固体物理作业及答案

固体物理作业

2.1 光子的波长为20 nm ，求其相应的动量与能量。 答：

由

λ

h

P =，υh E =得：

动量12693410313.3102010626.6----⋅⋅⨯=⨯⋅⨯==m s J m

s J h

P λ 能量J m

s m s J c

h

h E 189

1

834

10932.9102010998.210

626.6----⨯=⨯⋅⨯⨯⋅⨯===λ

υ

2.2 作一维运动的某粒子的波函数可表达为：

, 求归一化常数A? 粒子在何处的几率最大？

答：

再由2

)()(x x ψω=得：

2

2

2

)()(x a x A x -=ω 其中 a x ≤≤0；

322222462)

(x A x aA x A a dx x d +-=ω 令0)(=dx x d ω得：2

,21a x a x ==

而a x =1时，0)(=x ω，显然不是最大； 故当2

2a

x =

时，粒子的几率最大。

3.1 晶体中原子间的排斥作用和吸引作用有何关系？在什么情况下排斥力和吸引力分别起主导作用？ 答：

在原子由分散无规的中性原子结合成规则排列的晶体过程中, 吸引力起到了主要作用. 在吸引力的作用下, 原子间的距离缩小到一定程度, 原子间才出现排斥力. 当排斥力与吸引力相等时, 晶体达到稳定结合状态. 可见, 晶体要达到稳定结合状态, 吸引力与排斥力缺一不可. 设此时相邻原子间的距离为0r , 当相邻原子间的距离0r r 时, 吸引力起主导作用;当相邻原子间的距离0r r 时, 排斥力起主导作用。

3.2

已知某晶体中相邻两原子间的相互作用势能可表达为：

(1) 求出平衡时两原子间的距离；(2) 平衡时的结合能；(3) 若取m=2, n=10，两原子间的平衡距离为3 Å，晶体的结合能为4 eV/atom 。请计算出A 和B 的值。 答：

设平衡时原子间的距离为0r 。达到平衡时，相互作用势能应具有最小值，即)(r u 满

足：

0)(0

=∂∂r r

r u ，求得m

n Am

Bn r -=1

0)(……（1） 将0r 代入，得平衡时的结合能m

n m

n m Am

Bn Am

Bn A r u --+-

=n 0)(

B )()( (2)

当m=2，n=10时，由（1）式得

5B=A 0r 8，

再由0r =3Å，)(0r u -=4eV 代人（2）式可得： 109610

001090.54

)(m eV r r u B ⋅⨯=-

=- 2

1920001002

01050.4)(45)(m eV r r u r u r r A ⋅⨯=-=⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡-=-B

4.1 一定温度下，一个光学波的声子数目多，还是声学波的声子数目多？ 答：

频率为的格波的(平均) 声子数为：

.

因为光学波的频率比声学波的频率高, ()大于(), 所以

在温度一定情况下, 一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目.

4.2 爱因斯坦模型和德拜模型的主要近似分别是什么？简述德拜温度及其物理意义。 答：

爱因斯坦模型的主要近似是：晶格中N 个原子的振动可以看作室相互独立的，所有原子都具有同一频率ω0；

德拜模型的主要近似是：以连续介质的弹性波来代替格波，将布拉菲晶格看作是各向同性的连续介质，有1个纵波和2个独立的横波。

德拜温度：B

m

D k ω =

Θ， 计算结果表明低温极限下：3

4)(1512)(D

D v T R T C Θ=Θπ——与温度的3次方成正比。

温度愈低，德拜近似愈好，说明在温度很低时，只有长波格波的激发是主要的。

5.1 有一正方格子边长为2 Å，每个原胞有3个电子，请求此晶体的费米波矢和费

米能。 答：

首先求出电子浓度n ，

3

233831075.3)

102(33--⨯=⨯==

cm a n 于是费米波矢为

1

83

1

2

1023.2)3(-⨯==cm n k F π

费米能为：

eV kg cm s J m k F F 95.1810110.92)1023.2()10055.1(2312

182342

2=⨯⨯⨯⨯⋅⨯==--- ε

5.2 请求面心立方格子的倒格子基矢和第一布里渊区。 答：

面心立方格子原胞基矢：)(21k j a a +=，)(22i k a a +=，)(2

3j i a a

+=

由倒格子基矢量方程：

[]3213

212a a a a a b ⨯⋅⨯=π

[]

3211

322a a a a a b ⨯⋅⨯=π

[]

3212

132a a a a a b ⨯⋅⨯=π

得到倒格子基矢：)(21k j i a

b ++-=π，)(22k j i a b

+-=

π，)(23k j i a b +-=π ——边长为a

π

4的体心立方格子

第一布里渊区为原点和8个近邻格点连线的垂直平分面围成的正八面体，和沿立方轴的6个次近邻格点连线的垂直平分面割出八面体的六个角，形成的14面体。八个面是正六方形，六个面是正四边形。

6.1 为什么温度升高，费米能反而降低？

答：

当

时, 有一半量子态被电子所占据的能级即是费密能级. 温度升高, 费密面附近

的电子从格波获取的能量就越大, 跃迁到费密面以外的电子就越多, 原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半, 有一半量子态被电子所占据的能级必定降低. 也就是说, 温度升高, 费密能反而降低.

6.2 证明平衡时P-N 结的接触电势差为：N

p

B D P P q T k V ln

=，其中P P 和P N 分别为P 区和N 区的空穴浓度。

答：

正负载流子在PN 结处聚集，在PN 结内部形成电场——自建场。这个场对于N 区的电子和

P 区的空穴是一个势垒。势垒的作用一方面阻止N 区大浓度的电子向P 区扩散，另一方面也阻止P 区大浓度的空穴向N 区扩散。平衡PN 结中是载流子的扩撒和漂移运动的相对平衡。 由于扩散和漂移形成平衡电荷，满足波尔兹曼统计规律，N 区和P 区热平衡下空穴浓度分别为：

T

k E E N B F e

N P +--

+= 其中+N 为价带顶态密度，

T

k E qV E P B F

D e

N P -+-

++= +E 、F E 分别为价带顶能级和费米能级

两式相比 T k qV P

N

B D

e P P -= 故有 T

k qV P P B D P N -=ln

从而可得到平衡时PN 结的接触电势差为：N p

B D P P q T k V ln

=

7.1 自由原子的磁矩的主要来源是什么？