《随机变量及其分布总结》ppt课件

EX 4 DX 16
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变式三：
一盒子中有大小相同的球6个，其中标号为1的球4个，标号 为2的球2个，现从中任取一个球，若取到标号2的球就不再 放回，然后再取一个球，直到取到标号为1的球为止，求在 取到标号为1的球之前已取出的2号标号球数 X 的均值.
X
0
1
2
P 2 / 3 4/15 1/15
20
解 因为X~N(110,202),
所以μ=110,σ=20.
P(110-20<X≤110+20)=0.682 7. 所以,X>130的概率为 1 (1 0.682 7) 0.158 7.
2 所以,X≥90的概率为0.682 7+0.158 7=0.841 4.
∴及格的人数为54×0.841 4≈45(人), 130分以上的人数为54×0.158 7≈9(人).
n
(xi E( X ))2 pi 为随机变量X的方差。 i 1
称 (X ) D(X ) 为随机变量X的标准差。
它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度 的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均 程度越小，即越集中于均值。
8
8、期望与方差的性质
E(aX b) aE(X ) b E(aX bY ) aE( X ) bE(Y )
③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈_0_._9_97_3____.
（注意：面积等同于概率）
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应用举例
摸球中的分布
一盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为
2的球4个，标号为3的球3个。现从中任意抽取3个球，
1、求恰好抽出两个2号球的概率
超
几
P( X
2)
C42C61 C130
两个球. 1、求第一次抽到3号球，第二次抽到1号球的概率.p（AB）
C13C31 A120
1 10
2、求在第一次抽出3号球的条件下，第二次抽到1号球的
概率.
P(B A) P(AB) 1 P( A) 3
3、求两球号码之和X的分布列、均值和方差.
X2 3 4 5 6
P 1/15 4/15 1/ 3 4/15 1/15
b
P(a x b) a p(x)dx F (b) F (a)
则称X 的分布为正态分布.
记作：X~N(m,2) 。（EX= m ， DX= 2）
（2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ-σ<X≤μ+σ)≈_0_.6_8_2_7___;
②P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈_0_.9_5_4_5__;
D(aX b) a2DX
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1、两点分布
（1）试验要求： 随机变量只有0、1两个取值 （“P”为成功概率）
X01 P 1-p p
（2）期望与方差：
若X服从两点分布，则 E(X ) p
若X服从两点分布，则 D(X ) p(1 p)
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2、超几何分布
（1）试验要求： 随机试验中，不放回的从有限个物件（产品、小球）中 抽出n个物件，成功抽出指定物件的次数。
… pn
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n
则称 E(X ) x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn xi pi i1
它反映了离散型随机变量取值的平均水平。
7
7、方差
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn
则称 D( X ) (x1 E( X ))2 p1 (xi E( X ))2 pi (xn E( X ))2 pn
1
2
3
设A、B为两个事件 公式：
1、古典概型
P( A)
A事件包含的试验结果数 总试验结果数
2、几何概型
P( A)
A事件的区域长度（面积、体积） 试验全部结果的区域长度（面积、体积）
4
5
6
6、均值（数学期望） 一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X
x1
x2
… xi
… xn
P
p1
p2
… pi
X0
1…
P
CM0 CNn M CNn
C C 1 n1 M NM CNn
…
k
C C k nk M NM CNn
…n
…
CMn CN0 M CNn
（2）期望与方差： 无特定公式(需列出分布列，在利用公式求)
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3、二项分布 （1）试验要求： 针对n次独立重复试验（同一件事、同一条件下重复了n次）
（在抽取物件时，要有放回抽取）
（2）概率计算：
若X ~ B(n, p)，
则P(X
k)
C
k n
pk (1
p)nk , k
0,1, 2,L
,n
（3）期望与方差：
若X ~ B(n, p)，则E( X ) np
若X ~ B(n, p)，则D( X ) np(1 p)
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4、正态分布
（1）如果对于任何实数 a<b,随机变量X满足:
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22
P( A) C（32 0.4)2 (0.6) 36/125
2、求至少抽出两个2号球的概率
P(B) C（32 0.4)2 (0.6) C33(0.4)3(0.6)0 44 /125
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变式二：条件概率
一盒子中有大小相同的球 10 个，其中标号为1的球3个，标号
为 2 的球 4个，标号为 3 的球3个。现从中不放回地依次取出
EX 0.4
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正态分布
设在一次数学考试中,某班学生的分数服从X~N(110，202), 且知满分150分,这个班的学生共54人.求这个班在这次数学 考试中及格(不小于90分)的人数和130分以上的人数. 思维启要迪求及格的人数,即求出P(90≤X≤150),而求 此概率需将问题化为正态变量几种特殊值的概率形式,然后 利用对称性求解.
0.3
何 分
2、求至少抽出两个2号球的概率
布
P( X
2）
P( X
2)
P( X
3)
C42C61 C130
C43 C130
1 3
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变式一： 二项分布
一盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为 2的球4个，标号为3的球3个，现从中依次有放回地抽取3个球 1、求恰好抽出两个2号球的概率