2020年中考试题分类汇编——二次函数

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2020年中考数学试题分类汇编之13二次函数(试题+详细答案)

2020年中考数学试题分类汇编之13二次函数一、选择题1．（2020安徽）（4分）如图，ABC ∆和DEF ∆都是边长为2的等边三角形，它们的边BC ，EF 在同一条直线l 上，点C ，E 重合．现将ABC ∆在直线l 向右移动，直至点B 与F 重合时停止移动．在此过程中，设点C 移动的距离为x ，两个三角形重叠部分的面积为y ，则y 随x 变化的函数图象大致为( )A ．B ．C ．D ．2.（2020福建）已知()111,P x y ，()222,P x y 是抛物线22y ax ax =-上的点，下列命题正确的是（）A. 若12|1||1|->-x x ，则12y y >B. 若12|1||1|->-x x ，则12y y <C. 若12|1||1|-=-x x ，则12y y =D. 若12y y =，则12x x =3．（2020陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线y ＝x 2﹣（m ﹣1）x +m （m ＞1）沿y 轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．（2020哈尔滨）（3分）将抛物线2y x =向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的拋物线为( ) A ．2(3)5y x =++ B ．2(3)5y x =-+ C ．2(5)3y x =++ D ．2(5)3y x =-+5．(2020杭州)（3分）设函数y ＝a （x ﹣h ）2+k （a ，h ，k 是实数，a ≠0），当x ＝1时，y ＝1；当x ＝8时，y ＝8，（） A ．若h ＝4，则a ＜0 B ．若h ＝5，则a ＞0C ．若h ＝6，则a ＜0D ．若h ＝7，则a ＞06．(2020杭州)（3分）在平面直角坐标系中，已知函数y 1＝x 2+ax +1，y 2＝x 2+bx +2，y 3＝x 2+cx +4，其中a ，b ，c 是正实数，且满足b 2＝ac ．设函数y 1，y 2，y 3的图象与x 轴的交点个数分别为M 1，M 2，M 3，（） A ．若M 1＝2，M 2＝2，则M 3＝0 B ．若M 1＝1，M 2＝0，则M 3＝0 C ．若M 1＝0，M 2＝2，则M 3＝0D ．若M 1＝0，M 2＝0，则M 3＝07．(2020天津)已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数0a ≠，1c >）经过点()2,0，其对称轴是直线12x =．有下列结论： ①0abc >①关于x 的方程2ax bx c a ++=有两个不等的实数根； ①12a <-．其中，正确结论的个数是（） A ．0B ．1C ．2D ．38.（2020河北）如图，现要在抛物线(4)y x x =-上找点(,)P a b ，针对b 的不同取值，所找点P 的个数，三人的说法如下，甲：若5b =，则点P 的个数为0；乙：若4b =，则点P 的个数为1；丙：若3b =，则点P 的个数为1．下列判断正确的是（）A. 乙错，丙对B. 甲和乙都错C. 乙对，丙错D. 甲错，丙对9.（2020江西）在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线223y x x =--与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，连接AB ，将Rt OAB ∆向右上方平移，得到'''Rt O A B ∆，且点'O ，'A 落在抛物线的对称轴上，点'B 落在抛物线上，则直线''A B 的表达式为（） A ．y x = B ．1y x =+ C ．12y x =+D ．2y x =+ 10.（2020四川绵阳）三孔桥横截面的三个孔都是呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同。

2020-2021全国中考数学二次函数的综合中考真题分类汇总附答案解析

2020-2021全国中考数学二次函数的综合中考真题分类汇总附答案解析一、二次函数1．如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE 面积最大，并求出其最大值；（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）当m=52时，四边形AOPE面积最大，最大值为758.（3）P点的坐标为：P13+515-），P2（35-1+52），P35+5，1+52），P4（552-，152）.【解析】分析：（1）利用对称性可得点D的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式；（2）设P（m，m2-4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得四边形AOPE的面积，利用配方法可得其最大值；（3）存在四种情况：如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据OM=PN列方程可得点P 的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．详解：（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，由对称性得：D（3，0），设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），把A（0，3）代入得：3=3a，a=1，∴抛物线的解析式；y=x2-4x+3；（2）如图2，设P（m，m2-4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，∴∠AOE=45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE=OA=3，∴E（3，3），易得OE的解析式为：y=x，过P作PG∥y轴，交OE于点G，∴G（m，m），∴PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3，∴S四边形AOPE=S△AOE+S△POE，=12×3×3+12PG•AE，=92+12×3×（-m2+5m-3），=-32m2+152m，=32（m-52）2+758， ∵-32＜0， ∴当m=52时，S 有最大值是758；（3）如图3，过P 作MN ⊥y 轴，交y 轴于M ，交l 于N ，∵△OPF 是等腰直角三角形，且OP=PF ，易得△OMP ≌△PNF ，∴OM=PN ，∵P （m ，m 2-4m+3），则-m 2+4m-3=2-m ，解得：m=5+5或55-， ∴P 的坐标为（5+5，1+5）或（55-，15-）；如图4，过P 作MN ⊥x 轴于N ，过F 作FM ⊥MN 于M ，同理得△ONP ≌△PMF ，∴PN=FM ，则-m2+4m-3=m-2，解得：x=3+5或35 -；P的坐标为（3+5，15-）或（35-，1+52）；综上所述，点P的坐标是：（5+52，1+52）或（552-，152-）或（3+5，15-）或（35-，1+5）．点睛：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用配方法，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．2．如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA＝1，tan∠BAO＝3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A、B、C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求以C、E、F为顶点三角形与△COD相似时点P的坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；（2）当△CEF与△COD相似时，P点的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）．【解析】【分析】（1）根据正切函数，可得OB，根据旋转的性质，可得△DOC≌△AOB，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）分两种情况讨论：①当∠CEF＝90°时，△CEF∽△COD，此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点；②当∠CFE＝90°时，△CFE∽△COD，过点P作PM⊥x轴于M点，得到△EFC∽△EMP，根据相似三角形的性质，可得PM与ME的关系，解方程，可得t的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．【详解】（1）在Rt△AOB中，OA＝1，tan∠BAO OB OA==3，∴OB＝3OA＝3．∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的，∴△DOC≌△AOB，∴OC＝OB＝3，OD＝OA＝1，∴A，B，C的坐标分别为（1，0），（0，3），（﹣3，0），代入解析式为09303a b ca b cc++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得：123abc=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）∵抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，∴对称轴为l2ba=-=-1，∴E点坐标为（﹣1，0），如图，分两种情况讨论：①当∠CEF＝90°时，△CEF∽△COD，此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，P （﹣1，4）；②当∠CFE＝90°时，△CFE∽△COD，过点P作PM⊥x轴于M点，∵∠CFE=∠PME=90°，∠CEF=∠PEM，∴△EFC∽△EMP，∴13EM EF ODMP CF CO===，∴MP＝3ME．∵点P的横坐标为t，∴P（t，﹣t2﹣2t+3）．∵P在第二象限，∴PM＝﹣t2﹣2t+3，ME＝﹣1﹣t，t＜0，∴﹣t2﹣2t+3＝3（﹣1﹣t），解得：t1＝﹣2，t2＝3（与t＜0矛盾，舍去）．当t＝﹣2时，y＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3，∴P（﹣2，3）．综上所述：当△CEF与△COD相似时，P点的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）．【点睛】本题是二次函数综合题．解（1）的关键是利用旋转的性质得出OC，OD的长，又利用了待定系数法；解（2）的关键是利用相似三角形的性质得出MP＝3ME．3．如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y＝at2＋5t＋c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m.(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？【答案】（1）足球飞行的时间是85s时，足球离地面最高，最大高度是4.5m；（2）能.【解析】试题分析：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得到，求得抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，当t=时，y最大=4.5；（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，于是得到他能将球直接射入球门．解：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，∴当t=时，y最大=4.5；（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，∴当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，∴他能将球直接射入球门．考点：二次函数的应用．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；（3）符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139），【解析】分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-13x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-13x+3，再解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得3p qq-+=⎧⎨=⎩，解得33pq=⎧⎨=⎩，∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b，把C（0，3）代入得b=3，∴直线PC的解析式为y=﹣13x+3，解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝，解得3xy=⎧⎨=⎩或73209xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则此时P点坐标为（73，209）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，把A（﹣1，0）代入得13+b=0，解得b=﹣13，∴直线PC的解析式为y=﹣13x﹣13，解方程组2231133y x xy x⎧-++⎪⎨--⎪⎩＝＝，解得1xy=-⎧⎨=⎩或103139xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P点坐标为（103，﹣139）.综上所述，符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139）.点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．5．如图，抛物线y=﹣（x﹣1）2+c与x轴交于A，B（A，B分别在y轴的左右两侧）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，已知A（﹣1，0）．（1）求点B，C的坐标；（2）判断△CDB的形状并说明理由；（3）将△COB沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t＜3）得到△QPE．△QPE与△CDB重叠部分（如图中阴影部分）面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．【答案】(Ⅰ)B(3，0)；C(0，3)；(Ⅱ)CDB∆为直角三角形；(Ⅲ)22333(0)221933(3)222t t tSt t t⎧-+<≤⎪⎪=⎨⎪=-+<<⎪⎩.【解析】【分析】（1）首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后进一步确定点B，C的坐标．（2）分别求出△CDB三边的长度，利用勾股定理的逆定理判定△CDB为直角三角形．（3）△COB沿x轴向右平移过程中，分两个阶段：①当0＜t≤32时，如答图2所示，此时重叠部分为一个四边形； ②当32＜t ＜3时，如答图3所示，此时重叠部分为一个三角形．【详解】解：(Ⅰ)∵点()1,0A -在抛物线()21y x c =--+上， ∴()2011c =---+，得4c = ∴抛物线解析式为：()214y x =--+，令0x =，得3y =，∴()0,3C ；令0y =，得1x =-或3x =，∴()3,0B .(Ⅱ)CDB ∆为直角三角形.理由如下：由抛物线解析式，得顶点D 的坐标为()1,4.如答图1所示，过点D 作DM x ⊥轴于点M ，则1OM =，4DM =，2BM OB OM =-=.过点C 作CN DM ⊥于点N ，则1CN =，1DN DM MN DM OC =-=-=. 在Rt OBC ∆中，由勾股定理得：22223332BC OB OC =+=+=；在Rt CND ∆中，由勾股定理得：2222112CD CN DN =+=+=；在Rt BMD ∆中，由勾股定理得：22222425BD BM DM =+=+=.∵222BC CD BD +=，∴CDB ∆为直角三角形.(Ⅲ)设直线BC 的解析式为y kx b =+，∵()()3,0,0,3B C ，∴303k b b +=⎧⎨=⎩，解得1,3k b =-=，∴3y x =-+，直线QE 是直线BC 向右平移t 个单位得到，∴直线QE 的解析式为：()33y x t x t =--+=-++；设直线BD 的解析式为y mx n =+， ∵()()3,0,1,4B D ，∴304m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得：2,6m n =-=， ∴26y x =-+.连续CQ 并延长，射线CQ 交BD 交于G ，则3,32G ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 在COB ∆向右平移的过程中： (1)当302t <≤时，如答图2所示：设PQ 与BC 交于点K ，可得QK CQ t ==，3PB PK t ==-.设QE 与BD 的交点为F ，则：263y x y x t =-+⎧⎨=-++⎩. 解得32x ty t =-⎧⎨=⎩，∴()3,2F t t -.111222QPE PBK FBE F S S S S PE PQ PB PK BE y ∆∆∆=--=⋅-⋅-⋅ ()221113333232222t t t t t =⨯⨯---⋅=-+. (2)当332t <<时，如答图3所示：设PQ 分别与BC BD 、交于点K 、点J . ∵CQ t =，∴KQ t =，3PK PB t ==-.直线BD 解析式为26y x =-+，令x t =，得62y t =-， ∴(),62J t t -.1122PBJ PBK S S S PB PJ PB PK ∆∆=-=⋅-⋅ ()()()211362322t t t =---- 219322t t =-+. 综上所述，S 与t 的函数关系式为：2233302219333222t t t S t t t ⎧⎛⎫-+<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪=-+<< ⎪⎪⎝⎭⎩.6．已知，抛物线y=x 2+2mx(m 为常数且m≠0）．（1）判断该抛物线与x 轴的交点个数，并说明理由．（2）若点A （-n+5，0），B(n-1，0)在该抛物线上，点M 为抛物线的顶点，求△ABM 的面积．（3）若点（2，p)，（3，g ），（4，r)均在该抛物线上，且p<g<r ，求m 的取值范围．【答案】（1）抛物线与x 轴有2个交点，理由见解析；（2）△ABM 的面积为8；（3）m 的取值范围m>-2.5 【解析】【分析】（1）首先算出根的判别式b 2-4ac 的值，根据偶数次幂的非负性，判断该值一定大于0，从而根据抛物线与x 轴交点个数与根的判别式的关系即可得出结论；（2）根据抛物线的对称性及A,B 两点的坐标特点求出抛物线的对称轴直线为x=2.从而再根据抛物线对称轴直线公式建立方程，求解算出m 的值，进而求出抛物线的解析式，得出A,B,M 三点的坐标，根据三角形的面积计算方法，即可算出答案；（3）方法一（图象法）：根据抛物线的对称轴直线及开口方向判断出当对称轴在直线x=3的右边时，显然不符合题目条件；当对称轴在直线x=2的左边时，显然符合题目条件（如图2），从而列出不等式得出m 的取值范围；当对称轴在直线x=2和x=3之间时，满足3-（-m)>-m-2即可（如图3），再列出不等式得出m 的取值范围，综上所述，求出m 的取值范围；方法二（代数法）：将三点的横坐标分贝代入抛物线的解析式，用含m 的式子表示出p,g,r ，再代入 p<g<r 即可列出关于m 的不等式组，求解即可。

2020年全国各地数学中考试题精选之二次函数(含答案)

2020年全国各地数学中考试题精选之二次函数一、单选题1.（2020·辽阳模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）.对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③4a﹣2b+c＜0；④8a+c＞0.其中正确的有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个2.（2020·杭州模拟）在平面直角坐标系中，已知m≠n，函数y=x²+（m+n）x+mn的图象与x轴有a个交点，函数y=mnx²+（m+n）x+1的图象与x轴有b个交点，则a与b的数量关系是（）A. a=bB. a=b-1C. a=b或a=b+1D. a=b或a=b-13.（2020·广西模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(−1,0)，其部分图象如图所示，下列结论：①2a+b=0；②b2−4ac<0；③当y>0时，x的取值范围是−1<x<3；④当x>0时，y随x增大而增大；⑤若t为任意实数，则有a+b≥at2+ bt，其中结论正确的个数是( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个4.（2020·铁岭模拟）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，在下列说法中：①abc＞0；②a+b+c>0；③4a−2b+c>0；④当x>1时，y随着y的增大而增大.正确的说法个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 45.（2020·东城模拟）若点A(1,y1),B(2,y2)在抛物线y=a(x+1)2+2(a<0)上，则下列结论正确的是（）A. 2>y1>y2B. 2>y2>y1C. y1>y2>2D. y2>y1>26.（2020·长丰模拟）若(−2,0)是二次函数y=ax2+bx(a>0)图象上一点，则抛物线y=a(x−2)2+ bx−2b的图象可能是（）A. B.C. D.7.（2020·南山模拟）已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=1，其部分图象如图所示，下列说法中：①abc<0；②4a−2b+c<0；③若A（−12，y1）、B（32，y2）、C（−2，y3）是抛物线上的三点，则有y3<y1<y2；④若m，n（m<n）为方程a(x−3)(x+1)−2=0的两个根，则m>−1且n<3，以上说法正确的有（）A. ①②③④B. ②③④C. ①②④D. ①②③8.（2020·萧山模拟）已知二次函数y=a（x-2）2+c，当x=x1时，函数值为y1；当x=x2时，函数值为y2，若|x1-2|>|x2-2|，则下列表达式正确的是（）A. y1+y2>0B. y1-y2>0C. a（y1-y2）>0D. a（y1+y2）>09.（2020·西安模拟）二次函数y＝x2+bx+c的图象经过坐标原点O和点A(7，0)，直线AB交y轴于点B(0，﹣7)，动点C(x，y)在直线AB上，且1＜x＜7，过点C作x轴的垂线交抛物线于点D，则CD的最值情况是( )A. 有最小值9B. 有最大值9C. 有最小值8D. 有最大值810.（2020·广水模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a−b+c＞0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠ x2，则x1+x2＝2.其中正确的有（）A. ①②③B. ②④C. ②⑤D. ②③⑤11.（2020·铜川模拟）若一个二次函数y=ax2−4ax+3(x≠0)的图像经过两点A(m+2,y1)、B(2−m,y2)，则下列关系正确的是（）A. y1=y2B. y1<y2C. y1>y2D. y1≥y212.（2020·连云模拟）竖直向上的小球离地面的高度h（米）与时间t（秒）的关系函数关系式为h=-2t2+mt+25 8，若小球经过74秒落地，则小球在上抛过程中，第（）秒离地面最高.A. 37B. 47C. 34D. 4313.（2020·红花岗模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c+1交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个命题：①抛物线的对称轴是直线x＝1；②若OC＝OB，则c＝2；③若M（x0，y0）是x轴上方抛物线上一点，则（x0﹣a）（x0﹣b）＜0；④抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2.其中真命题个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 414.（2020·柯桥模拟）在同一平面直角坐标系中，先将抛物线A：y＝x2﹣2通过左右平移得到抛物线B，再将抛物线B通过上下平移得到抛物线C：y＝x2﹣2x+2，则抛物线B的顶点坐标为（）A. （﹣1，2）B. （1，2）C. （1，﹣2）D. （﹣1，﹣2）15.（2020·台州模拟）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＞0；③c﹣a＝2；④方程ax2+bx+c ﹣2＝0有两个相等的实数根.其中正确的结论是（）A. ③④B. ②④C. ②③D. ①④16.（2020·绍兴模拟）抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点坐标如图所示，下列说法中错误的是（）A. 一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1B. 抛物线的对称轴是x=−12C. 当x＞1时，y随x的增大而增大D. 抛物线的顶点坐标是(−12,9 4 )17.（2020·湖州模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，有以下结论：①3a﹣b＝0；②b2﹣4ac ＞0；③5a﹣2b+c＞0；④4b+3c＞0，其中错误结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 418.（2020·南充模拟）将抛物线y=x(x+2)向左平移1个单位后的解析式为（）A. y=x(x+1)B. y=x(x+3)C. y=(x−1)(x+1)D. y=(x+1)(x+3)19.（2020·沙湾模拟）二次函数y=−x2−1的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（）A. 开口向上B. 对称轴是x=1C. 当x=0时，函数的最大值是-1D. 抛物线与x轴有两个交点20.（2020·峨眉山模拟）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y=(x+a)(x+b)的图像与x轴有M个交点，函数y=(ax+1)(bx+1)的图像与x轴有N个交点，则（）A. M=N−1或M=N+1B. M=N−1或M=N+2C. M=N或M=N+1D. M=N或M=N−121.（2020·峨眉山模拟）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点(−2,0)，对称轴为直线x= 1．有以下结论：①abc>0；②8a+c>0；③若A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，当x=x1+x2时，y=c；④点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得PM⊥PN，则a的取值范围为a≥1；3⑤若方程a(x+2)(4−x)=−2的两根为x1，x2，且x1＜x2，则﹣2≤ x1＜x2＜4．其中正确结论的序号是（）A. ①②④B. ①③④C. ①③⑤D. ①②③⑤22.（2020·旌阳模拟）已知y关于x的函数表达式是y=ax2−4x−a，下列结论错误的是（）A. 若a=−1，函数的最大值是5B. 若a=1，当x≥2时，y随x的增大而增大C. 无论a为何值时，函数图象一定经过点(1,−4)D. 无论a为何值时，函数图象与x轴都有两个交点23.（2020·新都模拟）关于二次函数y=x2−kx+k−1，以下结论：①抛物线交x轴有两个不同的交点；②不论k取何值，抛物线总是经过一个定点；③设抛物线交x轴于A、B两点，若AB=1，则k=4；④抛物线的顶点在y=−(x−1)2图象上；⑤抛物线交y轴于C点，若△ABC是等腰三角形，则k=−√2，0，1．其中正确的序号是（）A. ①②⑤B. ②③④C. ①④⑤D. ②④24.（2020·武侯模拟）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴为直线x＝1，且与x轴的一个交点为A(3，0)，下列说法错误的是（）A. b2＞4acB. abc＜0C. 4a﹣2b+c＞0D. 当x＜﹣1时，y随x的增大而增大25.（2020·青白江模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①a+ b+c<0；②b2－4ac<0；③b+2a<0；④c<0.其中所有正确结论的序号是( )A. ③④B. ②③C. ①④D. ①②26.（2020·大邑模拟）已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=−2，与x轴的一个交点坐标为(−4,0)，其部分图象如图所示，下列结论：①当x<0时，y随x增大而增大；②抛物线一定过原点；③方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解为x=0或x=−4；④当−4<x<0时，ax2+bx+ c>0；⑤a−b+c<0．其中结论错误的．．．个数有（）个A. 1B. 2C. 3D. 427.（2020·永州模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①b2＞4ac；②2a+b＝0；③3a+c＞0；④4a﹣2b+c＜0：⑤9a+3b+c＜0．其中结论正确的个数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个28.（2020·怀化模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=−1，下列结论：①abc＜0；②2a+b=0；③a﹣b+c＞0；④4a﹣2b+c＜0其中正确的是（）A. ①②B. 只有①C. ③④D. ①④29.（2020·黄石模拟）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A. a＞0B. 当﹣1＜x＜3时，y＞0C. c＜0D. 当x≥1时，y随x的增大而增大30.（2020·乾县模拟）已知二次函数y=ax²-8ax（a为常数）的图象不经过第二象限，在自变量x的值满足2≤x≤3时，其对应的函数值y的最大值为3，则a的值为（）A. −14B. 14C. −15D. 15二、填空题31.（2020·海淀模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，有五个点A(2,0),B(0,−2),C(−2,4),D(4,−2),E(7,0)，将二次函数y=a(x−2)2+m(m≠0)的图象记为W．下列的判断中①点A一定不在W上；②点B，C，D可以同时在W上；③点C，E不可能同时在W上．所有正确结论的序号是________．32.（2020·长丰模拟）若抛物线y=x2−2kx+k2+1在−1≤x≤1时，始终在直线y=2的上方，则k的取值范围是________．33.（2020·新疆模拟）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(−12,0)，对称轴为直线x=1,下列5个结论：①abc<0；②a−2b+4c=0；③2a+b>0；④2c−3b<0；⑤a+b≤m(am+b).其中正确的结论为________. (注：只填写正确结论的序号)34.（2020·昌吉模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1.且过点(12,0)，有下列结论：①abc<0；②a﹣2b+4c=0；③25a﹣10b+4c=0；④3b+2c<0；⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中所有正确的结论是________.（填写正确结论的序号）35.（2020·立山模拟）若二次函数y=mx2+(m−2)x+m的顶点在x轴上，则m=________.36.（2020·立山模拟）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y=x2+(2m−1)x+2m−4与y=x2−(3m+n)x+n关于y轴对称，则符合条件的m=________；n=________.37.（2020·铁西模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③,3a+c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大.⑤4a+2b≥am2−bm（m为任意实数）其中正确的结论有________.（填序号）38.（2020·梧州模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，-1）、B（3，3），且当1≤x≤3时，-1≤y≤3，则a的取值范围是________39.（2020·南充模拟）如图，抛物线y=x2+ax+2经过点P(−2，2)，Q(m，n).若点Q到y轴的距离小于2，则n的取值范围是________.40.（2020·海曙模拟）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB上一点，BD＝2AD，CD＝4，则S△ACD 的最大值为________.三、综合题41.如图，已知二次函数y=-x2+bx+c的图像经过点A（4，-5），点B（0，3）。

(精品人教版)2020年中考数学真题汇编二次函数

中考数学真题汇编:二次函数一、选择题1.给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y= ；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（）A. ①③B. ③④C. ②④D. ②③【答案】B2.如图,函数和( 是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A. B. C.D.【答案】B3.关于二次函数，下列说法正确的是（）A. 图像与轴的交点坐标为B. 图像的对称轴在轴的右侧C. 当时，的值随值的增大而减小D. 的最小值为-3【答案】D4.二次函数的图像如图所示，下列结论正确是( )A. B. C. D.有两个不相等的实数根【答案】C5.若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( ) A. B.C.D.【答案】B6.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线。

已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（）A. （-3，-6）B. （-3，0） C. （-3，-5） D. （-3，-1）【答案】B7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是（）A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同B. 点火后24s火箭落于地面C. 点火后10s的升空高度为139mD. 火箭升空的最大高度为145m【答案】D8.如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B9.如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是.对于下列说法：①；②；③；④（为实数）；⑤当时，，其中正确的是（）A. ①②④B. ①②⑤C. ②③④D. ③④⑤【答案】A10.如图，二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为-1，则一次函数y=（a-b）x+b的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】D11.四位同学在研究函数（b，c是常数）时，甲发现当时，函数有最小值；乙发现是方程的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当时，．已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】B12.如图所示,△DEF中,∠DEF=90°,∠D=30°,DF=16,B是斜边DF上一动点,过B作AB⊥DF于B,交边DE(或边EF)于点A,设BD=x,△ABD的面积为y,则y与x之间的函数图象大致为（）A. （B.C.D. （【答案】B二、填空题13.已知二次函数，当x＞0时，y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）【答案】增大14.右图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加________m。

2020年江苏省中考数学试题分类汇编(4)——二次函数(含答案)

2020年江苏省中考数学试题分类（4）——二次函数一．二次函数的性质（共4小题）1．（2020•镇江）点P （m ，n ）在以y 轴为对称轴的二次函数y ＝x 2+ax +4的图象上．则m ﹣n 的最大值等于（）A ．154B ．4C ．−154D ．−174 2．（2020•无锡）请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为y 轴：．3．（2020•无锡）二次函数y ＝ax 2﹣3ax +3的图象过点A （6，0），且与y 轴交于点B ，点M 在该抛物线的对称轴上，若△ABM 是以AB 为直角边的直角三角形，则点M 的坐标为．4．（2020•淮安）二次函数y ＝﹣x 2﹣2x +3的图象的顶点坐标为．二．二次函数图象与几何变换（共2小题）5．（2020•宿迁）将二次函数y ＝（x ﹣1）2+2的图象向上平移3个单位长度，得到的拋物线相应的函数表达式为（）A ．y ＝（x +2）2﹣2B ．y ＝（x ﹣4）2+2C ．y ＝（x ﹣1）2﹣1D ．y ＝（x ﹣1）2+56．（2020•南京）下列关于二次函数y ＝﹣（x ﹣m ）2+m 2+1（m 为常数）的结论：①该函数的图象与函数y ＝﹣x 2的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点（0，1）；③当x ＞0时，y 随x 的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数y ＝x 2+1的图象上．其中所有正确结论的序号是．三．抛物线与x 轴的交点（共3小题）7．（2020•南通）已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过A （2，0），B （3n ﹣4，y 1），C （5n +6，y 2）三点，对称轴是直线x ＝1．关于x 的方程ax 2+bx +c ＝x 有两个相等的实数根．（1）求抛物线的解析式；（2）若n ＜﹣5，试比较y 1与y 2的大小；（3）若B ，C 两点在直线x ＝1的两侧，且y 1＞y 2，求n 的取值范围．8．（2020•盐城）若二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴有两个交点M （x 1，0），N （x 2，0）（0＜x 1＜x 2），且经过点A （0，2）．过点A 的直线l 与x 轴交于点C ，与该函数的图象交于点B （异于点A ）．满足△ACN 是等腰直角三角形，记△AMN 的面积为S 1，△BMN 的面积为S 2，且S 2=52S 1．（1）抛物线的开口方向（填“上”或“下”）；（2）求直线l 相应的函数表达式；（3）求该二次函数的表达式． 9．（2020•苏州）如图，二次函数y ＝x 2+bx 的图象与x 轴正半轴交于点A ，平行于x 轴的直线l 与该抛物线交于B 、C 两点（点B 位于点C 左侧），与抛物线对称轴交于点D （2，﹣3）．（1）求b 的值；（2）设P 、Q 是x 轴上的点（点P 位于点Q 左侧），四边形PBCQ 为平行四边形．过点P 、Q 分别作x 轴的垂线，与抛物线交于点P '（x 1，y 1）、Q '（x 2，y 2）．若|y 1﹣y 2|＝2，求x 1、x 2的值．四．二次函数的应用（共4小题）10．（2020•连云港）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为min．11．（2020•宿迁）某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：55 60 65 70销售单价x（元/千克）销售量y（千克）70 60 50 40（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？12．（2020•南京）小明和小丽先后从A地出发沿同一直道去B地．设小丽出发第xmin时，小丽、小明离B 地的距离分别为y1m、y2m．y1与x之间的函数表达式是y1＝﹣180x+2250，y2与x之间的函数表达式是y2＝﹣10x2﹣100x+2000．（1）小丽出发时，小明离A地的距离为m．（2）小丽出发至小明到达B地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？13．（2020•无锡）有一块矩形地块ABCD，AB＝20米，BC＝30米．为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x米．现决定在等腰梯形AEHD 和BCGF中种植甲种花卉；在等腰梯形ABFE和CDHG中种植乙种花卉；在矩形EFGH中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米2、60元/米2、40元/米2，设三种花卉的种植总成本为y元．（1）当x＝5时，求种植总成本y；（2）求种植总成本y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（3）若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米，求三种花卉的最低种植总成本．五．二次函数综合题（共8小题）14．（2020•镇江）如图①，直线l经过点（4，0）且平行于y轴，二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a、c是常数，a ＜0）的图象经过点M（﹣1，1），交直线l于点N，图象的顶点为D，它的对称轴与x轴交于点C，直线DM、DN分别与x轴相交于A、B两点．（1）当a ＝﹣1时，求点N 的坐标及AA AA 的值；（2）随着a 的变化，AA AA 的值是否发生变化？请说明理由；（3）如图②，E 是x 轴上位于点B 右侧的点，BC ＝2BE ，DE 交抛物线于点F ．若FB ＝FE ，求此时的二次函数表达式．15．（2020•宿迁）二次函数y ＝ax 2+bx +3的图象与x 轴交于A （2，0），B （6，0）两点，与y 轴交于点C ，顶点为E ．．（1）求这个二次函数的表达式，并写出点E 的坐标；（2）如图①，D 是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD 的垂直平分线恰好经过点C 时，求点D 的坐标；（3）如图②，P 是该二次函数图象上的一个动点，连接OP ，取OP 中点Q ，连接QC ，QE ，CE ，当△CEQ 的面积为12时，求点P 的坐标． 16．（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝﹣ax 2+2ax +3a （a ＞0）的图象交x 轴于点A 、B ，交y 轴于点C ，它的对称轴交x 轴于点E ．过点C 作CD ∥x 轴交抛物线于点D ，连接DE 并延长交y 轴于点F ，交抛物线于点G ．直线AF 交CD 于点H ，交抛物线于点K ，连接HE 、GK ．（1）点E 的坐标为：；（2）当△HEF 是直角三角形时，求a 的值；（3）HE 与GK 有怎样的位置关系？请说明理由．17．（2020•淮安）如图①，二次函数y＝﹣x2+bx+4的图象与直线l交于A（﹣1，2）、B（3，n）两点．点P 是x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线l于点M，交该二次函数的图象于点N，设点P的横坐标为m．（1）b＝，n＝；（2）若点N在点M的上方，且MN＝3，求m的值；（3）将直线AB向上平移4个单位长度，分别与x轴、y轴交于点C、D（如图②）．①记△NBC的面积为S1，△NAC的面积为S2，是否存在m，使得点N在直线AC的上方，且满足S1﹣S2＝6？若存在，求出m及相应的S1，S2的值；若不存在，请说明理由．②当m＞﹣1时，将线段MA绕点M顺时针旋转90°得到线段MF，连接FB、FC、OA．若∠FBA+∠AOD﹣∠BFC＝45°，直接写出直线OF与该二次函数图象交点的横坐标．18．（2020•常州）如图，二次函数y＝x2+bx+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点C（1，0），且顶点为D，连接AC、BC、BD、CD．（1）填空：b＝；（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线PC交直线BD于点Q．若∠CQD＝∠ACB，求点P的坐标；（3）点E在直线AC上，点E关于直线BD对称的点为F，点F关于直线BC对称的点为G，连接AG．当点F在x轴上时，直接写出AG的长．19．（2020•泰州）如图，二次函数y 1＝a （x ﹣m ）2+n ，y 2＝6ax 2+n （a ＜0，m ＞0，n ＞0）的图象分别为C 1、C 2，C 1交y 轴于点P ，点A 在C 1上，且位于y 轴右侧，直线P A 与C 2在y 轴左侧的交点为B ．（1）若P 点的坐标为（0，2），C 1的顶点坐标为（2，4），求a 的值；（2）设直线P A 与y 轴所夹的角为α．①当α＝45°，且A 为C 1的顶点时，求am 的值；②若α＝90°，试说明：当a 、m 、n 各自取不同的值时，AA AA 的值不变；（3）若P A ＝2PB ，试判断点A 是否为C 1的顶点？请说明理由．20．（2020•连云港）在平面直角坐标系xOy 中，把与x 轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L 1：y =12x 2−32x ﹣2的顶点为D ，交x 轴于点A 、B （点A 在点B 左侧），交y 轴于点C ．抛物线L 2与L 1是“共根抛物线”，其顶点为P ．（1）若抛物线L 2经过点（2，﹣12），求L 2对应的函数表达式；（2）当BP ﹣CP 的值最大时，求点P 的坐标；（3）设点Q 是抛物线L 1上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若△DPQ 与△ABC 相似，求其“共根抛物线”L 2的顶点P 的坐标． 21．（2020•无锡）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线OA 交二次函数y =14x 2的图象于点A ，∠AOB＝90°，点B 在该二次函数的图象上，设过点（0，m ）（其中m ＞0）且平行于x 轴的直线交直线OA 于点M ，交直线OB 于点N ，以线段OM 、ON 为邻边作矩形OMPN ．（1）若点A 的横坐标为8．①用含m的代数式表示M的坐标；②点P能否落在该二次函数的图象上？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．（2）当m＝2时，若点P恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线OA的函数表达式．2020年江苏省中考数学试题分类（4）——二次函数参考答案与试题解析一．二次函数的性质（共4小题）1．【解答】解：∵点P （m ，n ）在以y 轴为对称轴的二次函数y ＝x 2+ax +4的图象上，∴a ＝0，∴n ＝m 2+4，∴m ﹣n ＝m ﹣（m 2+4）＝﹣m 2+m ﹣4＝﹣（m −12）2−154，∴当m =12时，m ﹣n 取得最大值，此时m ﹣n =−154，故选：C ．2．【解答】解：∵图象的对称轴是y 轴，∴函数表达式y ＝x 2（答案不唯一），故答案为：y ＝x 2（答案不唯一）．3．【解答】解：∵抛物线的对称轴为x =−122×(−16)=32，设点M 的坐标为：（32，m ），当∠ABM ＝90°，过B 作BD 垂直对称轴于D ，则∠1＝∠2，∴tan ∠2＝tan ∠1=63=2， ∴AA AA =2，∴DM ＝3， ∴M （32，6），当∠M ′AB ＝90°时，∴tan ∠3=A′A AA =tan ∠1=63=2， ∴M ′N ＝9， ∴M ′（32，﹣9），综上所述，点M 的坐标为（32，﹣9）或（32，6）．故答案为：（32，﹣9）或（32，6）． 4．【解答】解：∵y ＝﹣x 2﹣2x +3＝﹣（x 2+2x +1﹣1）+3＝﹣（x +1）2+4，∴顶点坐标为（﹣1，4）．故答案为：（﹣1，4）．二．二次函数图象与几何变换（共2小题）5．【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将二次函数y ＝（x ﹣1）2+2的图象向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为：y ＝（x ﹣1）2+2+3，即y ＝（x ﹣1）2+5；故选：D ．6．【解答】解：①∵二次函数y ＝﹣（x ﹣m ）2+m +1（m 为常数）与函数y ＝﹣x 2的二次项系数相同， ∴该函数的图象与函数y ＝﹣x 2的图象形状相同，故结论①正确；②∵在函数y ＝﹣（x ﹣m ）2+m 2+1中，令x ＝0，则y ＝﹣m 2+m 2+1＝1，∴该函数的图象一定经过点（0，1），故结论②正确；③∵y ＝﹣（x ﹣m ）2+m 2+1，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x ＝m ，当x ＞m 时，y 随x 的增大而减小，故结论③错误；④∵抛物线开口向下，当x ＝m 时，函数y 有最大值m 2+1，∴该函数的图象的顶点在函数y ＝x 2+1的图象上．故结论④正确，故答案为①②④．三．抛物线与x 轴的交点（共3小题）7．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过A （2，0），∴0＝4a +2b +c ①，∵对称轴是直线x ＝1，∴−A 2A =1②， ∵关于x 的方程ax 2+bx +c ＝x 有两个相等的实数根，∴△＝（b ﹣1）2﹣4ac ＝0③，由①②③可得：{A =−12A =1A =0，∴抛物线的解析式为y =−12x 2+x ；（2）∵n ＜﹣5，∴3n ﹣4＜﹣19，5n +6＜﹣19∴点B ，点C 在对称轴直线x ＝1的左侧，∵抛物线y =−12x 2+x ，∴−12＜0，即y 随x 的增大而增大，∵（3n ﹣4）﹣（5n +6）＝﹣2n ﹣10＝﹣2（n +5）＞0，∴3n ﹣4＞5n +6，∴y 1＞y 2；（3）若点B 在对称轴直线x ＝1的左侧，点C 在对称轴直线x ＝1的右侧时，由题意可得{3A −4＜15A +6＞11−(3A −4)＜5A +6−1， ∴0＜n ＜53，若点C 在对称轴直线x ＝1的左侧，点B 在对称轴直线x ＝1的右侧时，由题意可得：{3A −4＞15A +6＜13A −4−1＜1−(5A +6)，∴不等式组无解，综上所述：0＜n ＜53．8．【解答】解：（1）如图，如二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴有两个交点M （x 1，0），N （x 2，0）（0＜x 1＜x 2），且经过点A （0，2）．∴y ＝ax 2+bx +2，令y ＝0，则ax 2+bx +2＝0，∵0＜x 1＜x 2，∴2A ＞0，∴a ＞0，∴抛物线开口向上，故答案为：上；（2）①若∠ACN ＝90°，则C 与O 重合，直线l 与抛物线交于A 点，因为直线l 与该函数的图象交于点B （异于点A ），所以不合题意，舍去；②若∠ANC ＝90°，则C 在x 轴的下方，与题意不符，舍去；③若∠CAN ＝90°，则∠ACN ＝∠ANC ＝45°，AO ＝CO ＝NO ＝2，∴C （﹣2，0），N （2，0），设直线l 为y ＝kx +b ，将A （0，2）C （﹣2，0）代入得{A =2−2A +A =0，解得{A =1A =2， ∴直线l 相应的函数表达式为y ＝x +2；（3）过B 点作BH ⊥x 轴于H ，S 1=12AA ⋅AA ，S 2=12AA ⋅AA ，∵S 2=52S 1， ∴BH =52OA ， ∵OA ＝2，∴BH ＝5，即B 点的纵坐标为5，代入y ＝x +2中，得x ＝3，∴B （3，5），将A 、B 、N 三点的坐标代入y ＝ax 2+bx +c 得{A =24A +2A +A =09A +3A +A =5，解得{A =2A =−5A =2，∴抛物线的解析式为y ＝2x 2﹣5x +2．9．【解答】解：（1）直线与抛物线的对称轴交于点D （2，﹣3），故抛物线的对称轴为x ＝2，即−12b ＝2，解得：b ＝﹣4，（2）∵b ＝﹣4∴抛物线的表达式为：y ＝x 2﹣4x ；把y ＝﹣3代入y ＝x 2﹣4x 并解得x ＝1或3，故点B 、C 的坐标分别为（1，﹣3）、（3，﹣3），则BC ＝2，∵四边形PBCQ 为平行四边形，∴PQ ＝BC ＝2，故x 2﹣x 1＝2，又∵y 1＝x 12﹣4x 1，y 2＝x 22﹣4x 2，|y 1﹣y 2|＝2，故|（x 12﹣4x 1）﹣（x 22﹣4x 2）|＝2，|x 1+x 2﹣4|＝1．∴x 1+x 2＝5或x 1+x 2＝3，由{A 2−A 1=2A 1+A 2=5，解得{A 1=32A 2=72；由{A 2−A 1=2A 1+A 2=3，解得{A 1=12A 2=52．四．二次函数的应用（共4小题）10．【解答】解：根据题意：y ＝﹣0.2x 2+1.5x ﹣2，当x =−1.52×(−0.2)=3.75时，y 取得最大值，则最佳加工时间为3.75min ．故答案为：3.75．11．【解答】解：（1）设y 与x 之间的函数表达式为y ＝kx +b （k ≠0），将表中数据（55，70）、（60，60）代入得：{55A +A =7060A +A =60，解得：{A =−2A =180． ∴y 与x 之间的函数表达式为y ＝﹣2x +180．（2）由题意得：（x ﹣50）（﹣2x +180）＝600，整理得：x 2﹣140x +4800＝0，解得x 1＝60，x 2＝80．答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克．（3）设当天的销售利润为w 元，则：w ＝（x ﹣50）（﹣2x +180）＝﹣2（x ﹣70）2+800，∵﹣2＜0，∴当x ＝70时，w 最大值＝800．答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．12．【解答】解：（1）∵y 1＝﹣180x +2250，y 2＝﹣10x 2﹣100x +2000，∴当x ＝0时，y 1＝2250，y 2＝2000，∴小丽出发时，小明离A 地的距离为2250﹣2000＝250（m ），故答案为：250；（2）设小丽出发第xmin 时，两人相距sm ，则s ＝（﹣180x +2250）﹣（﹣10x 2﹣100x +2000）＝10x 2﹣80x +250＝10（x ﹣4）2+90，∴当x ＝4时，s 取得最小值，此时s ＝90，答：小丽出发第4min 时，两人相距最近，最近距离是90m ．13．【解答】解：（1）当x ＝5时，EF ＝20﹣2x ＝10，EH ＝30﹣2x ＝20，y ＝2×12（EH +AD ）×20x +2×12（GH +CD ）×x ×60+EF •EH ×40＝（20+30）×5×20+（10+20）×5×60+20×10×40＝22000；（2）EF ＝（20﹣2x ）米，EH ＝（30﹣2x ）米，参考（1），由题意得：y ＝（30+30﹣2x ）•x •20+（20+20﹣2x ）•x •60+（30﹣2x ）（20﹣2x ）•40＝﹣400x +24000（0＜x ＜10）；（3）S 甲＝2×12（EH +AD ）×x ＝（30﹣2x +30）x ＝﹣2x 2+60x ，同理S 乙＝﹣2x 2+40x ，∵甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米2，∴﹣2x 2+60x ﹣（﹣2x 2+40x ）≤120，解得：x ≤6，故0＜x ≤6，而y ＝﹣400x +24000随x 的增大而减小，故当x ＝6时，y 的最小值为21600，即三种花卉的最低种植总成本为21600元．五．二次函数综合题（共8小题）14．【解答】解：（1）分别过点M 、N 作MG ⊥CD 于点E ，NT ⊥DC 于点T ，∵MG ∥TN ∥x 轴，∴△DMG ∽△DAC ，△DCB ∽△DTN ，∴AA AA =AA AA ，AA AA =AA AA ，∵a ＝﹣1，则y ＝﹣x 2+2x +c ，将M （﹣1，1）代入上式并解得：c ＝4，∴抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2+2x +4，则点D （1，5），N （4，﹣4），则MG ＝2，DG ＝4，DC ＝5，TN ＝3，DT ＝9，∴2AA =45，AA 3=59，解得：AC =52，BC =53， ∴AA AA =32；（2）不变，理由：第（2）问有错误MG ＝2，DG ＝4a∵y ＝ax 2﹣2ax +c 过点M （﹣1，1），则a +2a +c ＝1，解得：c ＝1﹣3a ，∴y ＝ax 2﹣2ax +（1﹣3a ），∴点D （1，1﹣4a ），N （4，1+5a ），∴MG ＝2，DG ＝4a ，DC ＝1﹣4a ，FN ＝3，DF ＝﹣9a ，由（1）的结论得：AC =1−4A −2A ，BC =1−4A −3A ，∴AA AA =32；（3）过点F 作FH ⊥x 轴于点H ，则FH ∥l ，则△FHE ∽△DCE ，∵FB ＝FE ，FH ⊥BE ，∴BH ＝HE ，∵BC ＝2BE ，则CE ＝6HE ，∵CD ＝1﹣4a ，∴FH =1−4A 6， ∵BC =4A −13A ， ∴CH =54×4A −13A =20A −512A ，∴F （53−512A +1，16−23a ），将点F 的坐标代入y ＝ax 2﹣2ax +（1﹣3a ）＝a （x +1）（x ﹣3）+1得： 16−23a ＝a （53−512A +1+1）（53−512A +1﹣3）+1，解得：a =−54或14（舍弃），经检验a =−54，故y =−54x 2+52x +194． 15．【解答】解：（1）将A （2，0），B （6，0）代入y ＝ax 2+bx +3，得{4A +2A +3=036A +6A +3=0，解得{A =14A =−2 ∴二次函数的解析式为y =14A 2−2x +3．∵y =14A 2−2A +3=14(A −4)2−1，∴E （4，﹣1）．（2）如图1，图2，连接CB ，CD ，由点C 在线段BD 的垂直平分线CN 上，得CB ＝CD ．设D （4，m ），∵C （0，3），由勾股定理可得：42+（m ﹣3）2＝62+32．解得m ＝3±√29．∴满足条件的点D 的坐标为（4，3+√29）或(4，3−√29)．（3）如图3，设CQ 交抛物线的对称轴于点M ，设P （n ，14A 2−2n +3），则Q （12A ，18A 2−A +32），设直线CQ 的解析式为y ＝kx +3，则18A 2−A +32=12nk +3．解得k =14A −2−3A ，于是CQ ：y ＝（14A −2−3A ）x +3，当x ＝4时，y ＝4（14A −2−3A ）+3＝n ﹣5−12A， ∴M （4，n ﹣5−12A ），ME ＝n ﹣4−12A ．∵S △CQE ＝S △CEM +S △QEM =12×12A ⋅AA =12⋅12A ⋅(A −4−12A )=12． ∴n 2﹣4n ﹣60＝0，解得n ＝10或n ＝﹣6，当n ＝10时，P （10，8），当n ＝﹣6时，P （﹣6，24）．综合以上可得，满足条件的点P 的坐标为（10，8）或（﹣6，24）．16．【解答】解：（1）对于抛物线y ＝﹣ax 2+2ax +3a ，对称轴x =−2A −2A=1， ∴E （1，0），故答案为（1，0）．（2）如图，连接EC ．对于抛物线y ＝﹣ax 2+2ax +3a ，令x ＝0，得到y ＝3a ，令y ＝0，﹣ax 2+2ax +3a ＝0，解得x ＝﹣1或3，∴A （﹣1，0），B （3，0），C （0，3a ），∵C ，D 关于对称轴对称，∴D （2，3a ），CD ＝2，EC ＝DE ，当∠HEF ＝90°时，∵ED ＝EC ，∴∠ECD ＝∠EDC ，∵∠DCF ＝90°，∴∠CFD +∠EDC ＝90°，∠ECF +∠ECD ＝90°，∴∠ECF ＝∠EFC ，∴EC ＝EF ＝DE ，∵EA ∥DH ，∴F A ＝AH ，∴AE =12DH ，∵AE ＝2，∴DH ＝4，∵HE ⊥DFEF ＝ED ，∴FH ＝DH ＝4，在Rt △CFH 中，则有42＝22+（6a ）2，解得a =√33或−√33（不符合题意舍弃），∴a =√33．当∠HFE ＝90°时，∵OA ＝OE ，FO ⊥AE ，∴F A ＝FE ，∴OF ＝OA ＝OE ＝1，∴3a ＝1，∴a =13，综上所述，满足条件的a 的值为√33或13．（3）结论：EH ∥GK ．理由：由题意A （﹣1，0），F （0，﹣3a ），D （2，3a ），H （﹣2，3a ），E （1，0），∴直线AF 的解析式y ＝﹣3ax ﹣3a ，直线DF 的解析式为y ＝3ax ﹣3a ，由{A =−3AA −3A A =−AA 2+2AA +3A ，解得{A =−1A =0或{A =6A =−21A ， ∴K （6，﹣21a ），由{A =3AA −3A A =−AA 2+2AA +3A ，解得{A =2A =3A 或{A =−3A =−12A ， ∴G （﹣3，﹣12a ），∴直线HE 的解析式为y ＝﹣ax +a ，直线GK 的解析式为y ＝﹣ax ﹣15a ，∵k 相同，a ≠﹣15a ，∴HE ∥GK ．17．【解答】解：（1）将点A （﹣1，2）代入二次函数y ＝﹣x 2+bx +4中，得﹣1﹣b +4＝2，∴b ＝1，∴二次函数的解析式为y ＝﹣x 2+x +4，将点B （3，n ）代入二次函数y ＝﹣x 2+x +4中，得n ＝﹣9+3+4＝﹣2，故答案为：1，﹣2；（2）设直线AB 的解析式为y ＝kx +a ，由（1）知，点B （3，﹣2），∵A （﹣1，2），∴{−A +A =23A +A =−2， ∴{A =−1A =1， ∴直线AB 的解析式为y ＝﹣x +1，由（1）知，二次函数的解析式为y ＝﹣x 2+x +4，∵点P （m ，0），∴M （m ，﹣m +1），N （m ，﹣m 2+m +4），∵点N 在点M 的上方，且MN ＝3，∴﹣m 2+m +4﹣（﹣m +1）＝3，∴m ＝0或m ＝2；（3）①如图1，由（2）知，直线AB 的解析式为y ＝﹣x +1，∴直线CD 的解析式为y ＝﹣x +1+4＝﹣x +5，令y ＝0，则﹣x +5＝0，∴x ＝5，∴C （5，0），∵A （﹣1，2），B （3，﹣2），∴直线AC 的解析式为y =−13x +53，直线BC 的解析式为y ＝x ﹣5，过点N 作y 轴的平行线交AC 于K ，交BC 于H ，∵点P （m ，0），∴N （m ，﹣m 2+m +4），K （m ，−13m +53），H （m ，m ﹣5），∴NK ＝﹣m 2+m +4+13m −53=−m 2+43m +73，NH ＝﹣m 2+9，∴S 2＝S △NAC =12NK ×（x C ﹣x A ）=12（﹣m 2+43m +73）×6＝﹣3m 2+4m +7，S 1＝S △NBC =12NH ×（x C ﹣x B ）＝﹣m 2+9，∵S 1﹣S 2＝6，∴﹣m 2+9﹣（﹣3m 2+4m +7）＝6，∴m ＝1+√3（由于点N 在直线AC 上方，所以，舍去）或m ＝1−√3；∴S 2＝﹣3m 2+4m +7＝﹣3（1−√3）2+4（1−√3）+7＝2√3−1，S 1＝﹣m 2+9＝﹣（1−√3）2+9＝2√3+5；②如图2，记直线AB 与x 轴，y 轴的交点为I ，L ，由（2）知，直线AB 的解析式为y ＝﹣x +1，∴I （1，0），L （0，1），∴OL ＝OI ，∴∠ALD ＝∠OLI ＝45°，∴∠AOD +∠OAB ＝45°，过点B 作BG ∥OA ，∴∠ABG ＝∠OAB ，∴∠AOD +∠ABG ＝45°，∵∠FBA ＝∠ABG +∠FBG ，∠FBA +∠AOD ﹣∠BFC ＝45°，∴∠ABG +∠FBG +∠AOD ﹣∠BFC ＝45°，∴∠FBG ＝∠BFC ，∴BG ∥CF ，∴OA ∥CF ，∵A （﹣1，2），∴直线OA 的解析式为y ＝﹣2x ，∵C （5，0），∴直线CF 的解析式为y ＝﹣2x +10，过点A ，F 分别作过点M 平行于x 轴的直线的垂线，交于点Q ，S ，由旋转知，AM ＝MF ，∠AMF ＝90°，∴△AMF 是等腰直角三角形，∴∠F AM ＝45°，∵∠AIO ＝45°，∴∠F AM ＝∠AIO ，∴AF ∥x 轴，∴点F 的纵坐标为2，∴F （4，2），∴直线OF 的解析式为y =12x ①，∵二次函数的解析式为y ＝﹣x 2+x +4②，联立①②解得，{A =1+√654A =1+√658或{A =1−√654A =1−√658， ∴直线OF 与该二次函数图象交点的横坐标为1+√654或1−√654．18．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+3的图象过点C（1，0），∴0＝1+b+3，∴b＝﹣4，故答案为：﹣4；（2）∵b＝﹣4，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3∵抛物线y＝x2﹣4x+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，∴点A（0，3），3＝x2﹣4x+3，∴x1＝0（舍去），x2＝4，∴点B（4，3），∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴顶点D坐标（2，﹣1），如图1，当点Q在点D上方时，过点C作CE⊥AB于E，设BD与x轴交于点F，∵点A（0，3），点B（4，3），点C（1，0），CE⊥AB，∴点E（1，3），CE＝BE＝3，AE＝1，∴∠EBC＝∠ECB＝45°，tan∠ACE=AAAA=13，∴∠BCF＝45°，∵点B（4，3），点C（1，0），点D（2，﹣1），∴BC=√9+9=3√2，CD=√1+1=√2，BD=√(4−2)2+(3+1)2=2√5，∵BC2+CD2＝20＝BD2，∴∠BCD＝90°，∴tan ∠DBC =AA AA =√23√2=13=tan ∠ACE ， ∴∠ACE ＝∠DBC ，∴∠ACE +∠ECB ＝∠DBC +∠BCF ，∴∠ACB ＝∠CFD ，又∵∠CQD ＝∠ACB ，∴点F 与点Q 重合，∴点P 是直线CF 与抛物线的交点，∴0＝x 2﹣4x +3，∴x 1＝1，x 2＝3，∴点P （3，0）；当点Q 在点D 下方上，过点C 作CH ⊥DB 于H ，在线段BH 的延长线上截取HF ＝QH ，连接CQ 交抛物线于点P ，∵CH ⊥DB ，HF ＝QH ，∴CF ＝CQ ，∴∠CFD ＝∠CQD ，∴∠CQD ＝∠ACB ，∵CH ⊥BD ，∵点B （4，3），点D （2，﹣1），∴直线BD 解析式为：y ＝2x ﹣5，∴点F （52，0）， ∴直线CH 解析式为：y =−12x +12， ∴{A =−12A +12A =2A −5，解得{A =115A =−35， ∴点H 坐标为（115，−35）， ∵FH ＝QH ，∴点Q （1910，−65）， ∴直线CQ 解析式为：y =−43x +43，联立方程组{A =−43A +43A =A 2−4A +3，解得：{A 1=1A 1=0或{A 2=53A 2=−89，∴点P （53，−89）；综上所述：点P 的坐标为（3，0）或（53，−89）；（3）如图，设直线AC 与BD 的交点为N ，作CH ⊥BD 于H ，过点N 作MN ⊥x 轴，过点E 作EM ⊥MN ，连接CG ，GF ，∵点A （0，3），点C （1，0），∴直线AC 解析式为：y ＝﹣3x +3，∴{A =−3A +3A =2A −5， ∴{A =85A =−95， ∴点N 坐标为（85，−95），∵点H 坐标为（115，−35）， ∴CH 2＝（115−1）2+（35）2=95，HN 2＝（115−85）2+（−35+95）2=95， ∴CH ＝HN ，∴∠CNH ＝45°，∵点E 关于直线BD 对称的点为F ，∴EN ＝NF ，∠ENB ＝∠FNB ＝45°，∴∠ENF ＝90°，∴∠ENM +∠FNM ＝90°，又∵∠ENM +∠MEN ＝90°，∴∠MEN ＝∠FNM ，∴△EMN ≌△NKF （AAS ）∴EM ＝NK =95，MN ＝KF ，∴点E 的横坐标为−15，∴点E （−15，185）， ∴MN =275=KF ，∴CF =85+275−1＝6， ∵点F 关于直线BC 对称的点为G ，∴FC ＝CG ＝6，∠BCF ＝∠GCB ＝45°，∴∠GCF ＝90°，∴点G （1，6），∴AG =√12+(6−3)2=√10．19．【解答】解：（1）由题意m ＝2，n ＝4，∴y 1＝a （x ﹣2）2+4，把（0，2）代入得到a =−12．（2）①如图1中，过点A 作AN ⊥x 轴于N ，过点P 作PM ⊥AN 于M ． ∵y 1＝a （x ﹣m ）2+n ＝ax 2﹣2amx +am 2+n ，∴P （0，am 2+n ），∵A （m ，n ），∴PM ＝m ，AN ＝n ，∵∠APM ＝45°，∴AM ＝PM ＝m ，∴m +am 2+n ＝n ，∵m ＞0，∴am ＝﹣1．②如图2中，由题意AB ⊥y 轴， ∵P （0，am 2+n ），当y ＝am 2+n 时，am 2+n ＝6ax 2+n ，解得x ＝±√66m ， ∴B （−√66m ，am 2+n ），∴PB =√66m ，∵AP ＝2m ，∴AA AA =√66A =2√6．（3）如图3中，过点A 作AH ⊥x 轴于H ，过点P 作PK ⊥AH 于K ，过点B 作BE ⊥KP 交KP 的延长线于E ．设B （b ，6ab 2+n ），∵P A ＝2PB ，∴点A 的横坐标为﹣2b ，∴A [﹣2b ，a （﹣2b ﹣m ）2+n ]，∵BE ∥AK ， ∴AAAA =AAAA =12， ∴AK ＝2BE ，∴a （﹣2b ﹣m ）2+n ﹣am 2﹣n ＝2（am 2+n ﹣6ab 2﹣n ），整理得：m 2﹣2bm ﹣8b 2＝0，∴（m ﹣4b ）（m +2b ）＝0，∵m ﹣4b ＞0，∴m +2b ＝0，∴m ＝﹣2b ，∴A （m ，n ），∴点A 是抛物线C 1的顶点．20．【解答】解：（1）当y ＝0时，12x 2−32x ﹣2＝0，解得x ＝﹣1或4，∴A （﹣1，0），B （4，0），C （0，﹣2），由题意设抛物线L 2的解析式为y ＝a （x +1）（x ﹣4），把（2，﹣12）代入y ＝a （x +1）（x ﹣4），﹣12＝﹣6a ，解得a ＝2，∴抛物线的解析式为y ＝2（x +1）（x ﹣4）＝2x 2﹣6x ﹣8．（2）∵抛物线L 2与L 1是“共根抛物线”，A （﹣1，0），B （4，0），∴抛物线L 1，L 2的对称轴是直线x =32， ∴点P 在直线x =32上，∴BP ＝AP ，如图1中，当A ，C ，P 共线时，BP ﹣PC 的值最大，此时点P 为直线AC 与直线x =32的交点，∵直线AC 的解析式为y ＝﹣2x ﹣2，∴P （32，﹣5）（3）由题意，AB ＝5，CB ＝2√5，CA =√5，∴AB 2＝BC 2+AC 2，∴∠ACB ＝90°，CB ＝2CA ，∵y =12x 2−32x ﹣2=12（x −32）2−258，∴顶点D （32，−258），由题意，∠PDQ 不可能是直角，第一种情形：当∠DPQ ＝90°时，①如图3﹣1中，当△QDP ∽△ABC 时，AA AA =AA AA =12，设Q （x ，12x 2−32x ﹣2），则P （32，12x 2−32x ﹣2），∴DP =12x 2−32x ﹣2﹣（−258）=12x 2−32x +98，QP ＝x −32， ∵PD ＝2QP ，∴2x ﹣3=12x 2−32x +98，解得x =112或32（舍弃）， ∴P （32，398）．②如图3﹣2中，当△DQP ∽△ABC 时，同法可得PQ ＝2PD ，x −32=x 2﹣3x +94，解得x =52或32（舍弃）， ∴P （32，−218）．第二种情形：当∠DQP ＝90°．①如图3﹣3中，当△PDQ ∽△ABC 时，AA AA =AA AA =12，过点Q 作QM ⊥PD 于M ．则△QDM ∽△PDQ ，∴AA AA =AA AA =12，由图3﹣3可知，M （32，398），Q （112，398）， ∴MD ＝8，MQ ＝4，∴DQ ＝4√5，由AA AA =AA AA ，可得PD ＝10， ∵D （32，−258） ∴P （32，558）．②当△DPQ ∽△ABC 时，过点Q 作QM ⊥PD 于M ．同法可得M （32，−218），Q （52，−218）， ∴DM =12，QM ＝1，QD =√52，由AA AA =AA AA ，可得PD =52， ∴P （32，−58）．综上所述：P 点坐标为（32，398）或（32，−218）或（32，558）或（32，−58）． 21．【解答】解：（1）①∵点A 在y =14x 2的图象上，横坐标为8， ∴A （8，16），∴直线OA 的解析式为y ＝2x ，∵点M 的纵坐标为m ，∴M （12m ，m ）．②假设能在抛物线上，连接OP ．∵∠AOB ＝90°，∴直线OB 的解析式为y =−12x ，∵点N 在直线OB 上，纵坐标为m ，∴N （﹣2m ，m ），∴MN 的中点的坐标为（−34m ，m ），∴P （−32m ，2m ），把点P 坐标代入抛物线的解析式得到m =329．（2）①当点A 在y 轴的右侧时，设A （a ，14a 2），∴直线OA 的解析式为y =14ax ， ∴M （8A，2），∵OB ⊥OA ， ∴直线OB 的解析式为y =−4A x ，可得N （−A 2，2），∴P （8A −A 2，4），代入抛物线的解析式得到，8A −A 2=±4，解得，a ＝4√2±4，∴直线OA 的解析式为y ＝（√2±1）x ．②当点A 在y 轴的左侧时，即为①中点B 的位置，∴直线OA的解析式为y=−4A x＝﹣（√2±1）x，综上所述，满足条件的直线OA的解析式为y＝（√2±1）x或y＝﹣（√2±1）x．。

2020-2021全国中考数学二次函数的综合中考真题分类汇总及答案

2020-2021全国中考数学二次函数的综合中考真题分类汇总及答案一、二次函数1．如图1，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C ，且OC=3OA ．点P 是抛物线上的一个动点，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交直线BC 于点D ，连接PC ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，当动点P 只在第一象限的抛物线上运动时，求过点P 作PF ⊥BC 于点F ，试问△PDF 的周长是否有最大值？如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由．（3）当点P 在抛物线上运动时，将△CPD 沿直线CP 翻折，点D 的对应点为点Q ，试问，四边形CDPQ 是否成为菱形？如果能，请求出此时点P 的坐标，如果不能，请说明理由．【答案】(1) y=﹣234x +94x+3；(2) 有最大值,365;(3) 存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，此时点P 的坐标为（73，256）或（173，﹣253）．【解析】试题分析: （1）利用待定系数法求二次函数的解析式；（2）设P （m ，﹣34m 2+94m+3），△PFD 的周长为L ，再利用待定系数法求直线BC 的解析式为：y=﹣34x+3，表示PD=﹣2334m m ，证明△PFD ∽△BOC ，根据周长比等于对应边的比得：=PED PD BOC BC V V 的周长的周长，代入得：L=﹣95（m ﹣2）2+365，求L 的最大值即可；（3）如图3，当点Q 落在y 轴上时，四边形CDPQ 是菱形，根据翻折的性质知：CD=CQ ，PQ=PD ，∠PCQ=∠PCD ，又知Q 落在y 轴上时，则CQ ∥PD ，由四边相等：CD=DP=PQ=QC ，得四边形CDPQ 是菱形，表示P （n ，﹣23n 4 +94n+3），则D （n ，﹣34n+3），G （0，﹣34n+3），利用勾股定理表示PD 和CD 的长并列式可得结论．试题解析:（1）由OC=3OA ，有C （0，3），将A （﹣1，0），B （4，0），C （0，3）代入y=ax 2+bx+c 中，得：016403a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：34943a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，故抛物线的解析式为：y=﹣234x +94x+3；（2）如图2，设P （m ，﹣34m 2+94m+3），△PFD 的周长为L ， ∵直线BC 经过B （4，0），C （0，3），设直线BC 的解析式为：y=kx+b ，则403k b b +=⎧⎨=⎩ 解得：343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线BC 的解析式为：y=﹣34x+3，则D （m ，﹣334m +），PD=﹣2334m m +， ∵PE ⊥x 轴，PE ∥OC ，∴∠BDE=∠BCO ，∵∠BDE=∠PDF ，∴∠PDF=∠BCO ，∵∠PFD=∠BOC=90°，∴△PFD ∽△BOC ， ∴=PED PD BOC BCV V 的周长的周长，由（1）得：OC=3，OB=4，BC=5，故△BOC 的周长=12， ∴2334125m m L -+=，即L=﹣95（m ﹣2）2+365，∴当m=2时，L 最大=365；（3）存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，如图3，当点Q 落在y 轴上时，四边形CDPQ 是菱形，理由是：由轴对称的性质知：CD=CQ ，PQ=PD ，∠PCQ=∠PCD ，当点Q 落在y 轴上时，CQ ∥PD ，∴∠PCQ=∠CPD ，∴∠PCD=∠CPD ，∴CD=PD ，∴CD=DP=PQ=QC ，∴四边形CDPQ 是菱形，过D 作DG ⊥y 轴于点G ，设P （n ，﹣234n +94n+3），则D （n ，﹣34n+3），G （0，﹣334n +），在Rt △CGD 中，CD 2=CG 2+GD 2=[（﹣34n+3）﹣3]2+n 2=22516n ，而|PD|=|（﹣239344n n ++ 3n ++）﹣（﹣34n+3）|=|﹣234n +3n|， ∵PD=CD ，∴﹣235344n n n +=①， ﹣235344n n n +=-②，解方程①得：n=73或0（不符合条件，舍去），解方程②得：n=173或0（不符合条件，舍去），当n=73时，P （73，256），如图3，当n=173时，P （173，﹣253），如图4，综上所述，存在这样的Q点，使得四边形CDPQ是菱形，此时点P的坐标为（73，256）或（173，﹣253）．点睛: 本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式、菱形的性质和判定、三角形相似的性质和判定，将周长的最值问题转化为二次函数的最值问题，此类问题要熟练掌握利用解析式表示线段的长，并利用相似比或勾股定理列方程解决问题．2．某市实施产业精准扶贫，帮助贫困户承包荒山种植某品种蜜柚．已知该蜜柚的成本价为6元/千克，到了收获季节投入市场销售时，调查市场行情后，发现该蜜柚不会亏本，且每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？（3）某村农户今年共采摘蜜柚12000千克，若该品种蜜柚的保质期为50天，按照（2）的销售方式，能否在保质期内全部销售完这批蜜柚？若能，请说明理由；若不能，应定销售价为多少元时，既能销售完又能获得最大利润？【答案】（1）y＝﹣20x+500，（x≥6）；（2）当x＝15.5时，w的最大值为1805元；（3）当x＝13时，w＝1680，此时，既能销售完又能获得最大利润．【解析】【分析】（1）将点（15，200）、（10，300）代入一次函数表达式：y＝kx+b即可求解；（2）由题意得：w＝y（x﹣6）＝﹣20（x﹣25）（x﹣6），∵﹣20＜0，故w有最大值，即可求解；（3）当x＝15.5时，y＝190，50×190＜12000，故：按照（2）的销售方式，不能在保质期内全部销售完；由50（500﹣20x）≥12000，解得：x≤13，当x＝13时，既能销售完又能获得最大利润．【详解】解：（1）将点（15，200）、（10，300）代入一次函数表达式：y ＝kx +b 得：2001530010k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：20500k b =-⎧⎨=⎩，即：函数的表达式为：y ＝﹣20x +500，（x ≥6）；（2）设：该品种蜜柚定价为x 元时，每天销售获得的利润w 最大，则：w ＝y （x ﹣6）＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6），∵﹣20＜0，故w 有最大值，当x ＝﹣2b a ＝312＝15.5时，w 的最大值为1805元；（3）当x ＝15.5时，y ＝190，50×190＜12000，故：按照（2）的销售方式，不能在保质期内全部销售完；设：应定销售价为x 元时，既能销售完又能获得最大利润w ，由题意得：50（500﹣20x ）≥12000，解得：x ≤13，w ＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6），当x ＝13时，w ＝1680，此时，既能销售完又能获得最大利润．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）.3．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （1, 0）、C （3, 0）、D （3, 4）．以A 为顶点的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点C ．动点P 从点A 出发，以每秒12个单位的速度沿线段AD 向点D 运动，运动时间为t 秒．过点P 作PE ⊥x 轴交抛物线于点M ，交AC 于点N ．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）当t为何值时，△ACM的面积最大？最大值为多少？（3）点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿线段CD向点D运动，当t为何值时，在线段PE上存在点H，使以C、Q、N、H为顶点的四边形为菱形？【答案】（1）A（1，4）；y＝－x2＋2x＋3；（2）当t＝２时，△AＭC面积的最大值为1；（3）2085-或20 13．【解析】（1）由矩形的性质得到点A的坐标，由抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为y＝a（x －1）2＋4，把点C的坐标代入即可求得a的值；（2）由点P的坐标以及抛物线解析式得到点M的坐标，由A、C的坐标得到直线AC的解析式，进而得到点N的坐标，即可用关于t的式子表示MN，然后根据△ACM的面积是△AMN和△CMN的面积和列出用t表示的△ACM的面积，利用二次函数的性质即可得到当t＝２时，△AＭC面积的最大值为1；（3）①当点Ｈ在Ｎ点上方时，由PＮ＝CQ，PN∥CQ，得到四边形PNCQ为平行四边形，所以当PQ＝CQ时，四边形FECQ为菱形，据此得到，解得t值；②当点Ｈ在Ｎ点下方时，NH=CQ=，NQ＝CQ时，四边形NHCQ为菱形，NQ2＝CQ2，得：，解得t值．解：（1）由矩形的性质可得点A（1，4），∵抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为y＝a（x－1）2＋4，代入点C（3, 0），可得a＝－1．∴y＝－（x－1）2＋4＝－x2＋2x＋3．（2）∵P（112t+，４），将112x t=+代入抛物线的解析式，y＝－（x－1）2＋4＝2144t-，∴M （112t +，2144t -），设直线AC 的解析式为，将A （１,４），C （３,０）代入，得：，将112x t =+代入得， ∴N （112t +，）， ∴MN， ∴， ∴当t ＝２时，△A ＭC 面积的最大值为1．（3）①如图１，当点Ｈ在Ｎ点上方时，∵Ｎ（112t +，），P （112t +，４）， ∴P Ｎ＝４—（）＝＝CQ ，又∵PN ∥CQ ， ∴四边形PNCQ 为平行四边形，∴当PQ ＝CQ 时，四边形FECQ 为菱形，PQ 2＝PD 2+DQ 2 ＝，∴，整理，得240800t t -+=．解得12085t =-，22085t =+（舍去）；②如图２当点Ｈ在Ｎ点下方时，NH=CQ=，NQ ＝CQ 时，四边形NHCQ 为菱形，NQ 2＝CQ 2，得：．整理，得213728000t t -+=．()()1320400t t --=．所以12013t =，（舍去）．“点睛”此题主要考查二次函数的综合问题，会用顶点式求抛物线，会用两点法求直线解析式，会设点并表示三角形的面积，熟悉矩形和菱形的性质是解题的关键.4．已知抛物线26y x x c =-++.（1）若该抛物线与x 轴有公共点，求c 的取值范围；（Ⅱ）设该抛物线与直线21y x =+交于M ，N 两点，若25MN =C 的值；（Ⅲ）点P ，点Q 是抛物线上位于第一象限的不同两点，,PA QB 都垂直于x 轴，垂足分别为A ，B ，若OPA OQB ∆≅∆，求c 的取值范围.【答案】（I ）9c -…；（Ⅱ）2c =-；（Ⅲ）c 的取值范围是2174c -<< 【解析】【分析】(1) 抛物线与x 轴有公共点，则判别式为非负数，列不等式求解即可;(2)求出二次函数与直线的交点，并根据勾股定理求出MN 的长度，列方程即可求解;(3)由OPA OQB ∆≅∆可知，P ,Q 两点的坐标特点，设坐标得到设点P 的坐标为(, )m n ，则点Q 的坐标为(,)n m ，代入二次函数，得到n,m 的关系，则只需保证该方程有正根即可求解.【详解】解：（I ）∵抛物线26y x x c =-++与x 轴有交点， ∴一元二次方程260x x c -++=有实根。

2020年《二次函数》选择题中考题汇编

2020年《二次函数》选择题中考题汇编一．二次函数的图象1．（2020•菏泽）一次函数y acx b =+与二次函数2y ax bx c =++在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．2．（2020•泰安）在同一平面直角坐标系内，二次函数2(0)y ax bx b a =++≠与一次函数y ax b =+的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．二．二次函数的性质3．（2020•镇江）点(,)P m n 在以y 轴为对称轴的二次函数24y x ax =++的图象上．则m n -的最大值等于( ) A ．154B ．4C ．154-D ．174-4．（2020•呼和浩特）已知二次函数2(2)(2)1y a x a x =--++，当x 取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y 总相等，则关于x 的一元二次方程2(2)(2)10a x a x --++=的两根之积为( )A ．0B ．1-C ．12-D ．14-三．二次函数图象与系数的关系5．（2020•葫芦岛）如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象的对称轴是直线1x =，则以下四个结论中：①0abc >，②20a b +=，③244a b ac +<，④30a c +<．正确的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．46．（2020•铁岭）如图，二次函数2(y ax bx c a =++，b ，c 都为常数，0)a ≠的图象与x 轴相交于点(1,0)A -和(3,0)B ，下列结论：①20a b +=；②当13x -时，0y <；③若1(x ，1)y 、2(x ，2)y 在函数图象上，当12x x <时，12y y <；④30a c +=，正确的有( )A ．①②④B ．①④C ．①②③D ．①③④7．（2020•眉山）已知二次函数22224(y x ax a a a =-+--为常数）的图象与x 轴有交点，且当3x >时，y 随x 的增大而增大，则a 的取值范围是( ) A ．2a -B ．3a <C ．23a -<D ．23a -8．（2020•恩施州）如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴相交于(2,0)A -、(1,0)B 两点．则以下结论：①0ac >；②二次函数2y ax bx c =++的图象的对称轴为1x =-；③20a c +=；④0a b c -+>．其中正确的有( )个．A ．0B ．1C ．2D ．39．（2020•牡丹江）如图是二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象的一部分，对称轴为12x =，且经过点(2,0)．下列说法：①0abc <；②20b c -+=；③420a b c ++<；④若5(2-，1)y ，5(2，2)y 是抛物线上的两点，则12y y <；⑤1()4b m am b >+（其中1)2m ≠．其中说法正确的是( ) A ．①②④⑤B ．①②④C ．①④⑤D ．③④⑤10．（2020•丹东）如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点A 坐标为(1,0)-，点C 在(0,2)与(0,3)之间（不包括这两点），抛物线的顶点为D ，对称轴为直线2x =．有以下结论： ①0abc >；②若点1(2M -，1)y ，点7(2N ，2)y 是函数图象上的两点，则12y y <； ③3255a -<<-； ④ADB ∆可以是等腰直角三角形．其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．（2020•东营）如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A 、B 两点，其对称轴与x 轴交于点C ，其中A 、C 两点的横坐标分别为1-和1，下列说法错误的是()A ．0abc 时，y 随x 的增大而减小12．（2020•玉林）把二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象作关于x 轴的对称变换，所得图象的解析式为2(1)4y a x a =--+，若(1)0m a b c -++，则m 的最大值是( ) A ．4-B ．0C ．2D ．613．（2020•威海）如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠交x 轴于点A ，B ，交y 轴于点C ．若点A 坐标为(4,0)-，对称轴为直线1x =-，则下列结论错误的是( ) A ．二次函数的最大值为a b c -+B ．0a b c ++>C ．240b ac ->D ．20a b +=14．（2020•湘西州）已知二次函数2y ax bx c =++图象的对称轴为1x =，其图象如图所示，现有下列结论：①0abc >， ②20b a -<， ③0a b c -+>， ④()a b n an b +>+，(1)n ≠，⑤23c b <．正确的是( )A ．①③B ．②⑤C ．③④D ．④⑤15．（2020•牡丹江）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴正半轴交于A ，B 两点，与y 轴负半轴交于点C ．若点(4,0)B ，则下列结论中，正确的个数是( ) ①0abc >； ②40a b +>；③1(M x ，1)y 与2(N x ，2)y 是抛物线上两点，若120x x <<，则12y y >；④若抛物线的对称轴是直线3x =，m 为任意实数，则(3)(3)(3)a m m b m -+-；⑤若3AB ，则430b c +>． A ．5B ．4C ．3D ．216．（2020•广东）如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴是1x =，下列结论： ①0abc >；②240b ac ->；③80a c +<；④520a b c ++>，正确的有( ) A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个17．（2020•深圳）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标为(1,)n -，其部分图象如图所示．以下结论错误的是( ) A ．0abc >B ．240ac b -<C ．30a c +>D ．关于x 的方程21ax bx c n ++=+无实数根18．（2020•鄂州）如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于点(1,0)A -和B ，与y 轴交于点C ．下列结论：①0abc <，②20a b +<，③420a b c -+>，④30a c +>，其中正确的结论个数为( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个19．（2020•株洲）二次函数2y ax bx c =++，若0ab <，20a b ->，点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 在该二次函数的图象上，其中12x x <，120x x +=，则( )A ．12y y =-B ．12y y >C ．12y y <D ．1y 、2y 的大小无法确定20．（2020•襄阳）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，下列结论： ①0ac <；②30a c +=；③240ac b -<；④当1x >-时，y 随x 的增大而减小．其中正确的有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个21．（2020•天津）已知抛物线2(y ax bx c a =++，b ，c 是常数，0a ≠，1)c >经过点(2,0)，其对称轴是直线12x =．有下列结论：①0abc >；②关于x 的方程2ax bx c a ++=有两个不等的实数根；③12a <-．其中，正确结论的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．322．（2020•凉山州）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有如下结论： ①0abc >；②20a b +=；③320b c -<；④2(am bm a b m ++为实数）．其中正确结论的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个四．二次函数图象上点的坐标特征23．（2020•黄石）若二次函数22y a x bx c =--的图象，过不同的六点(1,)A n -、(5,1)B n -、(6,1)C n +、(2D ，1)y 、2(2,)E y 、3(4,)F y ，则1y 、2y 、3y 的大小关系是( )A ．123y y y <<B ．132y y y <<C ．231y y y <<D ．213y y y <<24．（2020•河北）如图，现要在抛物线(4)y x x =-上找点(,)P a b ，针对b 的不同取值，所找点P 的个数，三人的说法如下，甲：若5b =，则点P 的个数为0；乙：若4b =，则点P 的个数为1；丙：若3b =，则点P 的个数为1．下列判断正确的是( )A ．乙错，丙对B ．甲和乙都错C ．乙对，丙错D ．甲错，丙对五．二次函数图象与几何变换25．（2020•宿迁）将二次函数2(1)2y x =-+的图象向上平移3个单位长度，得到的拋物线相应的函数表达式为()A．2(2)2y x=+-B．2(4)2y x=-+C．2(1)1y x=--D．2(1)5y x=-+26．（2020•孝感）将抛物线21:23C y x x=-+向左平移1个单位长度，得到抛物线2C，抛物线2C与抛物线3C关于x轴对称，则抛物线3C的解析式为()A．22y x=--B．22y x=-+C．22y x=-D．22y x=+27．（2020•广东）把函数2(1)2y x=-+图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为()A．22y x=+B．2(1)1y x=-+C．2(2)2y x=-+D．2(1)3y x=-+28．（2020•陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线2(1)(1)y x m x m m=--+>沿y轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限六．抛物线与x轴的交点29．（2020•阜新）已知二次函数224y x x=-++，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是()A．图象的开口向上B．图象的顶点坐标是(1,3) C．当1x<时，y随x的增大而增大D．图象与x轴有唯一交点30．（2020•大连）抛物线2(0)y ax bx c a=++<与x轴的一个交点坐标为(1,0)-，对称轴是直线1x=，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是()A．7(2，0)B．(3,0)C．5(2，0)D．(2,0)31．（2020•随州）如图所示，已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为D ，则下列结论： ①20a b +=； ②23c b <；③当ABC ∆是等腰三角形时，a 的值有2个；④当BCD ∆是直角三角形时，2a =．其中正确的有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个32．（2020•呼和浩特）关于二次函数216274y x x a =-++，下列说法错误的是( )A ．若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点(4,5)，则5a =-B ．当12x =时，y 有最小值9a -C ．2x =对应的函数值比最小值大7D ．当0a <时，图象与x 轴有两个不同的交点33．（2020•娄底）二次函数()()2()y x a x b a b =---<与x 轴的两个交点的横坐标分别为m 和n ，且m n <，下列结论正确的是( )A ．m a n b <<经过第四象限的点(1,1)-，则关于x 的方程20ax bx c ++=的根的情况是( )A ．有两个大于1的不相等实数根B ．有两个小于1的不相等实数根C ．有一个大于1另一个小于1的实数根D ．没有实数根35．（2020•岳阳）对于一个函数，自变量x 取c 时，函数值y 等于0，则称c 为这个函数的零点．若关于x 的二次函数210(0)y x x m m =--+≠有两个不相等的零点1x ，212()x x x <，关于x 的方程21020x x m +--=有两个不相等的非零实数根3x ，434()x x x <，则下列关系式一定正确的是( )A ．1301x x < C ．2401x x << D ．241x x >七．图象法求一元二次方程的近似根36．（2020•昆明）如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =，与y 轴交于点(0,2)B -，点(1,)A m -在抛物线上，则下列结论中错误的是( )A ．0ab 时，12y y <37．（2020•毕节市）已知2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴为直线2x =．若1x ，2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个根，且12x x <，110x -<<，则下列说法正确的是( ) A ．120x x +11 八．二次函数的应用38．（2020•绵阳）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为( )A ．43米B ．52米C ．213米D ．7米39．（2020•山西）竖直上抛物体离地面的高度()h m 与运动时间()t s 之间的关系可以近似地用公式2005h t v t h =-++表示，其中0()h m 是物体抛出时离地面的高度，0(/)v m s 是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5m 的高处以20/m s 的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为( )A ．23.5mB ．22.5mC ．21.5mD ．20.5m40．（2020•长沙）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率” P 与加工煎炸时间t （单位：分钟）近似满足的函数关系为：2(0P at bt c a =++≠，a ，b ，c 是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为( )A ．3.50分钟B ．4.05分钟C ．3.75分钟D ．4.25分钟。

2020年全国中考数学试题分类(8)——二次函数

2020年全国中考数学试题分类（8）——二次函数一．二次函数的性质（共2小题）1．（2020•黔西南州）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +4交y 轴于点A ，交过点A 且平行于x 轴的直线于另一点B ，交x 轴于C ，D 两点（点C 在点D 右边），对称轴为直线x =52，连接AC ，AD ，BC ．若点B 关于直线AC 的对称点恰好落在线段OC 上，下列结论中错误的是（）A ．点B 坐标为（5，4）B ．AB ＝ADC ．a =−16D ．OC •OD ＝162．（2020•长春）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（0，2），点B 的坐标为（4，2）．若抛物线y =−32（x ﹣h ）2+k （h 、k 为常数）与线段AB 交于C 、D 两点，且CD =12AB ，则k 的值为．二．二次函数图象与系数的关系（共16小题）3．（2020•济南）已知抛物线y ＝x 2+（2m ﹣6）x +m 2﹣3与y 轴交于点A ，与直线x ＝4交于点B ，当x ＞2时，y 值随x 值的增大而增大．记抛物线在线段AB 下方的部分为G （包含A 、B 两点），M 为G 上任意一点，设M 的纵坐标为t ，若t ≥﹣3，则m 的取值范围是（）A ．m ≥32B ．32≤m ≤3C ．m ≥3D ．1≤m ≤34．（2020•日照）如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象的对称轴为直线x ＝﹣1，下列结论：①abc ＜0；①3a ＜﹣c ；①若m 为任意实数，则有a ﹣bm ≤am 2+b ； ①若图象经过点（﹣3，﹣2），方程ax 2+bx +c +2＝0的两根为x 1，x 2（|x 1|＜|x 2|），则2x 1﹣x 2＝5．其中正确的结论的个数是（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个5．（2020•葫芦岛）如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象的对称轴是直线x ＝1，则以下四个结论中：①abc ＞0，①2a +b ＝0，①4a +b 2＜4ac ，①3a +c ＜0．正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．46．（2020•眉山）已知二次函数y ＝x 2﹣2ax +a 2﹣2a ﹣4（a 为常数）的图象与x 轴有交点，且当x ＞3时，y 随x 的增大而增大，则a 的取值范围是（）A ．a ≥﹣2B ．a ＜3C ．﹣2≤a ＜3D ．﹣2≤a ≤37．（2020•鸡西）如图是二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象的一部分，对称轴为x =12，且经过点（2，0）．下列说法：①abc ＜0；①﹣2b +c ＝0；①4a +2b +c ＜0；①若（−52，y 1），（52，y 2）是抛物线上的两点，则y 1＜y 2；①14b ＞m （am +b ）（其中m ≠12）．其中说法正确的是（）A ．①①①①B ．①①①C ．①①①D ．①①①8．（2020•丹东）如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点A 坐标为（﹣1，0），点C 在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），抛物线的顶点为D ，对称轴为直线x ＝2．有以下结论：①abc ＞0；①若点M （−12，y 1），点N （72，y 2）是函数图象上的两点，则y 1＜y 2； ①−35＜a ＜−25； ①△ADB 可以是等腰直角三角形．其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．（2020•东营）如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于A 、B 两点，其对称轴与x 轴交于点C ，其中A 、C 两点的横坐标分别为﹣1和1，下列说法错误的是（）A．abc＜0B．4a+c＝0C．16a+4b+c＜0D．当x＞2时，y随x的增大而减小10．（2020•威海）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于点A，B，交y轴于点C．若点A坐标为（﹣4，0），对称轴为直线x＝﹣1，则下列结论错误的是（）A．二次函数的最大值为a﹣b+cB．a+b+c＞0C．b2﹣4ac＞0D．2a+b＝011．（2020•湘西州）已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为x＝1，其图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0，①b﹣2a＜0，①a﹣b+c＞0，①a+b＞n（an+b），（n≠1），①2c＜3b．正确的是（）A．①①B．①①C．①①D．①①12．（2020•牡丹江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C．若点B（4，0），则下列结论中，正确的个数是（）①abc＞0；①4a+b＞0；①M（x1，y1）与N（x2，y2）是抛物线上两点，若0＜x1＜x2，则y1＞y2；①若抛物线的对称轴是直线x＝3，m为任意实数，则a（m﹣3）（m+3）≤b（3﹣m）；①若AB≥3，则4b+3c＞0．A．5B．4C．3D．213．（2020•凉山州）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论：①abc＞0；①2a+b＝0；①3b﹣2c＜0；①am2+bm≥a+b（m为实数）．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个14．（2020•泸州）已知二次函数y＝x2﹣2bx+2b2﹣4c（其中x是自变量）的图象经过不同两点A（1﹣b，m），B（2b+c，m），且该二次函数的图象与x轴有公共点，则b+c的值为（）A．﹣1B．2C．3D．415．（2020•齐齐哈尔）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论：①ac＜0；①4a﹣2b+c＞0；①当x＞2时，y随x的增大而增大；①关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个16．（2020•德州）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（）A．若（﹣2，y1），（5，y2）是图象上的两点，则y1＞y2B．3a+c＝0C．方程ax2+bx+c＝﹣2有两个不相等的实数根D．当x≥0时，y随x的增大而减小17．（2020•甘孜州）如图，二次函数y＝a（x+1）2+k的图象与x轴交于A（﹣3，0），B两点，下列说法错误的是（）A．a＜0B．图象的对称轴为直线x＝﹣1C．点B的坐标为（1，0）D．当x＜0时，y随x的增大而增大18．（2020•宁波）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1．则下列选项中正确的是（）A．abc＜0B．4ac﹣b2＞0C．c﹣a＞0D．当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y≥c三．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题）19．（2020•河北）如图，现要在抛物线y＝x（4﹣x）上找点P（a，b），针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，甲：若b＝5，则点P的个数为0；乙：若b＝4，则点P的个数为1；丙：若b＝3，则点P的个数为1．下列判断正确的是（）A ．乙错，丙对B ．甲和乙都错C ．乙对，丙错D ．甲错，丙对四．二次函数图象与几何变换（共1小题）20．（2020•陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线y ＝x 2﹣（m ﹣1）x +m （m ＞1）沿y 轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限五．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）21．（2020•江西）已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …y … m 0 ﹣3 n ﹣3 …（1）根据以上信息，可知抛物线开口向，对称轴为；（2）求抛物线的表达式及m ，n 的值；（3）请在图1中画出所求的抛物线．设点P 为抛物线上的动点，OP 的中点为P '，描出相应的点P '，再把相应的点P '用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？（4）设直线y ＝m （m ＞﹣2）与抛物线及（3）中的点P '所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为A 1，A 2，A 3，A 4，请根据图象直接写出线段A 1A 2，A 3A 4之间的数量关系．六．抛物线与x 轴的交点（共5小题）22．（2020•大连）抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ＜0）与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴是直线x ＝1，其部分图象如图所示，则此抛物线与x 轴的另一个交点坐标是（） A ．（72，0） B ．（3，0）C ．（52，0）D ．（2，0）23．（2020•呼和浩特）关于二次函数y =14x 2﹣6x +a +27，下列说法错误的是（）A．若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点（4，5），则a＝﹣5B．当x＝12时，y有最小值a﹣9C．x＝2对应的函数值比最小值大7D．当a＜0时，图象与x轴有两个不同的交点24．（2020•娄底）二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2（a＜b）与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n，且m＜n，下列结论正确的是（）A．m＜a＜n＜b B．a＜m＜b＜n C．m＜a＜b＜n D．a＜m＜n＜b25．（2020•安顺）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m ＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3．则关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有两个整数根，这两个整数根是（）A．﹣2或0B．﹣4或2C．﹣5或3D．﹣6或426．（2020•杭州）在平面直角坐标系中，已知函数y1＝x2+ax+1，y2＝x2+bx+2，y3＝x2+cx+4，其中a，b，c 是正实数，且满足b2＝ac．设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，（）A．若M1＝2，M2＝2，则M3＝0B．若M1＝1，M2＝0，则M3＝0C．若M1＝0，M2＝2，则M3＝0D．若M1＝0，M2＝0，则M3＝0七．二次函数的应用（共15小题）27．（2020•长沙）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”P与加工煎炸时间t（单位：分钟）近似满足的函数关系为：P＝at2+bt+c（a≠0，a，b，c 是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（）A．3.50分钟B．4.05分钟C．3.75分钟D．4.25分钟28．（2020•巴中）现有一“祥云”零件剖面图，如图所示，它由一个半圆和左右两支抛物线的一部分组成，且关于y轴对称．其中半圆交y轴于点E，直径AB＝2，OE＝2；两支抛物线的顶点分别为点A、点B．与x轴分别交于点C、点D；直线BC的解析式为：y=yy+34．则零件中BD这段曲线的解析式为．29．（2020•日照）如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD，为美化环境，用总长为100m的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）．（1）若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE＝3BE；（2）在（1）的条件下，设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．30．（2020•盘锦）某服装厂生产A品种服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x件时，批发单价为y元，y与x之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数x为10的正整数倍．（1）当100≤x≤300时，y与x的函数关系式为．（2）某零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装200件，需要支付多少元？（3）零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x（100≤x≤400）件，服装厂的利润为w元，问：x为何值时，w最大？最大值是多少？31．（2020•朝阳）某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：销售单价x（元）406080日销售量y（件）806040（1）直接写出y与x的关系式；（2）求公司销售该商品获得的最大日利润；（3）销售一段时间以后，由于某种原因，该商品每件成本增加了10元，若物价部门规定该商品销售单价不能超过a元，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求a的值．32．（2020•呼伦贝尔）某商店销售一种销售成本为每件40元的玩具，若按每件50元销售，一个月可售出500件，销售价每涨1元，月销量就减少10件．设销售价为每件x元（x≥50），月销量为y件，月销售利润为w元．（1）写出y与x的函数解析式和w与x的函数解析式；（2）商店要在月销售成本不超过10000的情况下，使月销售利润达到8000元，销售价应定为每件多少元？（3）当销售价定为每件多少元时会获得最大利润？求出最大利润．33．（2020•鄂尔多斯）某水果店将标价为10元/斤的某种水果．经过两次降价后，价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．（1）求该水果每次降价的百分率；（2）从第二次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的销量及储藏和损耗费用的相关信息如下表所示：时间（天）x销量（斤）120﹣x储藏和损耗费用（元）3x2﹣64x+400已知该水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜10）之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大，最大利润是多少？34．（2020•随州）2020年新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月（按30天计）前5天的某型号口罩销售价格p（元/只）和销量q（只）与第x天的关系如下表：第x天12345销售价格p （元/只）23 4 5 6 销量q （只） 7075 80 85 90 物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于1元/只，该药店从第6天起将该型号口罩的价格调整为1元/只．据统计，该药店从第6天起销量q （只）与第x 天的关系为q ＝﹣2x 2+80x ﹣200 （6≤x ≤30，且x 为整数），已知该型号口罩的进货价格为0.5元/只．（1）直接写出该药店该月前5天的销售价格p 与x 和销量q 与x 之间的函数关系式；（2）求该药店该月销售该型号口罩获得的利润W （元）与x 的函数关系式，并判断第几天的利润最大；（3）物价部门为了进一步加强市场整顿，对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常利润之外的非法所得部分处以m 倍的罚款，若罚款金额不低于2000元，则m 的取值范围为．35．（2020•丹东）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y （件）与每件的售价x （元）满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x （元/件）60 65 70 销售量y （件）1400 1300 1200 （1）求出y 与x 之间的函数表达式；（不需要求自变量x 的取值范围）（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为w （元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？36．（2020•荆门）2020年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年，荆门市政府加大各部门和单位对口扶贫力度．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月（按30天计）的第x 天（x 为正整数）的销售价格p （元/千克）关于x 的函数关系式为p ={25y +4(0＜y ≤20)−15y +12(20＜y ≤30)，销售量y （千克）与x 之间的关系如图所示．（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围；（2）当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少？（销售额＝销售量×销售价格）37．（2020•潍坊）因疫情防控需要，消毒用品需求量增加．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量y （桶）与销售单价x （元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求y 与x 之间的函数表达式；（2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利润＝销售价﹣进价）38．（2020•营口）某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款“免洗洗手液”的销售单价为x （元），每天的销售量为y （瓶）．（1）求每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为多少元？39．（2020•武汉）某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A城生产产品的总成本y（万元）与产品数量x（件）之间具有函数关系y＝ax2+bx．当x＝10时，y＝400；当x＝20时，y＝1000．B城生产产品的每件成本为70万元．（1）求a，b的值；（2）当A，B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A，B两城各生产多少件？（3）从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C，D 两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C地需要90件，D地需要10件，在（2）的条件下，直接写出A，B两城总运费的和的最小值（用含有m的式子表示）．40．（2020•青岛）某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4m，宽AB＝3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．（1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝kx2+m（k≠0）表示．求该抛物线的函数表达式；（2）现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图①，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2．已知GM＝2m，求每个B 型活动板房的成本是多少？（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本）（3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n（元）定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大？最大利润是多少？41．（2020•鄂州）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：x（元/件）456y（件）1000095009000（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（1≤m≤6），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围．八．二次函数综合题（共9小题）42．（2020•柳州）如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣4x+a（a＜0）与y轴交于点A，与x轴交于E、F两点（点E在点F的右侧），顶点为M．直线y=23y−y与x轴、y轴分别交于B、C两点，与直线AM交于点D．（1）求抛物线的对称轴；（2）在y轴右侧的抛物线上存在点P，使得以P、A、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求a的值；（3）如图①，过抛物线顶点M作MN⊥x轴于N，连接ME，点Q为抛物线上任意一点，过点Q作QG ⊥x轴于G，连接QE．当a＝﹣5时，是否存在点Q，使得以Q、E、G为顶点的三角形与△MNE相似（不含全等）？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．43．（2020•济南）如图1，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 过点A （﹣1，0），点B （3，0），与y 轴交于点C ．在x 轴上有一动点E （m ，0）（0＜m ＜3），过点E 作直线l ⊥x 轴，交抛物线于点M ．（1）求抛物线的解析式及C 点坐标；（2）当m ＝1时，D 是直线l 上的点且在第一象限内，若△ACD 是以∠DCA 为底角的等腰三角形，求点D 的坐标；（3）如图2，连接BM 并延长交y 轴于点N ，连接AM ，OM ，设△AEM 的面积为S 1，△MON 的面积为S 2，若S 1＝2S 2，求m 的值．44．（2020•大连）在平面直角坐标系xOy 中，函数F 1和F 2的图象关于y 轴对称，它们与直线x ＝t （t ＞0）分别相交于点P ，Q ．（1）如图，函数F 1为y ＝x +1，当t ＝2时，PQ 的长为；（2）函数F 1为y =3y ，当PQ ＝6时，t 的值为；（3）函数F 1为y ＝ax 2+bx +c （a ≠0），①当t =√y y 时，求△OPQ 的面积；①若c ＞0，函数F 1和F 2的图象与x 轴正半轴分别交于点A （5，0），B （1，0），当c ≤x ≤c +1时，设函数F 1的最大值和函数F 2的最小值的差为h ，求h 关于c 的函数解析式，并直接写出自变量c 的取值范围．45．（2020•呼伦贝尔）如图，抛物线y =−12x 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B （4，0），与y 轴交于点C ，连接BC ，点P 是线段BC 上的动点（与点B ，C 不重合），连接AP 并延长AP 交抛物线于点Q ，连接CQ ，BQ ，设点Q 的横坐标为m ．（1）求抛物线的解析式和点C 的坐标；（2）当△BCQ 的面积等于2时，求m 的值；（3）在点P 运动过程中，yy yy 是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．46．（2020•永州）在平面直角坐标系xOy 中，等腰直角△ABC 的直角顶点C 在y 轴上，另两个顶点A ，B在x 轴上，且AB ＝4，抛物线经过A ，B ，C 三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l 交抛物线于M ，N 两点，如图2所示．①求△CMN 面积的最小值．①已知Q （1，−32）是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P ，使得点P 与点Q 关于直线l 对称，若存在，求出点P 的坐标及直线l 的一次函数表达式；若不存在，请说明理由． 47．（2020•云南）抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为（﹣1，0），点C 的坐标为（0，﹣3）．点P 为抛物线y ＝x 2+bx +c 上的一个动点．过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，交直线BC 于点E ．（1）求b 、c 的值；（2）设点F 在抛物线y ＝x 2+bx +c 的对称轴上，当△ACF 的周长最小时，直接写出点F 的坐标；（3）在第一象限，是否存在点P ，使点P 到直线BC 的距离是点D 到直线BC 的距离的5倍？若存在，求出点P 所有的坐标；若不存在，请说明理由．48．（2020•青海）如图1（注：与图2完全相同）所示，抛物线y =−12y 2+bx +c 经过B 、D 两点，与x 轴的另一个交点为A ，与y 轴相交于点C ．（1）求抛物线的解析式．（2）设抛物线的顶点为M ，求四边形ABMC 的面积．（请在图1中探索）（3）设点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上．要使以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P 的坐标．（请在图2中探索） 49．（2020•通辽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ．且直线y ＝x ﹣6过点B ，与y 轴交于点D ，点C 与点D 关于x 轴对称，点P 是线段OB 上一动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M ，交直线BD 于点N ．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当△MDB 的面积最大时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，在y 轴上是否存在点Q ，使得以Q ，M ，N 三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．50．（2020•咸宁）如图，在平面直角坐标系中，直线y =−12x +2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线y =−23x 2+bx +c 过点B 且与直线相交于另一点C （52，34）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是抛物线上的一动点，当∠P AO ＝∠BAO 时，求点P 的坐标；（3）点N （n ，0）（0＜n ＜52）在x 轴的正半轴上，点M （0，m ）是y 轴正半轴上的一动点，且满足∠MNC ＝90°．①求m 与n 之间的函数关系式；①当m 在什么范围时，符合条件的N 点的个数有2个？2020年全国中考数学试题分类（8）——二次函数参考答案与试题解析一．二次函数的性质（共2小题）1．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，∴A（0，4），∵对称轴为直线x=52，AB∥x轴，∴B（5，4）．故A无误；如图，过点B作BE⊥x轴于点E，则BE＝4，AB＝5，∵AB∥x轴，∴∠BAC＝∠ACO，∵点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，∴∠ACO＝∠ACB，∴∠BAC＝∠ACB，∴BC＝AB＝5，∴在Rt△BCE中，由勾股定理得：EC＝3，∴C（8，0），∵对称轴为直线x=5 2，∴D（﹣3，0）∵在Rt△ADO中，OA＝4，OD＝3，∴AD＝5，∴AB＝AD，故B无误；设y＝ax2+bx+4＝a（x+3）（x﹣8），将A（0，4）代入得：4＝a（0+3）（0﹣8），∴a=−1 6，故C无误；∵OC＝8，OD＝3，∴OC•OD＝24，故D错误．综上，错误的只有D．故选：D．2．【解答】解：∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2），∴AB＝4，∵抛物线y=−32（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD=12AB＝2，∴设点C的坐标为（c，2），则点D的坐标为（c+2，2），h=2y+22=c+1，∴2=−32[c﹣（c+1）]2+k，解得，k=7 2．二．二次函数图象与系数的关系（共16小题）3．【解答】解：当对称轴在y 轴的右侧时，{ 2y −6＜0−2y −62≤24(y 2−3)−(2y −6)24≥−3，解得32≤m ＜3，当对称轴是y 轴时，m ＝3，符合题意，当对称轴在y 轴的左侧时，2m ﹣6＞0，解得m ＞3，综上所述，满足条件的m 的值为m ≥32．故选：A ．4．【解答】解：由图象可知：a ＜0，c ＞0，−y 2y =−1， ∴b ＝2a ＜0，∴abc ＞0，故①abc ＜0错误；当x ＝1时，y ＝a +b +c ＝a +2a +c ＝3a +c ＜0，∴3a ＜﹣c ，故①3a ＜﹣c 正确；∵x ＝﹣1时，y 有最大值，∴a ﹣b +c ≥am 2+bm +c （m 为任意实数），即a ﹣b ≥am 2+bm ，即a ﹣bm ≥am 2+b ，故①错误；∵二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象经过点（﹣3，﹣2），方程ax 2+bx +c +2＝0的两根为x 1，x 2（|x 1|＜|x 2|），∴二次函数y ＝ax 2+bx +c 与直线y ＝﹣2的一个交点为（﹣3，﹣2），∵抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1，∴二次函数y ＝ax 2+bx +c 与直线y ＝﹣2的另一个交点为（1，﹣2），即x 1＝1，x 2＝﹣3，∴2x 1﹣x 2＝2﹣（﹣3）＝5，故①正确．所以正确的是①①；故选：C ．5．【解答】解：①根据抛物线开口向下可知：a ＜0，因为对称轴在y 轴右侧，所以b ＞0，因为抛物线与y 轴正半轴相交，所以c ＞0，所以abc ＜0，所以①错误；①因为抛物线对称轴是直线x ＝1，即−y 2y=1，所以b ＝﹣2a ，所以b +2a ＝0，所以①正确；①因为b ＝﹣2a ，由4a +b 2＜4ac ，得4a +4a 2＜4ac ，∵a ＜0，∴c ＜1+a ，根据抛物线与y 轴的交点，c ＞1，所以①错误；①当x ＝﹣1时，y ＜0，即a ﹣b +c ＜0，因为b ＝﹣2a ，所以3a +c ＜0，所以①正确．所以正确的是①①2个．故选：B ．6．【解答】解：∵二次函数y ＝x 2﹣2ax +a 2﹣2a ﹣4（a 为常数）的图象与x 轴有交点，∴△＝（﹣2a ）2﹣4×1×（a 2﹣2a ﹣4）≥0解得：a ≥﹣2；∵抛物线的对称轴为直线x =−−2y 2=a ，抛物线开口向上，且当x ＞3时，y 随x 的增大而增大， ∴a ≤3，∴实数a 的取值范围是﹣2≤a ≤3．故选：D ．7．【解答】解：①∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵抛物线对称轴为x =−y 2y =12，∴b ＝﹣a ＞0， ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0，∴abc ＜0，所以①正确；①∵对称轴为x =12，且经过点（2，0），∴抛物线与x 轴的另一个交点为（﹣1，0），∴y y =−1×2＝﹣2，∴c ＝﹣2a ，∴﹣2b +c ＝2a ﹣2a ＝0所以①正确；①∵抛物线经过（2，0），∴当x ＝2时，y ＝0，∴4a +2b +c ＝0，所以①错误；①∵点（−52，y 1）离对称轴要比点（52，y 2）离对称轴远，∴y 1＜y 2，所以①正确；①∵抛物线的对称轴x =12，∴当x =12时，y 有最大值，∴14a +12b +c ＞am 2+bm +c （其中m ≠12）．∵a ＝﹣b ，∴14b ＞m （am +b ）（其中m ≠12），所以①正确．所以其中说法正确的是①①①①．故选：A ．8．【解答】解：∵二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为：x =−y 2y ，∴−y 2y =2，∴b ＝﹣4a ，∵点A 坐标为（﹣1，0），点C 在（0，2）与（0，3）之间，且都在抛物线上，∴a ﹣b +c ＝0，2＜c ＜3，由二次函数图象可知，a ＜0，∴b ＞0，又∵c ＞0，∴abc ＜0，故①不正确；∵点N （72，y 2）关于对称轴x ＝2的对称点为（12，y 2），12＞−12，y 随x 的增大而增大，∴y 1＜y 2，故①正确；∵{y =−4yy −y +y =02＜y ＜3，解得：−35＜a ＜−25，故①正确；∵抛物线的顶点为D ，对称轴为直线x ＝2，∴点A 与点B 关于直线x ＝2对称，点D 在直线x ＝2上，∴AB ＝6，DA ＝DB ，∴△ADB 是等腰三角形，如果△ADB 是等腰直角三角形，则点D 到AB 的距离等于12AB ＝3，即D （2，3），则{y −y +y =0y =−4y 3=4y +2y +y ，解得：{ y =−13y =43y =53， ∴二次函数解析式为：y =−13x 2+43x +53，当x ＝0时，y =53，与点C 在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点）矛盾，∴△ADB 不可能是等腰直角三角形，故①不正确；∴正确的有2个，故选：B ． 9．【解答】解：抛物线开口向下，因此a ＜0，对称轴为x ＝1，即−y 2y =1，也就是2a +b ＝0，b ＞0，抛物线与y 轴交于正半轴，于是c ＞0，∴abc ＜0，因此选项A 不符合题意；由A （﹣1，0）、C （1，0）对称轴为x ＝1，可得抛物线与x 轴的另一个交点B （3，0），∴a ﹣b +c ＝0，∴a +2a +c ＝0，即3a +c ＝0，因此选项B 符合题意；当x ＝4时，y ＝16a +4b +c ＜0，因此选项C 不符合题意；当x ＞1时，y 随x 的增大而减小，因此选项D 不符合题意；故选：B ．10．【解答】解：当x ＝﹣1时，y ＝a ﹣b +c 的值最大，选项A 不符合题意；抛物线与x 轴的另一个交点为（2，0），当x ＝1时，y ＝a +b +c ＞0，因此选项B 不符合题意；抛物线与x 轴有两个不同交点，因此b 2﹣4ac ＞0，故选项C 不符合题意；抛物线y ＝ax 2+bx +c 过点A （﹣4，0），对称轴为直线x ＝﹣1，因此有：x ＝﹣1=−y 2y ，即2a ﹣b ＝0，因此选项D 符合题意；故选：D ．11．【解答】解：①由图象可知：a ＜0，b ＞0，c ＞0，abc ＜0，故①错误；①由于a ＜0，所以﹣2a ＞0．又b ＞0，所以b ﹣2a ＞0，故①错误；①当x ＝﹣1时，y ＝a ﹣b +c ＜0，故①错误；①当x ＝1时，y 的值最大．此时，y ＝a +b +c ，而当x ＝n 时，y ＝an 2+bn +c ，所以a +b +c ＞an 2+bn +c ，故a +b ＞an 2+bn ，即a +b ＞n （an +b ），故①正确；①当x ＝3时函数值小于0，y ＝9a +3b +c ＜0，且该抛物线对称轴是直线x =−y 2y =1，即a =−y 2，代入得9（−y 2）+3b +c ＜0，得2c ＜3b ，故①正确；故①①正确．故选：D ．12．【解答】解：如图，抛物线开口向下，与y 轴交于负半轴，对称轴在y 轴右侧，∴a ＜0，c ＜0，−y 2y ＞0，∴b ＞0， ∴abc ＞0，故①正确；如图，∵抛物线过点B （4，0），点A 在x 轴正半轴，∴对称轴在直线x ＝2右侧，即−y 2y ＞2， ∴2+y 2y =4y +y 2y ＜0，又a ＜0，∴4a +b ＞0，故①正确； ∵M （x 1，y 1）与N （x 2，y 2）是抛物线上两点，0＜x 1＜x 2，可得：抛物线y ＝ax 2+bx +c 在0＜y ＜−y 2y上，y 随x 的增大而增大，在y ＞−y 2y 上，y 随x 的增大而减小，∴y 1＞y 2不一定成立，故①错误；若抛物线对称轴为直线x ＝3，则−y 2y =3，即b ＝﹣6a ，则a （m ﹣3）（m +3）﹣b （3﹣m ）＝a （m ﹣3）2≤0，∴a （m ﹣3）（m +3）≤b （3﹣m ），故①正确；∵AB ≥3，则点A 的横坐标大于0或小于等于1，当x ＝1时，代入，y ＝a +b +c ≥0，当x ＝4时，16a +4b +c ＝0，∴a =4y +y −16，则4y +y−16+y +y ≥0，整理得：4b +5c ≥0，则4b +3c ≥﹣2c ，又c ＜0，﹣2c ＞0，∴4b +3c ＞0，故①正确，故正确的有4个．故选：B ．13．【解答】解：①∵对称轴在y 轴右侧，∴a 、b 异号，∴ab ＜0，∵c ＜0，∴abc ＞0，故①正确；①∵对称轴x=−y2y=1，∴2a+b＝0；故①正确；①∵2a+b＝0，∴a=−12 b，∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，∴−12b﹣b+c＞0，∴3b﹣2c＜0，故①正确；①根据图象知，当x＝1时，y有最小值；当m为实数时，有am2+bm+c≥a+b+c，所以am2+bm≥a+b（m为实数）．故①正确．本题正确的结论有：①①①①，4个；故选：D．14．【解答】解：由二次函数y＝x2﹣2bx+2b2﹣4c的图象与x轴有公共点，∴（﹣2b）2﹣4×1×（2b2﹣4c）≥0，即b2﹣4c≤0 ①，由抛物线的对称轴x=−−2y2=b，抛物线经过不同两点A（1﹣b，m），B（2b+c，m），b=1−y+2y+y2，即，c＝b﹣1 ①，①代入①得，b2﹣4（b﹣1）≤0，即（b﹣2）2≤0，因此b＝2，c＝b﹣1＝2﹣1＝1，∴b+c＝2+1＝3，故选：C．15．【解答】解：抛物线开口向上，因此a＞0，与y轴交于负半轴，因此c＜0，故ac＜0，所以①正确；抛物线对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（4，0），则另一个交点为（﹣2，0），于是有4a﹣2b+c＝0，所以①不正确；x＞1时，y随x的增大而增大，所以①正确；抛物线与x轴有两个不同交点，因此关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，所以①正确；综上所述，正确的结论有：①①①，故选：C．16．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，a＜0，∴点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点为（3，0），则抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），点（﹣2，y1）与（4，y1）是对称点，∵当x＞1时，函数y随x增大而减小，故A选项不符合题意；把点（﹣1，0），（3，0）代入y＝ax2+bx+c得：a﹣b+c＝0①，9a+3b+c＝0①，①×3+①得：12a+4c＝0，∴3a+c＝0，故B选项不符合题意；当y＝﹣2时，y＝ax2+bx+c＝﹣2，由图象得：纵坐标为﹣2的点有2个，∴方程ax2+bx+c＝﹣2有两个不相等的实数根，故C选项不符合题意；∵二次函数图象的对称轴为x＝1，a＜0，∴当x≤1时，y随x的增大而增大；当x≥1时，y随x的增大而减小；。

2019-2020年中考数学真题分类汇编-二次函数(含答案)

2019-2020年中考数学真题分类汇编二次函数一.选择题1．（2015•安徽,第10题4分）如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y=ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（）A．B．C．D考点：二次函数的图象；正比例函数的图象．分析：由一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，得出方程ax2+（b﹣1）x+c=0有两个不相等的根，进而得出函数y=ax2+（b﹣1）x+c与x轴有两个交点，根据方程根与系数的关系得出函数y=ax2+（b﹣1）x+c的对称轴x=﹣＞0，即可进行判断．解答：解：∵一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，∴方程ax2+（b﹣1）x+c=0有两个不相等的根，∴函数y=ax2+（b﹣1）x+c与x轴有两个交点，∵方程ax2+（b﹣1）x+c=0的两个不相等的根x1＞0，x2＞0，∴x1+x2=﹣＞0，∴﹣＞0，∴函数y=ax2+（b﹣1）x+c的对称轴x=﹣＞0，∵a＞0，开口向上，∴A符合条件，故选A．点评：本题考查了二次函数的图象，直线和抛物线的交点，交点坐标和方程的关系以及方程和二次函数的关系等，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．2．（2015•湖北,第11题3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．分析：根据二次函数图象开口向下得到a＜0，再根据对称轴确定出b，根据与y轴的交点确定出c＞0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．解答：解：∵二次函数图象开口方向向下，∴a＜0，∵对称轴为直线x=﹣＞0，∴b＞0，∵与y轴的正半轴相交，∴c＞0，∴y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，反比例函数y=图象在第一三象限，只有C选项图象符合．故选C．点评：本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标等确定出a、b、c的情况是解题的关键．3．（2015•湘潭，第8题3分）如图，观察二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：①a+b+c＞0，②2a+b＞0，③b2﹣4ac＞0，④ac＞0．其中正确的是（）考点：二次函数图象与系数的关系．.分析：令x=1代入可判断①；由对称轴x=﹣的范围可判断②；由图象与x轴有两个交点可判断③；由开口方向及与x轴的交点可分别得出a、c的符号，可判断④．解答：解：由图象可知当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，故①不正确；由图象可知0＜﹣＜1，∴＞﹣1，又∵开口向上，∴a＞0，∴b＞﹣2a，∴2a+b＞0，故②正确；由图象可知二次函数与x轴有两个交点，∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，∴△＞0，即b2﹣4ac＞0，故③正确；由图象可知抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴的下方，∴a＞0，c＜0，∴ac＜0，故④不正确；综上可知正确的为②③，故选C．点评：本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的开口方向、对称轴、与x 轴的交点等知识是解题的关键．4.（2015江苏常州第7题2分）已知二次函数y＝2x＋（m－1）x＋1，当x＞1时，y随x 的增大而增大，而m的取值范围是A．m＝－1B．m＝3C．m≤－1D．m≥－15、(2015年陕西省,10,3分)下列关于二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断，正确的是（）A．没有交点B．只有一个交点，且它位于y轴右侧C．有两个交点，且它们均位于y轴左侧D．有两个交点，且它们均位于y轴右侧考点：抛物线与x轴的交点．.分析：根据函数值为零，可得相应的方程，根据根的判别式，公式法求方程的根，可得答案．解答：解：当y=0时，ax2﹣2ax+1=0，∵a＞1∴△=（﹣2a）2﹣4a=4a（a﹣1）＞0，ax2﹣2ax+1=0有两个根，函数与有两个交点，x=＞0，故选：D．点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，利用了函数与方程的关系，方程的求根公式．6、（2015年四川省达州市中考，9,3分）若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0）、（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0），在x轴下方，则下列判断正确的是（）A．a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0 B． a＞0C．b2﹣4ac≥0 D． x1＜x0＜x2考点：抛物线与x轴的交点．.分析：由于a的符号不能确定，故应分a＞0与a＜0进行分类讨论．解答：解：A、当a＞0时，∵点M（x0，y0），在x轴下方，∴x1＜x0＜x2，∴x0﹣x1＞0，x0﹣x2＜0，∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0；当a＜0时，若点M在对称轴的左侧，则x0＜x1＜x2，∴x0﹣x1＜0，x0﹣x2＜0，∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0；若点M在对称轴的右侧，则x1＜x2＜x0，∴x0﹣x1＞0，x0﹣x2＞0，∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0；综上所述，a （x 0﹣x 1）（x 0﹣x 2）＜0，故本选项正确； B 、a 的符号不能确定，故本选项错误；C 、∵函数图象与x 轴有两个交点，∴△＞0，故本选项错误；D 、x 1、x 0、x 2的大小无法确定，故本选项错误．故选A ．点评：本题考查的是抛物线与x 轴的交点，在解答此题时要注意进行分类讨论．7、(2015年浙江省义乌市中考,9,4分)如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位或向上平移1个单位，我们把这种变换称为抛物线的简单变换。

2020年《二次函数》解答题中考题汇编

2020年《二次函数》解答题中考题汇编2 1．（2020•南通）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），B（3n﹣4，y1），C（5n+6，y2）三点，对称轴是直线x＝1．关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根．（1）求抛物线的解析式；（2）若n＜﹣5，试比较y1与y2的大小；（3）若B，C两点在直线x＝1的两侧，且y1＞y2，求n的取值范围．2．（2020•阜新）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．（1）求这个二次函数的表达式；（2）①若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2020•盘锦）如图1，直线y＝x﹣4与x轴交于点B，与y轴交于点A，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B和点C（0，4），△ABO沿射线AB方向以每秒个单位长度的速度平移，平移后的三角形记为△DEF（点A，B，O的对应点分别为点D，E，F），平移时间为t（0＜t＜4）秒，射线DF交x轴于点G，交抛物线于点M，连接ME．（1）求抛物线的解析式；（2）当tan∠EMF＝时，请直接写出t的值；（3）如图2，点N在抛物线上，点N的横坐标是点M的横坐标的，连接OM，NF，OM与NF相交于点P，当NP＝FP时，求t的值．4．（2020•西藏）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求二次函数的解析式；＝，求点P的坐标；（2）如图甲，连接AC，PA，PC，若S△P AC（3）如图乙，过A，B，P三点作⊙M，过点P作PE⊥x轴，垂足为D，交⊙M于点E．点P在运动过程中线段DE的长是否变化，若有变化，求出DE的取值范围；若不变，求DE的长．5．（2020•德阳）如图1，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．连接AC，BC．已知△ABC的面积为2．（1）求抛物线的解析式；（2）平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于P，Q两点．过P，Q向x轴作垂线，垂足分别为G，H．若四边形PGHQ为正方形，求正方形的边长；（3）如图2，平行于y轴的直线交抛物线于点M，交x轴于点N（2，0）．点D是抛物线上A，M之间的一动点，且点D不与A，M重合，连接DB交MN于点E．连接AD并延长交MN于点F．在点D运动过程中，3NE+NF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．6．（2020•锦州）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图，直线y＝与抛物线交于A，D两点，与直线BC交于点E．若M（m，0）是线段AB上的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线AD于点G，交直线BC于点H．①当点F在直线AD上方的抛物线上，且S△EFG＝S△OEG时，求m的值；②在平面内是否在点P，使四边形EFHP为正方形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2020•朝阳）如图，抛物线y＝﹣+bx+c与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，点C坐标为（0，4）．（1）求抛物线表达式；（2）在抛物线上是否存在点P，使∠ABP＝∠BCO，如果存在，求出点P坐标；如果不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若点P在x轴上方，点M是直线BP上方抛物线上的一个动点，求点M到直线BP的最大距离；（4）点G是线段AC上的动点，点H是线段BC上的动点，点Q是线段AB上的动点，三个动点都不与点A，B，C重合，连接GH，GQ，HQ，得到△GHQ，直接写出△GHQ周长的最小值．8．（2020•鞍山）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）经过点A（﹣2，﹣4）和点C（2，0），与y轴交于点D，与x轴的另一交点为点B．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接BD，在抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝2∠BDO？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，连接AC，交y轴于点E，点M是线段AD上的动点（不与点A，点D重合），将△CME沿ME所在直线翻折，得到△FME，当△FME与△AME重叠部分的面积是△AMC面积的时，请直接写出线段AM的长．9．（2020•赤峰）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（1，0），B （4，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x+2经过B，C两点．（1）直接写出二次函数的解析式；（2）平移直线BC，当直线BC与抛物线有唯一公共点Q时，求此时点Q的坐标；（3）过（2）中的点Q作QE∥y轴，交x轴于点E．若点M是抛物线上一个动点，点N 是x轴上一个动点，是否存在以E，M，N三点为顶点的直角三角形（其中M为直角顶点）与△BOC相似？如果存在，请直接写出满足条件的点M的个数和其中一个符合条件的点M的坐标；如果不存在，请说明理由．10．（2020•大连）在平面直角坐标系xOy中，函数F1和F2的图象关于y轴对称，它们与直线x＝t（t＞0）分别相交于点P，Q．（1）如图，函数F1为y＝x+1，当t＝2时，PQ的长为；（2）函数F1为y＝，当PQ＝6时，t的值为；（3）函数F1为y＝ax2+bx+c（a≠0），①当t＝时，求△OPQ的面积；②若c＞0，函数F1和F2的图象与x轴正半轴分别交于点A（5，0），B（1，0），当c≤x≤c+1时，设函数F1的最大值和函数F2的最小值的差为h，求h关于c的函数解析式，并直接写出自变量c的取值范围．11．（2020•桂林）如图，已知抛物线y＝a（x+6）（x﹣2）过点C（0，2），交x轴于点A和点B（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为D，对称轴DE交x轴于点E，连接EC．（1）直接写出a的值，点A的坐标和抛物线对称轴的表达式；（2）若点M是抛物线对称轴DE上的点，当△MCE是等腰三角形时，求点M的坐标；（3）点P是抛物线上的动点，连接PC，PE，将△PCE沿CE所在的直线对折，点P落在坐标平面内的点P′处．求当点P′恰好落在直线AD上时点P的横坐标．12．（2020•葫芦岛）如图，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），作直线BC．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上存在点D，使∠DCB＝2∠ABC，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，点F的坐标为（0，），点M在抛物线上，点N在直线BC上．当以D，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N的坐标．13．（2020•呼伦贝尔）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C，连接BC，点P是线段BC上的动点（与点B，C不重合），连接AP并延长AP交抛物线于点Q，连接CQ，BQ，设点Q的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；（2）当△BCQ的面积等于2时，求m的值；（3）在点P运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．14．（2020•铁岭）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P、与BC相交于点E，与x轴交于点H，连接PB．（1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线上存在一点G，使∠GBA+∠PBE＝45°，请求出点G的坐标；（3）抛物线上是否存在一点Q，使△QEB与△PEB的面积相等，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．15．（2020•沈阳）如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝x2+bx+c经过点B（6，0）和点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的表达式；（2）如图2，线段OC绕原点O逆时针旋转30°得到线段OD．过点B作射线BD，点M是射线BD上一点（不与点B重合），点M关于x轴的对称点为点N，连接NM，NB．①直接写出△MBN的形状为；②设△MBN的面积为S1，△ODB的面积为是S2．当S1＝S2时，求点M的坐标；（3）如图3，在（2）的结论下，过点B作BE⊥BN，交NM的延长线于点E，线段BE 绕点B逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜120°）得到线段BF，过点F作FK∥x轴，交射线BE于点K，∠KBF的角平分线和∠KFB的角平分线相交于点G，当BG＝2时，请直接写出点G的坐标为．16．（2020•大庆）如图，抛物线y＝ax2+bx+12与x轴交于A，B两点（B在A的右侧），且经过点C（﹣1，7）和点D（5，7）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）连接AD，经过点B的直线l与线段AD交于点E，与抛物线交于另一点F．连接CA，CE，CD，△CED的面积与△CAD的面积之比为1：7，点P为直线l上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t．当t为何值时，△PFB的面积最大？并求出最大值；（3）在抛物线y＝ax2+bx+12上，当m≤x≤n时，y的取值范围是12≤y≤16，求m﹣n 的取值范围．（直接写出结果即可）17．（2020•镇江）如图①，直线l经过点（4，0）且平行于y轴，二次函数y＝ax2﹣2ax+c （a、c是常数，a＜0）的图象经过点M（﹣1，1），交直线l于点N，图象的顶点为D，它的对称轴与x轴交于点C，直线DM、DN分别与x轴相交于A、B两点．（1）当a＝﹣1时，求点N的坐标及的值；（2）随着a的变化，的值是否发生变化？请说明理由；（3）如图②，E是x轴上位于点B右侧的点，BC＝2BE，DE交抛物线于点F．若FB＝FE，求此时的二次函数表达式．18．（2020•眉山）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点B坐标为（3，0），点C坐标为（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，点M为该抛物线的顶点，直线MD⊥x轴于点D，在直线MD上是否存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．19．（2020•河池）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于（p，0），（q，0），则该抛物线的解析式可以表示为：y＝a（x﹣p）（x﹣q）＝ax2﹣a（p+q）x+apq．（1）若a＝1，抛物线与x轴交于（1，0），（5，0），直接写出该抛物线的解析式和顶点坐标；（2）若a＝﹣1，如图（1），A（﹣1，0），B（3，0），点M（m，0）在线段AB上，抛物线C1与x轴交于A，M，顶点为C；抛物线C2与x轴交于B，M，顶点为D．当A，C，D三点在同一条直线上时，求m的值；（3）已知抛物线C3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），线段EF的端点E（0，3），F（4，3）．若抛物线C3与线段EF有公共点，结合图象，在图（2）中探究a的取值范围．20．（2020•雅安）已知二次函数y＝ax2+2x+c（a≠0）的图象与x轴的交于A、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），（1）求二次函数的表达式及A点坐标；（2）D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点D到直线AC的距离取得最大值时点D的坐标；（3）M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N，使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N的坐标（不写求解过程）．21．（2020•绵阳）如图，抛物线过点A（0，1）和C，顶点为D，直线AC与抛物线的对称轴BD的交点为B（，0），平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E，与直线AC交于点F，点F的横坐标为，四边形BDEF为平行四边形．（1）求点F的坐标及抛物线的解析式；（2）若点P为抛物线上的动点，且在直线AC上方，当△PAB面积最大时，求点P的坐标及△PAB面积的最大值；（3）在抛物线的对称轴上取一点Q，同时在抛物线上取一点R，使以AC为一边且以A，C，Q，R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q和点R的坐标．22．（2020•长春）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与y轴交于点A．（1）求点A的坐标．（2）当此函数图象经过点（1，2）时，求此函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围．（3）当x≤0时，若函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象的最低点到直线y＝2a的距离为2，求a的值．（4）设a＜0，Rt△EFG三个顶点的坐标分别为E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，a﹣1）、G（0，a﹣1）．当函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与△EFG的直角边有交点时，交点记为点P．过点P作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为P′（P′与P不重合），过点A作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为A′．若AA′＝2PP′，直接写出a的值．23．（2020•海南）抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点B（2，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P是该抛物线上的动点，且位于y轴的左侧．①如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，作PE⊥y轴于点E，当PD＝2PE时，求PE的长；②如图2，该抛物线上是否存在点P，使得∠ACP＝∠OCB？若存在，请求出所有点P的坐标：若不存在，请说明理由．24．（2020•丹东）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B 两点，A点坐标为（﹣2，0），与y轴交于点C（0，4），直线y＝﹣x+m与抛物线交于B，D两点．（1）求抛物线的函数表达式．（2）求m的值和D点坐标．（3）点P是直线BD上方抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，交直线BD于点F，过点D作x轴的平行线，交PH于点N，当N是线段PF的三等分点时，求P点坐标．（4）如图2，Q是x轴上一点，其坐标为（﹣，0）．动点M从A出发，沿x轴正方向以每秒5个单位的速度运动，设M的运动时间为t（t＞0），连接AD，过M作MG⊥AD 于点G，以MG所在直线为对称轴，线段AQ经轴对称变换后的图形为A′Q′，点M在运动过程中，线段A′Q′的位置也随之变化，请直接写出运动过程中线段A′Q′与抛物线有公共点时t的取值范围．25．（2020•益阳）如图，在平面直角坐标系中，点F的坐标是（4，2），点P为一个动点，过点P作x轴的垂线PH，垂足为H，点P在运动过程中始终满足PF＝PH．【提示：平面直角坐标系内点M、N的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则MN2＝（x2﹣x1）2+（y2﹣y1）2】（1）判断点P在运动过程中是否经过点C（0，5）；（2）设动点P的坐标为（x，y），求y关于x的函数表达式；填写下表，并在给定坐标系中画出该函数的图象；x…02468…y……（3）点C关于x轴的对称点为C'，点P在直线C'F的下方时，求线段PF长度的取值范围．26．（2020•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为﹣m+．以PQ，QM为边作矩形PQMN．（1）求b的值．（2）当点Q与点M重合时，求m的值．（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值．（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．27．在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B 在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．①求△CMN面积的最小值．②已知Q（1，﹣）是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．28．（2020•宿迁）二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，顶点为E．．（1）求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；（2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；（3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标．29．（2020•黔南州）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与y轴交于点A，与x轴交于点C（﹣2，0），且经过点B（8，4），连接AB，BO，作AM⊥OB 于点M，将Rt△OMA沿y轴翻折，点M的对应点为点N．解答下列问题：（1）抛物线的解析式为，顶点坐标为；（2）判断点N是否在直线AC上，并说明理由；（3）如图（2），将图（1）中Rt△OMA沿着OB平移后，得到Rt△DEF．若DE边在线段OB上，点F在抛物线上，连接AF，求四边形AMEF的面积．30．（2020•鄂尔多斯）如图1，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B两点，其中点A的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点D为y轴上一点，如果直线BD与直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度；（3）如图2，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求点P的坐标．31．（2020•牡丹江）已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c经过点A（﹣2，0）和点C（0，），与x轴交于另一点B，顶点为D．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（点E不与点A，B重合），且∠DEF＝∠DAB，DE＝EF，直接写出线段BE的长．32．（2020•随州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+1的对称轴为直线x＝，其图象与x轴交于点A和点B（4，0），与y轴交于点C．（1）直接写出抛物线的解析式和∠CAO的度数；（2）动点M，N同时从A点出发，点M以每秒3个单位的速度在线段AB上运动，点N 以每秒个单位的速度在线段AC上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t（t＞0）秒，连接MN，再将线段MN绕点M顺时针旋转90°，设点N落在点D的位置，若点D恰好落在抛物线上，求t的值及此时点D的坐标；（3）在（2）的条件下，设P为抛物线上一动点，Q为y轴上一动点，当以点C，P，Q 为顶点的三角形与△MDB相似时，请直接写出点P及其对应的点Q的坐标．（每写出一组正确的结果得1分，至多得4分）33．（2020•黄石）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x 2+kx ﹣2k 的顶点为N ．（1）若此抛物线过点A （﹣3，1），求抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，若抛物线与y 轴交于点B ，连接AB ，C 为抛物线上一点，且位于线段AB 的上方，过C 作CD 垂直x 轴于点D ，CD 交AB 于点E ，若CE ＝ED ，求点C 坐标；（3）已知点M （2﹣，0），且无论k 取何值，抛物线都经过定点H ，当∠MHN ＝60°时，求抛物线的解析式．34．（2020•荆州）如图1，在平面直角坐标系中，A （﹣2，﹣1），B （3，﹣1），以O 为圆心，OA 的长为半径的半圆O 交AO 延长线于C ，连接AB ，BC ，过O 作ED ∥BC 分别交AB 和半圆O 于E ，D ，连接OB ，CD ．（1）求证：BC 是半圆O 的切线；（2）试判断四边形OBCD 的形状，并说明理由；（3）如图2，若抛物线经过点D 且顶点为E ．①求此抛物线的解析式；②点P 是此抛物线对称轴上的一个动点，以E ，D ，P 为顶点的三角形与△OAB 相似，问抛物线上是否存在一点Q ．使S △EPQ ＝S △OAB ？若存在，请直接写出Q 点的横坐标；若不存在，说明理由．35．（2020•娄底）如图，抛物线经过点A （﹣3，0）、B （1，0）、C （0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P （m ，n ）是抛物线上的动点，当﹣3＜m ＜0时，试确定m 的值，使得△PAC 的面积最大；（3）抛物线上是否存在不同于点B 的点D ，满足DA 2﹣DC 2＝6，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．36．（2020•郴州）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．已知直线y＝kx+n过B，C两点．（1）求抛物线和直线BC的表达式；（2）点P是抛物线上的一个动点．①如图1，若点P在第一象限内，连接PA，交直线BC于点D．设△PDC的面积为S1，△ADC的面积为S2，求的最大值；②如图2，抛物线的对称轴l与x轴交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F．点Q是对称轴l上的一个动点，是否存在以点E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．37．（2020•鄂州）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线y＝x﹣2经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及x轴分别交于点D、M．PN⊥BC，垂足为N．设M（m，0）．①点P在抛物线上运动，若P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）．请直接写出符合条件的m的值；②当点P在直线BC下方的抛物线上运动时，是否存在一点P，使△PNC与△AOC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．38．（2020•包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，该抛物线的顶点为M，直线y＝﹣x+b经过点A，与y轴交于点B，连接OM．（1）求b的值及点M的坐标；（2）将直线AB向下平移，得到过点M的直线y＝mx+n，且与x轴负半轴交于点C，取点D（2，0），连接DM，求证：∠ADM﹣∠ACM＝45°；（3）点E是线段AB上一动点，点F是线段OA上一动点，连接EF，线段EF的延长线与线段OM交于点G．当∠BEF＝2∠BAO时，是否存在点E，使得3GF＝4EF？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．39．（2020•玉林）如图，已知抛物线：y1＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．（1）直接写出点A，B，C的坐标；（2）将抛物线y1经过向右与向下平移，使得到的抛物线y2与x轴交于B，B'两点（B'在B的右侧），顶点D的对应点为点D'，若∠BD'B'＝90°，求点B'的坐标及抛物线y2的解析式；（3）在（2）的条件下，若点Q在x轴上，则在抛物线y1或y2上是否存在点P，使以B′，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．40．（2020•恩施州）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点C（6，0），顶点为B，对称轴x ＝2与x轴相交于点A，D为线段BC的中点．（1）求抛物线的解析式；（2）P为线段BC上任意一点，M为x轴上一动点，连接MP，以点M为中心，将△MPC 逆时针旋转90°，记点P的对应点为E，点C的对应点为F．当直线EF与抛物线y＝﹣x2+bx+c只有一个交点时，求点M的坐标．（3）△MPC在（2）的旋转变换下，若PC＝（如图2）．①求证：EA＝ED．②当点E在（1）所求的抛物线上时，求线段CM的长．。

2020-2021全国中考数学二次函数的综合中考真题分类汇总含详细答案

（2）根据（1）得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标，也就求出了OA的长，根据△OAB的面积可求出B点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标，然后根据B点在抛物线对称轴的右边来判断得出的B点是否符合要求即可。
（3）根据B点坐标可求出直线OB的解析式，由于OB⊥OP，由此可求出P点的坐标特点，代入二次函数解析式可得出P点的坐标．求△POB的面积时，求出OB，OP的长度即可求出△BOP的面积。
①若点P在抛物线上，且，求点P的坐标；
②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．
【答案】（1）点B的坐标为（1，0）.
（2）①点P的坐标为（4，21）或（－4，5）.
②线段QD长度的最大值为 .
【解析】
【分析】
（1）由抛物线的对称性直接得点B的坐标．
（2）①用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点C的坐标，得到，设出点P的坐标，根据列式求解即可求得点P的坐标．
先根据利润销售数量销售单价成本，由试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克80元，结合电子产品的成本价即可得出x的取值范围，根据二次函数的增减性可得最值．
【详解】
解：设y与x的函数关系式为，
函数图象经过点和点，
，解得：，
与x的函数关系式为．
由题意得：．
试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克80元，且电子产品的成本为每千克40元，
【分析】
（1）因为点A在抛物线上，所以将点A代入函数解析式即可求得答案；
（2）由函数解析式可以求得其与x轴、y轴的交点坐标，即可求得AB、BC、AC的长，由勾股定理的逆定理可得三角形的形状；

2020-2021全国各地中考数学分类：二次函数综合题汇编含答案解析

2020-2021全国各地中考数学分类：二次函数综合题汇编含答案解析一、二次函数1．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴相交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴相交于点C （0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH ⊥x 轴于点H ，与BC 交于点M ，连接PC ．①求线段PM 的最大值；②当△PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标．【答案】（1）二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3；（2）①PM 最大=94；②P （2，﹣3）或（22﹣2）．【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得答案；（2）①根据平行于y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；②根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案．【详解】（1）将A ，B ，C 代入函数解析式，得09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，这个二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3；（2）设BC 的解析式为y=kx+b ，将B ，C 的坐标代入函数解析式，得303k b b +=⎧⎨=-⎩，解得13k b =⎧⎨=-⎩， BC 的解析式为y=x ﹣3，设M （n ，n ﹣3），P （n ，n 2﹣2n ﹣3），PM=（n ﹣3）﹣（n 2﹣2n ﹣3）=﹣n 2+3n=﹣（n ﹣32）2+94，当n=32时，PM 最大=94； ②当PM=PC 时，（﹣n 2+3n ）2=n 2+（n 2﹣2n ﹣3+3）2，解得n 1=0（不符合题意，舍），n 2=2， n 2﹣2n ﹣3=-3， P （2，-3）；当PM=MC 时，（﹣n 2+3n ）2=n 2+（n ﹣3+3）2，解得n 1=0（不符合题意，舍），n 2=3+2（不符合题意，舍），n 3=3-2， n 2﹣2n ﹣3=2-42， P （3-2，2-42）；综上所述：P （2，﹣3）或（3-2，2﹣42）．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰三角形等知识，综合性较强，解题的关键是认真分析，弄清解题的思路有方法.2．如图，直线AB 和抛物线的交点是A （0，﹣3），B （5，9），已知抛物线的顶点D 的横坐标是2．（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）在x 轴上是否存在一点C ，与A ，B 组成等腰三角形？若存在，求出点C 的坐标，若不在，请说明理由；（3）在直线AB 的下方抛物线上找一点P ，连接PA ，PB 使得△PAB 的面积最大，并求出这个最大值．【答案】（1）21248355y x x =--，顶点D （2，635-）；（2）C （10±0）或（5222±0）或（9710，0）；（3）752【解析】【分析】（1）抛物线的顶点D 的横坐标是2，则x 2ba=-=2，抛物线过A （0，﹣3），则：函数的表达式为：y =ax 2+bx ﹣3，把B 点坐标代入函数表达式，即可求解；（2）分AB =AC 、AB =BC 、AC =BC ，三种情况求解即可；（3）由S △PAB 12=•PH •x B ，即可求解．【详解】（1）抛物线的顶点D 的横坐标是2，则x 2ba=-=2①，抛物线过A （0，﹣3），则：函数的表达式为：y =ax 2+bx ﹣3，把B 点坐标代入上式得：9=25a +5b ﹣3②，联立①、②解得：a 125=，b 485=-，c =﹣3，∴抛物线的解析式为：y 125=x 2485-x ﹣3．当x =2时，y 635=-，即顶点D 的坐标为（2，635-）；（2）A （0，﹣3），B （5，9），则AB =13，设点C 坐标（m ，0），分三种情况讨论：①当AB =AC 时，则：（m ）2+（﹣3）2=132，解得：m ，即点C 坐标为：（，0）或（﹣，0）；②当AB =BC 时，则：（5﹣m ）2+92=132，解得：m =5±，即：点C 坐标为（5+，0）或（5﹣0）；③当AC =BC 时，则：5﹣m ）2+92=（m ）2+（﹣3）2，解得：m =9710，则点C 坐标为（9710，0）．综上所述：存在，点C 的坐标为：（，0）或（5±0）或（9710，0）；（3）过点P 作y 轴的平行线交AB 于点H ．设直线AB 的表达式为y =kx ﹣3，把点B 坐标代入上式，9=5k ﹣3，则k 125=，故函数的表达式为：y 125=x ﹣3，设点P 坐标为（m ，125m 2485-m ﹣3），则点H 坐标为（m ，125m ﹣3），S △PAB 12=•PH •x B 52=（125-m 2+12m ）=－6m 2+30m =25756()22m --+，当m =52时，S △PAB 取得最大值为：752．答：△PAB 的面积最大值为752．【点睛】本题是二次函数综合题．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．3．如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=12 DE．①求点P的坐标；②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣x2﹣3x+4；（2）①P（﹣1，6），②存在，M（﹣1，11）或（﹣1，311）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，132）．【解析】【分析】（1）先根据已知求点A的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式；（2）①先得AB的解析式为：y=-2x+2，根据PD⊥x轴，设P（x，-x2-3x+4），则E（x，-2x+2），根据PE=12DE ，列方程可得P 的坐标； ②先设点M 的坐标，根据两点距离公式可得AB ，AM ，BM 的长，分三种情况：△ABM 为直角三角形时，分别以A 、B 、M 为直角顶点时，利用勾股定理列方程可得点M 的坐标．【详解】解：（1）∵B （1，0），∴OB=1， ∵OC=2OB=2，∴C （﹣2，0）， Rt △ABC 中，tan ∠ABC=2，∴AC 2BC =， ∴AC23=， ∴AC=6， ∴A （﹣2，6），把A （﹣2，6）和B （1，0）代入y=﹣x 2+bx+c 得：42610b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得：34b c =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为：y=﹣x 2﹣3x+4；（2）①∵A （﹣2，6），B （1，0）， ∴AB 的解析式为：y=﹣2x+2，设P （x ，﹣x 2﹣3x+4），则E （x ，﹣2x+2）， ∵PE=12DE ， ∴﹣x 2﹣3x+4﹣（﹣2x+2）=12（﹣2x+2）， ∴x=-1或1（舍）， ∴P （﹣1，6）；②∵M 在直线PD 上，且P （﹣1，6），设M （﹣1，y ）， ∵B （1，0），A （﹣2，6）∴AM 2=（﹣1+2）2+（y ﹣6）2=1+（y ﹣6）2， BM 2=（1+1）2+y 2=4+y 2， AB 2=（1+2）2+62=45，分三种情况：i ）当∠AMB=90°时，有AM 2+BM 2=AB 2， ∴1+（y ﹣6）2+4+y 2=45，解得：y=311±，∴M （﹣1，3+11）或（﹣1，3﹣11）； ii ）当∠ABM=90°时，有AB 2+BM 2=AM 2， ∴45+4+y 2=1+（y ﹣6）2， ∴y=﹣1， ∴M （﹣1，﹣1），iii ）当∠BAM=90°时，有AM 2+AB 2=BM 2， ∴1+（y ﹣6）2+45=4+y 2， ∴y=132， ∴M （﹣1，132）；综上所述，点M 的坐标为：∴M （﹣1，3+11）或（﹣1，3﹣11）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，132）．【点睛】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，铅直高度和勾股定理的运用，直角三角形的判定等知识．此题难度适中，解题的关键是注意方程思想与分类讨论思想的应用．4．已知，m ，n 是一元二次方程x 2+4x +3=0的两个实数根，且|m |＜|n |，抛物线y =x 2+bx +c 的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），如图所示．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x 轴的另一个交点为抛物线的顶点为D ，求出点C ，D 的坐标，并判断△BCD 的形状；（3）点P 是直线BC 上的一个动点（点P 不与点B 和点C 重合），过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点M ，点Q 在直线BC 上，距离点P 为2个单位长度，设点P 的横坐标为t ，△PMQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式．【答案】（1）223y x x =--；（2）C （3，0），D （1，﹣4），△BCD 是直角三角形；（3）2213(03)2213(03)22t t t S t t t t ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩＜＜＜或＞【解析】试题分析：（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先解方程求出抛物线与x 轴的交点，再判断出△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，从而得到结论；（3）先求出QF=1，再分两种情况，当点P 在点M 上方和下方，分别计算即可．试题解析：解（1）∵2+430x x +=，∴11x =-，23x =-，∵m ，n 是一元二次方程2+430x x +=的两个实数根，且|m|＜|n|，∴m=﹣1，n=﹣3，∵抛物线223y x x =--的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），∴10{3b c c -+==-，∴2{3b c =-=-，∴抛物线解析式为223y x x =--；（2）令y=0，则2230x x --=，∴11x =-，23x =，∴C （3，0），∵223y x x =--=2(1)4x --，∴顶点坐标D （1，﹣4），过点D 作DE ⊥y 轴，∵OB=OC=3，∴BE=DE=1，∴△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，∴∠OBC=∠DBE=45°，∴∠CBD=90°，∴△BCD 是直角三角形；（3）如图，∵B （0，﹣3），C （3，0），∴直线BC 解析式为y=x ﹣3，∵点P 的横坐标为t ，PM ⊥x 轴，∴点M 的横坐标为t ，∵点P 在直线BC 上，点M 在抛物线上，∴P （t ，t ﹣3），M （t ，223t t --），过点Q 作QF ⊥PM ，∴△PQF 是等腰直角三角形，∵，∴QF=1．①当点P 在点M 上方时，即0＜t ＜3时，PM=t ﹣3﹣（223t t --）=23t t -+，∴S=12PM×QF=21(3)2t t -+=21322t t -+，②如图3，当点P 在点M 下方时，即t ＜0或t＞3时，PM=223t t --﹣（t ﹣3）=23t t -，∴S=12PM×QF=12（23t t -）=21322t t -．综上所述，S=2213(03)22{13 (03)22t t t t t t t 或-+<<-．考点：二次函数综合题；分类讨论．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；（3）符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139），【解析】分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-13x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-13x+3，再解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得3p qq-+=⎧⎨=⎩，解得33pq=⎧⎨=⎩，∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC 的解析式为y=3x+3， ∴直线PC 的解析式可设为y=﹣13x+b ，把C （0，3）代入得b=3， ∴直线PC 的解析式为y=﹣13x+3，解方程组223133y x x y x ⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝，解得03x y =⎧⎨=⎩或73209x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则此时P 点坐标为（73，209）；过点A 作AC 的垂线交抛物线于另一点P ，直线PC 的解析式可设为y=﹣x+b ，把A （﹣1，0）代入得13+b=0，解得b=﹣13， ∴直线PC 的解析式为y=﹣13x ﹣13，解方程组2231133y x x y x ⎧-++⎪⎨--⎪⎩＝＝，解得10x y =-⎧⎨=⎩或103139x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P 点坐标为（103，﹣139）. 综上所述，符合条件的点P 的坐标为（73，209）或（103，﹣139）. 点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．6．已知抛物线26y x x c =-++.（1）若该抛物线与x 轴有公共点，求c 的取值范围；（Ⅱ）设该抛物线与直线21y x =+交于M ，N 两点，若25MN =C 的值；（Ⅲ）点P ，点Q 是抛物线上位于第一象限的不同两点，,PA QB 都垂直于x 轴，垂足分别为A ，B ，若OPA OQB ∆≅∆，求c 的取值范围.【答案】（I ）9c -…；（Ⅱ）2c =-；（Ⅲ）c 的取值范围是2174c -<< 【解析】【分析】(1) 抛物线与x 轴有公共点，则判别式为非负数，列不等式求解即可;(2)求出二次函数与直线的交点，并根据勾股定理求出MN 的长度，列方程即可求解; (3)由OPA OQB ∆≅∆可知，P ,Q 两点的坐标特点，设坐标得到设点P 的坐标为(, )m n ，则点Q 的坐标为(,)n m ，代入二次函数，得到n,m 的关系，则只需保证该方程有正根即可求解. 【详解】解：（I ）∵抛物线26y x x c =-++与x 轴有交点，∴一元二次方程260x x c -++=有实根。

2020中考数学复习分类汇编专题3：二次函数与线段及其最值问题(含答案)

专题：二次函数中的线段问题(含最值问题)1. 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于点A ，B (1，0)，与y 轴交于点C ，直线y ＝ x －2经过点A 、C .抛物线的顶点为D ，对称轴为直线l .(1) 求抛物线的表达式、顶点D 的坐标及对称轴l ； (2) 设点E 为x 轴上一点，且AE ＝CE ，求点E 的坐标；(3) 设点G 是y 轴上一点，是否存在点G ，使得GD ＋GB 的值最小，若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由；(4) 在直线l 上是否存在一点F ，使得△BCF 的周长最小，若存在，求出点F 的坐标及△BCF 周长的最小值；若不存在，请说明理由；(5) 点S 为y 轴上任意一点，K 为直线AC 上一点，连接BS ，BK ，是否存在点S ，K 使得△BSK 的周长最小，若存在，求出S ，K 的坐标，并求出△BSK 周长的最小值；若不存在，请说明理由；(6) 在y 轴上是否存在一点S ，使得SD －SB 的值最大，若存在，求出点S 的坐标；若不存在，请说明理由； (7) 若点H 是抛物线上位于AC 上方的一点，过点H 作y 轴的平行线，交AC 于点K ，设点H 的横坐标为h ，线段HK ＝d .①求d 关于h 的函数关系式； ②求d 的最大值及此时H 点的坐标．122. 如图，抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.点D（m，0）为线段OA上一个动点（与点A，O不重合），过点D作x轴的垂线与线段AC交于点P，与抛物线交于点Q，连接BP，与y轴交于点E.（1）求A，B，C三点的坐标；（2）当点D是OA的中点时，求线段PQ的长；（3）在点D运动的过程中，探究下列问题：①是否存在一点D，使得PQ＋22PC取得最大值？若存在，求此时m的值；若不存在，请说明理由；②连接CQ，当线段PE＝CQ时，直接写出m的值.3. 如图，直线y ＝－34x ＋1与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 经过点B ，且与直线AB 的另一交点为C （4，n ）.（1）求该抛物线的表达式及点C 的坐标；（2）设抛物线上的一个动点P 的横坐标为t （0＜t ＜4），过点P 作PD ⊥AB 交直线AB 于点D ，作PE ∥y 轴交直线AB 于点E .①求线段PD 的长的最大值； ②当t 为何值时，点D 为BE 的中点.4. 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2经过A （－1，0），B （2，0），C 三点.直线y ＝mx ＋12交抛物线于A ，Q 两点，点P 是抛物线上直线AQ 上方的一个动点，过点P 作PF ⊥x 轴，垂足为点F ，交AQ 于点N .（1）求抛物线的表达式；（2）如图①，在点P 运动过程中，当PN ＝2NF 时，求点P 的坐标；（3）如图②，线段AC 的垂直平分线交x 轴于点E ，垂足为点D ，点M 为抛物线的顶点，在直线DE 上是否存在一点G ，使△CMG 的周长最小？若存在，请求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案1. (1)解：对于直线y ＝21x －2，令y ＝0，得x ＝4，令x ＝0，得y ＝－2， ∴点A (4，0)，点C (0，－2)，抛物线的解析式为y = -21x 2+25x -2 ∴顶点D 的坐标为(25，98 )，对称轴l 为直线x ＝ 25（2）要求点E 的坐标，已知AE ＝CE ，设E 点坐标为(e ，0)，用含e 的式子分别表示出AE 和CE ，建立等量关系求解即可．点E 的坐标为( 23，0)（3）要使GD ＋GB 的值最小，一般是通过轴对称作出对称点来解决．解：存在．如解图②，要使GD ＋GB 的值最小，取点B 关于y 轴的对称点B ′，点B ′的坐标为(－1，0)．连接B ′D ，直线B ′D 与y 轴的交点G 即为所求的点，点G 的坐标为(0， 289)；（4）要使△BCF 周长最小，BC 长为定值，即要使CF ＋BF 的值最小．△BCF 周长的最小值为BC ＋AC ＝3 √5 ；（5）要求△BSK 周长的最小值，可分别作点B 关于y 轴和直线AC 的两个对称点B ′、B ″，连接B ′B ″与y 轴和直线AC 交点即为使得△BSK 的周长最小的点S 、K ，最小值即线段B ′B ″的长．存在点S (0，-43 )，点K (1， - 23 )使得△BSK 的周长最小，最小值为4；（6）当点S 在DB 的延长线上时，SD －SB 最大，最大值为BD ，即当点S 的坐标为(0，-43)时，SD －SB 的值最大；（7）平行于y 轴的直线上两点之间的距离为此两点的纵坐标之差的绝对值，如此问，由题可得点H 的横坐标为h ，①求出点H ，K 的纵坐标，再由点H 在点K 的上方，可得到d 关于h 的函数关系式；②利用二次函数的性质求最值，即可得d 的最大值及H 点的坐标．（1）d 关于h 的函数关系式为d ＝－21h 2＋2h ；（2）当h ＝2时，d 最大，最大值为2，此时点H 的坐标为(2，1)．参考答案2. 解：(1)在y ＝－x 2－2x ＋3中，令y ＝0，得－x 2－2x ＋3＝0，解得x 1＝－3，x 2＝1. ∵点A 在点B 的左侧， ∴A (－3，0)，B (1，0)．令x ＝0，得y ＝3， ∴点C 的坐标为(0，3)；(2)设直线AC 的表达式为y ＝kx ＋b .将A ，C 两点的坐标(－3，0)，(0，3)代入表达式，得⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋b ＝0，b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝3，∴直线AC 的表达式为y ＝x ＋3.(4分) ∵点D 是OA 的中点，∴OD ＝12OA ＝32，∴点D 的横坐标m ＝－32.∵PQ ⊥x 轴，∴把m ＝－32分别代入y ＝x ＋3和y ＝－x 2－2x ＋3，得P ，Q 两点的坐标分别为(－32，32)、(－32，154)，∵DQ ⊥OA ，∴PQ ＝DQ －DP ＝y Q －y P . ∴PQ ＝154－32＝94；(3)①存在点D ，使得PQ ＋22PC 取得最大值．理由：∵点D 的横坐标为m ，PQ ⊥x 轴，且点P ，Q 分别在直线AC 和抛物线上， ∴P ，Q 两点的坐标分别为(m ，m ＋3)，(m ，－m 2－2m ＋3)． ∵DQ ⊥OA ，∴PQ ＝DQ －DP ＝y Q －y P ，∴PQ ＝－m 2－2m ＋3－(m ＋3)＝－m 2－3m . 如解图，过点P 作PF ⊥y 轴于点F ，则PF ＝－m . 在Rt △AOC 中，OA ＝OC ＝3， ∴∠CAO ＝∠OCA ＝45°.∴sin ∠OCA ＝PF PC ＝22.∴PF ＝22PC ∴PQ ＋22PC ＝－m 2－3m －m ＝－m 2－4m ＝－(m ＋2)2＋4， ∵PQ ＋22PC 是m 的二次函数，其中a ＝－1＜0，而－3＜m ＜0. ∴当m ＝－2时，PQ ＋22PC 取得最大值；②m ＝－1或m ＝－ 5.【解法提示】∵△PFE ∽△BOE ，∴PF BO ＝EFEO.∵PF ＝－m ，OF ＝m ＋3，OB ＝1，∴EF ＝－mOE .∵OF ＝EF ＋OE ，∴m ＋3＝(－m ＋1)OE ，则OE ＝m ＋3－m ＋1，EF ＝－m （m ＋3）－m ＋1，又∵CQ ＝PE ，PQ ∥CE ，∴|y Q －y C |＝|y P －y E |＝EF .∵|y Q －y C |＝|－m 2－2m ＋3－3|＝|m 2＋2m |，∴－m （m ＋3）－m ＋1＝|m 2＋2m |.又∵－3＜m ＜0，解得m ＝－1或m ＝－ 5.3. 解：(1)把x ＝4，y ＝n 代入y ＝－34x ＋1中，得n ＝－34×4＋1＝－2∴点C 的坐标为(4，－2)．将点C (4，－2)和点B (0，1)代入y ＝－12x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧－8＋4b ＋c ＝－2，c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝54，c ＝1，∴抛物线的表达式为y ＝－12x 2＋54x ＋1；(2)①∵PE ＝－12t 2＋54t ＋1－(－34t ＋1)＝－12t 2＋2t ，如解图，过点E 作QE ⊥y 轴于点Q ，则QE ＝t ， QB ＝1＋34t －1＝34t ，BE ＝QB 2＋QE 2＝（34t ）2＋t 2＝54t ∵PE ∥y 轴， ∴∠PEB ＝∠EBQ ， ∵∠BQE ＝∠PDE ＝90°， ∴△PED ∽△EBQ ，∴PE EB ＝PD EQ ，得－12t 2＋2t 54t ＝PDt， PD ＝－25t 2＋85t .∵－25＜0，∴PD 有最大值， PD 最大＝0－（85）24×（－25）＝85；②∵点D 为BE 的中点，∴由PE EB ＝DE QB ，DE ＝12BE ，得12BE 2＝PE ·QB ，代入得12×(54t )2＝(－12t 2＋2t )×34t ，整理得2532＝－38t ＋32，解得t ＝2312，∴当t ＝2312时，点D 为BE 的中点．4. 解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2经过A (－1，0)，B (2，0)，∴将点A 和点B 的坐标代入得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋2＝0，4a ＋2b ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，∴抛物线的表达式为y ＝－x 2＋x ＋2；(2)直线y ＝mx ＋12交抛物线于A 、Q 两点，把A (－1，0)代入解析式得m ＝12，∴直线AQ 的表达式为y ＝12x ＋12.设点P 的横坐标为n ，则P (n ，－n 2＋n ＋2)，N (n ，12n ＋12)，F (n ，0)，∴PN ＝－n 2＋n ＋2－(12n ＋12)＝－n 2＋12n ＋32，NF ＝12n ＋12.∵PN ＝2NF ，即－n 2＋12n ＋32＝2×(12n ＋12)，解得n ＝－1或n ＝12，当n ＝－1时，点P 与点A 重合，不符合题意舍去．∴点P 的坐标为(12，94)；(3)在直线DE 上存在一点G ，使△CMG 的周长最小；此时G (－38，1516)．理由如下：∵y ＝－x 2＋x ＋2＝－(x －12)2＋94，∴M (12，94)．如解图，连接AM 交直线DE 于点G ，连接CG 、CM ，此时，△CMG 的周长最小．设直线AM 的函数表达式为y ＝kx ＋b ，且过A (－1，0)，M (12，94)．根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝0，12k ＋b ＝94，解得⎩⎨⎧k ＝32，b ＝32.∴直线AM 的表达式为y ＝32x ＋32.∵D 为AC 的中点，∴D (－12，1)．设直线AC 的表达式为y ＝kx ＋2，将点A 的坐标代入得－k ＋2＝0，解得k ＝2， ∴AC 的表达式为y ＝2x ＋2.设直线DE 的表达式为y ＝－12x ＋c ，将点D 的坐标代入得：14＋c ＝1，解得c ＝34，∴直线DE 的表达式为y ＝－12x ＋34.联立⎩⎨⎧y ＝－12x ＋34，y ＝32x ＋32，解得⎩⎨⎧x ＝－38，y ＝1516.∴在直线DE 上存在一点G ，使△CMG 的周长最小，此时G (－38，1516)．。

2020年中考数学试题二次函数分类汇编及答案详解

【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：；
由“左加右减”的原则可知，将抛物线向右平移5个单位所得抛物线的解析式为：；
故选：．
5．(2020杭州)（3分）设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，（）
∴选项B正确，
故选：B．
7．(2020天津)已知抛物线（，，是常数，）经过点，其对称轴是直线．有下列结论：
①
②关于的方程有两个不等的实数根；
③ ．
其中，正确结论的个数是（）
A． B． C． D．
答案:C
8.（2020河北）如图，现要在抛物线上找点，针对的不同取值，所找点的个数，三人的说法如下，
A． B．
C． D．
【解答】解：如图1所示：当时，过点作于．
和均为等边三角形，
为等边三角形．
，
．
当时，，且抛物线的开口向上．
如图2所示：时，过点作于．
，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上．
故选：．
2.（2020福建）已知，是抛物线上的点，下列命题正确的是（）
A.若，则 B.若，则
A．若h＝4，则a＜0B．若h＝5，则a＞0
C．若h＝6，则a＜0D．若h＝7，则a＞0
解：当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8；代入函数式得：，
∴a（8﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝7，
整理得：a（9﹣2h）＝1，
当h＝4，则a＝1，故A错误；
当h＝5，则a＝﹣1，故B错误；
当h＝6，则a ，故C正确；
10.（2020四川绵阳）三孔桥横截面的三个孔都是呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同。当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米。若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（）.

2020年浙江省中考数学分类二次函数解析版

（3）若函数 y1 和函数 y2 的最小值分别为 m 和 n，若 m+n=0，求 m，n 的值。
11.如图，在平面直角坐标系中，二次函数
图象的顶点是 A，与 x 轴交于 B，C 两点，与 y
轴交于点 D.点 B 的坐标是(1，0).
（1）求 A，C 两点的坐标，并根据图象直接写出当 y>0 时 x 的取值范围.
A. 若 h=4，则 a<0
B. 若 h=5，则 a>0
C. 若 h=6，则 a<0
D. 若 h=7，则 a>0
5.如图，一次函数
(a>0)的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴正半轴交于点 C，它的对称
轴为直线 x=-1.则下列选项中正确的是（）
A.
B.
C.
二、综合题（共 9 题；共 110 分）
（2）小明结合图 1，发现应用二角形和函数知识能验证（1）中的猜想.请你求出 l 关于 m 的函数表达式及自变量的取值范围，并求出线段 EF 长度的最小值。（3）小明通过观察，推理，发现△BEF 能成为直角三角形。请你求出当△BEF 为直角三角形时 m 的值。 7.用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图 1）.科学原理:如图 2，始终盛满水的圆体水桶水面离地面的高度为 H（单位:m），如果在离水面竖直距离为 h（单校:cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位:cm）与 h 的关系为 s2=4h（H—h）.
在取值范围中间时：
若 a<0，
<h 时，满足 x=1 取到最小值 y=1，即 h>
若 a>0，
>h 时，满足 x=8 取到最大值 y=8，即 h<

2020年中考数学真题分类汇编(四川省)专题：二次函数(教师版)

专题04 二次函数一、选择题1．（2019四川自贡）一次函数y ＝ax +b 与反比列函数y ＝c x的图象如图所示，则二次函数 y ＝ax 2+bx +c 的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A ．【解析】解：∵一次函数y 1＝ax +c 图象过第一、二、四象限，∴a ＜0，b ＞0， ∴﹣2b a＞0， ∴二次函数y 3＝ax 2+bx +c 开口向下，二次函数y 3＝ax 2+bx +c 对称轴在y 轴右侧；∵反比例函数y 2＝c x的图象在第一、三象限， ∴c ＞0，∴与y 轴交点在x 轴上方．满足上述条件的函数图象只有选项A ．故选：A ．2．（2019四川遂宁）二次函数y ＝x 2﹣ax +b 的图象如图所示，对称轴为直线x ＝2，下列结论B ．当b ＝﹣4时，顶点的坐标为（2，﹣8）C ．当x ＝﹣1时，b ＞﹣5D ．当x ＞3时，y 随x 的增大而增大【答案】C ．【解析】解：∵二次函数y ＝x 2﹣ax +b∴对称轴为直线x ＝2a ＝2 ∴a ＝4，故A 选项正确；当b ＝﹣4时，y ＝x 2﹣4x ﹣4＝（x ﹣2）2﹣8∴顶点的坐标为（2，﹣8），故B 选项正确；当x ＝﹣1时，由图象知此时y ＜0即1+4+b ＜0∴b ＜﹣5，故C 选项不正确；∵对称轴为直线x ＝2且图象开口向上∴当x ＞3时，y 随x 的增大而增大，故D 选项正确；故选：C ．3．（2019四川达州）如图，边长都为4的正方形ABCD 和正三角形EFG 如图放置，AB 与 EF 在一条直线上，点A 与点F 重合．现将△EFG 沿AB 方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F 与B 重合时停止．在这个运动过程中，正方形ABCD 和△EFG 重叠部分的面积 S 与运动时间t 的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C ．【解析】解：当0≤t ≤2时，S ＝2(tan 60)32t t ，即S 与t 是二次函数关系，有最小值（0，0），开当2＜t ≤4时，S ＝4(4sin 60)(4)[(4)tan 60]22t t ⨯⨯---＝2)t -，即S 与t 是二次函数关系，开口向下，由上可得，选项C 符合题意，故选：C ．4.（2019四川攀枝花）在同一坐标系中，二次函数2yax bx =+与一次函数y bx a =-的图像可能是（）【答案】：C.【解析】一次函数y bx a =-与y 轴交点为：（0，a -），对于A ，由直线与y 轴交点可知，a -＜0，即a ＞0，一次函数的图象中，y 随x 的增大而增大，所以，b ＞0，因此，2b a -＜0，但由图可知，抛物线的对称轴2b x a=-＞0，矛盾，排除；对于B ，由 2y ax bx y bx a⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，得：2ax a +＝0，△＝－4a 2＜0，即直线与抛物线无交点，所以，B 排除；对于D ，因为抛物线必经过原点，所以，D 排除；故选C.5．（2019四川成都）如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过点A （1，0），B （5，0），下列说法正确的是（）A．c＜0B．b2﹣4ac＜0C．a﹣b+c＜0D．图象的对称轴是直线x＝3【答案】D【解析】解：A．由于二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴交于正半轴，所以c＞0，故A错误；B．二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴由2个交点，所以b2﹣4ac＞0，故B错误；C．当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，故C错误；D．因为A（1，0），B（5，0），所以对称轴为直线x＝152+＝3，故D正确．故选：D．6.（2019四川绵阳）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于两点（x1，0），（2，0），其中0＜x1＜1．下列四个结论：①abc＜0；②2a-c＞0；③a+2b+4c＞0；④44a bb a+-＜，正确的个数是（）【解析】解：①∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴在y轴的右侧，∴b＜0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0，∴abc ＜0，所以①正确；②∵图象与x 轴交于两点（x 1，0），（2，0），其中0＜x 1＜1， ∴202+＜2b a -＜212+，∴1＜2b a -＜32，当2b a -＜32时，b ＞-3a ， ∵当x =2时，y =4a +2b +c =0，∴b = -2a -12c ， ∴-2a -12c ＞-3a ， ∴2a-c ＞0，故②正确； ③∵2b a-＜1， ∴2a +b ＞0，∵c ＞0，4c ＞0，∴a +2b +4c ＞0，故③正确； ④∵2b a-＜1， ∴2a +b ＞0，∴（2a +b ）2＞0，4a 2+b 2+4ab ＞0，4a 2+b 2＞-4ab ，∵a ＞0，b ＜0，∴ab ＜0， ∴2244a b ab+-＜，即44a b b a+-＜，故④正确．故选：D ．7.（2019四川乐山）如图，抛物线4412-=x y 与x 轴交于A 、B 两点，P 是以点C （0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q 是线段PA 的中点，连结OQ .则线段OQ 的最大值是（）A. 3B. 241C. 27 D. 4【答案】C 【解析】因为抛物线4412-=x y 与x 轴交于A 、B 两点，所以A （-4,0），B （4,0），即OA=4.又因为P 在圆C 上，且半径为2，即CP =2，OC =3，Q 是AP 上的中点.所以当AP 与圆C 相切时OQ 最大.可得∠APC=90°，连接AC ，在Rt △ACO 中由勾股定理得AC =5，连接BC ，可知B 、C 、P 在同一直线上，所以BP=BC +CP =7，因为Q 为AP 中点，O 为AB 中点，所以OQ =21BP =27. 8．（2019四川南充）抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数），a ＞0，顶点坐标为（12，m ），给出下列结论：①若点（n ，y 1）与（32﹣2n ，y 2）在该抛物线上，当n ＜12时，则y 1＜y 2； ②关于x 的一元二次方程ax 2﹣bx +c ﹣m +1＝0无实数解，那么（）A ．①正确，②正确B ．①正确，②错误C．①错误，②正确D．①错误，②错误【答案】A．【解析】解：①∵顶点坐标为（12，m），n＜12，∴点（n，y1）关于抛物线的对称轴x＝12的对称点为（1﹣n，y1），∴点（1﹣n，y1）与（32﹣2n，y2）在该抛物线上，∵（1﹣n）﹣（32﹣2n）＝n﹣12＜0，∴1﹣n＜32﹣2n，∵a＞0，∴当x＞12时，y随x的增大而增大，∴y1＜y2，故此小题结论正确；②把（12，m）代入y＝ax2+bx+c中，得m＝14a+12b+c，∴一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1＝0中，△＝b2﹣4ac+4am﹣4a＝b2﹣4ac+4a（14a+12b+c﹣4a＝（a+b）2﹣4a＜0，∴一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1＝0无实数解，故此小题正确；故选：A．9．（2019四川凉山州）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，有以下结论：①3a﹣b ＝0；②b2﹣4ac＞0；③5a﹣2b+c＞0；④4b+3c＞0，其中错误结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A.【解析】解：由图象可知a＜0，c＞0，对称轴为x＝﹣32，∴x＝﹣32＝﹣2ba，∴b＝3a，①正确；∵函数图象与x轴有两个不同的交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，②正确；当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0，当x＝﹣3时，9a﹣3b+c＞0，∴10a﹣4b+2c＞0，∴5a﹣2b+c＞0，③正确；由对称性可知x＝1时对应的y值与x＝﹣4时对应的y值相等，∴当x＝1时a+b+c＜0，∵b＝3a，∴4b+3c＝3b+b+3c＝3b+3a+3c＝3（a+b+c）＜0，∴4b+3c＜0，④错误；故选：A．10．（2019四川宜宾）已知抛物线y＝x2﹣1与y轴交于点A，与直线y＝kx（k为任意实数）相交于B，C两点，则下列结论不正确的是（）A．存在实数k，使得△ABC为等腰三角形B．存在实数k，使得△ABC的内角中有两角分别为30°和60°C．任意实数k，使得△ABC都为直角三角形D．存在实数k，使得△ABC为等边三角形【答案】D．【解析】解：A、如图1，可以得△ABC为等腰三角形，正确；B、如图3，∠ACB＝30°，∠ABC＝60°，可以得△ABC的内角中有两角分别为30°和60°正确；C、如图2和3，∠BAC＝90°，可以得△ABC为直角三角形，正确；D、不存在实数k，使得△ABC为等边三角形，不正确；故选：D．11．（2019四川广安）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＜0；②b＜c；③3a+c＝0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3.其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D ．【解析】解：①对称轴位于x 轴的右侧，则a ，b 异号，即ab ＜0．抛物线与y 轴交于正半轴，则c ＞0．∴abc ＜0．故①正确；②∵抛物线开口向下，∴a ＜0．∵抛物线的对称轴为直线x ＝﹣2b a＝1，∴b ＝﹣2a ． ∵x ＝﹣1时，y ＝0，∴a ﹣b +c ＝0，而b ＝﹣2a ，∴c ＝﹣3a ，∴b ﹣c ＝﹣2a +3a ＝a ＜0，即b ＜c ，故②正确；③∵x ＝﹣1时，y ＝0，∴a ﹣b +c ＝0，而b ＝﹣2a ，∴c ＝﹣3a ，∴3a +c ＝0．故③正确；④由抛物线的对称性质得到：抛物线与x 轴的另一交点坐标是（3，0）． ∴当y ＞0时，﹣1＜x ＜3故④正确．综上所述，正确的结论有4个．故选：D ．12．（2019四川资阳）如图是函数y＝x2﹣2x﹣3（0≤x≤4）的图象，直线l∥x轴且过点（0，m），将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线l下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是（）A．m≥1 B．m≤0 C．0≤m≤1 D．m≥1或m≤0【答案】C.【解析】解：如图1所示，当t等于0时，∵y＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点坐标为（1，﹣4），当x＝0时，y＝﹣3，∴A（0，﹣3），当x＝4时，y＝5，∴C（4，5），∴当m＝0时，D（4，﹣5），∴此时最大值为0，最小值为﹣5；如图2所示，当m＝1时，此时最小值为﹣4，最大值为1．综上所述：0≤m≤1，故选：C．13．（2019四川巴中）二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论①b 2＞4ac ，②abc ＜0，③2a +b ﹣c ＞0，④a +b +c ＜0．其中正确的是（）A ．①④B ．②④C ．②③D ．①②③④【答案】A ．【解析】解：①∵抛物线与x 轴由两个交点，∴b 2﹣4ac ＞0，即b 2＞4ac ，所以①正确；②由二次函数图象可知， a ＜0，b ＜0，c ＞0，∴abc ＞0，故②错误；③∵对称轴：直线x ＝﹣2b a＝﹣1， ∴b ＝2a ，∴2a +b ﹣c ＝4a ﹣c ，∵a ＜0，4a ＜0， c ＞0，﹣c ＜0，∴2a +b ﹣c ＝4a ﹣c ＜0，故③错误；④∵对称轴为直线x ＝﹣1，抛物线与x 轴一个交点﹣3＜x 1＜﹣2，∴抛物线与x 轴另一个交点0＜x 2＜1，当x ＝1时，y ＝a +b +c ＜0，故④正确．故选：A ．二、填空题14．（2019四川宜宾）将抛物线y ＝2x 2的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为．【答案】y ＝2（x +1）2﹣2．【解析】解：将抛物线y ＝2x 2的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为：y ＝2（x +1）2﹣2．故答案为：y ＝2（x +1）2﹣2．15．（2019四川凉山州）将抛物线y ＝（x ﹣3）2﹣2向左平移个单位后经过点A （2，2）．【答案】3．【解析】解：∵将抛物线y ＝（x ﹣3）2﹣2向左平移后经过点A （2，2），∴设平移后解析式为：y ＝（x ﹣3+a ）2﹣2，则2＝（2﹣3+a ）2﹣2，解得：a ＝3或a ＝﹣1（不合题意舍去），故将抛物线y ＝（x ﹣3）2﹣2向左平移3个单位后经过点A （2，2）．故答案为：3．16．（2019四川广安）在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y （米）与水平距离x （米）之间的关系为y ＝﹣21251233x x ++，由此可知该生此次实心球训练的成绩为米．【答案】10．【解析】解：当y ＝0时，y ＝﹣21251233x x ++＝0，解得，x ＝2（舍去），x ＝10．故答案为：10．17．（2019四川凉山州）当0≤x ≤3时，直线y ＝a 与抛物线y ＝（x ﹣1）2﹣3有交点，则a的取值范围是．【答案】﹣3≤a≤1．【解答】解：法一：y＝a与抛物线y＝（x﹣1）2﹣3有交点则有a＝（x﹣1）2﹣3，整理得x2﹣2x﹣2﹣a＝0∴△＝b2﹣4ac＝4+4（2+a）≥0解得a≥﹣3，∵0≤x≤3，对称轴x＝1∴y＝（3﹣1）2﹣3＝1∴a≤1法二：由题意可知，∵抛物线的顶点为（1，﹣3），而0≤x≤3∴抛物线y的取值为﹣3≤y≤1∵y＝a，则直线y与x轴平行，∴要使直线y＝a与抛物线y＝（x﹣1）2﹣3有交点，∴抛物线y的取值为﹣3≤y≤1，即为a的取值范围，∴﹣3≤a≤1．故答案为：﹣3≤a≤1．18．（2019四川遂宁）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O落在坐标原点，点A、点C分别位于x轴，y轴的正半轴，G为线段OA上一点，将△OCG沿CG翻折，O点恰好落在对角线AC上的点P处，反比例函数y＝12x经过点B．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠、A三点，则该二次函数的解析式为．（填一般式）【答案】y＝12x2﹣114x+3．【解析】解：点C（0，3），反比例函数y＝12x经过点B，则点B（4，3），则OC＝3，OA＝4，∴AC＝5，设OG＝PG＝x，则GA＝4﹣x，PA＝AC﹣CP＝AC﹣OC＝5﹣3＝2，由勾股定理得：（4﹣x）2＝4+x2，解得：x＝32，故点G（32，0），将点C、G、A坐标代入二次函数表达式得：393421440ca b ca b c=⎧⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎩，解得：121143abc⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，故答案为：y＝12x2﹣114x+3．19．（2019四川达州）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．①抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点；②若点M（﹣2，y1）、点N（12，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m；④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值．其中正确判断的序号是．【答案】①③④．【解析】解：①把y ＝m +2代入y ＝﹣x 2+2x +m +1中，得x 2﹣2x +1＝0，∵△＝4﹣4＝0，∴此方程两个相等的实数根，则抛物线y ＝﹣x 2+2x +m +1与直线y ＝m +2有且只有一个交点，故此小题结论正确；②∵抛物线的对称轴为x ＝1，∴点P （2，y 3）关于x ＝1的对称点为P ′（0，y 3），∵a ＝﹣1＜0，∴当x ＜1时，y 随x 增大而减小，又∵﹣2＜0＜12，点M （﹣2，y 1）、点N （12，y 2）、点P ′（0，y 3）在该函数图象上，∴y 2＜y 3＜y 1，故此小题结论错误；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，抛物线的解析式为：y ＝﹣（x +2）2+2（x +2）x +m +1﹣2，即y ＝﹣（x +1）2+m ，故此小题结论正确；④当m ＝1时，抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+2x +2，∴A （0，2），C （2，2），B （1，3），作点B 关于y 轴的对称点B ′（﹣1，3），作C 点关于x 轴的对称点C ′（2，﹣2），连接B ′C ′，与x 轴、y 轴分别交于D 、E 点，如图，则BE +ED +CD +BC ＝B ′E +ED +C ′D +BC ＝B ′C ′+BC ，根据两点之间线段最短，知B ′C ′最短，而BC 的长度一定，∴此时，四边形BCDE 周长＝B ′C ′+BC 最小，为：==故答案为：①③④．三、解答题20．（2019四川凉山州）已知二次函数y ＝x 2+x +a 的图象与x 轴交于A （x 1，0）、B （x 2，0）两点，且2212111x x +=，求a 的值．【答案】a ＝﹣或a ＝﹣1. 【解析】解：y ＝x 2+x +a 的图象与x 轴交于A （x 1，0）、B （x 2，0）两点，∴x 1+x 2＝﹣1，x 1•x 2＝a ，∵222121212222222121212()211121()x x x x x x ax x x x x x a++--+====，∴a＝﹣1+或a＝﹣1．21．（2019四川南充）在“我为祖国点赞“征文活动中，学校计划对获得一，二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本．已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元，购买4支钢笔和5个笔记本共70元．（1）钢笔、笔记本的单价分别为多少元？（2）经与商家协商，购买钢笔超过30支时，每增加1支，单价降低0.1元；超过50支，均按购买50支的单价售，笔记本一律按原价销售．学校计划奖励一、二等奖学生共计100人，其中一等奖的人数不少于30人，且不超过60人，这次奖励一等奖学生多少人时，购买奖品总金额最少，最少为多少元？【答案】（1）钢笔、笔记本的单价分别为10元，6元；（2）奖励一等奖学生50人时，购买奖品总金额最少，最少为700元．【解析】解：（1）钢笔、笔记本的单价分别为x、y元，根据题意得，2338 4570x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：106xy=⎧⎨=⎩，答：钢笔、笔记本的单价分别为10元，6元；（2）设钢笔的单价为a元，购买数量为b元，支付钢笔和笔记本的总金额w元，①当30≤b≤50时，a＝10﹣0.1（b﹣30）＝﹣0.1b+13，w＝b（﹣0.1b+13）+6（100﹣b）＝﹣0.1b2+7b+600＝﹣0.1（b﹣35）2+722.5，∵当b＝30时，w＝720，当b＝50时，w＝700，∴当30≤b≤50时，700≤w≤722.5；②当50＜b≤60时，a＝8，w＝8b+6（100﹣b）＝2b+600，700＜w≤720，∴当30≤b≤60时，w的最小值为700元，∴这次奖励一等奖学生50人时，购买奖品总金额最少，最少为700元．22．（2019四川成都）随着5G技术的发展，人们对各类5G产品的使用充满期待，某公司计划在某地区销售一款5G 产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化．设该产品在第x （x 为正整数）个销售周期每台的销售价格为y 元，y 与x 之间满足如图所示的一次函数关系．（1）求y 与x 之间的关系式；（2）设该产品在第x 个销售周期的销售数量为p （万台），p 与x 的关系可以用p ＝12x +12来描述．根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？【答案】（1）y ＝﹣500x +7500；（2）第7个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格是4000元．【解析】解：（1）设函数的解析式为：y ＝kx +b （k ≠0），由图象可得，700055000k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得，5007500k b =-⎧⎨=⎩ ，∴y 与x 之间的关系式：y ＝﹣500x +7500；（2）设销售收入为w 万元，根据题意得，w ＝yp ＝（﹣500x +7500）（12x +12），即w ＝﹣250（x ﹣7）2+16000，∴当x ＝7时，w 有最大值为16000，此时y ＝﹣500×7+7500＝4000（元）答：第7个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格是4000元．23.（2019四川绵阳）辰星旅游度假村有甲种风格客房15间，乙种风格客房20间．按现有定价：若全部入住，一天营业额为8500元；若甲、乙两种风格客房均有10间入住，一天营业额为5000元．（1）求甲、乙两种客房每间现有定价分别是多少元？（2）度假村以乙种风格客房为例，市场情况调研发现：若每个房间每天按现有定价，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加20元时，就会有两个房间空闲．如果游客居住房间，度假村需对每个房间每天支出80元的各种费用．当每间房间定价为多少元时，乙种风格客房每天的利润m 最大，最大利润是多少元？【答案】（1）甲、乙两种客房每间现有定价分别是300元、200元；（2）当每间房间定价为200元时，乙种风格客房每天的利润m 最大，最大利润是2400元．【解析】解：设甲、乙两种客房每间现有定价分别是x 元、y 元，根据题意，得：1520850010105000x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得300200x y =⎧⎨=⎩，答：甲、乙两种客房每间现有定价分别是300元、200元；（2）设当每间房间定价为x 元，m =x （20020220x --⨯）-80×20=21(200)240010x --+， ∴当x =200时，m 取得最大值，此时m =2400，答：当每间房间定价为200元时，乙种风格客房每天的利润m 最大，最大利润是2400元．24.（2019四川攀枝花）已知抛物线2y xbx c =-++的对称轴为直线1x =，其图像与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴交于点(0,3)C .（1）求b ，c 的值；（2）直线l 与x 轴交于点P ，①如图1，若l ∥y 轴，且与线段AC 及抛物线分别相交于点E 、F ，点C 关于直线1x =的对称点为D ，求四边形CEDF 面积的最大值；图1 图2xx②如图2，若直线l 与线段BC 相交于点Q ，当PCQ ∆∽CAP ∆时，求直线l 的表达式.【答案】（1）23b c =⎧⎨=⎩；（2）①最大值为94；②32y x =-+. 【解析】：解：（1）由题可知： 123b c ⎧-=⎪-⎨⎪=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩；（2）①由题可知(2,3)D ，CD EF ⊥，∴2CD =. 由（1）可知(3,0)A ，(1,0)B -，∴AC l ：3y x =-+. 设2(,23)F e e e -++，则(,3)E e e -+，∴23EF e e =-+， ∴12CEDF S CD EF =g 22393()24e e e =-+=--+. ∴当32e =时，四边形CEDF 的面积最大，最大值为94. ②由（1）可知45OAC OCA ∠=∠=︒，由PCQ ∆∽CAP ∆，可得45QCP OAC ∠=∠=︒， ∴QCP OCA ∠=∠，∴ACP BCO ∠=∠，由(1,0)B -，(0,3)C 可得1tan 3BCO ∠=， ∴1tan 3ACP ∠=，作PH AC ⊥于H 点，设(,0)P m ，则3AP m =-，∴(3)2PH AH m ==-，(3)2CH m =+.)1tan 32m PH ACP CH -==∠=. 即3133m m -=+，解得32m =. ∴3(,0)2P ，∴l ：32y x =-+.25．（2019四川眉山）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣49x2+bx+c经过点A（﹣5，0）和点B（1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点P是抛物线上A、D之间的一点，过点P作PE⊥x轴于点E，PG⊥y轴，交抛物线于点G，过点G作GF⊥x轴于点F，当矩形PEFG的周长最大时，求点P的横坐标；（3）如图2，连接AD、BD，点M在线段AB上（不与A、B重合），作∠DMN＝∠DBA，MN交线段AD于点N，是否存在这样点M，使得△DMN为等腰三角形？若存在，求出AN的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的表达式为：y＝﹣49x2﹣169x+209，D（﹣2，4）；（2）点P的横坐标为﹣174；（3）AN＝1或55 36．【解析】解：（1）抛物线的表达式为：y＝﹣49（x+5）（x﹣1）＝﹣49x2﹣169x+209，则点D（﹣2，4）；（2）设点P（m，﹣49x2﹣169x+209），则PE＝﹣49m2﹣169m+209，PG＝2（﹣2﹣m）＝﹣4﹣2m，矩形PEFG的周长＝2（PE+PG）＝2（﹣49m2﹣169m+209﹣4﹣2m）＝﹣89（m+174）2+22518，∵﹣89＜0，故当m＝﹣174时，矩形PEFG周长最大，此时，点P的横坐标为﹣174；（3）∵∠DMN＝∠DBA，∠BMD+∠BDM＝180°﹣∠ADB，∠NMA+∠DMB＝180°﹣∠DMN，∴∠NMA＝∠MDB，∴△BDM∽△AMN，AN AM BM BD=，而AB＝6，AD＝BD＝5，①当MN＝DM时，∴△BDM≌△AMN，即：AM＝BD＝5，则AN＝MB＝1；②当NM＝DN时，则∠NDM＝∠NMD，∴△AMD∽△ADB，∴AD2＝AB×AM，即：25＝6×AM，则AM＝256，而AN AMBM BD=，即25625566AN=-，解得：AN＝55 36；③当DN＝DM时，∵∠DMN＞∠DAB，而∠DAB＝∠DMN，∴∠DNM＞∠DMN，∴DN≠DM；故AN＝1或55 36．26．（2019四川凉山州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△PAC的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得S△PAM＝S△PAC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2点P（1，2）使△PAC；（3）存在，且点M坐标为（1，4）．【解析】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）∴可设交点式y＝a（x+1）（x﹣3）把点C（0，3）代入得：﹣3a＝3∴a＝﹣1∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使得△PAC的周长最小．如图1，连接PB、BC∵点P在抛物线对称轴直线x＝1上，点A、B关于对称轴对称∴PA＝PB∴C△PAC＝AC+PC+PA＝AC+PC+PB∵当C、P、B在同一直线上时，PC+PB＝CB最小∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）∴AC=BC=，∴C△PAC＝AC+CB最小设直线BC解析式为y＝kx+3把点B代入得：3k+3＝0，解得：k＝﹣1∴直线BC：y＝﹣x+3∴y P ＝﹣1+3＝2∴点P （1，2）使△PAC．（3）存在满足条件的点M ，使得S △PAM ＝S △PAC ．∵S △PAM ＝S △PAC∴当以PA 为底时，两三角形等高∴点C 和点M 到直线PA 距离相等∵M 在x 轴上方∴CM ∥PA∵A （﹣1，0），P （1，2），设直线AP 解析式为y ＝px +d ∴02p d p d -+=⎧⎨+=⎩，解得：11p d =⎧⎨=⎩. ∴直线AP ：y ＝x +1，∴直线CM 解析式为：y ＝x +3，∵2323y x y x x =+⎧⎨=-++⎩，解得：1103x y =⎧⎨=⎩（即点C ），2214x y =⎧⎨=⎩∴点M 坐标为（1，4）27．（2019四川巴中）如图，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣5（a ≠0）经过x 轴上的点A （1，0）和点B 及y 轴上的点C ，经过B 、C 两点的直线为y ＝x +n ．①求抛物线的解析式．②点P 从A 出发，在线段AB 上以每秒1个单位的速度向B 运动，同时点E 从B 出发，在线段BC 上以每秒2个单位的速度向C 运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t 秒，求t 为何值时，△PBE 的面积最大并求出最大值．③过点A 作AM ⊥BC 于点M ，过抛物线上一动点N （不与点B 、C 重合）作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ．若点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的横坐标．【答案】①y ＝﹣x 2+6x ﹣5；②当t ＝2时，△PBE 的面积最大，最大值为； ③，点N 的横坐标为：4或52+或52-．【解析】解：①∵点B 、C 在直线为y ＝x +n 上，∴B （﹣n ，0）、C （0，n ），∵点A （1，0）在抛物线上，∴250505a b an bn n +-=⎧⎪+-=⎨⎪=-⎩，∴a ＝﹣1，b ＝6，∴抛物线解析式：y ＝﹣x 2+6x ﹣5；②由题意，得， PB ＝4﹣t ，BE ＝2t ，由①知，∠OBC ＝45°，∴点P 到BC 的高h 为BP sin45°＝2（4﹣t ）， ∴S △PBE ＝12BE •h＝21)2(2)222t t t ⨯-⨯=-+ 当t ＝2时，△PBE 的面积最大，最大值为；③由①知，BC 所在直线为：y ＝x ﹣5，∴点A 到直线BC 的距离d ＝2，过点N 作x 轴的垂线交直线BC 于点P ，交x 轴于点H ．设N （m ，﹣m 2+6m ﹣5），则H （m ，0）、P （m ，m ﹣5），易证△PQN 为等腰直角三角形，即NQ ＝PQ ＝，∴PN ＝4，Ⅰ．NH +HP ＝4，∴﹣m 2+6m ﹣5﹣（m ﹣5）＝4解得m 1＝1，m 2＝4，∵点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，∴m ＝4；Ⅱ．NH +HP ＝4，∴m ﹣5﹣（﹣m 2+6m ﹣5）＝4解得m 1＝52+，m 2＝52-， ∵点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，m ＞5，∴m ＝52， Ⅲ．NH ﹣HP ＝4，∴﹣（﹣m 2+6m ﹣5）﹣[﹣（m ﹣5）]＝4，解得m 1＝52+，m 2＝52-， ∵点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，m ＜0，∴m ＝52，综上所述，若点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，点N 的横坐标为：4或52+或52．28．（2019四川广安）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝kx+n与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A（﹣1，0），D（5，﹣6），P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）．（1）求抛物线和直线l的解析式；（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）直线l的表达式为：y＝﹣x﹣1，抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；（2）当x＝2时，PE+PF最大值为18；（3）点P的坐标为：（324，﹣5）或（﹣4，3）．【解析】解：（1）将点A、D的坐标代入直线表达式得：56k nk n-+=⎧⎨+=-⎩，解得11kn=-⎧⎨=-⎩，故直线l的表达式为：y＝﹣x﹣1，将点A、D的坐标代入抛物线表达式，同理可得抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；（2）直线l的表达式为：y＝﹣x﹣1，则直线l与x轴的夹角为45°，即：则PE＝PE，设点P坐标为（x，﹣x2+3x+4）、则点F（x，﹣x﹣1），PE+PF＝2PF＝2（﹣x2+3x+4+x+1）＝﹣2（x﹣2）2+18，∵﹣2＜0，故PE+PF有最大值，当x＝2时，其最大值为18；（3）NC＝5，①当NC是平行四边形的一条边时，设点P坐标为（x，﹣x2+3x+4）、则点M（x，﹣x﹣1），由题意得：|y M﹣y P|＝5，即：|﹣x2+3x+4+x+1|＝5，解得：x＝20或4（舍去0），则点P坐标为（324，﹣5）；②当NC是平行四边形的对角线时，则NC的中点坐标为（﹣12，2），设点P坐标为（m，﹣m2+3m+4）、则点M（n，﹣n﹣1），N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形，则NC的中点即为PM中点，即：﹣12＝2m n+，2＝23412m m n-++--，解得：m＝0或﹣4（舍去0），故点P（﹣4，3）；故点P的坐标为：（324，﹣5）或（﹣4，3）．29．（2019四川达州）如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（1，0），B（﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；（2）设点D是x轴上一点，当tan（∠CAO+∠CDO）＝4时，求点D的坐标；（3）如图2．抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA交BE于点M，交y轴于点N，△BMP和△EMN的面积分别为m、n，求m﹣n的最大值．【答案】（1）抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，顶点C的坐标为（﹣1，4）；（2）点D的坐标为（﹣19，0）或（17，0）；（3）m﹣n的最大值为81 32．【解析】解：（1）由题意把点（1，0），（﹣3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得，10930b cb c-++=⎧⎨--+=⎩，解得b＝﹣2，c＝3，∴y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴此抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，顶点C的坐标为（﹣1，4）；（2）∵抛物线顶点C（﹣1，4），∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，设抛物线对称轴与x轴交于点H，则H（﹣1，0），在Rt△CHO中，CH＝4，OH＝1，∴tan∠COH＝CHOH＝4，∵∠COH＝∠CAO+∠ACO，∴当∠ACO＝∠CDO时，tan（∠CAO+∠CDO）＝tan∠COH＝4，如图1，当点D在对称轴左侧时，∵∠ACO＝∠CDO，∠CAO＝∠CAO，∴△AOC∽△ACD，∴AC AO AD AC=，∵AC2，AO＝1，∴AD=，∴AD＝20，∴OD＝19，∴D（﹣19，0）；当点D在对称轴右侧时，点D关于直线x＝1的对称点D'的坐标为（17，0），∴点D的坐标为（﹣19，0）或（17，0）；（3）设P（a，﹣a2﹣2a+3），将P（a，﹣a2﹣2a+3），A（1，0）代入y＝kx+b，得，223ak b a ak b⎧+=--+⎨+=⎩，解得，k＝﹣a﹣3，b＝a+3，∴y PA＝（﹣a﹣3）x+a+3，当x＝0时，y＝a+3，∴N（0，a+3），如图2，∵S△BPM＝S△BPA﹣S四边形BMNO﹣S△AON，S△EMN＝S△EBO﹣S四边形BMNO，∴S△BPM﹣S△EMN＝S△BPA﹣S△EBO﹣S△AON＝12×4×（﹣a2﹣2a+3）﹣12×3×3﹣12×1×（a+3）＝﹣2a2﹣9 2 a＝﹣2（a+98）2+8132，由二次函数的性质知，当a＝﹣98时，S△BPM﹣S△EMN有最大值8132，∵△BMP和△EMN的面积分别为m、n，∴m﹣n的最大值为81 32．30．（2019四川资阳）如图，抛物线y ＝﹣12x 2+bx +c 过点A （3，2），且与直线y ＝﹣x +72交于B 、C 两点，点B 的坐标为（4，m ）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D 为抛物线上位于直线BC 上方的一点，过点D 作DE ⊥x 轴交直线BC 于点E ，点P 为对称轴上一动点，当线段DE 的长度最大时，求PD +PA 的最小值；（3）设点M 为抛物线的顶点，在y 轴上是否存在点Q ，使∠AQM ＝45°？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y ＝21722x x -++；（2）PD +PA ；（3）点Q 的坐标：Q 1（0，2）、Q 2（0，）．【解析】解：（1）将点B 的坐标为（4，m ）代入y ＝﹣x +72， m ＝﹣4+72＝﹣12， ∴B 的坐标为（4，﹣12），将A （3，2），B （4，﹣12）代入y ＝﹣12x 2+bx +c ，2213322114422b c b c ⎧-⨯++=⎪⎪⎨⎪-⨯++=-⎪⎩ 解得b ＝1，c ＝72， ∴抛物线的解析式y ＝21722x x -++；（2）设D （m ，21722m m -++），则E （m ，﹣m +72），DE ＝（21722m m -++）﹣（﹣m +72）＝2122m m -+＝﹣12（m ﹣2）2+2，∴当m ＝2时，DE 有最大值为2，此时D （2，72），作点A 关于对称轴的对称点A '，连接A 'D ，与对称轴交于点P ．PD +PA ＝PD +PA '＝A 'D ，此时PD +PA 最小，∵A （3，2）， ∴A '（﹣1，2），A 'D即PD +PA（3）作AH ⊥y 轴于点H ，连接AM 、AQ 、MQ 、HA 、HQ ，∵抛物线的解析式y ＝21722x x -++， ∴M （1，4）， ∵A （3，2），∴AH ＝MH ＝2，H （1，2） ∵∠AQM ＝45°， ∠AHM ＝90°， ∴∠AQM ＝12∠AHM ，可知△AQM 外接圆的圆心为H ，∴QH ＝HA ＝HM ＝2 设Q （0，t ），则＝2，t ＝或2∴符合题意的点Q 的坐标：Q 1（0，2）、Q 2（0，）．31．（2019四川成都）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点A （﹣2，5），与x 轴相交于B （﹣ 1，0），C （3，0）两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D 在抛物线的对称轴上，且位于x 轴的上方，将△BCD 沿直线BD 翻折得到△BC 'D ，若点C '恰好落在抛物线的对称轴上，求点C '和点D 的坐标；（3）设P 是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q 在抛物线的对称轴上，当△CPQ 为等边三角形时，求直线BP 的函数表达式．【答案】（1 y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）点C ′的坐标为（1，2）点D 的坐标为（1，3）；（3）直线BP的函数表达式为33y x =+或33y x =-．【解析】解：（1）由题意得：4250930a b c a b c a b c -+=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩ ，解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，∴抛物线的函数表达式为y ＝x 2﹣2x ﹣3．（2）∵抛物线与x 轴交于B （﹣1，0），C （3，0）， ∴BC ＝4，抛物线的对称轴为直线x ＝1，如图，设抛物线的对称轴与x 轴交于点H ，则H 点的坐标为（1，0），BH ＝2，由翻折得C ′B ＝CB ＝4，在Rt△BHC′中，由勾股定理，得C′H==，∴点C′的坐标为（1，），tan2C HC BHBH''∠===∴∠C′BH＝60°，由翻折得∠DBH＝12∠C′BH＝30°，在Rt△BHD中，DH＝BH•tan∠DBH＝2•tan30，∴点D的坐标为（1，3）．（3）取（2）中的点C′，D，连接CC′，∵BC′＝BC，∠C′BC＝60°，∴△C′CB为等边三角形．分类讨论如下：①当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方，连接BQ，C′P．∵△PCQ，△C′CB为等边三角形，∴CQ＝CP，BC＝C′C，∠PCQ＝∠C′CB＝60°，∴∠BCQ＝∠C′CP，∴△BCQ≌△C′CP（SAS），∴BQ＝C′P．∵点Q在抛物线的对称轴上，∴BQ＝CQ，∴C′P＝CQ＝CP，又∵BC′＝BC，∴BP垂直平分CC′，由翻折可知BD垂直平分CC′，∴点D在直线BP上，设直线BP的函数表达式为y＝kx+b，则3k b k b=-+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得33kb⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线BP 的函数表达式为y＝3x+3. ②当点P 在x 轴的下方时，点Q 在x 轴下方． ∵△PCQ ，△C ′CB 为等边三角形，∴CP ＝CQ ，BC ＝CC ′，∠CC ′B ＝∠QCP ＝∠C ′CB ＝60°． ∴∠BCP ＝∠C ′CQ ， ∴△BCP ≌△C ′CQ （SAS ）， ∴∠CBP ＝∠CC ′Q ， ∵BC ′＝CC ′，C ′H ⊥BC ， ∴1302CC Q CC B ''∠=∠=o ． ∴∠CBP ＝30°，设BP 与y 轴相交于点E ，在Rt △BOE 中，OE ＝OB •tan ∠CBP ＝OB •tan30°＝1×3=3，∴点E 的坐标为（0．设直线BP 的函数表达式为y ＝mx +n ，则03m n n =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线BP 的函数表达式为y＝33x --．综上所述，直线BP 的函数表达式为yx+或y＝x -．32.（2019四川乐山）如图1，已知抛物线)6)(2(-+=x x a y 与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且tan 23=∠CAB .设抛物线的顶点为M ，对称轴交x 轴于点N .（1）求抛物线的解析式；（2）P 为抛物线的对称轴上一点，)0,(n Q 为x 轴上一点，且PC PQ ⊥. ①当点P 在线段MN (含端点)上运动时，求n 的变化范围； ②当n 取最大值时，求点P 到线段CQ 的距离；③当n 取最大值时，将线段．．CQ 向上平移t 个单位长度，使得线段．．CQ 与抛物线有两个交点，求t 的取值范围.【答案】（1）)6)(2(41-+-=x x y ；（2）①487≤≤n ；②点P 到线段CQ 距离为2；③16493<≤t . 【解析】解：（1）根据题意得： )0,2(-A ,)0,6(B ，在AOC Rt ∆中，∵23tan ==∠AO CO CAO ,且2=OA ,得3=CO ， ∴(0,3)C ,将C 点坐标代入)6)(2(-+=x x a y 得：41-=a ，故抛物线解析式为：)6)(2(41-+-=x x y ；（2）①由（1）知，抛物线的对称轴为：2=x ，顶点M ()4,2，设P 点坐标为)2(m ，（其中40≤≤m ），则222)3(2-+=m PC，222)2(-+=n m PQ ，2223n CQ +=，∵PC PQ ⊥,∴在PCQ Rt ∆中，由勾股定理得：222CQ PQ PC =+,即2222223)2()3(2n n m m +=-++-+，整理得：备用图图1)43(212+-=m m n 87)23(212+-=m （40≤≤m ）， ∴当23=m 时，n 取得最小值为87；当4=m 时，n 取得最大值为4，所以，487≤≤n ；②由①知：当n 取最大值4时，4=m ， ∴)4,2(P ，)0,4(Q ，则5=PC,52=PQ ,5=CQ ，设点P 到线段CQ 距离为h ，由PQ PC h CQ S PCQ ⋅=⋅=∆2121，得：2=⋅=CQPQPC h ，故点P 到线段CQ 距离为2；由②可知：当n 取最大值4时，)0,4(Q ， ∴线段CQ 的解析式为：343+-=x y ，设线段CQ 向上平移t 个单位长度后的解析式为：t x y ++-=343，当线段CQ 向上平移，使点Q 恰好在抛物线上时，线段CQ 与抛物线有两个交点，此时对应的点'Q 的纵坐标为：3)64)(24(41=-+-，将)3,4('Q 代入t x y ++-=343得：3=t ，当线段CQ 继续向上平移，线段CQ 与抛物线只有一个交点时，联解1(2)(6)4334y x x y x t ⎧=-+-⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩得：13(2)(6)344x x x t -+-=-++，化简得： 0472=+-t x x ，由01649=-=∆t ，得1649=t ， ∴当线段CQ 与抛物线有两个交点时，16493<≤t . 33．（2019四川遂宁）如图，顶点为P （3，3）的二次函数图象与x 轴交于点A （6，0），点B 在该图象上，OB 交其对称轴l 于点M ，点M 、N 关于点P 对称，连接BN 、ON ．（1）求该二次函数的关系式．（2）若点B 在对称轴l 右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题： ①连接OP ，当OP ＝12MN 时，请判断△NOB 的形状，并求出此时点B 的坐标．13x 2+2x ； B 坐标为（3+3，﹣3）；②见解析．【解析】解：（1）∵二次函数顶点为P （3，3） ∴设顶点式y ＝a （x ﹣3）2+3∵二次函数图象过点A （6，0）∴（6﹣3）2a +3＝0，解得：a ＝﹣13∴二次函数的关系式为y ＝﹣13（x ﹣3）2+3＝﹣13x 2+2x （2）设B （b ，﹣13b 2+2b ）（b ＞3） ∴直线OB 解析式为：y ＝（﹣13b +2）x∵OB 交对称轴l 于点M ∴当x M ＝3时，y M ＝（﹣13b +2）×3＝﹣b +6 ∴M （3，﹣b +6） ∵点M 、N 关于点P 对称∴NP ＝MP ＝3﹣（﹣b +6）＝b ﹣3， ∴y N ＝3+b ﹣3＝b ，即N （3，b ） ①∵OP ＝MN ∴OP ＝MPb ﹣3解得：b ＝∴﹣13b 2+2b ＝﹣13×（）2+2×（3+3）＝﹣3∴B （，﹣3），N （3，）∴OB 2＝（）2+（﹣3）2＝，ON 2＝32+（3+3）2＝，BN 2＝（﹣3）2+（﹣3﹣3﹣）2＝．∴OB ＝ON ，OB 2+ON 2＝BN 2∴△NOB 是等腰直角三角形，此时点B 坐标为（，﹣3）． ②证明：如图，设直线BN 与x 轴交于点D ∵B （b ，﹣13b 2+2b ）、N （3，b ），设直线BN 解析式为y ＝kx +d∴21233kb d b bk d b⎧+=-+⎪⎨⎪+=⎩，解得：132k bd b⎧=-⎪⎨⎪=⎩．∴直线BN：y＝﹣13bx+2b．当y＝0时，﹣13bx+2b＝0，解得：x＝6∴D（6，0）．∵C（3，0），NC⊥x轴，∴NC垂直平分OD．y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（﹣3，0），且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，且∠POB＝∠ACB，求点P的坐标；（3）抛物线上两点M，N，点M的横坐标为m，点N的横坐标为m+4．点D是抛物线上M，N之间的动点，过点D作y轴的平行线交MN于点E．①求DE的最大值；②点D关于点E的对称点为F，当m为何值时，四边形MDNF为矩形．）、（9348-+-+）、（﹣2，1）或（﹣32，34）；（3）①DE 的最大值为4；②m 的值为﹣4时，四边形MDNF 为矩形．【解析】解：（1）∵抛物线与x 轴交于点A （﹣1，0），点B （﹣3，0）∴设交点式y ＝a （x +1）（x +3）∵OC ＝OB ＝3，点C 在y 轴负半轴∴C （0，﹣3）把点C 代入抛物线解析式得：3a ＝﹣3∴a ＝﹣1∴抛物线解析式为y ＝﹣（x +1）（x +3）＝﹣x 2﹣4x ﹣3（2）如图1，过点A 作AG ⊥BC 于点G ，过点P 作PH ⊥x 轴于点H∴∠AGB ＝∠AGC ＝∠PHO ＝90°∵∠ACB ＝∠POB∴△ACG ∽△POH ∴AG CG PHOH=， ∴AG PH CG OH =， ∵OB ＝OC ＝3，∠BOC ＝90°∴∠ABC ＝45°，BC∴12PH AG OHCG ==， ∴OH ＝2PH设P （p ，﹣p 2﹣4p ﹣3）①当p ＜﹣3或﹣1＜p ＜0时，点P 在点B 左侧或在AC 之间，横纵坐标均为负数∴OH ＝﹣p ，PH ＝﹣（﹣p 2﹣4p ﹣3）＝p 2+4p +3∴﹣p ＝2（p 2+4p +3）解得：p 1＝94-，p 2＝94- ∴P （99,48---）或（9948--） ②当﹣3＜p ＜﹣1或p＞0时，点P 在AB 之间或在点C 右侧，横纵坐标异号∴p ＝2（p 2+4p +3）解得：p 1＝﹣2，p 2＝﹣32∴P （﹣2，1）或（﹣32，34）综上所述，点P 的坐标为（99,48---）、（9948-+-+）、（﹣2，1）或（﹣32，34）．（3）①如图2，∵x ＝m +4时，y ＝﹣（m +4）2﹣4（m +4）﹣3＝﹣m 2﹣12m ﹣35∴M（m，﹣m2﹣4m﹣3），N（m+4，﹣m2﹣12m﹣35）设直线MN解析式为y＝kx+n∴2243(4)1235km n m mk m n m m⎧+=---⎪⎨++=---⎪⎩，解得：22843k mn m m=--⎧⎨=+-⎩，2∴DE＝﹣d2﹣4d﹣3﹣[（﹣2m﹣8）d+m2+4m﹣3] ＝﹣d2+（2m+4）d﹣m2﹣4m＝﹣[d﹣（m+2）]2+4∴当d＝m+2时，DE的最大值为4．②如图3，∵D、F关于点E对称∴DE＝EF∵四边形MDNF是矩形∴MN＝DF，且MN与DF互相平分∴DE＝MN，E为MN中点∴x D＝x E＝42m m++＝m+2由①得当d＝m+2时，DE＝4∴MN＝2DE＝8∴（m+4﹣m）2+[﹣m2﹣12m﹣35﹣（﹣m2﹣4m﹣3）]2＝82解得：m1＝﹣4﹣2，m2＝﹣4+2∴m的值为﹣4﹣2或﹣4+2时，四边形MDNF为矩形．x+c与直线yM作x轴的垂线交抛物线PAB面积的最【答案】（1）直线AB的解析式为y＝x﹣3，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）存在，且M点的坐标为（2，﹣1）或（33,22-）；（3）当m＝32时，△PAB面积的最大值是278，此时P点坐标为（32，32-）．【解析】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2x+c经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，∴9603a cc-+=⎧⎨=-⎩，∴13ac=⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，∵直线y＝kx+b经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，∴303k bb+=⎧⎨=-⎩，解得：13kb=⎧⎨=-⎩，∴直线AB的解析式为y＝x﹣3，（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点C的坐标为（1，﹣4），∵CE∥y轴，∴E（1，﹣2），∴CE＝2，①如图，若点M在x轴下方，四边形CEMN为平行四边形，则CE＝MN，设M（a，a﹣3），则N（a，a2﹣2a﹣3），∴MN＝a﹣3﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a，∴﹣a2+3a＝2，解得：a＝2，a＝1（舍去），∴M（2，﹣1），②如图，若点M在x轴上方，四边形CENM为平行四边形，则CE＝MN。

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中考试题分类汇编——二次函数一、选择题1、（天津市）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数）其中正确的结论有（）BA. 2个B. 3个C. 4个D. 5个2、（2007南充）如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A（－3，0），对称轴为x＝－1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b=0；③a－b＋c=0；④5a＜b．其中正确结论是（）．B（A）②④（B）①④（C）②③（D）①③3、（2007广州市）二次函数与x轴的交点个数是（）BA．0B．1C．2D．34、（2007云南双柏县）在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（）A5、（2007四川资阳）已知二次函数（a≠0）的图象开口向上，并经过点（-1，2），（1，0）。

下列结论正确的是（）DA. 当x>0时，函数值y随x的增大而增大B. 当x>0时，函数值y随x的增大而减小C. 存在一个负数x0，使得当x<x0时，函数值y随x的增大而减小；当x>x0时，函数值y随x的增大而增大D. 存在一个正数x0，使得当x<x0时，函数值y随x的增大而减小；当x>x0时，函数值y随x的增大而增大6、（2007山东日照）已知二次函数y=x2-x+a（a＞0），当自变量x取m时，其相应的函数值小于0，那么下列结论中正确的是（）B（A）m-1的函数值小于0（B）m-1的函数值大于0（C）m-1的函数值等于0（D）m-1的函数值与0的大小关系不确定二、填空题1、（2007湖北孝感）二次函数y =ax2＋bx＋c的图象如图8所示，且P=| a－b＋c |＋| 2a＋b |，Q=| a＋b＋c |＋| 2a－b |，则P、Q的大小关系为.P<Q2、（2007四川成都）如图9所示的抛物线是二次函数的图象，那么的值是．－13、（2007江西省）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为．，；4、（2007广西南宁）已知二次函数的图象如图所示，则点在第象限．三三、解答题1、（2007天津市）知一抛物线与x轴的交点是、B（1，0），且经过点C（2，8）。

（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标。

解：（1）设这个抛物线的解析式为由已知，抛物线过，B（1，0），C（2，8）三点，得（3分）解这个方程组，得∴所求抛物线的解析式为（6分）（2）∴该抛物线的顶点坐标为2、（2007上海市）在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为，且过点．（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标．解：（1）设二次函数解析式为，二次函数图象过点，，得．二次函数解析式为，即．（2）令，得，解方程，得，．二次函数图象与轴的两个交点坐标分别为和．二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点．平移后所得图象与轴的另一个交点坐标为3、（2007广东梅州）已知二次函数图象的顶点是，且过点．（1）求二次函数的表达式，并在图10中画出它的图象；（2）求证：对任意实数，点都不在这个二次函数的图象上．解：（1）依题意可设此二次函数的表达式为，····· 2分又点在它的图象上，可得，解得．所求为．令，得画出其图象如下．（2）证明：若点在此二次函数的图象上，则．得．方程的判别式：，该方程无解．所以原结论成立．4、（2007贵州省贵阳）二次函数的图象如图9所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程的两个根．（2分）（2）写出不等式的解集．（2分）（3）写出随的增大而减小的自变量的取值范围．（2分）（4）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．（4分）解：（1），（2）（3）（4）5、（2007河北省）如图13，已知二次函数的图像经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离．解：（1）将x=-1，y=-1；x=3，y=-9分别代入得解得∴二次函数的表达式为．（2）对称轴为；顶点坐标为（2，-10）．（3）将（m，m）代入，得，解得．∵m＞0，∴不合题意，舍去．∴m=6．∵点P与点Q关于对称轴对称，∴点Q到x轴的距离为6．6、（2007四川成都）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，其顶点的横坐标为1，且过点和．（1）求此二次函数的表达式；（2）若直线与线段交于点（不与点重合），则是否存在这样的直线，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角与的大小（不必证明），并写出此时点的横坐标的取值范围．解：（1）二次函数图象顶点的横坐标为1，且过点和，由解得此二次函数的表达式为．（2）假设存在直线与线段交于点（不与点重合），使得以为顶点的三角形与相似．在中，令，则由，解得．令，得．．设过点的直线交于点，过点作轴于点．点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．．要使或，已有，则只需，①或②成立．若是①，则有．而．在中，由勾股定理，得．解得（负值舍去）．．点的坐标为．将点的坐标代入中，求得．满足条件的直线的函数表达式为．［或求出直线的函数表达式为，则与直线平行的直线的函数表达式为．此时易知，再求出直线的函数表达式为．联立求得点的坐标为．］若是②，则有．而．在中，由勾股定理，得．解得（负值舍去）．．点的坐标为．将点的坐标代入中，求得．满足条件的直线的函数表达式为．存在直线或与线段交于点（不与点重合），使得以为顶点的三角形与相似，且点的坐标分别为或．（3）设过点的直线与该二次函数的图象交于点．将点的坐标代入中，求得．此直线的函数表达式为．设点的坐标为，并代入，得．解得（不合题意，舍去）．．点的坐标为．此时，锐角．又二次函数的对称轴为，点关于对称轴对称的点的坐标为．当时，锐角；当时，锐角；当时，锐角．7、（2007四川眉山）如图，矩形A’BC’O’是矩形OABC（边OA在x轴正半轴上，边OC 在y轴正半轴上）绕B点逆时针旋转得到的．O’点在x轴的正半轴上，B点的坐标为（1，3）。

（1）如果二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象经过O、O’两点且图象顶点M的纵坐标为—1．求这个二次函数的解析式；（2）在（1）中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点P，使得ΔPOM为直角三角形?若存在，请求出P点的坐标和ΔPOM的面积；若不存在，请说明理由；（3）求边C’O’所在直线的解析式．8、（2007山东日照）容积率t是指在房地产开发中建筑面积与用地面积之比，即t=，为充分利用土地资源，更好地解决人们的住房需求，并适当的控制建筑物的高度，一般地容积率t不小于1且不大于8.一房地产开发商在开发某小区时，结合往年开发经验知，建筑面积M（m2）与容积率t的关系可近似地用如图（1）中的线段l来表示；1 m2建筑面积上的资金投入Q（万元）与容积率t的关系可近似地用如图（2）中的一段抛物线段c来表示．（Ⅰ）试求图（1）中线段l的函数关系式，并求出开发该小区的用地面积；（Ⅱ）求出图（2）中抛物线段c的函数关系式.解：（Ⅰ）设线段l函数关系式为M=kt+b，由图象得解之，得∴线段l的函数关系式为M＝13000t+2000,1≤t≤8.由t=知，当t=1时，S用地面积=M建筑面积，把t=1代入M＝13000t+2000中，得M=15000 m2.即开发该小区的用地面积是15000 m2.（Ⅱ）根据图象特征可设抛物线段c的函数关系式为Q＝a（t－4）2+k, 把点（4,0.09）, （1,0.18）代入，得解之，得∴抛物线段c的函数关系式为Q＝（t－4）2+,即Q＝t2-t +,1≤t ≤8.9、（2006四川资阳）如图10，已知抛物线P：y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、-31--（1）求A、B、C三点的坐标；（2）若点D的坐标为（m，0），矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围；（3）当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM=k·DF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围.若因为时间不够等方面的原因，经过探索、思考仍无法圆满解答本题，请不要轻易放弃，试试将上述（2）、（3）小题换为下列问题解答（已知条件及第（1）小题与上相同，完全正确解答只能得到5分）：（2）若点D的坐标为（1，0），求矩形DEFG的面积.解：⑴解法一：设，任取x,y的三组值代入，求出解析式，·········· 1分令y=0，求出；令x=0，得y=-4，∴A、B、C三点的坐标分别是A（2，0），B（-4，0），C（0，-4）. ······· 3分解法二：由抛物线P过点（1，-），（-3，）可知，抛物线P的对称轴方程为x=-1，············· 1分又∵抛物线P过（2，0）、（-2，-4），则由抛物线的对称性可知，点A、B、C的坐标分别为A（2，0），B（-4，0），C（0，-4）.······· 3分⑵由题意，，而AO=2，OC=4，AD=2-m，故DG=4-2m，··· 4分又，EF=DG，得BE=4-2m，∴DE=3m，·········· 5分∴SDEFG=DG·DE=（4-2m）3m=12m-6m2 （0＜m＜2） . ·········· 6分注：也可通过解Rt△BOC及Rt△AOC，或依据△BOC是等腰直角三角形建立关系求解.⑶∵SDEFG=12m-6m2 （0＜m＜2），∴m=1时，矩形的面积最大，且最大面积是当矩形面积最大时，其顶点为D（1，0），G（1，-2），F（-2，-2），E（-2，0），··· 7分设直线DF的解析式为y=kx+b，易知，k=，b=-，∴，又可求得抛物线P的解析式为：，········· 8分令=，可求出x=. 设射线DF与抛物线P相交于点N，则N的横坐标为，过N作x轴的垂线交x轴于H，有==，··············· 9分点M不在抛物线P上，即点M不与N重合时，此时k的取值范围是k≠且k＞0. ····················· 10分说明：若以上两条件错漏一个，本步不得分.若选择另一问题：⑵∵，而AD=1，AO=2，OC=4，则DG=2，········ 4分又∵，而AB=6，CP=2，OC=4，则FG=3，∴SDEFG=DG·FG=6.10、（2007山东威海）如图①，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，二次函数的图象记为抛物线．（1）平移抛物线，使平移后的抛物线过点，但不过点，写出平移后的一个抛物线的函数表达式：（任写一个即可）．（2）平移抛物线，使平移后的抛物线过两点，记为抛物线，如图②，求抛物线的函数表达式．（3）设抛物线的顶点为，为轴上一点．若，求点的坐标．（4）请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线上是否存在点，使为等腰三角形．若存在，请判断点共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明师．解：（1）有多种答案，符合条件即可．例如，，或，，．（2）设抛物线的函数表达式为，点，在抛物线上，解得抛物线的函数表达式为．（3），点的坐标为．过三点分别作轴的垂线，垂足分别为，则，，，，，．．．延长交轴于点，设直线的函数表达式为，点，在直线上，解得直线的函数表达式为．点的坐标为．设点坐标为，分两种情况：若点位于点的上方，则．连结．．，，解得．点的坐标为．若点位于点的下方，则．同理可得，．点的坐标为．（4）作图痕迹如图③所示．由图③可知，点共有3个可能的位置．11、（2007浙江省）如图，抛物线与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2。