积化和差和差化积公式练习

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5.5.4 和差化积与积化和差公式总作业

理科——积化和差与和差化积公式（一）班级_________ 姓名__________注意：（化简、求值题都要求写出必要的步骤）1.求下列各式的值.（1）sin 5230'cos730'⋅ （2）cos9730'sin3730'⋅（3）sin3730'sin 730'⋅ （4）113cosπcos π124⋅2. 化简：ππcos()cos cos()33θθθ-⋅⋅+.3. 已知：2cos(2)3cos 0αββ++=，π,π,2k k αβ≠+∈Z ，求tan tan()ααβ⋅+的值.4. 已知3ππ1sin()cos()444x x --=-，求cos 4x 的值.5. 已知tan2αβ+=，求2cos2cos2cos ()αβαβ⋅--的值.6. 求2π4πcos cos55+的值.7. 求cos72cos36-的值.8. 求2π2πcos cos()cos()33ααα+-++的值.9. 计算cos40cos60cos80cos160+++的值.10. 已知sin sinsin()aαβαβ-=-，cos cossin()bαβαβ-=+，求sin()αβ-的值.积化和差与和差化积公式（二）班级________ 姓名_________1.化简2cos cos(60)cos(60)ααα-+︒-︒.2.化简22222sin sin ()sin ()33A A A ππ+++-.3.已知1sin sin =+βα，求βαcos cos +的取值范围.4.已知31cos cos -=+βα，21sin sin =+βα，求)cos(βα+的值.5.若βα,满足)2,0(πβα∈+，且βαc o s c o s +=a ，βαsin sin +=b ，)sin(βα+=c ，试确定c b a ,,的大小关系_________________________.6.若三角形ABC ∆满足B A B A cos cos sin sin +=+，则该三角形是（）.(A) 直角三角形 (B) 锐角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不能确定7.已知2π3αβ-=，且1cos cos 3αβ+=，求cos()αβ+的值.8. 设20,0πβα<<>，且65πβα=+，求βα22cos sin 2--=y 的最小值.9. 求证：2sin 2sin 21coscos 2cos cos x x n x n nx x x ⋅+=+++ .10.已知c b a c b a =+=+ββααsin cos ,sin cos，其中πβαk ≠±，Z k ∈，求证：2cos 2sin 2cosβαβαβα-=+=+c b a.。

高三数学积化和差与和差化积公式的应用习题精选精讲

三角函数式的化简要求是:项数最少\三角函数种类最少\函数次数最低\尽可能不带根号\ 能求值得要求出值. 一: 定义法例1.化简xx xx x x x x sin tan sin tan sin tan sin tan ∙+--∙解: 设点则且终边上一点为角,,),(22y x r OP x y x P +==.tan ,sin xy x r y x ==0)(222=-+-=+--=∙+--∙=∴x r y x r y y x r x r y ry x y r yx y r y x y r y x y 原式二: 弦切互化法例2.xx x x x x x 2222tan 1tan 1)cos 2tan tan (sin 2tan +-∙+∙+化简解: 原式x x x x x xx x x x x x x x x 2cos )cos 2sin21(2cos 2sin cos sin 1cos sin 1)2cos 2sin cos sin 1(2cos 2sin 22222∙+∙=+-∙∙+∙=x x xx x 2sin 22cos cos 12cos 2sin =∙∙=三: 变用公式例3.o o o o o o 15tan 50tan 50tan 25tan 25tan 15tan ∙+∙+∙化简解: 原式 15tan 50tan )50tan 15(tan 25tan ∙++=15tan 50tan )50tan 15tan 1)(5015tan(25tan ∙+-+∙= 115tan 50tan )50tan 15tan 1(=∙+∙-=说明: 公式βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(±=±在解题中运用非常灵活.常常变形为)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα ±=±来使用.四: 连锁反应法例5.o o 78sin 66sin 42sin 6sin 化简解: 原式12cos 24cos 48cos 6sin ∙∙∙=6cos 48cos 24cos 12cos 6sin 6cos ∙∙∙∙==1616cos 96sin 1616cos 48cos 24cos 12cos 12sin 21=====∙∙∙说明: 此题分子分母同乘以6cos ,从而连续逆用倍角公式,达到多次化角的目地. 五: 升降次法例6.y x y x y x 2cos 2cos )(cos )(cos 22∙--++化简解: 原式y x y x y x 2cos 2cos 2)22cos(12)22cos(1∙---+++=y x y x y x 2cos 2cos )]22cos()22[cos(211∙---++=12cos 2cos 2cos 2cos 1=∙-∙+y x y x 例7. x x 4cos 812cos 2183:+-化简解: 原式)12cos 2(81)1cos 2(218322-+--=x x )1cos 4cos 4(41cos 43)1cos 2(41cos 43242222+-+-=-+-=x x x x xx x x x 42242sin )cos 1(cos cos 21=-=+-六: 基本技巧例8 (1)θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1:++-+化简解: 原式)cos (sin cos 2)cos (sin sin 2cos sin 2cos cos sin 2sin 22sin )2cos 1(2sin )2cos 1(22θθθθθθθθθθθθθθθθ++=++=+++-=θtan = (2) .2cos 2sin ,2tan 的值求已知x x x +=解: x x x cos 2sin ,2tan =∴=1cos 2cos 41cos 2cos sin 22cos 2sin 222-+=-+=+∴x x x x x x x1tan 161sec 61cos 6222-+=-=-=x x x 511416=-+=角的变换角的变换，一般包括角的分解和角的组合，角的分解即把一个角分成几个角的和或差，而角的组合即把几个角通过和或差组合成一个角。

和差化积,积化和差公式

和差化积,积化和差公式一、引言在数学中，和差化积和积化和差是一类常用的公式，它们在代数运算中发挥着重要的作用。

本文将详细介绍和差化积和积化和差公式的定义、应用以及相关的例题，帮助读者更好地理解和掌握这一内容。

二、和差化积公式和差化积是将两个数的和或差转化为它们的乘积的方法。

其公式如下：1.两个数的和化为积：当两个数a和b相加得到c时，我们可以通过以下公式将其转化为积的形式：$c=a+b$则有：$a+b=(a+b)^2-b^2=a^2+2ab+b^2-b^2=a^2+2ab$2.两个数的差化为积：当两个数a和b相减得到c时，我们可以通过以下公式将其转化为积的形式：$c=a-b$则有：$a-b=(a-b)^2-a^2=a^2-2ab+b^2-a^2=-2a b+b^2$三、积化和差公式积化和差是将两个数的乘积转化为它们的和或差的方法。

其公式如下：1.两个数的积化为和：当两个数a和b相乘得到c时，我们可以通过以下公式将其转化为和的形式：$c=a b$则有：$a b=\f ra c{1}{4}[(a+b)^2-(a-b)^2]$2.两个数的积化为差：当两个数a和b相乘得到c时，我们可以通过以下公式将其转化为差的形式：$c=a b$则有：$a b=\f ra c{1}{4}[(a+b)^2-(b-a)^2]$四、应用举例下面通过几个实例来说明和差化积和积化和差公式的具体应用。

例题1将下面的式子用和差化积公式化简：$(a+b)^2-(a-b)^2$解答：根据和差化积公式，我们有：$(a+b)^2-(a-b)^2=(a^2+2a b+b^2)-(a^2-2a b+b^2)=4ab$因此，原式化简后为$4ab$。

例题2将下面的式子用积化和差公式化简：$12a b$解答：根据积化和差公式，我们有：$12a b=\f ra c{1}{4}[(12a+12b)^2-(12a-12b)^2]=\f ra c{1}{4}(144a^2+288ab+144b^2-144a^2+288ab-144b^2)=72ab$因此，原式化简后为$72a b$。

《三角函数的积化和差与和差化积公式》专题

《三角函数的积化和差与和差化积公式》专题2015年（）月（）日班级姓名想不付出任何代价而得到幸福，那是神话。

—— 徐特立①()cos αβ+= ；③()sin αβ+= ；②()cos αβ-= ； ④()sin αβ-= ； ①+②得()cos αβ++()cos αβ-= ；①-②得()cos αβ+-()cos αβ-= ；同理：③+④得()sin αβ++()sin αβ-= ；③-④得()sin αβ+-()sin αβ-= ；即><=1______________________cos sin βα><=2______________________sin cos βα><=3______________________cos cos βα><=4______________________sin sin βα 公式<1><2><3><4>叫做积化和差公式。

在积化和差的公式中，如果令αβθαβϕ+=-=，，则αθϕβθϕ=+=-22，。

把这些值代入积化和差的公式<1>中，就有 ()><-+=++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=-+52cos 2sin2sin sin sin sin 2122sin 22sin 212cos 2sinϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθ·∴·同样可得，><=-><=+><=-8_______________________cos cos 7_______________________cos cos 6_______________________sin sin ϕθϕθϕθ公式<5><6><7><8>叫做和差化积公式。

积化和差和差化积公式练习

积化和差和差化积公式练习1.删除问题段落2.改写每段话：1.正确答案为D，cos(A+B)-cos(A-B)=2sinA*sinB为差化积公式。

2.sin15°sin75°=1/2*sin(75°-15°)-1/2*sin(75°+15°)=1/4-1/4*cos(90°)=1/4.3.sin105°+sin15°=2sin60°cos45°=√3.4.sin37.5°cos7.5°=1/2(sin45°+sin30°)=√6-√2/4.5.cos2α-sin2β=cos2α-cos(π/2-2β)=2sin(α+2β)sin(α-2β)=-3/4.6.y=sinx-sinx/2=1/2*sinx的值域为[-1/2,1/2]。

7.cos275°+cos215°+cos75°cos15°=cos(360°-85°)+cos(360°-35°)+1/2(cos(90°+60°)+cos(90°-60°))=-1/2.8.cos(α+β)=(cosαcosβ-sinαsinβ)/(cosαcosβ+sinαsinβ)=1/2.9.y=2cosx/√3的最大值为√3.10.(1) 化简得(cosA+cosB+cosC)/2+(sinA+sinB+sinC)/2+(sin3A+sin3B+sin3C) /2；(2) 化简得 3sinAcosBcosC。

11.cosAsinC=sin(90°-AsinC)=sinB，由B=30°可得sinB的取值范围为[1/2,√3/2]。

12.(1) f(x)=-1/2cosx+1/2cos2x；(2) f(x)的最小值为-1/2.11.解析：$y=\sin 215^\circ+\cos 215^\circ+\cos 75^\circ\cdot \cos 15^\circ$sin 35^\circ+\cos 35^\circ+\cos 75^\circ \cdot \cos 15^\circ$2\cos 35^\circ+\cos 75^\circ \cdot \cos 15^\circ$答案：$2\cos 35^\circ+\cos 75^\circ \cdot \cos 15^\circ$12.解析：$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3 }}{2}$frac{1}{2}$答案：$-\frac{1}{2}$13.解析：$y=\frac{\cos(2x+\pi)+\cos(\frac{-\pi}{3})}{2}$frac{1}{2}\cos 2x$因为$-1\leq\cos 2x\leq 1$，所以$y_{\max}=\frac{1}{2}$答案：$\frac{1}{2}$14.原式$=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}$frac{\frac{2\sin A\cos B}{\cos(A-B)}}{1-\frac{\sin A\sin B}{\cos A\cos B}}$frac{2\sin A\cos B}{\cos(A-B)-\sin A\sin B}$答案：$\frac{2\sin A\cos B}{\cos(A-B)-\sin A\sin B}$。

3-积化和差与和差化积公式的应用习题精选精讲

三角函数式的化简要求是:项数最少\三角函数种类最少\函数次数最低\尽可能不带根号\ 能求值得要求出值. 一: 定义法例1.化简xx xx x x x x sin tan sin tan sin tan sin tan ∙+--∙解: 设点则且终边上一点为角,,),(22y x r OP x y x P +==.tan ,sin xy x r y x ==0)(222=-+-=+--=∙+--∙=∴x r y x r y y x r x r y ry x y r yx y r y x y r y x y 原式二: 弦切互化法例2.xx x x x x x 2222tan 1tan 1)cos 2tan tan (sin 2tan +-∙+∙+化简解: 原式x x x x x xx x x x x x x x x 2cos )cos 2sin 21(2cos 2sin cos sin 1cos sin 1)2cos 2sin cos sin 1(2cos 2sin 22222∙+∙=+-∙∙+∙=x x xx x 2sin 22cos cos 12cos 2sin =∙∙=三: 变用公式例3.o o o o o o 15tan 50tan 50tan 25tan 25tan 15tan ∙+∙+∙化简解: 原式 15tan 50tan )50tan 15(tan 25tan ∙++=15tan 50tan )50tan 15tan 1)(5015tan(25tan ∙+-+∙= 115tan 50tan )50tan 15tan 1(=∙+∙-=说明: 公式βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(±=±在解题中运用非常灵活.常常变形为)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα ±=±来使用.四: 连锁反应法例5.o o 78sin 66sin 42sin 6sin 化简解: 原式12cos 24cos 48cos 6sin ∙∙∙=6cos 48cos 24cos 12cos 6sin 6cos ∙∙∙∙==1616cos 96sin 1616cos 48cos 24cos 12cos 12sin 21=====∙∙∙说明: 此题分子分母同乘以6cos ,从而连续逆用倍角公式,达到多次化角的目地. 五: 升降次法例6.y x y x y x 2cos 2cos )(cos )(cos 22∙--++化简解: 原式y x y x y x 2cos 2cos 2)22cos(12)22cos(1∙---+++=y x y x y x 2cos 2cos )]22cos()22[cos(211∙---++=12cos 2cos 2cos 2cos 1=∙-∙+y x y x 例7. x x 4cos 812cos 2183:+-化简解: 原式)12cos 2(81)1cos 2(218322-+--=x x )1cos 4cos 4(41cos 43)1cos 2(41cos 43242222+-+-=-+-=x x x x xx x x x 42242sin )cos 1(cos cos 21=-=+-六: 基本技巧例8 (1)θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1:++-+化简解: 原式)cos (sin cos 2)cos (sin sin 2cos sin 2cos cos sin 2sin 22sin )2cos 1(2sin )2cos 1(22θθθθθθθθθθθθθθθθ++=++=+++-=θtan = (2) .2cos 2sin ,2tan 的值求已知x x x +=解: x x x cos 2sin ,2tan =∴=1cos 2cos 41cos 2cos sin 22cos 2sin 222-+=-+=+∴x x x x x x x1tan 161sec 61cos 6222-+=-=-=x x x 511416=-+=角的变换角的变换，一般包括角的分解和角的组合，角的分解即把一个角分成几个角的和或差，而角的组合即把几个角通过和或差组合成一个角。

5.5.4 和差化积与积化和差公式1xs

5.5.4 积化和差与和差化积公式1学习目标：1．理解积化和差公式与和差化积公式的推导过程；2．掌握积化和差公式与和差化积公式并能正确运用这些公式化简三角式、求某些三角比的值和证明三角恒等式.学习过程：问题1：不用计算器，计算24cos 247cosππ.一．积化和差公式：（1）=βαcos sin _________________；（2）=βαsin cos _______________________；（3）βαcos cos ⋅=___________________；（4）βαsin sin ⋅________________________.例1.求下列各式的值：（1）24sin 247sinππ=________________. （2）72sin cos 2424ππ=__________________. （3）75cos sin 2424ππ-=__________________.例2.求证x x x x x 2cos cos 3cos sin 3sin 333=+.二．和差化积公式：（1）____________________sin sin =+βα；（2）______________sin sin =-βα；（3）_________________cos cos =+βα；（4）________________cos cos =-βα.例3.求下列各式的值：（1）5sin sin 1212ππ+=_____________________. （2）cos()cos()33ππαα+--=________________.例4.求证：)sin()sin(cos cos 22βαβαβα-+-=-.例5 求证：在ABC ∆中，2sin 2sin 2sin41cos cos cos C B A C B A +=++.【课后作业】（化简、求值题都要求写出必要的步骤）1.求下列各式的值.（1）sin 5230'cos730'⋅ （2）cos9730'sin3730'⋅（3）sin3730'sin 730'⋅ （4）113cosπcos π124⋅2. 化简：ππcos()cos cos()33θθθ-⋅⋅+.3. 已知：2cos(2)3cos 0αββ++=，π,π,2k k αβ≠+∈Z ，求tan tan()ααβ⋅+的值.4. 已知3ππ1sin()cos()444x x --=-，求cos 4x 的值.5. 已知tan22αβ+=，求2cos2cos2cos ()αβαβ⋅--的值.6. 求2π4πcos cos55+的值.7. 求cos72cos36-的值.8. 求2π2πcos cos()cos()33ααα+-++的值.9. 计算cos40cos60cos80cos160+++的值.10. 已知sin sinsin()aαβαβ-=-，cos cossin()bαβαβ-=+，求sin()αβ-的值.。

积化和差与和差化积] · [基础] · [知识点+典型例题]

积化和差与和差化积知识讲解一、三角恒等变换的公式1.两角和与差的三角函数公式：sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=± cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=2.倍角公式sin 22sin cos ααα=；2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=-22tan tan 21tan ααα=-3sin 33sin 4sin ααα=-；3cos34cos 3cos ααα=-；323tan tan tan 313tan αααα-=- 3. 半角公式sin2α=cos 2α=1cos sin tan2sin 1cos ααααα-===+ 4.万能公式22tan2sin 1tan 2ααα=+；221tan 2cos 1tan 2ααα-=+；22tan2tan 1tan 2ααα=-5.积化和差公式1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-；1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ=+--；1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-；1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=-+--6.和差化积公式sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=；sin sin 2cossin22αβαβαβ+--=；cos cos 2cos cos 22αβαβαβ+-+=；cos cos 2sinsin 22αβαβαβ+--=- 二、公式的推导推导过程：sin()sin[()]sin cos()cos sin()αβαβαβαβ-=+-=-+-sin cos cos sin αβαβ=-cos()sin[()]sin[()()]22ππαβαβαβ+=-+=-+-sin()cos()cos()sin()cos cos sin sin()22ππαβαβαβαβ=--+--=+- cos cos sin sin αβαβ=-cos()sin[()]sin[()]22ππαβαβαβ-=--=-+ sin()cos cos()sin cos cos sin sin 22ππαβαβαβαβ=-+-=+ sin()sin cos cos sin tan()cos()cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-两边同时除以cos cos αβ可得tan()αβ+=tan tan 1tan tan αβαβ+-tan tan()tan tan tan()tan[()]1tan tan()1tan tan a αβαβαββαβαβ+---=+-==--+然后把上面各式中的β代换为α，则可得到二倍角公式 sin 2sin()sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+= 22cos 2cos()cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=⋅-⋅=-再利用22sin cos 1αα+=，可得：2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==-⋅-sin 2tan2cos2ααα===sin 2sinsin1cos 222tan2sin cos 2sin cos 222ααααααααα-=== sin 2cossinsin 222tan21cos cos2cos cos222ααααααααα===+ 【说明】这里没有考虑cossin022αα==，实际处理题目的时候需要把等于０的情况分出来单独讨论一下．三、主要方法1.倍角、半角、和差化积、积化和差等公式的运用1）并项功能：2）升次功能3）降次功能4）一个重要的构造令（）2221sin 2sin cos 2sin cos (sin cos )ααααααα±=+±=±2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-221cos 21cos 2cos ,sin 22αααα+-==22sin cos cos )ba b a b αααα+=++sin β=cos β=cos cos sin )αβαβ+sin β=可知：sin cos a b αα+2.三角变换中常用的数学思想方法技巧有：1）角的变换：和、差、倍、半、互余、互补的相对性，有效沟通条件与结论中角的差异，比如：3015453060452︒︒=︒-︒=︒-︒=, ()()22αααββαββ=-+=+-=⋅()()()()ππ2()()44ααβαβαββααα=++-=+--=+--()()222βαβαβαααβα⎛⎫-=-+=-=-- ⎪⎝⎭ππππππ244362αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=++-=++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭π3ππ2ππ5ππ443366αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=++-=++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2）函数名称的变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数，在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名；有时可以使用万能公式将所有函数名化为正切； 3）常数代换：在三角函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如：2222ππππ1sin cos sec tan sintan 2sin 2464αααα=+=-===； 4）幂的变换：降幂是三角变换时常用的方法常用的降幂公式有：21cos2cos 2αα+=，21cos2sin 2αα-=但降幂并非绝对，有时也需要对某些式子进行升幂处理比如：221cos22cos ,1cos22sin αααα+=-=；21sin 2(sin cos )ααα±=±；5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用，例如：tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±⋅⋅； 6）辅助角公式的运用：在求值问题中，要注意辅助角公式() sin cos y a b αααϕ=+=+的应用，其中tan b aϕ=，ϕ所在的象限由,a b 的符号确定．典型例题一．选择题（共10小题）1．（2018春•上饶期末）的值为（）A．B．C．D．【解答】解：=cos（π+）=﹣cos=，故选：B．2．（2017•成安县校级模拟）已知，则cos（60°﹣α）的值为（）A．B．C．D．﹣【解答】解：cos（60°﹣α）=sin[90°﹣（60°﹣α）]=sin（30°+α）=，故选：C．3．（2017秋•通州区期末）sin 330°=（）A．﹣B．C．﹣D．【解答】解：sin330°=sin（360°﹣30°）=﹣sin30°=﹣，故选：A．4．（2018春•福州期中）若cos（α﹣2π）＞0，sin（π﹣α）＜0，则角α的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵cos（α﹣2π）=cosα＞0，sin（π﹣α）=sinα＜0，则角α的终边在第四象限，故选：D．5．（2017秋•南山区期末）函数y=sin（2x+）•cos（x﹣）+cos（2x+）•sin（﹣x）的图象的一条对称轴方程是（）A．x= B．x=C．x=πD．x=【解答】解：y=sin（2x+）•cos（x﹣）+cos（2x+）•sin（﹣x）=sin（2x+）•cos（x﹣）﹣cos（2x+）•sin（x﹣）=sin[（2x+）﹣（x﹣）]=sin（x+）=cosx．∴原函数的对称轴方程为x=kπ，k∈Z．取k=1，得x=π．故选：C．6．（2018春•娄底期末）已知α，β均为锐角，cos（α+β）=﹣，sin（β+）=，则cos （α+）=（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：∵α，β均为锐角，cos（α+β）=﹣，sin（β+）=，∴α+β∈（，π），β+∈（，），可得：cos（β+）∈（﹣，），∴sin（α+β）==，cos（β+）=±=﹣，或（＞舍去），∴cos（α+）=sin（﹣α）=sin[（β+）﹣（α+β）]=sin（β+）cos（α+β）﹣cos（β+）sin（α+β）]=×（﹣）﹣（﹣）×=．故选：A．7．（2018春•嘉兴期末）函数f（x）=sinxcosx的最小正周期为（）A．1 B．2 C．πD．2π【解答】解：由题意得，f（x）=sinxcosx=×2sinxcosx=sin2x，所以函数的最小正周期为=π，故选：C．8．（2017秋•马鞍山期末）sin215°﹣cos215°的值为（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：sin215°﹣cos215°=﹣（cos215°﹣sin215°）=﹣cos30°=﹣，故选：C．9．（2015秋•北京期末）已知，，，则tanα的值是（）A．B．C．D．【解答】解：因为，，，又sin2α+cos2α=1，所以sinα=﹣，cosα=，所以tanα==．故选：B．10．（2017春•简阳市期末）已知cos α=，α∈（，），则cos等于（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：∵已知cos α=，α∈（，），∴∈（，π），则cos=﹣=﹣=﹣，故选：B．二．填空题（共10小题）11．（2016•南昌县自主招生）已知α是第二象限的角，tanα=﹣，则sin（90°+α）=．【解答】解：因为α是第二象限的角，tanα=﹣，所以α=2kπ+，k∈Z，所以sin（90°+α）=cosα=cos=﹣．故答案为：﹣．12．（2015秋•南京校级月考）比较大小：cos（﹣5080）＜cos（﹣1440）【解答】解：cos（﹣5080）=cos（﹣720°+212°）=cos（212°）=cos（180°+32°）=﹣cos32°．cos（﹣1440）=cos144°=cos（180°﹣36°）=﹣cos36°．由于cos32°＞cos36°，∴﹣cos32°＜﹣cos36°，∴cos（﹣5080）＜cos（﹣1440）．故答案为：＜．13．（2018春•连云港期末）求值：sin300°=﹣．【解答】解：sin300°=sin（180°+120°）=﹣sin120°=﹣sin60°=﹣，故答案为：﹣．14．（2018•黄浦区一模）已知sin（α+）=，α∈（﹣，0），则tanα=﹣2．【解答】解：∵sin（α+）=cosα，sin（α+）=，∴cosα=，又α∈（﹣，0），∴sinα=﹣，∴tanα==﹣2．故答案为：﹣2．15．（2018春•洛南县期末）cos80°cos35°+sin80°sin35°=．【解答】解：cos80°cos35°+sin80°sin35°=cos（80°﹣35°）=cos45°=．故答案为：16．（2017秋•通州区期末）已知tanα=2，则tan（α+）=﹣3．【解答】解：∵tanα=2，∴tan（α+）===﹣3，故答案为：﹣3．17．（2017秋•南阳期末）已知：，则cos2α+cos2β的取值范围是，．【解答】解：∵，∴cos2α+cos2β=1﹣2sin2α+2cos2β﹣1=2（sinα+cosβ）（cosβ﹣sinα）=3（cosβ﹣sinα），∵由，得，，易得：，，∴，，∴，．故答案为：，．18．（2017春•淮安期末）2sin15°cos15°=．【解答】解：原式=sin30°=，故答案为：．19．（2013春•上海校级期末）已知角α的终边在射线y=﹣x（x≤0）上，则sin2α+tan=．【解答】解：∵角α的终边在射线y=﹣x（x≤0）上，∴取点（﹣3，4），则r==5，则sinα=，cosα=，则sin2α+tan═2sinαcosα+=2×+=﹣+2=，故答案为：20．（2013•普陀区二模）若且sin2θ＜0，则=3．【解答】解：∵，∴cos2θ=1﹣sin2θ=∵sin2θ=2sinθcosθ＜0，∴cosθ=﹣（舍正）因此，====3故答案为：3三．解答题（共20小题）21．（2013春•罗庄区校级月考）已知，计算：（1）sin（5π﹣α）；（2）；（3）；（4）．【解答】解：因为sin（π+α）=﹣，所以﹣sinα=﹣，即sinα=，（1）sin（5π﹣α）=sin（π﹣α）=sinα=；（2）sin（）=cosα==；（3）cos（）=cos（）=﹣sinα=﹣；（4）tan（）===．22．（2018春•石河子校级月考）已知cos（15°+α）=，α为锐角，求：．【解答】解：∵cos（15°+α）=，α为锐角，∴sin（15°+α）=，∴cot（15°+α）==．∴====﹣=．23．（1977•福建）求cos（﹣840°）的值．【解答】解：cos（﹣840°）=cos840°=cos（2×360°+120°）=．24．已知sin（540°+α）=﹣，且α∈（0，90°），求cos（α﹣540°）的值．【解答】解：∵sin（540°+α）=sin（180°+α）=﹣sinα=﹣，∴sinα=，∵α∈（0，90°），∴cosα==，∴cos（α﹣540°）=cos（540°﹣α）=cos（180°﹣α）=﹣cosα=﹣．25．求值：．【解答】解：===．26．已知函数f（x）=，（1）求f（x）的定义域；（2）若sina=且cosa=，求f（a）．【解答】解：（1）由函数f（x）===，可得cosx≠0，∴x≠kπ+k∈z，故函数的定义域为[x|x≠kπ+k∈z }．（2）由sina=且cosa=，可得f（a）=2（sina+cosa）=2（+）=．27．（2018•玉溪模拟）已知tan（α+）=﹣3，α∈（0，）．（1）求tanα的值；（2）求sin（2α﹣）的值．【解答】解：（1）∵tan（α+）=﹣3，α∈（0，），∴tanα＞0，且=﹣3，求得tanα=2．（2）∵sin2α===，cos2α===﹣，∴sin（2α﹣）=sin2α•﹣cos2α•=+=．28．（2017秋•大庆月考）已知α∈（，π），sinα=．（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值．【解答】解：（1）∵α∈（，π），sinα=．∴cosα=﹣=﹣，∴sin（+α）=sin cosα+cos sinα=×（﹣+）=﹣．（2）由（1）可得：sin2α=2sinαcosα=﹣，cos2α=1﹣2sin2α=故cos（﹣2α）=cos cos2α+sin sin2α=（﹣）×+（﹣）=﹣．29．（2017•鼓楼区校级二模）已知角α的终边上有一点p（1，2），（1）求tan（）的值；（2）求sin（2）的值．【解答】解：根据题意，角α的终边上有一点p（1，2），即x=1，y=2，r=sinα=．cos，tan∴，，（1）tan（）=；（2）===．30．（2013•门头沟区一模）已知函数f（x）=sin2x+cosxcos（﹣x）．（Ⅰ）求f （）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及值域．【解答】解：（I）由已知，得…（2分）==…（5分）（II）f（x）=sin2x+sinxcosx===函数f（x）的最小正周期T=π…（11分）值域为[，]…（13分）31．（2013•门头沟区一模）已知：函数f（x）=sin2x+cosxcos（﹣x）．（Ⅰ）求函数f（x）的对称轴方程；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sin2x+cosxcos（﹣x）=sin2x+cosxsinx=…（5分）==sin（2x﹣）+…（7分）函数关于直线，k∈Z对称所以对称轴方程为x=，k∈Z …（9分）（Ⅱ）当，时，2x，由函数图象可知，的sin（2x﹣）最大值为1，最小值为﹣…（12分）所以函数f（x）的最大值为，最小值为0 …（13分）32．（2013春•虹口区校级期末）已知tanα=2（π＜α＜2π）（1）求sin2α，cos2α，tan2α的值；（2）求的值．【解答】解：（1）sin2α=2sinαcosα=2•=2×=，cos2α=cos2α﹣sin2α===﹣，tan2α===﹣．（2）=====﹣33．若α∈（π，π），tanα=，求tan．【解答】解：∵α∈（π，π），∴∈（，），∴tan＜0，∵tanα==，∴5tan2+24tan﹣5=0，解得tan=﹣5，或tan=（舍去），∴tan=﹣5．34．已知cosθ=﹣，且180°＜θ＜270°，求tan的值．【解答】解：∵180°＜θ＜270°，∴90°＜＜135°，∵cosθ=﹣=1﹣2sin2=2cos2﹣1，∴sin=，cos=﹣，∴tan==﹣2．35．已知sinx=，角x终边在第一象限，求tanx的值．【解答】解：∵sinx=，角x终边在第一象限，∴cosx=∴tan==2+．36．利用两角和与差的正弦、余弦公式证明：sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α﹣β）]；cosαsinβ=[sin（α+β）﹣sin（α﹣β）]；cosαsinβ=[cos（α+β）+cos（α﹣β）]；sinαcosβ=[cos（α+β）﹣cos（α﹣β）]．【解答】证明：∵sin（α+β）+sin（α﹣β）=sinαcosβ+cosαsinβ+sinαcosβ﹣cosαsinβ=2sinαcosβ，∴sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α﹣β）]．同理可证，cosαsinβ=[sin（α+β）﹣sin（α﹣β）]；cosαsinβ=[cos（α+β）+cos（α﹣β）]；sinαcosβ=[cos（α+β）﹣cos（α﹣β）]．37．化简：．【解答】解：cosα+cosβ=2cos cos，二倍角余弦：2cos2α﹣1=cos2α，可得1+cos2α=2cos2α，∴===2co sα．38．化简：cos•cos．【解答】解：cos•cos===．39．设＞α＞β＞0，求证：α﹣β＞sinα﹣sinβ．【解答】解：当＞＞时，sinx＜x．∵＞α＞β＞0，∴sinα﹣sinβ=2＜2＜=α﹣β．40．计算：sin69°﹣sin3°+sin39°﹣sin33°．【解答】解：原式=（sin69°+sin39°）﹣（sin3°+sin33°）=2sin cos﹣2sin cos=2sin54°cos15°﹣2sin18°cos15°=2cos15°（sin54°﹣sin18°）=2cos15°•2cos sin=2cos15°•2cos36°sin18°=2cos15°•=2cos15°•=2cos15°•=cos15°•=cos15°=cos（45°﹣30°）=+=。

积化和差和差化积专题(精选)

积化和差、和差化积专题三角函数的积化和差公式:积化和差公式是由正弦或余弦的和角公式与差角公式通过加减运算推导而得个公式•其中前两可合并为一个：三角函数的和差化积公式：和差化积公式是积化和差公式的逆用形式，要注意的是：①其中前两个公式可合并为一个：sin+sin=2 sincos②积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换元”思想•③只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积④合一变形也是一种和差化积•⑤三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解，因此，因式分解在代数中起什么作用，和差化积公式在三角中就起什么作用•积化和差与积差化积是一种孪生兄弟，不可分离，在解题过程中，要切实注意两者的交替使用•如在一般情况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑降幕公式，然后应用和差化积、积化和差公式交替使用进行化简或计算•和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值•正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段•典型例题：例1 .把下列各式化为和或差的形式:(]J2cos(oe - 45* )sin(oe + 45^ ") (2)sin6! cos3a例 2 .求值：sin6 ° sin42 ° sin66° sin78例 4 .求值：cos24°- sin6°- cos72例 5 .求tan20 ° + 4sin20 ° 的值.例6 .求值:例7 .已知sin(A+B)= , sin(A-B)=―,求值:2 2例8.求sin 20° +cos 80° +sin20 ° cos80 ° 的值.例9 .试证：cos2(A-)+cos 2(B - )-2cos(A-B)cos(A-)cos(B-) 的值与无关专题训练、基础过关n1. 函数y= cos x+ cos x + 3的最大值是B. .3C. 22. 化简1+ sin 4 a COS 4 a1+ sin 4 a cos 4a的结果是( )仝.3( )A . cot 2 a C. cot aB. tan 2 aD. tan a 13. 若cos( a+ ®cos( a—® = 3，贝卩cos2a—sin2^ 等于C.i4. sin 20 cos 70 + cos 40 cos 80 的值为4求sin( a+ 3的值.、探究与拓展5.A ・4 sin 35 — sin 25 cos 35 — cos的值是6.给出下列关系式：① sin 5 0+ sin 3 0= 2sin 8 0cos 2 0;②cos 3 0— cos 5 0= — 2sin 4 Osin1③ sin 3 0— sin 5 =— ^cos 4 O os 0； ④ sin 5 0+ cos 3 0= 2sin 4 0cos 0 1⑤ sin xsin y = ^[cos(x — y) — cos(x + y)]. 其中正确的序号是 _________ . 7.sin 40 1 + 2cos 40 ° 2cos 240 °+ cos 40 — 1.& 在厶 ABC 中，求证：sin A + sin B + sin C, ABC=4cos ^cos ^cos ^.D.二、能力提升9. cos 2a — cos acos(60 + a )+ sin 2(30 °- a 的值为()1331CaDa10.已知 cos 2 a — cos 2 3= m , 那么 sin( a+ 3) sin( a — 3)=.11.化简:tan 20 + 4sin 20 . °12.已知 1cos a — cos 3= 2，sin a — sin 3=— 13, 13.已知△ ABC 的三个角 A , B , C 满足：A + C = 2B ,+ g~C2cos B，求 cos4的值.专题训练二n n6. 函数 y = sin (x + 3) — si n x(x € [0 , ^])的值域是( )A . [— 2,2]B. — 1, -2C.[1, 1] D. 1手7. cog75 ° + cos ?15 ° + cos75 °cos15 的值等于 ___ .2 n 18 .已知 a —片丁，且 cos a + cos 3= ?,_则 COS ( a + ◎等于 _____ . 才)的最大值是10•化简下列各式： cosA + cos 120。

积化和差与和差化积-简单难度-习题

积化和差与和差化积一、选择题（共12小题；共60分）1. 计算 ()_A. B. C. D.2.A. B.C. D.3. 等于A. B. C. D.4. 函数的最大值是A. B. C. D.5. 化为和差的结果是A. B.C. D.6. 已知，则A. B. C. D.7. 若函数，则的最大值为A. B. C. D.8. 函数的最小正周期是A. B. C. D.9. 下列函数中周期为 ()DA. B.C. D.10. 的值是A. B. C. D.11. 等于A. B. C. D.12. 已知，且，则A. B. C. D.二、填空题（共5小题；共25分）13. /_D_Dd_________()(/)√ ^ _D_Dd_14. 函数 __________左_巨_巬_恄_恆_恈_15. 已知，是函数内的两个零点，则^ ()()D_Dd_____16. 已知，则〖〗^ 〖〗^〖〗^旤_旦_旨17. ()⃗⃗⃗()_D三、解答题（共5小题；共65分）18. 设函数，其中向量，且，求19. 已知的值．20. 已知（1）求的值；（2）求的值．21. 计算的值．22. 已知函数（其中，是图象的任意两条对称轴，且/___．（1）求（2）若，求的值．答案第一部分1. D2. D3. D 【解析】．4. B5. B6. D 【解析】因为．7. B8. C9. C10. A【解析】，.两式相加得：.11. A 【解析】12. C 【解析】由得，因为，所以，所以，所以．第二部分13. ，14.【解析】化简原式得，故周期．15.【解析】，是函数在内的两个零点，可得，即为，即有，由，可得，可得，由，可得，由，即有．16. ，【解析】因为，，所以，．17.【解析】第三部分18. ．由题意得，所以．因为，所以，所以，解得．19.20. （1）（2）21.22. （1）因为．所以．因为．所以．所以．又因为．所以．所以．（2）因为，所以．又因为，所以．。

积化和差与和差化积公式的应用习题精选精讲精编版

1三角函数式的化简要求是:项数最少\三角函数种类最少\函数次数最低\尽可能不带根号\ 能求值得要求出值. 一: 定义法例1. 化简 xx xx x x x x sin tan sin tan sin tan sin tan ∙+--∙ 解: 设点则且终边上一点为角,,),(22y x r OP x y x P +==.tan ,sin xyx r y x ==0)(222=-+-=+--=∙+--∙=∴x r y x r y y x r x r y ry x y r y x y r y x y r y x y 原式二: 弦切互化法例2. xx x x x x x 2222tan 1tan 1)cos 2tan tan (sin 2tan +-∙+∙+化简解: 原式x x x x x xx x x x x x x x x 2cos )cos 2sin 21(2cos 2sin cos sin 1cos sin 1)2cos 2sin cos sin 1(2cos 2sin 22222∙+∙=+-∙∙+∙= x x xx x 2sin 22cos cos 12cos 2sin =∙∙=三: 变用公式例3. o o o o o o 15tan 50tan 50tan 25tan 25tan 15tan ∙+∙+∙化简解: 原式 15tan 50tan )50tan 15(tan 25tan ∙++= 15tan 50tan )50tan 15tan 1)(5015tan(25tan ∙+-+∙=115tan 50tan )50tan 15tan 1(=∙+∙-=说明: 公式βαβαβαtan tan 1tan tan )tan( ±=±在解题中运用非常灵活.常常变形为)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα ±=±来使用. 四: 连锁反应法例5. o o 78sin 66sin 42sin 6sin 化简解: 原式12cos 24cos 48cos 6sin ∙∙∙=6cos 48cos 24cos 12cos 6sin 6cos ∙∙∙∙= =1616cos 96sin 1616cos 48cos 24cos 12cos 12sin 21=====∙∙∙说明: 此题分子分母同乘以 6cos ,从而连续逆用倍角公式,达到多次化角的目地. 五: 升降次法例6. y x y x y x 2cos 2cos )(cos )(cos 22∙--++化简解: 原式y x y x y x 2cos 2cos 2)22cos(12)22cos(1∙---+++=y x y x y x 2cos 2cos )]22cos()22[cos(211∙---++=212cos 2cos 2cos 2cos 1=∙-∙+y x y x例7. x x 4cos 812cos 2183:+-化简解: 原式 )12cos 2(81)1cos 2(218322-+--=x x )1cos 4cos 4(41cos 43)1cos 2(41cos 43242222+-+-=-+-=x x x x x x x x x 42242sin )cos 1(cos cos 21=-=+- 六: 基本技巧例8 (1) θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1:++-+化简解: 原式)cos (sin cos 2)cos (sin sin 2cos sin 2cos cos sin 2sin 22sin )2cos 1(2sin )2cos 1(22θθθθθθθθθθθθθθθθ++=++=+++-= θtan = (2) .2cos 2sin ,2tan 的值求已知x x x += 解: x x x cos 2sin ,2tan =∴=1cos 2cos 41cos 2cos sin 22cos 2sin 222-+=-+=+∴x x x x x x x1tan 161sec 61cos 6222-+=-=-=xx x511416=-+= 角的变换角的变换，一般包括角的分解和角的组合，角的分解即把一个角分成几个角的和或差，而角的组合即把几个角通过和或差组合成一个角。

第14讲：三角函数(二)和差化积与积化和差作业

第十四讲三角函数（二）和差化积与积化和差课后作业【1】已知124sin(),sin(),0,0,1352m παβαβαβαβ+=-=>>+<且，求tan 2α。

【2】在ABC 中，求证：1sinsin (1sin )2222A B C ≤-.【3】在ABC 中，求证：1sin sin sin 2228A B C ≤.【4】求和：sin sin()sin(2)sin((1))n ααβαβαβ++++++-【5】已知sin cos sin αβαβ++=，求tan cot αβ的值。

第十四讲三角函数（二）和差化积与积化和差参考答案【1】已知124sin(),sin(),0,0,1352m παβαβαβαβ+=-=>>+<且，求tan 2α。

【解析】0,0,221212sin(),cos()5tan()135434sin(),cos()tan()55316tan 2=tan(+=63ππαβαβαβαβαβαβαβαβααβαβ<+<-<-<+=+=+=-=--=+=-+-由可得，由可得，故）【2】在ABC 中，求证：1sinsin (1sin )2222A B C ≤-. 【解析】11sin sin (cos cos )(cos cos )22222222A B A B A B A B A B +--+=--=- 由于cos 1cos cos 22222A B A B C C π-+≤=，（-）=sin 所以1sinsin (1sin )2222A B C ≤-，得证。

【3】在ABC 中，求证：1sin sin sin 2228A B C ≤.【解析】1sin sin sin (cos cos )sin 2222222A B C A B A B C -+=- 1(1cos )sin 222A B C +≤- 1(1sin )sin 222C C ≤- 21(1(12sin ))8218C =--≤ 【4】求和：sin sin()sin(2)sin((1))n ααβαβαβ++++++- 【解析】111k,sin(+k )sin (cos(+(k+))cos(+(k-)))2222βαβαβαβ=--对任意整数 k=1,2,3n-1n 令，，，将个式子求和有1111sin sin()sin(2)sin((1))sin =-cos ()-cos 22222n n βααβαβαβαβαβ++++++-+--（）（（）（））所以=2k sin sin()sin(2)sin((1))=nsin n βπααβαβαβα++++++-时，；11cos -cos ()222k sin sin()sin(2)sin((1))=2sin 2n n αβαββπααβαβαββ-+-≠++++++-（）（）时，【5】已知sin cos sin αβαβ++=，求tan cot αβ的值。

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