高考理科数学数学导数专题复习

高考理科数学数学导数专

题复习

Last revision date: 13 December 2020.

高考数学导数专题复习

考试内容

导数的背影．导数的概念．多项式函数的导数．

利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．证明不等式恒成立 考试要求：

（1）了解导数概念的某些实际背景． （2）理解导数的几何意义．

（3）掌握常用函数导数公式，会求多项式函数的导数．（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值． （6）会利用导数证明不等式恒成立问题及相关问题 知识要点

在0x 处有增

称为函数，即

f 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系：

⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上，令x x x ∆+=0，则0x x →相当于0→∆x . 于是)]()()([lim )(lim )(lim 0000

00

x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=∆+=→∆→∆→

).()(0)()(lim lim )

()(lim )]()()([

lim 000'0000000000

x f x f x f x f x

x f x x f x f x x x f x x f x x x x =+⋅=+⋅∆-∆+=+∆⋅∆-∆+=→∆→∆→∆→∆⑵如果

)(x f y =点0x 处连续，那么)(x f y =在点0x 处可导，是不成立的.

例：||)(x x f =在点00=x 处连续，但在点00=x 处不可导，因为

x

x x y ∆∆=

∆∆|

|，当x ∆＞0时，1=∆∆x y ；当x ∆＜0时，

1-=∆∆x

y ，故x y

x ∆∆→∆0lim

不存在. 注：

①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义和物理意义：

（1）几何意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为

).

)((0'0x x x f y y -=-

（2）物理意义：位移的导数是速度，速度的导数是加速度。 4. 求导数的四则运算法则：

''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=⇒+=（c 为常数）

注：

①v u ,必须是可导函数.

②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、 积、商不一定不可导.

例如：设x x x f 2

sin 2)(+=，x

x x g 2cos )(-=，则)(),(x g x f 在0=x 处均不可导，但它们和

=+)()(x g x f x x cos sin +在0=x 处均可导.

5. 复合函数的求导法则：)()())(('''x u f x f x ϕϕ=或x u x u y y '''⋅= 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.

6. 函数单调性：

⑴函数单调性的判定方法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果)('x f ＞0，则)(x f y =为增函数；如果)('x f ＜0，则)(x f y =为减函数. ⑵常数的判定方法；

如果函数)(x f y =在区间I 内恒有)('x f =0，则)(x f y =为常数. 注：

①0)( x f 是f （x ）递增的充分条件，但不是必要条件，如32x y =在),(+∞-∞上并不是都有

0)( x f ，有一个点例外即x =0时f （x ） = 0，同样0)( x f 是f （x ）递减的充分非必要条件.

②一般地，如果f （x ）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f （x ）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.

7. 极值的判别方法：（极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极大值，极小值同理）

当函数)(x f 在点0x 处连续时：

①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值； ②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，那么)(0x f 是极小值.

也就是说0x 是极值点的充分条件是0x 点两侧导数异号，而不是)('x f =0①. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）. 注

①： 若点0x 是可导函数)(x f 的极值点，则)('x f =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点0x 是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零. 例如：函数3)(x x f y ==，0=x 使)('x f =0，但0=x 不是极值点.

②例如：函数||)(x x f y ==，在点0=x 处不可导，但点0=x 是函数的极小值点. 8. 极值与最值的区别：

极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较. 注：函数的极值点一定有意义. 9. 几种常见的函数导数：

I.0'=C （C 为常数） x x cos )(sin '

= 2

'11)(arcsin x

x -=

1')(-=n n nx x （R n ∈） x x sin )(cos '-= 2

'11)(arccos x

x --

=

II. x x 1)(ln '= e x

x a a log 1

)(log '= 1

1)(arctan 2

'+=

x x

III. 求导的常见方法：