第4章 弯曲应力(1)分析
孙训方材料力学第五版1课后习题答案
第二章轴向拉伸和压缩2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6 2-7 页 2-8 2-9 下横截面上的轴力，并作轴力图。
2-1 试求图示各杆 1-1 和 2-2 横截面上的轴力，并作轴力图。
（a）解：解；；（b）解：解；；（c）解：解；。
(d) 解：。
返回上的轴力， 2-2 试求图示等直杆横截面 1-1，2-2 和 3-3 上的轴力，并作轴力图。
并作轴力图。
若横截面面积上的应力。
上的应力。
，试求各横截面解：返回 2 -3 上的轴力，试求图示阶梯状直杆横截面 1-1，2-2 和 3-3 上的轴力，并作轴力图。
作轴力图。
若横截面面积，，，并求各横截面上的应力。
并求各横截面上的应力。
解：返回图示一混合屋架结构的计算简图。
屋架的上弦用钢筋混凝土制成。
2-4 图示一混合屋架结构的计算简图。
屋架的上弦用钢筋混凝土制成。
下面的拉杆和中间竖向撑杆用角钢构成，75mm× 的等边角钢。
拉杆和中间竖向撑杆用角钢构成，其截面均为两个75mm×8mm 的等边角钢。
已知屋面承受集度为应力。
应力。
的竖直均布荷载。
的竖直均布荷载。
试求拉杆 AE 和 EG 横截面上的解： 1）求内力=取 I-I 分离体得（拉）取节点 E 为分离体，故 2）求应力（拉）75×8 等边角钢的面积 A=11.5 cm2(拉)（拉）返回2-5(2-6) 图示拉杆承受轴向拉力 5(2-，杆的横截面面积。
表示斜截面与横截面的夹角，30 ，45 ，60 ，90 时如以表示斜截面与横截面的夹角，试求当各斜截面上的正应力和切应力，并用图表示其方向。
各斜截面上的正应力和切应力，并用图表示其方向。
解：返回一木桩柱受力如图所示。
的正方形， 2-6(2-8) 一木桩柱受力如图所示。
柱的横截面为边长 200mm 的正方形，材料 6(2GPa。
如不计柱的自重，试求：可认为符合胡克定律，可认为符合胡克定律，其弹性模量 E=10 GPa。
材料力学第四章平面弯曲
得
∫ A ydA =0
M
dA
z
y z ζdA
My
横截面对中性轴 zdA 的面积矩为零， A 中性轴过形心。 E yzdA 0
A
y
Iyz =0——梁发生平面弯曲的条件
E I E 2 ∫ AσdA· z ∫ A y dA = Mz= y = ρ ρ 1 Mz = EIz —— 梁的弯曲刚度 中性层曲率公式 EI ρ z
y
m MB=-40kN· m MD=22.5kN· B M y B截面 上部受拉、下部受压 tBmax B t max 21.4MPa Iz B yt max 100mm B M y I z 186.6 106 m 4 B B c max 38.6MPa B c max yc max 180mm Iz
max
FQ S
* z max
Izd
d FQ 4 FQ 12 4 d 3 A d 64
3
d/2
z
max
四、薄壁圆环截面梁 中性轴处：
r0
z
max 2
FQ A
max
例 如图所示一T形截面。某截面上的剪力FQ=50kN，与y 轴重合。试求腹板的最大切应力，并画出腹板上的切应力分布图。
1
* FQ S z 1
I zd
4.13MPa
例 一矩形截面外伸梁，如图所示。现自梁中1、2、 3、4点处分别取四个单元体，试画出单元体上的应力，并 写出应力的表达式。
q
1 2 h/4 4 3
z l/4 b
l/4
l
解： (1)求支座反力:
FRA
FRB
1 l/4
第四章--切应力分析
第四章弹性杆横截面上的切应力分析——教学方案第四章弹性杆横截面上的切应力分析对于实心截面杆件以及某些薄壁截面杆件，当其横截面上仅有扭矩(M x)或剪力(F Qy或F Qz)时，与这些内力分量相对应的分布内力，其作用面与横截面重合。
这时分布内力在一点处的集度，即为切应力。
分析与扭矩和剪力对应的切应力的方法不完全相同。
对于扭矩存在的情形，依然借助于平衡、变形协调与物性关系，其过程与正应力分析相似。
对于剪力存在的情形，在一定的前提下，则仅借助于平衡方程。
本章重点介绍圆截面杆在扭矩作用下其横截面切应力以及薄壁杆件的弯曲切应力分析。
§4-1圆轴扭转时横截面上的切应力工程上将传递功率的构件称为轴，且大多数情形下均为圆轴。
当圆轴承受绕轴线转动的外扭转力偶作用时(图4-1)，其横截面上将只有扭矩一个内力分量，轴受扭时，其上的外扭转力偶矩M e （单位为Nm ）与轴传递的功率P （单位为kW ）和轴的转速n （单位为r/min ）有如下关系：{}{}{}min/.9549r kW m N e n P M = （4-1）不难看出，受扭后，轴将产生扭转变形，如图4-2b 所示。
圆轴上的每个微元(例如图4-2a 中的ABCD)的直角均发生变化，这种直角的改变量即为切应变，如图4-2c 所示。
这表明，圆轴横截面和纵截面上都将出现切应力(图中AB 和CD 边对应着横截面；AC 和BD 边则对应着纵截面)，分别用τ和τ'表示。
应用平衡关系不难证明：ττ'-= （4-2）这一关系称为切应力互等定理或切应力成对定理。
1. 平面假设及变形几何关系 变形协调方程如图4-3a 所示受扭圆轴，与薄圆筒相似，如用一系列平行的纵线与圆周线将圆轴表面分成一个个小方格，可以观察到受扭后表面变形有以下规律：(1) 各圆周线绕轴线相对转动一微小转角，但大小，形状及相互间距不变；(2) 由于是小变形，各纵线平行地倾斜一个微小角度γ，认为仍为直线；因而各小方格变形后成为菱形。
孙训方第五版材料力学(I)第四章
第四章 弯曲应力
Ⅱ. 剪力方程和弯矩方程· 剪力图和弯矩图 剪力方程和弯矩方程实际上是表示梁的横截面上的剪 力和弯矩随截面位置变化的函数式，它们分别表示剪力和 弯矩随截面位置的变化规律。显示这种变化规律的图形则
分别称为剪力图和弯矩图。
27
五邑大学土木建筑系：材料力学
第四章 弯曲应力
例题4-4
图a所示悬臂梁受集度为q的满布均布荷载
15
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第四章 弯曲应力
2. 此梁的约束力亦可将梁在中间铰C处拆开，先利用
CB段梁作为分离体求约束力FBy和AC段梁在中间铰C处作用
在CB段梁上的FCx和FCy，然后利用AC段梁作为分离体邑大学土木建筑系：材料力学
第四章 弯曲应力
3. 显然可见，作用在此梁CB段上的荷载是要通过中
9
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第四章 弯曲应力
(2) 梁的基本形式 悬臂梁
简支梁
外伸梁
10
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第四章 弯曲应力
(3) 静定梁和超静定梁
在竖直荷载作用下，图a，b，c所示梁的约束力均可由
平面力系的三个独立的平衡方程求出，称为静定梁。
图d，e所示梁及其约束力不能单独利用平衡方程确定，
36
Fa FB l
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第四章 弯曲应力
2. 列剪力方程和弯矩方程 此梁上的集中荷载将梁分隔成AC和CB两段，两段内
任意横截面同一侧梁段上的外力显然不同，可见这两段梁
的剪力方程和弯矩方程均不相同，因此需分段列出。
F
AC段梁
FS(x)
M x
37
Fb 0 x a FS x FA l Fb M x FA x x 0 x a l
平面弯曲1(内力及内力图)
ΙΙ. ΙΙ. 梁的计算简图
一、载荷和约束力的类 型
1.集中力 2.集中力偶 3.分布力
F
m
q
二、梁的支座类型
1.固定铰支座
2.活动铰支座
3.固定端
三、梁的类型
1.简支梁
2.外伸梁 3.悬臂梁
约束力不超过三个， 以上三种梁统称为 : 静定梁（约束力不超过三个， 可由平衡方程求解。） 可由平衡方程求解。） 2
11
由外力写内力
力引起正剪力； 1.相对于横截面来说，左 段向上、右段向下的外 力引起正剪力； 相对于横截面来说， 段向上、 反之则反。 反之则反。
2.相对于横截面来说，左 、右段向上的外力引起 正弯矩； 相对于横截面来说， 正弯矩； 反之则反。 反之则反。
3.相对于横截面来说，外 力矩或外力偶，左段顺 时针转， 相对于横截面来说， 力矩或外力偶， 时针转， 反之则反。 右段逆时针转引起正弯 矩；反之则反。
3 .根据方程作图
Pa (a<x<l) l Pa (a ≤ x ≤ l ) M = FB ( l − x ) = (l − x ) l
Pa l
x
0
+
M
Pab l
8
例二、 作图示梁的剪力图和弯矩图，并标出控制点的数据。 例二、 作图示梁的剪力图和弯矩图，并标出控制点的数据。 解：
FA = FB = ql 2
18
例. 作图示梁的Fs、M图 作图示梁的F
y
解：
Fa Fa FA = (↓),FB = + F（↑） l l
x1
A
B
x2
C
FxBiblioteka axlAB段
Fa Fs = − l Fa M=− x l
第四章 弯曲
第三节 拉弯
一、拉弯的基本原理
1.拉弯的定义：型材零件在弯曲过程中施加一定的拉力，使其产生拉伸 弯曲变形，简称拉弯。 2.拉弯的过程
(a)预拉夹紧毛料
(b)沿拉弯模弯曲毛料 图1-18 拉弯的过程
(c)补拉成形
第三节 拉弯
一、拉弯的基本原理
3.拉弯的基本原理：是在毛料弯曲的同时，加以切向拉力，改变了毛料 断面内的应力状态，减小或基本消除弯曲回弹，从而提高零件的准确度。
（1）压弯时，材料产生外拉内压，中间不受拉也不受压。
（2）弯曲变形受最小弯曲半径的限制和回弹的影响。
第一节 压弯
一、压弯原理及变形特点
3.弯曲力的计算 弯曲力与下列因素有关： （1）金属的力学性能。 （2）毛料的厚度和宽度。 （3）弯曲时的变形程度。 （4）其他因素。
第一节 压弯
一、压弯原理及变形特点
机械弯管的方法、芯棒的作用。
第一节 压弯
一、压弯原理及变形特点
弯曲的定义 把板料、管材或型材等弯成一定曲率或角度，并得到一定形状零件的 冲压工序称为弯曲。 弯曲零件种类很多，如汽车纵梁、自行车车把、仪表电器壳等。 最常见的弯曲是在压力机上用弯曲模压弯，此外还有折弯机上的折弯、
拉弯机上的拉弯、辊弯机上的辊弯以及辊压成形等。
弯曲模、圆管形件弯曲模、Z形件弯曲模。
4.自动弯曲机上的弯曲成形。
第二节 滚弯
一、滚弯设备
概述 1.滚弯定义：通过旋转的滚轴，使毛料弯曲的方法叫滚弯。 2.滚弯的实质：连续不断的弯曲。 3.应用：用于板材、型材的弯曲。 1.三轴滚弯机：分为对称式和不对称式两类。
图1-13 三轴滚弯机 1—上滚轮；2—下滚轮；3—手柄；4—导轮
步减小，板料与凸模三点接触： r1→r2，
管道的屈曲分析讲解
f=0.01 f=0.05 f=0.1 f=0.2 f=0.4 f=0.6
20
40
60
80
100
L(m)
不同覆盖土层载荷
每根曲线最 低点所对应 的温升称为 安全温升。
120
90 60 30 0
0
w=1200N/m w=2400N/m w=3600N/m w=4800N/m w=6000N/m
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 L(m)
L
设管线在长度为L的部分发生屈曲，在屈曲后的长度上 受到的轴向力为P轴，包括覆土层和管子及其内部介质自重的 均匀荷载为q，则弯曲微分方程为：
EIy P轴 y q
解出：
确定出A、B、C、D，即可得到挠曲线方程
y
A c osk x
B sin
kx
Cx
D
qx2 2P轴
式中的k P轴 EI
根据上浮屈曲的形状是对称图形，可得B C 0
则由边界条件x
1 2
L，得
y
A
c
os
kL 2
D
qL2 8P轴
0
y
Ak sin
kL 2
qL 2P轴
0
y
Ak2
c
os
kL 2
q P轴
P轴
c
os
kL 2
q qL2 D k 2P轴 8P轴
将A值代入式（4 - 24），得
• 直管 • 弯曲管道
曲率半径R0≥1000D(可与直管用相同计算方法) 曲率半径R0<1000D
理论力学 第四章_07.8.28_
第四章 弯曲应力4-1 试求图示各梁中指定横截面上的剪力和弯矩。
解：（a ）m kN M kN F m kN M F s s ⋅−=−=⋅−==12 ,5 ,2 ,02211 （b ）m kN M kN F m kN M kN F s s ⋅=−=⋅==6 ,3 ,6 ,22211 （c ）m kN M kN F m kN M kN F s s ⋅−==⋅==6 ,4 ,4 ,42211 （d ） ,5 ,67.111m kN M kN F s ⋅==（e ）e e s e e s M M aMF M M a M F −=−=−=−=2211 ,4 ,4 ,4, e s M M F −==33 ,0 （f ）m kN M kN F m kN M kN F s s ⋅−=−=⋅−==25.15 ,81.11 ,25.15 ,5.122211 （g ）m kN M F m kN M kN F s s ⋅−==⋅−==40 ,0 ,45 ,302211（h ）34 ,0 ,1211 ,4302220101aq M F a q M a q F s s ====4-3 试利用载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系作下列各梁的剪力图和弯矩图。
解：（a）（b）（c）（g）（d）（e）（f）4-4 试作下列具有中间铰的梁的剪力图和弯矩图。
解：有中间铰的梁的内力图画法与普通梁无异，关键是求出约束反力。
4-6 已知简支梁的剪力图如图所示。
试作梁的弯矩图和载荷图。
已知梁上没有集中力偶作用。
解：（a ）A 、B 、D 截面剪力突变，说明截面上有集中力作用，集中力的值等于该截面剪力的突变值。
CD 段剪力图为下斜直线，说明该段上有向下的均布载荷作用，载荷集度等于该段剪力图的斜率。
（b ）A 、C 、D 截面剪力突变，说明截面上有集中力作用，集中力的值等于相应截面上剪力的突变值。
AC 段剪力图为下斜直线，说明该段上有向下的均布载荷作用，载荷集度等于该段剪力图的斜率。
材料力学第4章第5章
100
q 2 kN m
200
4m
100
qL2 8
竖放
max
M max WZ
M max WZ
qL2 82 bh 6
6MPa
横放
max
qL2 8 2 12MPa hb 6
例5-3：图示T形截面简支梁在中点承受集中力F＝ 32kN，梁的长度L＝2m。T形截面的形心坐标yc＝ 96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz＝1.02×108mm4。 y 求弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。
B
F
Fa
纯弯曲：梁受力弯曲 后，如其横截面上只有弯 矩而无剪力，这种弯曲称 为纯弯曲。
F
AC段： 剪力弯曲 CB段： 纯弯曲 pure bending
实验现象：
F F
1、变形前互相平行的纵向
m n
m
n
直线、变形后变成弧线，且 凹边纤维缩短、凸边纤维伸 长。 2、变形前垂直于纵向线的 横向线,变形后仍为直线，且 仍与弯曲了的纵向线正交， 但两条横向线间相对转动了 一个角度。
d
y
M
M
中性轴
m
n o
dA
z
y
d
o
y
dx
m
dx
n
z
y
1）几何方程
2）物理方程
3）静力平衡方程
中性轴 z 是形心轴
纯弯曲梁横截面正应力公式 1）几何方程 2）物理方程 2）静力平衡方程 对应力公式的讨论
抗弯截面系数
M
M
中性轴
MZ:横截面上的弯矩
m
n o
dA
z
材料力学内部习题集及答案
第二章 轴向拉伸和压缩2-1一圆截面直杆，其直径d ＝20mm,长L =40m ，材料的弹性模量E =200GPa ，容重γ＝80kN/m 3,杆的上端固定，下端作用有拉力F =4KN ，试求此杆的：⑴最大正应力； ⑵最大线应变； ⑶最大切应力；⑷下端处横截面的位移∆。
解：首先作直杆的轴力图⑴最大的轴向拉力为232N,max 80100.024*********.8N 44d F V F L F ππγγ=+=+=⨯⨯⨯⨯+= 故最大正应力为：N,maxN,maxN,maxmax 222445004.8=15.94MPa 3.140.024F F F Addσππ⨯====⨯⑵最大线应变为:64maxmax915.94100.7971020010E σε-⨯===⨯⨯ ⑶当α（α为杆内斜截面与横截面的夹角）为45︒时，maxmax 7.97MPa 2ασττ===⑷取A 点为x 轴起点，2N (25.124000)N 4d F Vx F x F x πγγ=+=+=+故下端处横截面的位移为：240N 0025.1240001d d (12.564000)2.87mm LL F x x x x x EA EA EA+∆===⋅+=⎰⎰2-2试求垂直悬挂且仅受自重作用的等截面直杆的总伸长△L 。
已知杆横截面面积为A ，长度为L ,材料的容重为γ。
解：距离A 为x 处的轴力为 所以总伸长2N 00()L d d 2LL F x Ax L x x EA EA Eγγ∆===⎰⎰ 2-3图示结构，已知两杆的横截面面积均为A =200mm 2,材料的弹性模量E =200GPa 。
在结点A 处受荷载F 作用，今通过试验测得两杆的纵向线应变分别为ε1＝4×10－4，ε2＝2×10－4，试确定荷载P 及其方位角θ的大小。
解:由胡克定律得 相应杆上的轴力为取A 节点为研究对象，由力的平衡方程得解上述方程组得2-4图示杆受轴向荷载F 1、F 2作用，且F 1＝F 2＝F ，已知杆的横截面面积为A ，材料的应力－应变关系为ε＝c σn，其中c 、n 为由试验测定的常数。
材料力学习题及答案4-6
第四章弯曲应力判断图弯矩的值等于梁截面一侧所有外力的代数和。
（）负弯矩说明该截面弯矩值很小，在设计时可以忽略不计。
（）简支梁上向下的集中力对任意横截面均产生负弯矩。
（）横截面两侧所有外力对该截面形心力矩的代数和就是该截面的弯矩值。
（）梁的任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面任一侧所有外力对该截面形心的力矩代数和。
（）在计算指定截面的剪力时，左段梁向下的荷载产生负剪力。
（）在计算指定截面的剪力时，右段梁向下的荷载产生正剪力。
（）梁纯弯曲时中性轴一定通过截面的形心。
（）简支梁上受一集中力偶作用，当集中力偶在不改变转向的条件下，在梁上任意移动时，弯矩图发生变化，剪力图不发生变化。
（）图示梁弯矩图的B点是二次抛物线的顶点。
（）图示梁段上集中力偶作用点两侧的弯矩直线一定平行。
（）(M图)下列三种斜梁A截面的剪力均相同。
（）l/2l/2l/2l/2l/2l/2下列三种斜梁B截面的剪力均相同。
（）l/2l/2l/2l/2l/2l/2下列三种斜梁C截面的弯矩均相同。
（）l/2l/2l/2l/2l/2l/2梁弯曲时的内力有剪力和弯矩，剪力的方向总是和横截面相切，而弯矩的作用面总是垂直于横截面。
（）一端（或两端）向支座外伸出的简支梁叫做外伸梁。
（）##√悬臂梁的一端固定，另一端为自由端。
（）##√弯矩的作用面与梁的横截面垂直，它们的大小及正负由截面一侧的外力确定。
（）##√弯曲时剪力对细长梁的强度影响很小，所以在一般工程计算中可忽略。
（）##√图示，外伸梁BC段受力F作用而发生弯曲变形，AB段无外力而不产生弯曲变形（）##×由于弯矩是垂直于横截面的内力的合力偶矩，所以弯矩必然在横截面上形成正应力。
（）##√抗弯截面系数是反映梁横截面抵抗弯曲变形的一个几何量，它的大小与梁的材料有关。
（）##×无论梁的截面形状如何，只要截面面积相等，则抗弯截面系数就相等。
（）##×梁弯曲变形时，弯矩最大的截面一定是危险截面。
材料力学弯曲内力
材料力学弯曲内力材料力学是研究物质受力和变形的科学。
在工程学中，材料力学的应用非常广泛，其中弯曲内力是一个重要的研究对象。
弯曲内力是指在材料受到外力作用下，产生的弯曲应力和弯曲应变。
了解和分析材料的弯曲内力对于工程设计和材料选用具有重要意义。
首先，我们来了解一下弯曲内力的产生原因。
在工程结构中，由于外力的作用，材料会产生弯曲变形，这时就会产生弯曲内力。
弯曲内力的大小和方向取决于外力的大小、作用点的位置以及材料的几何形状和材料性质。
在工程实践中，我们需要通过理论分析和实验测试来确定材料的弯曲内力，以便进行结构设计和材料选用。
其次，我们需要了解弯曲内力的计算方法。
在弯曲内力的计算中，我们通常采用弯矩和剪力图的方法。
弯矩图是描述材料在受弯曲作用下，不同位置上的弯矩大小和方向的图形，而剪力图则是描述材料在受弯曲作用下，不同位置上的剪力大小和方向的图形。
通过分析弯矩和剪力图，我们可以得到材料在不同位置上的弯曲内力大小和方向，从而进行合理的结构设计和材料选用。
此外，材料的弯曲内力还与材料的强度和刚度密切相关。
在工程设计中，我们需要根据材料的弯曲内力来选择合适的材料，以保证结构的安全性和稳定性。
一般来说，材料的抗弯强度和弯曲刚度越大，其受力性能越好，适用范围也越广。
因此，在工程实践中，我们需要充分考虑材料的强度和刚度对弯曲内力的影响，从而进行合理的材料选用和结构设计。
最后，我们需要注意弯曲内力对材料的影响。
在工程实践中，弯曲内力会对材料的疲劳寿命、变形性能和使用安全性产生重要影响。
因此，我们需要通过理论分析和实验测试来充分了解材料的弯曲内力特性，从而进行合理的结构设计和材料选用，以保证工程结构的安全可靠性。
总之，材料力学弯曲内力是工程设计和材料选用中的重要内容。
了解和分析材料的弯曲内力对于工程实践具有重要意义。
通过深入研究材料的弯曲内力特性，我们可以更好地进行结构设计和材料选用，从而保证工程结构的安全可靠性。
第四章 平面弯曲
弯曲变形：轴线变成一条曲线。 梁：以弯曲变形为主的杆。 平面弯曲：轴线成为一条平面曲线。 平面弯曲梁的几何特征：存在一纵向对称面。 受力特点：约束反力及主动力关于纵向对称面
对称作用。
实例：卧式容器—外伸梁；塔设备—悬臂梁等。
4.2 平面弯曲的内力分析
4.2.1 剪力和弯矩
例 试求图示悬臂梁 自由端的挠度和转角。 设抗弯刚度EI为常量。 解：P1和P2共同 作用下悬臂梁自由端 的挠度和转角，可看 作P1和P2单独作用下 产生的变形的代数和。
例 试求悬臂梁受均布载荷作用时自由端的挠 度和转角。设抗弯刚度EI为常量
解：将均布载荷设想 为由无数个微元力qdx 组成的，则每一个微 元力qdx在梁自由端产 生的微小转角和挠度：
例：已知：P=24kN， F=12kN， q=6kN/m， MO=12kN· m。 作出剪力图和弯矩 图。 解：(1)求支座反力 (2)剪力图和弯 矩图大致形状分析 (3)计算剪力和 弯矩值
RB=34 kN，RA=26 kN
QC 26kN
QC 26 24 2kN
MC=26 kN· m MD =28kN· m
MD =28-12=16kN· m
QD=2 kN
QB 22kN
QB 12kN
MB=-24 kN· m
4.3平面弯曲的正应力计算
剪力、弯矩对应的应力：剪应力和正应力
纯弯曲梁模型的建立：对于长梁，影响强度的 决定因素是弯矩。
4.3.l 纯弯曲时梁横截面上的正应力
变形几何关系
dy Px ( x) (2 L x) dx 2 EI
Px2 y ( x) (3L x) 6 EI ymax PL3 3EI
材料力学弯曲应力
材料力学弯曲应力材料力学是研究材料在外力作用下的变形和破坏规律的一门学科，而弯曲应力是材料在受到弯曲载荷时所产生的应力。
弯曲应力的研究对于工程结构设计和材料选用具有重要意义。
本文将从弯曲应力的概念、计算公式、影响因素等方面进行详细介绍。
弯曲应力是指在材料受到弯曲载荷作用下，横截面上的应力分布情况。
在弯曲过程中，材料上部受到压应力，下部受到拉应力，而中性面则不受应力影响。
根据梁的理论，弯曲应力与弯矩、截面形状以及材料性质有关。
在工程实践中，我们通常使用梁的弯曲应力公式来计算弯曲应力的大小。
梁的弯曲应力公式可以表示为：\[ \sigma = \frac{M \cdot c}{I} \]其中，σ为弯曲应力，M为弯矩，c为截面中性轴到受拉或受压纤维的距离，I为截面的惯性矩。
从公式中可以看出，弯曲应力与弯矩成正比，与截面形状和材料性质有关，截面越大，惯性矩越大，弯曲应力越小。
影响弯曲应力的因素有很多，主要包括载荷大小、截面形状、材料性质等。
首先是载荷大小，当外力作用在梁上时，产生的弯矩大小将直接影响弯曲应力的大小。
其次是截面形状，截面形状不同将导致截面惯性矩不同，进而影响弯曲应力的大小。
最后是材料性质，材料的弹性模量、屈服强度等参数也会对弯曲应力产生影响。
在工程实践中，我们需要根据具体的工程要求和材料性质来选择合适的截面形状和材料类型，以使得结构在受到弯曲载荷时能够满足强度和刚度的要求。
同时，还需要合理设计结构，减小弯曲应力集中的区域，避免出现应力集中而导致的破坏。
综上所述，弯曲应力是材料在受到弯曲载荷时产生的应力，其大小与弯矩、截面形状和材料性质有关。
在工程实践中，我们需要根据具体的工程要求和材料性质来计算和分析弯曲应力，以保证结构的安全可靠。
同时，合理设计结构和选择合适的材料也是降低弯曲应力的重要手段。
希望本文对于弯曲应力的理解和应用能够有所帮助。
弯曲应力和拉应力_概述说明以及解释
弯曲应力和拉应力概述说明以及解释1. 引言1.1 概述：弯曲应力和拉应力是材料力学中两个重要的概念。
在实际工程应用中，我们经常遇到需要考虑物体受到的弯曲或拉伸力而引起的变形和破坏问题。
了解和研究弯曲应力和拉应力对于设计和优化结构的安全性至关重要。
1.2 文章结构：本文将全面介绍弯曲应力和拉应力的定义、解释以及它们的影响因素、应用领域等内容。
接着，我们将比较分析这两种类型的应力，并探讨它们共同具有的特征。
最后，我们将进一步阐述在工程实践中理解与处理弯曲应力和拉应力所带来的重要性。
1.3 目的：本文旨在提供一个全面而清晰的概述，详细解释弯曲应力和拉应力，并探究它们之间的联系与区别。
通过深入理解这些概念，读者可以更好地理解材料行为以及不同加载条件下对结构性能产生的影响。
此外，本文还将探讨未来研究方向，为相关领域提供参考和启示。
2. 弯曲应力：2.1 定义和解释：弯曲应力是指物体在受到外力作用下，呈现出产生弯曲变形的应力状态。
当一根杆件或梁受到垂直于其长度方向的力或扭矩作用时，会产生沿其截面形成的弯曲应力。
这种应力的大小和分布会随着外力、杆件的几何形状以及材料的性质而变化。
2.2 影响因素：弯曲应力的大小受到多个因素的影响。
首先，外力是决定弯曲应力大小的关键因素之一。
施加在结构上的外部负荷越大，产生的弯曲应力也就越大。
其次，截面形状对弯曲应力有着重要影响。
更宽、更高或更厚实的截面可以分担更多载荷，从而减小了单位面积上的弯曲应力值。
此外，材料性质也会影响弯曲应力水平。
不同材料具有不同的抗弯能力，在相同外力下表现出不同程度的抵抗。
2.3 应用领域：弯曲应力广泛应用在工程领域中。
梁、柱、桥梁和其他结构的设计都需要考虑弯曲应力的影响。
例如，在建筑物的房屋框架中，通过计算并合理设计材料和截面形状，可以确保结构在受到外部力作用时能够承受弯曲应力而不会破坏。
同样，在机械工程中，了解杆件的弯曲应力对于正确选择和设计零部件至关重要，以保证其可靠性和持久性。
孙训方《材料力学》(第6版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第4~5章【圣才出品】
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图 4-2-3（a）（b）
（2）建立如图 4-2-3（b）所示坐标系
根据平衡方程求得固定端支反力：FA＝45kN，MA＝127.5kN·m。
剪力方程为： 弯矩方程为：
45
(0 x 2)
FS(x) 45 15x (2 x 3)
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0.6 0.2x (0 x 8) FS(x) 0.6 0.2x (8 x 10)
弯矩方程为：
M
(x)
0.6x 0.1x2
0.6x
0.1x2
4
(0 x 8) (8 x 10)
绘制内力图如图 4-2-3（d）所示。
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图 4-2-2 解：（1）建立如图 4-2-3（a）所示坐标系 剪力方程为： FS（x）＝－（1/2）·（q0/l）x·x＝－q0 x2/（2l）（0≤x≤l） 弯矩方程为： M（x）＝－（1/2）·（q0/l）x·x·（x/3）＝－q0x3/（6l）（0≤x＜l） 做内力图如图 4-2-3（a）所示。
一、弯曲的概念和梁的计算简图 1．弯曲的概念（见表 4-1-1）
表 4-1-1 弯曲的概念
2．梁的计算简图 根据支座对梁在荷载作用平面的约束情况，支座通常简化为三种基本形式：固定端、固 定铰支座、可动铰支座，主要内容见表 4-1-2。
表 4-1-2 梁的计算简图
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第四章 弯曲应力
③静力学关系 设中性轴为z
FN dA 0
M y z dA 0
A
A
M
y
z
dA
M z y dA M
A
FN dA 0 E dA 0
A
y
E
A
z
ydA 0
A
ydA S
FS ( x ) ql qx 2
(0 x l )
FS ql / 2
ql / 2
M
ql x M ( x) x qx 2 2
q l ql 2 x 2 2 8
2
ql 2 / 8
(0 x l )
3.剪力、弯矩和载荷集度间的关系 ●剪力和弯矩与载荷集度间的微分关系
●剪力和弯矩与载荷集度间的微分关系
FS x q x dx FS x dFS x 0
dFS x q x dx
1 M x dM x qx dx 2 M x FS x dx 0 2
dM x FS x dx
FAy 3kN
2、作内力图 1）轴力图
DC杆 : FN 2 1kN AD杆 : FN 3 3kN
D E 5kN C 1kN
D
8kN 1m 2m C E 3m
4m
BC杆 : FN 1 5kN
q=1kN/m
B
1kN
A
FAx
FB
FAy FAx=-3kN FAy=3kN FB=5kN
弯矩图斜率为常量cont，M （x）为斜直线。
②梁上作用均布荷载：q（x）=cont
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3m
K
1m
Me=5kN·m B FBy
0.5m 在平面任意力系情形下，矩心应该取在多个未知力的交点上，而坐
标轴应当与尽可能多的未知力垂直
Fx 0
FAx 0
Fy 0 MA 0
FAy 50 20 3 29 0
FAy 81kN
M A 50103 1 5103 20103 4 3 0 M A 96.5kN m
M1
MC1 0 M1 F a 0
1 FS1
M1 Fa ( 顺 )
截面2—2
Fy 0 FS2 FA F 0
F
C2 2 M2
FA 2 FS2
FS2 FA F 2F MC2 0 M2 F a 0
M 2 Fa ( 顺 )
y
Me =3Fa
F
1A2 3 4
B
12 a
FA 截面3—3
12
34
A1 2
34
Bx
内力
FS M
1—1 -P -Pa
2—2 2P -Pa
3—3 2P Pa
4—4 2P -2Pa
3、在集中力作用处，剪力值发生突变，突变值= 集中力大小；
在集中力偶作用处，弯矩值发生突变，突变值= 集中力偶矩大小。
梁 ——以弯曲为主要变形的杆件通称为梁。
§4-1 弯曲的概念和实例
最基本常见的弯曲问题
§4-1 弯曲的概念和实例
§4-1 弯曲的概念和实例
常见弯曲构件截面
圆截面
T型截面
工字型截面
槽型截面
Ⅱ、梁的计算简图 1、支座的基本形式
约束特征：水平和竖直方向不能平动，但可以自由转动
约束特征：竖直方向不能发生位移，但是可以在水平 方向发生位移，也可以自由转动
超静定梁 梁的支反力单独利用平衡方程不能确定。
MA A
FAx FAy
B
FB
A
C
B
FAx
FAy
FC
FB
例 试求图示有中间铰C的梁AB的支反力。
F=50kN q=20kN/m
AE C D
K
Me=5kN·m B
1m
1m
3m
1m
0.5m
解：整体分析梁的受力如图。
MA A FAx
FAy
FC E
q =20kN/m
l
y FA
mM
切向应力的合力
，称为剪力
A
MC 0
x
C m
FS
x
FS m
MC
F
M M
F a
FB l
x FB l
x Fa
x
x
0 F
l
m
a lΒιβλιοθήκη xFB B法向应力的合力，称为弯矩
+
_
左上右下为正；反之为负
+
_
左顺右逆为正；反之为负
例 求图示外伸梁在截面1—1、2—2、3—3和4—
4横截面上的剪力和弯矩。
F
34 a
2a
C33 M3
x FB
FS3 FA F 0 FS3 FA F 2F
截面4—4
FA
3 FS3M 3
F 2a FA a
M 3 Fa ( 逆 )
0
M4
4C4
FS4 FB 2F
FS44
FB M 4 FB a 0
M 4 2Fa (顺 )
F
FA=3F
Me =3Fa FB =-2F
FA
a m
F
FB
FA
Fl
l
a
A xm
B
FB
Fa l
y
取左侧分离体分析任一横截面m-m
FA m M 上的内力
A
x
C m
FS
x
Fy 0
FS
FA
Fl
l
a
MC 0
M
FA x
Fl a x
l
由其右边分离体的平衡条件同样可得
Fy 0
FA
a
F
m
FB
FS F FB 0
A xm
B
FS
F
FB
Fl a
12
34
A1 2
34
Bx
内力
FS M
1—1 -F -Fa
2—2 2F -Fa
3—3 2F Fa
4—4 2F -2Fa
1、横截面上的剪力和弯矩在数值上由截面左侧或 右侧梁段分离体的静力平衡方程来确定。
剪力值= 截面左侧（或右侧）所有外力的代数和 弯矩值= 截面左侧（或右侧）所有外力对该截
面形心的力矩代数和
固定铰 支座
计算简图 约束反力
FRy FRx
可动铰 支座
FR
约束特征：水平和竖直方向不能平动，也不能转动
2、梁的基本形式
(1)悬臂梁
FRxMR FRy
(2)简支梁
FRx
FRy1
(3)外伸梁
FRx
FRy1
静定梁
FRy2
FRy2
3、静定梁和超静定梁
静定梁 梁的支反力均可由平面力系的三个独立 的平衡方程求出。
q =20kN/m
Me=5kN·m
FCx FCy D
K
FBy
MC 0 20103 3 2.5 5103 FBy 5 0
FBy 29kN
列平衡方程时，应使每个方程中的未知量的个数尽可能的少， 最好是只含有一个未知量，以避免求解联立方程
MA A F C
FAx
E
FAy 1m
1m
q =20kN/m
F
FA=3F
Me =3Fa FB =-2F
12
34
A1 2
34
Bx
内力
1—1
FS
-P
M
-Pa
2、截面左侧梁段
2—2 3—3 4—4
2P
2P
2P
-Pa
Pa
-2Pa
向上的外力→正剪力
顺时针外力偶→正弯矩
截面右侧梁段 向下的外力→正剪力
逆时针外力偶→正弯矩
左上右下，左顺右逆
F
FA=3F
Me =3Fa FB =-2F
y
Me =3Fa
F
1A2 3 4
B
1 2 34
x
a
a
FA
2a
FB
解：支反力为
MA 0 Fy 0
FB 2a 3Fa F a 0 FB 2F ()
FB FA F FA 3F ()
y
Me =3Fa
F
1A2 3 4
B
1 2 34
x
a
a
FA
2a
FB
截面1—1
F
C11
Fy 0 FS1 F
带有中间铰的梁的受力特点：
MA
F A
FAx FAy E
FCx
FCy' C
FCx'
C D
FCy
q =20kN/m K
Me=5kN·m
B FBy
CB梁段上的荷载会传递到梁的AC段，称为副梁；
AC段上的荷载不会传递到梁的CB段，称为基本 梁(或主梁)。
§4-2 梁的剪力和弯矩•剪力图和弯矩图
Ⅰ、梁的剪力和弯矩
D
K
Me=5kN·m B FBy
未知支反力： 4个 整体独立平衡方程：3个
关键在于中间铰不能传递力矩的特性，因而不论
AC段或CB段均有
MC 0
F=50kN q=20kN/m
AE C D
K
Me=5kN·m B
1m
1m
3m
1m
0.5m
MA
50kN A
FCy' C
FAx FAy E
FCx'
C
MC 0
西南交通大学应用力学与工程系材料力学教研室
第四章 弯曲内力
§4-1 对称弯曲的概念及梁的计算简图
三星手机
Skiff reader
苹果手机“弯曲门”事件
Ⅰ、弯曲的概念
受力特点：
杆件受到垂直于杆轴线的外力（横向力）或外力 偶（其矢量垂直于杆轴）作用。
Me
Me
F
A
B
Me
Me
F
A
B
变形特点： 1、直杆的轴线在变形后变为曲线； 2、任意两横截面绕垂直于杆轴的轴作相对转动。