111正弦定理第1课时

111正弦定理第1课时work Information Technology Company.2020YEAR
1.1.1 正弦定理（第1课时）
湖北省天门中学胡圣兵
一、教学设计
1、教学内容解析
本节课作为正弦定理的第一课时，主要包括章引言、正弦定理的发现、探索、证明和简单应用。

正弦定理与初中学习的三角形的边角关系有着密切的联系，是解三角形的重要工具之一，既是三角函数知识的应用。

又是初中解直角三角形内容的直接延伸，在日常生活、工业生产、天文、航海、航天、测量等领域中都有着广泛应用，对培养学生应用教学的意识起到重要作用。

本节课让学生从已有的知识出发，通过探究得到正弦定理的内容，并能运用正弦定理解题。

根据以上分析，本节课的教学重点确定为：正弦定理的探索发现及其初步应用。

2、学生学情诊断
学生在初中已经学习了解直角三角形的内容，在必修四中又学习了三角函数的基础知识和平面向量的有关内容，对解直角三角形、三角函数、平面向量已形成初步的知识框架，这就为探索任意三角形的边角关系提供了基础。

学生的困难在于如何将直角三角形中的正弦定理迁移到斜三角形中，特别是用向量的方法证明正弦定理的思路也是学生难以想到的。

根据以上分析，本节课的教学难点确定为：正弦定理的探索和证明。

3、教学目标设置
（1）知识与技能目标：掌握正弦定理的内容及证明；能初步应用正弦定理解题。

（2）过程与方法目标：使学生懂得认识事物有一个逐步深入的过程，对于三角形的边角关系从定性分析上升到定量分析；了解从特殊到一般的归纳方法以及分类讨论解决问题的方法。

（3）情感、态度和价值观目标：通过对正弦定理的探究发现的过程，培养学生的探索精神和创新意识；通过对正弦定理在各个领域中应用的了解，体会数学的科学价值、应用价值，进而领会数学的人文价值、美学价值，激发对数学的情感，培养学习数学的兴趣，不断提高自身的文化素质。

4、教学策略分析
本节课将以学生熟悉的生活实例，创设问题情境，带领学生进入解三角形内容的学习，激起学生的求知欲；在正弦定理的探究过程中，采用从直角三角形出发，通过学生的合作交流，得到任意三角形中的结论，并让学生归纳整理，完成正弦定理的再创造过程，用向量的方法，几何的方法证明正弦定理，分层递进，逐步深入探究，让学生在不断的猜想与解决中体会合作的乐趣。

从而熟悉正弦定理的内容，并能初步应用。

在教学中采用多媒体辅助教学，使得信息技术与教学内容的整合过程完美自然，课堂容量大而不失层次。

教学流程：
二、教学过程
播放视频：先请大家看一段视频嫦娥二号发射升空
老师口述：大家还记得这激动人心的一幕吗？
2010年10月1日下午18时59分57秒，中国探月二期工程先导卫星“嫦娥二号”在西昌卫星发射中心成功发射，并准确入轨，一举实
现中华民族千年奔月的梦想，让无数中华儿女引以为豪，2013年“嫦
娥三号”将登陆月球。

嫦娥奔月而去，当明月高悬，我们仰望夜空，不禁会问，月亮离我们有多远呢？这个遥远的距离到底是怎么测量和计算出来的呢？幻灯板书：1671年两个法国天文学家经过长时间的思考，提出了一种测量地月距离的方法，并首次测出了地月距离大约为385400km，大家想知道
他们当时是怎样测出这个距离的吗？
老师口述：这个测量问题就是用解三角形的知识解决的，从今天开始我们学习幻灯板书：第一章解三角形
老师口述：在数学发展史上，受到天文测量、航海测量和地理测量等方面实践活动的推动，解三角形的理论得到了不断发展，并被用于解决许多测
量问题。

在初中，我们已经能够借助于锐角三角函数解决有关直角三角形的一些测量问题，在实际工作中，我们还会遇到许多其他的测量问
题，这些问题仅用解直角三角形的知识就不够了。

例如：
幻灯板书：1、怎样在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离？
2、怎样测量底部不可能到达的建筑物的高度？
3、怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度？
4、怎样测出海上航行的轮船的航速和航向？
老师口述：这些问题的解决需要我们进一步学习任意三角形中边与角的关系的有关知识。

本章我们要学习正弦定理和余弦定理，并学习应用两个定理解三角
形，并解决实际测量中的一些问题。

这节课我们学习
幻灯板书：第一章解三角形
1.1正弦定理和余弦定理
1.1.1 正弦定理（第一课时）
老师口
述
：
在
初
中
我
们已经学习了三角形中边角关系，下面请大家分析以下三个三角形
中，A，C，a, c的大小关系。

老师口述：△ABC 中，BC 边及∠B 固定，随着A 点的运动，∠A 、∠C 及边c
都在相应变化，由图可知A 、C 、a 、c 的大小有怎样的不等关系呢？
学生回答：A C a c >⇔> A C a c =⇔= A C a c <⇔<
老师口述：很好，这就是我们初中学习的三角形中的边角关系，它定性地分析
了边角的关系：即大边对大角，小边对小角。

我们能否进一步得到边角关系准确量化的表示呢？
老师口述：既然要探究边角关系，我们自然会想到三角函数，而三角函数最初
是在直角三角形中定义的，所以我们先从初中已经学习的解直角三角形入手，探究直角三角形中的边角等式关系。

幻灯板书：在Rt △ABC 中，∠C=90°,设BC =a ，AC =b ，AB =c ，
根据锐角三角函数中，正弦函数的定义：
sin a A c =，sin b B c
=，
老师口述：两个定义式中有什么相同的元素呢？ 学生回答：斜边c 。

老师口述：若我们把上面两个式子改写成
幻灯板书：sin a c A =
sin b c B
= 老师口述：把这两个等式联系起来等量代换会有什么样的结果呢？ 学生回答：sin sin a
b A
B
=
老师口述：能否把c 与C 也考虑进呢？ 学生讨论回答：
sin sin sin a b c c A B C
=== A B
C a
b
c
A
C
a
b
B
D
（图一）
A
C a
b
B
D
（图二）
A
C
a b
B
D
（图三） 幻灯板书：sin sin sin a
b c c A
B C
=
== 老师口述：由直角三角形中构造直角三角形的常用方法，以上结论我们还可以
这样论证
幻灯板书：
过C 作AB 边上的高CD 交AB 于D ， 则CD =b sin A CD =a sin B ∴b sin A =a sin B ，即o
sin sin sin sin 90
a
b c c c A
B C =
=== 老师口述：这是直角三角形中的结论，是特殊情形，对于一般三角形呢？
请第一组的同学探究锐角三角形的情形 第二组的同学探究钝角三角形的情形
老师口述：提示一下：锐角三角形、钝角三角形中都没有直角，而三角函数是
在直角三角形中出现的，按照化未知为已知的思路，我们应该构造直角三角形。

（学生分组探讨，然后分别推出中心发言人，说明探究的结论）
幻灯板书：在图二中，当△ABC 为锐角三角形时，
设边AB 上的高是CD ， 则sin CD a B =，sin CD b A = ∴sin sin a B b A =， ∴sin sin a b A
B
=
同理sin sin a
c A
C =
∴sin sin sin a b c A B C
== 在图三中，当△ABC 为钝角三角形时，不妨设B 为钝角 设边AB 上的高是CD ，
A b
（1）
j
b
（2）
j
（3）
A
a
j
则sin()sin CD a B a B π=-= sin CD b A = ∴sin sin a B b A = ∴sin sin a b A
B
=
同理sin sin a
c A
C
=
∴sin sin sin a b c A
B C
=
=
幻灯板书：综上所述，在任意三角形中，都有sin sin sin a b c A
B C
=
=，这就是正弦定理
幻灯板书：变式为::sin :sin :sin a b c A B C =
实质：在任意三角形中，边长与它的对角的正弦成正比。

老师口述：以上过程是从特殊到一般的探究过程，涉及到的思想是数学中的一
种重要思想：分类讨论的思想。

具体的方法是将高用两种不同的形式表达，从而得到等式。

我们能否把AC 投影在AB 边的高线方向，然后通过两种不同的方式表达出来，从而得到等式呢？ （学生分组，四人一个小组探究。

）
幻灯板书：
如图，过A 作与AB 垂直的单位向量j 则AC ·j =cos()2
b A π-（或cos())sin 2
b A b A π-=
AC ·j =(AB +BC )·j =AB ·j +BC ·j =0+BC ·j =BC ·j
（1）
（2）
（3）
′ ′
=cos()2
a B π-（或cos())sin 2
a B a B π-=
∴sin sin b A a B = 即sin sin a b A
B
=
由对称性有 sin sin sin a
b c A
B C
=
= 老师口述：用向量的方法论证，其本质和最初的论证方法是一样的，因为将
AC 投影在AB 的垂线方向时，若考虑投影的绝对值就是AB 边上的高
了，这种用向量投影的方法在今后我们学习空间向量时十分常见。

老师口述：下面我们继续探究正弦定理的结论。

幻灯板书：回到直角三角形中，我们最初得到的结论是：
sin sin sin a b c c A B C
=== 老师口述：在圆的知识中有一个结论：直径所对的圆周角是直角。

若作直角三
角形的外接圆，则斜边c 是圆的什么呢？
学生回答：直径2R 。

（R 是三角形的外接圆的半径） 老师口述：那么我们能否进一步猜想sin sin sin a
b c A
B C
=
=是一个与△ABC 相关的常数呢？
学生讨论：（四人一组讨论，哪个组先有结论哪个组回答。

直径2R 。

） 老师口述：应该如何证明呢？从三角函数的定义出发应该构造直角三角形，从
常数分析应出现直径，因此不难作出辅助线。

请同学自己完成证明过程。

先证
sin c C
=2R 分三种情况讨论： （1）C 为直角，图（1）中c =2R o sin sin901C == ∴
sin c C
=2R （2）C 为锐角，图（2）中
'
sin sin c c C C ==2R （C 与C ′为同弧角） （3）C 为钝角，图（3）中'
'sin sin()sin c
c c C
C C
π=
=-=2R （C 与C ′互补）
综上，故
sin c C =2R 由对称性sin a A
=2R ，
sin b B
=2R ， ∴sin a
A
=
sin b B =sin c C
=2R 结论得证。

幻灯板书：正弦定理指出了任意三角形中边长与对应角的正弦之间的一个关系
式，描述了任意三角形中边与角的一种确定的数量关系。

因此我们对三角形中的边角关系的认识，是从定性分析到定量分析的过程，是认识的一次飞跃。

幻灯板书：一般地，把三角形的三个角A,B,C 和它们的对边a,b,c 叫做三角形的
元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。

老师口述：正弦定理在数学中的应用很多，最主要的一是研究三角形中边角式
子的恒等变形，由正弦定理，边的式子与相应角的正弦式子可以互相转化，从而可以把边角混合式化为只含边或者只含角进行运算；二是解三角形。

下面我们证明三角形中一个非常重要的等价式子。

幻灯板书：例：在△ABC 中，求证：sin sin A B A B >⇔>
老师口述：∵三角形的内角都在（0，π）内，而（0，π）内正弦函数不具有
单调性，若从单调性方向去研究，就要分区间讨论，很复杂。

运用正弦定理，把正弦转化为相应的边，再利用边角的不等关系就迎刃而解了。

幻灯板书：证明：sin sin 2R 2R
a b A B a b A B >⇔>⇔>⇔> 幻灯板书：一.知识小结
(1)本节课我们从直角三角形入手，采取分类讨论的方法探究并证明了正弦定理：sin sin sin a b c A B C
== (2)进一步用向量方法进行了证明.
(3)进而从直角三角形出发，用三角形的外接圆证明了这个比值为常数2R .
（R 是三角形的外接圆的半径）.完成了对三角形边角关系从定性分析到定量分析的飞跃.
(4)初步应用正弦定理解决三角形中的边角式子的恒等变形，下一次课我们将进一步探讨如何用正弦定理解三角形。

二.思想方法小结
（1）特殊到一般的归纳方法
（2）分类讨论的思想小结：
幻灯板书：课后作业：课本第10页，B 组第2题。