5.2.1平面向量加法1
平面向量的加法和减法
平面向量的加法和减法在数学学科中，平面向量是一个非常重要的概念。
它不仅在几何学中有广泛的应用，而且在物理学、工程学等领域也扮演着重要的角色。
平面向量的加法和减法是其中最基本的运算，本文将对这两个运算进行详细的解析和说明。
一、平面向量的加法平面向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
在平面直角坐标系中，向量可以用有序数对表示，即(x, y)。
假设有两个向量a和b，它们的坐标分别为(a₁, a₂)和(b₁, b₂)，则它们的和向量c的坐标为(a₁+b₁, a₂+b₂)。
例如，有向量a(2, 3)和向量b(4, -1)，它们的和向量c的坐标为(2+4, 3+(-1))，即c(6, 2)。
这意味着向量a和向量b的和向量c的起点与a的起点相同，终点与b的终点相同。
通过向量的加法，我们可以得到两个向量的合力向量。
合力向量的起点与第一个向量的起点相同，终点与第二个向量的终点相同。
这在物理学中有着重要的应用，例如计算物体在斜面上的合力。
二、平面向量的减法平面向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
在平面直角坐标系中，向量的减法可以通过向量的加法和取负得到。
假设有两个向量a和b，它们的坐标分别为(a₁, a₂)和(b₁, b₂)，则它们的差向量d可以表示为d = a - b = a+ (-b)，其中(-b)表示向量b的负向量，即(-b) = (-b₁, -b₂)。
例如，有向量a(2, 3)和向量b(4, -1)，它们的差向量d可以表示为d = a - b = (2, 3) + (-4, 1) = (-2, 4)。
这意味着向量d的起点与a的起点相同，终点与b的终点相同。
通过向量的减法，我们可以计算两个向量之间的距离和方向。
例如，若向量a表示一个物体的位移，向量b表示一个参考点的位置，那么向量d就表示物体相对于参考点的位移。
三、应用举例1. 平面向量的加法应用举例假设有一个飞机从A地飞往B地，然后从B地飞往C地。
人教版初三数学平面向量与向量运算
人教版初三数学平面向量与向量运算平面向量是数学中的重要概念，对于初中数学的学习来说，平面向量与向量运算是其中的关键内容。
本文将详细介绍人教版初三数学中关于平面向量与向量运算的知识点。
1. 平面向量的定义与表示方法平面向量是有大小和方向的量，可以用有向线段表示。
在坐标系中，平面向量a可以表示为(a, a)，其中a和a分别表示向量在a轴和a轴上的分量。
平面向量的起点是坐标原点，终点由分量确定。
2. 平面向量的运算2.1 向量的加法向量的加法定义为，对于向量a(a₁, a₁)和向量a(a₂, a₂)，它们的和可以表示为(a₁ + a₂, a₁ + a₂)。
具体而言就是将两个向量的分量进行相加即可。
2.2 向量的数乘向量的数乘定义为，对于向量a(a, a)和实数a，它的数乘可以表示为(aa, aa)。
即将向量的分量乘以实数即可。
3. 平面向量的表示方法3.1 分点表示法平面向量的终点a可以由起点a加上平面向量的表示得到。
例如，向量a的起点是a，终点是a，则a=aa。
3.2 坐标表示法在坐标系中，平面向量的起点是原点，终点由分量确定。
根据平面向量的定义，向量a(a, a)的起点是原点，终点是(a, a)。
4. 平面向量的运算性质4.1 交换律向量的加法满足交换律，即a + a = a + a。
这意味着向量的加法不依赖于顺序。
4.2 结合律向量的加法满足结合律，即(a + a) + a = a + (a + a)。
这意味着向量的加法不依赖于加法的分组方式。
4.3 数乘结合律向量的数乘满足结合律，即a(a + a) = aa + aa。
这意味着数乘与向量加法可以互相结合。
5. 平面向量的模与方向角5.1 平面向量的模平面向量的模表示了向量的大小，可以通过勾股定理计算得到。
对于平面向量a(a, a)，它的模表示为|a| = √(a² + a²)。
5.2 平面向量的方向角平面向量的方向角表示了向量与正a轴的夹角。
平面向量的加减法
，b＝ ，仍是零向量
a
(－a)＋a
－b
－a
0
向量减法的定义和法则
问题1：两个相反数的和为零，那么两个相反向量的和也为零吗？ 提示：是零向量． 问题2：根据向量加法，如何求作a－b? 提示：①先作出－b；②再按三角形或平行四边形法则进行．
向量的减法
(1)定义：a－b＝a＋ (－b) ，即减去一个向
量相当于加上这个向量的 相反向量
．
(2)几何意义：以O为起点，作向量 OA ＝
a， OB ＝b，则 BA ＝a－b，如图所示，即a－b可表示从
向量b的终点
指向 向量a的终点
的向量．
深化理解
1．向量的减法运算与向量的加法运算是互逆运算， 可以相互转化，减去一个向量等于加上这个向量的相反 向量．
2．两个向量的差也可用平行四边形法则及三角形法 则求得：用平行四边形法则时，两个向量也是共起点，
跟踪练习
1．在平行四边形ABCD中， AB ＋ CB － DC ＝
A． BC
B． AC
C． DA
D． BD
解析：如图∵ CB ＝ DA ， ∴ AB ＋ CB － DC ＝ AB ＋ DA － DC ＝ AB ＋ CA ＝ CA ＋ AB ＝ CB ＝ DA .
答案：C
()
2．如图，在四边形 ABCD 中，根据图示填空： a＋b＝____，b＋c＝____，c－d＝____， a＋b＋c－d＝____.
答案：4 km/h
2．如图，一架飞机从 A 地按北偏西 30°的方向飞行 300 km 后 到达 B 地， 然后向 C 地飞行．已知 C 地在 A 地北偏 东 60°的方向处，且 A，C 两地相距 300 km，求飞机从 B 地向 C 地飞行的方 向及 B、C 两地的距离．
平面向量的加法与减法运算
平面向量的加法与减法运算在平面向量的运算中，加法与减法是最基本的运算法则。
平面向量加法与减法的定义及运算规则如下：一、平面向量的定义在平面上，向量是由大小和方向确定的箭头表示，具有大小和方向的量。
平面向量用字母加箭头表示，如AB→，表示从点A指向点B的向量。
二、平面向量的加法运算1. 定义：对于两个平面向量AB→和CD→，可以将CD→放置在平面上的A点，使得它们有相同的起点，然后从A点指向D点，得到一个新的向量AD→。
AD→就是AB→与CD→的和，表示为AB→+CD→。
2. 运算规则：a) 加法的交换律：AB→ + CD→ = CD→ + AB→b) 加法的结合律：(AB→ + CD→) + EF→ = AB→ + (CD→ + EF→)c) 零向量的定义：零向量是指大小为0的向量，用0→表示，对于任意向量AB→，有AB→ + 0→ = AB→d) 反向向量的定义：对于任意向量AB→，存在一个与之方向相反但大小相等的向量，称为其反向向量，用-AB→表示，有AB→ + (-AB→) = 0→三、平面向量的减法运算1. 定义：对于两个平面向量AB→和CD→，可以将CD→取反，然后按照向量加法的规则，得到AB→ + (-CD→)，表示为AB→ - CD→。
2. 减法的运算规则：a) 减法的定义：AB→ - CD→ = AB→ + (-CD→)b) 减法的性质：AB→ - CD→ ≠ CD→ - AB→，减法不满足交换律。
四、示例分析1. 平面向量加法示例：设有向量AB→ = 3i + 4j和向量CD→ = -2i + 5j，其中i和j是单位向量。
AB→ + CD→ = (3i + 4j) + (-2i + 5j) = (3 - 2)i + (4 + 5)j = i + 9j2. 平面向量减法示例：设有向量AB→ = 3i + 4j和向量CD→ = -2i + 5j，其中i和j是单位向量。
AB→ - CD→ = (3i + 4j) - (-2i + 5j) = (3 + 2)i + (4 - 5)j = 5i - j五、平面向量的运算性质1. 平面向量加法满足交换律和结合律，即满足整个群论的要求。
(完整版)平面向量的加减法运算和数乘运算
注意：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a r 与b r 不共线时，a r +b r 的方向不同向，且|a r +b r |<|a r |+|b r |;（3）当a r 与b r 同向时，则a r +b r 、a r 、b r 同向，且|a r +b r |=|a r |+|b r |；当a r 与b r 反向时，若|a r |>|b r |,则a r +b r 的方向与a r 相同，且|a r +b r |=|a r |-|b r |，若|a r |<|b r |,则a r +b r 的方向与b r 相同，且|a r +b r |=|b r |-|a r |.2、向量加法的交换律：a r +b r =b r +a r3．向量加法的结合律：(a r +b r ) +c r =a r + (b r +c r )证：知识点二 向量的减法1．用“相反向量”定义向量的减法：“相反向量”的定义： 记作 规定：零向量的相反向量仍是零向量-(-a r ) = a r任一向量与它的相反向量的和是零向量a r + (-a r ) =0r如果a r 、b r 互为相反向量，则a r = -b r , b r = -a r , a r + b r = 0r向量减法的定义：向量a r 加上的b r 相反向量，叫做a r 与b r 的差，即：a r - b r = a r + (-b r )2．用加法的逆运算定义向量的减法：3．求作差向量：已知向量a r 、b r ，求作向量∵(a r -b r ) + b r = a r + (-b r ) + b r = a r +0r = a r减法的三角形法则作法：在平面内取一点O ， 作OA u u u r = a r , OB uuu r = b r , 则BA u u u r = a r - b r即a r - b r 可以表示为从向量b r 的终点指向向量a r 的终点向量知识点三 向量的数乘运算 1、定义：实数λ与向量a ρ的积是一个 ，这种运算叫做向量的数乘，记作： ，其长度与方向规定如下：（1）|λa ρ|=|λ||a ρ| （2）λ>0时λa ρ与a ρ方向相同；λ<0时λa ρ与a ρ方向相反；λ=0时λa ρ=02、运算定律 结合律：λ(μa ρ)=第一分配律：(λ+μ)a ρ= 第二分配律：λ(a ρ+b ρ)=3、向量共线定理。
平面向量的加减运算
平面向量的加减运算平面向量是数学中的重要概念，它在几何学和物理学等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍平面向量的加减运算，以及相关的性质和应用。
一、平面向量的表示方法平面向量的表示方法有多种，如AB、(AB)、A B⃗等。
其中，AB 表示由点A指向点B的有向线段，(AB)表示线段的名字，A B⃗表示向量的名字。
在本文中，我们将使用A B⃗来表示平面向量。
二、平面向量的加法平面向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
假设有向量A B⃗和向量C D⃗，它们的加法运算可以表示为A B⃗+C D⃗=E F⃗。
其中，E F⃗是向量A B⃗和向量C D⃗的和向量。
平面向量的加法运算有以下几个性质：1. 交换律：A B⃗+C D⃗=C D⃗+A B⃗，即向量的加法满足顺序交换的性质。
2. 结合律：(A B⃗+C D⃗)+E F⃗=A B⃗+(C D⃗+E F⃗)，即向量的加法满足结合的性质。
3. 对于向量A B⃗，存在一个特殊向量0⃗，使得A B⃗+0⃗=A B⃗。
其中，0⃗表示零向量，它的长度为0且方向任意。
三、平面向量的减法平面向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
假设有向量A B⃗和向量C D⃗，它们的减法运算可以表示为A B⃗-C D⃗=G H⃗。
其中，G H⃗是向量A B⃗减去向量C D⃗的差向量。
平面向量的减法运算可以通过加法运算来实现：A B⃗-C D⃗=A B⃗+(-C D⃗)，其中，-C D⃗表示向量C D⃗的相反向量，它的长度与方向与向量C D⃗相同，但方向相反。
平面向量的减法运算有以下几个性质：1. 减法的定义：A B⃗-C D⃗=A B⃗+(-C D⃗)。
2. A B⃗-A B⃗=0⃗，即一个向量减去它本身得到零向量。
四、平面向量的加减运算的应用平面向量的加减运算在几何学和物理学等领域有着广泛的应用。
以下是一些典型的应用案例：1. 平移变换：可以通过向量的加法实现平面上的点的平移变换。
平面向量的加法运算
向量加法在物理中的应用
力合成：将多个力合成为一个力便于分析和计算 速度合成：将多个速度合成为一个速度便于分析和计算 加速度合成：将多个加速度合成为一个加速度便于分析和计算 力矩合成：将多个力矩合成为一个力矩便于分析和计算
向量加法在解析几何中的应用
向量加法在直线方程中的应用
向量加法在空间直线方程中的应用
向量加法的三角形不等式性质是指对于任意两个向量和b有|+b|≤||+|b|
这个性质是向量加法的一个重要性质它反映了向量加法的线性性和可加性
这个性质在向量的运算和几何中的应用非常广泛例如在向量的合成、分解、投影等问题中都有 应用
这个性质还可以推广到更一般的线性空间中成为线性空间的一个基本性质
向量加法的应用
三角形法则
向量加法的三角形法则：将两个向量首尾相接从起点到终点的向量就是两个向量的和向量。
向量加法的三角形法则的证明：通过向量的平行四边形法则和向量的加法法则可以证明三角 形法则的正确性。
向量加法的三角形法则的应用：在解决实际问题时三角形法则可以简化计算过程提高计算效 率。
向量加法的三角形法则的局限性：三角形法则只适用于两个向量首尾相接的情况对于其他情 况需要采用其他方法。
向量加法的共线性质
向量加法满足交换律：+b=b+ 向量加法满足结合律：(+b)+c=+b+c) 向量加法满足分配律：*(b+c)=*b+*c 向量加法满足零向量性质：+0=
向量加法的平行四边形性质
向量加法满足平 行四边形法则
向量加法满足交 换律
向量加法满足结 合律
向量加法满足分 配律
向量加法的三角形不等式性质
030416§5.2平面向量的加法与减法
B
D
BD C
C A
C A
§5.02 平面向量的加法与减法
朝花夕拾 新课引入 新课讲解 典型例题 巩固练习 知识小结 作业
向量加法 (2)对任意向量a，b，则a b ？
设a AB,b CD 若a,b不共线，则
B B
C
D
A
A
C
D
§5.02 平面向量的加法与减法
朝花夕拾 新课引入 新课讲解 典型例题 巩固练习 知识小结 作业
（1）AB BC CD DE ？ AE （2）AB BC CD DA ？ 0 （3）（PO DM）（OD MP） ？ 0
例题 1 例题 2 例题 3 例题 4
§5.02 平面向量的加法与减法
朝花夕拾 新课引入 新课讲解 典型例题 巩固练习 知识小结 作业
练习：书P99~100 (做在书上)。
问题一、两个向量之间能不能进行运算？
引例1、英国飞人刘易斯在96年亚特兰大奥运会百米 决赛时平均速度达到了10米/秒，当时恰好刮 起了与运动员奔跑方向相同的风，风速达到 了2米/秒。问刘易斯的速度实际是多少？
若当时的风向是与运动员奔跑方向恰好成60 度，那么刘易斯的速度将是多少？
引例 1 引例 2
§5.02 平面向量的加法与减法
§5.02 平面向量的加法与减法
朝花夕拾 新课引入 新课讲解 典型例题 巩固练习 知识小结 作业
§5.02 平面向量的加法与减法
朝花夕拾 新课引入 新课讲解 典型例题 巩固练习 知识小结 作业
练习 1 练习 2 练习 3 练习 4
§5.02 平面向量的加法与减法
朝花夕拾 新课引入 新课讲解 典型例题 巩固练习 知识小结 作业
abc bc c
平面向量的加减法
[精解详析] 因为 a＋b＝ BA ，c－d＝ DC ， 所以 a＝ OA ，b＝ BO ，c＝ OC ，d＝ OD ；如图所示，作 平行四边形 OBEC，平行四边形 ODFA，根据平行四边形法则 可得：b－c＝ EO ，a＋d＝ OF .
跟踪练习
1．如图，已知正方形 ABCD 的边长等于 1，
An1 An A0 An ，这可以称为向量加法
例题讲解
[例1] 如图所示，
已知向量a，b，c试作出向量a＋b＋c.
[精解详析] 法一：如图 1 所示， 首先在平面内任取一点 O，作向量 OA ＝ a，再作向量 AB ＝b，则得向量 OB ＝a＋b； 然后作向量 BC ＝ c，则向量 OC ＝ (a＋ b)＋ c ＝a＋b＋c 即为所求．
AB ＝a， BC ＝b， AC ＝c，试作以下
向量并分别求模． (1)a＋b＋c； (2)a－b＋c.
解：(1)如图，由已知得：a＋b＝ AB ＋ BC ＝ AC ，又 AC ＝c， 延长AC到E， 使| CE |＝| AC |. 则a＋b＋c＝ AE ，且| AE |＝2 2. (2)作 BF ＝ AC ，连接CF， 则D、C、F共线， 则 DB ＋ BF ＝ DF ， 而 DB ＝ AB － AD ＝a－ BC ＝a－b， ∴a－b＋c＝ DB ＋ BF ＝ DF 且| DF |＝2.
例题讲解
[例 2] 化简或计算：
(1) CD ＋ BC ＋ AB ； (2) AB ＋ DF ＋ CD ＋ BC ＋ FA .
[精解详析] (1) CD ＋ BC ＋ AB ＝( AB ＋ BC )＋ CD ＝ AC ＋ CD ＝ AD . (2) AB ＋ DF ＋ CD ＋ BC ＋ FA ＝( AB ＋ BC )＋( CD ＋ DF )＋ FA ＝ AC ＋ CF ＋ FA ＝ AF ＋ FA ＝0.
平面向量的加减运算
平面向量的加减运算平面向量是表示平面上的有向线段的数学工具，常用于描述位移、速度、力等物理量。
在平面向量的运算中，加法和减法是最基本的操作。
1. 加法运算平面向量的加法运算是指将两个向量相加得到一个新的向量的操作。
设有向量A(A₁, A₂)和向量A(A₁, A₂)，则它们的和为向量A(A₁,A₂)，即：A = A + A = (A₁ + A₁, A₂ + A₂)2. 减法运算平面向量的减法运算是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量的操作。
设有向量A(A₁, A₂)和向量A(A₁, A₂)，则它们的差为向量A(A₁, A₂)，即：A = A - A = (A₁ - A₁, A₂ - A₂)在进行平面向量的加减运算时，我们可以利用向量的坐标表示进行计算。
具体操作如下：1. 给出需要进行加减运算的向量A和向量A的坐标表示。
2. 将两个向量的对应坐标进行相加（或相减），得到新的坐标。
3. 根据得到的新坐标，构造新的向量A（加法运算）或向量A（减法运算）。
4. 最后，将新的向量A（加法运算）或向量A（减法运算）的坐标表示写出，即完成了平面向量的加减运算。
补充说明：1. 在计算过程中，要注意坐标的顺序，确保符号对应正确。
2. 加法运算和减法运算可以通过相互转化来进行，即：A + A = A - ( - A)3. 若有多个向量进行加减运算，可以采用逐步进行的方法，先进行第一对向量的运算，然后将得到的结果与下一个向量进行运算，依次类推。
4. 在实际问题中，应用到向量加减运算时，可以结合图像进行解释和计算，更直观地理解向量的运算规律。
通过以上步骤，我们可以完成平面向量的加减运算。
在实际应用中，平面向量的加减运算常常用于解决平面几何和物理学中的问题，如位移、速度、力的合成分解等。
总结：平面向量的加减运算是指将两个向量相加或相减得到一个新的向量。
通过计算向量的各个坐标，然后进行相应的加减操作，我们可以得到最终的结果。
平面向量的加减运算
平面向量的加减运算平面向量是解决空间中物理量的运算问题的一种有效工具。
而对平面向量进行加减运算是解决实际问题的基础。
下面我们将介绍平面向量的加减运算的基本原理及相关例题。
一、平面向量的定义在二维平面上，平面向量可以表示为有方向和大小的箭头，通常用有向线段来表示。
平面向量的起点表示为点A，终点表示为点B，记作向量AB，即AB→。
二、平面向量的表示平面向量可以使用坐标系表示。
在平面直角坐标系中，向量AB的坐标表示为(AB的横坐标, AB的纵坐标)。
例如，向量AB的坐标为(3,4)，则表示向量AB的横坐标为3，纵坐标为4。
三、平面向量的加法1. 平面向量的加法定义设有两个平面向量AB→和CD→，它们的和向量记为AB→+ CD→，其定义为：以向量AB→的起点为起点，以向量CD→的终点为终点所得到的向量。
2. 平面向量的加法运算根据平面向量的加法定义，我们可以进行向量的加法运算。
例如，向量AB→的坐标为(3, 2)，向量CD→的坐标为(1, 5)，则向量AB→+ CD→的坐标为(3+1, 2+5)，即(4, 7)。
四、平面向量的减法1. 平面向量的减法定义设有两个平面向量AB→和CD→，它们的差向量记为AB→- CD→，其定义为：以向量AB→的起点为起点，以向量CD→的终点为终点所得到的向量。
2. 平面向量的减法运算根据平面向量的减法定义，我们可以进行向量的减法运算。
例如，向量AB→的坐标为(5, 3)，向量CD→的坐标为(2, 1)，则向量AB→-CD→的坐标为(5-2, 3-1)，即(3, 2)。
五、平面向量加减运算的性质1. 交换律：对于任意的平面向量AB→和CD→，有AB→+ CD→ = CD→+ AB→。
2. 结合律：对于任意的平面向量AB→、CD→和EF→，有(AB→+ CD→) + EF→ = AB→+ (CD→+ EF→)。
3. 加法逆元：对于任意的平面向量AB→，存在一个向量-AB→，使得AB→+ (-AB→) = (0, 0)，称为零向量。
平面向量的加减法
平面向量的加减法一、引言在数学中，向量是一个朝着特定方向的量，它有大小和方向两个属性。
平面向量可以按照特定的法则进行加减运算，这使得我们可以方便地处理平面上的各种几何问题。
本文将详细介绍平面向量的加减法，在探讨其原理和应用的基础上，给出一些实例进行解析。
二、平面向量的定义平面向量是指在平面上的一个有方向的线段，可以用一个箭头来表示。
平面向量通常用字母加上一个箭头表示，如a→和b→。
其中，线段的起点称为向量的起点，线段的终点称为向量的终点。
平面向量还可以用坐标表示，如向量a→可以表示为(a₁, a₂)。
三、平面向量的加法平面向量的加法是指将两个向量按照一定的法则相加得到一个新的向量。
对于平面向量a→(a₁, a₂)和b→(b₁, b₂)，它们的加法定义如下：a→ + b→ = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)换句话说，平面向量的加法就是将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。
这一法则也可以简单归纳为平行四边形法则。
1. 加法示例例如，对于平面向量a→(2, 3)和b→(4, -1)，它们的和可以计算如下：a→ + b→ = (2 + 4, 3 + (-1)) = (6, 2)四、平面向量的减法平面向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量的操作。
对于平面向量a→(a₁, a₂)和b→(b₁, b₂)，它们的减法定义如下：a→ - b→ = (a₁ - b₁, a₂ - b₂)换句话说，平面向量的减法就是将两个向量的对应分量相减得到一个新的向量。
1. 减法示例例如，对于平面向量a→(2, 3)和b→(4, -1)，它们的差可以计算如下：a→ - b→ = (2 - 4, 3 - (-1)) = (-2, 4)五、平面向量的性质平面向量的加法和减法满足一些性质，下面列举几个重要的性质：1.交换律：a→ + b→ = b→ + a→2.结合律：a→ + (b→ + c→) = (a→ + b→) + c→3.零向量：对于任意向量a→，都有a→ + 0→ = a→4.反向量：对于任意向量a→，都有a→ + (-a→) = 0→这些性质对于解题和简化计算过程是非常有用的。
平面向量的加法和减法运算
交换律：向量加法满足交换律，即a+b=b+a
向量加法的几何意义：表示平行四边形的对角线
向量加法的代数表示：表示两个向量的坐标之和
结合律：向量加法满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)
02
平面向量的减法运算
向量减法的定义
向量减法满足三角形法则，即任意两个向量的差等于第三个向量加上与第三个向量共线的向量
在物理中的应用
力的合成与分解
电磁学中的洛伦兹力
速度与加速度的合成与分解
力的平衡与扭矩
在解析几何中的应用
平面向量加法和减法在解析几何中用于表示点的移动和变化
平面向量加法和减法可以用于表示和解决一些几何变换问题，如平移、旋转等
平面向量加法和减法可以用于解决解析几何中的一些问题，如求交点、求轨迹等
平面向量加法和减法可以用于计算两点之间的距离和方向
在日常生活中的应用
物理中的向量加法和减法：解释力和运动的合成与分解
经济学中的成本和收益分析：通过向量加法和减法进行优化
地理学中的风向和风速测量：利用向量加法和减法计算风向角和风速大小
生物学中的遗传和变异研究：通过向量加法和减法分析基因型和表现型之间的关系
汇报人：XX
感谢观看
向量减法可以表示为连接起点和终点的有向线段
向量减法的结果与减数的方向有关
向量减法的运算律
பைடு நூலகம்
向量减法满足结合律：a-b-c=a-(b+c)
向量减法满足数乘分配律：λ(a-b)=λa-λb
向量减法满足向量的模运算律：|a-b|≤|a|+|b|
向量减法满足交换律：a-b=-b+a
03
《平面向量的加法》教案正式版
《平面向量的加法》教案正式版一、教学目标1. 让学生理解平面向量的加法概念，掌握平面向量加法的基本运算方法。
2. 培养学生运用向量加法解决实际问题的能力，提高学生的数学素养。
3. 通过对向量加法的学习，培养学生合作、探究、创新能力，提升学生的团队协作精神。
二、教学内容1. 平面向量加法定义2. 平面向量加法运算方法3. 向量加法的几何意义4. 向量加法在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：平面向量加法概念、运算方法及几何意义。
2. 教学难点：平面向量加法的运算规律及在实际问题中的运用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究向量加法的基本概念和运算方法。
2. 利用几何图形和实例，直观展示向量加法的几何意义和实际应用。
3. 组织小组讨论，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
五、教学过程1. 导入新课：回顾平面向量的基本概念，引导学生思考向量加法的意义。
2. 讲解向量加法定义：介绍平面向量加法的概念，解释向量加法的运算方法。
3. 演示向量加法运算：利用几何图形和实例，展示向量加法的几何意义。
4. 练习向量加法运算：布置适量习题，让学生巩固向量加法的基本运算方法。
5. 实际问题应用：引导学生运用向量加法解决实际问题，提高学生的应用能力。
6. 课堂小结：回顾本节课所学内容，强调向量加法的重要性和应用价值。
7. 布置作业：布置适量作业，巩固所学知识，提高学生的数学素养。
六、教学评价1. 评价目标：本节课结束后，学生能熟练掌握平面向量加法的基本概念、运算方法和几何意义，能运用向量加法解决实际问题。
2. 评价方法：（1）课堂提问：检查学生对向量加法概念和运算方法的理解。
（2）习题练习：评估学生运用向量加法解决问题的能力。
（3）小组讨论：观察学生在团队协作中的表现，评价其合作和创新能力。
七、教学资源1. 教学课件：制作涵盖向量加法概念、运算方法和几何意义的课件，以便于学生直观理解。
2. 习题库：准备一定数量的习题，涵盖各种类型的向量加法运算，以便于学生巩固所学知识。
平面向量的加减
平面向量的加减平面向量是指在二维平面上具有大小和方向的量，通常用箭头表示。
在平面向量的运算中，加法和减法是最基本且常见的操作。
本文将主要介绍平面向量的加法和减法，并提供相关的例题进行讲解。
一、平面向量的加法平面向量的加法可以理解为将两个向量按照一定规律进行合并的过程。
具体来说，对于两个平面向量A和B，它们的加法运算可以表示为A + B = C，其中C为两个向量相加得到的结果。
在平面向量的加法中，可以利用平行四边形法则或三角形法则来进行计算。
下面我们以平行四边形法则为例进行说明。
1. 平行四边形法则平行四边形法则是指将两个向量的起点放在同一点，然后将它们的向量箭头相连，形成一个平行四边形。
向量C的起点为平行四边形的共同起点，终点为与该点对应的平行四边形对角线的另一个端点。
图示如下：（插入平行四边形示意图）2. 平面向量的加法性质在平面向量的加法中，有以下几个性质：- 交换律：对于任意平面向量A和B，有A + B = B + A。
- 结合律：对于任意平面向量A、B和C，有(A + B) + C = A + (B + C)。
- 零向量：平面上的零向量O满足A + O = A，对于任意平面向量A。
二、平面向量的减法平面向量的减法可以理解为通过改变向量的方向和大小，使得两个向量相减得到一个新的向量。
具体来说，对于两个平面向量A和B，它们的减法运算可以表示为A - B = D，其中D为两个向量相减得到的结果。
在平面向量的减法中，可以利用向量加法的性质进行计算。
具体做法是将B取负后与A相加，即A - B = A + (-B)。
下面我们通过一个例题来进行说明。
例题：已知向量A = 3i + 2j，向量B = 5i - 4j，求向量C = A - B的结果。
解：首先将向量B取负得到-B = -5i + 4j，然后利用向量加法进行计算，有：C = A + (-B)= (3i + 2j) + (-5i + 4j)= (3i + (-5i)) + (2j + 4j)= -2i + 6j因此，向量C的结果为-2i + 6j。
平面向量的运算如何进行平面向量的加减乘除运算
平面向量的运算如何进行平面向量的加减乘除运算平面向量是描述平面上的有向线段的数学工具，具有大小和方向。
在平面向量的运算中，常见的操作包括向量的加法、减法、数量乘法和除法。
下面将详细介绍平面向量的运算方法。
一、平面向量的加法平面向量的加法是将两个向量的对应元素进行相加的运算。
设有向量A = (x1, y1)和向量B = (x2, y2)，则向量A和向量B的和为向量C = (x1 + x2, y1 + y2)。
例子：已知向量A = (1, 2)，向量B = (3, 4)，求向量A和向量B的和。
解：向量A和向量B的和为向量C = (1 + 3, 2 + 4) = (4, 6)。
二、平面向量的减法平面向量的减法是将两个向量的对应元素进行相减的运算。
设有向量A = (x1, y1)和向量B = (x2, y2)，则向量A和向量B的差为向量C = (x1 - x2, y1 - y2)。
例子：已知向量A = (1, 2)，向量B = (3, 4)，求向量A和向量B的差。
解：向量A和向量B的差为向量C = (1 - 3, 2 - 4) = (-2, -2)。
三、平面向量的数量乘法平面向量的数量乘法是指一个向量与一个实数的乘法运算。
设有向量A = (x, y)和实数k，则向量A乘以实数k的结果为向量B = (kx, ky)，即向量A的每个元素分别乘以实数k。
例子：已知向量A = (3, 4)，求向量A乘以实数2的结果。
解：向量A乘以实数2的结果为向量B = (2 × 3, 2 × 4) = (6, 8)。
四、平面向量的除法平面向量的除法并没有直接定义，因为除法运算在平面向量中没有明确的意义。
平面向量的运算主要是通过加法、减法和数量乘法来实现。
如果需要进行向量的除法运算，一般可以通过乘以倒数的方式来实现。
即将除法转化为乘法运算。
例子：已知向量A = (4, 6)，求向量A除以实数2的结果。
解：向量A除以实数2的结果可以通过将实数2转化为倒数的方式来实现，即向量A除以实数2可以表示为向量A乘以实数1/2。
5_2_1 向量运算
§5.2.1 向量运算
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
一、向量的概念 二、向量的线性运算
1
一、向量的概念
向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量).
表示法: 有向线段 M1 M2 , 或 a , 或a .
向量的模 : 向量的大小, 记作 M1M2 , 或 a , 或 a . 向径 (矢径): 起点为原点的向量.
a
.
总之:
a
a
运算律 : 结合律 分配律
(
a)
(
a)
a
( (a
)a
b)
a a
a b
11可aa见a;a ;
若
a
0,
则有单位向量
a
1
a.
因此
a
a
a
a
Page 7
定理1. 设 a 为非零向量 , 则
a∥b
b a ( 为唯一实数)
证: “ ”. 设 a∥b , 取 ＝± b a , a , b 同向时 取正号, 反向时取负号, 则 b 与 a 同向, 且
例1. 设 M 为 ABCD 对角线的交点, AB a , AD b ,
试用 a 与 b 表示 MA, MB , MC , MD .
解: a b AC 2 MC 2 MA
D
C
b a BD 2 MD 2 MB
b
MA
1 2
(
a
b)
MB
1 2
(
b
a
)
A
MC
1 2
(
a
b
)
MD
1 2
(
平面向量的加减
平面向量的加减在几何学中，平面向量是一种用箭头来表示的量，具有大小和方向。
平面向量可以进行加减运算，用于描述物体在平面上的位移、速度、力等。
本文将详细介绍平面向量的加减运算及其相关性质。
一、平面向量的表示平面向量可以用有序数对表示。
设有一点A(x₁, y₁)和原点O(0, 0)，则点O到点A的位移向量可以表示为：→OA = (x₁, y₁)其中，(x₁, y₁)是向量的坐标表示形式。
二、平面向量的加法对于两个平面向量→OA = (x₁, y₁)和→OB = (x₂, y₂)，它们的加法可表示为：→OA + →OB = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)即将两个向量的横坐标分量相加，纵坐标分量相加。
三、平面向量的减法对于两个平面向量→OA = (x₁, y₁)和→OB = (x₂, y₂)，它们的减法可表示为：→OA - →OB = (x₁ - x₂, y₁ - y₂)即将第二个向量的横坐标分量取相反数，然后与第一个向量的横坐标分量相加；纵坐标分量同理。
四、平面向量的性质1. 交换律：平面向量的加法满足交换律，即→OA + →OB = →OB + →OA。
2. 结合律：平面向量的加法满足结合律，即(→OA + →OB) + →OC = →OA + (→OB + →OC)。
3. 零向量：零向量的坐标表示为(0, 0)，对于任意平面向量→OA，有→OA + (0, 0) = →OA。
4. 负向量：对于平面向量→OA，它的负向量表示为-→OA，满足→OA + (-→OA) = (0, 0)。
五、平面向量的图示表示通过箭头在平面上的长度和方向来表示平面向量。
长度代表向量的大小，箭头方向代表向量的方向。
可以利用向量的图示来计算和表示平面向量的加减运算。
六、平面向量的应用平面向量的加减运算在物理学、工程学等应用中有着广泛的应用。
例如，速度可用平面向量表示，速度的加减运算可以通过平面向量的加减运算来实现。
七、小结本文介绍了平面向量的加减运算及其相关性质。
平面向量的加法PPT课件
力的合成与分解
通过向量加法，可以计算多个力的合 力或分力，从而解决与力相关的物理 问题。
速度和加速度的合成
在运动学中，向量加法用于计算物体 在多个方向上的速度和加速度，以解 决运动问题。
解决数学问题
向量模的计算
向量加法可以用于计算向量的模，即向量的 长度或大小。
02 向量加法的坐标表示
坐标表示的定义
总结词
坐标表示是平面向量加法中的一种重要方法，通过坐标系将向量表示为坐标形式 ，进而进行向量的加法运算。
详细描述
在平面直角坐标系中，任意一个向量$overrightarrow{AB}$可以表示为从原点$O$ 到点$B$的有向线段，记作$(x_2-x_1, y_2-y_1)$，其中$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$ 分别是点$A$和点$B$的坐标。
结合律
总结词
向量加法的结合律是指向量的加法满足 结合性，即改变向量的加法括号，结果 不变。
VS
详细描述
结合律也是向量加法的基本性质之一，表 示向量加法不依赖于括号的组合方式。设 $vec{A}$、$vec{B}$和$vec{C}$为任意 三个向量，则有$(vec{A} + vec{B}) + vec{C} = vec{A} + (vec{B} + vec{C})$。
坐标表示的几何意义
总结词
坐标表示不仅将向量数量化，还揭示了向量的方向和大小。
详细描述
在坐标系中，向量的坐标表示形式不仅包含了向量的长度信 息（即模长），还包含了向量的方向信息。例如，向量$(3, 4)$和$(-3, -4)$的模长相等，但方向相反。
坐标表示的性质
平面向量的加法和减法
平面向量的加法和减法在平面几何中，平面向量是研究问题的有力工具。
平面向量的加法和减法是其中最基本和常用的运算，它们在求解平面几何问题中起着重要的作用。
本文将详细介绍平面向量的加法和减法。
一、平面向量的表示方法平面向量可以用有向线段来表示，有向线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小。
平面向量通常用大写字母加箭头符号来表示，例如`AB→`表示从点A到点B的向量。
向量的起点称为原点，终点则表示向量所在的位置。
向量也可以用坐标表示，其中横坐标和纵坐标分别表示向量在x轴和y轴上的投影长度。
二、平面向量的加法向量的加法即将两个向量相加得到一个新的向量。
给定向量`AB→`和`CD→`，它们的加法可以通过将向量的起点与终点相连来实现。
连接起点A和终点D可以得到向量`AD→`，它就是向量`AB→`与`CD→`的和，即`AB→`+`CD→`= `AD→`。
三、平面向量的减法向量的减法即将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
给定向量`AB→`和`CD→`，它们的减法可以通过将向量的起点与起点、终点与终点相连来实现。
连接起点A和起点D可以得到向量`AD→`，它就是向量`AB→`与`CD→`的差，即`AB→`-`CD→`= `AD→`。
四、平面向量的运算性质平面向量的加法和减法满足以下性质：1. 交换律：`AB→`+`CD→`= `CD→`+`AB→`2. 结合律：`AB→`+(`CD→`+`EF→`) = (`AB→`+`CD→`)+`EF→`3. 零向量：对于任意向量`AB→`，都有`AB→`+`0→`= `AB→`4. 负向量：对于任意向量`AB→`，存在一个向量`BA→`，使得`AB→`+`BA→`=`0→`五、平面向量的应用举例平面向量的加法和减法在求解平面几何问题中有广泛的应用。
以下是一些实际问题的例子：1. 三角形求面积：已知三角形的两条边向量`AB→`和`AC→`，可以通过向量的叉积求得三角形的面积。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(2)(MA BN) ( AC CB) ；(3) AB (BD CA) DC . 解： (1) AB CD BC
( AB BC) CD AC CD AD .
b
c
如果我们把这组平行向量的起点全部移到同一点O，
这时各向量的终点都在同一条直线上．
因此，我们把平行向量又叫做共线向量．
.
l
C
O
BA
二. 向量加法的定义 1. 引入
(1).某人从A到B,再从uuBur 按u原uur来的方向到C, 则两次位移的和 AB BC __A_C____
A
C
(2).飞机从A到B,再改uu变ur 方u向uur从B到C, 则两次位移的和 AB BC __A_C____
uuur uuur uuur uuur (2)(MA BN ) ( AC CB)
uuur uuur uuur uuur
(MA AC) (CB BN ) MC CN MN .
uuur uuur uuur uuur (3) AB (BD CA) DC
( AB BD) (DC CA) AD DA 0 .
例1 已知向量a、b（如图），求作向量a b.
作法：在平面内任取一点O , 作OA a, AB b,
则 OB ＝ a b .
.
O
A
a
b a
ba ba
ba
ba
a bb
b
b
b
b
b
bb
b
b
B
练习1.如图,已知 a b 用向量加法的三角形法
则作出 a b
（1）
a
b ab
（2）
b
b
1A2 An2 An1 An1An A0 An A1A2 A2 A3 An1An An A1 0
口诀：首尾相接首尾相连.
练习3.根据图形填空
C D
dc
O
(1) a + d = DA
ab
(2) b + c = CB
A
B
练习4.根据图示填空
E eD
(1)a b c
向线段的起点和终点字母表示， 如AB . （3）模的概念：向量AB 的大小即向量 AB 的长度称为向量的模.
记作：|AB |
向量的一些概念 ： （1）长度为零的向量叫什么向量？如何表示？长度为1的向量
叫做什么向量？是不是只有一个？
答： 长度为 0的向量叫做 零向量，记作 0 .
长度等于 1 个单位长度 的向量，叫做 单位向量，有许多个，
gf
d (2)c d f
c C (3)a b d f
A
a
b (4)c d e g
B
例3：如图，一艘船从A点出发以2 3 km h的速度向垂直于对岸
的方向行驶，同时河水的流速为2 km h，求船实际航行速度的 大小和方向。（用与流速间的夹角表示）
边形法则作出 a b
（1）
b
ab
ba
（2）
b
a
ab
a
三、性质
a
rr rr (1) 交换律 : a b b a b a b b
r r r r r ar (2) 结合律 : (a b) c a (b c)
abc
c
ab
ab
abc
c
bc
ab
由于向量的加法满足交换律与结合律，因此，多个向 量的加法运算就可按照任意的次序与任意的组合来进行.
（3）
ab b
a
b
（4）
ab a b
b
3、平行四边形法则
Db C
a a a a a a a a a a a+b
bb
b
A
b
b
a
B
作法:(1)在平面取一点A
(2)以点A为起点以向量a、b为邻边作平行 四边形ABCD.即AD＝BC＝a, AB=DC=b
（3）则以点A为起点的对角线AC＝a+b
练习2.如图,已知 a b 用向量加法的平行四
C
A (3).
船的速度是uBAuBur
,水流的速度是
BC
B
C
则两个速度的和
AB BC __A__C___
A
2、向量的加法：
(1)定义：求两个向量和的运算叫向量的加法.
(2)图示：
A
B
a a a a a a a a aa
b
b b b bO b
b
bb
a+b
(3)作法 uu①ur 在r平u面uur内任r 取一点O uuur r r ②作OA a, AB b ③则向量OB a b
5.2 向量的加法与减法（1）
一、复 习：
（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量.
B
（2）表示方法：
①几何表示法：有向线段．
A
有向线段——在线段的两个端点中，规定一个顺序，假设起点 为 A ，终点为 B ，则称线段AB具有方向，这种具有方向的线段叫 做有向线段，记作 AB .
有向线段包含三要素：起点、方向、长度. ②字母表示法：用 a、b 、c等小写字母表示；或用表示有
这种作法叫做三角形法则
特例：
abaaaaaab b b b
A
B
bbbbbaabaaaaa
C
CA
B
AC a b
方向相同
AC a b 方向相反
问：两个向量的和仍是一个向量吗？ 它的大小如何？方向怎样？
答：当向量 a 与 b 不共线时，a b 的方向 与 a 、b 都不相同，且 | a b | | a | | b | . 当向量 a 与 b 同向时，a b 的方向 与 a 、b 都同向，且 | a b | | a | | b | . 当 a 与 b 反向时 (设 | b | | a |)，a b 的方向 与 b 同向，且 | a b | | b | | a | . 对于零向量与任一向量 a ，有 a 0 0 a a
每个方向都有一个．
（2）满足什么条件的两个向量是相等向量？符号如何表示？ 单位向量是相等向量吗？
答：若两个向量大小相等且方向相同,那么这两个向量叫做相等向量.
向量 a 与 b 相等，记作 a b .单位向量不一定是相等向量，单位向
量的方向不一定相同．零向量与零向量相等 . 任意两个相等的非零向 量，
都可以 用同一条有向线段来表 示，并且与 有向线段的起点无关 .
（3）有一组向量，它们的方向相同或相反，那么这组向量有 什么关系？符号如何表示？什么叫共线向量？与平行向量有何关系？
答：平行. 我们把方向相同或相反的向量叫做平行向量.
向量 a 、b 、c 平行，记作 a // b // c .
a
规定 0 与任一向量平行 .