《现代数字信号处理》杨绿溪 第2-3章习题答案

可列出： ⎨
⎧A − B / 2 = 3/ 4 ⎧ A = 9 /10 ，解得： ⎨ ⎩ −A/ 3+ B = 0 ⎩ B = 3 /10 9 1 3 z 9 1 9 z 故： Pxy ( z ) = ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ − 1 − 1 10 (1 − 1 10 (1 − 1 10 (1 − 1 10 z − 3 2 z ) 3 z) 2 z )
-2-
《现代数字信号处理》习题答案
(c) 可以先求出 ryx ( k ) = h ( k ) ∗ rx ( k ) ，然后 rxy ( k ) = ryx 不妨先计算 Pxy ( z ) ：
1− ( 1 27 1 k 3 9 3) (b) 由于 Py ( z ) = ⋅ ⋅ ， 所以， ry ( k ) = ⋅( ) 1 − 1 32 3 4 8 (1 − 1 3 z )(1 − 3 z )
i =1
N
1 N
2
ˆ ) ∑ (x − m
i =1 i x 2 2
N
2
是否是无偏的？即
ˆ x − E{σ ˆ x }) } 。 (b) 若 x 是高斯随机变量，试求样本方差估计的方差 E{(σ
解： (a)
ˆ x} = E {m
1 N
∑ E { x } = N Nm
i =1 i
N
N
1
x
ˆ x 是无偏的。记 m ˆx = x 。 = mx , m
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第二章 离散随机信号分析基础
2 2.1 设x是均值为mx，方差为 σ x 的随机变量， xi , i = 1, 2,..., N 是x的N个独立观测值。
ˆx = (a) 若定义样本均值 m
2 2 ˆx Eσ =σx ？
{ }
1 N百度文库
∑ xi , 则样本方差估计 σˆ x2 =
1 −1 1 z ) /(1 − z −1 ) ，它受零均值的指数 2 3 1 k 相关噪声 x(n)的激励产生随机过程 y ( n) = x( n) ∗ h( n) 。已知 x(n)的自相关序列为 rx ( k ) = ( ) ， 2
(b) y (n) 的自相关序列 ry ( k ) ； (d) 互功率谱 Pxy ( z ) ，它是互相关 rxy ( k ) 的 z 变换。
2 j i j
=
2 N −1 2 N −1 2 2 ⎤ σx σx + 2⎡ E x x E x x E x x E x − − + { } { } { } { } i j i j ⎣ ⎦ N N 2
⎛ σ x2 σ x2 σ x2 ⎞ ( N − 1) 2 4 2 σ δ σ 2 = + − − + ⎜ ij x ⎟ x N2 N N N ⎠ ⎝
k
试求： (a) y (n) 的功率谱 Py ( z ) ； (c) x( n) 和 y (n) 之间的互相关 rxy ( k ) ； 解：(a) x(n)的功率谱为：
Px ( z ) =
Py ( z ) = Px ( z ) H ( z ) H * (1 z * )
k =−∞
∑
∞
−k k rx (k ) z − k = ∑ ( 1 + ∑( 1 2) z 2 ) z −1 =
{ }
N
( N − 1) 2 4 σx N2
− x)
（I）
∑∑ ( x − x ) ( x
2 i =1 j =1 i
2
N
2
j
对于高斯随机变量， E
2 i
{( x − x ) ( x − x ) } = E {( x − x ) } E {( x − x ) } + 2 ⎡ E {( x − x ) ( x − x )}⎤ ⎣ ⎦
4 ˆx =E σ −
4 ˆx = E {σ }−2
4 ˆx =?，首先得： 关键是求 E σ 4 ˆx = σ N 2⎫ 1 ⎧N 1 2⎫⎧ − x x ( ) ⎬ ⎨∑ ( x j − x ) ⎬ = 2 i 2 ⎨∑ N ⎩ i =1 ⎭ ⎩ j =1 ⎭ N
2 2 i j
{ }
N − 1 2 N − 1 2 ( N − 1) 2 4 σx σx + σx N N N2
k
9 ⎛1⎞ 9 k 因此取其逆 z 变换得： rxy ( k ) = ⎜ ⎟ u ( k ) − 3 u ( −k − 1) 10 ⎝ 2 ⎠ 10 3 1 (d) 已算出 Pxy ( z ) = ⋅ 1 −1 4 (1 − 2 z )(1 − 1 3 z)
2.5 求如下自相关序列所对应的宽平稳随机过程的功率谱： (a) rx ( k ) = 2δ ( k ) + jδ ( k − 1) − jδ ( k + 1) (c) rx ( k ) = 2δ ( k ) + cos(π k / 4) 解：(a) Px e (b) rx ( k ) = δ ( k ) + 2(0.5) (d) rx (k ) =
k =1
2 其中 w( n) 是方差为 σ w ∑ a(k ) x(n − k ) + w(n) ， 2
p
的白噪声过程。另一个过程 z(n)是 x( n) 与噪声之和： z ( n) = x( n) + v( n) , v( n) 是白差为 σ v 的 白噪声，且与 w( n) 不相关。试求：(a) x( n) 的功率谱；(b) z ( n) 的功率谱。 解：(a) H ( z ) =
( N − 1) 2 4 1⎞ ⎛ σ x + 2 ⎜ δ ij − ⎟ σ x4 = 2 N⎠ N ⎝
2
-1-
《现代数字信号处理》习题答案
( N − 1) 2 4 ( N − 1) 2 4 ⎛ N −1 ⎞ 4 当 i=j 时，上式 = σ σ σx + 2 = 3 x ⎜ ⎟ x N2 N2 ⎝ N ⎠ ( N − 1) 2 4 2 4 N 2 − 2 N + 3 4 当 i≠j 时，上式 = σx + 2 σx = σx N2 N N2 2 1 N N 2 4 ˆx 所以有， E {σ x − x ) (xj − x ) }= N 2 ∑∑ ( i i =1 j =1 1 ( N − 1) 2 4 N 2 − 2N + 3 4 σ x + N ( N − 1) σx =N 23 N N2 N2 3( N − 1) 2 + ( N − 1)( N 2 − 2 N + 3) 4 N 2 − 1 4 σx = σx = N3 N2 2 2 N 2 − 1 4 ( N − 1) 4 2 ( N − 1) 4 2 2 ˆ x − E {σ ˆx } = σx − σx = σx 代入（I）式得： E σ N2 N2 N2 N → ∞， 估计的方差 → 0 ，所以样本方差估计是渐进无偏的。
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
由于各样本 xi 是独立同分布的，故有：
⎧ ⎡ ⎪ N ⎢ N −1 1 1 1 ⎧ ⎫ 2 2 ˆx E {σ E ( x x ) E ( xi − mx ) − = − = } ⎨N ∑ i ⎬ ⎨∑ ⎢ N ⎩ i =1 ⎭ N ⎪ i =1 N ⎢ ⎣ ⎩ = 1 N ⎡ ( N − 1) 2 2 ( N − 1) 2 ⎤ σx + σx ⎥ N ⎢ 2 2 N N ⎣ ⎦ =
⎤ ( x j − mx ) ⎥ ∑ ⎥ j =1 ⎥ j ≠i ⎦
N
2
N2 − N 2 ( N − 1) 2 σx = σx 2 N N
因此，它是有偏的，但渐进无偏。 或者，
2 ˆx E {σ }=
1 N 1 N 2 ( ) E x − x = E {[( xi − mx ) − ( x − mx )]2 } { } ∑ ∑ i N i =1 N i =1 N 1 E {( xi − mx ) 2 } − 2 E {( xi − mx ) ⋅ ( x − mx )} + E {( x − mx ) 2 }⎤ = ∑⎡ ⎦ N i =1 ⎣ = 1 N
k
( ) = 2 + je
jω
{
10 − k ; k < 10 0 ; 其它
− jω
− je jω = 2 + 2sin ω ，显然它是正实的。
(b) Px ( z ) = 1 + 2 ⋅
1 − 0.25 3 1 = 1 + ⋅ 5 z + z −1 , −1 (1 − 0.5z ) (1 − 0.5z ) 2 4 − 2
1 1− ∑ a (k ) z
k =1 2 v p
−k
2 2 , Px ( z ) =H ( z ) H * (1/ z * ) σ w =σw
1 1− ∑ a (k ) e
k =1 p
2
− jkω
(b) Pz ( z ) = Px ( z ) + σ
2.4 设给定一个线性移不变系统，其系统函数为 H ( z ) = (1 −
2 *
。 ( −k ) ，但计算太复杂（略去）
Pxy ( z ) =
Py ( z )
−1 (1 − 1 A Bz 3 1 3 1 3 z ) = ⋅ ⋅ = ⋅ = + 1 1 −1 1 −1 1 1 −1 1 −1 H ( z ) 4 (1 − 3 z )(1 − 3 z ) (1 − 2 z ) 4 (1 − 3 z )(1 − 2 z ) (1 − 2 z ) (1 − 1 3 z)
k k =0 k =0
∞
∞
1 1− z
1 2 −1
+
1 3 1 −1 = ⋅ 1 1 −1 1− 2 z 4 (1 − 2 z )(1 − 1 2 z)
−1 1 (1 − 1 3 1 3 1 2 z ) (1 − 2 z ) = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ −1 1 −1 1 1 −1 1 1 4 (1 − 2 z )(1 − 2 z ) (1 − 3 z ) (1 − 3 z ) 4 (1 − 3 z )(1 − 1 3 z )
2
{(
)}
2.2 设 x( n) 是零均值平稳随机过程，自相关为 rx ( k ) 。构造随机过程 y (n) 为： y ( n) = x( n) + f ( n) ， 其中 f ( n) 是已知的确定性序列。试求 y (n) 的均值 m y ( n) 和自相关 ry ( k , l ) 。 解： m y ( n ) = E x ( n ) + f ( n ) = f ( n )
3 1 6 11 − 4 cos ω Px ( e jω ) = 1 + ⋅ 5 = 1+ = 2 4 − cos ω 5 − 4 cos ω 5 − 4 cos ω
+e 4 π π (c) rx ( k ) = 2δ ( k ) + ⇒ Px ( e jω ) = 2 + π ⎡ ⎣δ (ω − 4 ) + δ (ω + 4 ) ⎤ ⎦ 2 (d) rx ( k ) = WR10 ( k ) ∗ WR10 ( k ), WR10 ( k ) 是[0, 10]区间的矩形窗， e sin 10 sin 5ω 2 ω 且其付氏变换为： = ， 1 sin 2 ω sin 1 2ω
* * * ⎡ x (k ) + f (k ) ⎦ ⎤⎡ ry ( k , l ) = E { y (k ) y ∗ (l )} = E ⎣ ⎣ x (l ) + f (l ) ⎤ ⎦ = rx ( k − l ) + f (k ) f (l )
{
}
{
}
2.3 设离散时间随机过程 x( n) 是如下产生：x( n) =
jπ k 4
− jπ k
⎡ sin 5ω ⎤ 所以有 Px ( e ) = ⎢ ⎥ 1 ⎣ sin 2 ω ⎦
jω
2
2.6 求下列功率谱密度函数所对应的自相关序列：
1 −2 z 2 + 5 z − 2 (c) Px ( z ) = 5 + 3cos ω 3z 2 + 10 z + 3 jω jω − jω 解：(a) 因 Px ( e ) = 3 + e + e ，所以 rx ( k ) = 3δ ( k ) + δ ( k + 1) + δ ( k − 1)
σ ∑⎢ ⎣
i =1
N
⎡
2 x
−
2 2 1 2⎤ σx + σx ⎥ N N ⎦
=
N −1 2 σx N
(b) E
{(σ
2
x
− E {σ x }
2
)}
2
⎧⎛ 2 N − 1 2 ⎞ 2 ⎪ ⎫ ⎧ N − 1 2 2 ( N − 1) 2 4 ⎫ ⎪ ˆx − = E ⎨⎜ σ σ x ⎟ ⎬ = E ⎨σ x4 − 2 σ xσ x + σx ⎬ 2 N N N ⎝ ⎠ ⎩ ⎭ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭
(a) Px (e ) = 3 + 2 cos ω
jω
(b) Px (e ) =
jω
(b) Px (e ) =