论随机变量及分布共59页PPT资料
P{X0,Y0}1,P{X0,Y2}1
4
8
P{X1,Y0}3,P{X1,Y2}1
8
4
求 (X,Y) 的分布函数、(X,Y) 关于 X
和 (X,Y) 关于Y 的边缘分布函数。
解 (X,Y) 的分布函数
F(x, y) = P{Xx,Yy}
若 x 0 or y 0 ,则 F(x, y) =0； 若 0 x 1 ,0 y 2 ，则F(x, y) =1 / 4； 若 0 x 1 , 2 y ，则 F(x, y) = 3 / 8； 若 1 x , 0 y 2 ，则 F(x, y) = 5 / 8； 若 1 x , 2 y ，则 F(x, y) = 1，
一次和第二次取到的白球数，求( X ,Y ) 的分布律、 (X,Y) 的分布函数、
(X,Y) 关于 X 、关于 Y 的边缘分布
律和边缘分布函数。
解 X 的可能取值是0，1，2；Y 的可能
取值是 0，1 。
∵
P{X 0,Y 0}0,
P{X 0,Y 1} 1 10
P{X 1,Y 0} 1, P{X 1,Y 1} 2
称
P { X x ,Y } F (x ,) 为 (X,Y) 关于 X的边缘分布函数，
记作 FX (x) ；类似地，(X,Y) 关于Y
的边缘分布函数
F Y ( y ) P { X ,Y y } F ( ,y )
例1 已知随机变量(X,Y)的取值是 (0,0)、 (0,2)、(1,0)、(1,2) ，且有
函数，若存在非负函数 f (x, y) ，对任
意实数 x、y 有
xy
F(x,y) [ f(u,v)d]v du
则(X,Y) 为连续型二维随机变量，称 f (x, y)为(X,Y)的概率分布密度函数， 或 X与 Y的联合分布密度函数。
随机变量及其分布PPT教学课件
f(x)baff12((xx))
x0 x0
为概率密度， 则
(A)2a+3b=4 (B) 3a+2b=4 (C) a+b=1 (D) a+b=2
2020/12/10
8
2(02103,02403)设X1 和X2是任意两个相互独立的连续型随机变量, 它们的概率密度分别为f1(x)和f2(x),分布函数分别为F1(x)和F2(x),则 (A) f1(x)+f2(x)必为某一随机变量的概率密度. (B) f1(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度.
( -1, 1 ) 内的任一子区间上取值的概率与该子区间的长度
成正2比020/，12/10求X的分布函数F (x) = P ( X x )。
5
5(13111) 设随机变量X的概率密度为 f(x)91x2 0x3 0 其它
令随机变量
2 X 1 YX 1 X 2
1 X 2
(1)求Y的分布函数 (2)求概率P(X≤Y)
(B) 2f2(x)F1(x) (D) f1(x)F2(x)+ F1(x)f2(x)
2020/12/10
10
4（89508）.某仪器装有3只独立工作的同型号电子 元件，其寿命X（小时）都服从同一指数分布，分 布密度为
f(x)6100e6x00, 0,
x0 x0
试求在仪器使用的最初200小时内，至少有一只电 子元件损坏的概率。
13
9（91507）.设电源电压在不超过200伏，在200----240伏 和超过240伏三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别 为0.1，0.001和0.2，假设电源电压X服从正态分布
N（220，625），
试求：（1）该电子元件损坏的概率。
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b
P(a x b) a p(x)dx F (b) F (a)
则称X 的分布为正态分布.
记作：X~N(m,2) 。（EX= m ， DX= 2）
（2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ-σ<X≤μ+σ)≈_0_.6_8_2_7___;
②P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈_0_.9_5_4_5__;
1
2
3
设A、B为两个事件 公式：
1、古典概型
P( A)
A事件包含的试验结果数 总试验结果数
2、几何概型பைடு நூலகம்
P( A)
A事件的区域长度（面积、体积） 试验全部结果的区域长度（面积、体积）
4
5
6
6、均值（数学期望） 一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X
x1
x2
… xi
… xn
P
p1
p2
… pi
n
(xi E( X ))2 pi 为随机变量X的方差。 i 1
称 (X ) D(X ) 为随机变量X的标准差。
它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度 的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均 程度越小，即越集中于均值。
8
8、期望与方差的性质
E(aX b) aE(X ) b E(aX bY ) aE( X ) bE(Y )
D(aX b) a2DX
9
10
1、两点分布
（1）试验要求： 随机变量只有0、1两个取值 （“P”为成功概率）
X01 P 1-p p
（2）期望与方差：
若X服从两点分布，则 E(X ) p
若X服从两点分布，则 D(X ) p(1 p)
11
2、超几何分布
（1）试验要求： 随机试验中，不放回的从有限个物件（产品、小球）中 抽出n个物件，成功抽出指定物件的次数。
0.3
何 分
2、求至少抽出两个2号球的概率
布
P( X
2）
P( X
2)
P( X
3)
C42C61 C130
C43 C130
1 3
16
变式一： 二项分布
一盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为 2的球4个，标号为3的球3个，现从中依次有放回地抽取3个球 1、求恰好抽出两个2号球的概率
20
解 因为X~N(110,202),
所以μ=110,σ=20.
P(110-20<X≤110+20)=0.682 7. 所以,X>130的概率为 1 (1 0.682 7) 0.158 7.
2 所以,X≥90的概率为0.682 7+0.158 7=0.841 4.
∴及格的人数为54×0.841 4≈45(人), 130分以上的人数为54×0.158 7≈9(人).
EX 0.4
19
正态分布
设在一次数学考试中,某班学生的分数服从X~N(110，202), 且知满分150分,这个班的学生共54人.求这个班在这次数学 考试中及格(不小于90分)的人数和130分以上的人数. 思维启要迪求及格的人数,即求出P(90≤X≤150),而求 此概率需将问题化为正态变量几种特殊值的概率形式,然后 利用对称性求解.
P( A) C（32 0.4)2 (0.6) 36/125
2、求至少抽出两个2号球的概率
P(B) C（32 0.4)2 (0.6) C33(0.4)3(0.6)0 44 /125
17
变式二：条件概率
一盒子中有大小相同的球 10 个，其中标号为1的球3个，标号
为 2 的球 4个，标号为 3 的球3个。现从中不放回地依次取出
… pn
n
则称 E(X ) x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn xi pi i1
它反映了离散型随机变量取值的平均水平。
7
7、方差
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn
则称 D( X ) (x1 E( X ))2 p1 (xi E( X ))2 pi (xn E( X ))2 pn
EX 4 DX 16
15
18
变式三：
一盒子中有大小相同的球6个，其中标号为1的球4个，标号 为2的球2个，现从中任取一个球，若取到标号2的球就不再 放回，然后再取一个球，直到取到标号为1的球为止，求在 取到标号为1的球之前已取出的2号标号球数 X 的均值.
X
0
1
2
P 2 / 3 4/15 1/15
X0
1…
P
CM0 CNn M CNn
C C 1 n1 M NM CNn
…
k
C C k nk M NM CNn
…n
…
CMn CN0 M CNn
（2）期望与方差： 无特定公式(需列出分布列，在利用公式求)
12
3、二项分布 （1）试验要求： 针对n次独立重复试验（同一件事、同一条件下重复了n次）
（在抽取物件时，要有放回抽取）
两个球. 1、求第一次抽到3号球，第二次抽到1号球的概率.p（AB）
C13C31 A120
1 10
2、求在第一次抽出3号球的条件下，第二次抽到1号球的
概率.
P(B A) P(AB) 1 P( A) 3
3、求两球号码之和X的分布列、均值和方差.
X2 3 4 5 6
P 1/15 4/15 1/ 3 4/15 1/15
（2）概率计算：
若X ~ B(n, p)，
则P(X
k)
C
k n
pk (1
p)nk , k
0,1, 2,L
,n
（3）期望与方差：
若X ~ B(n, p)，则E( X ) np
若X ~ B(n, p)，则D( X ) np(1 p)
13
4、正态分布
（1）如果对于任何实数 a<b,随机变量X满足:
③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈_0_._9_97_3____.
（注意：面积等同于概率）
14
15
应用举例
摸球中的分布
一盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为
2的球4个，标号为3的球3个。现从中任意抽取3个球，
1、求恰好抽出两个2号球的概率
超
几
P( X
2)
C42C61 C130
21
22
P(a x b) a p(x)dx F (b) F (a)
则称X 的分布为正态分布.
记作：X~N(m,2) 。（EX= m ， DX= 2）
（2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ-σ<X≤μ+σ)≈_0_.6_8_2_7___;
②P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈_0_.9_5_4_5__;
1
2
3
设A、B为两个事件 公式：
1、古典概型
P( A)
A事件包含的试验结果数 总试验结果数
2、几何概型பைடு நூலகம்
P( A)
A事件的区域长度（面积、体积） 试验全部结果的区域长度（面积、体积）
4
5
6
6、均值（数学期望） 一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X
x1
x2
… xi
… xn
P
p1
p2
… pi
n
(xi E( X ))2 pi 为随机变量X的方差。 i 1
称 (X ) D(X ) 为随机变量X的标准差。
它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度 的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均 程度越小，即越集中于均值。
8
8、期望与方差的性质
E(aX b) aE(X ) b E(aX bY ) aE( X ) bE(Y )
D(aX b) a2DX
9
10
1、两点分布
（1）试验要求： 随机变量只有0、1两个取值 （“P”为成功概率）
X01 P 1-p p
（2）期望与方差：
若X服从两点分布，则 E(X ) p
若X服从两点分布，则 D(X ) p(1 p)
11
2、超几何分布
（1）试验要求： 随机试验中，不放回的从有限个物件（产品、小球）中 抽出n个物件，成功抽出指定物件的次数。
0.3
何 分
2、求至少抽出两个2号球的概率
布
P( X
2）
P( X
2)
P( X
3)
C42C61 C130
C43 C130
1 3
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变式一： 二项分布
一盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为 2的球4个，标号为3的球3个，现从中依次有放回地抽取3个球 1、求恰好抽出两个2号球的概率
20
解 因为X~N(110,202),
所以μ=110,σ=20.
P(110-20<X≤110+20)=0.682 7. 所以,X>130的概率为 1 (1 0.682 7) 0.158 7.
2 所以,X≥90的概率为0.682 7+0.158 7=0.841 4.
∴及格的人数为54×0.841 4≈45(人), 130分以上的人数为54×0.158 7≈9(人).
EX 0.4
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正态分布
设在一次数学考试中,某班学生的分数服从X~N(110，202), 且知满分150分,这个班的学生共54人.求这个班在这次数学 考试中及格(不小于90分)的人数和130分以上的人数. 思维启要迪求及格的人数,即求出P(90≤X≤150),而求 此概率需将问题化为正态变量几种特殊值的概率形式,然后 利用对称性求解.
P( A) C（32 0.4)2 (0.6) 36/125
2、求至少抽出两个2号球的概率
P(B) C（32 0.4)2 (0.6) C33(0.4)3(0.6)0 44 /125
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变式二：条件概率
一盒子中有大小相同的球 10 个，其中标号为1的球3个，标号
为 2 的球 4个，标号为 3 的球3个。现从中不放回地依次取出
… pn
n
则称 E(X ) x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn xi pi i1
它反映了离散型随机变量取值的平均水平。
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7、方差
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn
则称 D( X ) (x1 E( X ))2 p1 (xi E( X ))2 pi (xn E( X ))2 pn
EX 4 DX 16
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18
变式三：
一盒子中有大小相同的球6个，其中标号为1的球4个，标号 为2的球2个，现从中任取一个球，若取到标号2的球就不再 放回，然后再取一个球，直到取到标号为1的球为止，求在 取到标号为1的球之前已取出的2号标号球数 X 的均值.
X
0
1
2
P 2 / 3 4/15 1/15
X0
1…
P
CM0 CNn M CNn
C C 1 n1 M NM CNn
…
k
C C k nk M NM CNn
…n
…
CMn CN0 M CNn
（2）期望与方差： 无特定公式(需列出分布列，在利用公式求)
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3、二项分布 （1）试验要求： 针对n次独立重复试验（同一件事、同一条件下重复了n次）
（在抽取物件时，要有放回抽取）
两个球. 1、求第一次抽到3号球，第二次抽到1号球的概率.p（AB）
C13C31 A120
1 10
2、求在第一次抽出3号球的条件下，第二次抽到1号球的
概率.
P(B A) P(AB) 1 P( A) 3
3、求两球号码之和X的分布列、均值和方差.
X2 3 4 5 6
P 1/15 4/15 1/ 3 4/15 1/15
（2）概率计算：
若X ~ B(n, p)，
则P(X
k)
C
k n
pk (1
p)nk , k
0,1, 2,L
,n
（3）期望与方差：
若X ~ B(n, p)，则E( X ) np
若X ~ B(n, p)，则D( X ) np(1 p)
13
4、正态分布
（1）如果对于任何实数 a<b,随机变量X满足:
③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈_0_._9_97_3____.
（注意：面积等同于概率）
14
15
应用举例
摸球中的分布
一盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为
2的球4个，标号为3的球3个。现从中任意抽取3个球，
1、求恰好抽出两个2号球的概率
超
几
P( X
2)
C42C61 C130
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22