三角形面积公式余弦定理
应用三角形的原理
应用三角形的原理
三角形的原理有很多，其中一些主要的原理如下：
1. 三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和恒为180度。
2. 直角三角形的勾股定理：直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。
3. 三角形的面积公式：三角形的面积等于底边乘以高的一半。
4. 三边不等式：在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
5. 角平分线定理：三角形中一条角平分线把对边分成一定比例。
6. 外角定理：三角形的一个外角等于其不相邻的两个内角之和。
7. 正弦定理：在一个三角形中，三角形的某一边的长度与对应的角的正弦值成正比。
8. 余弦定理：在一个三角形中，三角形的某一边的长度与其余两边的长度及夹角的余弦值有关。
以上是一些常见的三角形原理，应用这些原理可以进行三角形的计算、证明等操作。
高三第一轮复习正弦定理、余弦定理与三角形面积公式
解斜三角形正弦定理、余弦定理与三角形面积公式【提纲挈领】主干知识归纳ABC 的6个基本元素： a,b,c,A,B,C .其中三内角 A,B,C 所对边边长分别为 a,b,c .1．正弦定理变式： a 2Rsin A,b2Rsin B,c 2RsinC2．余弦定理3. 三角形面积公式12ac sin B 2R sin A sin B sinC.2（ 2 ）秦九韶 —海伦公式： S ABC 方法规律总结1. 基本量观念： ABC 的 6个基本元素： a,b,c,A,B,C ．已知三个基本量（至少一个为边）确定一个 三角形，正余弦定理是“量化”依据，是初中全等三角形判定定理由定性向定量的转换 .2. 方程观念： 正余弦定理和面积公式是方程的粗坯， 是解三角形的依据， 从三角形 6 个基本元素来说是“知 三求三” .有两条主线：一是统一为边（消角）的关系，归结为边为元的代数方程；二是统一为角（消边） 的关系，归结为三角方程 . 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理 更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的 正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．3. 转化思想：利用正余弦定理实现边角间的相互转化 .4. 利用正弦定理解三角形主要是以下两类： （1）已知两边和一对角； （2）已知两角和一边 . 利用余弦定理解三角形主要是以下两类： （1）已知三边；（ 2）已知两边及其夹角 . 对于复杂问题需综合利用正余弦定理实现边角关系向统一转化 .【指点迷津】【类型一】定理的推导与证明【例 1】（2011 陕西理 18）叙述并证明余弦定理 .【解析】 : 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦之积 的两abc sin A sin B sinC2R （其中 R 是 ABC 的外接圆的半径）a 2b 2c 222bc cos A ，b 2c 2 a 22ca cos B ， c 2a 2b 22abcosC .变式：cosA2 2 2b c a,cosB2bc a 2 b 2,cosC2acb 22ab1 )S ABC11ab sin C bcsin A22p(p a)(p b)(p c),其中 pabc 2倍.或：在ABC 中，a,b,c 为A,B,C 的对边，有a 2b 2c 2 2bc cos A 2 2 2b ac 2ac cos B 2 2 2ca b2ab cosC证法一 如图uuuv uuuv BCuuuv uuuv uuuv uuuv(AC AB)?(AC AB)uuuv 2 uuuv uuuv uuuv 2 AC 2AC?AB ABI )证明： sinB cosA ；3(II) 若sinC sin A cosB ，且 B 为钝角，求 A,B,C .4 sinA sin A以 sinB cosA ；(II)解析】 :(I )由题根据正弦定理结合所给已知条件可得 ，所uuuv 2 ACuuu v ACuuuvAB COSA uuu v 2AB22b 22bc cos A c 22 2 2即 a b c 2bc cos A2 2 2同理可证 b a c 2ac cos B2 2 2c a b 2ab cosC证法二 已知 ABC 中 A,B,C 所对边分别为 a,b,c, 以 A 为原点， AB 所在直线为 x 轴，建立直角坐标 系，则 C(bcosA,bsinA),B(c,0) ,2 2 2 2a 2 BC 2 (bcosA c)2 (bsin A)2b 2 cos 2 A 2bc cos A c 2 b 2 sin 2 A 2 2 2b ac 2ac cos B同理可证2 2 2 b c a 2ca cosB, c 2 a 2 b 2 2ab cosC.类型二】解三角形例 1】【 2015 湖南，文 17】设 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,abtanA .cosA sinB43 2 3 根据两角和公式化简所给条件可得 sinC sin AcosB cosAsin B，可得 sin 2 B ，结合 44所给角 B 的范围可得角 B,进而可得角 A, 由三角形内角和可得角 C.答案】（I ）略； （II ） A 30o ,B 120o ,C 30.o例 2】［2014·辽宁卷］ 在△ ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 a>c.已知BA ·BC ＝2，cosB1 ＝31，b ＝ 3.求：(1)a 和 c 的值； (2)cos(B －C)的值． → →1 ［解析 ］： (1)由 BA ·BC ＝2 得 c ·a ·cos B ＝ 2，又 cos B ＝ 3，所以 ac ＝6.由余弦定理，得 a 2＋c 2＝b 2＋2accos B ，又 b ＝3，所以 a 2＋ c 2＝ 9＋2× 2＝ 13.ac ＝ 6， a ＝ 2 ， a ＝ 3，解2 2 得 或a 2＋ c 2＝ 13， c ＝ 3 c ＝ 2. 因为 a >c ，所以 a ＝ 3，c ＝ 2.sin B ＝ 1 － cos 2B＝sin C ＝c 2·2 2＝ 4 2sin C ＝b sin B ＝3· 3 ＝9因为 a ＝b >c ，所以 C 为锐角，求 AD 的长 .(2)在△ ABC中，由正弦定理，得 因此所以cos （B －C ）＝cos Bcos C ＋sin Bsin C ＝13×79＋ 2 2 4 2 23 × ＝.3 9 27.[答案 ](1)a ＝3，c ＝2.(2)23. 27.例3【】2015安徽，理16】在 ABC 中，A3,AB6,AC3 2 ,点 D 在 BC 边上， AD BD ，22 3cos C ＝ 1－sin 2C ＝ 4 2 2＝ 7.9＝9.3答案】 10 类型三】三角形的面积【例 1】（2013年课标Ⅱ卷（文））△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 已知 b=2,B= ,C= , 则△ ABC D ． -1的面积为A．() 2 +2B． +1C． 2 - 2【解析】： 由正弦定理有 2cc 2 2，又sin Asin[( )] 2 6 ，6 4 4sin sin6 4所以 S ABC 1 bcsin A 1 2 2 2 2 6 3 1. 2 2 4 答案： B例 2】【2015 天津，理 13】在 ABC 中，内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，已知 ABC 的面 积为 3 15 ， b c 2,cos A 1, 则 a 的值为4【答案】 8【例 3】［2014·新课标全国卷Ⅰ ］ 已知 a ，b ，c 分别为△ ABC 三个内角 A ，B ，C 的对边， a ＝2，且（2＋b ）·（sin A －sin B ）＝ （c － b ）sin C ，则△ ABC 面积的最大值为 ．［解析］: 根据正弦定理和 a ＝2可得（a ＋b ）（a －b ）＝（c －b ）c ，故得 b 2＋ c 2－ a 2＝ bc ，根据余弦定理得 cos A ＝ b 2＋ c 2－ a 2 1 π b2bc ＝12，所以A ＝3.根据b 2＋c 2－a 2＝bc 及基本不等式得 bc ≥2bc －a 2，即bc ≤4，所以△ ABC 面积 2bc 2 3 的最大值为 1× 4× 3＝ 3.22答案： 3 【同步训练】【一级目标】基础巩固组 一、选择题b c ，则 b （ ）答案】的面积是 （答案： C13. 在△ABC 中，角 A 、B 、C 所对应的边为 a,b,c ，若 cosA,b 3c ，则sinC 的值为（）1设C 的内角 ， C 的对边分别为 a ， b ， c ．若2 ， c 23 ， cos3，且2解析】 由余弦定理得：B ．2C ．22 D ．3即b 26b 80 ，解得： b 2 c 22bc cos 2，所以b 2 2 3 2b 2 或b 4 ，因为 bc ，所以 b 2 ，故选 B ．2.[2014 江·西卷 ] 在△ABC 中， 内角 A ，B ， C 所对的边分别是 a ， b ，c.若 c 2＝（a －b ）2＋6， πC ＝ 3 ，则△ABCA ．3B.9 23C.3 3C. 2D ． 3 3解析】：由余弦定理得， cos C ＝a ＋b －c ＝2ab －6＝12，所以2ab2abab ＝6，所以 S △ ABC ＝ 21absin C ＝ 3 2 3312223 A ．BC ．D.33 33【解析】：由 cosA 1,b33c及a2 b2 c 22bccosA,得a 2 b 2 c 2故△ABC 答案： A 是直角三角形，且 B , 所以 sinC21 cosA . 34． [2014 ·新课标全国卷Ⅱ ] 钝角三角形 ABC 的面积是 12，AB ＝1，BC ＝ 2，则 AC ＝( )A ．5B. 5C ．2D ． 1【解析】：根据三角形面积公式， 得 21BA ·BC ·sin B ＝21，即12× 1× 2×sin B ＝ 12，得 sin B ＝ 22，其中C<A. 若 B 为锐角，则 B ＝ π4 ，所以 AC ＝ 1＋2－2×1× 2× 22＝1＝AB ，易知 A 为直角，此时△ ABC 为直角三角形，所以 B 为钝角，即 B ＝ 34π，所以 AC ＝ 1＋2－2×1× 2× － 22 ＝ 5. 答案： B的面积为答案： D 二、填空题【答案】 77．【 2015北京，理 12】在△ABC 中， a 4，答案】 1→ → π8． [2014·山东卷] 在△ABC 中，已知AB ·AC ＝tan A ，当 A ＝ 时，△ ABC 的面积为 ______ 65．在 OAB 中，OA (2cos,2sin ),OB (5cos ,5sin )，若 OAOB5，则 OAB3 B ．2C ． 5 353 D.2解析】：由条件知 OA2,OB5,cos AOB1,所以 2SOAB2553 26．【 2015福建，理 12】若锐角 ABC 的面积为 10 3 ，且 AB5,AC，则 BC 等于b 5，c 6，则 sin2A sinC→ → π → → 2解析】：因为AB ·AC ＝|AB |· |AC|cos A ＝tan A ，且A ＝6，所以|AB|·|AC|＝32，所以△ABC 的面积 S1 → → 12 π1 ＝2|AB|·|AC|sin A ＝2×3×sin 6＝6答案： 16三、解答题29．【 2015新课标 1，文17】已知 a, b, c 分别是 ABC 内角 A,B,C 的对边， sin 2B 2sin AsinC . I ）若 a b ，求 cosB; II ）若 B 90o ，且 a2, 求 ABC 的面积 .2【解析】 :（I ）先由正弦定理将 sin 2B 2sin AsinC 化为变得关系，结合条件 a b ，用其中一边把 另外两边表示出来，再用余弦定理即可求出角 B 的余弦值；（II ）由（ I ）知b 2 = 2ac ，根据勾股定理和 即可求出 c ，从而求出 ABC 的面积 .试题解析：（I ）由题设及正弦定理可得 b 2 =2ac . 又a=b ，可得 b=2c ,a=2c ,II ）由（1）知b 2 =2ac .2 2 2因为B = 90°，由勾股定理得 a 2+c 2 =b 2. 故a 2+c 2 = 2ac ，得 c=a= 2. 所以 D ABC 的面积为 1. 1 【答案】（I ） （II ）1410. 【2015浙江，文 16】在 ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a, b,c .已知 tan （ A ） 2.4sin2A（ 1）求 2 的值； sin 2 A + cos 2A（2）利用正弦定理得到边 b 的值，根据三角形，两边一夹角的面积公式计算得到三角形的面积由余弦定理可得 cosB =a 2 +c 2 -b 22ac（2）若 B,a 3，求 ABC 的面积 . 4解析】 （1） 利用两角和与差的正切公式，得到tanA1，利用同角三角函数基本函数关系式得到结论；3答案： A 2． ［2014·重庆卷］ 已知△ ABC 的内角 A ，B ，C 满足 sin 2A ＋sin （A －B ＋C ）＝sin （C －A －B ）＋12，面积 S 满足 1≤S ≤2，记 a ，b ，c 分别为 A ，B ，C 所对的边，则下列不等式一定成立的是 （ ）A ．bc （b ＋c ）＞8B ．ab （a ＋b ）＞16 2C ． 6≤abc ≤12D ． 12≤ abc ≤ 24［解析 ］: 因为 A ＋B ＋ C ＝π，所以 A ＋C ＝π－ B ， C ＝π－ （A ＋ B ），所以由已知等式可得 sin 2A ＋sin （ π 11 －2B ）＝sin ［π－2（A ＋B ）］＋2，即 sin 2 A ＋ sin 2B ＝sin 2（A ＋B ）＋2，sin ［（ A ＋B ）＋（A －B ）］＋sin ［（A ＋B ）－（A －B ）］＝sin 2（A ＋B ）＋12， 2 sin （ A ＋ B ）cos （A －B ）＝2sin （A ＋ B ）cos （A ＋B ）＋12，112sin （ A ＋ B ）［cos （A － B ）－ cos （A ＋ B ）］＝ ，所以 sin Asin Bsin C ＝ .28 1由 1≤S ≤ 2，得1≤2bcsin A≤2.由正弦定理得 a ＝2Rsin A ，b ＝2Rsin B ，c ＝2Rsin C ，所以 1≤2R 2·sinAsin Bsin C ≤ 2，所以 1≤R 4 ≤2，即 2≤ R ≤22，所以 bc （b ＋c ）＞abc ＝8R 3sin Asin Bsin C ＝ R 3≥8.试题解析： （1） 由 tan （ 4 sin2A 2cos A 所以 sin2A 1A ） 2，得 tanA32sin AcosA 2 2sin AcosA cos A 2tanA （2）由tanA13可得， 2tanA 1sinA 10 ,cos A 3 10 10 10 a 3,B ，由正弦定理知： b 3 5 . 4又sinC sin （A B ） sin AcosB cos Asin B 2551 12 5 所以 S ABC ab sin C3 3 5229.答案】 （1） 2 ；（2）9 5 二级目标】能力提升题组 一、选择题 1．在△ ABC 中， 内角 A,B,C 的对边分别是b ,c ，若 a 2 b 2 3bc ， sin C 2 3sin B ，则 A= A ） 300 B ） 600 C ） 120 D ）1500 解析】 由由正弦定理得2R2 3b 2R2 3b ， 所以 22b +c -a cosA=2bcc 23bc 2 3bc 2bc2bc3，所以 A=3002所以所以所以13答案： A 二、填空题13．【 2015广东，理 11】设 ABC 的内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若 a 3， sin B2πC ，则 b622 答案】 2 2 ,1. 3 ,1.高考链接】a=1 ，则 b=【答案】1．三、解答题4. 【 2015 山东，文 17】ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a,b,c .已知3cos B ,sin (A3 B) 6 ,ac 2 3 求sinA 和c9的值.解析】在ABC 中，由36 cosB ，得 sin B33因为 A BC ，所以 sinC sin(A B) 69因为 sinC sinB ，所以 C B ， C 为锐角， cosC539因此 sin A sin(B C) sin BcosC cosBsinC5 3 3 63922 3由asinAc, 可得 a sinCcsin A sinC22c 32 3c ，又 ac 6 92 3 ，所以 c1.1. （2016 年全国 II 理 13）△ ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，若 cosA4,cosC54b2 2 c1【解析】：由余弦定理有52bc21，解得b21.51b2 2 c13132b21【答b132. 【2015 浙江，理16】在ABC 中，内角A，B ，C所对的边分别为a ，b，c，已知A1）求tanC 的值；2）若ABC的面积为7，求b的值.答案】（1）2；（2）b 3.3.【2015江苏，15】在ABC中，已知AB 2,AC 3,A 60 .1）求BC 的长；2）求sin2C的值.因此sin 2C 2sin CcosC 2 21 2 7 4 3 ．7 7 7【答案】（ 1） 7 ；（2） 4 374. 【2015新课标 2，理17】 ABC 中， D 是BC 上的点， AD 平分 BAC ， ABD 面积是 ADC 面积的 2 倍． sin B (Ⅰ ) 求 sin C答案】 (Ⅰ)1 ；(Ⅱ)BD2,AC 1． 2(Ⅱ )若 AD 1， DC2 2 求 BD 和 AC 的长．。
求三角形面积的所有公式
求三角形面积的所有公式三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条边和三个顶点组成。
计算三角形的面积是几何学中的基本问题之一，有多种公式可供使用。
本文将介绍一些常见的三角形面积计算公式，帮助读者更好地理解和应用这些公式。
一、直角三角形面积公式：直角三角形是其中一个角为直角（90度）的三角形。
我们可以使用勾股定理计算直角三角形的面积。
勾股定理指出，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
假设直角三角形的直角边分别为a和b，斜边为c，则直角三角形的面积可以通过以下公式计算：面积 = (a * b) / 2。
二、等边三角形面积公式：等边三角形是三条边都相等的三角形。
我们可以使用等边三角形的边长计算其面积。
假设等边三角形的边长为a，则等边三角形的面积可以通过以下公式计算：面积= (a^2 * √3) / 4。
三、一般三角形面积公式：一般情况下，三角形的三条边长可能不相等。
我们可以使用海伦公式计算一般三角形的面积。
海伦公式指出，已知三角形的三条边长a、b和c，则可以通过以下公式计算三角形的面积：面积= √(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))，其中s为半周长，s = (a + b + c) / 2。
四、等腰三角形面积公式：等腰三角形是两条边相等的三角形。
我们可以使用等腰三角形的底边长和高计算其面积。
假设等腰三角形的底边长为b，高为h，则等腰三角形的面积可以通过以下公式计算：面积 = (b * h) / 2。
五、直角三角形面积公式2：除了使用勾股定理，我们还可以使用直角三角形的两条直角边和斜边的关系计算其面积。
假设直角三角形的直角边分别为a和b，斜边为c，则直角三角形的面积可以通过以下公式计算：面积 = (a * b) / 2 = (c^2) / 4。
六、正弦定理和余弦定理：正弦定理和余弦定理是计算三角形面积的重要工具。
正弦定理指出，在任意三角形中，三条边的比值等于对应角的正弦值的比值。
余弦定理公式大全
正弦、余弦定理 解斜三角形建构知识结构1．三角形基本公式：（1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,cos2C =sin 2B A +, sin 2C =cos 2B A + （2）面积公式：S=21absinC=21bcsinA=21casinBS= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2cb a ++, r 为内切圆半径)（3）射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A 2．正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===外 证明：由三角形面积111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===得sin sin sin a b c A B C==画出三角形的外接圆及直径易得：2sin sin sin a b cR A B C===3．余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA , 222cos 2b c aA bc+-=；证明：如图ΔABC 中，sin ,cos ,cos CH b A AH b A BH c b A ===-22222222sin (cos )2cos a CH BH b A c b A b c bc A=+=+-=+-当A 、B 是钝角时，类似可证。
正弦、余弦定理可用向量方法证明。
要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题． 4．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；有三种情况：bsinA<a<b 时有两解；a=bsinA 或a=b 时有 解；a<bsinA 时无解。
5．利用余弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。
余弦定理6个公式
余弦定理6个公式
余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广。
用余弦定理求三角形面积是常见的数学问题，但是想要快速的算出三角形的面积，还需要牢记余弦定理求三角形的面积的公式。
余弦定理有三个公式，三角形ABC中，如果∠A，∠B，∠C的对边分别用a、b、c来表示那么就有如下关系：
在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c。
则有：
正弦定理：a/SinA=b/SinB=c/SinC=2R(R为三角形外接圆半径)
余弦定理：a^2=b^2+c^2-2bc*CosA b^2=a^2+c^2-2ac*CosB
c^2=a^2+b^2-2ab*CosC
余弦定理变形公式：cosA=(b^2+C^2-a^2)/2bC
cosb=(a^2+c^2-b^2)/2aC cosC=(a^2+b^2-C^2)/2ab
注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况。
cos公式的其他资料：
它是周期函数，其最小正周期为2π。
在自变量为2kπ（k为整数）时，该函数有极大值1；在自变量为（2k+1）π时，该函数有极小值-1，余弦函数是偶函数，其图像关于y轴对称。
余弦定理公式大全
4.6 正弦、余弦定理 解斜三角形建构知识结构1．三角形基本公式：（1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,cos2C =sin 2B A +, sin 2C =cos 2B A +（2）面积公式：S=21absinC=21bcsinA=21casinBS= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2cb a ++, r 为内切圆半径)（3）射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A 2．正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===外 证明：由三角形面积111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===得sin sin sin a b c A B C==画出三角形的外接圆及直径易得：2sin sin sin a b cR A B C===3．余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA , 222cos 2b c a A bc+-=；证明：如图ΔABC 中，sin ,cos ,cos CH b A AH b A BH c b A ===-22222222sin (cos )2cos a CH BH b A c b A b c bc A=+=+-=+-当A 、B 是钝角时，类似可证。
正弦、余弦定理可用向量方法证明。
要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题． 4．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；有三种情况：bsinA<a<b 时有两解；a=bsinA 或a=b 时有 解；a<bsinA 时无解。
5．利用余弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。
余弦定理公式6个
余弦定理公式6个余弦定理是解决三角形中边长和角度之间关系的重要工具。
它可以帮助我们计算未知的边长或角度，从而更好地理解和分析三角形。
1. 第一个余弦定理公式是用于计算三角形边长的公式。
若三角形的边长分别为a、b和c，而对应的内角为A、B和C，则余弦定理可以表达为：c = a + b - 2abcos(C)。
这个公式可以帮助我们计算未知边长，只需要已知两个边长和它们之间的夹角即可。
2. 第二个余弦定理公式是用于计算三角形内角的公式。
若三角形的边长分别为a、b和c，而对应的内角为A、B和C，则余弦定理可以表达为：cos(C) = (a + b - c) / 2ab。
这个公式可以帮助我们计算未知角度，只需要已知三个边长即可。
3. 第三个余弦定理公式是用于计算三角形面积的公式。
若三角形的边长分别为a、b和c，而对应的内角为A、B和C，则余弦定理可以表达为：Area = 0.5 * ab * sin(C)。
这个公式可以帮助我们计算未知面积，只需要已知两个边长和它们之间的夹角即可。
4. 第四个余弦定理公式是用于判断三角形形状的公式。
若三角形的边长分别为a、b和c，则余弦定理可以表达为：c < a + b，如果等号成立，则表示三角形是直角三角形；如果等号不成立，则表示三角形是锐角三角形；如果等号反向成立，则表示三角形是钝角三角形。
5. 第五个余弦定理公式是用于计算三角形的高度的公式。
若三角形的边长分别为a、b和c，而对应的内角为A、B和C，则余弦定理可以表达为：h = b * sin(A)，其中h表示三角形的高度。
这个公式可以帮助我们计算未知高度，只需要已知一个边长和它对应的角度即可。
6. 第六个余弦定理公式是用于计算三角形的周长的公式。
若三角形的边长分别为a、b和c，则余弦定理可以表达为：Perimeter = a + b + c。
这个公式可以帮助我们计算未知周长，只需要已知三个边长即可。
综上所述，余弦定理提供了多种公式和方法来解决三角形中的边长和角度之间的关系。
三角形面积计算公式余弦定理
三角形面积计算公式余弦定理
一、引言
三角形面积的计算在数学和物理中具有广泛的应用。
它是几何学中的一个基本概念，涉及到面积和体积的计算。
余弦定理是三角形的一个基本性质，它提供了求解三角形边长和角度的方法。
本文将介绍三角形面积的计算公式和余弦定理。
二、三角形面积计算公式
三角形面积的计算公式有多种，其中最常用的是基尔霍夫公式。
基尔霍夫公式表示为：
A = 1/2 ×ab ×sinC
其中，a、b、c 分别为三角形的三条边长，A 是三角形的面积。
这个公式可以通过三边长度计算三角形的面积，也可以通过给定的两边和夹角来计算。
另一种常用的三角形面积计算公式是海伦公式：
A = sqrt[s(s - a)(s - b)(s - c)]
其中，s 是半周长，即s = (a + b + c) / 2。
这个公式通过三角形的半周长和三边长度来计算面积。
三、余弦定理
余弦定理是三角形的一个基本性质，它提供了求解三角形边长和角度的方法。
余弦定理表示为：
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cosC
其中，a、b、c 分别为三角形的三条边长，C 是与边a 相邻的角。
这个定理可以通过三边长度和其中一个角度来求解其他两个角度或边长。
四、结论
三角形面积计算公式和余弦定理是数学和物理中重要的基础知识。
它们在解决实际问题中具有广泛的应用，如建筑设计、工程绘图、物理学等领域。
掌握这些知识对于提高数学素养和解决实际问题具有重要意义。
第8讲正弦定理余弦定理面积公式教师
第8讲正弦定理余弦定理面积公式教师一、正弦定理正弦定理是三角形中一个非常重要的定理，它表达了三角形中各边与其对应角的正弦值之间的关系。
正弦定理可以表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中，a、b、c分别是三角形ABC的边长，A、B、C分别是与这些边对应的角。
二、余弦定理余弦定理是另一个关于三角形的定理，它表达了三角形中各边与其对应角的余弦值之间的关系。
余弦定理可以表示为：c^2 = a^2 + b^2 2abcosC其中，a、b、c分别是三角形ABC的边长，C是与边c对应的角。
三、面积公式三角形的面积可以通过多种方式计算，其中一种常用的方法是利用海伦公式。
海伦公式可以表示为：Area = √[s(sa)(sb)(sc)]其中，s是三角形的半周长，s = (a + b + c) / 2。
四、教学目标1. 让学生掌握正弦定理和余弦定理的基本概念和公式。
2. 培养学生运用正弦定理和余弦定理解决实际问题的能力。
3. 让学生了解三角形面积的计算方法，并能够灵活运用。
五、教学方法1. 讲授法：通过讲解正弦定理、余弦定理和面积公式的概念和推导过程，帮助学生理解这些定理和公式的原理。
2. 示例法：通过列举具体的例子，展示如何运用正弦定理、余弦定理和面积公式解决实际问题。
3. 练习法：布置相关的练习题，让学生独立思考和解决问题，巩固所学知识。
六、教学评价1. 课堂提问：通过提问的方式，检查学生对正弦定理、余弦定理和面积公式的理解和掌握程度。
2. 练习题：通过批改练习题，了解学生对这些定理和公式的应用能力。
3. 测试：通过进行测试，全面评估学生对正弦定理、余弦定理和面积公式的掌握情况。
第8讲正弦定理余弦定理面积公式教师七、教学资源1. 教学PPT：制作包含正弦定理、余弦定理和面积公式概念、公式推导及应用例题的PPT，以便于课堂讲解和学生课后复习。
2. 教学视频：录制正弦定理、余弦定理和面积公式的讲解视频，帮助学生更好地理解这些定理和公式的原理。
解三角形(正弦定理余弦定理三角形面积公式)课件
当光线遇到平面镜时，会产生反射现象。通过解三角形的方法可以计算入射角和反射角的关系，从而解释反射现 象。
建筑学中的角度计算
确定建筑物的角度
在建筑设计中，需要计算建筑物与水平面之间的角度，以确保建筑物的稳定性。利用解三角形的方法 可以计算出建筑物所需的倾斜角度。
测量建筑物的高度
通过观测建筑物与水平面之间的角度，利用解三角形的方法可以计算出建筑物的高度。
将三角形的三边长度转化为面积的表 达式，便于计算。
面积公式的应用
01
解决实际问题
利用三角形面积公式解决实际 问题，如土地测量、建筑规划
等。
02
数学竞赛解题
在数学竞赛中，三角形面积公 式是解决几何问题的重要工具
之一。
03
数学建模
在数学建模中，三角形面积公 式可以用于描述和解决现实生 活中的问题，如最优分割等。
详细描述
其中一种常见的证明方法是利用三角形的外接圆性质，通过相似三角形和勾股定 理进行推导。此外，还可以利用三角函数的加法定理、三角形的面积公式等其他 方法进行证明。掌握多种证明方法有助于加深对正弦定理的理解和应用。
02
余弦定理
定义与性质
总结词
余弦定理是三角形中一个重要的 定理，它描述了三角形各边与其 所对的角之间的关系。
应用场景
01
总结词
02
详细描述
正弦定理在解决三角形问题时非常有用，特别是在已知两边及夹角、 已知两角及夹边等情况下求解第三边。
通过正弦定理，我们可以解决各种与三角形相关的问题，如计算三角 形的面积、判断三角形的形状、解决几何作图问题等。它是三角函数 和几何学中非常重要的定理之一。
证明方法
总结词
正余弦定理三角形一些公式
1 / 1 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 R c C R b B R a A C R c B R b AR a R R Cc B b A a 2sin 2sin 2sin sin 2sin 2sin 2)(2sin sin sin =========变形有：为外接圆的半径三角形的面积公式：A bcB acC ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
即ab c b a C ac b c a B bca cb A C ab b ac B ac c a b Abc c b a 2cos 2cos 2cos cos 2cos 2cos 2222222222222222222-+=-+=-+=-+=-+=-+=变形有： 判断三角形的形状：为锐角三角形，为直角角三角形为钝角三角形ABC b a c c a b c b a ABC c b a ABC c b a ∆+<+<+<∆+=∆+>222222222222222,,三角形中有：形为正三角形成等比数列，则该三角、、成等差数列，、、）若（）（中c b a C B A CB AC B A C B A ABC 2tan )tan(cos )cos(sin )sin(1-=+-=+=+∆两角和差的正余弦公式及两角和差正切公式 ()βαβαβαsin cos cos sin sin -=- ()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-()βαβαβαtan tan 1tan tan tan +-=- ()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- 二倍角公式： ααααββααααα22222tan 1tan 22tan 1cos 2sin 21sin cos 2cos cos sin 22sin -=-=-=-==半角公式：。
余弦定理公式大全
解：（1）∵y=cotA+
=cotA+
=cotA+
=cotA+cotB+cotC，
∴任意交换两个角的位置，y的值不变化.
（2）∵cos（B－C）≤1，
∴y≥cotA+ = +2tan = （cot +3tan ）≥ = .
故当A=B=C= 时，ymin= .
评述：本题的第（1）问是一道结论开放型题，y的表达式的表面不对称性显示了问题的有趣之处.第（2）问实际上是一道常见题：在△ABC中，求证：cotA+cotB+cotC≥ .
（2）设AB=3，求AB边上的高.
剖析：有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式，结合图形，以（1）为铺垫，解决（2）.
（1）证明：∵sin（A+B）= ，sin（A－B）= ，
∴
=2.
∴tanA=2tanB.
（2）解： ＜A+B＜π，∴sin（A+B）= .
∴tan（A+B）=－ ，
即 =－ .将tanA=2tanB代入上式整理得2tan2B－4tanB－1=0，解得tanB= （负值舍去）.得tanB= ，∴tanA=2tanB=2+ .
3.由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC＞0，A、B、C都为锐角.答案：C
5.2; 6.若c最大，由cosC＞0.得c＜ .又c＞b－a=1，∴1＜c＜ .
【解答题】
7.（2004春北京）在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及 的值.
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）；3.利用余弦定理，可以解决以下两类问题：
三角形面积定理大全
三角形面积定理大全三角形是平面几何中最基本的图形之一，它的面积是几何学中一个重要的概念。
在三角形面积定理中，我们可以根据三角形的不同形状和已知的条件，应用不同的公式和方法来计算三角形的面积。
以下是一些常用的三角形面积定理及相关公式的介绍。
1. 基本公式：对于任意三角形ABC，其面积S可以用底边AB 和高h（垂直于底边的线段）来表示。
即S = (1/2)×AB×h。
这是最基本的三角形面积计算公式。
2. 海伦公式：对于已知三角形的三边长a、b和c，可以使用海伦公式来计算其面积。
公式为S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中s 是三角形半周长，即s = (a+b+c)/2。
3. 正弦定理：对于已知三角形的一个角A和其对边a，也已知另外两边b和c，可以使用正弦定理来计算其面积。
公式为S = (1/2)×a×b×sinA = (1/2)×a×c×sinB = (1/2)×b×c×sinC。
4. 余弦定理：对于已知三角形的三边长a、b和c，可以使用余弦定理来计算其面积。
公式为S = (1/2)×a×b×sinC =(1/2)×a×c×sinB = (1/2)×b×c×sinA。
5. 面积公式：对于已知三角形的两边长a和b，以及这两边夹角C的正弦sinC，可以使用面积公式来计算其面积。
公式为S = (1/2)×a×b×sinC。
6. 海涅公式：对于已知三角形的一个角A以及它对边a，另一个角B和对边b，可以使用海涅公式来计算其面积。
公式为S = (1/2)×a×b×sinC = (1/2)×a×b×sin(180°-(A+B))。
用cos求三角形面积公式
用cos求三角形面积公式三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条边和三个角组成。
求解三角形的面积是几何学中常见的问题之一，而使用余弦定理可以简化这个问题。
余弦定理是三角形中非常重要的定理之一，它建立了三角形的边长和角度之间的关系。
根据余弦定理，我们可以得到一个用余弦函数来表示的三角形面积公式。
设三角形的三边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C。
根据余弦定理，我们有以下公式：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC根据这个公式，我们可以推导出三角形的面积公式。
设三角形的底边为c，高为h，根据面积的定义，我们有：S = 1/2 * c * h要求解三角形的面积，我们需要先求解三角形的底边和高。
根据余弦定理，我们可以求解出角C的余弦值cosC，然后利用三角函数的性质可以求解出角C的正弦值sinC，进而求解出高h。
假设我们已经知道了三角形的三边a、b、c和对应的角A、B、C，现在我们来具体推导一下求解三角形面积的公式。
根据余弦定理，我们有：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC将cosC移到等式左边，我们得到：2abcosC = a^2 + b^2 - c^2再将cosC移到等式右边，并除以2ab，我们得到：cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / 2ab现在我们已经求解出了角C的余弦值cosC，接下来可以利用三角函数的性质求解出角C的正弦值sinC。
根据三角函数的定义，我们有：sinC = √(1 - cos^2C)将cosC的值代入上式，我们可以求解出sinC的值。
现在我们已经求解出了角C的正弦值sinC，接下来我们可以求解出三角形的高h。
根据三角形的定义，高是从三角形的顶点到底边的垂直距离，即h = b * sinC。
将底边c和高h代入面积公式，我们可以得到三角形的面积：S = 1/2 * c * h将h的值代入上式，我们可以得到：S = 1/2 * c * (b * sinC)将sinC的值代入上式，我们可以得到：S = 1/2 * c * (b * √(1 - cos^2C))经过推导，我们得到了用余弦求解三角形面积的公式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
学之导教育中心教案
学生: 伍家濠授课时间: 7.20 课时: 2 年级: 高一教师：廖
课题三角形面积公式、余弦定理
教学构架
一、知识回顾
二、错题再现
三、知识新授
四、小结与预习
教案内容
一、知识回顾
1、正弦定理及其变形
2、已知两边一角，判断解的情况
二、错题再现
1、在△ABC中，已知a=4,b=26,A=45°，求角B
2、在△ABC中，已知b=3,c=33,B=30°，求a
本次内容掌握情况总结教师签字学生签字
3、在∆ABC 中，若1a =，
12c =，040C ∠=，则符合题意的b 的值有_____个。
4、在ABC ∆中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC ∆一定是（ ）
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．正三角形
5．在△ABC 中，015A =，则()3sin cos A B C -+的值为
A ．22
B ．3
2 C ．2 D ．2
三、 知识新授
（一）正弦定理综合应用
1．在△ABC 中，015A =，则()3sin cos A B C -+的值为
A ．22
B ．3
2 C ．2 D ．2
2、在ABC ∆中，2,45,6000===b C A ，则此三角形的最小边长为（ ）
A ．2
B ．232-
C ．13-
D ．)12(2-
3、在△ABC 中，已知(b+c):(c+a):(a+b)=4:5:6，求sinA:sinB:sinC 的值。
4、在△ABC 中，若a:b:c=1:3:5,求C
B A sin sin sin 2-的值.
5、在△ABC 中，b=2a ，B=A+60°，求角A
6、△ABC 中，B=3A ，则b a
的取值范围是
7、在△ABC 中，a=2bcosC,试判断△ABC 的形状
8、△ABC 中，若sinA=2sinBcosC,sin 2A = sin 2B +sin 2C ，试判断△ABC 的形状
9、在ABC ∆中，已知C B A sin cos sin 2=，试判断△ABC 的形状
（二）三角形面积公式
1、在ABC ∆中，若14,6760===a b B ， ，求三角形面积.
2、在ABC ∆中，已知 45,2,3===B b a ，求三角形面积.
3、在△ABC 中，b = 8，c =38，S △ABC =316，则∠A 等于
（三）利用正弦证明恒等式
1、在△ABC 中，求证：
A B A c b B c a sin sin cos cos =--
2、在△ABC 中，求证：
222cos 2cos b B a A -=221a 1b
-
四、小结与预习：余弦定理。