函数的极限

高等数学函数的极限知识点归纳整理

引语：函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成的。

1.定义

设函数在点

的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的函数值都满足不等式：

那么常数A就叫做函数当时的极限，记作

2.概念

函数极限可以分成

以的极限为例，f(x) 在点

以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数

，使得当x满足不等式

时，对应的函数值f(x)都满足不等式：

，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。

3. 数列的极限形式（1种）和函数极限形式（6种）：

附课堂老师提到的相关概念和知识

1.“ε－N”定义需要的时刻是自变量从此刻开始往无穷大（小）的方向变化；

“ε－δ”定义需要的时刻是自变量从此刻开始往某一个点无穷接近的方向变化；

2.去心邻域：

在高等数学中，我们经常会用到一种特殊的开区间(a -δ，a + δ)，称这个开区间为点a 的邻域，记为U(a，δ)，即

U(a，δ) = (a - δ，a + δ)，

称点a为邻域的中心，δ为邻域的半径。

通常δ是较小的实数，所以，a的δ邻域表示的是a的邻近的点，如下图所示。

点a的邻域

有时候，我们只考虑点a邻近的点，不考虑点a，即考虑点集{x | a-δ

Ů(a，δ) = {x | a - δ < x < a或a < x < a + δ}，

如下图所示。

点a的去心的邻域

3.函数的有界和无界

函数的有界性指的是函数值取值范围的有限性,例如正弦函数f(x)=sin x ,取值范围是-1到1 ,是一个有限的范围,因此可以说这个函数有界,而y=x 这个函数的取值范围是R,是一个无限的范围,所以可以说这个函数无界.

用数学语言描述：存在M∈R,使任意x∈f(x)的定义域,都有|f(x)| ≤M,则称函数f(x)有界

4.有极限的函数必有界,有界的函数不一定有极限

解释：有极限说明它会趋于一个定值,那肯定不会趋向无穷大,所以必有界；而有界表示不会趋向无穷大,但不一定会趋于一个定值,可以在一些位置上来回波动,比如(-1)^n,一直在-1和1之间波动,没有极限.

再如lim(x→0）sin1/x，它的极限不存在，但它有界sin1/x的绝对值小于等于1。