四年级奥数：方阵问题

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四年级奥数-教师版-第三讲-方阵问题

四年级奥数-教师版-第三讲-方阵问题(总10页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第三讲方阵问题知识导航学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。

如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。

核心公式：1．方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心）2．方阵最外层每边人数=（方阵最外层总人数÷4）＋13．方阵外一层总人数比内一层总人数多24．去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1例1:学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人?解析：方阵问题的核心是求最外层每边人数。

根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数=四周人数÷4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。

方阵最外层每边人数：60÷4+1=16（人）整个方阵共有学生人数：16×16=256（人）。

【巩固1】某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人.问方阵外层每边有多少人这个方阵共有五年级学生多少人解析：根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数=四周人数÷4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。

解：方阵最外层每边人数：60÷4＋1=16（人）整个方阵共有学生人数：16×16=256（人）答：方阵最外层每边有16人，此方阵中共有256人。

【巩固2】晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？解析：方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个.知道最外面一层每边放14个，就可以求第二层及第三层每边个数.知道各层每边的个数，就可以求出各层总数。

解法1：最外边一层棋子个数：（14-1）×4=52（个）第二层棋子个数：（14-2-1）×4=44（个）- 10 -- 11 -第三层棋子个数：（14-2×2-1）×4=36（个）.摆这个方阵共用棋子：52+44＋36＝132（个）解法2：还可以这样想：中空方阵总个数=（每边个数一层数）×层数×4进行计算。

人教版小学数学四年级奥数训练第18讲方阵问题

第18讲方阵问题一、知识概要1、方阵可以分为实心方阵和空心方阵。

2、方阵的基本特点是：方阵中，里一层总比外一层的一边少2个物体，里一层物体的个数一定比上一层物体总个数少8个。

3、实心方阵中，物体个数=最外层的一边个数×最外层一边的个数；（每边数—1）×4=每层数；每层数÷4+1=每边数4、空心方阵中物体的个数=（最外层一边个数—层数）×层数×45、去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数×2-1二、典型例题1、有一个正方形的稻田，四个角上都放1个稻草人，如果每边放5个，四边共放多少个稻草人？2、有一个正方形池塘，四个角上都栽1棵树，一共栽了28棵树，那么每边栽多少棵？3、同学们排成一个两层空心方阵，外层每边8人，这个方阵一共有多少人？4、把若干个棋子摆成一个三层的空心方阵，最外层每边12个棋子，求这个方阵共有多少个棋子？5、同学们在军训时排成了一个由204人组成的三层空心方阵，求最外面一层每边有多少人？6、某小学举行运动会，同学们排成正方形队列参加团体操表演。

如果在这个正方形队列中减少一行一列，则要减少15人，问参加团体操表演的有多少同学？7、在儿童公园的一次菊花展上，用120盆菊花摆成一个三层空心方阵，这个方阵最外层每边有多少盆花？8、一个中空方阵的队列，最外层每边18人，最内层每边10人。

这个队列共有多少人？9、用64枚棋子摆成一个两层中空方阵，如果想在外面再增加一层，问需要增加多少枚棋子？10、学校组织一次团体操表演，把男生排列成一个实心方阵，又在这个实心方阵四周站一排女生。

女生有72人参加表演，男生有多少人？三、针对练习1、在正方形的广场四周装彩灯，四个角上都装一盏，每边装25盏，问这个广场一共需装彩灯多少盏？2、小强用棋子排成了一个每边11枚的中空方阵，共2层，求这个方阵共用多少枚棋子？3、小刚在用棋子摆好的实心阵上又填了17枚棋子，使它的横竖各增加一排，成了大一点的实心方阵，求原来实心方阵有多少枚棋子？4、解放军进行排队表演，组成一个外层有48人，内层有16人的多层中空方阵，这个方阵有几层？一共有多少人？5、有一个用圆片摆成的两层中空方阵，外层每边有16个圆片，如果把内层的圆片取出来，在外层再摆一层，变成一个新的中空方阵，应再增加多少圆片？6、用棋子摆成方阵，恰好每边24粒的实心方阵，若改为3层的空心方阵，它的最外层每边应改放多少粒?7、有学生若干名，排成中实的方阵则多2人，若在这正方阵纵横两个方向个增加一行还缺五人，问有学生多少人？8、仪仗队员组成两个实心方阵，甲方阵每边12人，后来两队合在一起排成一个中空方阵的丙方阵，丙方阵最外层一边人数比乙方阵最外层一边人数多4人，又原来甲方阵的人正好填满丙方阵空心。

小学奥数关于方阵问题的计算公式

【导语】让学⽣体会到数学源于⽣活、⽤于⽣活的同时，更应该让学⽣体会到数学⾼于⽣活，体会到数学可以带动社会的发展，带动⽣活质量的提⾼，这样更能激发学⽣学好数学。

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⽅阵问题公式
（1）实⼼⽅阵：（外层每边⼈数）2=总⼈数。

（2）空⼼⽅阵：
（最外层每边⼈数）2-（最外层每边⼈数-2×层数）2=中空⽅阵的⼈数。

或者是
（最外层每边⼈数-层数）×层数×4=中空⽅阵的⼈数。

总⼈数÷4÷层数+层数=外层每边⼈数。

例如，有⼀个3层的中空⽅阵，最外层有10⼈，问全阵有多少⼈？
解⼀先看作实⼼⽅阵，则总⼈数有
10×10=100（⼈）
再算空⼼部分的⽅阵⼈数。

从外往⾥，每进⼀层，每边⼈数少2，则进到第四层，每边⼈数是
10-2×3=4（⼈）
所以，空⼼部分⽅阵⼈数有
4×4=16（⼈）
故这个空⼼⽅阵的⼈数是
100-16=84（⼈）
解⼆直接运⽤公式。

根据空⼼⽅阵总⼈数公式得
（10-3）×3×4=84（⼈）。

四年级奥数-教师版-方阵问题

第三讲方阵问题知识导航学生排队,士兵列队,横着排叫做行,竖着排叫做列.如果行数与列数都相等,那么正好排成一个正方形,这种图形就叫方队,也叫做方阵〔亦叫乘方问题〕.核心公式：1.方阵总人数=最外层每边人数的平方〔方阵问题的核心〕2.方阵最外层每边人数=〔方阵最外层总人数+ 4〕 + 13.方阵外一层总人数比内一层总人数多24.去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数X2 — 1例1：学校学生排成一个方阵,最外层的人数是60人,问这个方阵共有学生多少人解析：方阵问题的核心是求最外层每边人数.根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数=四周人数+ 4+1,可以求出方阵最外层每边人数,那么整个方阵队列的总人数就可以求了.方阵最外层每边人数：60+4+1=16 〔人〕整个方阵共有学生人数：16 X 16=256 〔人〕.【稳固1】某校五年级学生排成一个方阵,最外一层的人数为60人.问方阵外层每边有多少人这个方阵共有五年级学生多少人解析：根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数书周人数+ 4+1,可以求出方阵最外层每边人数,那么整个方阵队列的总人数就可以求了.解：方阵最外层每边人数：60 + 4+1=16〔人〕整个方阵共有学生人数：16X16=256 〔人〕答：方阵最外层每边有16人,此方阵中共有256人.【稳固2】晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵,最外一层每边有围棋子14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个解析：方阵每向里面一层,每边的个数就减少2个.知道最外面一层每边放14个,就可以求第二层及第三层每边个数.知道各层每边的个数,就可以求出各层总数.解法1 :最外边一层棋子个数：〔14-1 〕X 4=52 〔个〕第二层棋子个数：〔14-2-1 〕X 4=44 〔个〕第三层棋子个数：〔14-2 X 2-1 〕X 4=36 〔个〕.摆这个方阵共用棋子：52+44+36= 132 〔个〕解法2:还可以这样想：中空方阵总个数=〔每边个数一层数〕x层数X 砧行计算.〔14-3〕 X 3X4=132 〔个〕答：摆这个方阵共需132个围棋子.【稳固3】一个正方形的队列横竖各减少一排共27人,求这个正方形队列原来有多少人解析：依据：去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数X2- 1可知每边的人数是：〔27+1〕+ 2 = 14 〔人〕原人数是：14M14 = 196 〔人〕答：略.【稳固4】小红用棋子摆成一个正方形实心方阵用棋子100枚,最外边的一层共多少枚棋子解析：这要用到方阵的公式逆运算,100必然是一个数的平方数由于10x10=100 〔人〕,并且是实心的方阵,所以最外层有10人.例2：参加中学生运动会团体操比赛的运发动排成了一个正方形队列.如果要使这个正方形队列减少一行和一列,那么要减少33人.问参加团体操表演的运发动有多少人解析：如以下图表示的是一个五行五列的正方形队列.从图中可以看出正方形的每行、每列人数相等；最外层每边人数是5,去一行、一列那么一共要去9人,因而我们可以得到如下公式：去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数X2- 1• , • • •解：方阵问题的核心是求最外层每边人数. ••• ••原题中去掉一行、一列的人数是33,♦♦♦♦♦那么去掉的一行〔或一列〕人数=〔33+1〕.2 =17 人方阵的总人数为最外层每边人数的平方,所以总人数为17M17 =289 〔人〕【稳固】参加军训的学生进行队列表演,他们排成了一个七行七列的正方形队列, 如果去掉一行一列,请问：要去掉多少名学生还剩下多少名学生解析：如上图表示的是一个4行4列的实心正方形队列,从图中可以看出正方形队列的特点：〔1〕正方形队列每行、每列的人数相等,因此总人数=每行人数X每列人数.〔2〕去掉横竖各一排时,有且只有1人是同时属于被减去的一行和一列的,如图中点A所示.因此去掉的总人数=原每行人数X 2—1,或去掉的总人数=减少后每行人数X 2+1.此题中所求,即去掉的人数=7X2—1 = 13 〔人〕或去掉的人数=〔7—1〕 X 2+1 = 13〔人〕还剩的人数=〔7—1〕 X 〔7—1〕 = 36 〔人〕或还剩的人数=7X 7— 13=49— 13=36 〔人〕答：如果去掉一行一列,要去掉13名学生,还剩下36名学生.例3:解放军战士排成一个每边12人的中空方阵,共四层,求总人数解法1:这样想：把中空方阵的总人数,看作中实方阵总人数减去空心方阵人数.〔1〕中实方阵总人数：12X12=144 〔人〕〔2〕第四层每边人数：12-2 X 〔4-1 〕 =6 〔人〕〔3〕空心方阵人数：〔6-2〕 X 〔6-2〕 =16 〔人〕〔4〕中空方阵人数：144-16=128 〔人〕答：总人数是128人.小结：中空方阵总人数=外边人数X外边人数-〔内边人数-2〕X 〔内边人数-2〕解法2:这样想：把中空方阵分成四个相等的长方形.〔1〕每个长方形的长=外边人数-层数12-4=8 〔人〕〔2〕每个长方形的宽是层数：4人〔3〕总人数：8X4X 4=128 〔人〕答：总人数是128人.小结：中空方阵总人数=〔每边人数-层数〕X层数X 4【稳固】学校开展联欢会,要在正方形操场四周插彩旗.四个角上都插一面,每边插7面.一共要准备多少面旗子解析：依据求外层个数的公式：〔边数-1〕X4〔7-1〕X4 =24 〔面〕答：略.例4：一个街心花园如右图所示.它由四个大小相等的等边三角形组成 .从每个小三角形的顶点开始,到下一个顶点均匀栽有9棵花.问大三角形边上栽有多少棵花整个花园中共栽多少棵花解析：①从条件中可以知道大三角形的边长是小三角形边长的2倍.又知道每个小三角形的边上均匀栽9株,那么大三角形边上栽的棵数为：9M2-1 =17 〔棵〕.②又知道这个大三角形三个顶点上栽的一棵花是相邻的两条边公有的,所以大三角形三条边上共栽花：〔17-1〕^3 = 48 〔棵〕.③.再看图中画斜线的小三角形三个顶点正好在大三角形的边上.再计算大三角形栽花棵数时已经计算过一次,所以小三角形每条边上栽花棵数为：9 — 2=7 〔棵〕解：大三角形三条边上共栽花：〔9^2-1 -1〕x3 = 48 〔棵〕中间画斜线小三角形三条边上栽花：〔9-2〕父3 = 21 〔棵〕整个花坛共栽花：48 +21=69 〔棵〕答：大三角形边上共栽花48棵,整个花坛共栽花69棵.【稳固】同学们做早操,排成一个正方形的方阵,从前、后、左、右数,小明都是第5个,这个方阵共有多少人Q解析：如图,实心圆表示小明的位置,可以知道,$这个队列每行都是9人.解：每行每列数：5 M2—1=9 〔人〕§共有：9 M9 =81 〔人〕?例5:小明用围棋子摆了一个五层中空方阵,一共用了200枚棋子,请问：最外边一层每边有多少枚棋子解析1:利用“相邻两层之间,每层的总数相差8〞的特点,可知最外层共有棋子数：〔200+8+8X 2+8X 3+8X4〕 + 5= 56 〔个〕最外层每边的棋子数：56+4+1= 15 〔个〕解析2:如练习中的图,把棋子分成相等的四局部.每一局部的棋子数：200+4=50 〔个〕每一局部每排的棋子数：50+5=10 (个)最外层每边的棋子数：10+5=15 (个)综合列式为：200-4-5+5= 15 (个)答：最外边一层每边有15枚棋子.【稳固】游行队伍中,手持鲜花的少先队员在一辆彩车的四周围成每边三层的方阵,最外边一层每边12人,请问：彩车周围的少先队员共有多少人解析1:请同学们自己画一个图,以下图是一个三层中空方阵的示意图,不难发现, 有如下特点：(1)外层每边点的个数都比相邻内层的每边点的个数多2;(2)每相邻两层之间,点的总数相差8个.最外层队员的总数：12 M 4—4=44 (人)三层共有队员的总数：44 (44 -8) (44 -8 2)=44 36 28(12 — 3) X 3 = 9X 3=27 (人)三层共有队员数：27X4= 108 〔人〕答：彩车周围的少先队员共有108人.这个问题还有别的解法,请同学们自己试着做一下.课后作业1、假设干名同学排成中实方阵那么多12人,假设要将这个方阵改摆成纵横两个方向各增加1人的方阵那么还差9人排满,请问：原有学生多少人解析：由于纵横两个方向各增加1人,因此不但将剩余12人摆上,而且还差9人,说明一横行与一竖彳T的人数总和是12+9=21人.又由于纵横两个方向各增加1人,因此只有1人同属于横行与纵行,在数每边上的人数时,总被多数一次,因此可以用21人先加上被重复数过的1人,再除以2,也就得到每边人数.列式为〔21 + 1〕 +2=11人.求出每边人数,就可求出假设排满后的人数,列式为11X11 = 121人,用121人减去差的9人就是原来人数,列式为121 —9= 112人.也可以根据原来的方阵再加上12,请你试一试.答：原有学生112人.2、有一队士兵排成一个中实方阵,最外一层有100人,请问：方阵中一共有士兵多少人解析：要想求出方阵中一共有多少士兵,就应先求出方阵的最外层每边有多少人. 方阵最外一层有100人,用100 + 4= 25人,每边是不是25人呢不是的,因为平均分成4份后,还需要再加上1,才正好是每边上的人数,列式应该为100 + 4+ 1=26人.因此方阵中一共有26X26= 676人.答：一共有676人.说明：这道题关键是求出每边人数.在求每边人数时,不要认为和“知道了正方形周长,求边长〞一样,还必须要加上1.3、小刚用假设干枚棋子摆成一个中实方阵,最外层每边摆6枚,请问：要摆成这样一个中实方阵至少需要多少枚棋子最外一层的棋子总数是多少解析：如图,最外一层每边摆6枚,根据方阵每行每列个数相等特点,因此一共有6X6=36枚棋子.最外一层每边有6枚,如果用6X4= 24枚,就认为是最外一层棋子数的答案的话,那就错了.由于正方形每个顶点上的棋子分属于一行一列,这样棋子在计算总数时就被多数了一次,这样的顶点一共有4个,需要把多数的减去,才能得到正确的结果.列式是6X4—4= 20枚.说明：这道题还可以这样想：数每边棋子时,可以按上图先划分成4个相等的块,这样每边就有5枚了,因此用5X 4= 20枚,也可以得到正确答案.根据划分块的方法不同,至少还有两种方法,请同学们试一试.4、一队学生站成20行20列方阵,如果去掉4行4列,那么要减少多少人解析1 :把去掉4行4列转化为一行一列的去掉,就可用例6的结论：去掉一行一列的总人数=原每行人数X2—1反复利用4次这个公式,只要注意“原每行人数〞的变化,即可列式为：去掉4行4歹U的总人数= 20X2— 1+ (20— 1) X 2 — 1 + ( 20 — 2) X 2 — 1+ (20 — 3) X 2 — 1 = 40-1=38- 1+36-1+34- 1=144 (人)解析2:我们还可以这样想：原来是一个7行7列的方阵,假设去掉4行4列后,仍剩下一个小正方形方阵,因此去掉4行4列的总人数=原正方形方阵每边人数一4,即去掉的总人数= 20X 20— ( 20—4) X ( 20—4)= 400-256=144 (人)答：去掉4行4列,要减少144人.5、正方形舞厅四周均匀的装彩灯,如果四个角都装一盏且每边装12盏,那么这个舞厅四周共装彩灯多少盏解析(1):自己画图可以看出,角上的四盏灯各属于两行,所以彩灯总数应为：12X4-4=44(盏)(2):还可以把彩灯分成相等的四局部,因此彩灯总数为：(12—1) X 4=44 (盏)答：这个舞厅四周共装彩灯44盏.6、“六一〞儿童节前夕,在校园雕塑的周围,用204盆鲜花围成了一个每边三层的方阵,请你求出最外面一层每边有鲜花多少盆解析：分析思路参见例6,最外层每边人数=总数+4+层数+层数204 - 4- 3+3=20(盆)答：最外面一层每边有鲜花20盆7、四年级一班参加运动会入场式,排成一个方阵,最外层一周的人数为20人,请问：方阵最外层每边的人数是多少这个方阵共有多少人解析：根据四周人数与每边人数的关系可知：每边人数=四周人数+ 4+1,可以求出这个方阵最外层每边的人数,那么这个方阵队列的总人数就可以求出来了.解：〔1〕方阵最外层每边的人数：20 + 4+1=5+1=6 〔人〕〔2〕整个方阵共有学生人数：6X6=36 〔人〕答：方阵最外层每边的人数是6人,这个方阵共有36人.8、明明用围棋子摆成一个三层中空方阵,如果最外层每边有围棋子15个,明明摆这个方阵最里层一周共有多少枚棋子摆这个三层空心方阵共用了多少枚棋子解析：〔1〕方阵每向里面一层,每边的个数就减少2个,知道最外面一层,每边放15个,可以求出最里层每边的个数,就可以求出最里层一周放棋子的总数.〔2〕根据最外层每边放棋子的个数减去这个中空方阵的层数,再乘以层数,再乘以4,计算出这个中空方阵共用棋子多少个.解：〔1〕最里层一周棋子的个数是：〔15-2-2-1 〕X 4=40 〔个〕〔2〕这个空心方阵共用的棋子数是：〔15-3〕 X 3X4=144 〔个〕答：这个方阵最里层一周有40个棋子；摆这个中空方阵共用144个棋子.9、假设干战士排成一个四层中空方阵,只知道最外一层每边有12人,请你求出总人数.解析：我们可以采用先求出每层人数再求总人数的方法进行.解：由于最外层每边有12人,因此最外层一共有〔12—1〕 X 4=44人,又根据方阵相邻两层,外层比内层人数多8的特点,因此第二层有44-8=36人,第三层有36-8=28 A,第四层有28-8=20 人.因此一共有44+36+28+20= 128 人.还可以这样想,把四层中空方阵划分如例5的形状,我们发现每个长方形可以看成四排战士,每排有8人组成.因此一个长方形有8X4 = 32人,一共有4个长方形,32X4= 128 人.当然还可以先把中空方阵看成中实方阵,然后再减去补上的小中实方阵人数,也可以求出一共有多少人,看成中实方阵后,最外一层每边12人,因此一共有12X 12= 144人.又由于在方阵中相邻两个正方形每边人数相差2,因此第二层每边有12—2= 10人,第三层每边有10—2= 8人,第四层每边有8—2=6人,第五层每边有6 —2=4人.因此小的中实方阵有4X4=16人.144—16= 128人就表示一共有战士的人数.答：一共有128人.10、有假设干盆鲜花摆成一个中空方阵,最外层共摆48盆,最内层共摆24盆,请问：共摆了多少盆鲜花解析：由于方阵中相邻两个正方形每边相差 8,因此第二层应摆鲜花 48-8 = 40 盆,第三层有花 40—8= 32盆,第四层有花 32 —8= 24盆.这样通过枚举方法求出一共有四层花,及中间两层花的总数.因此一共摆了48+ 40+ 32+24= 144盆.答：一共摆了 144盆.11、有杨树和柳树以隔株相间的种法,种成 7行7列的方阵,问这个方阵最外一层有杨树和柳树各多少棵方阵中共有杨树,柳树各多少棵解析：根据条件柳树和杨树的种法有如下两种,假设黑点表示杨树,白点表示柳树观察图〔1〕〔 2〕不管是柳树种在方阵最外层的角上还是杨树种在方阵最外层的角上,方阵中除最里边一层外其它层杨树和柳树都是相同的.因而杨树和柳树的棵数相等.即最外层杨,柳树分别为〔7-1 〕 X 4 + 2=12 〔棵〕.・0•□•日•OBOOO«C•oooooo OBOOO«C图(2)当柳树种在方阵最外层的角上时,最内层的一棵是柳树；当杨树种在方阵最外层的角上时,最内层的一棵是杨树,即在方阵中,杨树和柳树总数相差1棵.解：〔1〕最外层杨柳树的棵数分别为：〔7-1〕 X 4+2=12 〔棵〕〔2〕当杨树种在最外层角上时,杨树比柳树多1棵：杨树：〔7X7+1〕 + 2=25 〔棵〕柳树：7X 7-25=24 〔棵〕〔3〕当柳树种在最外层角上时,柳树比杨树多1树柳树〔7X7+1〕 + 2=25 〔棵〕杨树 7X 7-25=24 〔棵〕答：在两种方法中,方B ^最外层都有杨树12棵,柳树12棵,方阵中总共有杨^25棵,柳树24棵,或者有杨树24棵,柳树25棵. oeoeoeo•ceooo#图(1)。

四年级奥数专题第15讲方阵问题

四年级奥数专题第15讲方阵问题概念：将人(或物)，依一定条件排成正方形(简称方阵)，再根据已知条件求人(物)数。

这类问题叫方阵应用题。

解题关键及规律：方阵问题的解法要点是：①方阵每边人数和四周人数的关系：(每边人数-1)×4=四周人数四周人数÷4＋1=每边人数②实阵总人数的求法；实心方阵：(每边人数)2=总人数空心方阵：(外边人数)2-(内边人数)2=总人数若将空心方阵分成四个相等的矩形计算则：(每边人数-层数)×层数×4=总人数例1.棋子若干只，恰好可以排成每边6只的正方形，棋子总数是多少？棋子最外层有多少？例2.一堆棋子，排成正方形，多余4只棋子，若正方形纵横两个方面各增加一层，则缺少9只棋子，问有棋子多少只？例3.从最外层的人数推进外层每边人数；从最内层的人数推进空心部分每边人数。

然后求实心方阵比空心方阵多多少人？习题1.有8层中空方阵，最外一排有20人，求此方阵的总人数。

2.设计一个团体操表演队形，想排成6层的中空方阵，已知参加表演的人只有360人，问最外层每边应排多少人？3.一个方阵花坛共有15层，最内层每边有20株花草，此花坛的花草总数有多少棵？※4.原计划每边栽24棵树，形成一实心树方阵，现在要留出中间地方打一眼井，如树的棵数增加24棵，想栽树5层，中空方阵。

问最外层栽多少棵树？最内层需栽多少棵数？※5.有风景树若干棵，若排成三层的中空方阵，尚余9棵，在中空部分增列一层，则缺7棵。

问这种树有多少棵？※6.有一堆棋子排成正方形多余3只；如果正方形纵横两个方向各增加一层，则缺少8只。

问一共有多少只棋子？。

小学四年级奥数ppt课件：方阵问题

2. 在一个周长为2000米的长方形湖泊的四周种树，要求每隔4米种一棵，且每条长边比短边多种2棵，求长边上每边应种多少棵树?
总人数有：7×7=49(个)
答：这个实心方阵共有49个小朋友。
100朵鲜花排成一个实心方阵，这个实心方阵的每边有多少朵鲜花? 10×10=100(朵)
答：这个实心方阵的每边有10朵鲜花。
小军用棋子摆了一个实心方阵，如果再加上7枚棋子，就可以使原来的方阵增加一行一列，成为一个大一点的方阵。原来的方阵由多少枚棋子组成?
摆一摆：请你用学具中的小圆片尝试摆出几个不同的实心方阵，仔细观察后填写下表，看看你能发现什么。
第一次第二次第三次
行数
列数总数
在实心方阵中， n 阶方阵的元素总个数等于n×n, 即 n²。
四年级的部分小朋友排成一个实心方阵进行团体操表演，已知最外层每边有7个小朋友，那么这个实心方阵共有多少个小朋友?
答：这个鲜花方阵的最外层每边有12人。
1. 把32枚棋子摆成一个一层的空心方阵，每边摆放几枚?
2. 团体操表演时，少先队员排成四层的空心方阵，最外层每边的人数是10人，问参加团体操表演的少先队员共有多少人?
3.96名同学站成一个三层的空心方阵，最里面一层每边站多少名同学?
将2004人排成一个空心的长方阵，要求这个长方阵共分成三层，且最外层的每个长边比短边正好多4人，求此方阵最外层长边上有多少人?
稍息立正站好
方阵问题
创新应用
下面这些有关方阵的美丽图片里，你能将它们分为两类吗?你是怎样想的? 空心方阵
实心方阵
日常生活中，往往需要把人或物摆成正方形的形式，如站成正方形的体操队列，正方形花坛周围摆上花盆或插上旗子，还有在正方形棋盘上摆棋子等。在数学上人们通常称这类问题为方阵问题。

应用题板块-方阵问题(小学奥数四年级)

应用题板块-方阵问题（小学奥数四年级）“方阵问题”是以现实生活中的方阵为题材，通过对方阵中“每边数量”、“边数”、“总数”的自主探究，探索出此类问题中各个数量之间存在的数量关系。

在此过程中，让孩子充分体验模型思想建立的一般过程，感受数学模型的魅力。

【一、题型要领】士兵排队，横着排叫行，竖着排叫列，若行数与列数相等，正好排成一个正方形，这就是一个方队，这种方队也叫做方阵。

根据不同的排列方式，方阵分为实心方阵和空心方阵。

1.实心方阵【基本概念】实心方阵是内部全部排满的方阵。

下图左侧是一个5 * 5的方阵，下图右侧是一个6 * 6的方阵，图中绿色表示的是方阵的最外层。

【基本公式】假设方阵最外层每边的人数是N（1）方阵层数 = （N + 1）÷ 2，当N为奇数时= N ÷ 2，当N为偶数时（2）方阵最外层总人数 = 最外层每边的人数* 4 - 4 = （N - 1）* 4 （3）方阵总人数 = 最外层每边的人数* 最外层每边的人数= N * N2. 空心方阵【基本概念】空心方阵是内部未全部排满的方阵，注意只能是内部未排满，且未排满的部分也是一个方阵。

下图左侧是一个整体5 * 5，内部1* 1未排满的空心方阵；下图右侧是一个整体6 * 6，内部2 * 2未排满的空心方阵【基本公式】假设方阵最外层每边的人数是N，层数是M（1）方阵最外层总人数 = 最外层每边的人数* 4 - 4 = （N - 1）* 4 （2）内部方阵最外层每边的人数 = 最外层每边的人数 - 2 * 层数 = N - 2 * M（3）方阵总人数 = 外部方阵总人数 - 内部方阵总人数 = N * N - （N - 2 * M）*（N - 2 * M）= 4 * M * （N - M）【二、重点例题】例题1【题目】一个正方形花坛，原来摆了一些花，组成了一个实心方阵，后来运走了11盆花，使行和列都减少了一排，原来摆了多少盆花？【分析】如下图所示，原先鲜花摆放成如下的方阵，蓝色部分为后来运走的鲜花，绿色及省略部分为剩下的鲜花。

四年级奥数-方阵问题

四年级奥数－方阵问题
1. 一正方形方队，外层总共84人，求此方队的总人数。

2. 360人排成6层的中空方阵，最外层和最内层每边人数各多少人？
3. 光明小学学生排成每边20个人的正方形方阵，最外边两层共站多少学生？
4．一块正方形苗圃种满了树苗。

后来又补种了19棵，使横、竖各增加了一排，原来正方形苗圃中有多少棵树苗？
5.育英小学四年级的同学排成一个实心方阵列队，还剩下5人，如果横竖各增加一排，排成一个稍大的实心方阵，则缺少26人。

育英小学四年级有多少人？
6．一个大型方队，外层每边30人，内层每边10人，中间的位置由16人进行体操表演。

问：这个方队共有多少人？
7．一方阵形桃园共10层，最里层共种16棵桃树，若每棵桃树结桃子60千克。

这桃园可结桃子多少千克？
8．有学生若干人，列成三层中空方阵，那么就多9人，中空部分增列两层，则少15人，问：有学生多少人？
9．参加小学生运动会团体操表演的运动员组成了一个正方形队列，共排了20行，每行20人。

从这个正方形对列中去掉一行一列，去掉了多少人？还剩下多少人？
10．四年级同学参加体操表演，，先排成每边16人的实心方阵队形，后来又变成一个四层空心方阵，这个中空方阵最外层有多少人？
11．中空方阵最外层32人，最内层12人，将这一方队改排一列纵队，前后两人相距121
米（包括每人所占空间），这列队伍长多少米？。

小学奥数之方阵问题—例题习题及含答案

方阵问题知识导航学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。

如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。

核心公式：一、实心方阵1．方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心）=每边数×每边数2．方阵最外层每边人数=（方阵最外层总人数÷4）＋13．方阵外一层每边人数比内一层每边人数多24．去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－15、每层数=（每边数-1）×4二、空心方阵1、外边人数=总人数÷4÷层数+层数2、总数=最外层人数2 - 最内层人数2=（最外层每边数-层数）×层数×4=（最外层数+最内层数）×层数÷23、内层数=外层数-84、每层数=（每边数-1）×45、实心方阵的总人数是一个完全平方数，空心方阵的总人数是4的倍数。

例1 四年级同学参加广播操比赛，要排列成每行8人，共8行方阵。

排列这个方阵共需要多少名同学？解题分析这是一道实心方阵问题，求这个方阵里有多少名同学，就是求实心方阵中布点的总数。

排列成每行8人点，共8行，就是有8个8点。

求方阵里有多少名同学，就是求8个8人是多少人？解：8×8=64（人）答：排列这个方阵，共需要64名同学。

例2 有一堆棋子，刚好可以排成每边6只的正方形。

问棋子的总数是多少？最外层有多少只棋子？解题分析依题意可以知道：每边6只棋子的正方形，就是棋子每6只1排，一共有6排的实心方阵。

根据方阵问题应用题的解题规律，求实心方阵总数的数量关系，总人数=每边人数×每边人数，从而可以求出棋子的总数是多少只。

而最外层棋子数则等于每边棋子数减去1乘以行数4，即（6-1）×4只。

解：（1）棋子的总数是多少？6×6=36（只）（2）最外层有多少只棋子？（6-1）×4=20（只）答：棋子的总数是36只，最外层有20只棋子。

4年级方阵问题经典

4年级方阵问题经典
一、方阵问题基本概念
1. 方阵的定义
方阵是一种行数和列数相等的正方形队列。

例如，一个5行5列的方阵。

2. 方阵的相关要素
方阵的最外层人数：对于一个每边有公式个人的方阵，最外层人数为公式。

这是因为方阵四个角上的人会被重复计算一次，所以要减去4。

方阵的总人数：总人数等于每边人数的平方，即公式。

二、经典题目及解析
1. 题目
学校举行团体操表演，排成一个方阵，最外层每边站12人，这个方阵最外层一共有多少人？整个方阵一共有多少人？
解析
对于最外层人数，根据公式公式（这里公式），可得最外层人数为公式人。

对于整个方阵的总人数，根据公式公式（公式），可得总人数为公式人。

2. 题目
一个方阵最外层每边有8人，这个方阵从外往里数第二层每边有多少人？这一层共有多少人？
解析
方阵相邻两层每边相差的人数为2。

最外层每边有8人，那么从外往里数第二层每边人数为公式人。

对于这一层的人数，根据公式公式（这里公式），可得人数为公式人。

3. 题目
同学们排成方阵做操，小红的位置从左数是第4个，从右数是第3个，从前数是第5个，从后数是第6个，这个方阵一共有多少人？
解析
小红从左数是第4个，从右数是第3个，那么这一行的人数为公式
人（因为小红被重复计算一次，所以要减1）。

小红从前数是第5个，从后数是第6个，那么这一列的人数为公式
人。

所以方阵的总人数为公式人。

四年级奥数第10讲：方阵问题-课件

相邻两层的总数相差8。相邻两层每边数相差2。
最外层共有积木： 16×4-4= 60（块）最内层共有积木： 10×4-4=36（块）方法一： 60+52+44+36= 192（块）方法二：空心方阵的总数=（最外层每边数-空心方阵的层数）×空心方
阵的层数×4；
中空方阵的层数：（60-36）÷8+1=4（层）空心方阵总积木：（16-4）×4×4=192（块）
例题五（选讲）
国庆节阅兵仪式上，有一支240人的队伍排成一个五层空心的方阵，这个方阵最外层有多少人？
相邻两层的总数相差8。
中间一层的人数为： 240÷5= 48（人）最外第二层的人数为： 48+8=56（人）
最外层的人数为： 48+16=64（人）验证： 32+40+48+56+64= 240（人）
例题二
卡尔用棋子摆了一个实心方阵，如果再加上7枚棋子，就可以使原来的方阵增加一行一列，成为一个大一点的实心方阵。原来的方阵由多少枚棋子组成？
每边棋子数＝（增加一行、一列的总数+1）÷2
现在每边棋子数：（7+1）÷2=4（枚）原来方阵的棋子数： 4×4-7=9（枚）
答：原来的方阵由9枚棋子组成。
小结
这堂课我们学习了哪些方阵的知识？
当行数和列数相等正好排成一个正方形，这样的方队我们就叫做方阵。
方阵问题相关的知识点是：方阵每边数＝（增加一行、一列的总数+1）÷2 实心方阵的总人数=每边的人数×每边的人数。
例题三
体育课上，幼儿园小班的学生围着老师摆成一个两层的空心方阵，外层每一边有8人，求小班的总人数？
请你猜一猜？

四年级奥数第18讲方阵问题

第 18 讲方阵问题一、知识概要1、方阵可以分为实心方阵和空心方阵。

2、方阵的基本特点是：方阵中，里一层总比外一层的一边少 2 个物体，里一层物体的个数一定比上一层物体总个数少 8 个。

3、实心方阵中，物体个数=最外层的一边个数×最外层一边的个数；（每边数—1）×4=每层数；每层数÷4+1=每边数4、空心方阵中物体的个数=（最外层一边个数—层数）×层数×45、去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数×2-1二、典型例题1、有一个正方形的稻田，四个角上都放 1 个稻草人，如果每边放 5 个，四边共放多少个稻草人？2、有一个正方形池塘，四个角上都栽 1 棵树，一共栽了 28 棵树，那么每边栽多少棵？3、同学们排成一个两层空心方阵，外层每边 8 人，这个方阵一共有多少人？4、把若干个棋子摆成一个三层的空心方阵，最外层每边 12 个棋子，求这个方阵共有多少个棋子？5、同学们在军训时排成了一个由 204 人组成的三层空心方阵，求最外面一层每边有多少人？6、某小学举行运动会，同学们排成正方形队列参加团体操表演。

如果在这个正方形队列中减少一行一列，则要减少 15 人，问参加团体操表演的有多少同学？7、在儿童公园的一次菊花展上，用 120 盆菊花摆成一个三层空心方阵，这个方阵最外层每边有多少盆花？8、一个中空方阵的队列，最外层每边 18 人，最内层每边 10 人。

这个队列共有多少人？9、用 64 枚棋子摆成一个两层中空方阵，如果想在外面再增加一层，问需要增加多少枚棋子？10、学校组织一次团体操表演，把男生排列成一个实心方阵，又在这个实心方阵四周站一排女生。

女生有 72 人参加表演，男生有多少人？三、针对练习1、在正方形的广场四周装彩灯，四个角上都装一盏，每边装 25 盏，问这个广场一共需装彩灯多少盏？2、小强用棋子排成了一个每边 11 枚的中空方阵，共 2 层，求这个方阵共用多少枚棋子？3、小刚在用棋子摆好的实心阵上又填了 17 枚棋子，使它的横竖各增加一排，成了大一点的实心方阵，求原来实心方阵有多少枚棋子？4、解放军进行排队表演，组成一个外层有 48 人，内层有 16 人的多层中空方阵，这个方阵有几层？一共有多少人？5、有一个用圆片摆成的两层中空方阵，外层每边有 16 个圆片，如果把内层的圆片取出来，在外层再摆一层，变成一个新的中空方阵，应再增加多少圆片？6、用棋子摆成方阵，恰好每边24 粒的实心方阵，若改为3 层的空心方阵，它的最外层每边应改放多少粒?7、有学生若干名，排成中实的方阵则多 2 人，若在这正方阵纵横两个方向个增加一行还缺五人，问有学生多少人？8、仪仗队员组成两个实心方阵，甲方阵每边 12 人，后来两队合在一起排成一个中空方阵的丙方阵，丙方阵最外层一边人数比乙方阵最外层一边人数多 4 人，又原来甲方阵的人正好填满丙方阵空心。

四年级奥数方阵问题

四年级奥数方阵问题方阵问题是一类非常经典的数学问题，尤其在奥数学习中更为常见。

所谓方阵问题，就是指将一群数按照列或者行的形式排列成一个方阵，然后考察方阵中各数之间的关系以及如何通过已知的数求出其他数的位置。

一、方阵的排列规律我们需要明白方阵是如何排列的。

一个 n x n的方阵是由 n^2个数按照行或列的方式排列而成的。

以 3 x 3的方阵为例，我们可以将其排列如下：1 2 34 5 67 8 9在这个方阵中，每一行都是从 1开始逐渐递增的数字，每一列则是从 1开始逐渐递增的数字。

同时，每一行和每一列都有一个共同的规律，即从第一个数开始，每隔一个数就出现一次。

例如第一行中，第一个数是 1，第二个数是 2，第三个数是 3；第二行中，第一个数是 4，第二个数是 5，第三个数是 6；第三行中，第一个数是 7，第二个数是 8，第三个数是 9。

二、方阵中数的计算方法在方阵中，我们可以很容易地找到一些数的规律。

例如，对于任意一个 n x n的方阵，我们可以发现：1、每一行或每一列的和都是 n(n+1)/2。

2、每一行或每一列的平均值都是 (n+1)/2。

3、对于任意一个数 i，它在每一行中出现的次数都是 n-i+1次（从第 i个数开始）。

4、对于任意一个数 i，它在每一列中出现的次数都是 n-i+1次（从第 i个数开始）。

三、例题解析例1：有一个 5 x 5的方阵，已知第一行的和为 10，第二行的和为 15，第三行的和为 20，第四行的和为 25，那么第五行的和是多少？分析：由于每一行或每一列的和都是 n(n+1)/2，所以第五行的和为：5 x (5+1) / 2 - (10 + 15 + 20 + 25) = 50 - 70 = -20。

例2：有一个 4 x 4的方阵，已知第一列的和为 10，第二列的和为 15，第三列的和为 20，那么第四列的和是多少？分析：由于每一行或每一列的和都是 n(n+1)/2，所以第四列的和为：4 x (4+1) / 2 - (10 + 15 + 20) = 20 - 45 = -25。

四年级奥数学习讲义第18讲方阵问题练习及答案

第18讲方阵问题
一、知识概要
1、方阵可以分为实心方阵和空心方阵。

2、方阵的基本特点是：方阵中，里一层总比外一层的一边少2个物体，里一层物体的个数一定比上一层物体总个数少8个。

3、实心方阵中，物体个数=最外层的一边个数×最外层一边的个数；
（每边数—1）×4=每层数；每层数÷4+1=每边数
4、空心方阵中物体的个数=（最外层一边个数—层数）×层数×4
5、去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数×2-1
二、典型例题
1、有一个正方形的稻田，四个角上都放1个稻草人，如果每边放5个，四边共放多少个稻草人？
2、有一个正方形池塘，四个角上都栽1棵树，一共栽了28棵树，那么每边栽
多少棵？
3、同学们排成一个两层空心方阵，外层每边8人，这个方阵一共有多少人？
4、把若干个棋子摆成一个三层的空心方阵，最外层每边12个棋子，求这个方阵共有多少个棋子？
5、同学们在军训时排成了一个由204人组成的三层空心方阵，求最外面一层每边有多少人？
6、某小学举行运动会，同学们排成正方形队列参加团体操表演。

如果在这个正
方形队列中减少一行一列，则要减少15人，问参加团体操表演的有多少同学？
7、在儿童公园的一次菊花展上，用120盆菊花摆成一个三层空心方阵，这个方阵最外层每边有多少盆花？
8、一个中空方阵的队列，最外层每边18人，最内层每边10人。

这个队列共有多少人？。

小学四年级奥数题等量代换、方阵问题

小学四年级奥数题等量代换、方阵问题1.小学四年级奥数题等量代换1、一头牛一天吃草的重量和一只兔子9天吃草的重量相等，也和6只羊一天吃草的重量相等，已知一头牛一天吃青草18千克，一只兔子和一只羊一天共吃青草多少千克？【答案】因为一头牛一天吃草的重量和一只兔子9天吃草的重量相等，也就是一只兔子9天吃草的重量是18千克，即一只兔子一天共吃青草18÷9=2千克；又因为头牛一天吃草的重量也和6只羊一天吃草的重量相等，也就是6只羊一天吃草的重量是18千克，即一只羊一天共吃青草18÷6=3千克，所以一只兔子和一只羊一天共吃青草2+3=5千克。

2、有6个筐里放着同样多的鸡蛋，如果从每个筐里拿出50个鸡蛋，则6个筐里剩下的鸡蛋个数的总和等于原来两个筐里鸡蛋个数的总和，原来每个筐里有鸡蛋多少个？【思路】根据“6个筐里剩下的鸡蛋个数的总和等于原来两个筐里鸡蛋个数的总和”，说明6个筐里取出的鸡蛋个数的总和等于原来6-2=4（筐）里鸡蛋个数的总和，用取出的50X6=300（个）鸡蛋除4就可以求出原来每个筐里鸡蛋的个数。

【详解】50X6=300（个）6-2=4（位）300÷4=75（个）答：原来每筐有75个鸡蛋。

3、已知A+B=24B=A+A+A求A=?B=?解：将两个等式编号：A+B=24(1)B=A+A+A(2)将(1)式中的B用(2)式中的3个A代替得A+A+A+A=24所以A=6,B=182.小学四年级奥数题等量代换1、用3个鹅蛋能换9个鸡蛋，2个鸡蛋能换4个鸽子蛋，用5个鹅蛋能换多少个鸽子蛋？2、20个桃子可换2个香瓜，9个香瓜可换3个西瓜，8个西瓜可换多少个桃子？3、2头猪可换4只羊，3只羊可换6只兔子，3头猪可换几只兔子？4、已知A+B=24B=A+A+A求A=?B=?5、3袋大米和4袋黄豆共重425千克，6袋大米和3袋黄豆共重600千克，每袋大米重多少千克？3.小学四年级奥数题方阵问题1、在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行22人，参加体操表演的同学一共有多少人？2、有一个3层中空方阵，最外边一层有10人，求全方阵的人数。

四年级奥数思维训练第1讲方阵问题

第一讲方阵问题(一
学生排队,士兵列队,横着排叫做行,竖着排叫做列.如果行数与列数都相等,则正好排成一个正方形,这种图形就叫方队,也叫做方阵(亦叫乘方问题。

方阵的基本特点是:
①方阵不论在哪一层,每边上的人(或物数量都相同.每向里一层,每边上的人数就少2。

②每边人(或物数和四周人(或物数的关系:
四周人(或物数=[每边人(或物数-1]×4;
每边人(或物数=四周人(或物数÷4+1。

③中实方阵总人(或物数=每边人(或物数×每边人(或物数。

例1:有一条公路长900米,在公路的一侧从头到尾每隔10米栽一根电线杆,可栽多少根电线杆?
分析:要以两棵电线杆之间的距离作为分段标准.公路全长可分成若干段.由于公路的两端都要求栽杆,所以电线杆的根数比分成的段数多1。

解:以10米为一段,公路全长可以分成
900÷10=90(段共需电线杆根数:90+1=91(根
练习与作业
1.四年级同学参加广播体操比赛,要排列成每行11人,共11行的方阵。

这个方阵里有多少同学?
2.用棋子排成一个6×6的正方形,共需用棋子多少枚?
3.有1764棵树苗,准备在一块正方形的苗圃(实心方阵里栽培。

这个正方形苗圃的每边要栽多少棵树苗?
4. 576人排成一个实心方阵,这个方阵每边多少人?
5.棋子若干只,恰好可以排成每边6只的正方形,棋子的总数是多少?棋子最外层有多少?
6.在大楼的正方形平顶四周装彩灯,四个角都装一盏,每边装25盏,四周共装彩灯多少盏?。