《经济应用数学》课程复习大纲

《经济应用数学》课程学习资料
继续教育学院
《经济应用数学》课程复习大纲
一、考试要求
本课程是一门基础课，要求学生在学完本课程后，能够牢固掌握本课程的基本知识，并具有应用所学知识说明和处理实际问题的能力。

据此，本课程的考试着重基本知识考查和应用能力考查两个方面，包括识记、理解、应用三个层次。

各层次含义如下：识记：指学习后应当记住的内容，包括概念、原则、方法的含义等。

这是最低层次的要求。

理解：指在识记的基础上，全面把握基本概念、基本原则、基本方法，并能表达其基本内容和基本原理，能够分析和说明相关问题的区别与联系。

这是较高层次的要求。

应用：指能够用学习过的知识分析、计算和处理涉及一两个知识点或多个知识点的会计问题，包括简单应用和综合应用。

二、考试方式
闭卷笔试，时间120分钟
三、考试题型
●选择题：18％
●填空题：18％
●判断题：12％
●计算题：52％
四、考核的内容和要求（基本要求、重点、难点）
基本要求
第1章函数
【内容提要】
§1.1预备知识
§1.2 函数概念
§1.3函数的几何特征
§1.4反函数
§1.5复合函数
§1.6初等函数
§1.7简单函数关系的建立
【要求与说明】
1．理解实数与实数绝对值的概念，掌握解简单绝对值不等式的方法。

2．理解函数、函数的定义域和值域等概念，熟悉函数的表示法。

3．了解函数的几何特性并掌握各几何特性的图形特征。

4．理解反函数的概念；知道函数与其反函数的图形关系；会求简单函数的反函数。

5．理解复合函数的概念；了解两个（或多个）函数能构成复合函数的条件；掌握求简单函数复合运算的方法；掌握将一个复合函数分解为较简单函数的方法。

6．理解基本初等函数及其定义域、值域等概念；掌握基本初等函数的基本性质。

7．理解初等函数的概念；了解分段函数的概念。

8．了解成本、收益、利润、需求、供给等经济函数及其性质；会建立简单应用问题的函数关系。

9．本章内容带有复习性质，凡中学已经学过的有关函数的知识，只需加以总结，不必再作详细讲解。

第2章极限与连续
【内容提要】
§2.1数列极限
§2.2函数极限
§2.3函数极限的性质及运算法则
§2.4无穷大量与无穷小量
§2.5函数的连续性
§2.6闭区间上连续函数的性质
【要求与说明】
1．了解数列、数列的收敛和发散、数列极限等概念；了解数列极限的四则运算性质和夹逼定理；了解单调数列、有界数列的概念；了解收敛数列的简单性质和数列的极限。

（数列极限的分析定义以及与之相关的性质证明不作要求）
2．了解函数的极限过程概念；了解函数在某一过程下的收敛、发散、极限等概念；了解单侧极限的概念；利用函数的图形认识函数极限；利用函数值的变化趋势认识函数极限。

3．了解函数极限的局部有界性和保号性；了解函数极限的夹逼定理、四则运算法则和复合函数的极限；掌握利用四则运算和变量替换求极限的方法。

（函数极限的分析定义以及与之相关的性质证明不作要求）
4．了解无穷小量和无穷大量的概念和基本性质；掌握无穷小量阶的比较以及常见的等
价无穷小量；知道无穷小量与无穷大量之间的关系；掌握等价无穷小量在求极限中的应用。

5．了解函数连续、左连续、右连续以及函数间断的概念；掌握函数间断点的分类。

6．了解函数在连续点的局部性质、四则运算性质；了解复合函数的连续性，理解初等函数在其定义区间内必连续的结论；掌握函数的连续性在求函数极限中的应用。

7．了解函数的零点概念；了解闭区间上连续函数的性质及其应用。

（闭区间上连续函数的性质不作证明，只介绍其应用）
第3章导数与微分
【内容提要】
§3.1导数概念
§3.2导数运算与导数公式
§3.3复合函数求导法则
§3.4微分及其计算
§3.5高阶导数与高阶微分
§3.6导数与微分在经济学中的简单应用
【要求与说明】
1．了解导数的概念；知道导数的几何意义与经济意义；了解函数在可导点的局部性质。

2．熟练掌握基本初等函数的导数公式。

3．熟练掌握导数的四则运算公式。

4．掌握反函数的导数公式（反函数求导公式的证明不作要求）。

5．熟练掌握求复合函数导数的链式法则（证明不作要求）。

6．掌握对数求导法与隐函数求导法。

7．了解微分的概念；掌握可导与可微的关系；掌握求函数微分的方法和运算法则；了解微分在近似计算中的应用和一次微分的形式不变性。

8．了解高阶导数的概念和记号；掌握求二阶、三阶导数及某些简单函数的n阶导数的方法；了解高阶微分的概念和记号。

9．知道边际与弹性的概念；了解边际收益和需求价格弹性之间的关系。

第4章中值定理与导数的应用
【内容提要】
§4.1微分中值定理
§4.2泰勒公式
§4.3洛必达法则
§4.4函数的单调性与凹凸性
§4.5函数的极值与最大（小）值
§4.6函数作图
【要求与说明】
1．掌握函数极值的定义；理解费马定理、罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理及其证明；知道这些定理的应用以及它们之间的关系
2．了解泰勒定理及其在求函数极限中的应用。

3．熟练掌握洛必达法则和各种未定式的定值方法。

4．熟练掌握函数单调性和凹凸性的判别方法；会求曲线拐点；了解函数单调性和凹凸性的应用。

5．熟练掌握求函数极值与最值的方法；了解函数极值与最值的关系与区别；会求某些简单经济应用问题中的极值。

6．会求简单函数的渐近线；掌握函数作图的基本步骤和方法；会作某些简单函数的图形。

第5章不定积分
【内容提要】
§5.1原函数与不定积分的概念
§5.2基本积分公式
§5.3换元积分法
§5.4分部积分法
【要求与说明】
1．了解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质。

2．熟悉基本积分表。

3．熟练掌握计算不定积分的二种换元积分法和分部积分法。

4．会计算三种简单的分式的不定积分：
第6章定积分
【内容提要】
§6.1定积分的概念与性质
§6.2微积分基本定理
§6.3定积分的换元积分法和分部积分法
§6.4定积分的应用
§6.5反常积分初步
【要求与说明】
1．了解定积分的概念和基本性质，掌握积分中值定理。

2．熟练掌握牛顿－莱布尼兹公式；会求变限积分的导数。

3．熟练掌握定积分的换元积分法和分部积分法。

4了解求总量的微元法；会利用定积分计算平面图形的面积和旋转体的体积；会利用定积分求解一些简单的经济应用问题。

5．了解反常积分收敛与发散的概念；掌握计算收敛的反常积分的方法。

第7章多元函数微积分学
【内容提要】
§7.1预备知识
§7.2多元函数的概念
§7.3方向导数、偏导数与全微分
§7.4多元复合函数与隐函数微分法
§7.5高阶偏导数与高阶全微分
§7.6多元函数的极值
【要求与说明】
1．了解空间坐标系的有关概念，会求空间两点之间的距离；了解向量的概念和坐标表示；了解向量的平行和垂直的坐标表示；了解平面和空间中常见的二次曲面的方程；了解平面上点的邻域、区域及其边界、闭区域等概念。

2．了解多元函数的概念；掌握二元函数的定义与表示法。

3.知道二元函数的极限与连续性的概念。

4．了解二元函数的方向导数、偏导数、全微分的概念；了解多元函数的偏导数与全微分的概念；熟练掌握求偏导数与全微分的方法；了解函数的梯度概念。

5．掌握求多元复合函数偏导数的链式法则；了解多元函数的一次微分形式不变性；掌握隐函数的微分法。

6．了解二元函数的高阶偏导数和高阶全微分的表示及其求法。

7．了解二元函数极值与条件极值的概念；了解二元函数极值存在的必要条件与充分条件；会求简单二元函数的极值；掌握用拉格朗日乘数法求简单二元函数的条件极值。

8．了解二重积分的概念、几何意义与基本性质；掌握在直角坐标系与极坐标系下计算二重积分的常用方法；会计算一些简单的二重积分；了解无界区域上的反常二重积分概念、记号。

第8章无穷级数
【内容提要】
§8.1常数项级数的概念和性质
§8.2正项级数
§8.3任意项级数
§8.4幂级数
【要求与说明】
1．了解无穷级数及其一般项、部分和、收敛与发散，以及收敛级数的和等基本概念。

2．掌握几何级数与P级数的敛散性判别条件；知道调和级数的敛散性。

3．掌握级数收敛的必要条件，以及收敛级数的基本性质。

4．掌握正项级数的比较判别法、比值判别法、根值判别法，了解正项级数的积分判别法。

5．掌握交错级数的莱布尼兹判别法。

6．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念；掌握绝对收敛与条件收敛的判别方法。

7．了解函数项级数的收敛点、收敛域、和函数等基本概念；了解幂级数的阿贝尔定理；
掌握幂级数的收敛点、收敛半径、收敛区间、收敛域、和函数概念；掌握幂级数收敛半径、收敛区间的求法；了解幂级数收敛域的求法；掌握幂级数在收敛区间内的连续性、逐项求导公式、逐项求积公式；会利用幂级数在收敛区间内的性质求简单幂级数的和函数及简单数项级数的和。

8．了解函数的泰勒级数、麦克劳林级数；掌握几个基本初等函数的麦克劳林展开式；
学会利用间接展开法求一些简单函数的幂级数展开式。

第9章微分方程初步
【内容提要】
§9.1微分方程的基本概念
§9.2一阶微分方程
§9.3二阶常系数线性微分方程
§9.4微分方程在经济学中的应用
【要求与说明】
1．了解微分方程的阶、通解与特解等概念。

2．掌握可分离变量方程、齐次方程和一阶线性微分方程的解法。

3．了解二阶常系数齐次和非齐次线性微分方程解的结构；掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法；了解二阶常系数非齐次线性微分方程特解和通解的求法。

4．会求解一些简单的经济应用题。

第10章差分方程
【内容提要】
§10.1差分方程的基本概念
§10.2一阶常系数线性差分方程
§10.3二阶常系数线性差分方程
§10.4差分方程在经济学中的简单应用
【要求与说明】
1．了解差分与差分方程，差分方程的阶与解（通解与特征）等概念。

2．掌握一阶与二阶常系数齐次线性差分方程的解法。

3．会求某些特殊的一阶与二阶常系数非齐次线性差分方程的特解与通解。

4．会求解一些简单经济应用题。

重点：
经济应用数学Ⅰ：函数概念，极限概念及求法，无穷小，存在准则，两个重要极限，函数的连续与间断。

导数概念及其几何意义，导数基本公式，复合函数求导，微分。

中值定理，函数单调性的判别，极值的求法。

不定积分的概念，基本积分公式，不定积分的换元积分法、分部积分法。

定积分概念与性质，变上限函数导数，牛顿－莱布尼兹公式，定积分的换元积分公式、分部积分公式。

定积分的元素法，平面图形面积，旋转体的体积。

偏导数的概念和计算，多元复合函数求导法，隐函数求导法，多元函数的极值，二重积分的概念和计算。

难点：
经济应用数学Ⅰ：极限概念，复合函数求导，中值定理，换元积分法，定积分的元素法，多元复合函数求导法，多元函数的极值，二重积分的计算。

五、参考教材
经济应用数学基础（一）《微积分》（第四版），中国人民大学赵树嫄主编，中国人民大学出版社
微积分（第三版）中国人民大学朱来义主编高等教育出版社
六、复习样题
经济应用数学复习题(一)及解答
一、选择题：（每小题3分，共18分）
1.下列函数相同的是（）。

A.x x f =)(，2)()(x x g =
B.2)(x x f =，||)(x x g =
C.x x f =)(，x x x g 2
)(= D.2lg )(x x f =，x x f lg 2)(=
2.设x e x f =)(，则
='⎰dx x x f )
(ln （ ）。

A.c x +- B.c x +-ln C.c x + D.c x +ln
3.函数)2ln(2x y +=的单调增区间是（ ）。

A.) , (∞+-∞ B.) , 0(∞+ C.)0 , (-∞ D.)1 , 1(-
4.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠--+=0 ,
0 , 11)(x k x x x
x x f 在0=x 处连续，则=k （ ）。

A.
3
1
B. 0
C. 1
D. 以上均不对 5.下列函数中（ ）导数等于x 2sin 2
1
-。

A.x 2sin 21
B. x 2cos 41
C.x 2
cos 21- D.x 2cos 4
11- 6.二元函数) , (y x f z =，则=dz （ ）。

A.''y x z z +
B.dy z dx z x y ''+
C.dy z dx z y x ''+
D.))(''(dy dx z z y x ++ 二、填空题（每小题3分，共18分） 1. =→x
x
x 3sin lim
0 。

2. =⎪⎭
⎫
⎝⎛∞
→x x x 1sin
lim 。

3. )2ln(+=x y 在点)0 , 1(-处的切线方程为 。

4. 求函数)21ln(2
x x y +-=的极值为 5.
⎰=-3
|1|dx x 。

6. 5
2)(x x y -=，
=dx
dy。

三、判断题（每小题2分，共12分） 1. x
e
x f -=)(是一个基本初等函数。

（ ）
2. )(lim )(lim )]()([lim x g x f x g x f a
x a
x a
x →→→+=+。

（ ）
3. 若)(x f 在点0x 处可导，则若)(x f 在点0x 处连续。

（ ）
4. ()x xdx d
cos cos =⎰。

（ ）
5. 2111
1
1
12-=-
=--⎰x
dx x 。

（ ） 6.
⎰⎰=D
D dxdy 1的面积。

（ ） 四、计算题（共52分）
1. 1
4432lim 22--++∞→x x x x x （7分）
2. 22x a y +=
，求dy （7分）
3. ⎰
-dx e
x 3
2（7分） 4.
⎰5
1
ln xdx （7分）
5. ⎰⎰D
xy
dxdy ye ，11 ：
≤≤-x D ，10≤≤y （7分） 6. 求曲线x
y 1
=
及直线x y =，2=x 所围成的平面图形的面积。

（7分） 7. 某产品的总体成本C （万元）的变化率（边际成本）1='C ，总收益R （万元）的变化
率为生产量x （百台）的函数x x R R -='='5)(，（1）求生产量等于多少时，总利润
C R L -=为最大？（2）从利润最大的生产量又生产了100台，总利润减少了多少？（10
分）
经济应用数学复习题(二)及解答
一、选择题：（每小题3分，共18分） 1. 函数1
1
2+-=
x x y 的定义域是（）。

A. ]1 , 1[- B. ) , 1 [)1 , (∞+--∞ C. ) , (∞+-∞ D. ) , 1()1 , (∞+---∞ 2. =→x
x
x sin lim
0（ ）。

A. -1
B. 0
C. 1
D.∞ 3. 2
ln )(x x f =,则=dy （ ）。

A.dx x 2
1 B. dx x x ln
2 C.xdx ln 2 D. dx x 2 4.
='⎰dx x f )(（ ）。

A. C x f +)( B. C x f +')( C. )(x f D. )(x f '
5. ),(y x f 在点) , (00y x 处连续是),(y x f z =在点) , (00y x 处存在一阶偏导数的（ ）。

A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.既非充分，又非必要条件
6. 设D 是圆环域4222≤+≤y x ，则⎰⎰=D
dxdy （ ）。

A. π12 B. π8 C. π2 D. π
二、填空题（每小题3分，共18分）
1. ='-'])1([f
2. 1)(2-=x x f ，关于 对称
3. =+-+-+∞→4
3132lim 323x x x x x x 4. 1122-+=
y x z 的定义域为 5. ⎰⎰=1
0 2 0 )sin(dx xy y dy π
6. 曲线2256()43
x x f x x x +-=-+的渐近线有 三、判断题（每小题2分，共12分）
1. ||)(x x f =是一个初等函数。

（ ）
2. 若)(x f 在点0x 处取得极大值，则)(x f '=0。

（ ）
3. ()xdx xdx d ln ln =⎰。

（ ）
4. )(x f 在0x x =处可导，则)()(lim 00
x f x f x x =→。

（ ） 5. 若()0a a f x dx -=⎰，则)(x f 为奇函数。

（ ）
6. 若正项级数1n n u ∞=∑收敛，则21n n u ∞
=∑一定收敛（ ）
四、计算题（共52分） 1. x
e x x 1lim 0-→（5分）
2. 求⎰xdx x cos （5分）
3. 设x y e e xy =+，求
dx dy （5分） 4. 0 1ln20 =-⎰
dx e x （5分） 5. ⎰⎰D
dxdy xy 3
，其中D 由直线2=y ，x y =，及y 轴围成的区域（5分） 6. 某商品的价格P 与需求量Q 关系为5
10Q P -=，（1）求需求量为20时的总收益、平均收益、边际收益；（2）Q 为多少时总收益最大？（11分）
7. 某工厂的总收益函数201.010)(x x x R -=，总成本函数2005)(+=x x C ，x 表示产量，问：产量为多少时利润最大？最大利润为多少？（11分）。