初中数学分式化解求值解题技巧大全
初二分式解题技巧
初二分式解题技巧
初中数学中，分式是一个很重要的内容。
在学习分式时，我们需要掌握一些解题技巧，以下是几个常用的技巧：
1. 化简分式
当分式的分子和分母有公因数时，可以先将分式进行化简。
这样可以使分式更加简单，更方便解题。
2. 分子分母同乘或同除
当我们需要将两个分式进行加减运算时，需要先将它们的分母通分。
而分式乘除时，我们可以将分子分母同乘或同除以一个数，使分式更容易计算。
3. 去分母
当我们需要将一个分式转化为整数时，可以采用去分母的方法。
去分母的方法有多种，其中最常用的是交叉相乘法和倍增倍减法。
4. 分式方程的解法
当一个方程中含有分式时，我们需要将分式通分，然后化简方程，得到一个一次方程或二次方程，再利用解方程的方法求解。
以上是一些初二分式解题技巧，掌握这些技巧可以帮助我们更好地解决分式相关的问题。
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分式问题的多种解法
分式问题的多种解法分式是数学中常见的一种形式，通常表示为两个数之间的比值。
在解决分式问题时，我们可以采用多种不同的方法来求得最终答案。
本文将介绍几种常用的解法，帮助读者更好地理解和运用分式。
一、通分法通分法是解决分式加减法的常用方法。
当两个分式的分母不同的时候，我们需要通过求得它们的公共倍数，使它们的分母相同，然后再进行加减运算。
例如，对于分式$\frac{1}{2}$和$\frac{2}{3}$，我们可以先找到它们的最小公倍数为6，然后将两个分式都通分为$\frac{3}{6}$和$\frac{4}{6}$，最终得到$\frac{7}{6}$作为它们的和。
二、化简法化简法是解决分式问题的另一种常见方法。
当一个分式的分子和分母可以化简为最简形式时，我们可以将其化简为约分后的分式。
例如，对于分式$\frac{6}{9}$，我们可以化简为$\frac{2}{3}$，从而得到最简形式的答案。
三、换元法换元法是解决一些复杂的分式问题的有效方法。
通过引入一个新的未知数或变量，我们可以将原始分式转化为更容易处理的形式。
例如，对于分式$\frac{x+1}{x}$，我们可以引入一个新的变量$y=x+1$，从而将原始分式转化为$\frac{y}{y-1}$，然后再进一步求解。
四、倒转法倒转法是解决除法分式问题的一种重要方法。
当一个分式为除法形式时，我们可以将其倒转为乘法形式，然后再进行计算。
例如，对于分式$\frac{3}{4} \div \frac{5}{6}$，我们可以将其倒转为$\frac{3}{4} \times \frac{6}{5}$，然后再计算得到$\frac{9}{10}$。
五、代入法代入法在解决一些复杂的分式问题时也十分实用。
通过将一些条件或特定数值代入到分式中，我们可以简化问题的求解过程。
例如，对于分式$\frac{x}{y}$，如果给定$x=2$，$y=3$，我们可以直接代入这些数值得到$\frac{2}{3}$作为最终答案。
分式运算的十种常用方法
分式运算的十种常用方法1、拆项后合并例1 （1999年第十一届“五羊杯”初中数学竞赛题）计算：=__________。
分析直接计算较繁，仔细观察各分母数发现各项可利用公式：=()达到裂项求和的目的。
解原式===。
评注根据分数的性质，将分数拆项为两数的和（或差），利用互为相反数的两个数之和为0这一性质简化计算。
2、分解后约分例2 （1996年北京市初中数学竞赛题）计算：分析仔细观察分子、分母中各因式，可发现这些因式可用代数式n(n+3)+2（其中n 为自然数）表示，由于n(n+3)+2=n2+3n+2=(n+1)(n+2)，因此每个因式均可分解为二个连续自然数之积约分便可。
解因为n(n+3)+2=n2+3n+2=(n+1)(n+2)，所以原式===998。
评注有些计算题，运算关系比较复杂，可通过观察分式的分子，分母的特征，借助因式分解的技巧将分子，分母分解后，利用约分简化计算。
3、分组后通分例3 （1995年天津市初二数学竞赛题）化简：++--分析观察各分母分解后易知，第一、二项，第三、四项分别组合通分较容易。
解原式=++-=-===0。
评注以容易通分为原则，把原分式分为若干组，然后分组运算再合并。
4、逐项合并通分例4 （1999年全国初中数学联赛题）计算：++的值。
分析若一次性完成通分，运算量很大，注意到分母(1-)与(1+)和(1-)与(1+)可用平方差公式逐项通分可以化简。
解原式=+==-2评注各分母之间若存在某种递进关系，一次通分难于完成时，可逐项通分。
5、换元后通分例5 （1997年北京市第十二届“迎春杯”数学竞赛题）计算：(1--…-)(++…+)-(1--…-)×(++…+)分析在算式中，四个因数并不是相互独立的，都有，，…，，若用x=+…+，算式便得到简化。
解设x=+…+，则原式=(1-a)(a+)-(1-a-)a=(1-a)a+(1-a)×-(1-a)a+=-+=。
分式运算的八种技巧
分式运算综合题1、先化简，再求值：（1-x x －11+x ）÷112-x ，其中x=22、先化简，再求值：21+-a a ·12422+--a a a ÷112-a ，其中a 满足a 2-a=12。
3、计算：223y x y x -+－222y x y x -++2232y x yx --。
4、化简：12+x x -1422-+x x ÷1222+-+x x x ，然后在不等式x ≤2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值。
5、已知M=222y x xy -，N=2222y x y x -+，P=224x y xy-，用“＋”或“-”连接M ，N ，P 有多种不同的形式，如M+N-P 。
请你任选一种进行计算，并化简求值，其中x ：y=5:2。
6、已知abc ≠0且a+b+c=0,求a(b 1+c 1)+b(c 1+a 1)+c(a 1+b1)的值。
7、已知两个式子：A=442-x ，B=21+x ＋x-21，其中x ≠±2，则A 与B 的关系是（ ）A.相等B.互为倒数C.互为相反数D.A 大于B8、已知1＜x ＜2，则式子|2|2--x x －1|1|--x x ＋xx ||化简的结果是（ ）A.－1B.1C.2D.39、已知a2+3ab+b2=0(a ≠0,b ≠0)，则式子a b +ba= 。
10、已知a 1+b 21=3，则式子b a ab b ab a 634452--+-= 。
11、已知3-x m －2+x n =)2)(3(17+-+x x x ，求m 2+n 2的值。
12、已知a,b 为实数，且ab=1，设M=1+a a +1+b b ，N=11+a ＋11+b ，试确定M ，N 的大小关系。
13、先化简，再求值：（x-13+x x ）÷1222++-x x x ,其中x 满足x 2+x-2=0.14、已知A=（x-3）÷4)96)(2(22-+-+x x x x －1,(1)化简A; 2x-1＜x,(2)若x 满足不等式组 且x 为整数，求A 的值。
分式化简求值的若干方法与技巧
分式化简求值的若干方法与技巧
分式化简是指将一个分式写成一个最简形式的过程。
下面列举一些分式化简的方法与技巧：
1. 因式分解法：如果分子和分母都可以被一个公因子因式分解，可以先进行因式分解，然后约去公因子。
2. 公约法：将分子和分母的公因子约去，使分子和分母无公因子。
3. 分子与分母分别除以最大公约数法：先求出分子和分母的最大公约数，然后将分子和分母都除以最大公约数，使得分子和分母互质。
4. 乘法逆元法：如果分子和分母互为乘法逆元，即分子和分母互为倒数关系，可以将分式化简为整数。
5. 积化和差法：对于有相同分子或分母的分式，可以将其化为积或差的形式，然后进行约分或运算。
6. 公倍数法：如果分式的分子和分母都是整数，可以找到一个公倍数使得分子和分母变为整数，然后约去公倍数。
7. 有理化法：对于含有根号的分式，可以通过有理化的方法将其转化为整数或分数。
8. 倒数法：对于一个分式，可以将其倒数的分子和分母对换位
置，然后约分。
以上是一些常见的分式化简的方法与技巧，根据具体的情况选择合适的方法进行求解。
「初中数学」分式运算中的十二种技巧
「初中数学」分式运算中的十二种技巧打开今日头条，查看更多图片分式的加减运算中起关键作用的就是通分，但对某些较复杂或具有特定结构的题目，使用一般方法有时计算量太大，容易出错，有时甚至算不出来，若能结合题目结构特征，灵活运用相关性质、方法、解题技巧，选择恰当的运算方法与技能，常常能达到化繁为简、事半功倍的效果.一.分式的化简技巧技巧1.整体通分法此题把a一2看作一个整体，通分较好，把a与2分开通分，2前边是'一'号，还得注意分子加减时变号，易错.技巧2.顺次通分法此题顺次通分正好最简公分母是平分差的形式，有利于计算. 技巧3.分组通分法此题若全部一起通分，不仅计算量大，而且易出错. 技巧4.先约分再通分法分式运算中，能约分的先约分计算简便，需要因式分解，化为积的形式，本题第一个分式中，分子因式分解采用分组分解法，看不懂的同学，看下边技巧5.分离分式后通分法看不懂的同学，看下一个解法，把一1/(x一4)与1/(x一3)对调位置.运算中，特别要注意负号. 技巧6.换元后通分法观察式子都有3m一2n，所以采用换元法技巧7.拆项相消法本题关键看清前后项相消，最后剩下哪一项二.分式的求值技巧技巧8.化简后整体代入法化简时注意先算乘除，后算加减. 技巧9.补项后用整体代入法本题有1/x十1/y 1/z≠0，一定有它的用处，加之给定的是对称式子，想到构造1/x十1/y十1/z这种式子.技巧10.变形后用整体代入法技巧11.倒数求值法本题巧用了x 1/x=2，然后借用完全平方公式，解出所求的值.技巧12.消元约分法设主元法这类题，初一下，二元一次方程组有过类似的题型，通过把一个未知数看成已知数表示出另两个未知数，从而可求出代数式的值.以上分享的技巧，同学们体会它的好处，优点，多问几个为什么，必要的时候记一下题型，对解分式题有帮助.感谢大家的关注、转发、点赞、交流！。
分式化简求值解题技巧
分式化简求值解题技巧分式化简求值解题技巧一、整体代入对于一些分式表达式，可以先将其中的变量整体代入，然后再求值。
比如：已知a+2b=2006，求3a²+12ab+12b² ÷ (2a+4b)的值。
可以先将a替换为2006-2b，然后化简得到：3a²+12ab+12b² ÷ (2a+4b) = 3(2006-2b)² + 12b(2006-2b) + 12b² ÷ (2(2006-2b)+4b)再进行进一步化简求解。
练一练：1.已知x+y=3，求(2x+3y) ÷ (x-y)的值。
2.已知112x-3xy+2y ÷ xy-x-2y = 5，求xy ÷ (x+2y)的值。
3.若a+b=3ab，求(1+2b²) ÷ (2a-b)的值。
二、构造代入有些分式表达式可以通过构造代入的方式来求解。
比如：已知x-5 ÷ (x-2) = 2001，求(x-2)³ - (x-1)² + 1的值。
可以构造一个分式，使得它的分母为(x-2)，分子为(x-2)³-(x-1)²+1，然后将其化简，得到：x-2)³-(x-1)²+1 ÷ (x-2) = (x-5) + 4(x-2) + 9再进行进一步化简求解。
练一练：4.若ab=1，求a ÷ (b+c) + b ÷ (c+a) + c ÷ (a+b)的值。
5.已知xy+yz+zx ÷ xyz = 2，求(x+y)² ÷ z²的值。
三、参数辅助，多元归一有些分式表达式可以通过引入参数或多元归一的方式来求解。
比如：已知a+b+c=1，求a(1-b) ÷ (b+c) + b(1-c) ÷ (c+a) + c(1-a) ÷(a+b)的值。
分式求值方法及技巧
分式求值技巧
2023年中考复习
设参数k法
方法介绍
当题目给出的条件出现连比形式，或者连等式时，经常采用增设参数k的方法，用含参数k的代数式表示分式中的各字母．在化简求值过程中，参数k最终都能消去，即可求出结果．
例1：
解答：
例2：
解答：
设定主元法
方法介绍
当题目中给出2个字母，却只给出1个方程，或者给出3个字母，却只给出2个方程时，我们无法具体求出每个字母的值．因此，可以设定其中一个字母作为主元，用含主元的代数式来表示其他字母，从而可以在分式化简中，达到只含有主元的目的，最终消去主元求值．
例1：
解答：
例2：
解答：
整体同除法
方法介绍
对于有些题目，我们可以从需要求值的分式入手，将分子分母同除分式中次数最高的项，以达到让分式中出现与已知条件相关的代数式，从而可以将已知条件作为整体，代入求值．
例1：
解答：
例2：
解答：
用乘法公式
方法介绍
对于一些本身，或者通分后含平方和类型的分式，我们可以联系以前所学的乘法公式，利用配方等方法，对分式进行变形，从而更快求解．
例1：
解答：
例2：
解答：
特殊值法
方法介绍
这是最后没有办法的办法了，适用于选择填空题．对于一些无法求出具体数值的字母，我们可以根据已知条件，取字母的一组特殊值，然后代入求解．当然，如果你不确定结果是否正确，可以多代几组特殊值检验．
例1：
解答：
例2：
解答：。
分式化简求值的七种类型
分式化简求值的七种类型分式的化简与求值是分式运算的重要内容，现摘取几例加以分析.㈠与因式分解相结合的单一化简例1、先化简：22221224323a a a a a a a -+-÷---,再求当3a =-时分式的值。
思路分析：题目中出现了特殊的二次三项式，注意运用多项式因式分解的方法,一般地，若二次项系数是1，一次项的系数可以看作两个数的和（或者是和的相反数），常数项可以作为上面和中的两数的乘积，即可把二次三项式分解因式.如果二次项系数不为1，则可以把二次项系数提出来.解：原式=()()()()()()()()()()()()()()()()21121211131313321222a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +--++-+-+÷=•=-+---++ 当a=-3时，原式=()()()23142233263-+==⨯-⨯-+ 点评：注意特殊的二次三项式()()()2x a b x ab x a x b +++=++因式分解的方法,以及乘法公式、提取公因式、分组分解等方法的灵活运用,比如2221222333a b b a b a b a b-+--+÷+-+的化简，应注意分组.2221222333a b b a b a b a b -+--+÷+-+()()22133321a b a b a b a b --+=•+--+ ()()()()113121a b a b a ba b a b +--++=•+--+6a b +=。
㈡巧变幻求值型例2：设abc=1，求111a b c ab a bc b ac c ++++++++的值。
思路分析:第一个分式分母中的1可巧妙变换成abc,第3个分式的分子,分母同时乘b. 解：原式=1a b bc ab a abc bc b abc bc b++++++++ 1111111b bc bc b b bc bc b bc b bc b ++=++==++++++++ 点评：仔细分析题中的条件和所求代数式之间的关系，巧妙变幻是解决分式中较复杂运算的重要途径。
初中数学 分式方程的解如何计算
初中数学分式方程的解如何计算解分式方程的方法取决于方程的形式和难度级别。
下面我将介绍一些常见的解分式方程的方法。
一、清除分母法清除分母法是解分式方程的常用方法。
具体步骤如下：1. 将分式方程中的所有分母都清除，使等式两边都变成整式。
2. 将等式两边的整式进行合并和化简，得到一个新的等式。
3. 解这个新的等式，找出满足等式的变量值。
4. 将求得的解代入原分式方程中，验证是否成立。
二、通分法通分法是解分式方程的另一种常用方法。
具体步骤如下：1. 将分式方程中的各分式的分母进行通分，使等式两边的分母相同。
2. 将等式两边的分子进行合并和化简，得到一个新的等式。
3. 解这个新的等式，找出满足等式的变量值。
4. 将求得的解代入原分式方程中，验证是否成立。
三、求最小公倍数法有些分式方程可以通过求最小公倍数来解决。
具体步骤如下：1. 将分式方程中的各分式的分母进行分解，找出它们的最小公倍数。
2. 将等式两边的分母变成最小公倍数，并对等式两边进行相应的变形。
3. 解这个新的等式，找出满足等式的变量值。
4. 将求得的解代入原分式方程中，验证是否成立。
四、变量代换法有些分式方程可以通过变量代换来简化。
具体步骤如下：1. 选择一个合适的变量代换，将原分式方程中的分式表示成新的形式。
2. 对新的形式进行合并和化简，得到一个新的等式。
3. 解这个新的等式，找出满足等式的变量值。
4. 将求得的解代入原分式方程中，验证是否成立。
以上是一些常见的解分式方程的方法。
当然，还有其他一些特殊的方法和技巧，可以根据具体问题的性质和难度级别选择合适的方法。
通过大量的练习和实际问题的应用，我们可以更加熟练地掌握解分式方程的方法，提高解决问题的能力。
八年级数学上册 3.7 可化为一元一次方程的分式方程 分式求值五技巧素材 (新版)青岛版
分式求值五技巧求分式的值这种题型在《分式》一章中经常出现.有些求值题用一般方法直接可以解答，但有些求值题用一般的方法解起来很困难.所以我们要善于总结，寻找技巧，这样才能顺利解题.以下向同学们介绍了几种常用的技巧.一、巧用整体代换例1：已知：x+x 1=2，求x 2+21x的值. 分析：用x+x 1表示x 2+21x，用已知式整体代换所求式. 解： 由x+x 1=2可得 ⎝⎛⎪⎭⎫+21x x =4 所以x 2+21x = ⎝⎛⎪⎭⎫+21x x -2•x•x 1 =4-2=2二、巧用变形代入：例2：已知：n m =4 求 2222n mn m mn m +--的值 分析：先将求值式化简，再把已知条件变形代入. 解：由n m=4可得m=4n 代入原式，原式=)()(2n m n m m --=n m m -=n n n -44=n n 34=34 三、巧设比值代入例3：已知：2a =3b =4c 求分式222c b a ac bc ab ++++的值 分析：已知条件2a =3b =4c 为等比形式时，常设比值为k ，把a ，b ，c 都用K 来表示，这样就可以求值了. 解：设2a =3b =4c =k 则a=2k b=3k c=4k 代入求值式：原式=2221694424332kk k k k k k k k ++•+•+•=222926k k =2926 四、巧用倒数：例4：已知：a+a 1=5 则1242++a a a 为________ 分析：由a+a 1=5求出a 的值式代入1242++a a a 明显比较复杂，对求值式取倒数，并向已知条件靠拢有下列解法. 解：把1242++a a a 的分子、分母倒过来 即2241aa a ++=24a a +22a a +21a =a 2+21a +1 = ⎝⎛⎪⎭⎫+21a a -2+1 = ⎝⎛⎪⎭⎫+21a a -1 =52-1=24 所以，原式1242++a a a =241 五、巧选特殊值代入：例5：若 x 1-y 1=31，求y xy x y xy x ---+3232的值 分析：通过条件式的一组特殊值来计算求值式的值.这种特殊的方法计算起来简单快捷，但是条件中字母不能任意取值，要受限制.所以我们在选值时要让它符合两个条件：（1）代入条件式和求值式中都有意义.（2）尽量找整数，利于求值计算.解：令x=2代入已知等式得， y=6把x=2，y=6代入求值式，得y xy x y xy x ---+3232=662326262322-••-•-••+•=636212364---+原式=4028 =-107 以上例5题还有其它的巧解方法，希望同学们在今后的学习中多找技巧，提高数学的学习兴趣，丰富自己的生活.。
分式的求值技巧
分式的求值技巧近年来，随着新课标的逐步实行，相关分式求值的试题持续渗透新的理念．为协助同学们熟悉新题型，迎接新挑战，特采撷部分中考题并加以归类浅析，供同学们复习时参考． 例1 如果2008=b a ，那么ba b a 28+—= ． 分析：将分式的分子、分母同时除以b 实行整理变形，然后将2008=b a 整体代入． 解：b a b a 28+—=28+ba b a —=2200882008+—=20102000=201200． 例2 若31=+x x ，则1242++x x x 的值是 ． 分析：本题如果直接解分式方程31=+xx ，求出x 的值后再代入待求式，将非常繁琐．但如果对待求式整体取倒数，则十分简捷．解：对待求式取倒数，得2241x x x ++=2211xx ++=2)1(12—x x ++=1+23—2=8．所以1242++x x x =81． 技巧三：构造形如aa 1+的代数式代入 例3 已知0152=++x x ，那么x x 1+= ，221xx += ． 分析：根据已知的式子实行适当的变形，构造出形如a a 1+的代数式，是解决某类分式求值问题的一种常见方法．解：由0152=++x x 实行变形，得x x 512-=+，两边同除以x ，得51-=+x x ． 继而221xx +=2)1(2-+x x =2)5(2--=23． 技巧四：引入参数 例4：（1）已知8332=++y x y x ，则yx y x ++243= ． （2）如果z y z y x 23==++，那么z y x x ++= ． 分析：本题是比较有新意的，刚开始我们可能无从下手，因为无法确切求出未知数（x 、y 、z ）得值，但我们可以通过设参数得形式解决．解：（1）设k y x 3=+ ①，k y x 832=+ ②．（0≠k ）①②联立，将其看作关于a 、b 的二元一次方程组，解得k a =，k b 2=． ∴41122243243=+⨯+=++k k k k b a b a ． （2）由已知等式得z z z y y x 223=⎩⎨⎧=++ 因三个未知数，两个方程，无法求出未知数得值，所以可设k z =，继而有k k k y y x 223=⎩⎨⎧=++ 解得⎪⎩⎪⎨⎧==.32,31k y k x ∴z y x x ++=k k k k ++323131=61．。
初中数学分式化解求值解题技巧大全
化简求值常用技巧在给定的条件下求分式的值，大多数条件下难以直接代入求值，它必须根据题目本身的特点，将已知条件或所求分式适当变形，然后巧妙求解.常用的变形方法大致有以下几种： 1、 应用分式的基本性质例1 如果12x x +=，则2421x x x ++的值是多少? 解：由0x ≠，将待求分式的分子、分母同时除以2x ，得 原式=.22221111112131()1x x x x===-+++-.2、倒数法例2如果12x x +=，则2421x x x ++的值是多少? 解：将待求分式取倒数，得42222221111()1213x x x x x x x++=++=+-=-= ∴原式=13. 3、平方法例3已知12x x +=，则221x x+的值是多少？ 解：两边同时平方，得22221124,42 2.x x x x ++=∴+=-= 4、设参数法例4已知0235a b c ==≠，求分式2222323ab bc aca b c +-+-的值. 解：设235a b ck ===，则2,3,5a k b k c k ===.∴原式=222222323532566.(2)2(3)3(5)5353k k k k k k k k k k k ⨯+⨯⨯-⨯⨯==-+-- 例5已知,a b c b c a ==求a b c a b c +--+的值. 解：设a b ck b c a===，则,,.a bk b ck c ak ===∴3c ak bk k ck k k ck ==⋅=⋅⋅=， ∴31,1k k == ∴a b c == ∴原式=1.a b ca b c+-=-+5、整体代换法例6已知113,x y -=求2322x xy yx xy y+---的值. 解：将已知变形，得3,y x xy -=即3x y xy -=-∴原式=2()32(3)333.()23255x y xy xy xy xy x y xy xy xy xy -+⨯-+-===-----例： 例5. 已知a b +<0，且满足a a b ba b 2222++--=，求a b a b3313+-的值。
初中数学(初二)考点：分式的化简求值
1、考点名称:分式的化简求值5年考试次数:327考点内容:(1) 先把分式化简后,再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值.(2) 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简.(3) 化简的最后结果分子、分母要进行约分,注意运算的结果要化成最简分式或整式.规律方法：分式化简求值时需注意的问题：1.化简求值,一般是先化简为最简分式或整式,再代入求值.化简时不能跨度太大,而缺少必要的步骤,代入求值的模式一般为“当…时,原式=…”.2.代入求值时,有直接代入法,整体代入法等常用方法.解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法.当未知数的值没有明确给出时,所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义,且除数不能为0.2、考点名称:解分式方程5年考试次数:247考点内容:(1)解分式方程的步骤:①去分母;②求出整式方程的解;③检验;④得出结论.(2)解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0,所以应如下检验:①将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解.②将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值为0,则整式方程的解不是原分式方程的解. 所以解分式方程时,一定要检验.3、考点名称:分式方程的应用5年考试次数:151考点内容:1、列分式方程解应用题的一般步骤:设、列、解、验、答.必须严格按照这5步进行做题,规范解题步骤,另外还要注意完整性:如设和答叙述要完整,要写出单位等.2、要掌握常见问题中的基本关系,如行程问题:速度=路程时间;工作量问题:工作效率=工作量工作时间等等.列分式方程解应用题一定要审清题意,找相等关系是着眼点,要学会分析题意,提高理解能力. 4、考点名称:待定系数法求一次函数解析式5年考试次数:76考点内容:待定系数法求一次函数解析式一般步骤是:(1)先设出函数的一般形式,如求一次函数的解析式时,先设y=kx+b;(2)将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式,得到关于待定系数的方程或方程组;(3)解方程或方程组,求出待定系数的值,进而写出函数解析式.注意:求正比例函数,只要一对x,y的值就可以,因为它只有一个待定系数;而求一次函数y=kx+b,则需要两组x,y的值.5、考点名称:三角形内角和定理5年考试次数:106考点内容:(1)三角形内角的概念:三角形内角是三角形三边的夹角.每个三角形都有三个内角,且每个内角均大于0°且小于180°.(2)三角形内角和定理:三角形内角和是180°.(3)三角形内角和定理的证明证明方法,不唯一,但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起,组合成一个平角.在转化中借助平行线.(4)三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数.①直接根据两已知角求第三个角;②依据三角形中角的关系,用代数方法求三个角;③在直角三角形中,已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角6、考点名称:全等三角形的判定5年考试次数:136考点内容:(1)判定定理1:SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等.(2)判定定理2:SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等.(3)判定定理3:ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等.(4)判定定理4:AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.(5)判定定理5:HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等.方法指引:全等三角形的5种判定方法中,选用哪一种方法,取决于题目中的已知条件,若已知两边对应相等,则找它们的夹角或第三边;若已知两角对应相等,则必须再找一组对边对应相等,且要是两角的夹边,若已知一边一角,则找另一组角,或找这个角的另一组对应邻边.7、考点名称:等腰三角形的判定5年考试次数:44考点内容:判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.简称:等边对等角说明:①等腰三角形是一个轴对称图形,它的定义既作为性质,又可作为判定办法.②等腰三角形的判定和性质互逆;③在判定定理的证明中,可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线,但不能作未来底边的中线;④判定定理在同一个三角形中才能适用.8、考点名称:勾股定理5年考试次数:760考点内容:(1)勾股定理:在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.(2)勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.(3)勾股定理公式a2+b2=c2的变形有:、及(4)由于a2+b2=c2>a2,所以c>a,同理c>b,即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边.9、考点名称:三角形中位线定理5年考试次数:229考点内容:(1)三角形中位线定理: 三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.(2)几何语言: 如图,∵点D、E分别是AB、AC的中点∴DE∥BC,DE=BC.10、考点名称:平行四边形的判定5年考试次数:102考点内容:(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形.符号语言:∵AB∥DC,AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形.(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形.符号语言:∵AB=DC,AD=BC∴四边行ABCD是平行四边形.(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.符号语言:∵AB∥DC,AB=DC∴四边行ABCD是平行四边形.(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形.符号语言:∵∠ABC=∠ADC,∠DAB=∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形.(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.符号语言:∵OA=OC,OB=OD∴四边行ABCD是平行四边形.。
分式运算的常用技巧与方法
分式运算的常用技巧与方法分式运算是数学中常见的运算形式，掌握一些常用的技巧和方法可以帮助我们更快、更准确地进行计算。
以下是一些分式运算的常用技巧和方法：一、化简与约分：化简和约分是分式运算的基本操作，可以简化分式，使其更容易处理。
化简分式的方法有：1.因式分解：将分子和分母同除以其最大公因数，化简为最简形式的分式。
2.合并同类项：对于分子或分母中含有多项的情况，将同类项相加或相减，化简为简单的形式。
3.分解为部分分式：一些分式可以通过分解为部分分式的形式进行化简，如等式两端分别乘以一个分子时。
二、通分：当两个分式的分母不同时，我们需要将分母化为相同的公分母，这个过程称为通分。
通分的方法有：1.找到两个分母的最小公倍数，在分子和分母同时乘上适当的倍数，使得两个分母相等。
2.当两个分式的分母为一次因式的幂指时，可以将较高次幂的分母分解为较低次幂的分母，再进行通分。
三、分式的加减运算：分式的加减运算可以通过通分和合并同类项来进行。
具体的步骤如下：1.找到两个分式的最小公倍数作为通分的分母。
2.将两个分式的分子乘以一个适当的倍数，使得它们的分母相同。
乘上的倍数可以通过最小公倍数与原分母的比值得到。
3.合并同类项，将分子进行相加或相减。
四、分式的乘除运算：分式的乘除运算可以通过相乘或相除的方式进行。
具体的步骤如下：1.乘法：将两个分式的分子相乘，分母相乘，得到新的分子和分母后化简。
2.除法：将一个分式的分子乘以另一个分式的分母，分母乘以另一个分式的分子，得到新的分子和分母后化简。
五、分式的倒数和幂运算：分式的倒数就是将分子和分母互换的操作。
分式的幂运算可以通过将分子和分母同时进行幂运算来进行。
六、一些特殊的分式运算：除了以上常见的分式运算方法，还有一些特殊的分式运算，如：1.分式的比较大小：将两个分式的分子和分母相乘后进行比较。
2.分式的求值：将分式中的变量替换为具体的数值进行计算。
分式运算中的常用技巧与方法
分式运算中的常用技巧与方法1在分式运算中，若能认真观察题目结构特征，灵活运用解题技巧，选择恰当的运算方法，常常收到事半功倍的效果。
现就分式运算中的技巧与方法举例说明。
一、整体通分法例1．化简：21a a --a-1 分析 将后两项看作一个整体，则可以整体通分，简捷求解。
解：21a a --a-1=21a a --(a+1)= 21a a --(1)(1)1a a a -+-=22(1)1a a a ---=11a - 二、逐项通分法例2．计算1a b --1a b +-222b a b +-3444b a b- 分析：注意到各分母的特征，联想乘法公式，适合采用逐项通分法 解：1a b --1a b +-222b a b +-3444b a b -=22()()a b a b a b +----222b a b +-3444b a b- =222b a b --222b a b+-3444b a b -=2222442()2()b a b b a b a b +----3444b a b - =3444b a b --3444b a b -=0 三、先约分，后通分例3．计算：2262a a a a +++22444a a a -++ 分析：分子、分母先分解因式，约分后再通分求值计算 解：2262a a a a +++22444a a a -++=(6)(2)a a a a +++2(2)(2)(2)a a a +-+=62a a +++22a a -+=242a a ++=2 四、整体代入法例4．已知1x +1y=5求2522x xy y x xy y -+++的值 解法1：∵1x +1y =5∴xy ≠0,.所以2522x xy y x xy y -+++=225112y x y x -+++=112()5112x y x y+-++=25552⨯-+=57 解法2：由1x +1y=5得，x y xy +=5, x+y=5xy ∴2522x xy y x xy y -+++=2()5()2x y xy x y xy+-++=25552xy xy xy xy ⨯-+=57xy xy =57 五、运用公式变形法例5．已知a 2-5a+1=0，计算a 4+41a 解：由已知条件可得a ≠0,∴a+1a=5 ∴a 4+41a =(a 2+21a )2-2=[(a+1a)2-2]2-2=(52-2)2-2=527 六、设辅助参数法例6．已知b c a += a c b += a b c +，计算：()()()a b b c c a abc+++ 解：设b c a += a c b += a b c+=k ，则b+c=ak ；a+c=bk ；a+b=ck ； 把这3个等式相加得2(a+b+c)= (a+b+c)k若a+b+c=0，a+b= -c,则k= -1若a+b+c ≠0，则k=2()()()a b b c c a abc +++=ak bk ck abc⋅⋅=k 3 当k=-1时，原式= -1当k=2时，原式= 8七、应用倒数变换法例7．已知21a a a -+=7，求2421a a a ++的值 解：由条件知a ≠0,∴21a a a -+=17,即a+1a =87∴4221a a a ++=a 2+21a +1=(a+1a)2-1=1549 ∴2421a a a ++=4915八、取常数值法例8．已知：xyz ≠0,x+y+z=0,计算y z x ++x z y ++x y z+ 解：根据条件可设x=1,y=1,z=-2. 则y z x ++x z y ++x y z+=-3.当然本题也可以设为其他合适的常数。
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化简求值常用技巧在给定的条件下求分式的值，大多数条件下难以直接代入求值，它必须根据题目本身的特点，将已知条件或所求分式适当变形，然后巧妙求解.常用的变形方法大致有以下几种： 1、 应用分式的基本性质例1 如果12x x+=，则2421x x x ++的值是多少?解：由0x ≠，将待求分式的分子、分母同时除以2x ，得 原式=.22221111112131()1x x x x===-+++-.2、倒数法例2如果12x x+=，则2421x x x ++的值是多少? 解：将待求分式取倒数，得42222221111()1213x x x x x x x++=++=+-=-= ∴原式=13. 3、平方法例3已知12x x+=，则221x x +的值是多少？解：两边同时平方，得22221124,42 2.x x x x++=∴+=-= 4、设参数法例4已知0235a b c ==≠，求分式2222323ab bc aca b c +-+-的值. 解：设235a b ck ===，则2,3,5a k b k c k ===.∴原式=222222323532566.(2)2(3)3(5)5353k k k k k k k k k k k ⨯+⨯⨯-⨯⨯==-+-- 例5已知,a b c b c a==求a b c a b c +--+的值.解：设a b ck b c a===，则,,.a bk b ck c ak ===∴3c ak bk k ck k k ck ==⋅=⋅⋅=， ∴31,1k k == ∴a b c == ∴原式=1.a b ca b c+-=-+5、整体代换法例6已知113,x y -=求2322x xy y x xy y+---的值. 解：将已知变形，得3,y x xy -=即3x y xy -=-∴原式=2()32(3)333.()23255x y xy xy xy xy x y xy xy xy xy -+⨯-+-===-----例： 例5. 已知a b +<0，且满足a a b ba b 2222++--=，求a b a b3313+-的值。
解：因为a a b ba b 2222++--= 所以()()a b a b +-+-=220 所以()()a b a b +-++=210 所以a b +=2或a b +=-1 由a b +<0 故有a b +=-1所以a b a b a ba a b b a b33221313+-=+-+-()()=-⨯-+-=-+-113312222()a ab b aba ab b ab =+--=---=--()()a b a b a b a b a b a b a b 2233113311331=-1评注：本题应先对已知条件a a b ba b 2222++--=进行变换和因式分解，并由a b +<0确定出a b +=-1，然后对所给代数式利用立方和公式化简，从而问题迎刃而解。
6、消元代换法例7已知1,abc =则111a b cab a bc b ac c ++=++++++ .解：∵1,abc =∴1,c ab=∴原式=111111a babab a b ab b a ab ab++++⋅++⋅++ 1111a ab ab a ab a a ab =++++++++ 1 1.1ab a ab a ++==++ 7、拆项法例8若0,a b c ++=求111111()()()3a b c bcacab++++++的值.解：原式=111111()1()1()1a b c bcacab⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦111111111()()()a b c a b c a b c a b c =++++++++111()()a b c a b c=++++ 0a b c ++=∵∴原式=0. 8、配方法例9若13,13,a b b c -=-=求2221a b c ab ac bc++---的值. 解：由13,13,a b b c -=-=得2a c -=. ∴2222a b c ab ac b ++---2221()()()2a b b c a c ⎡⎤=-+-+-⎣⎦11202=⨯= ∴原式=16.化简求值切入点介绍解题的切入点是解题的重要方向，是解题的有效钥匙。
分式求值有哪些切入点呢？下面本文结合例题归纳六个求分式的值的常见切入点，供同学们借鉴：切入点一：“运算符号”点拨：对于两个分母互为相反数的分式相加减，只须把其中一个分式的分母的运算符号提出来，即可化成同分母分式进行相加减。
例1：求ab a b a b 24222-+-解：原式=b a a b a b ---24222=b a a b --2422=ba b a ---2422=)2()2)(2(b a b a b a --+-=)2(b a +-=b a --2评注：我们在求解异分母分式相加减时，先要仔细观察这两个分式的分母是否互为相反数。
若互为相反数，则可以通过改变运算符号来化成同分母分式，从而避免盲目通分带来的繁琐。
切入点二：“常用数学运算公式”点拨：在求分式的值时，有些数学运算公式直接应用难以奏效，这时，需要对这些数学公式进行变形应用。
例2：若0132=+-a a ，则331a a +的值为______ 解：依题意知，0≠a ，由0132=+-a a 得a a 312=+，对此方程两边同时除以a 得31=+aa ∴18)33(3]3)1)[(1()11)(1(1222233=-⨯=-++=+-+=+a a a a a a a a a a评注：在求分式的值时，要高度重视以下这些经过变形后的公式的应用：①))((22b a b a b a -+=- ②ab b a ab b a b a 2)(2)(2222+-=-+=+ ③)(3)(]3))[(())((322233b a ab b a ab b a b a b ab a b a b a +-+=-++=+-+=+ ④)(3)(]3))[(())((322233b a ab b a ab b a b a b ab a b a b a -+-=+--=++-=- ⑤])()[(4122b a b a ab --+=切入点三：“分式的分子或分母”点拨：对于分子或分母含有比较繁杂多项式的分式求值，往往需要对这些多项式进行分解因式变形处理，然后再代题设条件式进行求值。
例3：已知5,3-==+xy y x ，求2222223xy y x y xy x +++的值。
解：xy y x y x xy y x y x xyy x y xy x +=+++=+++)2())(2(2232222 ∵5,3-==+xy y x ∴原式=5353-=- 评注：分解因式的方法是打开分式求值大门的有效钥匙，也是实现分式约分化简的重要工具。
像本题先利用十字相乘法对分子分解因式，利用提公因式法对分母分解因式，然后约去相同的因式，再代题设条件式求值，从而化繁为简。
切入点四：“原分式中的分子和分母的位置”点拨：对于那些分母比分子含有更繁杂代数式的分式，倘若直接求值，则难以求解。
但是，我们可以先从其倒数形式入手，然后再对所求得的值取其倒数，则可以把问题简单化。
例4：已知3112=++x x x ，则1242++x x x 的值为______ 解：依题意知，0≠x ，由3112=++x x x 得 312=++x x x ，即311=++x x 从而得21=+x x ∴3121)1(1112222224=-=-+=++=++x x x x x x x 故311242=++x x x评注：取倒数思想是处理那些分母比分子含有更繁杂代数式的分式求值问题的重要法宝。
像本题利用取倒数思想巧变原分式中的分子和分母的位置，从而化难为易。
切入点五：“题设条件式”点拨：当题设条件式难以直接代入求值时，不妨对其进行等价变换，也许可以找到解题钥匙。
例5：已知323=-y x ，则xy xy xyy x 69732-+--的值为______ 解：由323=-yx 得xy x y 323=-，则xy y x 332-=- ∴4116473337)23(33269732-=-=+⨯--=+---=-+--xy xy xy xy xy xy xy x y xy y x x y xy xy y x评注：等价变换思想是沟通已知条件和未知结论的重要桥梁，是恒等变形的充分体现。
像本题通过对题设条件式作等价变换，找到重要解题条件“xy x y 323=-”和“xy y x 332-=-”，然后作代换处理，从而快速求值。
切入点六：“分式中的常数值”点拨：当题设条件式的值和所要求解的分式的常数相同时，应注意考虑是否可以作整体代入变形求解，以便更快找到解题的突破口。
例6：设1=abc ，求111++++++++c ac cb bc b a ab a 的值 解：∵1=abc∴原式=11++++++++c ac cb bc b abc a ab a =1111++++++++c ac c b bc b bc b =abc c ac c b bc b ++++++11=ab a b bc b ++++++1111 =ab abc a abc b bc b ++++++11=b bc bcb bc b ++++++111 =111=++++b bc bcb评注：整体代入变形是分式求值的重要策略。
像本题紧扣“1=abc ”，多次作整体代入处理，先繁后简，逐项通分，最后顺利得到分式的值。
综上可见，找准切入点，灵活变形可以巧妙求解分式的值。
所以，当你遇到分式求值题找不到解题方向时，不妨找准切入点，对原分式变一变，也许分式求值思路现。