最优化方法作业-1-投资回报率
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最优化方法作业－
1
解：
引入下面的符号：
每个投资项目需要的投资额为T
a a a a ),,,(521 =（单位：元），利润为T
b b b b ),,,(521 =。 如果将投资某个项目设一个标识数字1，不投资设为0，则有下面的项目投资标识向量
),,,(521x x x x =
1. 以利润为目标的最优投资策略数学模型
x b x f T =)(max .
5,,2,1,0100000
..2
==-≤i x x x a t s i i
T
2. 以投资回报率为目标的最优投资策略数学模型
x a x
b x f T T =)(max
.
5,,2,1,0100000
..2 ==-≤i x x x a t s i i
T
解：
分析问题可知，从给定的10m 长的材料中截取3m 长和4m 长的钢筋，对一根钢筋可以有下面的三
设采用的上面的的三种方法的次数分别为),,(321x x x x =，则确定最优下料策略的数学模型为：
321)(min x x x x f ++= 为非负整数
3213132,,60290
23..x x x x x x x t s ≥+≥+
3．求证：1+m 个点{
}n
m
x x x ℜ
⊂,,,10 是仿射无关的，当且仅当{
}
1
10)1,(,),1,(),1,(+ℜ
⊂n m
x x x 是线性无关的。 证明：
（1） 充分性
已知1+m 个点{
}n
m
x x x ℜ⊂,,,10 是仿射无关的。
假设
{}110
)1,(,),1,(),1,(+ℜ⊂n m x x x 是线性相关的，则至少存在一个
{
}
)1,(,),1,(),1,()1,(10m r x x x x ∈，不妨设为)1,(0x ，可以用集合中的其它元素线性表示出来，即
存在不全为零的m αα,,1 ，使得
)1,()1,()1,(110m m x x x αα++=
⎩
⎨⎧++=++=⇒m m
m x x x αααα 11101（1）
()()
m
m m m m m m m m m x x x x x x x x x x x x αααααααααααααααααα +=++++=
++++++=++++11111100
10100011000)(11
111)(11
(2)
上面（2）式中
1111110
0001
00=++=++++++ααααααααm 。可见，
)(,,2,1,,,1,,2,1,0,,,1)(111
00S aff m i S x x m i S x x
S aff i
i m
i i m i i
i i i m
i i m i i
i =⎭
⎬⎫⎩⎨⎧=∈ℜ∈==⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∈ℜ∈==∑∑∑∑==== λλλλλλ(3) 上式中，{
}m
x
x x S ,,,10 =，{}m
x x S ,,1
1
=
而根据已知条件，即1+m 个点{
}n
m
x
x x ℜ
⊂,,,10 是仿射无关的，这和根据假设的
{}
110
)1,(,),1,(),1,(+ℜ⊂n m x x x
是线性相关的得到的结论（3）式是矛盾的。
因此可得{
}
1
10)1,(,),1,(),1,(+ℜ⊂n m
x x x 是线性无关的，充分性得证。
（2） 必要性
已知{
}
1
10)1,(,),1,(),1,(+ℜ⊂n m
x x x 是线性无关的。
假设{
}n
m
x
x x ℜ
⊂,,,10 是仿射相关的，则至少存在一个{
}m
r
x
x x x ,,,10 ∈，不妨设为0
x
，可
以用集合中的其它元素通过仿射组合表示出来，即 存在不全为零的m αα,,1 ，使得
⎩
⎨
⎧++=++=m m
m x x x αααα 11101（4） 将（2）整理，可得
)1,()1,()1,(110m m x x x αα++= （5）
由（5）式及m αα,,1 不全为零可得，)1,(,),1,(),1,(1
m
m x x x α 线性相关。这和已知的
{}
110
)1,(,),1,(),1,(+ℜ⊂n m x x x
是线性无关的条件相矛盾。
因此可得{
}n
m
x
x x ℜ
⊂,,,10 是仿射无关的，必要性得证。