洛必达法则

一、洛必达法则
1. 0/0型与∞/∞型未定式 定理1
பைடு நூலகம்
设
(1)当x→x0时，函数f(x)及g(x)都趋于零（或f(x)及g(x)都
趋于无穷大）.
(2)在点x0的某去心邻域内，f′(x)及g′(x)都存在且g′(x)≠0.
(3)
存在或为无穷大.
则
一、洛必达法则
证明这里仅证当x→x0时的0/0型未定式的情形.对于当
一、洛必达法则
当x→x0时，有ξ→x0，所以
上述定理给出的这种在一定条件下通过对分子、 分母分别先求导、再求极限来确定未定式的值的 方法称为洛必达法则.
一、洛必达法则
注意
如果f′(x)/g′(x)当x→x0时仍是0/0型和∞/∞型未定 式，且这时f′(x)与g′(x)满足定理1中f(x)，g(x)所要满足 的条件，那么可以继续使用洛必达法则，即
（3）
存在或为无穷大.
则
一、洛必达法则
【例6】
【例7】
一、洛必达法则
解这是∞/∞型未定式.当α是正整数时,连续应用α次洛 必达法则得
当α不是正整数时,显然必存在正整数k,使得k－ 1<α<k,此时连续应用k次洛必达法则,即得
综上所述,对任意α>0,都有
二、其他类型的未定式
除了0/0型和∞/∞型两种基本未定式外，还有0·∞,∞－ ∞,00,1∞,∞0型未定式,它们都可以经过适当变形,化为0/0型或∞/∞ 型未定式后，再应用洛必达法则来计算.
一、洛必达法则
【例1】
一、洛必达法则
注意
上式中的
已不再是未定式,故不能再
对它应用洛必达法则,否则要导致错误的结果.因此在每
次使用洛必达法则之前,都要验证极限是否为0/0型未定
式.
【例2】
一、洛必达法则
【例3】
一、洛必达法则
【例4】
注意
在利用洛必达法则求极限的过程中,也可以结合其他 求极限的方法,如上例中就用到了等价无穷小tan x~x,1 －cos x~1/2x2,这样做可以使运算更简便.
∞∞型未定式.
例如，
等就是未定式.
第二节、洛必达法则
在第一章中，曾计算过两个无穷小之比以 及两个无穷大之比的极限.计算未定式往往需要 经过适当的变形，转化成可利用极限运算法则 或重要极限进行计算的形式.这种变形没有一般 方法，需视具体问题而定，属于特定的方法.本 节将用导数作为工具，给出计算这类极限的一 般方法，即洛必达法则.
x→x0时的∞/∞型未定式的情形，有兴趣的读者可自己证明.
因为极限
是否存在与f(x0)和g(x0)取何值无关，故可
补充定义
f(x0)=g(x0)=0. 于是，由条件（1）和（2）可知，函数f(x)及g(x)在点x0的某 一邻域内是连续的.设x是该邻域内任意一点(x≠x0)，则f(x)及 g(x)在以x及x0为端点的区间上，满足柯西中值定理的条件，从 而存在ξ(ξ介于x与x0之间)，使得
洛必达法则
第二节、洛必达法则
如果当x→x0(或x→∞)时，两个函数f(x)与g(x)都
趋于零或都趋于无穷大,则极限 limx→x0f(x)g(x)(或
limx→∞f(x)g(x))可能存在，也可能不存在，通常把
这种极限称为未定式.当f(x)及g(x)都趋于零时，称为
00型未定式；当f(x)及g(x)都趋于无穷大时，称为
【例5】
一、洛必达法则
解 因为
一、洛必达法则
以上讨论了当x→x0时0/0型和∞/∞型 未定式的情形.下面的定理则给出了当x→∞ 时0/0型和∞/∞型未定式的洛必达法则.
定理1
一、洛必达法则
设
（1）当x→∞时，函数f(x)及g(x)都趋于零（或f(x)
及g(x)都趋于无穷大).
（2）对充分大的x，f′(x)及g′(x)都存在且g′(x)≠0.
【例10】 【例11】
谢谢聆听
（1）对于0·∞型，可将乘积化为除的形式，即化为0/0或 ∞/∞型的未定式来计算.
（2）对于∞－∞型，可利用通分化为0/0型未定式来计算. （3）对00,1∞,∞0型，可以先化为以e为底的指数函数的极限， 再利用指数函数的连续性，化为直接求指数的极限.一般地，有
其中a是有限数或无穷.
【例8】
【例9】