材料力学应力圆法课件

从应力圆的半径 CD 按方位角的转向转动2得到半径CE.
圆周上 E 点的坐标就依次为斜截面上的正应力 和切应力.
y
n

e
x
yx x

o
x
E
D
2
B
20
CF A

xy
f a
y
D′
x
证明：
OF OC CF OC CE cos(20 2 )
OC CDcos20 cos2 CDsin 20 sin 2

(
x

2
y )2


2 xy
max
y
CG2

(
x

2
y )2


2 xy
min
G1 D
B
20
C
A A1
D′
x
G2
1
因为最大最小切应力等于应力圆的半径

max min

1
2
2
例7-4-1 已知 x 1MPa， y 0.2MPa， xy 0.2MPa， yx 0.2MPa，求此单元体在＝
§7-3 平面应力状态分析-图解法 (Analysis of plane stress-state with
graphical means)
一、莫尔圆（Mohr’s circle）
将斜截面应力计算公式改写为

x
y
2

x

2
y
cos 2
xy sin 2


x

2
y
sin 2
30°和 ＝-40°两斜截面上的应力。
-40
80°
30
0 0.2 0.4 0.6
30
60° -40
例7-4-2 ：讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁 件受扭转时的破坏现象。
解：1．取单元体ABCD，其中 x y 0,
xy
，
T WP
，这是纯剪切应力状态。
2．作应力圆 主应力为 1 , 3 ，并可
（2）夹角关系:圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体 上对应两截面夹角的两倍.两者的转向一致.
A

B

B
A
2

O
C

2.求主应力数值和主平面位置
（Determine principle stress 2 and the direction of principle
plane by using stress circle）
二、应力圆作法（The method for drawing a stress circle）
y

y yx
x
x
x
xy
o

y
1.步骤（Steps）
（1）建 - 坐标系,选定比例尺
y

yx
D
x
x
xo
B
xy
C
A

y
D′
（2）量取 OA= x
x
AD = xy 得D点

x
2

y


x

2
y
cos 2

xy
sin 2


FE CE sin(2o 2 )
CDsin 20 cos 2 CDcos20 sin 2

x
2

y
sin 2

xy
cos 2


说明
（1）点面之间的对应关系:单元体某一面上的应力,必对应于 应力圆上某一点的坐标.
o
（1）主应力数值
B1 B
A1 和 B1 两点为与主平面
y
D′
E D
2 20
C F A A1
对应的点,其横坐标 为主应力
1,2
x 1
OA1

OC

CA1


x

2
y


(
x

2
y )2


2 xy

max
1
OB1

OC

CB1


x

2
y


(
x

2
y )2


2 xy
角坐标系内的轨迹是一个圆.
1.圆心的坐标

C(
x


y
,0)
（Coordinate of circle center）
2
2.圆的半径（Radius of circle）
R

(
x
2

y
)2

2 xy
此圆习惯上称为 应力圆（ plane stress circle）,或称为莫 尔圆（Mohr’s circle）
y
20

tan1( 2 xy x y
)
0 确定后,1 对应的主平面方位即确定
3.求最大切应力（Determine

maximum shearing stress by
2
using stress circle）
G1和G两点的纵坐标分别代 o B1
表最大和最小切应力
CG1
2

y
)2


2 xy
x
OC OB 1 (OA OB) 1 (OA OB) x y
2
2
2
CD
CA2 AD2

(
x

2
y
)2

2 xy
三、应力圆的应用（Application of stress-circle）
1.求单元体上任一 截面上的应力（Determine the stresses on any inclined plane by using stress-circle）
（3）量取 OB= y BD′= yx 得D′点
（4）连接 DD′两点的直线与 轴相交于C 点
（5）以C为圆心, CD 为半径作圆,该圆就是相应于该单元体的 应力圆
2.证明(Prove)

（1）该圆的圆心C点到 坐 标原点的 距离为
D源自文库
x y
2
（2）该圆半径为
o
B
C
A

y
D′
R

(
x
一、 空间应力状态下的最大正应力和最大切应力
(the maximum normal stress and shear stress in three-
确定主平面的法线。
3．分析 纯剪切应力状态的两个主应力绝对值相等 ，但一为拉应力，另一为压应力。由于铸铁抗拉强度 较低，圆截面铸铁构件扭转时构件将沿倾角为 45º的螺旋面因拉伸而发生断裂破坏。
§7-4 三向应力状态分析
（analysis of three-dimensional stress-state）
min
2
（2）主平面方位

由 CD顺时针转 20 到CA1 2
D
所以单元体上从 x 轴顺时
针转 0 （负值）即到 1对应 o
B1 B
的主平面的外法线
y
D′
20
C
A A1
tan(20 )

DA CA


2 xy x
y
x 1
tan20



2 xy x
xy cos 2
把上面两式等号两边平方,然后相加便可消去,得
(
x

2
y )2


2



(
x
y )2
2


2 xy
因为x ,y ,xy 皆为已知量,所以上式是一个以,为变量的 圆周方程.当斜截面随方位角 变化时,其上的应力 , 在 - 直