归纳函数极限的计算方法

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归纳函数极限的计算方法

摘 要 ：本文总结出了求极限的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限.

关键词 ：函数极限；计算方法；洛必达法则; 四则运算

The sum of the Method of Computing Function Limit

Abstract ：The write sums up in this article several ways of extacting the limit by the means of definition, formula,nature, theorem and so on.

Key Words ：Function Limit ；Computing method ；L’Hospita l rules; Four fundamental rules

前言

极限的概念是高等数学中一个最基本、最重要的概念，极限理论是研究连续、导数、积分、级数等的基本工具，因此正确理解和运用极限的概念、掌握极限的求法，对学好数学分析是十分重要的.求极限的方法很多且非常灵活，本文归纳了函数极限计算的一些常见方法和技巧.

1. 预备知识

1.1函数极限的εδ-定义]1[

设函数f 在点0x 的某个空心邻域'0(;)U x δ内有定义，A 为定数，若对任给的0ε>，存在正数'()δδ<，使得当00||x x δ<-<时有|()|f x A ε-<，则称函数当趋于0x 时以A 为极限，记作0

lim ()x x f x A →=或()f x A →0()x x →. 2.求函数极限的方法总结

极限是描述函数的变化趋势，以基于图形或直观结合定义可以求出一些简单的函数的极限；但是结构较为复杂的函数的图形不易画出，基于直观也就无法得出极

限，本着化繁为简的思想，产生了极限的四则运算法则；由“数列的单调有界准则”和“迫敛准则”产生了两个重要极限和无穷小量的性质—有界函数与无穷小量的积仍是无穷小量；由中值定理得出了罗必达法则.以上也是我们求极限的理论依据，但在个依据下求极限又有各自的技巧.

2.1依据函数极限的迫敛性求极限

函数极限的迫敛性 设00

lim ()lim ()x x x x f x g x A →→==，且在某'0(;)U x δ内有()()()f x h x g x ≤≤，则0

lim ()x x h x A →=. 例1求极限]1[lim 0x

x x → 解：当0>x 时，有

1]1[1≤<-x

x x 而1)1(lim 0

=-+→x x ,由函数迫敛性可得 1]1[lim 0=+→x

x x 同理可得0

x x 注：依据函数极限的迫敛性求极限时，需判断该函数的上下范围，这时通常用到以下不等式：1cos 1,1sin 1),0(1][),0(][1≤≤-≤≤->-≤<<≤<-x x x x x x x x x x

2.2 依据极限的四则运算求极限]2[

依据极限的四则运算法则求极限的题目，除了直接使用极限的四则运算法则外，往往还有以下几种类型：

分母极限为0:可先采用“约简分式”或“分子、分母有理化”进行恒等变形，将分母极限化为非零，然后再运用法则：

例2 求极限1

1lim 1--→n m x x x （n 和m 都是正整数）

解：原式=)

1)(1()1)(1(lim 21211+Λ++-+Λ++-----→n n m m x x x x x x x =n

m x x x x n n m m x =+Λ+++Λ++----→11lim 21211 ∞

∞∞⋅∞±∞,0,等未定型：因“∞”不是一个数，故该类型的题目不能直接使用运算法则，但可以利用“无穷大量的导数”、“分式有理化”或“通分”等方法，将其转化为极限存在后，再运用法则计算.

例3求极限)1311(lim 21x

x x ---→ 解：原式=)

1)(1(31lim 221x x x x x x ++--++→ =13

3)1)(1()2)(1(lim 21-=-=++-+--→x x x x x x 2.3 依据两个重要极限求极限

两个重要的极限:0sin lim 1x x x →=，1lim(1)x x e x

→∞+=. 函数经过一定变形，若能出现以下情况：

))(())(1(),)(())

(11(),0)(()()(sin )(1)(∞→+∞→+→x h x h x g x g x f x f x f x h x g 时，也可采用重要极限来求.

例4 求极限]2[3

2

03sin sin 3lim x x x x x -+→ 解：原式=101301333sin 3sin sin 3lim 2

0=-⋅⋅+=-⋅+

→x x

x x x x x 例5 求极限12)1323(lim -∞→-+x x x x 解：原式=2231

23131)2313(])1331[(lim e e x x x x x =⋅=+--+-∞→ 2.4依据等价无穷小替换求极限

求函数极限，若能恰当采用等价无穷小的代换，可以起到变难为易，化繁为简的作用.需要记住一些常见的等价无穷小, 如当0x →时:

.~1)1(,~)1ln(,~1,~arctan ,~arcsin ,~tan ,~sin x x x x x e x x x x x x x x x αα-++-

例6 求极限]2[30sin sin tan lim

x

x x x -→ 解:原式30sin cos sin sin cos 1lim x

x x x x x -⋅=→ 2302sin sin 12lim cos sin x x x x x

→=⋅ 2

30112lim cos 2x x x x x →⋅=⋅= 注:用等价无穷小替换求极限时，应注意只能用分子、分母整个部分去代换，或是把函数化成积的形式实行无穷小代换，对极限式的相加相减部分不能随意替代.

2.5 依据洛必达法则求极限

洛必达法则]1[:

00

型不定式极限 若函数f 和g 满足: (i)00

lim ()lim ()0x x x x f x g x →→==; (ii)在点0x 的某空心邻域00()U x 内两者都可导, 且'()0g x ≠ (iii)0'()lim '()

x x f x A g x →=(A 可为实数, 也可为±∞或∞), 则 0

0()'()lim lim ()'()x x x x f x f x A g x g x →→== ∞∞

型不定式极限 若函数f 和g 满足: (i)00

lim ()lim ()x x x x f x g x ++→→==∞; (ii)在点0x 的某右邻域0

0()U x +内两者都可导, 且'()0g x ≠ (iii)0

'()lim '()x x f x A g x →=(A 可为实数, 也可为±∞或∞), 则