大学物理波动理论及习题

波速:
大学物理学 振动和波动
例题2: 一平面简谐波在介质中以速度 u=20m/s,沿Ox轴的 负向传播. 已知A点的振动方程为y=3cos4t, 则(1)A点为坐 标原点求波动方程; (2)以距A点5m处的B为坐标原点求波 动表达式. y y’ 解: u x
y 3 cos 4π ( t
20
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波的能量密度和能流密度
能量密度: 单位体积中波的能量 dE x 2 2 2 w A sin (t ) dV u
1 平均能量密度: w T
0
T
1 2 2 wdt A 2
平均能流 : 单位时间内垂直通过某一面积 的平均能量 .
u
ut
S
P w uS
解:
P w uS
u
l
T
T
P
2π

2π wS
u
l
2π
l
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§4-8 波的干涉和波的衍射
衍射 : 波在传播的过程中遇到障碍 物或小孔后, 能够绕过障碍物的边缘 继续传播的现象.
隔 墙 有 耳
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惠更斯原理 介质中波传播到各点,可看作是发射子波的 波源 , 在其后的任一时刻 , 这些子波波面的 包迹决定了原波动的新波前.
能流密度(波的强度): 单位时间内流过垂直于传播方向单位 面积的波的平均能量.
P 1 I w u uA2 2 S 2
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例题4: 在截面积为S的圆管中, 有一列平面简谐波, 其波动 的表达式为 2πx y A cos(t )
l
管中波的平均能量密度为 w , 则通过截面 S 的平均能流是 多少？
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x1 x0 0.01 2π l 1 1 u 0.02 m s T 2s π s T u t 12 π 原点振动表达式: y0 A cos( t ) 初始条件: 2 x π ) ] (m) 波动表达式: y 0.01cos[ π ( t 0.02 2 0.01 π ) ] 0.01cos πt (m) 可得题解: yA 0.01cos[ π ( t 0.02 2
) ( m)
B
A
x
B点为原点的波动表达式: 波源坐标为:
x0 5m
x 5 y ' 3 cos 4π (t ) (m) 20
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例题3: 有一平面简谐波沿Ox轴方向传播,在距反射面B为L 处的振动规律为 y =Acost, 设波速为u, 反射时无半波损失, 求入射波和反射波的波动表达式. 解: 入射波表达式:
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相干波的干涉加强和减弱条件
y1S A10 cos( t 1 )
y2S A20 cos( t 2 )
y1P A1 cos( t 1
y2 P A2 cos( t 2
S1
r1 r2
P
2π r1
2π r2
l
)
)
S2
yP y1P y2P A cos( t )
1. 当 x = x0(常数)时, 表示x0处质元的振动方程,
x0 y (t ) A cos t u
2. 当 t = t0(常数)时, 表示各质元的位移分布函数,
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x y ( x) A cos t0 u
u
l
T
nT
or l uT
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关于波速
1. 波速是振动能量或振动形式的传播, 非质点的振动速度. 2. 影响波速的因素: 介质的特性(弹性模量,介质的密度等). 拉紧的绳或弦中,横波的速度: u 固体中,横波的速度: u
G
FT
l

纵波的速度: u
B
Y

液体和气体内部只能传播纵波, 其速度: u 3. 波速与频率无关.
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波的能量 波动的过程是能量 传播的过程. 波动表达式:
x y A cos (t ) u
dm Sdx
1. 介质元的能量
dV Sdx
质元的振动动能:
1 dEk dm v 2 2 y x v A sin (t ) t u
描述波动的物理量
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波长 l —— 振动状态完全相同的相邻两质点之间的距离. 周期 T —— 波形移过一个波长所需的时间. 1 频率 n —— 周期的倒数. n T 波速 u —— 单位时间内振动状态(振动相位)的传播速度, 又称相速. 机械波速取决于弹性介质的物理性质.
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y 1 y 2 2 2 x u t
—— 平面波的波动方程
可以证明对于无吸收的各向同性的均匀介质, 在三维空 间传播的一切波动过程都满足下列方程: 2 2 2 1 2 2 (ξ: 质点的位移) 2 2 2 x y z u t 2
2π y A cos t ( x x0 ) l
说明: 1. “” 反映波的传播方向. 相位和波程关系: 2. x0 是波源坐标. 3. 是波源的振动初相位.

u
2π
l

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波函数的物理意义
x y ( x, t ) A cos t u
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§4-5 机械波的产生和传播
振动和波动
振动: 于平衡位置, 无随波逐流. 波动: 振动的传播过程.
波动的种类 电磁波: 交变电磁场在空间的传播过程
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机械波: 机械振动在弹性介质中的传播过程
物质波: 微观粒子的运动，其本身具有的波粒二象性 波动的共同特征 具有一定的传播速度, 且都伴有能量的传播. 能产生反 射、折射、干涉和衍射等现象. 机械波产生的条件 1. 波源 —— 被传播的机械振动 . 2. 弹性介质 —— 任意质点离开平衡位置会受到弹性力作 用. 在波源发生振动后, 因弹性力作用,带动邻近的质点 也以同样的频率振动. 如此将振动传播出去. 故机械振动 只能在弹性介质中传播.
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1 dEk dm v 2 2
y x v A sin (t ) t u
1 x 2 2 2 质元的振动动能: dEk ( dV ) A sin (t ) 2 u
1 x 2 2 2 质元的弹性势能: dE p ( dV ) A sin (t ) 2 u
dEk dEp
体元的总能量:
x dE dEk dEp dVA sin (t ) u
2 2 2
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说明: 1. 介质元的动能、势能变化是同周期的, 而且相等. 2. 峰值处: Ek=Ep=0 ; 平衡位置处 y=0, Ek=Ep max
3. 介质元的机械能不守恒 , 因为它属于开放系统, 与相邻 介质元有能量交换.
波线、波面和波阵面
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从波源沿各传播方向所画的带箭头的线 , 称为波线, 用 以表示波的传播路径和传播方向. 波在传播过程中, 所有振动相位相同的点连成的面, 称 为波面. 最前面的那个波面称为波阵面(波前). 平面波 波阵面 波线 波面 波阵面 球面波
波线
波面
• 波在传播过程中波面有无穷多个. • 在各向同性介质中波线和波面垂直.
xL L 反射波表达式: y A cos ( t ) u u x 2L A cos ( t ) u u
x y A cos ( t ) u L y B A cos ( t ) u
u
u
B x
O
x
L
波动方程 x 波动表达式: y A cos[ (t ) ] u y x 质点的振动速度: v A sin[ (t ) ] t u x v 2 y 2 质点的振动加速度 : a 2 A cos[ (t ) ] t t u 2 x 2 y A 2 cos[ (t ) ] 2 u 2 2 u x
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波的干涉 满足一定条件的两列 (或多列 )波在空间相遇(叠加),在空 间的某些地方振动始终加强 , 而在空间的另一些地方振动 始终减弱或完全消失的现象, 称为波的干涉. 相干条件:
(1) 频率相同; (2) 振动方向相同; (3) 有恒定的相位差. 相干波: 能产生干涉现象的波.
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3. 波形图分析: ①图中x1和x2两质点的相位差:
y
A
O x1
u λ
x2
x1 y1 A cos t ( ) u x2 y2 A cos t ( ) u x2 x1 2 1 u u Δx 2π Δ 2 1 Δx u l

波速由弹性介质性质决定 , 频率(或周期)则由波源的振 动特性决定.
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§4-6 平面简谐波
在平面波传播的过程中 ,若介质中各质元均作同频率同 振幅的简谐运动, 称平面简谐波. 波函数的建立 波函数(或称波动表达式): 描述波传播到的各点的质点 的振动状态. 设 y 方向振动的平面简谐 波沿x方向传播, 传播速度为 u, 有
横波和纵波 横波: 质点的振动方向和波动的传播方向垂直.
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特征: 波峰和波谷 纵波: 质点的振动方向和波动的传播方向相平行. 特征: 稀疏和稠密 • 在机械波中,横波只能在固体中出现. • 纵波可在气体、液体和固体中出现. • 空气中的声波是纵波. • 液体表面的波动情况较复杂,不是单纯的纵波或横波.。
x y A cos t u
若波沿x轴的负向传播, 则P点相位比O点相位超前t=x/u, 则
x y A cos t u
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波动表达式的一般形式
x x0 y A cos t u
波前 子波
子波波源
波 的 折 射
波 的 反 射
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波的叠加原理 波的干涉 1. 波传播的独立性原理: 若干列波在传播过程中相遇 , 每列波仍将保持其原有的振动 特性(频率,波长,振幅,振动方向), 不受其它波的影响. 2. 波的叠加原理: 在相遇区域内,任 一质元振动的位移 是各列波单独存在 时在该点引起的位 移的矢量和.
y f ( x, t )
简谐波的频率等于波源的 振动频率.
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若波源(x=0)的振动表达式为:
y0 A cos t
P点的振动表达式:
x yP A cos t u
t=x/u时, P点的振动状态与O点t=0时的状态相同. P为任意 点, 所以波动表达式为:
振幅: A
l
A12

2 A2
2 A1 A2 cos[1 2
2 r1
2π
l
(r1 r2 )]
)
初相: tan
x
A:振幅; :波长
y
A O x1
u λ
x2
x
u△t
②经一段时间后, 波形图沿波速方向平移. ③各质点的振动速度的方向如图.
例题1: 已知t=0时的波形曲线为I, 波沿x方向传播, 经 t=0.5s 后波形变为曲线II. 已知波的周期 T > 1s, 试根据图中绘出 的 条 件 求 出 波 的 表 达 式 , 并 求 A 点 的 振 动 表 达 式 .( 已 知 y(cm) A=0.01m) II I A 解: A 0.01m 5 6 l 0.04m 1 2 3 4 x(cm)