固体物理作业及答案

固体物理作业
2.1 光子的波长为20 nm ，求其相应的动量与能量。

答：
由
λ
h
P =，υh E =得：
动量12693410313.3102010626.6----⋅⋅⨯=⨯⋅⨯==m s J m
s J h
P λ 能量J m
s m s J c
h
h E 189
1
834
10932.9102010998.210
626.6----⨯=⨯⋅⨯⨯⋅⨯===λ
υ
2.2 作一维运动的某粒子的波函数可表达为：
, 求归一化常数A? 粒子在何处的几率最大？
答：
再由2
)()(x x ψω=得：
2
2
2
)()(x a x A x -=ω 其中 a x ≤≤0；
322222462)
(x A x aA x A a dx x d +-=ω 令0)(=dx x d ω得：2
,21a x a x ==
而a x =1时，0)(=x ω，显然不是最大； 故当2
2a
x =
时，粒子的几率最大。

3.1 晶体中原子间的排斥作用和吸引作用有何关系？在什么情况下排斥力和吸引力分别起主导作用？ 答：
在原子由分散无规的中性原子结合成规则排列的晶体过程中, 吸引力起到了主要作用. 在吸引力的作用下, 原子间的距离缩小到一定程度, 原子间才出现排斥力. 当排斥力与吸引力相等时, 晶体达到稳定结合状态. 可见, 晶体要达到稳定结合状态, 吸引力与排斥力缺一不可. 设此时相邻原子间的距离为0r , 当相邻原子间的距离0r r 时, 吸引力起主导作用;当相邻原子间的距离0r r 时, 排斥力起主导作用。

3.2
已知某晶体中相邻两原子间的相互作用势能可表达为：
(1) 求出平衡时两原子间的距离；(2) 平衡时的结合能；(3) 若取m=2, n=10，两原子间的平衡距离为3 Å，晶体的结合能为4 eV/atom 。

请计算出A 和B 的值。

答：
设平衡时原子间的距离为0r 。

达到平衡时，相互作用势能应具有最小值，即)(r u 满
足：
0)(0
=∂∂r r
r u ，求得m
n Am
Bn r -=1
0)(……（1） 将0r 代入，得平衡时的结合能m
n m
n m Am
Bn Am
Bn A r u --+-
=n 0)(
B )()( (2)
当m=2，n=10时，由（1）式得
5B=A 0r 8，
再由0r =3Å，)(0r u -=4eV 代人（2）式可得： 109610
001090.54
)(m eV r r u B ⋅⨯=-
=- 2
1920001002
01050.4)(45)(m eV r r u r u r r A ⋅⨯=-=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-=-B
4.1 一定温度下，一个光学波的声子数目多，还是声学波的声子数目多？ 答：
频率为的格波的(平均) 声子数为：
.
因为光学波的频率比声学波的频率高, ()大于(), 所以
在温度一定情况下, 一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目.
4.2 爱因斯坦模型和德拜模型的主要近似分别是什么？简述德拜温度及其物理意义。

答：
爱因斯坦模型的主要近似是：晶格中N 个原子的振动可以看作室相互独立的，所有原子都具有同一频率ω0；
德拜模型的主要近似是：以连续介质的弹性波来代替格波，将布拉菲晶格看作是各向同性的连续介质，有1个纵波和2个独立的横波。

德拜温度：B
m
D k ω =
Θ， 计算结果表明低温极限下：3
4)(1512)(D
D v T R T C Θ=Θπ——与温度的3次方成正比。

温度愈低，德拜近似愈好，说明在温度很低时，只有长波格波的激发是主要的。

5.1 有一正方格子边长为2 Å，每个原胞有3个电子，请求此晶体的费米波矢和费
米能。

答：
首先求出电子浓度n ，
3
233831075.3)
102(33--⨯=⨯==
cm a n 于是费米波矢为
1
83
1
2
1023.2)3(-⨯==cm n k F π
费米能为：
eV kg cm s J m k F F 95.1810110.92)1023.2()10055.1(2312
182342
2=⨯⨯⨯⨯⋅⨯==--- ε
5.2 请求面心立方格子的倒格子基矢和第一布里渊区。

答：
面心立方格子原胞基矢：)(21k j a a +=，)(22i k a a +=，)(2
3j i a a
+=
由倒格子基矢量方程：
[]3213
212a a a a a b ⨯⋅⨯=π
[]
3211
322a a a a a b ⨯⋅⨯=π
[]
3212
132a a a a a b ⨯⋅⨯=π
得到倒格子基矢：)(21k j i a
b ++-=π，)(22k j i a b
+-=
π，)(23k j i a b +-=π ——边长为a
π
4的体心立方格子
第一布里渊区为原点和8个近邻格点连线的垂直平分面围成的正八面体，和沿立方轴的6个次近邻格点连线的垂直平分面割出八面体的六个角，形成的14面体。

八个面是正六方形，六个面是正四边形。

6.1 为什么温度升高，费米能反而降低？
答：
当
时, 有一半量子态被电子所占据的能级即是费密能级. 温度升高, 费密面附近
的电子从格波获取的能量就越大, 跃迁到费密面以外的电子就越多, 原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半, 有一半量子态被电子所占据的能级必定降低. 也就是说, 温度升高, 费密能反而降低.
6.2 证明平衡时P-N 结的接触电势差为：N
p
B D P P q T k V ln
=，其中P P 和P N 分别为P 区和N 区的空穴浓度。

答：
正负载流子在PN 结处聚集，在PN 结内部形成电场——自建场。

这个场对于N 区的电子和
P 区的空穴是一个势垒。

势垒的作用一方面阻止N 区大浓度的电子向P 区扩散，另一方面也阻止P 区大浓度的空穴向N 区扩散。

平衡PN 结中是载流子的扩撒和漂移运动的相对平衡。

由于扩散和漂移形成平衡电荷，满足波尔兹曼统计规律，N 区和P 区热平衡下空穴浓度分别为：
T
k E E N B F e
N P +--
+= 其中+N 为价带顶态密度，
T
k E qV E P B F
D e
N P -+-
++= +E 、F E 分别为价带顶能级和费米能级
两式相比 T k qV P
N
B D
e P P -= 故有 T
k qV P P B D P N -=ln
从而可得到平衡时PN 结的接触电势差为：N p
B D P P q T k V ln
=
7.1 自由原子的磁矩的主要来源是什么？
答：
自由原子的磁矩包括电子的磁矩和原子核的磁矩。

原子核的磁矩小于电子磁矩的千分之一，通常忽略不计；而电子磁矩由电子的自旋磁矩和轨道磁矩构成。

故自由原子的磁矩主要来源于电子的轨道运动和电子的自旋。

7.2哪一类磁性物质能发生自发磁化？请用海森堡交换模型进行解释。

答：
铁磁性物质能发生自发磁化。

铁磁性自发磁化起源于电子间的静电交换相互作用。

海森堡提出磁矩之间的强相互作用是由近邻原子之间的直接交换作用造成的。

而参与交换作用的电子是局域在原子附近的，故海森堡交换模型又称为局域电子模型。

以氢分子为例。

两个氢原子结合在一起时，能量依赖于两个电子的自旋取向：自旋相反是，能量为k+J e；自旋平行时，能量为k-J e。

它们的差别在于交换能J e。

氢分子中J e<0,自旋相反的状态能量更低，这正是氢分子的基态。

设想交换能具有正值J e>0，自旋平行时能量将更低，即原子之间的相互作用促使它们的自旋平行。

原子之间正的交换能提供了一种如外斯所设想的使磁矩平行的相互作用。